湖北省荆门市2023-2024学年高二上学期1月期末学业水平检测数学试题
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本试卷共4页,22题.全卷满分150分.考试用时120分钟.
★祝考试顺利★
注意事项:
1.答题前,先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交.
一、单项选择题(本大题共8小题,每题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.椭圆的长轴长为( )
A.2B.1C.D.4
2.对于正整数m,n,p,q,若数列为等差数列,则是的( )
A.必要不充分条件B.充分不必要条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
3.在下列关于概率的命题中,正确的有( )
A.若三个事件A,B满足,则A,B为对立事件
B.若三个事件A,B,C两两独立,则
C.若事件A,B满足,,,则A,B相互独立
D.若事件A与B是互斥事件,则A与也是互斥事件
4.F为抛物线的焦点,点在C上,直线交C的准线于点N,则( )
A.B.C.5D.12
5.在流行病学中,基本传染数是指在没有外力介入,同时所有人都没有免疫力的情况下,一个感染者平均传染的人数.一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定,假设某种传染病的基本传染数,平均感染周期为7天,那么感染人数由1(初始感染者)增加到3333大约需要的天数为( )(初始感染者传染个人为第一轮传染,这个人每人再传染个人为第二轮传染……参考数据:)
A.42B.43C.35D.49
6.在四面体中,M点在线段上,且,G是的重心,已知,,,则等于( )
A.B.
C.D.
7.已知圆C的方程为,若点在圆外,则m的取值范围是( )
A.B.
C.D.
8.已知平面和平面的夹角为,,已知A,B两点在棱上,直线,分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于.已知,,则的长度为( )
A.B.C.D.或
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)
9.如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,D,E,F为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线与平面平行的是( )
A.B.
C.D.
10.下列说法不正确的有( )
A.若两条直线与互相平行,则实数a的值为
B.若直线不经过第三象限,则在第二象限
C.过点且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为
D.已知直线和以,为端点的线段相交,则实数k的取值范围为或
11.设数列的前n项和为,,则下列说法正确的是( )
A.
B.当且仅当时,取得最大值
C.时,n的最大值为33
D.,,,……,,……中,最大值为
12.已知双曲线(,),实轴长为8,虚半轴长为,,分别为双曲线左右焦点,点,P为双曲线在第一象限上任意一点,则下列说法正确的是( )
A.
B.内切圆圆心的横坐标为定值
C.若直线l交双曲线于A,B两点,且Q为中点,则直线l的方程为
D.的最小值为
三、填空题(本题共4小题,每题5分,共20分.把答案填写在答题卡相应位置上)
13.已知是等比数列,且,,则__________.
14.在一次羽毛球男子单打比赛中,运动员甲、乙进入了决赛.比赛规则是三局两胜制.根据以往战绩,每局比赛甲获胜概率为0.4,乙获胜概率为0.6,利用计算机模拟实验,产生内的整数随机数,当出现随机数1或2时,表示一局比赛甲获胜,现计算机产生15组随机数为:421,231,344,114,522,123,354,535,425,232,233,351,122,153,533,据此估计甲获得冠军的概率为__________.
15.一条光线从射出与x轴相交于点,经x轴反射,交y轴于R,则光线从P到R所走的路程为__________.
16.若恰有三组不全为0的实数对满足关系式,则实数t的所有可能取值的和为__________.
四、解答题(本题共6个小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.甲、乙两人组成“上元队”参加猜灯谜比赛,每轮活动由甲、乙各猜一个灯谜,已知甲每轮猜对的概率为,乙每轮猜对的概率为.在每轮活动中,甲和乙猜对与否互不影响,各轮结果也互不影响.记事件“甲第一轮猜对”,“乙第一轮猜对”,“甲第二轮猜对”,“乙第二轮猜对”.
(1)求“上元队”在第一轮活动中仅猜对1个灯谜的概率;
(2)求“上元队”在两轮活动中,甲、乙猜对灯谜的个数相等且至少为1的概率.
18.已知数列的首项,且满足.
(1)求证:数列为等比数列;
(2)若,求满足条件的最大整数n.
19.如图,在平面直角坐标系中,点,直线,设圆C的半径为1,圆心在l上.
(1)若圆心C也在直线上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;
(2)若圆C上存在点M,使,求圆心C的横坐标a的取值范围.
20.在三棱锥中,M是线段的中点,,,,.
(1)证明:P在面内的射影O为的垂心;
(2)求二面角的余弦值.
21.已知数列的前n项和为,且,.
(1)求数列的通项公式;
(2)在与之间插入n个数,使这个数组成一个公差为的等差数列,在数列中是否存在3项,,(其中m,k,p成等差数列)成等比数列?若存在,求出这样的3项,若不存在,请说明理由.
22.已知椭圆的离心率为,,,,,设P为椭圆C上一点的面积的最大值为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)当P在第三象限,直线与y轴交于点M,直线与x轴交于点N,求证:四边形的面积为定值.
荆门市2023—2024学年度上学期期末
高二年级学业水平检测
数学参考答案
1.A 由题意可知,.
2.B 充分性:当时,,
而,左右两边相等,即充分条件成立,
必要性:但当数列为常数数列时,令时,,但,故必要条件不成立.
3.C 对于A:若事件A、B不互斥,但是恰好,,满足,
但是A,B不是对立事件.故A错误;
对于B:设样本空间含有等可能的样本点,且,,,
可求得,,,,,,,
所以,,即A,B,C两两独立,
但,所以.
对于C:因为事件A,B满足,,,所以,所以A,B相互独立.
对于D:由互斥事件的定义可知,事件A、B互斥,但是A与也是互斥事件不成立.故D错误.
4.B 点在抛物线上,则,解之得,则,
又抛物线的焦点,准线,则直线的方程为,
则,则.
5.A 设第n轮感染的人数为,则数列是,公比的等比数列,
由,可得,两边取对数得,
所以,,故需要的天数约为.
6.C 由,得,G是的重心,,
所以.
7.D 由题意得圆C的标准方程为,故,,
又点在圆外,所以,,
或,所以m的取值范围为.
8.D 平面和平面的夹角为,则二面角的大小为或,
由题可知,
,或,或.
9.AC 对于A,,平面,平面,直线与平面平行,故A正确;
对于B,如图,取正方体所在棱的中点G,连接并延长,交延长线于H,则与平面相交于点H,故B错误;
对于C,,平面,平面,直线与平面平行,故C正确;
对于D,与所在平面的正方形对角线有交点B,与该对角线平行,直线与平面相交,故D错误.故选:AC.
10.BC 对于A,当时,两直线重合,所以选项A正确;
对于B,若直线不经过第三象限,则,,所以点在第二象限错误,选项B错误;
对于C,当直线过原点时,直线方程为,故C错误;
对于D,直线可化为,
所以直线恒过定点,,,直线与线段相交,
所以或,故D正确.
11.ACD 对于A项,.当时,;
当时,
时,,满足.综上所述,.
对于B项,要使取得最大值,则应有,即,解得.
又,所以当或时,取得最大值.故B不正确;
对于C项,由A知,,解,可得.
所以,时,n的最大值为33.故C正确.
对于D项,当时,取得最大值,是最小正项,所以D正确.
12.ABD 由题意可知:,,,双曲线方程为,
对于选项A:因为,且,
所以,故A正确;
对于选项B:定值为a,故B正确;
对于选项C:设,,若Q为中点,则,
可得,,因为A,B在双曲线上,则,
两式相减得,整理得,即,
所以直线l的方程为,即,联立与与;
计算,故C错误,
对于选项D:因为,则,
可得,
当且仅当P在线段上时,等号成立,故D正确.
13.4 ,.
14. 由计算机产生的15组数据中,甲获得冠军的数据有421,231,114,522,123,232,122,共7组,
据此估计甲获得冠军的概率为.
15. 关于x轴的对称点,光线从射出与x轴相交于点,
则反射光线所在的直线经过点,Q,由两点式方程可知,
所求直线方程为,化简得,得,
所以则光线从P到R所走的路程为.
16. 由已知得,明显地,,整理得,又由,
看成有且仅有三条直线满足,和到直线(不过原点)的距离t相等;
由,
(1)当,此时,易得符合题意的直线l为线段的垂直平分线以及直线平行的两条直线.
(2)当时,有4条直线l会使得点和到它们的距离相等,注意到l不过原点,所以,当其中一条直线过原点时,会作为增根被舍去;设点A到l的距离为d,
①作为增根被舍去的直线l,过原点和A,B的中点,其方程为,此时,,符合;
②作为增根被舍去的直线l,过原点且以为方向向量,其方程为,此时,,符合;综上,满足题意的实数t为,,.
17.解(1)设“上元队”在第一轮活动中仅猜对1个灯谜”,则,
则,
故“上元队”在第一轮活动中仅猜对1个灯谜的概率为.
(2)甲两轮猜对1个灯谜的概率为,甲两轮猜对2个灯谜的概率为,
乙两轮猜对1个灯谜的概率为,乙两轮猜对2个灯谜的概率为,
所以“上元队”在两轮活动中,甲、乙猜对灯谜的个数相等且至少为1的概率为.
18.解(1),,可得,
又由,所以,所以数列表示首项为,公比为的等比数列.
(2)由(1)可得,所以.
设数列的前n项和为,
则,
若,即,因为函数为单调递增函数,
所以满足的最大整数n的值为2023.
19.解(1)根据题意,圆心C在直线上,也在直线上,解得,,
所以,所以圆.
当切线斜率存在时,过点A的切线方程可设为,即,
则,所以切线方程.
当斜率不存在时,直线也与圆相切.综上:所求切线直线方程为或.
(2)设点,,因为,则,
即点M的轨迹方程为,
又点M在圆C上,所以,
若存在这样的点M,则与有交点,
即两圆的圆心距d满足,即,解得或.
20.解(1)由题有,则.同理,有.
因为,平面,平面,,所以平面.
是的中点.又,则.
又,所以,,.则,所以.
过P作面于O,面,,
平面,,而,面,.
又,,,面,同理可证.
P在面内的射影O为的垂心.
(2)由(1)知,,,
故以P为原点,为x轴,为y轴,为z轴建立如图所示空间直角坐标系,
则,,,.
易知,平面,故平面的一个法向量为.
又,,设平面的一个法向量为,则,
取,则为平面的一个法向量.
设所求二面角的平面角为,由图象可知,为锐角,
则.
所以二面角的平面角的余弦值为.
21.解(1)由题意知:当时:,,,①
,,,②
两式相减得,即.
由①②,数列以2为首项,4为公比的等比数列,所以数列的通项公式.
(2)由(1)知,.所以.
所以.
设数列中存在3项,,,(其中m,k,p成等差数列)成等比数列.则,
所以,即.
又因为m,k,p成等差数列,所以,所以.
化简得,所以,
又,所以与已知矛盾.所以在数列中不存在3项,,成等比数列.
22.解:(1)依题意,
又最大值为,解得,,所以椭圆C的方程为;
(2)设点,而,,且,,,
直线,点,,
直线,点,,
,
所以是定值.
命题:龙泉中学 周娟
审题:龙泉中学 马淑敏 市教研室 方延伟1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
A
B
C
B
A
C
D
D
AC
BC
ACD
ABD
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