吉林省长春市公主岭市双城堡镇中学校2023-2024学年上学期八年级数学期末模拟试卷

这是一份吉林省长春市公主岭市双城堡镇中学校2023-2024学年上学期八年级数学期末模拟试卷，共24页。试卷主要包含了以下四个数，下列计算正确的是等内容，欢迎下载使用。

1．以下四个数：﹣，3.14，，0.101，无理数的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．如图，数轴上的点A表示的数是﹣1，点B表示的数是1，CB⊥AB于点B，且BC＝2，以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（ ）
A．2.8B．2C．2﹣1D．2
3．下列从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．x（2x+1）＝2x2+xB．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1
C．1﹣a2＝（1+a）（1﹣a）D．a2﹣2a+3＝（a﹣1）2+2
4．下列计算正确的是（ ）
A．a3•a3＝a9B．﹣m7÷（﹣m）2＝﹣m5
C．（a5）7＝a12D．（3xy2）2＝6x2y4
5．用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A'O'B'＝∠AOB的依据是（ ）
A．SASB．ASAC．AASD．SSS
6．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“勾股方圆图”（又称赵爽弦图），它是由四个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积为11，小正方形的面积为3，则a4+b4的值为（ ）
A．68B．89C．119D．130
二．填空题（共10小题）
7．23的算术平方根是 ．
8．若m为的整数部分，n为的小数部分，则＝ ．
9．若x2+x﹣4＝（x+a）（x+b），则a+b+ab的值是 ．
10．如果x2+mx+9是完全平方式，则m＝ ．
11．如图，已知OA＝OB，请你添加一个条件 ，使得△AOC≌△BOD（添一个即可）．
12．如图，△ABC中，∠A＝40°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，连接BE，则∠BEC的大小为 ．
13．如图是某天参观温州数学名人馆的学生人数统计图．若初中生有80人，则大学生有 人．
14．如图，一根树在离地面3米处断裂，树的顶部落在离底部4米处，树折断之前有 米．
15．如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC于点D，E是BC延长线上的一点，DB＝DE，则∠E的度数为 ．
16．如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为10cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁与B相对且距离容器上沿2cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是 cm．
三．解答题（共8小题）
17．计算：．
18．已知正数a的两个平方根分别是x+3和2x﹣6，与互为相反数，求a+2b的平方根．
19．关于a的多项式﹣2ma2+3a﹣1与﹣4a2+（n﹣1）a﹣1的和不含a2和a．
（1）求m，n的值；
（2）求（4m2n﹣3mn2）﹣2（m2n+mn2）的值．
20．如图，已知AB＝AC，D，E分别为AB，AC上的点，BE，CD相交于点O，∠ABE＝∠ACD．
（1）求证：△ABE≌△ACD；
（2）求证：OB＝OC．
21．我校九年级数学兴趣小组的同学调查了若干名同学对“初中学生不穿校服上学”现象的看法，统计整理并制作了如下的条形与扇形统计图（图1）．
（1）接受这次调查的同学人数为 人．
（2）在扇形统计图中，“无所谓”的同学部分所对应的扇形圆心角大小为 °．
（3）表示“很赞同”的同学人数为 人．
（4）我校目前有在校学生约2000人，估计不赞同和无所谓“初中生不穿校服上学”的一共有多少人．
22．如图，一块草坪的形状为四边形ABCD，其中∠B＝90°，AB＝8m，BC＝6m，CD＝24m，AD＝26m．求这块草坪的面积．
23．如图，火柴盒的侧面为长方形ABCD，其中CD＝a，AD＝b，AC＝c．把直立的火柴盒放倒，侧面ABCD旋转至长方形AB′C′D′处（如图）．
（1）S△ADC＝ ，S△AB′C′＝ ，S△ACC′＝ ；（用a、b、c有关代数式表示）S四边形CDB′C′＝ ；（用a、b有关代数式表示）
（2）由（1）的结论证明勾股定理：a2+b2＝c2；
（3）若a+b＝7，c＝5，求S△ADC的值．
24．【问题背景】
在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝60°，试探究图1中线段BE、EF、FD之间的数量关系．
【初步探索】
小亮同学认为：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，则可得到BE、EF、FD之间的数量关系是 ．
【探索延伸】
在四边形ABCD中如图2，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、CD上的点，∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立？说明理由．
【结论运用】
如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角（∠EOF）为70°，试求此时两舰艇之间的距离．
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．以下四个数：﹣，3.14，，0.101，无理数的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．
【解答】解：3.14，0.101是有限小数，属于有理数；
是分数，属于有理数；
无理数有﹣，共1个．
故选：A．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
2．如图，数轴上的点A表示的数是﹣1，点B表示的数是1，CB⊥AB于点B，且BC＝2，以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（ ）
A．2.8B．2C．2﹣1D．2
【分析】根据题意，利用勾股定理可以求得AC的长，从而可以求得AD的长，进而可以得到点D表示的数．
【解答】解：由题意可得，
AB＝2，BC＝2，AB⊥BC，
∴AC＝2，
∴AD＝2，
∴点D表示数为：2﹣1，
故选：C．
【点评】本题考查实数与数轴，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
3．下列从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．x（2x+1）＝2x2+xB．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1
C．1﹣a2＝（1+a）（1﹣a）D．a2﹣2a+3＝（a﹣1）2+2
【分析】根据因式分解的定义：是把一个多项式转化成几个整式积的形式，进行逐一判断即可．
【解答】解：A、x（2x+1）＝2x2+x，是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；
B、（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1，是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；
C、1﹣a2＝（1+a）（1﹣a），是因式分解，故本选项符合题意；
D、a2﹣2a+3＝（a﹣1）2+2，没把一个多项式转化成几个整式积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查了因式分解的定义，熟知因式分解的定义是解题的关键．
4．下列计算正确的是（ ）
A．a3•a3＝a9B．﹣m7÷（﹣m）2＝﹣m5
C．（a5）7＝a12D．（3xy2）2＝6x2y4
【分析】选项A根据同底数幂的乘法法则解答即可，同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；
选项B根据同底数幂的除法法则解答即可，同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减；
选项C根据幂的乘方运算法则解答即可，幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；
选项D根据积的乘方运算法则解答即可，积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
【解答】解：A．a3•a3＝a6，故本选项不符合题意；
B．﹣m7÷（﹣m）2＝﹣m7÷m2＝﹣m5，故本选项符合题意；
C．（a5）7＝a35，故本选项不符合题意；
D．（3xy2）2＝9x2y4，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．
5．用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A'O'B'＝∠AOB的依据是（ ）
A．SASB．ASAC．AASD．SSS
【分析】利用基本作图得到OC＝OD＝O′C′＝O′D′，CD＝C′D′，则根据“SSS”可判断△A'O'B'≌△AOB，然后根据全等三角形的性质得到∠A'O'B'＝∠AOB．
【解答】解：由作图痕迹得OC＝OD＝O′C′＝O′D′，CD＝C′D′，
所以△C'O'D'≌△COD（SSS），
所以∠A'O'B'＝∠AOB．
故选：D．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了全等三角形的判定与性质．
6．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“勾股方圆图”（又称赵爽弦图），它是由四个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积为11，小正方形的面积为3，则a4+b4的值为（ ）
A．68B．89C．119D．130
【分析】根据大小正方形的面积列式计算即可．
【解答】解：∵大正形面积11，
∴c2＝a2+b2＝11①，
∵小形面积为3，
∴（a﹣b）2＝3，
∴a2+b2﹣2ab＝3②，
①﹣②得2ab＝8，
∴ab＝4，
∴a4+b4＝（a2+b2）2﹣2a2b2＝112﹣2×42＝89．
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理的证明，数学常识，解决本题的关键是掌握勾股定理．
二．填空题（共10小题）
7．23的算术平方根是 ．
【分析】根据算术平方根的定义进行解题即可．
【解答】解：23的算术平方根是，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，解题的关键是熟知一个正数正的平方根叫算术平方根．
8．若m为的整数部分，n为的小数部分，则＝ 3 ．
【分析】估算数的大小，然后可求得m、n的值，再计算（+m）n即可．
【解答】解：∵4＜7＜9，
∴2＜＜3．
∴m＝2，n＝﹣2．
∴（+m）n
＝n+mn
＝×（﹣2）+2×（﹣2）
＝7﹣2+2﹣4
＝3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查的是估算无理数的大小，求得m、n的值是解题的关键．
9．若x2+x﹣4＝（x+a）（x+b），则a+b+ab的值是 ﹣3 ．
【分析】把等式右边展开，求出a+b及ab的值，进而可得出结论．
【解答】解：（x+a）（x+b）
＝x2+bx+ax+ab
＝x2+（a+b）x+ab，
∵x2+x﹣4＝（x+a）（x+b），
∴a+b＝1，ab＝﹣4，
∴a+b+ab
＝1﹣4
＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查的是因式分解，根据题意得出a+b及ab的值是解题的关键．
10．如果x2+mx+9是完全平方式，则m＝ ±6 ．
【分析】根据平方项确定出这两个数，再根据乘积二倍项列式即可确定出m值．
【解答】解：∵x2+mx+9＝x2+mx+32，
∴mx＝±2x×3，
解得m＝±6．
故答案为：±6．
【点评】本题主要考查了完全平方式，掌握完全平方公式的结构是解题的关键．
11．如图，已知OA＝OB，请你添加一个条件 OC＝OD ，使得△AOC≌△BOD（添一个即可）．
【分析】由OA＝OB，加上∠O公共，所以当OC＝OD时，可根据“SAS”判断△AOC≌△BOD．
【解答】解：在△AOC与△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（SAS）．
故答案为：OC＝OD（答案不唯一）．
【点评】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目．
12．如图，△ABC中，∠A＝40°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，连接BE，则∠BEC的大小为 80° ．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据等腰三角形的性质得到∠EBA＝∠A＝40°，根据三角形的外角性质计算即可．
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴∠EBA＝∠A＝40°，
∴∠BEC＝∠EBA+∠A＝80°，
故答案为：80°．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
13．如图是某天参观温州数学名人馆的学生人数统计图．若初中生有80人，则大学生有 40 人．
【分析】先由初中生的人数及其所占百分比求出被调查的总人数，再用总人数乘以大学生对应的百分比即可．
【解答】解：由题意知，被调查的总人数为80÷40%＝200（人），
所以观看的大学生有200×20%＝40（人），
故答案为：40．
【点评】本题主要考查扇形统计图，通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．
14．如图，一根树在离地面3米处断裂，树的顶部落在离底部4米处，树折断之前有 8 米．
【分析】图中为一个直角三角形，根据勾股定理两个直角边的平方和等于斜边的平方．此题要求斜边和直角边的长度，解直角三角形即可．
【解答】解：∵32+42＝25，＝5，5+3＝8m，
∴树折断之前的高度为8米．
故答案为：8．
【点评】此题考查了勾股定理的应用．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
15．如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC于点D，E是BC延长线上的一点，DB＝DE，则∠E的度数为 30° ．
【分析】根据等边三角形的性质得出∠ABC＝60°，AB＝BC，根据等腰三角形的性质得出∠DBC＝∠DBA＝BAC＝30°，再根据等腰三角形的性质得出∠E＝∠DBC即可．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，AB＝BC，
∵BD⊥AC，
∴∠DBC＝∠DBA＝BAC＝30°，
∵DB＝DE，
∴∠E＝∠DBC＝30°，
故答案为：30°．
【点评】本题考查了等边三角形的性质和等腰三角形的性质和判定，能熟记等边三角形的性质是解此题的关键．
16．如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为10cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁与B相对且距离容器上沿2cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是 13 cm．
【分析】立体图形中最值问题往往转化为平面图形，利用两点之间线段最短，通过勾股定理解决问题，将容器侧面展开，建立A关于MM'的对称点A'，根据两点之间线段最短可知AB的长度即为所求．将圆柱沿A所在的高剪开，展平如图所示，则MM'＝NN'＝10cm，作A关于MM'的对称点A'，连接A′B，则此时线段A′B即为蚂蚁走的最短路径，
【解答】解：将圆柱沿A所在的高剪开，
展平如图：
则MM'＝NN'＝10cm，
作A关于MM'的对称点A'，
连接A′B，
则此时线段A′B即为蚂蚁走的最短路径，
过B作BD⊥A'A于点D，
则BD＝NE＝5cm，A'D＝MN+A'M﹣BE＝12+3﹣3＝12cm，
在Rt△A'BD中，由勾股定理得AB＝．
故答案为：13．
【点评】本题考查了轴对称的性质，最短路径问题，勾股定理的应用等，正确利用侧面展开图、熟练运用相关知识是解题的关键．
三．解答题（共8小题）
17．计算：．
【分析】分别计算出算术平方根、立方根及绝对值即可完成计算．
【解答】解：
＝
＝
＝．
【点评】本题考查的是实数的混合运算，能运用算术平方根、立方根和绝对值的含义是解本题的关键．
18．已知正数a的两个平方根分别是x+3和2x﹣6，与互为相反数，求a+2b的平方根．
【分析】由正数的两个平方根互为相反数，得x+3+2x﹣6＝0，由与互为相反数，得2﹣3b+4（b﹣3）＝0，即可求解．
【解答】解：∵正数a的两个平方根分别是x+3和2x﹣6，
∴x+3+2x﹣6＝0，
∴x＝1，
∴a＝（x+3）2＝（1+3）2＝16，
∵与互为相反数，
∴2﹣3b+4（b﹣3）＝0，
∴b＝10，
∴a+2b＝16+2×10＝36，
∴a+2b的算术平方根是±6．
【点评】本题考查平方根，算术平方根，相反数的概念，关键是掌握这些概念的性质．
19．关于a的多项式﹣2ma2+3a﹣1与﹣4a2+（n﹣1）a﹣1的和不含a2和a．
（1）求m，n的值；
（2）求（4m2n﹣3mn2）﹣2（m2n+mn2）的值．
【分析】（1）运用整式的概念和加减运算法则进行求解；
（2）先计算整式加减，再代入求解．
【解答】解：（1）（﹣2ma2+3a﹣1）+[﹣4a2+（n﹣1）a﹣1]
＝﹣2ma2+3a﹣1﹣4a2+（n﹣1）a﹣1
＝（﹣2m﹣4）a2+（3+n﹣1）a﹣2，
由题意得，﹣2m﹣4＝0且3+n﹣1＝0，
解得m＝﹣2，n＝﹣2；
（2）∵（4m2n﹣3mn2）﹣2（m2n+mn2）
＝4m2n﹣3mn2﹣2m2n﹣2mn2
＝2m2n﹣5mn2，
由（1）题所得，m＝﹣2，n＝﹣2，
∴原式＝2×（﹣2）2×（﹣2）﹣5×（﹣2）×（﹣2）2
＝﹣16+40
＝24，
∴（4m2n﹣3mn2）﹣2（m2n+mn2）的值是24．
【点评】此题考查了整式加减的运算能力，关键是能准确运用法则进行求解．
20．如图，已知AB＝AC，D，E分别为AB，AC上的点，BE，CD相交于点O，∠ABE＝∠ACD．
（1）求证：△ABE≌△ACD；
（2）求证：OB＝OC．
【分析】（1）由已知，利用ASA证明即可；
（2）由（1）证得△ABE≌△ACD可得AE＝AD，可推出BD＝CE，则推出△BOD≌△COE（AAS），所以OB＝OC．
【解答】证明：（1）在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（ASA）；
（2）∵△ABE≌△ACD，
∴AD＝AE，
∵AB＝AC，
∴BD＝CE，
在△BOD和△COE中，
，
∴△BOD≌△COE（AAS），
∴OB＝OC．
【点评】本题考查的知识点是全等三角形的判定和性质，关键是掌握全等三角形的判定方法．
21．我校九年级数学兴趣小组的同学调查了若干名同学对“初中学生不穿校服上学”现象的看法，统计整理并制作了如下的条形与扇形统计图（图1）．
（1）接受这次调查的同学人数为 200 人．
（2）在扇形统计图中，“无所谓”的同学部分所对应的扇形圆心角大小为 72 °．
（3）表示“很赞同”的同学人数为 20 人．
（4）我校目前有在校学生约2000人，估计不赞同和无所谓“初中生不穿校服上学”的一共有多少人．
【分析】（1）根据赞同的人数和所占的百分比求出接受这次调查的家长人数；
（2）用360°乘以“无所谓”所占的百分比即可；
（3）用总人数减去其它选项的人数即可；
（4）用2000乘以不赞同和无所谓所占的百分比的和即可．
【解答】解：（1）接受这次调查的同学人数为50÷25%＝200（人），
故答案为：200；
（2）在扇形统计图中，“无所谓”的同学部分所对应的扇形圆心角大小为360°×20%＝72°；
故答案为：72；
（3）表示“很赞同”的同学人数为200﹣50﹣200×20%﹣90＝20（人）；
故答案为：20；
（4）2000×（20%+×100%）＝1300（人），
答：估计不赞同和无所谓“初中生不穿校服上学”的一共有1300人．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
22．如图，一块草坪的形状为四边形ABCD，其中∠B＝90°，AB＝8m，BC＝6m，CD＝24m，AD＝26m．求这块草坪的面积．
【分析】连接AC，则△ABC为直角三角形，AC为斜边，解直角△ABC求AC，根据AC，AD，CD判定△ACD为直角三角形，根据直角三角形面积计算可以计算该草坪的面积．
【解答】解：连接AC，
因为∠B＝90°，所以直角△ABC中，由勾股定理得
AC2＝AB2+BC2
AC2＝82+62
AC2＝100
AC＝10 又CD＝24 AD＝26
所以△ACD中，AC2+CD2＝AD2
所以△ACD是直角三角形
所以S四边形ABCD＝﹣
S四边形ABCD＝﹣
＝120﹣24
＝96（m2）
答：该草坪的面积为96m2．
【点评】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形面积计算，本题中正确的根据勾股定理的逆定理判定△ACD是直角三角形是解题的关键．
23．如图，火柴盒的侧面为长方形ABCD，其中CD＝a，AD＝b，AC＝c．把直立的火柴盒放倒，侧面ABCD旋转至长方形AB′C′D′处（如图）．
（1）S△ADC＝ ，S△AB′C′＝ ，S△ACC′＝ ；（用a、b、c有关代数式表示）S四边形CDB′C′＝ ；（用a、b有关代数式表示）
（2）由（1）的结论证明勾股定理：a2+b2＝c2；
（3）若a+b＝7，c＝5，求S△ADC的值．
【分析】（1）根据三角形面积公式分别表示△ADC、△AB′C′、△AC′C的面积，根据梯形面积公式表示梯形CDB′C的面积计算即可；
（2）根据S四边形CDB′C′＝S△ACC′+S△ADC+S△AB′C′，列出方程并整理可证．
（3）根据公式求出ab＝12，即可计算．
【解答】解：（1）∵∠CAD＝∠C′AD′，∠CAC′＝∠CAB+∠BAC′，∠BAC+CAD＝90°，
∴∠ACC′＝90°，
∴△ACC′为直角三角形，
，；
S四边形CDB′C′＝；
故答案为：，，，；
（2）由图形可知S四边形CDB′C′＝S△ACC′+S△ADC+S△AB′C′，
则，
∴．
因此，a2+b2＝c2．
（3）∵a2+b2＝c2，
∴（a+b）2＝c2+2ab，
∵a+b＝7，c＝5，
∴ab＝12，
∵，
∴．
【点评】本题考查了勾股定理的证明，熟练的利用面积法进行证明是解本题的关键．
24．【问题背景】
在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝60°，试探究图1中线段BE、EF、FD之间的数量关系．
【初步探索】
小亮同学认为：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，则可得到BE、EF、FD之间的数量关系是 EF＝BE+FD ．
【探索延伸】
在四边形ABCD中如图2，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、CD上的点，∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立？说明理由．
【结论运用】
如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角（∠EOF）为70°，试求此时两舰艇之间的距离．
【分析】探索延伸：延长FD到G，使DG＝BE，连接AG，证明△ABE≌△ADG和△AEF≌△AGF，得到答案；
结论运用：连接EF，延长AE、BF交于点C，得到EF＝AE+BF，根据距离、速度和时间的关系计算即可．
【解答】解：初步探索：EF＝BE+FD，
故答案为：EF＝BE+FD，
探索延伸：结论仍然成立，
证明：如图2，延长FD到G，使DG＝BE，连接AG，
∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADG+∠ADC＝180°
∴∠B＝∠ADG，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG，
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△AEF和△AGF中，
，
∴△AEF≌△AGF，
∴EF＝FG，
∴FG＝DG+FD＝BE+DF；
结论运用：解：如图3，连接EF，延长AE、BF交于点C，
∵∠AOB＝30°+90°+（90°﹣70°）＝140°，
∠EOF＝70°，
∴∠EOF＝∠AOB，
∵OA＝OB，
∠OAC+∠OBC＝（90°﹣30°）+（70°+50°）＝180°，
∴符合探索延伸中的条件
∴结论EF＝AE+BF成立，
即EF＝1.5×（60+80）＝210海里，
答：此时两舰艇之间的距离是210海里．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，注意要正确作出辅助线．
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