河南省名校联盟2021-2022学年高三上学期期末文科数学试题

这是一份河南省名校联盟2021-2022学年高三上学期期末文科数学试题，共9页。试卷主要包含了函数的图象大致是，已知向量的夹角为，，若，则，已知某种产品的销售成本等内容，欢迎下载使用。

考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
3．记等差数列的前项和为，已知，则（ ）
A．28B．30C．32D．36
4．某新冠疫苗接种点为了解1000名60～70岁老人接种后的身体反应情况，先将这些老人编号为1，2，…，1000，再从这些老人中用系统抽样方法等距抽取100名老人进行回访调查，若97号老人被抽到，则被抽到的老人中编号按从小到大的顺序排在第63位的是（ ）
A．267B．627C．637D．717
5．函数的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
6．已知向量的夹角为，，若，则（ ）
A．3B．C．2D．
7．已知函数的最小正周期为，且为的最小值，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知某种产品的销售成本（元）与该产品的数量（百件）近似满足函数模型（为常数），当生产40百件该产品时，销售成本为2850元．若该产品的销售成本减少为原来的，则该产品的数量与原来相比大约减少了（ ）百件．（参考数据：）
A．6B．8C．9D．12
9．已知椭圆的左、右焦点分别为，点为椭圆上一点，若且，则（ ）
A．B．C．2D．
10．已知正方体的棱长为2，分别是棱，的中点，是底面内（包括边界）的动点，平面，则的最小值为（ ）
A．2B．C．D．
11．已知双曲线的离心率为，分别是它的两条渐近线上的两点（不与原点重合），的外心为，面积为12，若双曲线经过点，则该双曲线的实轴长为（ ）
A．B．C．D．
12．已知，则函数在上的零点的个数为（ ）
A．3B．2C．1D．0
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知正项等比数列的前项和为，公比为，则______．
14．若实数满足约束条件则的最大值为______．
15．已知，则的值是______．
16．三棱锥的四个顶点都在球的表面上，线段是球的直径，，三棱锥的体积为，则球的表面积为______．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（12分）
如图所示，在平面四边形中，，且．
（Ⅰ）求的长；
（Ⅱ）若，求四边形的面积．
18．（12分）
某国家队要从男子短道速滑1500米的两名种子选手甲、乙中选派一人参加2022年的北京冬季奥运会，他们近期六次训练成绩如下表：
（Ⅰ）分别计算甲、乙两人这六次训练的平均成绩，偏优均差；
（Ⅱ）若，则称甲、乙这次训练的水平相当，现从这六次训练中随机抽取3次，求有两次甲、乙水平相当的概率．
注：若数据中的最优数据为，定义为偏优均差．本题中的最优数据即最短时间．
19．（12分）
如图，在四嘜柱中，底面为正方形，为线段的中点，底面，．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若，求四棱锥的体积．
20．（12分）
已知动直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，且点在轴上方．
（Ⅰ）若，求的方程；
（Ⅱ）设点是轴上的定点，若变化时，总在以为直径的圆外，求的取值范围．
21．（12分）
已知函数．
（Ⅰ）若的图象在点处的切线平行于轴，求的单调区间；
（Ⅱ）若当时，恒成立，求实数的取值范围．
（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．［选修4—4：坐标系与参数方程］（10分）
在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设与交于两点．
（Ⅰ）求与的极坐标方程；
（Ⅱ）求的取值范围．
23．［选修4—5：不等式选讲］（10分）
已知函数．
（Ⅰ）若，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若对任意的，总存在使成立，求实数的取值范围．
2021—2022学年高三年级上学期期末考试
文科数学・答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．
1．D2．C3．A4．B
5．B6．D7．A8．A
9．D10．C11．C12．B
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．214．115．16．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．解析 （Ⅰ）因为，所以．
在中，由余弦定理可得
，
所以．
（Ⅱ）设四边形的面积为，则．
因为．
在中，由余弦定理可得，
即，得，
所以，
故四边形的面积为．
18．解析 （Ⅰ）由题可知，
，
，
，
．
（Ⅱ）六次训练中只有第4，6次甲、乙水平相当，
从六次中任选三次的结果有，，共20种，
其中有两次甲、乙水平相当的结果有4种，
故所求概率．
19．解析 （Ⅰ）如图，连接．
因为底面为正方形，所以，
又，所以，
所以四边形为平行四边形，所以．
因为，所以为正三角形，，
又平面，平面，所以，
又为线段的中点，所以．
设，则，因为，所以为等腰直角三角形，
所以，所以．
（Ⅱ）由题可知．
由（Ⅰ）可知，在等腰直角三角形中，易知，
又平面，所以，
所以．
20．解析 （Ⅰ）由题意得，设直线的方程为，
联立方程得消去可得，
由根与系数的关系得．
因为，所以，有，
结合，解得，
所以，
的方程为．
（Ⅱ）以为直径的圆的圆心为，半径为，
因为点在该圆外，
所以，即对任意恒成立．
令．则
①，
解得；
②，解得，又，故．
综上所述，的取值范围是．
21．解析 （Ⅰ）由题可知，
则，
解得，所以在上单调递减．
又，所以当时，，当时，，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为．
（Ⅱ）等价于．
当时，式恒成立，
当时，式即．
设，则．
若，因为，所以单调递增，
所以，所以．
若，令，得．
若，即，则在上单调递增，
则，解得．
若，即，则当时，，当时，，所以在处取得最小值，且，解得．
综上所述，所求的的取值范围是．
22．解析 （Ⅰ）的直角坐标方程为，化为极坐标方程为．
将圆的参数方程变形为平方相加得，
化为极坐标方程为．
（Ⅱ）将代入圆的极坐标方程得．
设，则，
，解得．
所以．
所以的取值范围是．
23．解析 （Ⅰ），即，亦即，
等价于不等式组或或
解得或，故实数的取值范围是．
（Ⅱ）对任意的总存在，使成立，等价于．
因为，所以．
又，当且仅当时取等号，
所以．
由，解得，故所求实数的取值范围是．
次序（）
1
2
3
4
5
6
甲（秒）
142
140
139
138
141
140
乙（秒）
138
142
137
139
143
141