初中数学北师大版八年级上册3 立方根课时练习

这是一份初中数学北师大版八年级上册3 立方根课时练习，文件包含专题23立方根教师版docx、专题23立方根学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共38页， 欢迎下载使用。

目标导航
1. 了解立方根的含义；
2.会用开立方运算求一个数的立方根，与立方互为逆运算，
3.了解立方根的性质；
4.区分立方根与平方根的不同。
知识精讲
知识点01 立方根的概念
1.立方根的定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.
2.立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.
【微点拨】
1.一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算.
2.任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.
【知识拓展1】立方根的概念
例1．（2022·河北邢台·八年级期末）表示（ ）
A．5的负立方根 B．的立方根 C．5的立方根的相反数 D．的相反数
【答案】C
【分析】根据题意可知，表示5的立方根的相反数即可求解．
【详解】解：表示5的立方根的相反数 故选C
【点睛】本题考查了立方根，掌握立方根的表示方法是解题的关键．
【即学即练】
1.（2021•仓山区八年级期中）如果﹣a是b的立方根，那么下列结论正确的是（ ）
A．a是﹣b的立方根B．a是b的立方根
C．﹣a是﹣b的立方根D．±a都是b的立方根
【解题思路】根据立方根的定义推导即可得出结论．
【解答过程】解：根据题意得：（﹣a）3＝b，
∴﹣a3＝b，∴a3＝﹣b，∴a是﹣b的立方根，
【知识拓展2】求一个数的立方根
例2．（2022·海南·儋州川绵中学八年级阶段练习）下列语句中正确的是（ ）
A．负数没有立方根B．8的立方根是
C．立方根等于本身的数是D．
【答案】D
【分析】根据立方根的性质解答．
【详解】解：A. 负数有立方根，故该项不符合题意；
B. 8的立方根是2，故该项不符合题意；
C. 立方根等于本身的数是和0，故该项不符合题意；
D. ，故该项不符合题意；故选：D．
【点睛】此题考查了立方根的性质，正数的立方根还是正数，负数的立方根是负数，零的立方根是0，熟记性质是解题的关键．
【即学即练】
2.（2021春•雨花区校级月考）根据图中呈现的运算关系，可知a＝ ，b＝ ．
【解题思路】利用立方根和平方根的定义及性质即可解决问题．
【解答过程】解：依据图中呈现的运算关系，可知2020的立方根是m，a的立方根是﹣m，
∴m3＝2020，（﹣m）3＝a，∴a＝﹣2020；
又∵n的平方根是2020和b，∴b＝﹣2020．故答案为：﹣2020，﹣2020．
3．（2022·内蒙古通辽·七年级期中）下列语句正确的是（ ）
A．的立方根是2B．－3是27的立方根
C．的立方根是D．（－1）2的立方根是－1
【答案】A
【分析】根据算术平方根、立方根的定义逐项判断即可得．
【详解】解：A、的立方根是2，则此项正确，符合题意；
B、是的立方根，则此项错误，不符合题意；
C、的立方根是，则此项错误，不符合题意；
D、的立方根是1，则此项错误，不符合题意；故选：A．
【点睛】本题考查了算术平方根和立方根，熟练掌握立方根的求法是解题关键．
知识点02 立方根的性质

【微点拨】
1.第三个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题.
【知识拓展1】立方根的性质
例1．（2022·江苏·八年级）（2021春•广安区校级期末）若，则与的关系是
A．B．与相等
C．与互为相反数D．
【答案】C
【分析】根据立方根的意义和性质：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．则．所以与互为相反数，由此解决问题．
【详解】解：，，
与的关系是互为相反数（或，或．故选：C．
【点睛】此题考查了立方根．解题的关键是得到这一步．
【即学即练1】
1．（2022·成都市·八年级课时练习）【发现】
①
②
③
④……；
(1)根据上述等式反映的规律，请再写出一个等式：____________．
【归纳】等式①，②，③，④，所反映的规律，可归纳为一个真命题：
对于任意两个有理数a，b，若，则；
【应用】根据上述所归纳的真命题，解决下列问题：
(2)若与的值互为相反数，且，求a的值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据题目给出的规律解答；（2）根据题意列出方程，与已知方程联立解得a的值．
(1)，符合上述规律，
故答案为：；
(2)∵与的值互为相反数，
∴+=0，
∴，
解得，
代入中，
解得，，∴．
【点睛】本题考查了立方根的性质，互为相反数的性质等知识，解题的关键是明确题意，灵活运用所学知识解决问题．
【知识拓展2】利用开立方解方程
例2．（2022·山东八年级阶段练习）求下列各式中的x的值．
（1）； （2）； （3）； （4）．
【答案】（1）；（2）或；（3）；（4）．
【分析】（1）利用平方根解方程即可得；（2）方程两边同除以3得，再利用平方根解方程即可得；
（3）利用立方根解方程即可得；（4）先将方程变形为，再利用立方根解方程即可得．
【详解】解：（1），
；
（2），
方程两边同除以3，得，
或，
或；
（3），
，
；
（4），
，
，
．
【点睛】本题考查了利用平方根和立方根解方程，熟练掌握平方根和立方根的性质是解题关键．
【即学即练2】
2．（2022·新疆师范大学附属中学七年级阶段练习）求下列各式中的x：
(1)； (2) (3)； (4)
【答案】(1)(2)(3)(4)
【分析】（1）先移项，可得，两边开平方，即可求解；
（2）先两边同时除以8，可得，两边开立方，即可求解；
（3）先移项，可得，两边开平方，即可求解；
（4）先移项，可得，两边开立方，即可求解．
(1)解：，
∴，即，
∴；
(2)解：
∴，
∴，
解得：；
(3)解：
∴，即，
解得：
(4)解：
∴，即，
∴，
解得：．
【点睛】本题主要考查了利用平方根和立方根解方程，熟练掌握平方根和立方根的性质是解题的关键．
知识点03 立方根的应用
【知识拓展1】立方根的实际应用
例1．（2022·湖南·七年级期中）随着张吉怀高铁在2021年建成通车，昔日饱受交通制约的湘西州，也迎来了便捷的现代化快速交通．在湘西州花垣县，还有一个现代化的交通大工程——湘西机场正在建设．建设机场多余的土方呈圆锥形，土方的底面直径为100米，高度为50米．现在用卡车将土方运送到15公里外的垃圾池进行填平，已知垃圾池是规则的立方体，并且土方刚好填满垃圾池．请问垃圾池的底面边长大约是多少米（π取3）（ ）
A．50B．60C．70D．40
【答案】A
【分析】根据题意得：垃圾池的体积等于圆锥形土方的体积，求出圆锥形土方的体积，即可求解．
【详解】解：根据题意得：垃圾池的体积等于圆锥形土方的体积，
，∴垃圾池的底面边长大约是米．故选：A
【点睛】本题主要考查立方根的应用，明确题意，理解垃圾池的体积等于圆锥形土方的体积是解题的关键．
【即学即练1】
1.（2022.重庆市八年级期中）某地气象资料表明:当地雷雨持续的时间t(h)可以用下面的公式来估计:t2=,其中d(km)是雷雨区域的直径.(1)如果雷雨区域的直径为9km,那么这场雷雨大约能持续多长时间?(2)如果一场雷雨持续了1h,那么这场雷雨区域的直径大约是多少(结果精确到0.1km)?
【解答】解：(1)当d＝9时，则t2＝，因此t＝＝0.9.
答：如果雷雨区域的直径为9km，那么这场雷雨大约能持续0.9h.
(2)当t＝1时，则＝12，因此d＝≈9.65≈9.7.
答：如果一场雷雨持续了1h，那么这场雷雨区域的直径大约是9.7km.
【知识拓展2】平方根与立方根的综合运用
例2．（2022·河南·商丘市第十六中学七年级期中）已知：的算术平方根是3，的立方根是2，求的值．
【答案】4
【分析】根据算术平方根和立方根的定义求出a，b的值，代入求值即可．
【详解】解：∵2a+1的算术平方根是3，3a﹣b﹣1的立方根是2，
∴2a+1＝32＝9，3a﹣b﹣1＝23＝8，
∴a＝4，b＝3，
∴原式4．
【点睛】本题考查了算术平方根，立方根，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．
【即学即练2】
2．（2022·广东阳江·七年级期中）已知和是某数的两个平方根，的立方根是．
(1)求a，b的值；(2)求的算术平方根．
【答案】(1)a＝2，b＝－6
(2)5a−3b+8的算术平方根为6
【分析】（1）根据某数的两个平方根互为相反数即可确定a的值，然后代入12 + 7b + 3＝－27求解即可；
（2）先求出代数式的值，然后求算术平方根即可．
(1)解：根据题意可得：，解得a＝2．
又由，
把a＝2代入得12 + 7b + 3＝－27
∴b＝－6．
(2)当a＝2，b＝－6时，
∴5a－3b+8＝5×2－3×（－6）+8＝36，
∴．
【点睛】题目主要考查平方根及立方根的性质，算术平方根的计算方法，熟练掌握平方根及立方根的计算方法是解题关键．
能力拓展
考法01 立方根小数点位数移动规律
【微点拨】被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，.
【典例1】（2022·甘肃庆阳·七年级期中）观察下列正数的立方根运算，并完成下列问题；
(1)用语言叙述上述表格中的规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向___移动___位．
(2)运用你发现的规律，探究下列问题：已知，则___，___．
(3)类比上述立方根运算：已知，则___，___．
【答案】(1)右；一；(2)0.235；23.5；(3)19.13；191.3
【分析】（1）根据表格中的数据，可以发现数字的变化规律；
（2）根据（1）的规律可得结论；
（3）根据立方根的移位规律可得算术平方根的移位规律，即可求得所求数字的值．
(1)用语言叙述上述表格中的规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向右移动一位．故答案为：右，一；
(2)∵2.35，∴0.235，23.5，
故答案为：0.235，23.5；
(3)在算术平方根运算中，被开方数的小数点每向右移动两位，相应的平方根的小数点就向右移动一位．
∵1.913，∴19.13，191.3．
故答案为：19.13，191.3．
【点睛】本题考查数字的变化类、数的开方，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求得所求数字的值．
变式1．（2022·福建·莆田砺志学校七年级期中）若 ＝0.716，＝1.542，＝6.058,则的值是( )
A．716B．154.2C．605.8D．71.6
【答案】B
【分析】根据被开方数每扩大1000位，它的立方根就扩大10位来计算即可．
【详解】解：=154.2故选：B．
【点睛】本题考查立方根的规律，掌握“被开方数每扩大1000位，它的立方根就扩大10位”是解题的关键．
变式2．（2022·重庆梁平·七年级期末）已知，，，则______．
【答案】10.38
【分析】根据立方根的性质即可求解．
【详解】解：∵，∴10.38．故答案为：10.38．
【点睛】此题主要考查了立方根，解题的关键是掌握小数点的移动的规律．
考法02 阅读材料与新定义问题
【典例2】（2022·北京·人大附中七年级期中）一般地，如果（n为正整数，且n＞1），那么x叫做a的n次方根，下列结论中正确的是（ ）
A．16的4次方根是2 B．32的5次方根是±2
C．当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小 D．当n为偶数时，2的n次方根有n个
【答案】C
【分析】根据新定义的意义计算判断即可．
【详解】解：∵16的4次方根是±2，∴A选项的结论不正确；
∵32的5次方根是2，∴B选项的结论不正确；
∵当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小，∴C选项的结论正确；
∵当n为偶数时，2的n次方根有2个，∴D选项的结论不正确．故选：C．
【点睛】本题考查了实数的新定义问题，正确理解新定义的意义是解题的关键．
变式1．（2022·福建省福州第一中学七年级期中）我国著名的数学家华罗庚曾巧解开立方的智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．
解答：∵＜59319＜，∴是两位整数；
∵整数59319的末位上的数字是9，而整数0至9的立方中，只有＝729的末位数字是9，∴的末位数字是9；
又∵划去59319的后面三位319得到59，而3＜＜4，
∴的十位数字是3；
∴＝39；
【应用】＋59049＝0，其中x是整数则x的值为______．
【答案】-13
【分析】先运用学到的方法，进行估算，再解一元一次方程即可．
【详解】∵＋59049＝0，
∴，
∵＜19683＜，
∴是两位整数；
∵整数19683的末位上的数字是3，而整数0至9的立方中，只有的末位数字是3，
∴的末位数字是7；
又∵划去19683的后面三位683得到19，
而2＜＜3，
∴的十位数字是2；
∴＝27；
∴，
解得x=-13，
故答案为：-13．
【点睛】本题考查了立方根的估算，一元一次方程的解法，熟练掌握估算方法，灵活解方程是解题的关键．
变式2．（2022·山东七年级期中）本学期《实数》中，我们学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容：
今天我们类比平方根和立方根的学习方法学习四次方根类比探索：（1）探索定义：填写下表：
类比平方根和立方根，给四次方根下定义：
（2）探究性质：①1的四次方根是 ；②16的四次方根是 ；③的四次方根是 ；
④12的四次方根是 ；⑤0的四次方根是 ；⑥﹣625 （填“有”或“没有”）四次方根．
类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质： ．
（3）拓展应用：在探索过程中，你用到了哪些数学思想？请写出两个： ．
【答案】（1）见解析；（2）①1；②2；③；④；⑤0；⑥没有；一个正数有两个四次方根，且互为相反数；0的四次方根是0，负数没四次方根．（3）类比思想；分类讨论思想；由特殊到一般的思想．
【分析】（1）计算即可求解；（2）根据平方根、立方根的意义和特征，类推四次方根的意义和特征，根据四次方根的意义求一个数的四次方根．（3）用到了：类比思想；分类讨论思想；由特殊到一般的思想．
【详解】解：（1）填写表格如下：
（2）①1的四次方根是：1；②16的四次方根是：2；
③的四次方根是：；④12的四次方根是：；
⑤0的四次方根是：0；⑥﹣625没有（填“有”或“没有”）四次方根．
类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质：一个正数有两个四次方根，且互为相反数；0的四次方根是0，负数没有四次方根．
（3）拓展应用：在探索过程中，用到了：类比思想；分类讨论思想；由特殊到一般的思想．
【点睛】本题主要考查了平方根、立方根、方根的意义、特征，解题的关键是熟练掌握方根的意义．依据意义正确的计算是重要的环节．
分层提分
题组A 基础过关练
1．（2021·河北八年级期中）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的数x为﹣512时，输出的数y的值是（ ）
A．﹣B．C．﹣2D．2
【答案】A
【分析】把﹣512按给出的程序逐步计算即可．
【详解】解：由题中所给的程序可知：把﹣512取立方根，结果为﹣8，
∵﹣8是有理数，∴再取立方根为﹣2，
∵﹣2是有理数，∴再取立方根为，
∵是无理数，∴输出，故选：A．
【点睛】题目主要考查了立方根，比较简单，解题的关键主要是弄清题目中所给的运算程序．
2．（2022·湖南益阳·八年级期末）下列各数，立方根一定是负数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数，结合四个选项即可得出结论．
【详解】解：A．当时，，立方根不是负数，故本选项不符合题意；
B．当a=0时，=0，立方根不是负数，故本选项不符合题意；
C．当a为任意数时，则，所以立方根一定是负数，故本选项符合题意．
C．当时，，则，立方根不是负数，故本选项不符合题意；故选：C．
【点睛】本题考查立方根，牢记“正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数”是解题关键．
3．（2022·广东阳江·七年级期末）的值为（ ）．
A．8B．C．4D．
【答案】C
【分析】根据“一个数的立方等于，那么就叫做的立方根”进行计算即可．
【详解】解：，的立方根为4，即，故选：C．
【点睛】本题考查立方根，解题的关键是理解立方根的定义：一个数的立方等于，那么就叫做的立方根．
4．（2021·山东聊城市·八年级期末）的平方根是（ ）
A．B．C．2D．
【答案】B
【分析】先求出，然后求出 的平方根，即可求解．
【详解】解：∵， 的平方根是 ，
∴的平方根是．故选：B．【点睛】
本题主要考查了立方根运算和平方根运算，理解并掌握立方根和平方根的定义是解题的关键．
5.（2021•瑶海区校级期中）已知一个正方体的体积是729cm3，现在要在它的8个角上分别截去8个大小相同的小正方体，使得余下的体积是665cm3，则截去的每个小正方体的棱长是（ ）
A．8 cmB．6 cmC．4 cmD．2 cm
【解题思路】首先确定截去的小正方体的体积，然后再设每个小正方体的棱长为xcm，根据正方体的体积公式可得方程，从而确定边长．
【解答过程】解：截去的8个小正方体的总体积为729﹣665＝64（cm3），则每个小正方体的体积为64÷8＝8（cm3）．设每个小正方体的棱长为x cm，则x3＝8，解得x＝2．
6．（2021·新疆·乌鲁木齐市第九中学七年级期末）下列说法：①立方根等于它本身的数有，0，1；②负数没有立方根；③；④任何正数都有两个立方根，且它们互为相反数；⑤平方根等于它本身的数有0和1，正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】根据平方根和立方根的定义判断即可；
【详解】解：①立方根等于它本身的数有，0，1；正确；
∵负数只有一个负的立方根，∴②错误；
∵23=8≠6，∴③错误；
∵正数只有一个正的立方根，∴④错误；
∵1的平方根为±1，∴⑤错误；
综上所述①正确，故选： A．
【点睛】本题考查了平方根：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根（或二次方根），正数有两个平方根，它们互为相反数，0只有一个平方根，负数没有平方根；如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根（或三次方根），正数只有一个正的立方根，负数只有一个负的立方根，零的立方根为零；掌握定义是解题关键．
7．（2022·山东菏泽·八年级期中）下列说法正确的是（ ）
A．的平方根是B．的立方根是
C．只有非负数才有立方根D．的立方根是
【答案】B
【分析】根据平方根及立方根的计算方法依次判断即可．
【详解】解：A、64的平方根是±8，选项错误，不符合题意；
B、−3的立方根是，选项正确，符合题意；
C、只有非负数才有立方根，选项错误，不符合题意；
D、−16的立方根是，选项错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】题目主要考查平方根及立方根的计算方法，熟练掌握二者的求法是解题关键．
8．（2022·广东潮州·七年级期末）已知，则x=______．
【答案】3
【分析】根据立方根解方程即可求解．
【详解】解：∵，
∴
解得
故答案为：
【点睛】本题考查了立方根的定义，掌握立方根的定义是解题的关键．
9．（2022·山东·日照市新营中学七年级期末）的立方根是___________．
【答案】##
【分析】根据立方根的定义进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴的立方根是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了立方根的定义，先算出，是解题的关键．
10．（2022·浙江台州·七年级期中）求下列各式中x的值：
(1)
(2)
【答案】(1)x＝﹣5
(2)x1＝8，x2＝﹣4
【分析】（1）根据立方根定义求解即可；
（2）移项后，根据平方根定义求解即可．
(1)解：开立方得：＝﹣3，
解得：x＝﹣5．
(2)方程整理得：，
开方得：x﹣2＝±6 ，
解得：x1＝8，x2＝﹣4.
【点睛】此题考查了立方根，以及平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
11．（2022·湖北孝感·七年级期中）已知，求x2＋y2－4的平方根．
【答案】±9
【分析】由算术平方根、立方根的定义，求出x，y的值，然后代入计算，即可得到答案．
【详解】解：∵＝3，∴，∴x＝7
∵＝3，∴
∴14＋y＋7＝27，∴y＝6∴±＝±＝±9．
【点睛】本题考查了平方根、算术平方根、立方根的定义，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确的进行计算．
12．（2022·山东聊城·八年级期中）已知的平方根是，的算术平方根是5，求的立方根．
【答案】4
【分析】根据平方根和算术平方根的概念列方程求得x和y的值，然后代入求得其求立方根即可．
【详解】解：∵的平方根是，的算术平方根是5，
∴，∴，
∴，
∵64的立方根为4．∴的立方根为4．
【点睛】本题主要考查平方根、立方根等知识点，掌握其基本概念和解方程的基本步骤是解题关键．
题组B 能力提升练
1．（2022·河南周口·七年级期中）下列说法正确的是（ ）
A．0的立方根和平方根都是0 B．1的平方根和立方根都是1
C．﹣1的平方根和立方根都是﹣1 D．0.01是0.1的平方根
【答案】A
【分析】根据平方根、算术平方根，立方根以及特殊数的平方根，理解平方根、算术平方根、立方根的定义是正确解答前提．
【详解】解：A.0的立方根是0，0的平方根也是0，因此选项A符合题意；
B.1的平方根是±1，1的立方根是1，因此选项B不符合题意；
C．由于负数没有平方根，因此选项C不符合题意；
D.0.1是0.01的一个平方根，因此选项D不符合题意；故选：A．
【点睛】本题考查算术平方根、平方根、立方根，理解平方根、算术平方根、立方根的定义是正确判断的前提．
2．（2022·上海·七年级期末）下列说法错误的是( )
A．中的可以是正数、负数、零B．数的立方根只有一个
C．立方根为D．表示一的立方根
【答案】C
【分析】根据立方根的定义来进行判定求解．
【详解】解：A．中的a可以是正数、负数、零，故原选项正确，不符合题意；
B．数a的立方根只有一个，故原选项正确，不符合题意；
C．因为，所以的立方根为，故原选项错误，符合题意；
D．表示一的立方根，故原选项正确，不符合题意．故选：C．
【点睛】本题主要考查了立方根的定义，理解立方根的定义是解答关键．
3．（2021·广西南宁·七年级期中）已知＝2.3928，＝1.1106，＝0.5155，则的值是（ ）
A．23.928B．11.106C．5.155D．51.55
【答案】B
【分析】根据立方根的定义，结合“一个数小数点向右（或左）移动3位，其立方根的小数点向右（或左）移动1位”进行判断即可．
【详解】解：；故选：B
【点睛】本题考查立方根，理解立方根的定义是正确解答的前提，掌握一个数小数点向右（或左）移动3位，其立方根的小数点向右（或左）移动1位是正确解答的关键．
4．（2022·山东烟台·七年级期末）的立方根与的平方根的积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求出，，可得的立方根为，的平方根的，即可求解．
【详解】解∶∵，，
∴的立方根为，的平方根的，
∴的立方根与的平方根的积是．故选：A
【点睛】本题主要考查了求一个数的立方根，求一个数的平方根，熟练掌握平方根和立方根的性质是解题的关键．
5．（2022·内蒙古巴彦淖尔·七年级期中）已知，则_____．
【答案】2
【分析】根据非负数的性质得出x，y的值，再根据立方根的定义解答即可．
【详解】解：∵，∴x＋2＝0，y−10＝0，
解得：x＝−2，y＝10，∴，答案为：2．
【点睛】此题考查绝对值和算术平方根的非负性，求立方根，关键是根据非负数的性质得出x，y的值．
6．（2022·全国·七年级）若与互为相反数，则a3+5a2﹣4的值为 _____．
【答案】12
【分析】先根据相反数的定义得+＝0，再利用立方根的意义进行整理，最后利用整体代入的方法即可求得答案 ．
【详解】解：由题意得： ∴∴a+1＝﹣（a2﹣5）．
∴a2+a＝4．∴a3+a2＝4a．∴a3＝﹣a2+4a．
∴a3+5a2﹣4＝﹣a2+4a+5a2﹣4＝4a2+4a﹣4＝4（a2+a）﹣4＝4×4﹣4＝12．故答案为：12.
【点睛】本题考查的相反数的应用，立方根应用，解题的关键是在于整理出所需形式，利用整体代入求解．
7.（2022·山东济宁·七年级期中）已知正数a的两个不同平方根分别是和，的算术平方根是4．(1)求这个正数a以及b的值；(2)求的立方根．
【答案】(1)， (2)6
【分析】（1）首先利用正数的平方根有两个，它们互为相反数，再利用互为相反数的两个数相加为0，即可得出两个平方根，进而得出正数a的值，然后再利用题意“的算术平方根是4”，把a的值代入，即可得出b的值．（2）根据（1）得出，，然后把，代入，求出值，然后再开立方，即可得出结果．
（1）解：∵正数a的两个不同平方根分别是和，
∴，解得：，
∴，，
∵，∴，
又∵的算术平方根是4，
又∵，∴，
∴把代入，
可得：，解得：．
（2）解：由（1）可得：，，
把，代入，
可得：∴
【点睛】本题考查了平方根的性质、算术平方根、立方根，解本题的关键在熟练掌握平方根的性质．
8．（2022·安徽六安·七年级期中）把三个半径分别是3，4，5的铅球熔化后做一个更大的铅球，这个大铅球的半径是多少?（球的体积公式是，其中R是球的半径．）
【答案】大铅球的半径是6．
【分析】求出半径分别是3，4，5的铅球的体积之和，再根据立方根的定义计算出结果即可．
【详解】解：设这个大铅球的半径为r，由题意可得，
即，所以r==6．大铅球的半径是6．
【点睛】本题考查了立方根的应用，熟记立方根的定义是解答本题的关键．
9．（2022·河南商丘·七年级期中）对于结论：当时．也成立．若将a看成的立方根，b看成的立方根．由此得出结论：“如果两数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数”
(1)举一个具体的例子进行验证；
(2)若和互为相反数，且的平方根是它本身，求的立方根．
【答案】(1)见解析 (2)1
【分析】（1）举例，根据立方根的性质进行验证即可得；
（2）先根据题中给的结论可得与互为相反数，由此建立方程可得的值，再根据平方根的性质可得，由此可得的值，然后根据立方根的性质即可得．
（1）解：举例：，则，此吋，即8与互为相反数，所以“如果两数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数”成立．
（2）解：∵和互为相反数，∴与互为相反数，∴，解得，∵的平方根是它本身，∴，解得，∴，∴的立方根是1．
【点睛】本题考查了平方根与立方根、一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握平方根与立方根的性质是解题关键．
题组C 培优拔尖练
1.（2022·河北保定·二模）若实数a的立方等于它本身，则a的值不可能是（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】D
【分析】根据立方根的性质进行求解即可；
【详解】考查立方根运算，实数范围内立方根等于本身的数有三个：，0，1；故选：D．
【点睛】本题主要考查立方根的概念，掌握立方根的概念是解题的关键．
2．（2022·山西临汾·七年级期中）若，则的值为（ ）
A．0B．－2C．0或2D．0或－2
【答案】D
【分析】先利用平方根解方程求出，再代入计算立方根即可得．
【详解】解：，即，
解得，
当时，，
当时，，
综上，的值为0或，故选：D．
【点睛】本题考查了利用平方根解方程、立方根，熟练掌握立方根的求解方法是解题关键．
3．（2022·黑龙江牡丹江·七年级期中）若，则___________．
【答案】或或
【分析】根据立方根定义计算即可．
【详解】解：由，得，
或或，
或 或，
经检验：或 或 符合题意．
故答案为：或或．
【点睛】本题主要考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键．
4．（2021·福建福州·一模）若实数、满足：，．则的值是_____________．
【答案】32
【分析】根据算术平方根和立方根的性质得到a+b=4，a－b=8，进而直接代入求解即可．
【详解】解：∵实数、满足：，，
∴a+b=4，a－b=8，∴=4×8=32，故答案为：32．
【点睛】本题考查了算式平方根、立方根、代数式求值，理解算式平方根和立方根的性质是解答的关键．
5．（2022·河北八年级期中）观察下列各式：用含n（n≥2且n为整数）的等式表示上述规律为______．
【答案】
【分析】观察规律可直接得到规律．
【详解】解：∵，
，，…，
∴．故答案为：
【点睛】此题考查了数字规律的运算，会求一个数的立方根，正确分析已知中的等式由此得到变化规律是解题的关键．
6．（2022·山西吕梁·七年级期中）综合与实践
如图是一张面积为的正方形纸片．
(1)正方形纸片的边长为______；（直接写出答案）
(2)若用此正方形纸片制作一个体积为的无盖正方体，请在这张正方形纸片上画出无盖正方体的平面展开图的示意图，并求出该正方体所用纸片的面积．
【答案】(1) (2)图见解析；
【分析】（1）根据算术平方根的意义求解即可；
（2）根据立方根的意义求出正方体的边长，然后画出图形，再求出所用面积即五个正方形的面积．
（1）解：正方形纸片的边长为：，故答案为：；
（2）解：正方体的边长为：，
平面展开图如图所示（阴影部分为剪去的部分），
所用纸片面积为，
【点睛】本题考查了算术平方根和立方根的意义，正方体的展开图，熟练掌握基础知识是解题的关键．
7．（2022·安徽芜湖·七年级期末）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口而出：39．你知道他是怎么快速准确地计算出来的吗？请研究解决下列问题：
(1)已知，且x为整数．
∵，
∴x一定是一个两位数；
∵10648的个位数字是8，
∴x的个位数字一定是______；
划去10648后面的三位648得10，
∵，
∴x的十位数字一定是______；
∴______．
(2)，且y为整数，按照以上思考方法，请你求出y的值．
【答案】(1)2#，2#，22# (2)
【分析】（1）根据立方根的定义和题意即可得出答案；
（2）根据（1）中的方法计算书写即可得出结果．
（1）解：∵，且x为整数．∵，∴x一定是一个两位数；∵10648的个位数字是8，∴x的个位数字一定是2；划去10648后面的三位648得10，∵，∴x的十位数字一定是2；∴22．故答案为：2，2，22．
（2）∵，∴y一定是两位数；
∵614125的个位数字是5，∴y的个位数字一定是5；划去614125后面的三位125得614，
∵，∴y的十位数字一定是8；∴．
【点睛】本题考查立方根，灵活运用立方根的计算是解题的关键．
8．（2022·江西赣州·七年级期中）依照平方根（二次方根）和立方根（三次方根）的定义可给出四次方根、五次方根的定义：①如果x4＝a（a≥0），那么x叫做a的四次方根：②如果x5＝a，那么x叫做a的五次方根．请依据以上定义，解决下列问题：
（1）求81的四次方根；（2）求﹣32的五次方根；
（3）求下列各式中未知数x的值：①x4＝16；②100000x5＝243．
【答案】（1）81的四次方根为±3；（2）﹣32的五次方根为-2；（3）①x＝±2；②．
【分析】（1）利用题中四次方根的定义求解；
（2）利用题中五次方根的定义求解；
（3）分别利用四次方根和五次方根的定义求解．
【详解】解：（1）∵（±3）4＝81，
∴81的四次方根为±3；
（2）∵（﹣2）5＝﹣32，
∴﹣32的五次方根为﹣2；
（3）①∵x4＝16，（±2）4＝16，
所以x＝±2；
②∵100000x5＝243，
∴x5＝，
又∵（）5＝，
∴x＝．
【点睛】本题考查了方根的定义．关键是求四次方根时，注意正数的四次方根有2个．
b
0.004096
4.096
4096
4096000
4096000000
0.16
1.6
16
160
1600
平方根
立方根
定义
一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）．
一般地，如果一个数x的立方等于a即x＝a，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）．
运算
求一个数a的平方根的运算叫做开平方．开平方和平方互为逆运算．
求一个数a的立方根的运算叫做开立方．开立方和立方互为逆运算．
性质
一个正数有两个平方根，它们互为相反数：0的平方根是0；负数没有平方根．
正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数．
表示方法
正数a的平方根可以表示为“±”．
一个数a的立方根可以表示为“”．
x4
1
16
81
x
x4
1
16
81
x
1
2
3