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2023-2024年新高考数学一轮复习培优教案8.1《直线的倾斜角与斜率、直线的方程》 (2份打包,原卷版+教师版)
展开核心素养立意下的命题导向
1.在平面直角坐标系中,结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素,凸显直观想象的核心素养.
2.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式,凸显数学运算的核心素养.
3.掌握确定直线的几何要素,掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系,凸显数学抽象的核心素养.
[理清主干知识]
1.直线的倾斜角与斜率
2.直线方程的五种形式
[澄清盲点误点]
一、关键点练明
1.(求倾斜角)直线eq \r(3)x﹣y+a=0的倾斜角为( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,3) C.eq \f(5π,6) D.eq \f(2π,3)
答案:B
2.(点斜式方程)经过点P0(2,﹣3),倾斜角为45°的直线方程为( )
A.x+y+1=0 B.x+y﹣1=0
C.x﹣y+5=0 D.x﹣y﹣5=0
解析:选D 由点斜式得直线方程为y﹣(﹣3)=tan 45°(x﹣2)=x﹣2,即x﹣y﹣5=0.
3.(斜截式方程)倾斜角为135°,在y轴上的截距为﹣1的直线方程是( )
A.x﹣y+1=0 B.x﹣y﹣1=0
C.x+y﹣1=0 D.x+y+1=0
答案:D
4.(直线的斜率)过点M(﹣1,m),N(m+1,4)的直线的斜率等于1,则m的值为________.
答案:1
二、易错点练清
1.(忽视倾斜角的范围)直线x+(a2+1)y+1=0的倾斜角的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0,\f(π,4))) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4),π)) C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0,\f(π,4)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2),π)) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4),\f(π,2)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4),π))
解析:选B 由直线方程可得该直线的斜率为﹣eq \f(1,a2+1),又﹣1≤﹣eq \f(1,a2+1)<0,所以倾斜角的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4),π)).
2.(忽视斜率公式中x1≠x2)已知经过两点A(m2+2,m2﹣3),B(3﹣m﹣m2,2m)的直线l的倾斜角为135°,则m的值为________.
答案:eq \f(4,3)
3.(忽视截距为0的情况)过点M(3,﹣4),且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为________________.
解析:①若直线过原点,则k=﹣eq \f(4,3),所以y=﹣eq \f(4,3)x,即4x+3y=0.②若直线不过原点.设eq \f(x,a)+eq \f(y,a)=1,
即x+y=a.则a=3+(﹣4)=﹣1,所以直线的方程为x+y+1=0.
答案:4x+3y=0或x+y+1=0
考点一 直线的倾斜角与斜率
[典例] (1)直线2xcs α﹣y﹣3=0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6),\f(π,3)))))的倾斜角的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6),\f(π,3))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4),\f(π,3))) C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4),\f(π,2))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4),\f(2π,3)))
(2)若正方形一条对角线所在直线的斜率为2,则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为________,________.
[解析] (1)直线2xcs α﹣y﹣3=0的斜率k=2cs α,
因为α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6),\f(π,3))),所以eq \f(1,2)≤cs α≤eq \f(\r(3),2),因此k=2·cs α∈[1,eq \r(3) ].
设直线的倾斜角为θ,则有tan θ∈[1,eq \r(3) ].
又θ∈[0,π),所以θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4),\f(π,3))),即倾斜角的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4),\f(π,3))).
(2)设一条边所在直线的倾斜角为α,由taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α+\f(π,4)))=2,解得tan α=eq \f(1,3),所以正方形两条邻边所在直线的斜率分别为eq \f(1,3),﹣3.
[答案] (1)B (2)eq \f(1,3) ﹣3
[方法技巧]
1.求倾斜角的取值范围的一般步骤
(1)求出斜率k=tan α的取值范围.
(2)利用三角函数的单调性,借助图象,确定倾斜角α的取值范围.求倾斜角时要注意斜率是否存在.
2.斜率取值范围的2种求法
[针对训练]
1.“a<﹣1”是“直线ax+y﹣1=0的倾斜角大于eq \f(π,4)”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析:选A 设直线ax+y﹣1=0的倾斜角为θ,则tan θ=﹣a,
∵直线ax+y﹣1=0的倾斜角大于eq \f(π,4).∴﹣a>1或﹣a<0,解得a<﹣1或a>0.
∴a<﹣1是直线ax+y﹣1=0的倾斜角大于eq \f(π,4)的充分不必要条件.
2.(多选)如图,直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,倾斜角分别为α1,α2,α3,则下列选项正确的是( )
A.k1
考点二 求直线的方程
[典例] 求适合下列条件的直线方程:
(1)经过点P(4,1),且在两坐标轴上的截距相等;
(2)经过点A(﹣1,﹣3),倾斜角等于直线y=3x的倾斜角的2倍;
(3)经过点B(3,4),且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形.
[解] (1)设直线l在x轴,y轴上的截距均为a,若a=0,即l过点(0,0)和(4,1),
所以l的方程为y=eq \f(1,4)x,即x﹣4y=0.
若a≠0,设l的方程为eq \f(x,a)+eq \f(y,a)=1,
因为l过点(4,1),所以eq \f(4,a)+eq \f(1,a)=1,所以a=5,所以l的方程为x+y﹣5=0.
综上可知,所求直线的方程为x﹣4y=0或x+y﹣5=0.
(2)由已知设直线y=3x的倾斜角为α,则所求直线的倾斜角为2α.
因为tan α=3,所以tan 2α=eq \f(2tan α,1-tan2α)=﹣eq \f(3,4).
又直线经过点A(﹣1,﹣3),因此所求直线方程为y+3=﹣eq \f(3,4)(x+1),
即3x+4y+15=0.
(3)由题意可知,所求直线的斜率为±1.
又过点(3,4),由点斜式得y﹣4=±(x﹣3).
故所求直线的方程为x﹣y+1=0或x+y﹣7=0.
[方法技巧] 求解直线方程的2种方法
[针对训练]
1.一条直线经过点A(﹣2,2),并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1,求此直线的方程.
解:设所求直线的方程为eq \f(x,a)+eq \f(y,b)=1.∵A(﹣2,2)在直线上,∴﹣eq \f(2,a)+eq \f(2,b)=1.①
又∵直线与坐标轴围成的三角形面积为1,∴eq \f(1,2)|a|·|b|=1.②
由①②可得(1)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a-b=1,,ab=2))或(2)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a-b=-1,,ab=-2.))
由(1)解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a=2,,b=1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a=-1,,b=-2.))方程组(2)无解.
故所求的直线方程为eq \f(x,2)+eq \f(y,1)=1或eq \f(x,-1)+eq \f(y,-2)=1,即x+2y﹣2=0或2x+y+2=0为所求直线的方程.
2.已知△ABC的三个顶点分别为A(﹣3,0),B(2,1),C(﹣2,3),求:
(1)BC边所在直线的方程;
(2)BC边上中线AD所在直线的方程;
(3)BC边的垂直平分线DE的方程.
解:(1)因为直线BC经过B(2,1)和C(﹣2,3)两点,
由两点式得BC的方程为eq \f(y-1,3-1)=eq \f(x-2,-2-2),即x+2y﹣4=0.
(2)设BC边的中点D的坐标为(x,y),则x=eq \f(2-2,2)=0,y=eq \f(1+3,2)=2.
BC边的中线AD过A(﹣3,0),D(0,2)两点,
由截距式得AD所在直线方程为eq \f(x,-3)+eq \f(y,2)=1,即2x﹣3y+6=0.
(3)由(1)知直线BC的斜率k1=﹣eq \f(1,2),
则直线BC的垂直平分线DE的斜率k2=2.由(2)知点D的坐标为(0,2).
可求出直线的点斜式方程为y﹣2=2(x﹣0),
即2x﹣y+2=0.
考点三 直线方程的综合应用
[典例] 直线l过点P(1,4),分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于A,B两点,O为坐标原点,当|OA|+|OB|最小时,求l的方程.
[解] 法一:依题意,l的斜率存在,且斜率为负,
设直线l的斜率为k,
则直线l的方程为y﹣4=k(x﹣1)(k<0).
令y=0,可得Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1-\f(4,k),0));令x=0,可得B(0,4﹣k).
|OA|+|OB|=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1-\f(4,k)))+(4﹣k)=5﹣eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k+\f(4,k)))=5+eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-k+\f(4,-k)))≥5+4=9.
当且仅当﹣k=eq \f(4,-k)且k<0,即k=﹣2时,|OA|+|OB|取最小值.
此时l的方程为2x+y﹣6=0.
法二:设直线l与x轴、y轴的交点坐标分别为A(a,0),B(0,b)(a>0,b>0),
则直线l的方程为eq \f(x,a)+eq \f(y,b)=1.∵直线l过点P(1,4),∴eq \f(1,a)+eq \f(4,b)=1,
∴|OA|+|OB|=a+b=(a+b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)+\f(4,b)))=5+eq \f(b,a)+eq \f(4a,b)≥5+2 eq \r(\f(b,a)·\f(4a,b))=9,
当且仅当eq \f(b,a)=eq \f(4a,b),即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a=3,,b=6))时“=”成立.
|OA|+|OB|取最小值,此时l的方程为eq \f(x,3)+eq \f(y,6)=1,即2x+y﹣6=0.
[方法技巧]
与直线方程有关问题的常见类型及解题策略
(1)求解与直线方程有关的最值问题.先设出直线方程,建立目标函数,再利用基本不等式求解最值.
(2)求直线方程.弄清确定直线的两个条件,由直线方程的几种特殊形式直接写出方程.
(3)求参数值或范围.注意点在直线上,则点的坐标适合直线的方程,再结合函数的单调性或基本不等式求解.
[针对训练]
已知直线l:kx﹣y+1+2k=0(k∈R).
(1)证明:直线l过定点;
(2)若直线不经过第四象限,求k的取值范围;
(3)若直线l交x轴负半轴于A,交y轴正半轴于B,△AOB的面积为S(O为坐标原点),求S的最小值并求此时直线l的方程.
解:(1)证明:直线l的方程可化为k(x+2)+(1﹣y)=0,
令eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x+2=0,,1-y=0,))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=-2,,y=1.))∴无论k取何值,直线总经过定点(﹣2,1).
(2)由方程知,当k≠0时直线在x轴上的截距为﹣eq \f(1+2k,k),在y轴上的截距为1+2k,要使直线不经过第四象限,则必须有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(-\f(1+2k,k)≤-2,,1+2k≥1,))解得k>0;
当k=0时,直线为y=1,符合题意,故k的取值范围是[0,+∞).
(3)由题意可知k≠0,再由l的方程,得Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(1+2k,k),0)),B(0,1+2k).
依题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(-\f(1+2k,k)<0,,1+2k>0,))解得k>0.
∵S=eq \f(1,2)·|OA|·|OB|=eq \f(1,2)·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1+2k,k)))·|1+2k|=eq \f(1,2)·eq \f(1+2k2,k)=eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4k+\f(1,k)+4))≥eq \f(1,2)×(2×2+4)=4,
“=”成立的条件是k>0且4k=eq \f(1,k),即k=eq \f(1,2),
∴Smin=4,此时直线l的方程为x﹣2y+4=0.
创新思维角度——融会贯通学妙法
妙用直线的斜率解题
应用(一) 比较大小
[例1] 已知函数f(x)=lg2(x+1),且a>b>c>0,则eq \f(fa,a),eq \f(fb,b),eq \f(fc,c)的大小关系为________________.
[解析] 作出函数f(x)=lg2(x+1)的大致图象,如图所示,可知当x>0时,曲线上各点与原点连线的斜率随x的增大而减小,因为a>b>c>0,
所以eq \f(fa,a)
有关eq \f(fx,x)的式子比较大小时,一般数形结合利用直线的斜率解题.
应用(二) 求解点共线问题
[例2] 已知A(1,1),B(3,5),C(a,7),D(﹣1,b)四点共线,则a=________,b=________.
[解析] 因为A,B,C,D四点共线,所以直线AB,AC,AD的斜率相等,又因为kAB=2,
kAC=eq \f(7-1,a-1),kAD=eq \f(b-1,-1-1),所以2=eq \f(6,a-1)=eq \f(b-1,-2).所以a=4,b=﹣3.
[答案] 4 ﹣3
[名师微点]
若直线AB,AC的斜率相等,则A,B,C三点共线,反过来,若A,B,C三点共线,则直线AB,AC的斜率相等或都不存在.
应用(三) 求参数的取值范围
[例3] 已知线段PQ两端点的坐标分别为P(﹣1,1)和Q(2,2),若直线l:x+my+m=0与线段PQ有交点,求实数m的取值范围.
[解] 如图所示,直线l:x+my+m=0过定点A(0,﹣1),当m≠0时,kQA=eq \f(3,2),kPA=﹣2,kl=﹣eq \f(1,m).结合图象知,若直线l与PQ有交点,应满足﹣eq \f(1,m)≤﹣2或﹣eq \f(1,m)≥eq \f(3,2).解得0
当直线绕定点旋转时,若倾斜角为锐角,逆时针旋转,倾斜角越来越大,斜率越来越大,顺时针旋转,倾斜角越来越小,斜率越来越小;若倾斜角为钝角,也具有同样的规律.但倾斜角是锐角或钝角不确定时,逆时针旋转,倾斜角越来越大,但斜率并不一定随倾斜角的增大而增大.
应用(四) 求函数的最值
[例4] 已知实数x,y满足y=x2﹣2x+2(﹣1≤x≤1),试求eq \f(y+3,x+2)的最大值和最小值.
[解] 如图,作出y=x2﹣2x+2(﹣1≤x≤1)的图象(曲线段AB),则eq \f(y+3,x+2)表示定点P(﹣2,﹣3)和曲线段AB上任一点(x,y)的连线的斜率k,连接PA,PB,则kPA≤k≤kPB.
易得A(1,1),B(﹣1,5),所以kPA=eq \f(1--3,1--2)=eq \f(4,3),kPB=eq \f(5--3,-1--2)=8,
所以eq \f(4,3)≤k≤8,故eq \f(y+3,x+2)的最大值是8,最小值是eq \f(4,3).
[名师微点]
巧妙利用斜率公式,借助数形结合思想直观求解,能收到事半功倍的效果,此题还可利用代数的方法求解.
应用(五) 证明不等式
[例5] 已知00.求证:eq \f(a+p,b+p)>eq \f(a,b).
[证明]
设A(b,a),因为0又p>0,所以设点P(﹣p,﹣p)在第三象限,且在直线y=x上.
因为kOA=eq \f(a,b),kPA=eq \f(a+p,b+p),由图可知kPA>kOA,所以eq \f(a+p,b+p)>eq \f(a,b).
[名师微点]
观察不等式的两边,都可构造与斜率公式类似的结构.eq \f(a+p,b+p)=eq \f(a--p,b--p)的几何意义就是点(b,a)与点(﹣p,﹣p)的连线的斜率,eq \f(a,b)可看成(b,a)与原点O(0,0)的连线的斜率.
eq \a\vs4\al([课时跟踪检测])
一、基础练——练手感熟练度
1.直线l的方程为 eq \r(3)x+3y﹣1=0,则直线l的倾斜角为( )
A.150° B.120° C.60° D.30°
解析:选A 由直线l的方程为eq \r(3)x+3y﹣1=0可得直线l的斜率为k=﹣eq \f(\r(3),3),设直线l的倾斜角为α(0°≤α<180°),则tan α=﹣eq \f(\r(3),3),所以α=150°.故选A.
2.过点A(0,2)且倾斜角的正弦值是eq \f(3,5)的直线方程为( )
A.3x﹣5y+10=0 B.3x﹣4y+8=0
C.3x+4y+10=0 D.3x﹣4y+8=0或3x+4y﹣8=0
解析:选D 设所求直线的倾斜角为α,则sin α=eq \f(3,5),∴tan α=±eq \f(3,4),∴所求直线方程为y=±eq \f(3,4)x+2,即为3x﹣4y+8=0或3x+4y﹣8=0.故选D.
3.在同一平面直角坐标系中,直线l1:ax+y+b=0和直线l2:bx+y+a=0有可能是( )
解析:选B 由题意l1:y=﹣ax﹣b,l2:y=﹣bx﹣a,当a>0,b>0时,﹣a<0,﹣b<0.选项B符合.
4.已知直线l的斜率为eq \r(3),在y轴上的截距为另一条直线x﹣2y﹣4=0的斜率的倒数,则直线l的方程为( )
A.y=eq \r(3)x+2 B.y=eq \r(3)x﹣2 C.y=eq \r(3)x+eq \f(1,2) D.y=﹣eq \r(3)x+2
解析:选A ∵直线x﹣2y﹣4=0的斜率为eq \f(1,2),∴直线l在y轴上的截距为2,
∴直线l的方程为y=eq \r(3)x+2,故选A.
5.已知直线l经过A(2,1),B(1,m2)两点(m∈R),那么直线l的倾斜角的取值范围是( )
A.[0,π) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0,\f(π,4)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2),π)) C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0,\f(π,4))) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4),\f(π,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2),π))
解析:选B 直线l的斜率k=eq \f(1-m2,2-1)=1﹣m2,因为m∈R,所以k∈(﹣∞,1],
所以直线的倾斜角的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0,\f(π,4)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2),π)).
6.已知e是自然对数的底数,函数f(x)=(x﹣1)ex+3e的图象在点(1,f(1))处的切线为l,则直线l的横截距为________.
解析:因为f′(x)=ex+(x﹣1)ex=xex,所以切线l的斜率为f′(1)=e,由f(1)=3e知切点坐标为(1,3e),所以切线l的方程为y﹣3e=e(x﹣1).令y=0,解得x=﹣2,故直线l的横截距为﹣2.
答案:﹣2
二、综合练——练思维敏锐度
1.已知三点A(2,﹣3),B(4,3),Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5,\f(k,2)))在同一条直线上,则k的值为( )
A.12 B.9 C.﹣12 D.9或12
解析:选A 由kAB=kAC,得eq \f(3--3,4-2)=eq \f(\f(k,2)--3,5-2),解得k=12.故选A.
2.若直线l与直线y=1,x=7分别交于点P,Q,且线段PQ的中点坐标为(1,﹣1),则直线l的斜率为( )
A.eq \f(1,3) B.﹣eq \f(1,3) C.﹣eq \f(3,2) D.eq \f(2,3)
解析:选B 依题意,设点P(a,1),Q(7,b),则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a+7=2,,b+1=-2,))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a=-5,,b=-3,))
从而可知直线l的斜率为eq \f(-3-1,7+5)=﹣eq \f(1,3).故选B.
3.过点(2,1)且倾斜角比直线y=﹣x﹣1的倾斜角小eq \f(π,4)的直线方程是( )
A.x=2 B.y=1 C.x=1 D.y=2
解析:选A ∵直线y=﹣x﹣1的斜率为﹣1,则倾斜角为eq \f(3π,4),依题意,所求直线的倾斜角为eq \f(3π,4)﹣eq \f(π,4)=eq \f(π,2),
∴斜率不存在,∴过点(2,1)的直线方程为x=2.
4.若k,﹣1,b三个数成等差数列,则直线y=kx+b必经过定点( )
A.(1,﹣2) B.(1,2) C.(﹣1,2) D.(﹣1,﹣2)
解析:选A 因为k,﹣1,b三个数成等差数列,所以k+b=﹣2,即b=﹣2﹣k,
于是直线方程化为y=kx﹣k﹣2,即y+2=k(x﹣1),故直线必过定点(1,﹣2).
5.数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点A(2,0),B(0,4),且AC=BC,则△ABC的欧拉线的方程为( )
A.x+2y+3=0 B.2x+y+3=0
C.x﹣2y+3=0 D.2x﹣y+3=0
解析:选C 因为AC=BC,所以欧拉线为AB的中垂线,又A(2,0),B(0,4),故AB的中点为(1,2),kAB=﹣2,故AB的中垂线方程为y﹣2=eq \f(1,2)(x﹣1),即x﹣2y+3=0,故选C.
6.直线l经过点A(1,2),在x轴上的截距的取值范围是(﹣3,3),则其斜率k的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-1,\f(1,5))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-1,\f(1,2))) C.(﹣∞,﹣1)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5),+∞)) D.(﹣∞,﹣1)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2),+∞))
解析:选D 设直线的斜率为k,则直线方程为y﹣2=k(x﹣1),直线在x轴上的截距为1﹣eq \f(2,k).
令﹣3<1﹣eq \f(2,k)<3,解不等式得k<﹣1或k>eq \f(1,2).
7.若直线x﹣2y+b=0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1,那么b的取值范围是( )
A.[﹣2,2] B.(﹣∞,﹣2]∪[2,+∞)
C.[﹣2,0)∪(0,2] D.(﹣∞,+∞)
解析:选C 令x=0,得y=eq \f(b,2),令y=0,得x=﹣b,
所以所求三角形面积为eq \f(1,2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(b,2)))|﹣b|=eq \f(1,4)b2,且b≠0,
因为eq \f(1,4)b2≤1,所以b2≤4,所以b的取值范围是[﹣2,0)∪(0,2].
8.(多选)已知直线l:mx+y+1=0,A(1,0),B(3,1),则下列结论正确的是( )
A.直线l恒过定点(0,1)
B.当m=0时,直线l的斜率不存在
C.当m=1时,直线l的倾斜角为eq \f(3π,4)
D.当m=2时,直线l与直线AB垂直
解析:选CD 直线l:mx+y+1=0,故x=0时,y=﹣1,故直线l恒过定点(0,﹣1),选项A错误;
当m=0时,直线l:y+1=0,斜率k=0,故选项B错误;
当m=1时,直线l:x+y+1=0,斜率k=﹣1,故倾斜角为eq \f(3π,4),选项C正确;
当m=2时,直线l:2x+y+1=0,斜率k=﹣2,kAB=eq \f(1-0,3-1)=eq \f(1,2),故k·kAB=﹣1,
故直线l与直线AB垂直,选项D正确.
9.设点A(﹣2,3),B(3,2),若直线ax+y+2=0与线段 AB没有交点,则a的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(-∞,-\f(5,2)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3),+∞)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(4,3),\f(5,2)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(-\f(5,2),\f(4,3))) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(-∞,-\f(4,3)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2),+∞))
解析:选B 易知直线ax+y+2=0恒过点M(0,﹣2),且斜率为﹣a.
因为kMA=eq \f(3--2,-2-0)=﹣eq \f(5,2),kMB=eq \f(2--2,3-0)=eq \f(4,3),
由图可知﹣a>﹣eq \f(5,2)且﹣a<eq \f(4,3),所以a∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(4,3),\f(5,2))).
10.直线(a﹣1)x+y﹣a﹣3=0(a>1),当此直线在x,y轴上的截距和最小时,实数a的值是( )
A.1 B.eq \r(2) C.2 D.3
解析:选D 当x=0时,y=a+3,当y=0时,x=eq \f(a+3,a-1),令t=a+3+eq \f(a+3,a-1)=5+(a﹣1)+eq \f(4,a-1).
因为a>1,所以a﹣1>0.所以t≥5+2 eq \r(a-1·\f(4,a-1))=9.当且仅当a﹣1=eq \f(4,a-1),
即a=3时,等号成立.
11.过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-2,4))且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的一般方程为____________________.
解析:①当在坐标轴上截距为0时,所求直线方程为y=﹣2x,即2x+y=0;
②当在坐标轴上截距不为0时,∵在坐标轴上截距互为相反数,∴设x﹣y=a,
将A(﹣2,4)代入得,a=﹣6,∴此时所求的直线方程为x﹣y+6=0.
答案:2x+y=0或 x﹣y+6=0
12.已知三角形的三个顶点A(﹣5,0),B(3,﹣3),C(0,2),则BC边上中线所在的直线方程为____________.
解析:由已知,得BC的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2),-\f(1,2))),且直线BC边上的中线过点A,则BC边上中线的斜率k=﹣eq \f(1,13),故BC边上的中线所在直线方程为y+eq \f(1,2)=﹣eq \f(1,13)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x-\f(3,2))),即x+13y+5=0.
答案:x+13y+5=0
13.曲线y=x3﹣x+5上各点处的切线的倾斜角的取值范围为____________.
解析:记曲线上点P处的切线的倾斜角是θ,因为y′=3x2﹣1≥﹣1,所以tan θ≥﹣1,
所以θ为钝角时,应有θ∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4),π));θ为锐角时,tan θ≥﹣1显然成立.
综上,θ的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(π,2)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4),π)).答案:eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(π,2)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4),π))
14.若过点P(1﹣a,1+a)与Q(4,2a)的直线的倾斜角为钝角,且m=3a2﹣4a,则实数m的取值范围是________.
解析:设直线的倾斜角为α,斜率为k,则k=tan α=eq \f(2a-1+a,4-1-a)=eq \f(a-1,a+3),又α为钝角,所以eq \f(a-1,a+3)<0,
即(a﹣1)·(a+3)<0,故﹣3所以3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2﹣4×eq \f(2,3)≤m<3×(﹣3)2﹣4×(﹣3),所以实数m的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(4,3),39)).
答案:eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(4,3),39))
15.菱形ABCD的顶点A,C的坐标分别为A(﹣4,7),C(6,﹣5),BC边所在直线过点P(8,﹣1).求:
(1)AD边所在直线的方程;
(2)对角线BD所在直线的方程.
解:(1)kBC=eq \f(-5--1,6-8)=2,
∵AD∥BC,∴kAD=2.∴AD边所在直线的方程为y﹣7=2(x+4),
即2x﹣y+15=0.
(2)kAC=eq \f(-5-7,6--4)=﹣eq \f(6,5).∵菱形的对角线互相垂直,∴BD⊥AC,∴kBD=eq \f(5,6).
∵AC的中点(1,1)也是BD的中点,
∴对角线BD所在直线的方程为y﹣1=eq \f(5,6)(x﹣1),即5x﹣6y+1=0.
16.过点P(2,1)作直线l,与x轴和y轴的正半轴分别交于A,B两点,求:
(1)△AOB面积的最小值及此时直线l的方程;
(2)求直线l在两坐标轴上截距之和的最小值及此时直线l的方程;
(3)求|PA|·|PB|的最小值及此直线l的方程.
解:(1)设直线l的方程为y﹣1=k(x﹣2),则可得Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2k-1,k),0)),B(0,1﹣2k).
∵与x轴,y轴正半轴分别交于A,B两点,∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2k-1,k)>0,,1-2k>0))⇒k<0.
于是S△AOB=eq \f(1,2)·|OA|·|OB|=eq \f(1,2)·eq \f(2k-1,k)·(1﹣2k)=eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4-\f(1,k)-4k))≥eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(4+2 \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(1,R)))·-4k)))=4.
当且仅当﹣eq \f(1,k)=﹣4k,即k=﹣eq \f(1,2)时,△AOB面积有最小值为4,此时,直线l的方程为y﹣1=﹣eq \f(1,2)(x﹣2),即x+2y﹣4=0.
(2)∵Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2k-1,k),0)),B(0,1﹣2k)(k<0),
∴截距之和为eq \f(2k-1,k)+1﹣2k=3﹣2k﹣eq \f(1,k)≥3+2 eq \r(-2k·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(1,k))))=3+2eq \r(2).
当且仅当﹣2k=﹣eq \f(1,k),即k=﹣eq \f(\r(2),2)时,等号成立.
故截距之和最小值为3+2eq \r(2),此时l的方程为y﹣1=﹣eq \f(\r(2),2)(x﹣2),即eq \r(2)x+2y﹣2﹣2eq \r(2)=0.
(3)∵Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2k-1,k),0)),B(0,1﹣2k)(k<0),
∴|PA|·|PB|= eq \r(\f(1,k2)+1)·eq \r(4+4k2)= eq \r(\f(4,k2)+4k2+8)≥ eq \r(2·\r(\f(4,k2)·4k2)+8)=4.
当且仅当eq \f(4,k2)=4k2,即k=﹣1时上式等号成立,
故|PA|·|PB|最小值为4,此时,直线l的方程为x+y﹣3=0.直线的倾斜角
直线的斜率
定
义
当直线l与x轴相交时,我们取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0°
当直线l的倾斜角α≠eq \f(π,2)时,其倾斜角α的正切值tan α叫做这条直线的斜率,斜率通常用小写字母k表示,即k=tan_α;经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为kP1P2=eq \f(y2-y1,x2-x1)
区
别
直线l垂直于x轴时,直线l的倾斜角是90°;倾斜角的取值范围为[0,π)
直线l垂直于x轴时,直线l的斜率不存在;斜率k的取值范围为R
联
系
(1)当直线不垂直于x轴时,直线的斜率和直线的倾斜角为一一对应关系;
(2)当直线l的倾斜角α∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(π,2)))时,α越大,直线l的斜率越大;当α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2),π))时,α越大,直线l的斜率越大
形式
几何条件
方程
适用范围
点斜式
过一点(x0,y0),斜率k
y﹣y0=k(x﹣x0)
与x轴不垂直的直线
斜截式
纵截距b,斜率k
y=kx+b
与x轴不垂直的直线
两点式
过两点(x1,y1),(x2,y2)
eq \f(y-y1,y2-y1)=eq \f(x-x1,x2-x1)
与x轴、y轴均不垂直的直线
截距式
横截距a,纵截距b
eq \f(x,a)+eq \f(y,b)=1
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
Ax+By+C=0,A2+B2≠0
平面直角坐标系内所有直线
数形
结合法
作出直线在平面直角坐标系中可能的位置,借助图形,结合正切函数的单调性确定
函数
图象法
根据正切函数图象,由倾斜角范围求斜率范围,反之亦可
直接法
根据已知条件,选择适当的直线方程形式,直接写出直线方程
待定
系数法
①设所求直线方程的某种形式;
②由条件建立所求参数的方程(组);
③解这个方程(组)求出参数;
④把参数的值代入所设直线方程
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