重庆市八校联盟2020-2021学年高二上学期期末考试 数学试题

这是一份重庆市八校联盟2020-2021学年高二上学期期末考试 数学试题，共28页。试卷主要包含了选择题，不定项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。
一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）
已知集合，集合，则等于
A. B. C. D.
已知实数a，b，m满足记满足此条件的m的值形成的集合为M，则函数，且的最小值为
A. B. C. D.
已知双曲线E：的右焦点为F，过F作过第一象限的渐近线的垂线，垂足为M，交另一条渐近线于点N，若，则E的离心率为
A. B. C. D.
已知焦点在x轴上且离心率为的椭圆E，其对称中心是原点，过点的直线与E交于A，B两点，且，则点B的纵坐标的取值范围是
A. B. C. D.
有下列命题：“或”是“”的必要不充分条件；已知命题对任意负实数x，都有，则是：存在非负实数x，满足；已知数列与满足，则“数列为等差数列”是“数列为等差数列”的充分不必要条件；已知分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上的动点，则的最小值为其中所有真命题的个数是
A. 4B. 3C. 2D. 1
三棱锥的三个侧面两两垂直，则顶点P在底面ABC的射影为的
A. 内心B. 外心C. 重心D. 垂心
设圆C：，直线l：，点，若存在点，使得为坐标原点，则的取值范围是
A. B. C. D.
将参加数学竞赛决赛的500名同学编号为：001，002，，500，采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽的号码为003，这500名学生分别在三个考点考试，从001到200在第一考点，从201到352在第二考点，从353到500在第三考点，则第二考点被抽中的人数为
A. 14B. 15C. 16D. 17
二、不定项选择题（本大题共4小题，共16.0分）
下列命题正确的是
A. 已知R，则“”是“”的充分不必要条件
B. 根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为，若样本中心点为，则
C. 若随机变量，且，则
D. 已知函数是定义在R上的偶函数，且在上单调递减，，则不等式的解集为
在含有3件次品的50件产品中，任取2件，则下列说法正确的是
A. 恰好取到一件次品有不同取法；
B. 至少取到一件次品有不同取法；
C. 两名顾客恰好一人买到一件次品一人买到一件正品有不同取法；
D. 把取出的产品送到检验机构检查能检验出有次品的有不同种方式．
已知函数满足，且在上有最大值，无最小值，则下列结论正确的是
A.
B. 若，则
C. 的最小正周期为4
D. 在上的零点个数最少为1010个
发现土星卫星的天文学家乔凡尼卡西尼对把卵形线描绘成轨道有兴趣．像笛卡尔卵形线一样，笛卡尔卵形线的作法也是基于对椭圆的针线作法作修改，从而产生更多的卵形曲线．卡西尼卵形线是由下列条件所定义的：曲线上所有点到两定点焦点的距离之积为常数．已知：曲线C是平面内与两个定点和的距离的积等于常数的点的轨迹，则下列命题中正确的是
A. 曲线C过坐标原点
B. 曲线C关于坐标原点对称
C. 曲线C关于坐标轴对称
D. 若点在曲线C上，则的面积不大于
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
已知函数，求曲线过点处的切线方程______．
关于函数有如下四个命题：是的周期；的图象关于原点对称；的图象关于对称；的最大值为其中所有真命题是________填命题序号
已知椭圆长轴的右端点为A，其中O为坐标原点，若椭圆上不存在点P，使AP垂直PO，则椭圆的离心率的最大值为____________．
已知向量，，若函数 在区间 上是增函数，则t 的取值范围为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）
在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．求角C的大小；
若，，的周长为12，求的面积．
已知数列满足：，且对任意的，都有1，成等差数列．
证明数列等比数列；
已知数列前n和为，条件：，条件：，请在条件中仅选择一个条件作为已知条件来求数列前n和．
已知中，，，，分别取边AB，AC的中点D，E，将沿DE折起到的位置，设点M为棱的中点，点P为的中点，棱BC上的点N满足．
求证：平面；
试探究在折起的过程中，是否存在一个位置，使得三棱锥的体积为18，若存在，求出二面角的大小，若不存在，请说明理由．
某市高考模拟考试数学试卷解答题的网上评卷采用“双评仲裁”的方式：两名老师独立评分，称为一评和二评，当两者所评分数之差的绝对值小于或等于1分时，取两者平均分为该题得分；当两者所评分数之差的绝对值大于1分时，再由第三位老师评分，称之为仲裁，取仲裁分数和一、二评中与之接近的分数的平均分为该题得分；当一、二评分数和仲裁分数差值的绝对值相同时，取仲裁分数和一、二评中较高的分数的平均分为该题得分．有的学生考试中会做的题目答完后却得不了满分，原因多为答题不规范，比如：语言不规范、缺少必要文字说明、卷面字迹不清、得分要点缺失等等，把这样的解答称为“缺憾解答”该市教育研训部门通过大数据统计发现，满分为12分的题目，这样的“缺憾解答”，阅卷老师所评分数及各分数所占比例如表：
将这个表中的分数所占比例视为老师对满分为12分题目的“缺憾解答”所评分数的概率，且一、二评与仲裁三位老师评分互不影响．
已知一个同学的某道满分为12分题目的解答属于“缺憾解答”．
求该同学这个题目需要仲裁的概率；
求该同学这个题目得分X的分布列及数学期望精确到整数．
已知抛物线的焦点为F，直线l与抛物线C交于两点．
若l过点F，抛物线C在点P处的切线与在点Q处的切线交于点记点G的纵坐标为，求的值．
若，点在曲线上且线段的中点均在抛物线C上，记线段的中点为N，面积为用表示点N的横坐标，并求的值．
已知函数．
求不等式的解集；
函数，若存在，，使得成立，求实数a的取值范围；
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
【试题解析】
【分析】
本题考查交集及其运算，先分别得出集合A、B，再取交集即可，属于基础题．
【解答】
解：集合，
，
，
故选A．
2.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，涉及基本不等式与一元二次不等式的解法，是中档题．
由已知得，结合，可求出m的取值范围求，设，求，研究的单调性和最值，从而可的单调性和最小值．
【解答】
解：根据题意，得
又，当且仅当时等号成立，
所以，
所以，解得．
因为，
所以，
设，则，
当时，，当时，，
所以当时，，
即当时，恒成立，
所以当且时，恒成立，
所以在上单调递增，在上单调递增，
所以当时，函数取得最小值，且．
故选D．
3.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的方程与性质，考查向量知识的运用，确定a，b，c之间的关系是关键，考查运算能力，属于中档题．
设O为坐标原点，直线FM交y轴于点R，，，用a，b表示，，再求出，由，得，可得a，b，c的关系式，结合离心率公式即可得出所求值．
【解答】
解：设O为坐标原点，直线FM交y轴于点R，，，
因为，，，
所以，，，
所以．
又因为，所以．
又由，得，即，
结合整理可得，即离心率．
故选B．
4.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查直线与椭圆的位置关系，考查向量法求解相关范围问题，属于中档题根据椭圆的离心率可设椭圆E的标准方程为，设，由向量关系得到然后将点的坐标代入椭圆方程，得到由即可得到答案．
【解答】
解：设，，
则由，可得，
解得，，即
由题意可设椭圆E的标准方程为，
所以
消去，的平方项，得，
由，即，
解得，又，所以，
所以，故选A．
5.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查命题的真假判定，属于中档题，分别进行充分性和必要性判断即可，根据全称量词命题否定判断即可，根据等差数列的定义结合充分条件和必要条件的定
义分别进行判断即可，由题意求出的最小值即可判断．
【解答】
解：充分性：当“且”时，令，，此时，不能推出””的结论，因此充分性不成立
必要性：当“”时，令，，此时不能推出“且”的结论，因此必要性不成立。
故“且”是“”的既非充分也非必要条件。故是假命题，
已知命题对任意负实数x，都有，则是：存在非负实数x，满足，故是真命题，
若数列为等差数列，设公差为d，则当时，，为常数，则数列为等差数列，即充分性成立，
若数列为等差数列，设公差为b，则时，为常数，则无法推出为常数，即无法判断数列为等差数列，即必要性不成立，
即“数列为等差数列”是“数列为等差数列”充分不必要条件，故正确，
由题意可知，，设，，，且，，
令，，，的最小值为1，故正确，
正确，故选B．
6.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查了平面与平面垂直的性质，线面垂直、线线垂直的判定，以及棱锥的结构特征，属于中档题，
三个侧面两两垂直，可得三条侧棱两两垂直，根据线面垂直、线线垂直的转化，可得结论．
【解答】
解：由三棱锥的三个侧面两两垂直，可得三条侧棱两两垂直，
由，，PB、平面PBC，，
平面PBC，
又平面．
设点P在底面ABC的射影是O，则平面ABC，
平面ABC，．
又PA、PO为平面PAO内两条相交直线，
平面PAO，AO在平面PAO内，则；
同理可证，，故O为的垂心．
故选D．
7.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查圆的方程，直线与圆的位置关系，属于较难题．
解题的关键是结合图形，利用几何知识，判断出，从而得到不等式求出参数的取值范围．
【解答】
解：圆C外有一点P，圆上有一动点Q，在PQ与圆相切时取得最大值，
因为，QO为定值，即半径，
PO变大，则变小，由于，
所以也随之变小，可以得知，
当，且PQ与圆相切时，，
而当时，Q在圆上任意移动，恒成立，
因此，PO的取值范围就是，
即满足，就能保证一定存在点Q，使得．
由分析可得：，
又因为P在直线l上，所以，
故，
解得，，
即的取值范围是，
故选B．
8.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查系统抽样的应用，根据条件建立等差数列关系是解决本题的关键．
根据系统抽样的方法的要求，确定分段间隔，根据随机抽得的号码为003，分别计算从001到200，从201到352，可得结论．
【解答】
解：系统抽样的分段间隔为，
在随机抽样中，首次抽到003号，以后每隔10个号抽到一个人，
则被抽中的人数构成以3为首项，10为公差的等差数列，
故可分别求出在001到200中有20人，在201至352号中共有15人．
故选B．
9.【答案】AB
【解析】
【试题解析】
【分析】本题考查充分必要条件的判断，线性回归方程的性质，二项分布期望方差的计算以及函数不等式的求解，属于中档题，解题时对每个选项逐一判断即可。
【解答】解：选项A：可得，因为可以推出，但是推不出
所以”是“”的充分不必要条件，故A对；
选项B：根据回归方程过样本中心点可知，故B对；
选项C：随机变量服从二项分布，
，，故C错；
选项D：不等式的解集为，当x为负数时对数无意义，故解集不正确，故D错；
故选AB．
10.【答案】AC
【解析】
【分析】
本题考查组合数的运用，是基础题．
由题意恰好取到1件次品包含的基本事件个数为，至少取到一件次品有，两名顾客恰好一人买到一件次品一人买到一件正品有不同取法，所以把取出的产品送到检验机构检查能检验出有次品的有．
【解答】
解：对于A：在含有3件次品的10件产品中，任取2件，
恰好取到1件次品包含的基本事件个数为，A正确，
对于B：由题意可得，至少取到1件次品包括两种情况：
只抽到一件次品，抽到两件次品，
所以共有至少取到一件次品有，B错误，
对于C：两名顾客恰好一人买到一件次品一人买到一件正品有不同取法，C正确，
对于D：有次品即可，所以把取出的产品送到检验机构检查能检验出有次品的有，D错误，
故选AC．
11.【答案】AC
【解析】
【试题解析】
【分析】
本题考查函数的图象与性质，属于较难题．
结合三角函数的性质依次判断即可．
【解答】
解：对于A项，由题意得，在的区间中点处取得最大值，即，所以A正确
对于B项，假设若，则成立，由A项知，，
而，故假设不成立，则B项错误
对于C项，，且在上有最大值，无最小值，
不妨令，，，
则两式相减，得，即函数的最小正周期，故C项正确
对于D项，若的最小值周期，所以函数在区间上的长度恰好为505个周期，
当，即，，在区间上的零点个数至少为个，故D项错误．
故选AC．
12.【答案】BCD
【解析】解：由题意设动点坐标为，
则，
即，
若曲线C过坐标原点，将点代入曲线C的方程中可得与已知矛盾，
故曲线C不过坐标原点，故A错误；
把方程中的x被代换，y被代换，方程不变，
故曲线C关于坐标原点对称，故B正确；
因为把方程中的x被代换，方程不变，故此曲线关于y轴对称，
把方程中的y被代换，方程不变，故此曲线关于x轴对称，
故曲线C关于坐标轴对称，故C正确；
若点P在曲线C上，则，
，当且仅当时等号成立，
故的面积不大于，故D正确．
故选：BCD．
设动点坐标为，根据题意可得曲线C的方程为，对各个选项逐一验证，即可得出结论．
本题考查新定义，考查轨迹方程的求法，考查学生分析解决问题的能力，正确运用新定义是解题的关键，属于难题．．
13.【答案】或
【解析】解：显然点不在曲线上，设切点为，
由的导数，
可得切线的斜率，
切线的方程为，
代入点，可得，
化为，解得或，
则切线的方程为或，
故答案为：或．
设切点为，求得的导数，可得切线的斜率和方程，代入点，解方程可得m，进而得到所求切线的方程．
本题考查导数的运用：求切线的方程，以及直线方程的运用，注意在某点处与过某点的切线的区别，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
14.【答案】
【解析】
【解析】
【分析】
本题考查三角函数的图象与性质，考查三角恒等变换，属基础题．
依题意，根据诱导公式化简，可判断；化简，可判断；
化简，可判断；令得，，当时，，可判断．
【解答】
解：
，是真命题；
，，是假命题；
，是真命题；令，则，
故，故函数可看做，当时，，是真命题．
故答案为．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查椭圆的性质，圆与椭圆的位置关系，属于中档题．
设点 ，假设 AP垂直 PO，则点 P在圆 上，联立椭圆方程可得 ，根据椭圆的性质 ，建立不等式即可求解．
【解答】
解：设点，假设AP垂直PO，则点P在圆上，
，整理得，
由韦达定理得 ，解得： ，又因为 ，
，解得： ， ，又 ， ，
若椭圆上不存在点 P，使 AP垂直 PO，椭圆离心率的取值范围为
即椭圆离心率的最大值为 ．
故答案为．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了平面向量的数量积以及利用导数研究函数的单调性问题，是综合题．
求出向量与的数量积，即得，利用导数研究在区间上的单调性，从而求出t的取值范围．
【解答】
解：向量，，
，
，
在上是增函数，
在上恒成立，
即，
．
的取值范围为．
故答案为．
17.【答案】解：因为，
且，
所以，
所以．
又，
所以或，
所以或
由及，得，
因为，，
所以，
又，
所以．
【解析】本题考查余弦定理，二倍角公式，特殊角的三角函数值，三角形面积公式，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
利用余弦定理，二倍角公式化简可得，由特殊角的三角函数值即可得解．
由及，得，由三角形的周长求得，由余弦定理即可解得ab的值，进而求得三角形的面积．
18.【答案】由条件可知，
即，，且，
是以为首项，为公比的等比数列，
，
选择条件：，
利用错位相减法：
化简得
选择条件：，
，
，
利用错位相减法： ，
，
化简得．
【解析】本题考查的是等差数列的性质，等比数列的证明，错位相减法求和．
由条件可知，即，从而得出数列等比数列；
选择条件：，利用错位相减法即可得出数列前n和为；
选择条件：，利用错位相减法即可得出数列前n和为．
19.【答案】证明：取中点F，连接MF，CF，
为棱的中点，且，
而折叠前中，D，E为边AB，AC的中点，
则，且，
，即且，
四边形MFCN为平行四边形，，
平面，平面，平面；
在中，；
所以在立体图中，，
是二面角的平面角，
又，，，，
，，
在面内作于O，则，
为三棱锥的高．
，
，
，所以到BD的距离为6，
当为锐角时，，，
符合要求的的位置存在且二面角的大小为或．
【解析】本题重点考查线面平行的判定和棱锥的体积公式和二面角，涉及线面垂直的判定、线面垂直的性质、面面垂直的判定、三棱锥的体积转化与计算，属于较难题．
取中点F，连接MF，CF，通过求证，即可求证平面；
先说明是二面角的平面角，再利用等体积法求出到BD的距离，进一步可求出存在且二面角的大小为或．
20.【答案】解：记A表示事件：“该同学这个解答题需要仲裁”，设一评、二评所打分数分别为x，y，
由题设知事件A的所有可能情况有：或
随机变量X的可能取值为9，，10，，11，设仲裁所打分数为z，
则
，
的分布列为：
．
【解析】本题考查互斥事件与对立事件，相互独立事件的概率计算、离散型随机变量的分布列和数学期望，属于中档题．
由题意知一评、二评所打分数分别为11，9或9，11，求解即可；
根据评分规则可知，随机变量X的可能取值为9，，10，，11，再分析一评、二评和仲裁的打分情况，然后根据相互独立事件的概率逐一求出每个X的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望；
21.【答案】解：易知，设，，
由题意可知直线l的斜率存在，故设其方程为，
由得，所以．
由，得，，则，
直线PG的方程为，即，
同理可得直线QG的方程为，
联立可得．
因为，所以，
故点G的纵坐标为
，MQ的中点分别为．
因为MP，MQ的中点均在抛物线C上，
所以，为方程的解，
即方程的两个不同的实根．
则，，即，
所以PQ的中点N的横坐标为，
则，．
所以的面积，
则，
故
【解析】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，抛物线的简单性质的应用，考查分析问题解决问题的能力，是难题．
求出，设，设直线方程为联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，可得直线PG的方程为，即，同理可得直线QG的方程为，联立，再结合韦达定理求解即可．
，MQ的中点分别为说明，为方程的两个不同的实根．利用韦达定理以及弦长公式，求解三角形的面积推出结果即可．
22.【答案】解：因为函数的是定义在区间上的减函数，
且满足，所求不等式等价转化为，
即，由此求得解集为．
由题意知： 时，与值域有交集．时，是减函数，
当时，时单调递减，

当时，时单调递增，显然不符合．
综上： a的取值范围为．
【解析】本题考查了函数的奇偶性与单调性的综合应用，对数函数与指数函数的值域，属于中档题．
化简函数表达式判断其奇偶性与单调性，借助性质求解不等式；
由题意可知函数与值域有交集，将问题转化为求解的值域问题．
教师评分
11
10
9
分数所占比例
X
9
10
11
P