辽宁省铁岭市一般高中协作校2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题

这是一份辽宁省铁岭市一般高中协作校2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题，共9页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容，已知，，，则实数m的取值范围是，设非零向量，满足，，则等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语、不等式、函数与导数、三角函数、平面向量、数列。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知向量，，若，则（ ）
A．10B．40C．D．
3．已知正数a，b满足，则的最小值为（ ）
A．25B．36C．42D．56
4．已知正项数列的前n项和为，且满足，若，，则（ ）
A．3B．4C．9D．16
5．已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ）
A．B．
C．D．
6．已知角的终边与单位圆交于点，则等于（ ）
A．B．C．D．
7．已知，，，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．曲线在点处的切线在y轴上的截距的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．设非零向量，满足，，则（ ）
A．B．C．D．
10．已知函数的定义域为R，为奇函数，，则（ ）
A．B．C．D．
11．信号处理是对各种类型的电信号，按各种预期的目的及要求进行加工过程的统称，信号处理以各种方式被广泛应用于医学、声学、密码学、计算机科学、量子力学等各个领域．而信号处理背后的“功臣”就是余弦型函数，的图象就可以近似地模拟某种信号的波形，下列结论正确的是（ ）
A．为偶函数B．的图象关于直线对称
C．为周期函数，且最小正周期为πD．设的导函数为，则
12．已知等差数列的前n项和为，的公差为d，则（ ）
A．B．
C．若为等差数列，则D．若为等差数列，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．
13．在中，D为CB上一点，E为AD的中点，若，则______．
14．已知p：“”，q：“”，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是______．
15．生物学家为了了解某药品对土壤的影响，常通过检测进行判断．已知土壤中某药品的残留量y（mg）与时间t（年）近似满足关系式，其中a是残留系数，则大约经过______年后土壤中该药品的残留量是2年后残留量的．（参考数据：，答案保留一位小数）
16．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．为了纪念数学家高斯，我们把取整函数，称为高斯函数，其中表示不超过x的最大整数，例如，．已知等差数列满足，，，则_____．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
已知递增的等比数列满足，且，，成等差数列．
（1）求的通项公式；
（2）设求数列的前20项和．
18．（12分）
在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角B的大小；
（2）若的面积为6，，求b的长．
19．（12分）
在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，且．
（1）求角A的大小；
（2）若D为AC上一点，且，，求面积的最大值．
20．（12分）
已知函数在处取得极值．
（1）求a的值；
（2）求在上的值域．
21．（12分）
已知数列满足，．
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和及其最小值．
22．（12分）
已知函数，．
（1）求的单调区间；
（2）证明：．
铁岭市一般高中协作校期中考试
数学试卷参考答案
1．A 因为，，所以．
2．D 因为，所以，则．
3．B ，当且仅当，即，等号成立．
4．C 因为，所以数列为等比数列，设公比为，则，得，解得（舍去），所以．
5．C 因为的图象关于原点对称，所以为奇函数，而为偶函数，为奇函数，为奇函数，为偶函数，应该为一个奇函数与一个偶函数的积，排除B与D．
又因为，不满足，排除A，
满足，故选C．
6．B 点在单位圆上，则，所以．
7．C 因为，，则，所以，又，可得，令，则原题意等价于，，则当时，取到最大值，所以实数m的取值范围是．
8．B 因为，所以所求切线方程为，令，则，令，则．所以当时，，此时单调递减，当时，，此时单调递增，所以．因为当时，，所以该切线在y轴上的截距的取值范围为．
9．BC 因为，所以，即，所以，A错误，B正确．
因为，所以，所以，C正确，D错误．
10．AC 由为奇函数，，可知的图象关于点对称，关于直线对称，所以．故选AC．
11．ABD 因为，所以为偶函数，A正确；因为，所以的图象关于直线对称，B正确；因为，所以的最小正周期不是π，C错误；，当且仅当时，等号成立，显然取等号的条件不成立，所以，D正确．
12．BD ，故A不正确；因为，，所以，故B正确；因为，为等差数列，所以，故C不正确；由题可知，因为为等差数列，所以，即，故D正确．
13． ，因为B，D，C三点共线，所以，解得．
14． 对于p，由可解得，对于q，由可解得，因为p是q的必要不充分条件，所以解得．
15．7.5 当时，，由，得．
16．8 根据题意得，即，所以
，所以．
17．解：（1）设公比为q，因为，，成等差数列，所以，所以，
解得或（舍去），
所以．
（2）根据题意得
．
18．解：（1）因为，所以．
因为，所以，所以．
（2）因为，所以．
由余弦定理可得，
所以．
19．解：（1）因为，所以，
即，
所以由正弦定理可得，即，
由余弦定理可得，
又，所以．
（2）由，，得，
由余弦定理可得，即，
因为（当且仅当时，等号成立），
所以，
解得（当且仅当时，等号成立），
所以的面积为，所以面积的最大值为．
20．解：（1）．
因为在处取得极值，所以，解得．
经检验，符合题意．
（2）由（1）可得．
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
．
又，，
所以在上的值域为．
21．解：（1）因为，所以，
两式相减得．
因为，，所以．
数列是以为首项，2为公差的等差数列；
数列是以为首项，2为公差的等差数列．
，．
综上，的通项公式为．
（2）由（1）得
，
．
两式相减得
，
所以．
，
当时，，即；
当时，，即；
当时，，即．
所以当或5时，取得最小值，且最小值为．
22．（1）解：的定义域为，．
令，得，此时函数单调递增；
令，得，此时函数单调递减．
所以的单调递减区间为，单调递增区间为．
（2）证明：令，则．
当时，
当时，令，则，因为，，所以，
即单调递减．
又，，所以存在，使．
所以当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
所以．
因为，所以，即，
所以．
因为，，且在上单调递减，
所以，同时，
所以．
因为，所以，
又因为，所以，即．