2021-2022学年广东省广州大学附属中学等三校高二上学期期末联考数学试题（解析版）

2021-2022学年广东省广州大学附属中学等三校高二上学期期末联考数学试题

一、单选题

1．已知集合，，若，则＝（       ）

A．{1，2，3} B．{1，2，3，4} C．{0，1，2} D．{0，1，2，3}

【答案】D

【分析】根据题意，解不等式求出集合，由，得，进而求出，从而可求出集合，最后根据并集的运算即可得出答案.

【详解】解：由题可知，，

而，即，解得：，

又由于，得，

因为，则，所以，解得：，

所以，

所以.

故选：D.

【点睛】本题考查集合的交集的定义和并集运算，属于基础题.

2．已知复数满足 (其中为虚数单位)，则复数的虚部为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题目条件可得，即，然后利用复数的运算法则化简.

【详解】因为，所以，

则

故复数的虚部为.

故选：A.

【点睛】本题考查复数的相关概念及复数的乘除运算，按照复数的运算法则化简计算即可，较简单.

3．等比数列中，，则（       ）

A． B． C．2 D．4

【答案】D

【分析】利用等比数列的下标特点，即可得到结果.

【详解】∵，

∴，

∴，

∴.

故选：D

4．王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关.黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，最后一句“返回家乡”是“攻破楼兰”的（          ）

A．必要条件 B．充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要

【答案】B

【分析】由题意，“不破楼兰”可以推出“不还”，但是反过来“不还”的原因有多种，按照充分条件、必要条件的定义即可判断

【详解】由题意，“不破楼兰终不还”即“不破楼兰”是“不还”的充分条件，即“不破楼兰”可以推出“不还”，但是反过来“不还”的原因有多种，比如战死沙场；

即如果已知“还”，一定是已经“破楼兰”，所以“还”是“破楼兰”的充分条件

故选：B

5．饕餮（tāo tiè）纹，青铜器上常见的花纹之一，盛行于商代至西周早期，最早出现在距今五千年前长江下游地区的良渚文化玉器上．有人将饕餮纹的一部分画到了方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为，有一点从点出发每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能性的，那么它经过次跳动后恰好是沿着饕餮纹的路线到达点的概率为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】本题首先可根据题意列出次跳动的所有基本事件，然后找出沿着饕餮纹的路线到达点的事件，最后根据古典概型的概率计算公式即可得出结果.

【详解】点从点出发，每次向右或向下跳一个单位长度，次跳动的所有基本事件有：

（右，右，右）、（右，右，下）、（右，下，右）、（下，右，右）、（右，下，下）、（下，右，下）、（下，下，右）、（下，下，下），

沿着饕餮纹的路线到达点的事件有：（下，下，右），

故到达点的概率，

故选：B.

6．已知，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】利用换元法令，再利用诱导公式和倍角公式，即可计算得到答案；

【详解】令，则，，

所以，

故选：A.

【点睛】利用三角恒等变换进行求值时，注意整体思想的应用.

7．过抛物线（）的焦点作斜率大于的直线交抛物线于， 两点（在的上方），且与准线交于点，若，则

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】【详解】分别过作准线的垂线，垂足分别为，设，则， ，故选A.

8．设数列的前项和为，当时，，，成等差数列，若，且，则的最大值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据等差中项写出式子，由递推式及求和公式写出和，进而得出结果.

【详解】解：由，，成等差数列，可得，

则，，，

可得数列中，每隔两项求和是首项为，公差为的等差数列.

则，

，

则的最大值可能为.

由，，可得.

因为，，，即，所以，则

，当且仅当时，，符合题意，

故的最大值为.

故选：A.

【点睛】本题考查等差数列的性质和递推式的应用，考查分析问题能力，属于难题.

二、多选题

9．下列命题错误的是（       ）

A．命题“，”的否定是“，”

B．函数“的最小正周期为”是“”的必要不充分条件

C．在时有解在时成立

D．“平面向量与的夹角是钝角”的充分必要条件是“”

【答案】ACD

【分析】A，命题“，”的否定是“，”；

B，由函数的最小正周期为；

C，令则可判真假；

D，当“”时，平面向量与的夹角是钝角或平角.

【详解】解：对A：命题“，”的否定是“，，故A错误；

对B：由函数，则，则，故B正确；

对C：时，在上恒成立，而，故C错误；

对D，当“”时，平面向量与的夹角是钝角或平角，∴“平面向量与的夹角是钝角”的必要不充分条件是“”，故D错误.

故选：ACD.

10．正方体的棱长为，，，分别为，，的中点．则(       )

A．直线与直线垂直 B．直线与平面平行

C．平面截正方体所得的截面面积为 D．点与点到平面的距离相等

【答案】BC

【分析】对于A，利用线线平行，将与的位置关系转换为判断与的位置关系；

对于B，作出辅助线：取的中点，连接、，然后利用面面平行判断；

对于C，把截面补形为四边形，由等腰梯形计算其面积判断；

对于D，利用反证法判断．

【详解】对于A，因为，若，则，从图中可以看出，与相交，但不垂直，所以A错误；

对于B，如图所示，取的中点，连接、，则有，，

∵，，∴平面∥平面．

又∵平面，∴∥平面，故选项B正确；

对于C，如图所示，连接，，延长，交于点，

∵，分别为，的中点，∴，

∴、、、四点共面，∴截面即为梯形．

∵，∴，即，∴

又，∴即，，

∴等腰△的高，梯形的高为，

∴梯形的面积为，故选项C正确；

对于D，假设与到平面的距离相等，即平面将平分，则平面必过的中点，

连接交于，而不是中点，则假设不成立，故D错．

故选：BC﹒

11．已知函数，则（       ）

A．函数的图象关于y轴对称 B．时，函数的值域为

C．函数的图象关于点中心对称 D．8为函数的周期

【答案】ABD

【分析】对于A选项，通过诱导公式化简的到，函数为偶函数，故A正确；对于B，将函数化简为，求值域即可；对于C，代入数据3和5得到，故选项错误；对于D，，根据周期性的定义得到选项正确.

【详解】

满足，函数是偶函数，图像关于y轴对称，故A正确；

时，，

，，

故函数的值域为，所以B正确；

，，

所以C错误；

，8是函数的周期，所以D正确；

故选：ABD．

12．已知函数，则（       ）

A． B．是奇函数

C．在上单调递增 D．的最小值为

【答案】ACD

【分析】代入可得，即可判断A；

根据奇偶函数的定义即可判断B；

根据复合函数的单调性即可判断C；

结合选项B、C即可判断D.

【详解】A：，故A正确；

B：，

所以，所以，所以为偶函数，故B项错误；

C：时，在上单调递增，

因此在上单调递增，故C项正确；

D：由于在上单调递增，又为偶函数，所以在上单调递减，所以的最小值为，故D正确.

故选：ACD.

三、填空题

13．曲线在点处的切线方程为_________．

【答案】

【解析】求导，求出切线斜率，用点斜式写出直线方程，化简即可.

【详解】，曲线在点处的切线方程为，即．

故答案为：

14．已知直线与圆交于A,B两点,过A,B分别做l的垂线与x轴交于C,D两点,若|AB|=4,则|CD|=_____________.

【答案】

【解析】先求出圆心和半径，由于半径为2，弦|AB|=4，所以可知直线过圆心，从而得，求出，得到直线方程且倾斜角为135°，进而可求出|CD|

【详解】圆,圆心(1,2),半径r=2,

∵|AB|=4,∴直线过圆心(1,2),

∴,∴,

∴直线,倾斜角为135°,

∵过A,B分别做l的垂线与x轴交于C,D两点,

∴.

故答案为：4

【点睛】此题考查直线与圆的位置关系，考查两直线的位置关系，考查转化思想和计算能力，属于基础题

15．已知函数，若在上是增函数，则实数的取值范围是________．

【答案】

【解析】根据函数在上是增函数，分段函数在整个定义域内单调，则在每个函数内单调，注意衔接点的函数值.

【详解】解：因为函数在上是增函数，

所以在区间上是增函数且在区间上也是增函数，

对于函数在上是增函数，

则；①

对于函数，

（1）当时，，

外函数为定义域内的减函数，

内函数在上是增函数，

根据复合函数“同增异减”可得时函数在区间上是减函数，不符合题意，故舍去，

（2）当时，

外函数为定义域内的增函数，要使函数在区间上是增函数，

则内函数在上也是增函数，

且对数函数真数大于0，即在上也要恒成立，

所以，

又，所以，②

又在上是增函数则在衔接点处函数值应满足：

，

化简得，③

由①②③得，，

所以实数的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】方法点睛：利用单调性求参数方法如下：

（1）依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较；

（2）需注意若函数在区间上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；

（3）分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．

16．在①；②，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目.

在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设的面积为S，已知_________.

（1）求的值；

（2）若，求的值.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】条件选择见解析；（1）；（2）.

【解析】（1）若选择①，先利用正弦定理进行边角互化，再结合正余弦的和差角公式化简可得，得出；若选择②，利用余弦定理及面积公式可得，得；

（2）由（1）可知，由及得，，再根据余弦定理求解的值.

【详解】解析：（1）选择条件①. ，

，

得，

选择条件②，由余弦定理及三角形的面积公式可得：，

得.

（2）由得，∵，，

∴，解得.

由余弦定理得：.

【点睛】本题考查解三角形，难度一般.解答的关键在于根据题目中边角关系，运用正弦定理进行边角互化、再根据两角和与差的正弦公式进行化简是关键. 一般地，当等式中含有a,b,c的关系式，且全为二次时，可利用余弦定理进行化简；当含有内角的正弦值及边的关系，且为一次式时，可考虑采用正弦定理进行边角互化.

四、双空题

17．已知点为双曲线，右支上一点，，为双曲线的左、右焦点，点为线段上一点，的角平分线与线段交于点，且满足，则________；若为线段的中点且，则双曲线的离心率为________．

【答案】         

【分析】过作，交于点，作，交于点，由向量共线定理可得；再由角平分线性质定理和双曲线的定义、结合余弦定理和离心率公式，可得所求值．

【详解】解：过作交于点，作交于点，

由，得，

由角平分线定理；

因为为的中点，所以，

由双曲线的定义，，

所以，，，

在中，由余弦定理，

所以.

故答案为：；.

【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，以及角平分线的性质定理和余弦定理的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．

五、解答题

18．比知数列满足：

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列的前n项和为．若对恒成立．求正整数m的最大值．

【答案】（1）；（2）2021.

【分析】（1）求出公比和首项即可.

(2)利用错位相减法，求出，再作差求出递增，即可求解.

【详解】（1）因为数列满足：，

所以，设的公比为q，可得，

又，即，解得，

所以；

（2），

，

，

上面两式相减可得，

化简可，

因为，

所以递增，最小，且为所以，

解得，则m的最大值为2021．

19．2020年8月，习近平总书记对制止餐饮浪费行为作出重要指示，要求进一步加强宣传教育，切实培养节约习惯，在全社会营造浪费可耻、节约光荣的氛围．为贯彻总书记指示，大庆市某学校食堂从学生中招募志愿者，协助食堂宣传节约粮食的相关活动．现已有高一63人、高二42人，高三21人报名参加志愿活动．根据活动安排，拟采用分层抽样的方法，从已报名的志愿者中抽取12名志愿者，参加为期20天的第一期志愿活动．

（1）第一期志愿活动需从高一、高二、高三报名的学生中各抽取多少人？

（2）现在要从第一期志愿者中的高二、高三学生中抽取2人粘贴宣传标语，求抽出两人都是高二学生的概率是多少？

（3）食堂每天约有400人就餐，其中一组志愿者的任务是记录学生每天倒掉的剩菜剩饭的重量（单位：公斤），以10天为单位来衡量宣传节约粮食的效果．在一个周期内，这组志愿者记录的数据如下：

前10天剩菜剩饭的重量为：

后天剩菜剩饭的重量为：

借助统计中的图、表、数字特征等知识，分析宣传节约粮食活动的效果（选择一种方法进行说明即可）．

【答案】（1）6，4，2；（2）；（3）答案见解析.

【分析】（1）先求出抽样比，然后每次按比例抽取即可求出；

（2）先求出抽出两人的基本事件，再求出两人都是高二学生包含的基本事件，即可求出概率；

（3）可求出平均值进行判断；也可画出茎叶图观察判断.

【详解】解：（1）报名的学生共有126人，抽取的比例为，

所以高一抽取人，高二抽取人，高三抽取人.

（2）记高二四个学生为1，2，3，4，高三两个学生为5，6，抽出两人表示为（x，y），

则抽出两人的基本事件为

（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），

（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）

共15个基本事件，

其中高二学生都在同一组包含（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共6个基本事件.

记抽出两人都是高二学生为事件，则，

所以高二学生都在同一组的概率是.

（3）法一：（数字特征）前10天的平均值为23.5，后10天的平均值为20.5，

因为20.5<23.5，

所以宣传节约粮食活动的效果很好.

法二：（茎叶图）画出茎叶图

因为前10天的重量集中在23、24附近，而后10天的重量集中在20附近，

所以节约宣传后剩饭剩菜明显减少，宣传效果很好.

20．如图甲是由正方形，等边和等边组成的一个平面图形，其中，将其沿，，折起得三棱锥，如图乙.

（1）求证：平面平面；

（2）过棱作平面交棱于点，且三棱锥和的体积比为，求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）取的中点为，连接，，证明，，即证平面，即证得面面垂直；

（2）建立如图空间直角坐标系，写出对应点的坐标和向量的坐标，再计算平面法向量，利用所求角的正弦为即得结果.

【详解】（1）证明：如图，取的中点为，连接，.

∵，∴.

∵，，

∴，同理.

又，∴，

∴.∵，，平面，

∴平面.

又平面，

∴平面平面；

（2）解：如图建立空间直角坐标系，根据边长关系可知，，，，，

∴，.

∵三棱锥和的体积比为，

∴，

∴，

∴.

设平面的法向量为，

则，令，得.

设直线与平面所成角为，

则.

∴直线与平面所成角的正弦值为.

【点睛】方法点睛：

求空间中直线与平面所成角的常见方法为：

（1）定义法：直接作平面的垂线，找到线面成角；

（2）等体积法：不作垂线，通过等体积法间接求点到面的距离，距离与斜线长的比值即线面成角的正弦值；

（3）向量法：利用平面法向量与斜线方向向量所成的余弦值的绝对值，即是线面成角的正弦值.

21．已知椭圆：的长轴长为6，离心率为，长轴的左，右顶点分别为A，B．

(1)求椭圆的方程；

(2)已知过点的直线交椭圆于M、N两个不同的点，直线AM，AN分别交轴于点S、T，记，（为坐标原点），当直线的倾斜角为锐角时，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据椭圆的长轴和离心率，可求得 ，进而得椭圆方程；

（2）先判断直线斜率为正，然后设出直线方程，和椭圆方程联立，整理得根与系数的关系，利用直线方程求出点S、T的坐标，再根据确定 的表达式，将根与系数的关系式代入化简，求得结果.

(1)

由题意可得：

解得：，所以椭圆的方程：

(2)

当直线l的倾斜角为锐角时，设，

设直线，

由得，

从而，又，得，

所以，

又直线的方程是：，令，

解得，所以点S为；

直线的方程是：，同理点T为·

所以，

因为，所以，

所以

．

∵，∴，

综上，所以的范围是．

22．设二次函数.

(1)若是函数的两个零点，且最小值为.

①求证：；

②当且仅当a在什么范围内时，函数在区间上存在最小值?

(2)若任意实数t，在闭区间上总存在两实数m，n，使得成立，求实数a的取值范围.

【答案】(1)①证明见解析；②

(2)

【分析】（1）①根据二次函数的性质和一元二次方程的求根公式，求得，即可证得；

②由①知，区间，根据二次函数的性质，即可求解.

（2）存在两实数，使得成立，转化为在区间上，有成立，设﹐结合二次函数的图象与性质，分类讨论，即可求解.

(1)

解：①由题意，函数二次函数，

因为最小值为，可得，即，

因为，所以根据求根公式得，

所以.

②由①知，区间

因为，对称轴，

且函数在区间上存在最小值，所以，

因为，所以解得，所以，即a的取值范围为.

(2)

解：存在两实数，使得成立，

则在区间上，有成立，

设﹐函数对称轴为

①当即时，在上单调减，

，

此时；

②当即时，

，

此时

③当即时，

，

此时；

④当即时，

，

此时；

综合①②③④得，

且最小值为，因为对任意实数t，都有，

所以只需，即，所以实数a的取值范围.