江苏省盐城市建湖县2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析）

这是一份江苏省盐城市建湖县2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．下列方程为一元二次方程的是（ ）
A．B．
C．D．
2．在平面直角坐标系中，以点为圆心，4为半径的圆（ ）
A．与x轴相切，与y轴相交B．与x轴相离，与y轴相交
C．与x轴相交，与y轴相切D．与x轴相切，与y轴相离
3．某快递公司快递员六月第三周投放快递物品件数为：有3天是20件，有1天是31件，有3天是35件，则本周的日平均投递物品件数为（ ）
A．31件B．30件C．29件D．28件
4．在六张卡片上分别写有6，，，，0，六个数，从中随机抽取一张，卡片上的数为无理数的概率是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，是的弦，半径，垂足为D，设的半径为5，，则的长为（ ）
A．4B．6C．8D．10
6．若关于x的一元二次方程的解是，，则关于y的方程的解为（ ）
A．－2B．2C．或2D．以上都不对
7．如图，在中，，，分别以A、B、C为圆心，2为半径画弧，3条弧与所围成的阴影部分的周长是（ ）
A．B．C．D．
8．如图是二次函数图象的一部分，且过点，二次函数图象的对称轴是直线，下列结论正确的是（ ）

A．B．C．D．
二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上）
9．关于的一元二次方程有一根为0，则 ．
10．将抛物线的图象向上平移3个单位，再向右平移2个单位的抛物线为 ．
11．线段AB是圆内接正十二边形的一条边，则AB边所对的圆周角是 °．
12．如图，点A、B、C在上，，连接BO并延长，交于点D，连接AC、DC、若，则的大小为 °．

13．设m、n为关于x的方程的两个实数根，则 ．
14．某天的体育课上，老师测量了班级同学的身高，恰巧小明今日请假没来，经过计算得知，除了小明外，该班其他同学身高的平均数为，方差为．第二天，小明来到学校，老师帮他补测了身高，发现他的身高也是，此时全班同学身高的方差为，那么a与b的大小关系是a b．（填“＜”，“＞”或“＝”）
15．某校“研学”活动小组在一次综合实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是57，则这种植物每个支干长出的小分支个数是 ．
16．如图，已知的半径是6，点A、B在上，且，动点C在上运动（不与A、B重合），点M为弦的中点，连接，则线段长度的最大值是 ．
三．解答题（本大题共有11小题，共102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．解下列方程：
(1)（用配方法）；
(2)．
18．已知：点P是外一点．
(1)尺规作图：如图，过点P作出的两条切线、，切点分别为点A、B．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）
(2)在（1）的条件下，若点C在上（点C不与A、B两点重合），且，则的度数为______°．
19．先化简，再求值：，其中x满足x2－2x－2=0.
20．有四根细木棒，它们的长度分别为3cm，3cm，4cm，6cm．
(1)从中任取两根，求长度恰好相等的概率．
(2)从中任取三根，恰好能搭成一个三角形的概率为______．
21．某校兴趣小组在学科实践活动中，从市场上销售的A，B两个品种的花生仁中各随机抽取30粒，测量其长轴长度，然后对测量数据进行了收集、整理和分析．下面是部分信息．

a．两种花生仁的长轴长度统计表：
b.两种花生仁的长轴长度的平均数、中位数、众数、方差如下：
根据以上信息，回答下列问题：
(1)兴趣小组的同学在进行抽样时，以下操作正确的是_________（填序号）；
①从数量足够多的两种花生仁中挑取颗粒大的各30粒；
②将数量足够多的两种花生仁分别放在两个不透明的袋子中，摇匀后从中各取出30粒；
(2)写出a，b，c的值；
(3)学校食堂准备从A，B两个品种的花生仁中选购一批做配菜食材，根据菜品质量要求，花生仁大小要均匀，那么兴趣小组应向食堂推荐选购_____（填“A”或“B”）品种花生仁，理由是_______________________
22．已知关于x的方程
(1)求证：无论k取何实数时，方程总有实数根；
(2)若等腰三角形ABC的一边，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求的周长．
23．如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，连接DO并延长交⊙O于点F，连接AF交CD于点G，CG =AG，连接AC．
(1)求证：AC∥DF；
(2)若AB = 12，求AC和GD的长．
24．某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，1月销售300个，2、3月这种台灯销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月的销售量达到432个，设2、3两个月的销售量月平均增长率不变．
(1)求2、3两个月的销售量月平均增长率；
(2)从4月起，在3月销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种台灯的售价每降价元，其销售量增加6个．这种台灯售价定为多少时，商场4月销售这种台灯获利2880元？
25．如图，是的直径，C是圆上一点，，垂足为E，交于点D，点P在延长线上，连接、，且．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若，，求点B到的距离．
26．对于抛物线．
(1)若抛物线过点，
①求顶点坐标；
②当时，直接写出的取值范围为_______；
(2)已知当时，，求和的值．
27．如图1，扇形中，，，点C在半径上，连接．把沿翻折，点O的对称点为点D．

(1)当点D刚好落在弧上，求弧的长；
(2)如图2，点D落在扇形内，的延长线与弧交于点E，过点D作，垂足为F，，求的长；
(3)若点D落在扇形外，与弧交于点E，过点D作，垂足为F，试探究与之间的数量关系．请直接写出你的结论为：______．
参考答案与解析
1．C
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义 “只含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程”，据此逐个判断即可，注意将各个方程进行整理化简后为一般式后，再去进行判断．
【详解】解：A、是一元一次方程，不符合题意；
B、不是等式，故不是一元二次方程，不符合题意；
C、整理为，是一元二次方程，符合题意；
D、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
故选：C．
2．A
【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系以及点到坐标轴的距离．由已知点可求该点到x轴，y轴的距离，再与半径比较，确定圆与坐标轴的位置关系．
【详解】解：点到x轴为4，等于半径4，
点到y轴的距离为2，小于半径4，
故该圆与x轴相切，与y轴相交，
故选：A．
3．D
【分析】本题考查了求平均数，先算出本周投递物品总件数，再除以7，即可求解．
【详解】解：根据题意可得：
（件），
故选：D．
4．C
【分析】本题主要考查了无理数的定义以及根据概率公式求概率，先确定无理数的个数，再根据概率=所求情况数于总情况数之比．解题的关键是掌握无限不循环小数是无理数，常见的无理数有：开不尽方的数，含的数，有规律但是不循环的数．
【详解】解：和是无理数，共2个，
∴卡片上的数为无理数的概率，
故选：C．
5．B
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，连接，再求出，根据勾股定理得出，最后根据垂径定理即可得出．
【详解】解：连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
6．C
【分析】本题考查了用换元法解一元二次方程，一元二次方程的解，令，则，得出，即可解答．
【详解】解：令，
则方程可改写为：，
∵一元二次方程的解是，，
∴，
∴或，
解得：或，
故选：C．
7．D
【分析】本题考查了勾股定理，求弧长．先求出，则，再根据得出，即可解答．
【详解】解：根据勾股定理可得：，
∴，
∵，
∴，
∴阴影部分的周长，
故选：D．
8．D
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系．利用二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：由图象可知：抛物线开口向上，，对称轴为：，，过点，根据对称性，与轴另一交点为：，与轴交于负半轴，；
A、，本选项不符合题意；
B、∵，，∴，本选项不符合题意；
C、∵，，∴，本选项不符合题意；
D、∵图象过，∴，本选项符合题意；
故选：D．
9．
【分析】根据一元二次方程的定义，将已知根代入方程，求得待定参数值．
【详解】解：由题意，，
∵方程一根为0，
∴，解得（舍去），．
故答案为： ．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义，方程根的定义，解方程，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
10．
【分析】本题考查了二次函数图象的平移：左右平移改变自变量的值：左加右减；上下平移改变因变量的值：上加下减．据此即可求解．
【详解】解：平移后的抛物线为：，
即：
故答案为：
11．15°或165
【分析】求出一条边所对的圆心角的度数，再根据圆周角和圆心角的关系解答．
【详解】解：圆内接正十二边形的边所对的圆心角360°÷12＝30°和360°﹣30°＝330°，
根据圆周角等于同弧所对圆心角的一半，
AB所对的圆周角的度数是15°或165°，
故答案为15°或165．
【点睛】本题考查学生对正多边形的概念掌握和计算的能力，圆周角定理，以及分类讨论的数学思想，属于基础题，分两种情况讨论是解答本题的关键．
12．##54度
【分析】本题考查圆周角定理，平行线的性质．利用平行线的性质求出，再利用圆周角定理求出，利用平行线的性质可得，再证明，进而可得结论．
【详解】解：，，
，
，
，
是直径，
，
，
故答案为：．
13．
【分析】本题主要考查一元二次方程的根及根与系数的关系．先根据m是的一个实数根得出，利用一元二次方程根与系数的关系得出，然后对原式进行变形后整体代入即可得出答案．
【详解】解：∵m是一元二次方程的一个实数根，
∴，
即．
∵m、n为关于x的方程的两个实数根，
∴，
∴．
故答案为：．
14．＞
【分析】根据方差计算公式可知，令全班有n人；当多一个人时，分子没变，而分母加1，方差变小．
【详解】解：由题意得：设全班一共由n人，
∵当多一个人时，由于身高等于平均数，
∴方差公式中分子不变，
因全班同学身高不可能都是170cm，所以方差不是0，
∵此时分母扩大，
∴方差将减小，
即a>b
答案为：>
【点睛】本题考查的是比较方差的大小，掌握方差计算公式是解题的关键．
15．7
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，设这种植物每个支干长出x个小分支，根据“主干、支干和小分支的总数是57”，列出方程求解即可．
【详解】解：设这种植物每个支干长出x个小分支，
，
解得：（舍去），
∴这种植物每个支干长出7个小分支，
故答案为：7．
16．
【分析】本题主要考查圆的定义及性质．取的中点E，连接，得到，即M是以点E为圆心，3为半径的圆上的一点，再求最值即可．
【详解】解：如图1，取的中点E，连接，则，
∵M为线段的中点，
∴是的中位线，
∴．
∴，即M是以点E为圆心，3为半径的圆上的一点．
∴求线段长度的最大值即是求点A与上的点的最大距离．
如图2，当点M在线段的延长线上时，线段的长度取得最大值，
∵，
∴．
∴线段长度的最大值为．
故答案为：．
17．(1)
(2)
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤是解题的关键．
（1）先将常数项移到等号右边，再在两边同时加上一次项系数一半的平方，最后根据完全平方公式进行配方，即可解答；
（2）先将方程化为一般式，再用十字相乘因式分解，即可用因式分解法求解．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
解得：；
（2）解：，
，
，
，
，
解得：．
18．(1)见解析
(2)70或110
【分析】本题考查了圆周角定理，圆的内接四边形的性质，解题的关键是掌握直径所对的圆周角为直角；同弧所对的圆周角是圆心角的一半；圆的内接四边形对角互补．
（1）连接，作的垂直平分线，交于点D，以点D为圆心，为半径画圆，与相交于点A和点B，连接，即为所求；
（2）先根据四边形内角和为360度，得出，再进行分类讨论：当点C在优弧上时，根据圆周角定理即可解答；当点C在劣弧上时，根据圆的内接四边形的性质即可解答．
【详解】（1）解：如图所示：即为所求；
∵为直径，
∴，
∴是的两条切线．
（2）解：∵，，
∴，
当点C在优弧上时，，
当点C在劣弧上时，，
故答案为：70或110．
19．；
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由x2-2x-2=0得x2=2x+2=2（x+1），整体代入计算可得．
【详解】解：原式=
=
=，
∵x2-2x-2=0，
∴x2=2x+2=2（x+1），
∴原式=
．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
20．(1)
(2)
【分析】本题考查了列表法或树状图法和三角形三边的关系．
（1）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可；
（2）列举出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】（1）解：列表如下：
由表知，共有12种等可能结果，其中长度恰好相等的有2种结果，
所以长度恰好相等的概率为；
（2）解：从中任取三根，有（3，3，4）、（3，3，6）、（3，4，6）、（3，4，6）这4种等可能结果，其中恰好能搭成一个三角形的有（3，3，4）、（3，4，6），（3，4，6）这3种结果，
所以恰好能搭成一个三角形的概率为，
故答案为：．
21．(1)②
(2)，，
(3)A，A的方差小于B的方差．
【分析】（1）抽样时应当尽量避免主观因素的影响据此即可解答；
（2）根据平均数、中位数、众数的定义求解即可；
（3）根据方差的意义即可解答．
【详解】（1）解：抽样时应当尽量避免主观因素的影响，则②符合题意．
故答案为②．
（2）解：A品种花生仁的平均数为：；
A品种花生仁的样本中13出现了10次，次数最多，则众数为；
B品种花生仁的样本有30个数据，从小到大排列处于中间为第15和第16的数据分别是17,18，则中位数为．
（3）解：由于菜品质量要求，花生仁大小要均匀，即数据波动小，方差小；因为A品种花生仁的方差1.4小于B品种花生仁的方差,则应选A．
故答案为：A，A的方差小于B的方差．
【点睛】本题主要考查了抽样调查、平均数、中位数、众数、方差等知识点，理解平均数、中位数、众数、方差的意义是解答本题的关键．
22．(1)见解析
(2)的周长为9．
【分析】本题主要考查了根的判别式及因式分解法解一元二次方程．
（1）计算方程的根的判别式，若，则方程总是有实数根；
（2）已知，则可能是底，也可能是腰，分两种情况求得的值后，再求出的周长，注意两种情况都要用三角形三边关系定理进行检验．
【详解】（1）证明：∵
，
∴无论取何值，方程总有实数根；
（2）解：①若为底边，则为腰长，，，
∴，
解得：，
此时原方程化为，
∴，即，
此时三边为4，1，1不能构成三角形，故舍去；
②若为腰，则中一边为腰，
把代入方程，，
∴，
则原方程化为，
，
∴，，
此时三边为4，4，1能构成三角形，
综上所述：三边为4，4，1，
∴周长为．
23．(1)见解析
(2)AC =6，
【分析】（1）根据圆周角定理得到∠C=∠F，由GA=GC推出∠CAF=∠C，得到∠CAF=∠F，即可得到结论AC∥DF．
（2）连接AD，利用AC∥DF推出∠C=∠1，根据圆周角定理得到，进而证得△AOD是等边三角形，得到．利用垂径定理求出AC=AD=6，利用三角函数求出AG．
【详解】（1）证明：
∵ C，F都在⊙O上，
∴ ∠C=∠F．
∵ GA=GC，
∴ ∠CAF=∠C．
∴ ∠CAF=∠F．
∴ AC∥DF．
（2）解：连接AD．
∵ AC∥DF，
∴ ∠C=∠1，
∵，
∴．
∴．①
∵ AB⊥CD于E，
∴ ∠BED=90°．
∴．②
∴由①，②得∠1=30°，∠2=60°．
∵ OA=OD，
∴ △AOD是等边三角形．
∴．
∵直径AB⊥CD于E，
∴．
∴ AC=AD=6．
∵ △AOD是等边三角形，
∴ ∠ADO=60°，∠1=30°．
∴ ∠3=∠AOD-∠1=30°
∵ DF是⊙O的直径，
∴ ∠FAD=90°．
∴ 在Rt△GAD中，．
【点睛】此题考查了圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判定及性质，锐角三角函数，平行线的判定定理，熟记圆周角定理及垂径定理是解题的关键．
24．(1)2、3两个月的销售量月平均增长率为
(2)这种台灯售价定为36元时，商场4月销售这种台灯获利2880元
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，熟练掌握增减率模型和总利润=单件利润×数量，是解题的关键．增长率问题中可以设基数为a，平均增长率为x，增长的次数为n，则增长后的结果为；而增长率为负数时，则降低后的结果为．
（1）设2、3两个月的销售量月平均增长率为x，列出方程求解即可；
（2）根据总利润=单件利润×数量，列出方程求解即可．
【详解】（1）解：设2、3两个月的销售量月平均增长率为x，
，
解得：（舍去），
答：2、3两个月的销售量月平均增长率为．
（2）解：设降价y元，
，
整理得：，
解得：（舍去），
∴这种台灯售价定为（元），
答：这种台灯售价定为36元时，商场4月销售这种台灯获利2880元．
25．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据圆周角定理得出，则，，根据垂径定理得出，则，最后根据，得出，即可求证；
（2）过点B作于点H，通过证明，得出，易得，设，则，根据勾股定理可得：，列出方程求解，最后根据，即可求解．
【详解】（1）证明：连接，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴直线是的切线；
（2）解：过点B作于点H，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
根据勾股定理可得：，
即，
解得：（舍去），
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线，熟练掌握相关定理是解题的关键．
26．(1)①；②
(2)，
【分析】（1）①先利用待定系数法确定抛物线的解析式，再将解析式化为顶点式即可得出答案；
②先确定抛物线的对称轴为直线，，再确定当时，，当时，，比较函数值的大小即可得出答案；
（2）先确定抛物线与轴交点坐标为，而当时，，从而可得出，利用顶点纵坐标公式可求出，此时当时，可得，建立方程解之即可．
【详解】（1）解：①∵抛物线过点，
∴，
解得：，
∴，
∴顶点坐标为；
②∵抛物线的对称轴为直线，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，的取值范围为．
故答案为：．
（2）∵抛物线
当时，，
∴抛物线与轴交于点，
∵当时，，
∴抛物线经历先下降再上升的过程，
∴，
解得：或（舍去），
∴，．
【点睛】考查二次函数的性质，二次函数的最值，解方程组，待定系数法，掌握二次函数的性质是解题的关键．
27．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了折叠的性质，垂径定理，三角形全等的判定和性质．熟练掌握相关知识点，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
（1）连接，通过证明为等边三角形，得出，进而得出，根据弧长公式即可求解；
（2）过点O作于点G，通过证明，得出，再根据垂径定理即可求解；
（3）根据题意补全图形，过点O作于点H，通过证明，得出，再根据垂径定理即可得出．
【详解】（1）解：连接，
∵沿翻折得到，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴．

（2）解：过点O作于点G，
∵沿翻折得到，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．

（3）解：如图：过点O作于点H，
∵沿翻折得到，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．

花生仁长轴长度（mm）
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
A品种花生仁粒数
5
10
6
7
2
0
0
0
0
0
B品种花生仁粒数
0
0
2
3
6
4
5
4
4
2
平均数
中位数
众数
方差
A品种花生仁
a
13.5
c
1.4
B品种花生仁
17.5
b
16
3.9
3
3
4
6
3
（3，3）
（4，3）
（6，3）
3
（3，3）
（4，3）
（6，3）
4
（3，4）
（3，4）
（6，4）
6
（3，6）
（3，6）
（4，6）