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2024内蒙古自治区优质高中联考高二上学期11月期中考试数学含解析
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这是一份2024内蒙古自治区优质高中联考高二上学期11月期中考试数学含解析，共27页。试卷主要包含了 直线倾斜角， 直线被圆所截得的弦长为， 设，，，且∥，则， 若圆与圆外切，则， 下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
（试卷满分150分，考试用时120分钟）
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1. 直线倾斜角（ ）
A. B. C. D.
2. 直线被圆所截得的弦长为（ ）
A. B. 1C. D. 2
3. 若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，且，则的值是（ ）
A. －3B. －4
C. 3D. 4
4. 设，，，且∥，则（ ）
A. B. C. 3D. 4
5. 若圆与圆外切，则（ ）
A. 9B. 11C. 19D. 21
6. 如图，平行六面体的底面是矩形，其中，，，且，则线段的长为（ ）
A. 9B. C. D.
7. 直线与曲线有两个不同交点，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
8. 过椭圆上一点M作圆的两条切线，A、B为切点，过A、B的直线l与x轴和y轴分别交于P、Q两点，则（O为坐标原点）面积的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 关于椭圆有以下结论，其中正确有（ ）
A. 离心率为B. 长轴长是
C. 焦距2D. 焦点坐标为
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 直线的倾斜角范围是
B. 若直线与直线互相垂直，则
C. 过两点，的直线方程为
D. 经过点且在x轴和y轴上截距都相等直线方程为
11. 下列结论正确的是（ ）
A. 已知点在圆上，则最小值是-7
B. 已知直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围为
C. 已知点是圆外一点，直线的方程是，则与圆相交
D. 若圆上恰有两点到点的距离为1，则的取值范围是
12. 如图，正方体的棱长为1，正方形的中心为，棱，的中点分别为，，则（ ）
A.
B.
C. 异面直线与所成角的余弦值为
D. 点到直线的距离为
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13. 椭圆上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为________．
14. 已知直线，，若，则的值是___________.
15. 已知圆，直线.当直线l被圆C截得弦长取得最小值时，直线l的方程为__________.
16. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点、的距离之比为定值（且）的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，在平面直角坐标系中，、，点满足，则的最小值为___________.
四､解答题：本小题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 已知的三个顶点为.
（1）求边上的高所在直线的方程；
（2）求边上的中线所在直线的方程.
18. 经过椭圆的左焦点作倾斜角为45°的直线，直线与椭圆相交于两点，是椭圆的右焦点.
（1）求的周长.
（2）求的长.
19. 如图，在长方体中，和交于点为的中点.
（1）求证：平面；
（2）已知与平面所成角为，求平面与平面的夹角的余弦值；
20. 如图，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形（长、宽分别为、）和圆弧构成，截面总高度为，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有米，已知行车道总宽度.
（1）试建立恰当的坐标系，求出圆弧所在圆的一般方程；
（2）车辆通过隧道的限制高度为多少米？
21. 如图，在四棱锥中，平面平面，为的中点，，，，，．
（1）求点到平面的距离；
（2）求直线与平面所成角的余弦值；
（3）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由．
22. 设椭圆的离心率为，上、下顶点分别为A，B，．过点，且斜率为k的直线l与x轴相交于点F，与椭圆相交于C，D两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若，求k的值；
（3）是否存在实数k，使直线平行于直线？证明你的结论．
2022级学生联考共同体第一次考试
数学试卷
（试卷满分150分，考试用时120分钟）
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1. 直线倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用直线方程得到斜率，利用斜率定义求倾斜角即可.
【详解】，
设该直线的倾斜角为，
因为直线的斜率为，
因数，所以.
故选：C.
2. 直线被圆所截得的弦长为（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆的方程，写出圆心和半径，利用点到直线的距离公式，求得弦心距，利用弦长公式，可得答案.
【详解】由圆的方程，则其圆心为，半径为，
圆心到直线的距离，
则弦长.
故选：C.
3. 若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，且，则的值是（ ）
A. －3B. －4
C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】根据两平面平行得到两法向量平行，进而得到方程组，求出，得到答案.
【详解】∵，
∴，
故存在实数，使得，
即，故，解得，
∴.
故选：A
4. 设，，，且∥，则（ ）
A. B. C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据，可得，；再根据∥，可得，进而得，最后根据向量的坐标求模即可.
【详解】解：因为，，且，
所以，解得，
所以，
又因为，且∥，
所以，
所以，
所以，
所以.
故选：C
5. 若圆与圆外切，则（ ）
A. 9B. 11C. 19D. 21
【答案】A
【解析】
【分析】先求出两圆圆心和半径，再根据两圆外切可得两圆圆心距等于半径之和，进而列出方程求解即可.
【详解】由圆，则圆心，半径，
由圆，即，
则圆心，，，
所以，
因为两圆外切，则，
即，解得.
故选：A.
6. 如图，平行六面体的底面是矩形，其中，，，且，则线段的长为（ ）
A. 9B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由，两边平方，利用勾股定理以及数量积的定义求出的值，进而可得答案
【详解】由，
.
因为底面是矩形，，，，
所以，，
因为，
所以
所以，
故选：C.
7. 直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分析可知，曲线表示圆的下半圆，作出图形，求出当直线与曲线相切以及直线过点时对应的的值，数形结合可得出实数的取值范围.
【详解】由可得，整理可得，其中，
所以，曲线表示圆的下半圆，如下图所示：
当直线与曲线相切时，由图可知，，
且有，解得，
当直线过点时，则有，
由图可知，当时，直线与曲线有两个公共点，
故选：B.
8. 过椭圆上一点M作圆的两条切线，A、B为切点，过A、B的直线l与x轴和y轴分别交于P、Q两点，则（O为坐标原点）面积的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设点，结合圆的切线方程求得直线的方程，即可求得面积的表达式，结合基本不等式即可求解答案.
【详解】设点，则，
设，则点A处的切线方程为，
点B处的切线方程为，
由于这两条切线都过点，则，
故直线的方程为，
令，令，
即，则，
由于，
当且仅当，即时等号成立，
故，
即面积的最小值为，
故选：B
【点睛】关键点睛：本题求面积的最小值，因此要想法求得该三角形面积的表达式，故解答本题的关键在于要求出直线AB的方程，从而求得A，B的坐标，即可求得三角形面积表达式，结合基本不等式即可求解.
二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 关于椭圆有以下结论，其中正确的有（ ）
A. 离心率为B. 长轴长是
C. 焦距2D. 焦点坐标为
【答案】ACD
【解析】
【分析】将椭圆方程化为标准方程，再由椭圆的几何性质可得选项.
【详解】将椭圆方程化为标准方程为
所以该椭圆的焦点在轴上，焦点坐标为，故焦距为2，故C、D正确；
因为所以长轴长是，故B错误，
因为，所以，离心率，故A正确.
故选：ACD
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 直线的倾斜角范围是
B. 若直线与直线互相垂直，则
C. 过两点，的直线方程为
D. 经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为
【答案】AC
【解析】
【分析】根据直线斜率和倾斜角的关系，直线位置关系以及直线方程的应用，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】对A：直线，其斜率，设直线倾斜角为，
故可得，则，故A正确；
对B：直线与直线互相垂直，则，
解得或，故错误；
对：过两点，的直线方程为，故C正确；
对D：经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为和，故D错误；
故选：AC.
11. 下列结论正确的是（ ）
A. 已知点在圆上，则的最小值是-7
B. 已知直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围为
C. 已知点是圆外一点，直线的方程是，则与圆相交
D. 若圆上恰有两点到点的距离为1，则的取值范围是
【答案】CD
【解析】
【分析】对于A,令，即，根据题意，由圆心到直线的距离求解判断；对于B，根据直线恒过定点，求得判断；对于C，由点是圆外一点，得到判断；对于D，由圆与圆相交求解判断.
【详解】对于A，令，即，
因为点在圆上，
则圆心到直线的距离，即，
解得或，所以无最小值，故A错误；
对于B，因为直线，则，解得，
则其恒过定点，
则，
因为以为端点的线段相交，
所以或，故B错误；
对于C，因为点是圆外一点，所以，
圆心到直线，则与圆相交，故C正确；
对于D，圆，圆，
圆心距为，
因为圆上恰有两点到点的距离为1，
所以两圆相交，则，
解得，故D正确；
故选：CD
12. 如图，正方体的棱长为1，正方形的中心为，棱，的中点分别为，，则（ ）
A.
B.
C. 异面直线与所成角余弦值为
D. 点到直线的距离为
【答案】ABD
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，结合空间向量逐项判断；
【详解】故以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.
，，，，
，选项A正确；
，
所以
根据三角函数两角正余弦关系解得：
，选项B正确；
，
选项C错误；
点到直线的距离为：，
而
所以选项D正确；
故选：ABD.
【点睛】关键点睛：构建空间直角坐标系，运用空间向量解题是本题的思维出发点和突破点；
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13. 椭圆上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为________．
【答案】8
【解析】
【分析】根据椭圆的定义计算即可.
【详解】设椭圆的左、右焦点分别为，结合椭圆定义，可得.
故答案为：8
14. 已知直线，，若，则的值是___________.
【答案】
【解析】
【分析】利用直线一般式情况下平行的结论即可得解.
【详解】因为，，，
所以当，即时，，，显然不满足题意；
当，即时，，
由解得或，
当时，，舍去；
当时，，满足题意；
综上：.
故答案为：.
15. 已知圆，直线.当直线l被圆C截得弦长取得最小值时，直线l的方程为__________.
【答案】
【解析】
【分析】先求出直线所过的定点，再根据当直线时，直线l被圆C截得弦长取得最小值，求出直线的斜率，进而可得出答案.
【详解】由直线，
得，
令，解得，
即直线过定点，
圆得圆心，半径，
当直线时，直线l被圆C截得弦长取得最小值，
，所以，
所以直线的方程为，即.
故答案为：.
16. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点、的距离之比为定值（且）的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，在平面直角坐标系中，、，点满足，则的最小值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】设点，利用已知条件求出点的轨迹方程，利用平面向量数量积的运算性质可得出，求出的最小值，即可得出的最小值.
【详解】设点，由可得，整理可得，
化为标准方程可得，
因为为的中点，
所以，
，
记圆心为，当点为线段与圆的交点时，
取最小值，此时，，
所以，.
故答案为：.
四､解答题：本小题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 已知的三个顶点为.
（1）求边上的高所在直线的方程；
（2）求边上的中线所在直线的方程.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据两点的坐标求出直线的斜率，利用垂直关系求出高线的斜率，利用点斜式写出直线的方程；
（2）根据两点的坐标求出中点，再由两点坐标求出直线斜率，利用点斜式写出直线的方程.
【小问1详解】
因为的三个顶点为，
所以直线的斜率为，
所以边上的高所在直线的斜率为，
所以直线的方程为，
化为一般式方程为；
【小问2详解】
因为，所以的中点为，
又因为，所以直线的斜率为，
所以直线的点斜式方程为，
化为一般式为.
18. 经过椭圆的左焦点作倾斜角为45°的直线，直线与椭圆相交于两点，是椭圆的右焦点.
（1）求的周长.
（2）求的长.
【答案】（1）8 （2）
【解析】
【分析】（1）根据题意结合椭圆的定义运算求解；
（2）根据弦长公式结合韦达定理运算求解.
【小问1详解】
由椭圆方程可知：，则，
所以的周长为.
【小问2详解】
由（1）可知：，且直线的斜率，
可得：直线，设，
联立方程，消去y得，
则，且，
所以.
19. 如图，在长方体中，和交于点为的中点.
（1）求证：平面；
（2）已知与平面所成角为，求平面与平面的夹角的余弦值；
【答案】（1）证明见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）通过证明来证得平面.
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得平面与平面的夹角的余弦值.
【小问1详解】
连接.
因为长方体中，且，
所以四边形为平行四边形.
所以为的中点，
在中，因为分别为和的中点，所以.
因为平面平面，所以平面.
【小问2详解】
与平面所成角为.连接.
因为长方体中，平面平面，
所以.所以为直线与平面所成角，即.
所以为等腰直角三角形.
因为长方体中，所以.所以.
如图建立空间直角坐标系，因为长方体中，
则，
.
所以.
设平面的法向量为，则，即.
令，则，可得.
设平面的法向量为，
则，即.
令，则，所以.
设平面与平面的夹角为，
则.
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
20. 如图，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形（长、宽分别为、）和圆弧构成，截面总高度为，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有米，已知行车道总宽度.
（1）试建立恰当的坐标系，求出圆弧所在圆的一般方程；
（2）车辆通过隧道的限制高度为多少米？
【答案】（1）答案见解析
（2）米
【解析】
【分析】（1）以抛物线的顶点为坐标原点，的方向为轴的正方向建立平面直角坐标系，分析可知点在圆上，求出的等式，解之即可；
（2）将的方程代入圆的方程，求出值，结合题意可求得车辆通过隧道的限制高度.
【小问1详解】
解：以抛物线的顶点为坐标原点，的方向为轴的正方向建立如下图所示的平面直角坐标系，
故圆心在轴上，原点在圆上，可设圆的一般方程为
易知，点在圆上，将的坐标代入圆的一般方程得，
则该圆弧所在圆的一般方程为.
小问2详解】
解：令代入圆方程得，得或（舍），
由于隧道的总高度为米，且（米），
因此，车辆通过隧道的限制高度为米.
21. 如图，在四棱锥中，平面平面，为的中点，，，，，．
（1）求点到平面的距离；
（2）求直线与平面所成角的余弦值；
（3）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）当点为的中点时，有平面.
【解析】
【分析】（1）作平面，结合已知建立空间直角坐标系，先求出平面的法向量以及，再由公式即可求解.
（2）分别算出与平面的法向量，再由公式即可求解.
（3）若平面，则，而在第二问中已经求出，所以只需设，待定系数即可求解.
【小问1详解】
作平面，又，所以以的方向分别为轴，轴的正方向，建立如下图所示的空间直角坐标系：
因为平面平面，平面平面，且，平面，
所以平面，
又因为为的中点，，且，，，
所以由题意有，
所以有
不妨设平面的法向量为，
所以有，即，
取，解得，
所以点到平面的距离为.
【小问2详解】
如图所示：
由题意有，
所以有
不妨设平面的法向量为，
所以有，即，
取，解得，
不妨设直线与平面所成角为，
所以直线与平面所成角的正弦值为，
所以直线与平面所成角的余弦值为.
【小问3详解】
如图所示：
由题意有
所以，
由题意不妨设，
所以，
又由（2）可知平面的法向量为，
若平面，则，
即，解得，
所以当点为的中点时，有平面.
22. 设椭圆的离心率为，上、下顶点分别为A，B，．过点，且斜率为k的直线l与x轴相交于点F，与椭圆相交于C，D两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若，求k的值；
（3）是否存在实数k，使直线平行于直线？证明你的结论．
【答案】（1）
（2）
（3）不存在
【解析】
【分析】（1）直接由离心率和顶点坐标求解即可；
（2）由得到的中点重合，联立直线和椭圆方程，分别求出的中点坐标，解方程即可；
（3）假设存在，利用建立等式，解出不存在即可.
【小问1详解】
由题意，解得，故椭圆的方程为；
【小问2详解】
由题意知，，直线的方程为，则，联立，可得，
，设，有，则中点横坐标为，
又，则中点横坐标为，又因为，且四点共线，取中点，则，
所以，即，所以是的中点，即的中点重合，即，解得.
【小问3详解】
不存在实数，使直线平行于直线，证明如下：由题意，，则，
若，则，所以，即，即，
化简得，，由（2）得，，解得，
解得，所以，整理得，无解，
所以不存在实数，使直线平行于直线.
（试卷满分150分，考试用时120分钟）
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1. 直线倾斜角（ ）
A. B. C. D.
2. 直线被圆所截得的弦长为（ ）
A. B. 1C. D. 2
3. 若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，且，则的值是（ ）
A. －3B. －4
C. 3D. 4
4. 设，，，且∥，则（ ）
A. B. C. 3D. 4
5. 若圆与圆外切，则（ ）
A. 9B. 11C. 19D. 21
6. 如图，平行六面体的底面是矩形，其中，，，且，则线段的长为（ ）
A. 9B. C. D.
7. 直线与曲线有两个不同交点，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
8. 过椭圆上一点M作圆的两条切线，A、B为切点，过A、B的直线l与x轴和y轴分别交于P、Q两点，则（O为坐标原点）面积的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 关于椭圆有以下结论，其中正确有（ ）
A. 离心率为B. 长轴长是
C. 焦距2D. 焦点坐标为
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 直线的倾斜角范围是
B. 若直线与直线互相垂直，则
C. 过两点，的直线方程为
D. 经过点且在x轴和y轴上截距都相等直线方程为
11. 下列结论正确的是（ ）
A. 已知点在圆上，则最小值是-7
B. 已知直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围为
C. 已知点是圆外一点，直线的方程是，则与圆相交
D. 若圆上恰有两点到点的距离为1，则的取值范围是
12. 如图，正方体的棱长为1，正方形的中心为，棱，的中点分别为，，则（ ）
A.
B.
C. 异面直线与所成角的余弦值为
D. 点到直线的距离为
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13. 椭圆上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为________．
14. 已知直线，，若，则的值是___________.
15. 已知圆，直线.当直线l被圆C截得弦长取得最小值时，直线l的方程为__________.
16. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点、的距离之比为定值（且）的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，在平面直角坐标系中，、，点满足，则的最小值为___________.
四､解答题：本小题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 已知的三个顶点为.
（1）求边上的高所在直线的方程；
（2）求边上的中线所在直线的方程.
18. 经过椭圆的左焦点作倾斜角为45°的直线，直线与椭圆相交于两点，是椭圆的右焦点.
（1）求的周长.
（2）求的长.
19. 如图，在长方体中，和交于点为的中点.
（1）求证：平面；
（2）已知与平面所成角为，求平面与平面的夹角的余弦值；
20. 如图，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形（长、宽分别为、）和圆弧构成，截面总高度为，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有米，已知行车道总宽度.
（1）试建立恰当的坐标系，求出圆弧所在圆的一般方程；
（2）车辆通过隧道的限制高度为多少米？
21. 如图，在四棱锥中，平面平面，为的中点，，，，，．
（1）求点到平面的距离；
（2）求直线与平面所成角的余弦值；
（3）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由．
22. 设椭圆的离心率为，上、下顶点分别为A，B，．过点，且斜率为k的直线l与x轴相交于点F，与椭圆相交于C，D两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若，求k的值；
（3）是否存在实数k，使直线平行于直线？证明你的结论．
2022级学生联考共同体第一次考试
数学试卷
（试卷满分150分，考试用时120分钟）
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1. 直线倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用直线方程得到斜率，利用斜率定义求倾斜角即可.
【详解】，
设该直线的倾斜角为，
因为直线的斜率为，
因数，所以.
故选：C.
2. 直线被圆所截得的弦长为（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆的方程，写出圆心和半径，利用点到直线的距离公式，求得弦心距，利用弦长公式，可得答案.
【详解】由圆的方程，则其圆心为，半径为，
圆心到直线的距离，
则弦长.
故选：C.
3. 若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，且，则的值是（ ）
A. －3B. －4
C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】根据两平面平行得到两法向量平行，进而得到方程组，求出，得到答案.
【详解】∵，
∴，
故存在实数，使得，
即，故，解得，
∴.
故选：A
4. 设，，，且∥，则（ ）
A. B. C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据，可得，；再根据∥，可得，进而得，最后根据向量的坐标求模即可.
【详解】解：因为，，且，
所以，解得，
所以，
又因为，且∥，
所以，
所以，
所以，
所以.
故选：C
5. 若圆与圆外切，则（ ）
A. 9B. 11C. 19D. 21
【答案】A
【解析】
【分析】先求出两圆圆心和半径，再根据两圆外切可得两圆圆心距等于半径之和，进而列出方程求解即可.
【详解】由圆，则圆心，半径，
由圆，即，
则圆心，，，
所以，
因为两圆外切，则，
即，解得.
故选：A.
6. 如图，平行六面体的底面是矩形，其中，，，且，则线段的长为（ ）
A. 9B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由，两边平方，利用勾股定理以及数量积的定义求出的值，进而可得答案
【详解】由，
.
因为底面是矩形，，，，
所以，，
因为，
所以
所以，
故选：C.
7. 直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分析可知，曲线表示圆的下半圆，作出图形，求出当直线与曲线相切以及直线过点时对应的的值，数形结合可得出实数的取值范围.
【详解】由可得，整理可得，其中，
所以，曲线表示圆的下半圆，如下图所示：
当直线与曲线相切时，由图可知，，
且有，解得，
当直线过点时，则有，
由图可知，当时，直线与曲线有两个公共点，
故选：B.
8. 过椭圆上一点M作圆的两条切线，A、B为切点，过A、B的直线l与x轴和y轴分别交于P、Q两点，则（O为坐标原点）面积的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设点，结合圆的切线方程求得直线的方程，即可求得面积的表达式，结合基本不等式即可求解答案.
【详解】设点，则，
设，则点A处的切线方程为，
点B处的切线方程为，
由于这两条切线都过点，则，
故直线的方程为，
令，令，
即，则，
由于，
当且仅当，即时等号成立，
故，
即面积的最小值为，
故选：B
【点睛】关键点睛：本题求面积的最小值，因此要想法求得该三角形面积的表达式，故解答本题的关键在于要求出直线AB的方程，从而求得A，B的坐标，即可求得三角形面积表达式，结合基本不等式即可求解.
二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 关于椭圆有以下结论，其中正确的有（ ）
A. 离心率为B. 长轴长是
C. 焦距2D. 焦点坐标为
【答案】ACD
【解析】
【分析】将椭圆方程化为标准方程，再由椭圆的几何性质可得选项.
【详解】将椭圆方程化为标准方程为
所以该椭圆的焦点在轴上，焦点坐标为，故焦距为2，故C、D正确；
因为所以长轴长是，故B错误，
因为，所以，离心率，故A正确.
故选：ACD
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 直线的倾斜角范围是
B. 若直线与直线互相垂直，则
C. 过两点，的直线方程为
D. 经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为
【答案】AC
【解析】
【分析】根据直线斜率和倾斜角的关系，直线位置关系以及直线方程的应用，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】对A：直线，其斜率，设直线倾斜角为，
故可得，则，故A正确；
对B：直线与直线互相垂直，则，
解得或，故错误；
对：过两点，的直线方程为，故C正确；
对D：经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为和，故D错误；
故选：AC.
11. 下列结论正确的是（ ）
A. 已知点在圆上，则的最小值是-7
B. 已知直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围为
C. 已知点是圆外一点，直线的方程是，则与圆相交
D. 若圆上恰有两点到点的距离为1，则的取值范围是
【答案】CD
【解析】
【分析】对于A,令，即，根据题意，由圆心到直线的距离求解判断；对于B，根据直线恒过定点，求得判断；对于C，由点是圆外一点，得到判断；对于D，由圆与圆相交求解判断.
【详解】对于A，令，即，
因为点在圆上，
则圆心到直线的距离，即，
解得或，所以无最小值，故A错误；
对于B，因为直线，则，解得，
则其恒过定点，
则，
因为以为端点的线段相交，
所以或，故B错误；
对于C，因为点是圆外一点，所以，
圆心到直线，则与圆相交，故C正确；
对于D，圆，圆，
圆心距为，
因为圆上恰有两点到点的距离为1，
所以两圆相交，则，
解得，故D正确；
故选：CD
12. 如图，正方体的棱长为1，正方形的中心为，棱，的中点分别为，，则（ ）
A.
B.
C. 异面直线与所成角余弦值为
D. 点到直线的距离为
【答案】ABD
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，结合空间向量逐项判断；
【详解】故以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.
，，，，
，选项A正确；
，
所以
根据三角函数两角正余弦关系解得：
，选项B正确；
，
选项C错误；
点到直线的距离为：，
而
所以选项D正确；
故选：ABD.
【点睛】关键点睛：构建空间直角坐标系，运用空间向量解题是本题的思维出发点和突破点；
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13. 椭圆上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为________．
【答案】8
【解析】
【分析】根据椭圆的定义计算即可.
【详解】设椭圆的左、右焦点分别为，结合椭圆定义，可得.
故答案为：8
14. 已知直线，，若，则的值是___________.
【答案】
【解析】
【分析】利用直线一般式情况下平行的结论即可得解.
【详解】因为，，，
所以当，即时，，，显然不满足题意；
当，即时，，
由解得或，
当时，，舍去；
当时，，满足题意；
综上：.
故答案为：.
15. 已知圆，直线.当直线l被圆C截得弦长取得最小值时，直线l的方程为__________.
【答案】
【解析】
【分析】先求出直线所过的定点，再根据当直线时，直线l被圆C截得弦长取得最小值，求出直线的斜率，进而可得出答案.
【详解】由直线，
得，
令，解得，
即直线过定点，
圆得圆心，半径，
当直线时，直线l被圆C截得弦长取得最小值，
，所以，
所以直线的方程为，即.
故答案为：.
16. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点、的距离之比为定值（且）的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，在平面直角坐标系中，、，点满足，则的最小值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】设点，利用已知条件求出点的轨迹方程，利用平面向量数量积的运算性质可得出，求出的最小值，即可得出的最小值.
【详解】设点，由可得，整理可得，
化为标准方程可得，
因为为的中点，
所以，
，
记圆心为，当点为线段与圆的交点时，
取最小值，此时，，
所以，.
故答案为：.
四､解答题：本小题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 已知的三个顶点为.
（1）求边上的高所在直线的方程；
（2）求边上的中线所在直线的方程.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据两点的坐标求出直线的斜率，利用垂直关系求出高线的斜率，利用点斜式写出直线的方程；
（2）根据两点的坐标求出中点，再由两点坐标求出直线斜率，利用点斜式写出直线的方程.
【小问1详解】
因为的三个顶点为，
所以直线的斜率为，
所以边上的高所在直线的斜率为，
所以直线的方程为，
化为一般式方程为；
【小问2详解】
因为，所以的中点为，
又因为，所以直线的斜率为，
所以直线的点斜式方程为，
化为一般式为.
18. 经过椭圆的左焦点作倾斜角为45°的直线，直线与椭圆相交于两点，是椭圆的右焦点.
（1）求的周长.
（2）求的长.
【答案】（1）8 （2）
【解析】
【分析】（1）根据题意结合椭圆的定义运算求解；
（2）根据弦长公式结合韦达定理运算求解.
【小问1详解】
由椭圆方程可知：，则，
所以的周长为.
【小问2详解】
由（1）可知：，且直线的斜率，
可得：直线，设，
联立方程，消去y得，
则，且，
所以.
19. 如图，在长方体中，和交于点为的中点.
（1）求证：平面；
（2）已知与平面所成角为，求平面与平面的夹角的余弦值；
【答案】（1）证明见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）通过证明来证得平面.
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得平面与平面的夹角的余弦值.
【小问1详解】
连接.
因为长方体中，且，
所以四边形为平行四边形.
所以为的中点，
在中，因为分别为和的中点，所以.
因为平面平面，所以平面.
【小问2详解】
与平面所成角为.连接.
因为长方体中，平面平面，
所以.所以为直线与平面所成角，即.
所以为等腰直角三角形.
因为长方体中，所以.所以.
如图建立空间直角坐标系，因为长方体中，
则，
.
所以.
设平面的法向量为，则，即.
令，则，可得.
设平面的法向量为，
则，即.
令，则，所以.
设平面与平面的夹角为，
则.
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
20. 如图，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形（长、宽分别为、）和圆弧构成，截面总高度为，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有米，已知行车道总宽度.
（1）试建立恰当的坐标系，求出圆弧所在圆的一般方程；
（2）车辆通过隧道的限制高度为多少米？
【答案】（1）答案见解析
（2）米
【解析】
【分析】（1）以抛物线的顶点为坐标原点，的方向为轴的正方向建立平面直角坐标系，分析可知点在圆上，求出的等式，解之即可；
（2）将的方程代入圆的方程，求出值，结合题意可求得车辆通过隧道的限制高度.
【小问1详解】
解：以抛物线的顶点为坐标原点，的方向为轴的正方向建立如下图所示的平面直角坐标系，
故圆心在轴上，原点在圆上，可设圆的一般方程为
易知，点在圆上，将的坐标代入圆的一般方程得，
则该圆弧所在圆的一般方程为.
小问2详解】
解：令代入圆方程得，得或（舍），
由于隧道的总高度为米，且（米），
因此，车辆通过隧道的限制高度为米.
21. 如图，在四棱锥中，平面平面，为的中点，，，，，．
（1）求点到平面的距离；
（2）求直线与平面所成角的余弦值；
（3）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）当点为的中点时，有平面.
【解析】
【分析】（1）作平面，结合已知建立空间直角坐标系，先求出平面的法向量以及，再由公式即可求解.
（2）分别算出与平面的法向量，再由公式即可求解.
（3）若平面，则，而在第二问中已经求出，所以只需设，待定系数即可求解.
【小问1详解】
作平面，又，所以以的方向分别为轴，轴的正方向，建立如下图所示的空间直角坐标系：
因为平面平面，平面平面，且，平面，
所以平面，
又因为为的中点，，且，，，
所以由题意有，
所以有
不妨设平面的法向量为，
所以有，即，
取，解得，
所以点到平面的距离为.
【小问2详解】
如图所示：
由题意有，
所以有
不妨设平面的法向量为，
所以有，即，
取，解得，
不妨设直线与平面所成角为，
所以直线与平面所成角的正弦值为，
所以直线与平面所成角的余弦值为.
【小问3详解】
如图所示：
由题意有
所以，
由题意不妨设，
所以，
又由（2）可知平面的法向量为，
若平面，则，
即，解得，
所以当点为的中点时，有平面.
22. 设椭圆的离心率为，上、下顶点分别为A，B，．过点，且斜率为k的直线l与x轴相交于点F，与椭圆相交于C，D两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若，求k的值；
（3）是否存在实数k，使直线平行于直线？证明你的结论．
【答案】（1）
（2）
（3）不存在
【解析】
【分析】（1）直接由离心率和顶点坐标求解即可；
（2）由得到的中点重合，联立直线和椭圆方程，分别求出的中点坐标，解方程即可；
（3）假设存在，利用建立等式，解出不存在即可.
【小问1详解】
由题意，解得，故椭圆的方程为；
【小问2详解】
由题意知，，直线的方程为，则，联立，可得，
，设，有，则中点横坐标为，
又，则中点横坐标为，又因为，且四点共线，取中点，则，
所以，即，所以是的中点，即的中点重合，即，解得.
【小问3详解】
不存在实数，使直线平行于直线，证明如下：由题意，，则，
若，则，所以，即，即，
化简得，，由（2）得，，解得，
解得，所以，整理得，无解，
所以不存在实数，使直线平行于直线.
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