上海市徐汇区2024届高三上学期一模数学试卷

这是一份上海市徐汇区2024届高三上学期一模数学试卷，共13页。试卷主要包含了12等内容，欢迎下载使用。

2023.12
考生注意：
本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分.
每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，答卷前，在答题卷上填写姓名、考号等
相关信息.
所有作答务必填涂在答题卷上与试卷题号对应的区域，不得错位，在试卷上作答一律
不得分.
4. 用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1．已知全集，集合，则________________．
2. 不等式的解集是_____________.
3. 已知直线经过点，则直线倾斜角的大小为_______________．
4. 若实数满足，则的最小值为______________.
5. 某学校组织全校学生参加网络安全知识竞赛，成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为，若该校的学生总人数为1000，则成绩低于60分的学生人数为_________.
6. 函数的零点是______________.
7. 已知，则___________.
8. 要排出高一某班一天上午5节课的课表，其中语文、数学、英语、艺术、体育各一节，若要求语文、数学选一门第一节课上，且艺术、体育不相邻上课，则不同的排法种数是___________.
9. 在中，，为边上的点，且，设，则=___________.
10. 某建筑物内一个水平直角型过道如图所示，两过道的宽度均为米，有一个水平截面为矩形的设备需要水平通过直角型过道.若该设备水平截面矩形的宽为米，则该设备能水平通过直角型过道的长不超过______________米．
11. 已知一个棱长为a的正方体木块可以在一个封闭的圆锥形容器内任意转动，若圆锥的底面半径为3，母线长为6，则实数a的最大值为______________ .
12. 已知函数，其中，存在实数 使得 成立，若正整数的最大值为8，则实数的取值范围是________．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13. 设，则“中至少有一个虚数”是“为虚数”的( )
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件
14. 跳水比赛共有7位评委分别给出某选手的原始评分,评定该选手的成绩时,从7个原始评分中去掉1个最高分和1个最低分,得到5个有效评分.5个有效评分与7个原始评分相比,一定不变的数字特征是 ( )
A.中位数 B.平均数 C.方差 D.极差
15. 已知集合，若对于任意，总存在与之相应的（其中），使得成立，则称集合是“集合”. 下列选项为“集合”的是( )
B．
C． D．
已知数列为无穷数列．若存在正整数，使得对任意的正整数，均有，则称数列为“阶弱减数列”．有以下两个命题：①数列为无穷数列且（为正整数），则数列是“阶弱减数列”的充要条件是；②数列为无穷数列且（为正整数），若存在，使得数列是“阶弱减数列”，则．那么( )
A．①是真命题，②是假命题B．①是假命题，②是真命题
C．①､②都是真命题D．①､②都是假命题
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知等差数列的前项和为，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若等比数列的公比为，且满足，求数列的前项和.
18. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
如图，某多面体的底面为正方形， ，，，，.
（1）求四棱锥的体积；
（2）求二面角的平面角的正弦值.

19. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
2023年杭州亚运会首次启用机器狗搬运赛场上的运动装备. 如图所示，在某项运动赛事扇形场地中，，米，点是弧的中点，为线段上一点（不与点，重合）.为方便机器狗运输装备，现需在场地中铺设三条轨道，，.记，三条轨道的总长度为米．
（1）将表示成的函数，并写出的取值范围；
（2）当三条轨道的总长度最小时，求轨道的长．
20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知双曲线的离心率为.
（1）若，且双曲线经过点，求双曲线的方程；
（2）若，双曲线的左、右焦点分别为，焦点到双曲线的渐近线的距离为，
点在第一象限且在双曲线上，若=8，求的值；
（3）设圆，. 若动直线与圆相切，且与双曲线 交于时，总有，求双曲线离心率的取值范围．
21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
若函数的导函数是以为周期的函数，则称函数具有“性质”.
（1）试判断函数和是否具有“性质”，并说明理由；
（2）已知函数，其中具有“性质”，求函数在上的极小值点；
（3）若函数具有“性质”，且存在实数使得对任意
，求证：为周期函数.
（可用结论：若函数的导函数满足，则.）
参考答案及评分标准
2023.12
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1． 2 . 3. 4.
5. 300 6. 7. 8.
9. 10. 11. 2 12.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13. B 14. A 15. D 16. C
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
解：（1）设等差数列的公差为，又因为，且，
所以，故.
所以.
（2）由（1）可知，，又，所以.
因为，可得，
所以，
.
18. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
解：（1）因为 ，//，所以，
因为，， 所以平面.
.
（2）因为四边形为正方形，所以，又，.
所以如图，建立空间直角坐标系，
则，，，，.
设平面的法向量为，则
即
令，则，.于是.所以，平面的一个法向量为.
平面的一个法向量为，
设二面角的平面角为，所以.
所以，二面角的平面角的正弦值为.
19. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
解：（1）因为点是弧的中点，由对称性，知，，
又，，
由正弦定理，得，
.
因为，所以，，
所以.
（2）法一：由（1）得：，．
记，则，由辅助角公式可得：，解得，当时，可有，等号可以取得．
故当时，三条轨道的总长度最小，此时．
法二：由（1）得：，．
记，，则由万能置换公式可得：
，当且仅当即时等号成立．
故当，三条轨道的总长度最小，此时．
法三：令，.
由，解得，则有
所以当，即米时，有唯一的极小值，即是最小值，
则，三条轨道的最小值为.
故当时，三条轨道的总长度最小，此时．
20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
解：（1）由，得，又得,
又双曲线经过点，有，所以,
所以，双曲线方程为.
（2）由已知得，渐近线方程为，焦点坐标为
焦点到双曲线的渐近线的距离为，所以，
由双曲线定义知，，
.
（3）因为直线与圆相切，且，则圆心到直线的距离为，化简得,
又
则，（*）
联立，
则代入（*）
得
将代入，进一步化简得，
又，，
则，所以，离心率的取值范围.
21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
解：（1）不具有“性质”.理由是：；
具有“性质”.理由是：.
（2）法一：，
由可得对恒成立．
令，得 ①；令，得 ②．
得，因此，从而恒成立，
即有．
由得，所以，当时，令可得，列表如下：
函数在的极小值点为.
法二：,
,
（下同法一）.
（3）令，因为具有“T”性质
法一：
若，是以为周期的周期函数；
若，由，
当时，，这与矛盾，舍去；
若，由，
当时，，这与矛盾，舍去．
综上，.，所以是周期函数.
法二：
当时，，所以是周期函数.
当时，不妨令，记，其中表示不大于的最大整数．（同理可证）
若存在，这.
这与矛盾.
若存在，这.
这与矛盾.
若不存在，使得或，则，此时与矛盾，故舍去.
综上，.，所以是周期函数.
严格减
极小值
严格增
x
+
0
0
+
极大值
极小值