2023-2024年新高考数学一轮复习培优教案4.2《同角三角函数的基本关系与诱导公式》 (2份打包，原卷版+教师版)

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1.利用同角三角函数基本关系式解决条件求值问题，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．
2．把诱导公式与同角三角函数基本关系综合考查，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．
[理清主干知识]
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cs2α＝1(α∈R)．
(2)商数关系：tan α＝eq \f(sin α,cs α)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).
2．三角函数的诱导公式
[澄清盲点误点]
一、关键点练明
1．若sin α＝eq \f(\r(5),5)，eq \f(π,2)<α<π，则cs α等于( )
A.eq \f(\r(5),5) B．－eq \f(\r(5),5) C．－eq \f(2\r(5),5) D.eq \f(2\r(5),5)
2．已知tan α＝2，则eq \f(sin α＋cs α,sin α－cs α)的值为________．
3．化简eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)π＋α)))·sin(α－π)·cs(2π－α)的结果为________．
二、易错点练清
1．已知α是第二象限角，sin α＝eq \f(5,13)，则cs α等于( )
A．－eq \f(12,13) B．－eq \f(5,13) C.eq \f(5,13) D.eq \f(12,13)
2．计算下列各式的值：
(1)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(31π,4)))＝________，(2)taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(26π,3)))＝________.
3．已知A＝eq \f(sinkπ＋α,sin α)＋eq \f(cskπ＋α,cs α)(k∈Z)，则A的值构成的集合是________．
考点一 同角三角函数的基本关系
考法(一) 知弦求弦、切或知切求弦
[例1] (1)设cs(－80°)＝k，那么tan 100°等于( )
A.eq \f(\r(1－k2),k) B．－eq \f(\r(1－k2),k) C.eq \f(k,\r(1－k2)) D．－eq \f(k,\r(1－k2))
(2)若sin α＝－eq \f(5,13)，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )
A.eq \f(12,5) B．－eq \f(12,5) C.eq \f(5,12) D．－eq \f(5,12)
[方法技巧]
考法(二) 知切求f(sin α、cs α)的值
[例2] (1)已知tan(3π＋α)＝3，则eq \f(3sin α－cs α,2sin α＋3cs α)＝( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(8,9) C.eq \f(2,3) D．2
(2)已知0<α[方法技巧]
“切弦互化”的技巧
(1)弦化切：把正弦、余弦化成切的结构形式，统一为“切”的表达式，进行求值．常见的结构有：
①sin α，cs α的二次齐次式(如asin2α＋bsin αcs α＋ccs2α)的问题常采用“切”代换法求解；
②sin α，cs α的齐次分式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(如\f(asin α＋bcs α,csin α＋dcs α)))的问题常采用分式的基本性质进行变形．
(2)切化弦：利用公式tan α＝eq \f(sin α,cs α)，把式子中的切化成弦．一般单独出现正切的时候，采用此技巧．
[提醒] 知弦求弦、切或知切求弦时要注意判断角所在的象限，不要弄错切、弦的符号．
考法(三) sin α±cs α与sin αcs α关系的应用
[例3] (1)已知sin αcs α＝eq \f(3,8)，且eq \f(π,4)<αA.eq \f(1,2) B．±eq \f(1,2) C．－eq \f(1,4) D．－eq \f(1,2)
(2)(多选)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cs θ＝eq \f(1,5)，则下列结论正确的是( )
A．sin θ＝eq \f(4,5) B．cs θ＝－eq \f(3,5) C．tan θ＝－eq \f(3,4) D．sin θ－cs θ＝eq \f(7,5)
[方法技巧]
正弦、余弦“sin α±cs α，sin α·cs α”的应用
sin α±cs α与sin α·cs α通过平方关系联系到一起，即(sin α±cs α)2＝1±2sin αcs α，sin αcs α＝eq \f(sin α＋cs α2－1,2)，sin αcs α＝eq \f(1－sin α－cs α2,2).因此在解题中已知1个可求另外2个．
[针对训练]
1．已知α∈(0，π)，cs α＝－eq \f(3,5)，则tan α＝( )
A.eq \f(3,4) B．－eq \f(3,4) C.eq \f(4,3) D．－eq \f(4,3)
2．若tan α＝eq \f(3,4)，则cs2α＋2sin 2α等于( )
A.eq \f(64,25) B.eq \f(48,25) C．1 D.eq \f(16,25)
3．已知sin α，cs α是方程3x2－2x＋a＝0的两个根，则实数a的值为( )
A.eq \f(5,6) B．－eq \f(5,6) C.eq \f(4,3) D.eq \f(3,4)
考点二 三角函数的诱导公式
[典例] (1)设f(α)＝eq \f(2sinπ＋αcsπ－α－csπ＋α,1＋sin2α＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)))(1＋2sin α≠0)，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(23π,6)))＝________.
(2)已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－θ))＝a，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)＋θ))＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－θ))的值是________．
[方法技巧]
应用诱导公式化简求值的常见问题及注意事项
(1)已知角求值问题．关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解．转化过程中注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的应用．
(2)对给定的式子进行化简或求值问题．要注意给定的角之间存在的特定关系，充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化．特别要注意每一个角所在的象限，防止符号及三角函数名出错．
[针对训练]
1．sin 570°的值是( )
A．－eq \f(1,2) B.eq \f(1,2) C.eq \f(\r(3),2) D．－eq \f(\r(3),2)
2．已知sin(π＋α)＝－eq \f(1,3)，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝( )
A．2eq \r(2) B．－2eq \r(2) C.eq \f(\r(2),4) D．±2eq \r(2)
3．已知f(α)＝eq \f(\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))tanπ＋α－csπ－α))2－1,4sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,2)＋α))＋cs3π－α＋cs2π－α) .
(1)化简f(α)；
(2)若－eq \f(π,3)<α创新思维角度——融会贯通学妙法
勾股数与同角三角函数基本关系
同角三角函数基本关系主要研究平方关系与商数关系，在三角函数求值中，出现频率较高的勾股数有以下几组：(3,4，5)，(5,12,13)，(7,24,25)，(8,15,17)，(1,1，eq \r(2))，(1，eq \r(3)，2)，(1,2，eq \r(5))，(1,3，eq \r(10))等，熟悉它们之间的关系，能快速解决选填小题．
1．已知tan α＝eq \f(3,4)，sin α<0，则cs α＝( )
A.eq \f(3,5) B．－eq \f(3,5) C.eq \f(4,5) D．－eq \f(4,5)
2．已知α是第四象限角，sin α＝－eq \f(12,13)，则tan α等于( )
A．－eq \f(5,13) B.eq \f(5,13) C．－eq \f(12,5) D.eq \f(12,5)
3．已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝eq \f(\r(3),2)，且|α|＜eq \f(π,2)，则tan α＝( )
A．－eq \f(\r(3),3) B.eq \f(\r(3),3) C．－eq \r(3) D.eq \r(3)
eq \a\vs4\al([课时跟踪检测])
一、基础练——练手感熟练度
1．已知x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，cs x＝eq \f(4,5)，则tan x的值为( )
A.eq \f(3,4) B．－eq \f(3,4) C.eq \f(4,3) D．－eq \f(4,3)
2．若eq \f(sinπ－θ＋csθ－2π,sin θ＋csπ＋θ)＝eq \f(1,2)，则tan θ＝( )
A．1 B．－1 C．3 D．－3
3．若tan α＝eq \f(1,2)，则sin4α－cs4α的值为( )
A．－eq \f(1,5) B.eq \f(1,5) C.eq \f(3,5) D．－eq \f(3,5)
4．(多选)在△ABC中，下列关系恒成立的是( )
A．tan(A＋B)＝tan C B．cs(2A＋2B)＝cs 2C
C．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(A＋B,2)))＝sineq \f(C,2) D．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(A＋B,2)))＝cseq \f(C,2)
5．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))＝eq \f(1,3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))的值是( )
A．－eq \f(1,3) B.eq \f(1,3) C.eq \f(2\r(2),3) D．－eq \f(2\r(2),3)
6．若θ是三角形的一个内角，且tan θ＝－eq \f(4,3)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－θ))＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))＝( )
A.eq \f(1,5) B．－eq \f(1,5) C.eq \f(7,5) D．－eq \f(7,5)
二、综合练——练思维敏锐度
1．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,12)))＝eq \f(1,3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(17π,12)))等于( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(2\r(2),3) C．－eq \f(1,3) D．－eq \f(2\r(2),3)
2．若θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，则 eq \r(1－2sinπ＋θsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－θ)))等于( )
A．sin θ－cs θ B．cs θ－sin θ
C．±(sin θ－cs θ) D．sin θ＋cs θ
3．已知α∈(0，π)，且cs α＝－eq \f(15,17)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))·tan(π＋α)＝( )
A.eq \f(15,17) B.eq \f(15,17) C．－eq \f(8,17) D.eq \f(8,17)
4．已知2sin α－cs α＝0，则sin2α－2sin αcs α的值为( )
A．－eq \f(3,5) B．－eq \f(12,5) C.eq \f(3,5) D.eq \f(12,5)
5．在平面坐标系xOy中，点P(eq \r(3)，1)，将向量eq \(OP,\s\up7(―→))绕点O按逆时针方向旋转eq \f(π,2)后得到向量eq \(OQ,\s\up7(―→))，则点Q的坐标是( )
A．(－eq \r(2)，1) B．(－1，eq \r(2)) C．(－eq \r(3)，1) D．(－1，eq \r(3))
6．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cs 2α＝eq \f(2,3)，则|a－b|＝( )
A.eq \f(1,5) B.eq \f(\r(5),5) C.eq \f(2\r(5),5) D．1
7．若sin θ，cs θ是方程4x2＋2mx＋m＝0的两根，则m的值为( )
A．1＋eq \r(5) B．1－eq \r(5) C．1±eq \r(5) D．－1－eq \r(5)
8．(多选)定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ＝eq \f(π,2)，则称θ与φ“广义互余”．已知sin(π＋α)＝－eq \f(1,4)，下列角β中，可能与角α“广义互余”的是( )
A．sin β＝eq \f(\r(15),4) B．cs(π＋β)＝eq \f(1,4) C．tan β＝eq \r(15) D．tan β＝eq \f(\r(15),5)
9．在△ABC中，若tan A＝eq \f(\r(2),3)，则sin A＝________.
10．已知α为第二象限角，则cs αeq \r(1＋tan2α)＋sin α eq \r(1＋\f(1,tan2α))＝________.
11．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)－α))·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7π,2)＋α))＝eq \f(12,25)，且0<α12．已知cs α－sin α＝eq \f(5\r(2),13)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4))).
(1)求sin αcs α的值；
(2)求eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2α)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α)))的值．
组数
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
eq \f(π,2)－α
eq \f(π,2)＋α
正弦
sin α
－sin_α
－sin_α
sin_α
cs_α
cs_α
余弦
cs α
－cs_α
cs_α
－cs_α
sin_α
－sin_α
正切
tan α
tan_α
－tan_α
－tan_α
知弦求弦
利用诱导公式及平方关系sin2α＋cs2α＝1求解
知弦求切
常通过平方关系，与对称式sin α±cs α，sin α·cs α建立联系，注意tan α＝eq \f(sin α,cs α)的灵活应用
知切求弦
先利用商数关系得出sin α＝tan α·cs α或cs α＝eq \f(sin α,tan α)，然后利用平方关系求解