安徽省江淮十校2024届高三第二次联考试题数学

这是一份安徽省江淮十校2024届高三第二次联考试题数学，共13页。试卷主要包含了11，已知角为第二象限角，且满足，则等内容，欢迎下载使用。

2023.11
命审单位：安庆一中 命审人：洪汪宝 吴礼琴 陈晨
注意事项：
1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1.已知为虚数单位，复数满足，则
A.B.C.D.
2.已知集合，集合，则
A.B.C.D.
3.已知点是的重心，，，则
A.B.C.D.
4.已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是
A.B.C.D.
5.已知等差数列的前项和为，若，，则使成立的的最大值为
A.16B.17C.18D.19
6.已知角为第二象限角，且满足，则
A.B.C.D.
7.在正四棱台中，，点是底面的中心，若该四棱台的侧面积为，则异面直线与所成角的余弦值为
A.B.C.D.
8.已知函数，若函数有四个不同的零点，，，且，则的取值范围是
A.B.C.D.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知且，则下列不等关系一定成立的是
A.B.
C.D.
10.在正四棱柱中，，，分别为棱，的中点，则下列判断正确的是
A.直线与直线互为异面直线
B.平面
C.平面截该四棱柱得到的截面是五边形
D.平面与棱的交点是棱的中点
11.将函数的图象向左平移个单位可得到函数的图象，若在区间内有最值，则实数的取值范围可能为
A.B.C.D.
12.已知数列的前项和为，且，则下列判断正确的是
A.
B.当为奇数时，
C.当为偶数时，
D.数列的前项和等于
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知平面向量，满足，，，则向量，夹角的余弦值为______.
14.已知，且，则的最小值为______.
15.内接于球的四棱锥的底面是等腰梯形，四条侧棱均相等，，，，，侧棱与底面所成角的大小为，则球的表面积为______.
16.设正整数满足不等式，则的最小值等于______.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
已知集合，函数的值域为集合.
（1）当时，求；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求正数的取值范围.
18.（本小题满分12分）
已知函数（其中且）是奇函数.
（1）求，的值并判断函数的单调性；
（2）已知二次函数满足，且其最小值为.若对，都，使得成立，求实数的取值范围.
19.（本小题满分12分）
在锐角中，角，，所对的边分别为，，，为其外接圆的圆心，，.
（1）求的大小；
（2）若，求边长的最值.
20.（本小题满分12分）
如图（1），在边长为4的菱形中，，点是边的中点，连交对角线于点，将沿对角线折起得到如图（2）所示的三棱锥.
（1）点是边上一点且，连，求证：平面；
（2）若二面角的大小为，求二面角的正弦值.
图（1）图（2）
21.（本小题满分12分）
各项均为正数的数列的首项，且满足.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）设，求数列的前项和.
22.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）若恒成立，求实数的取值范围；
（2）若函数有两个零点且，求证：.
江淮十校2024届高三第二次联考
数学试题参考答案
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1.B【解析】由条件可知，所以，故选B.
2.D【解析】由已知得，，则，故选D.
3.D【解析】由条件知，所以，所以，故选D.
4.B【解析】由条件知解得或，又函数是上的偶函数，所以，，，其对称轴方程为，根据条件可知，解得，故选B.
5.B【解析】设等差数列的公差为，根据条件得，解得，又，解得，于是，显然，，所以，，当时，，故选B.
6.C【解析】由条件可知，整理得，因角为第二象限角，所以，于是两边同除以，得，因，解得，故选C.
7.A【解析】由已知条件得该四棱台的斜高为，侧棱长为，根据得，又，所以四边形是平行四边形，于是，，所以（或其补角）是异面直线与所成的角，根据余弦定理可知，故选A.
8.C【解析】作出函数的大致图象，可知，，于是，所以，，即，所以，于是，故选C.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
9.BD【解析】由条件知，又，所以B，D正确.
10.AC【解析】根据条件作出图形得到A正确，B错误，C正确，平面与棱的交点是棱的一个三等分点，D错误.故选AC.
11.ACD【解析】由条件可知，由，解得，于是，解得，因，所以当时，；当时，；当时，.故选ACD.
12.BCD【解析】由条件知，，当为奇数且时，，也符合，所以当为奇数时，，B正确；当为偶数时，，A错误，C正确；于是，，所以数列的前项和为，D正确.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.【答案】
【解析】由已知得，由得，所以，于是.
14.【答案】6
【解析】由知，
所以，当且仅当，时等号成立，最小值为6.
15.【答案】
【解析】作于点，则根据条件可得，，设四边形的外接圆半径大小为，圆心到的距离为，则，解得，，根据侧棱与底面所成角的大小为知点到平面的距离为.设球的半径为，则，解得，所以球的表面积为.
16.【答案】6
【解析】对所给不等式两边同时取自然对数，则，于是.
构造函数，，求导得，
令，，求导得，
所以函数在上单调递减，则，
所以，于是函数在上单调递减，所以，解得，
又，所以，于是，又是正整数，所以的最小值等于6.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.
17.（本小题满分10分）
解：因
所以
（1）当时，，解得，所以
于是
（2）由条件知集合是集合的真子集，
又
所以且两等号不能同时成立，解得
又，所以正数的取值范围为
18.（本小题满分12分）
解：（1）由条件可知函数的定义域为，由是奇函数知，
即，解得，
所以，
又，
于是对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，解得，
所以，
又，
因在上单调递增，且，所以在上单调递减，在上单调递增，于是函数在上单调递增.
（2）由（1）知当时，函数的值域为
又根据条件得且，
当时，，则函数的值域为，
于是，所以，解得，
因此实数的取值范围为.
19.（本小题满分12分）
解：（1）延长交外接圆于点，
则，
所以
由，
得，
解得，
因，所以，
（2）在中，由正弦定理得，
于是，
因，所以，
于是
所以边长的最大值为，最小值为4.
解：（1）连，由条件知点是的重心，则，
又，所以，于是.
因平面，平面，
所以平面.
（2）设，以点为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴建立空间坐标系，如图所示，
因，，则为二面角的平面角，
于是，因，，所以，
所以，，，，，
于是，，
设平面的法向量为，则，
即，
解得，不妨取，
则
又平面的法向量为
则，
所以二面角大小的正弦值为.
21.（本小题满分12分）
解：（1）由得，
两边同除以，得，
即，
于是，
因，所以，因此即，
又，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列.
（2）由（1）知，所以，
于是，
所以，
，
上述两式相减得
所以.
22.（本小题满分12分）
解：（1）函数的定义域为，
对其求导得，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减
所以函数的最大值为，解得，
因此实数的取值范围是.
（2）由题意可知，
所以（*）
因，令，则
于是由（*）式可得，
构造函数，
对其求导得，
令，
对其求导得
所以函数在上单调递增，所以，
于是，函数在上单调递增，所以，
因此，
于是，得证.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
选项
B
D
D
B
B
C
A
C
BD
AC
ACD
BCD