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山西省晋城市2020-2021学年高二上学期期末考试 数学（文）试题
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这是一份山西省晋城市2020-2021学年高二上学期期末考试 数学（文）试题，文件包含数学文试题pdf、数学文答题卡2pdf、数学文答题卡1pdf、数学文答案doc等4份试卷配套教学资源，其中试卷共14页， 欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．已知点，，则直线的倾斜角为（ ）
A．30B．45C．120D．135
2. 给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②存在每个面都是直角三角形的四面体；③若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等.其中正确命题的个数是( )
A. B. C. D.
3. 双曲线：的左右焦点分别为，，点在双曲线上且，则等于（ ）
A. 12或28 B. 14或26 C. 16或24 D. 17或23
4. 已知直线和互相平行，则( )
A. B. C. ， D. ，
5. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知，则“”是“方程表示双曲线”的（ ）
A. 充分必要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
7.已知向量a，b满足，，，则
A． B． C． D．
8. 直三棱柱中，若，，则异面直线与所成的角等于
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
9. 设，，若直线与圆相切，则的取值范围是（ ）．
A. B.
C. D.
10. 设分别是椭圆的左、右焦点，若在直线上存在点P，使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．B．C． D．
11.已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是
A． B．
C． D．
12. 如图，在三棱锥中，，，两两互相垂直，，点，分别在侧面、棱上运动，，为线段中点，当，运动时，点的轨迹把三棱锥分成上、下两部分的体积之比等于( )
A. B.
C. D.
填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．命题“”的否定是________.
14. 已知直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若，，则该球的表面积等于__________．
15．已知直线y＝ax与圆C：x2＋y2－6y＋6＝0相交于A，B两点，C为圆心.若△ABC为等边三角形，则a的值为________.
16.如图所示，已知M，N为双曲线上关于原点对称的两点，点M与点Q关于x轴对称，，直线交双曲线右支于点P，若，则_____________．
三、解答题（本大题共6题，共70分）
17．（10分） 已知p：，2x>m(x2+1)，q：函数f(x)=4x+2x+1+m-1存在零点.若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数m的取值范围.
18. （12分）数列
（1）求的通项公式；
（2）若数列
（12分）在锐角中，内角所对的边分别为.
已知.
（1）求角的大小；
（2）求的取值范围.
20.（12分）如图，已知三棱柱ABC−A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点．过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．
（1）证明：AA1//MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；
（2）设O为△A1B1C1的中心，若AO=AB=6，AO//平面EB1C1F，且∠MPN=，求四棱锥B−EB1C1F的体积．
21.（12分）已知在平面直角坐标系中，圆与轴交于，两点，点 在第一象限且为圆外一点，直线，分别交圆于点，，交轴于点，．
（Ⅰ）若直线的倾斜角为60°，，求点坐标；
（Ⅱ）过作圆的两条切线分别交轴于点，，试问是否为定值？若是，求出这个定值：若不是，说明理由．
22.（12分）抛物线的焦点为F，准线为l，点P为抛物线上一点，，垂足为A，若直线的斜率为，且．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若过F的直线与曲线C交于P，Q两点，直线与直线分别交于A，B两点，试判断以为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．
2020—2021学年上学期高二年级期末考试
数学试题（文科）答案
选择题
1-6 CCBBAB 7-12 DCDDDA
二、填空题
13. 14.5
15. 16.
三、解答题
17.解：由题意得：，2x>m(x2+1)，即在上恒成立，
因为在为单调递减函数，
所以当x=时，，
所以，
所以若命题p为真命题，则，………………3分
设t=2x，则t∈(0，+∞)，则函数f(x)化为g(t)=t2+2t+m-1，
由题意知g(t)在(0，+∞)上存在零点，令g(t)=0，得m=-(t+1)2+2，
又t>0，所以若命题q为真，则m<1.………………6分
又因为“p∨q”为真，“p∧q”为假，所以命题p，q一真一假，
即p真q假，或p假q真，
所以或，解得≤m<1，………………9分
故所求实数m的取值范围是.………………10分
18.解：（1），①
当时，，②
①－②得，，
当时，，符合上式.
所以.…………………………6分
（2）因为，所以，
即，，
，①
，②…………………8分
①－②得，
，…………………11分
所以.……………………12分
19..解：（1）∵，
∴sinBsinA＝sinA（sinB+csB），sinA≠0．…………………2分
化为：sinB﹣csB＝0，
∴tanB＝，…………………4分
因为，
所以B＝．…………………6分-wqpyy
（2）由（1）可得：A+C＝π﹣B＝，又△ABC为锐角三角形，∴0＜C＝﹣A＜，0＜A＜，∴＜A＜，……………………8分
∴＝＝＝
＝+∈，………………11分
∴的取值范围是．………………12分
20.解（1）（1）因为M，N分别为BC，B1C1的中点，所以MN∥CC1．又由已知得AA1∥CC1，故AA1∥MN．
因为△A1B1C1是正三角形，所以B1C1⊥A1N．又B1C1⊥MN，故B1C1⊥平面A1AMN．
所以平面A1AMN⊥平面EB1C1F．………………5分
（2）AO∥平面EB1C1F，AO平面A1AMN，平面A1AMN平面EB1C1F =PN，
故AO∥PN.又AP∥ON，故四边形APNO是平行四边形，
所以PN=AO=6，AP =ON=AM=，PM=AM=2，EF=BC=2．
因为BC∥平面EB1C1F，所以四棱锥B−EB1C1F的顶点B到底面EB1C1F的距离等于点M到底面EB1C1F的距离．
作MT⊥PN，垂足为T，则由（1）知，MT⊥平面EB1C1F，故MT =PM sin∠MPN=3．
底面EB1C1F的面积为
所以四棱锥B−EB1C1F的体积为． ………………12分
21.解（Ⅰ）由题可知，直线的倾斜角为60°，
则直线的方程为，
，故为正三角形，
则直线的倾斜角为，故直线方程为，
为直线BD和直线AC交点，联立方程，解得，
；………………6分
（Ⅱ）设，切线与轴交点为，
则切线方程为，即，
又O到切线的距离为1，则，
整理得，
则是方程的两根，，
由P，C，Q共线得，解得，同理可得，
，
，
，即.………………12分
22.解【详解】（1）∵直线的斜率为，∴直线的方程为，当时，可得A点坐标为．
∵，A为垂足，∴P点纵坐标为，∵，∴P点横坐标为，∴P点坐标为代入抛物线方程得∴，∴．故抛物线C的方程为． 5分
（2）设直线的方程为，
联立，
整理得：， 7分
直线的方程为，
同理：直线的方程为，
令得，，
设中点T的坐标为，
则，
所以． 9分
．
圆的半径为．所以以为直径的圆的方程为．
展开可得，令，可得，解得或．
从而以为直径的圆经过定点和． 12分
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．已知点，，则直线的倾斜角为（ ）
A．30B．45C．120D．135
2. 给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②存在每个面都是直角三角形的四面体；③若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等.其中正确命题的个数是( )
A. B. C. D.
3. 双曲线：的左右焦点分别为，，点在双曲线上且，则等于（ ）
A. 12或28 B. 14或26 C. 16或24 D. 17或23
4. 已知直线和互相平行，则( )
A. B. C. ， D. ，
5. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知，则“”是“方程表示双曲线”的（ ）
A. 充分必要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
7.已知向量a，b满足，，，则
A． B． C． D．
8. 直三棱柱中，若，，则异面直线与所成的角等于
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
9. 设，，若直线与圆相切，则的取值范围是（ ）．
A. B.
C. D.
10. 设分别是椭圆的左、右焦点，若在直线上存在点P，使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．B．C． D．
11.已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是
A． B．
C． D．
12. 如图，在三棱锥中，，，两两互相垂直，，点，分别在侧面、棱上运动，，为线段中点，当，运动时，点的轨迹把三棱锥分成上、下两部分的体积之比等于( )
A. B.
C. D.
填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．命题“”的否定是________.
14. 已知直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若，，则该球的表面积等于__________．
15．已知直线y＝ax与圆C：x2＋y2－6y＋6＝0相交于A，B两点，C为圆心.若△ABC为等边三角形，则a的值为________.
16.如图所示，已知M，N为双曲线上关于原点对称的两点，点M与点Q关于x轴对称，，直线交双曲线右支于点P，若，则_____________．
三、解答题（本大题共6题，共70分）
17．（10分） 已知p：，2x>m(x2+1)，q：函数f(x)=4x+2x+1+m-1存在零点.若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数m的取值范围.
18. （12分）数列
（1）求的通项公式；
（2）若数列
（12分）在锐角中，内角所对的边分别为.
已知.
（1）求角的大小；
（2）求的取值范围.
20.（12分）如图，已知三棱柱ABC−A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点．过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．
（1）证明：AA1//MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；
（2）设O为△A1B1C1的中心，若AO=AB=6，AO//平面EB1C1F，且∠MPN=，求四棱锥B−EB1C1F的体积．
21.（12分）已知在平面直角坐标系中，圆与轴交于，两点，点 在第一象限且为圆外一点，直线，分别交圆于点，，交轴于点，．
（Ⅰ）若直线的倾斜角为60°，，求点坐标；
（Ⅱ）过作圆的两条切线分别交轴于点，，试问是否为定值？若是，求出这个定值：若不是，说明理由．
22.（12分）抛物线的焦点为F，准线为l，点P为抛物线上一点，，垂足为A，若直线的斜率为，且．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若过F的直线与曲线C交于P，Q两点，直线与直线分别交于A，B两点，试判断以为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．
2020—2021学年上学期高二年级期末考试
数学试题（文科）答案
选择题
1-6 CCBBAB 7-12 DCDDDA
二、填空题
13. 14.5
15. 16.
三、解答题
17.解：由题意得：，2x>m(x2+1)，即在上恒成立，
因为在为单调递减函数，
所以当x=时，，
所以，
所以若命题p为真命题，则，………………3分
设t=2x，则t∈(0，+∞)，则函数f(x)化为g(t)=t2+2t+m-1，
由题意知g(t)在(0，+∞)上存在零点，令g(t)=0，得m=-(t+1)2+2，
又t>0，所以若命题q为真，则m<1.………………6分
又因为“p∨q”为真，“p∧q”为假，所以命题p，q一真一假，
即p真q假，或p假q真，
所以或，解得≤m<1，………………9分
故所求实数m的取值范围是.………………10分
18.解：（1），①
当时，，②
①－②得，，
当时，，符合上式.
所以.…………………………6分
（2）因为，所以，
即，，
，①
，②…………………8分
①－②得，
，…………………11分
所以.……………………12分
19..解：（1）∵，
∴sinBsinA＝sinA（sinB+csB），sinA≠0．…………………2分
化为：sinB﹣csB＝0，
∴tanB＝，…………………4分
因为，
所以B＝．…………………6分-wqpyy
（2）由（1）可得：A+C＝π﹣B＝，又△ABC为锐角三角形，∴0＜C＝﹣A＜，0＜A＜，∴＜A＜，……………………8分
∴＝＝＝
＝+∈，………………11分
∴的取值范围是．………………12分
20.解（1）（1）因为M，N分别为BC，B1C1的中点，所以MN∥CC1．又由已知得AA1∥CC1，故AA1∥MN．
因为△A1B1C1是正三角形，所以B1C1⊥A1N．又B1C1⊥MN，故B1C1⊥平面A1AMN．
所以平面A1AMN⊥平面EB1C1F．………………5分
（2）AO∥平面EB1C1F，AO平面A1AMN，平面A1AMN平面EB1C1F =PN，
故AO∥PN.又AP∥ON，故四边形APNO是平行四边形，
所以PN=AO=6，AP =ON=AM=，PM=AM=2，EF=BC=2．
因为BC∥平面EB1C1F，所以四棱锥B−EB1C1F的顶点B到底面EB1C1F的距离等于点M到底面EB1C1F的距离．
作MT⊥PN，垂足为T，则由（1）知，MT⊥平面EB1C1F，故MT =PM sin∠MPN=3．
底面EB1C1F的面积为
所以四棱锥B−EB1C1F的体积为． ………………12分
21.解（Ⅰ）由题可知，直线的倾斜角为60°，
则直线的方程为，
，故为正三角形，
则直线的倾斜角为，故直线方程为，
为直线BD和直线AC交点，联立方程，解得，
；………………6分
（Ⅱ）设，切线与轴交点为，
则切线方程为，即，
又O到切线的距离为1，则，
整理得，
则是方程的两根，，
由P，C，Q共线得，解得，同理可得，
，
，
，即.………………12分
22.解【详解】（1）∵直线的斜率为，∴直线的方程为，当时，可得A点坐标为．
∵，A为垂足，∴P点纵坐标为，∵，∴P点横坐标为，∴P点坐标为代入抛物线方程得∴，∴．故抛物线C的方程为． 5分
（2）设直线的方程为，
联立，
整理得：， 7分
直线的方程为，
同理：直线的方程为，
令得，，
设中点T的坐标为，
则，
所以． 9分
．
圆的半径为．所以以为直径的圆的方程为．
展开可得，令，可得，解得或．
从而以为直径的圆经过定点和． 12分
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