重庆市万州第二高级中学2023届高三下学期第二次诊断数学试卷(含答案)

这是一份重庆市万州第二高级中学2023届高三下学期第二次诊断数学试卷(含答案)，共24页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1、设全集,,( )
A.B.C.D.
2、设a,b为两条直线,,为两个平面,则下列说法正确的是( )
A.若,,则B.若,,则
C.若,,则D.若,,则
3、的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,,,,点D,E分别是边BC,BA的中点,且AD,CE交于点O,则四边形BDOE的面积为( )
A.B.C.D.
4、展开式中的常数项为( )
A.80B.C.40D.
5、已知定义在R上的奇函数满足:当时,,若不等式对任意实数恒成立,则实数的取值范围是( )
A.B.
C.D.
6、在如图所示的三棱柱中,已知,,,点在底面ABC上的射影是线段BC的中点O,则直线与直线所成角的正切值为( )
A.B.C.D.
7、设,,,则( )
A.B.C.D.
8、已知定义在R的函数对任意的x满足,当,.函数,若函数在上有6个零点,则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9、为庆祝建党100周年,讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程,增进全体党员干部职工对党史知识的了解,某单位组织开展党史知识竞赛活动,以支部为单位参加比赛,某支部在5道党史题中(有3道选择题和道填空题),不放回地依次随机抽取道题作答,设事件A为“第1次抽到选择题”,事件B为“第次抽到选择题”,则下列结论中正确的是( )
A.B.C.D.
10、已知圆,点P为x轴上一个动点,过点P作圆M的两条切线,切点分别为A,B,直线AB与MP交于点C,则下列结论正确的是( )
A.四边形PAMB周长的最小值为
B.的最大值为2
C.若,则的面积为
D.若,则的最大值为
11、已知双曲线的左,右焦点分别为,,过的直线与双曲线的右支交于A,B两点,若,则( )
A.
B.双曲线的离心率
C.双曲线的渐近线方程为
D.原点O在以为圆心,为半径的圆上
12、用符号表示不超过x的最大整数,例如:,.设有3个不同的零点,,,则( )
A.是的一个零点
B.
C.a的取值范围是
D.若,则的范围是.
三、填空题
13、已知函数的定义域为R,为偶函数,为奇函数,且当时,.若,则________.
14、已知,函数,若对任意,,恒成立,则m的取值范围是________.
15、在中,若,则的最大值为________.
16、已知,为双曲线的左右焦点,过点作一条渐近线的垂线交双曲线右支于点P,直线与y轴交于点Q(P,Q在x轴同侧),连接,如图,若内切圆圆心恰好落在以为直径的圆上,则________;双曲线的离心率________.
四、解答题
17、已知数列的前n项和为,数列中,,,且.
（1）设,求证:是等比数列;
（2）求数列的通项公式.
18、在2018年俄罗斯世界杯期间,莫斯科的部分餐厅经营了来自中国的小龙虾,这些小龙虾标有等级代码.为得到小龙虾等级代码数值与销售单价之间的关系,经统计得到如下数据:
（1）已知销售单价与等级代码数值之间存在线性相关关系,求关于的线性回归方程(系数精确到0.1);
（2）若莫斯科某餐厅销售的中国小龙虾的等级代码数值为98,请估计该等级的中国小龙虾销售单价为多少元?
参考公式:对一组数据,,····,其回归直线的斜率和截距最小二乘估计分别为:,.
参考数据:,.
19、如图,四棱锥中,,,E为PC中点.
（1）证明:平面PAD;
（2）若平面PBC,是边长为2的正三角形,求点E到平面PAD的距离.
20、如图,某市一学校H位于该市火车站O北偏东方向,且,已知OM,ON是经过火车站O的两条互相垂直的笔直公路,CE,DF及圆弧CD都是学校道路,其中,,以学校H为圆心,半径为2km的四分之一圆弧分别与CE,DF相切于点C,D.当地政府欲投资开发区域发展经济,其中A,B分别在公路OM,ON上,且AB与圆弧CD相切,设,的面积为.
（1）求S关于的函数解析式;
（2）当为何值时,面积S为最小,政府投资最低?
21、设椭圆的右焦点为,离心率为,过点且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.
（1）求椭圆C的方程;
（2）若上存在两点M,N,椭圆C上存在两个P,Q点满足:M,N,三点共线,P,Q,三点共线,且,求四边形PMQN的面积的最小值.
22、已知函数
（1）求函数的极值;
（2）若且,证明:,
参考答案
1、答案：C
解析:因为全集,,
所以.
故选:C
2、答案：C
解析:由a,b为两条直线,,为两个平面,
在A中,若,,则a,b平行或异面,故A错误;
在B中,若,,则b在内或,故B错误;
在C中,若,,则,故C正确;
在D中,若,,则b在内或,故D错误.
故选:C.
3、答案：C
解析:如图,连接BO,
,,,
,
,
,
因为点D,E分别是边BC,BA的中点,且AD,CE交于点O,
所以O为的重心,则,则,
又因为,所以,同理,,
设四边形BDOE的面积为S,
则,
其中,故.
即四边形BDOE的面积为.
故选:C
4、答案：C
解析:展开式的通项公式为:,化简得,令,即,故展开式中的常数项为.
故选:C.
5、答案：A
解析:任取,则,所以.
由为定义在R上的奇函数,所以,所以,
即在R上都有.
由幂函数的性质可知在R上单调递增,所以不等式对任意实数恒成立可转化为:对任意实数t恒成立.
结合二次函数图像可得.
故选:A.
6、答案：B
解析:由题知,平面ABC,而平面ABC,
,
又,O为BC的中点,,
,平面,
平面,
平面,
,
在中,,则,
在中,,则,
过点O作,且,连接BD,,
,,,,
四边形为平行四边形,
,,
为直线与直线所成的角,
,且,
四边形ABDO为平行四边形,
,
,
,
,
平面ABC,而平面ABC,
,
,
,
直线与直线所成角的正切值为
故选:B.
7、答案：A
解析:设a,b,c分别是,,在时所对应的函数值,
设,则,
所以时,,单调递减,
时,,单调递增,
所以,即,
同理可证,
所以
当时,可得,即,
构造函数,
则,
所以时,,单调递减,
时,,单调递增,
所以,即,
整理得,即,
所以,
故选:A
8、答案：C
解析:因为,故是周期函数且周期为2,
如图作出的图象与的图象,在有两个不同的交点,
故的图象与在有4个不同的交点,
由此,时的图象应如图所示:
故,当时,解得,当时,解得,
故或,
故选:C.
9、答案：ABC
解析:,故A正确;
,故B正确;
,故C正确;
,,,故D错误.
故选:ABC
10、答案：ACD
解析:如图所示,对于选项A,四边形PAMB的周长为,
因为,所以四边形PAMB的周长为,设,当P与原点重合时最小,则,则四边形PAMB的周长为,则当t取最小值2时,四边形PAMB的周长最小,为,故A正确;
对于选项B,因为圆的直径为2,所以,故B错误;
对于选项C,因为,所以,,由等面积法可得,求得,,,所以的面积为,故C正确;
对于选项D,当点P与原点重合时,,则,则,则,则;当点P不与原点重合时,设(),则切点弦AB的方程为(利用结论:过圆外一点的切线弦方程为求得),直线MP的方程为,联立两方程,可得,消去m,得动点C的轨迹方程为.又因为,所以,故D正确.
故选:ACD.
11、答案：AB
解析:设,则,
由双曲线的定义知,,即,
,即,,,
故选项A正确;
由余弦定理,知在中,,
在中,
,
化简整理得,离心率,故选项B正确;
双曲线的渐近线方程为,故选项C错误;
若原点O在以为圆心,为半径的圆上,则,与不符,故选项D错误.
故选:AB
12、答案：AD
解析:由题意,令,则或,
显然是方程的解,也是方程的解,所以选项A正确;
因为有3个不同的零点,所以方程有2个不同的解,且两解都不等于e,
易知,可得,
令,则直线与函数的图象有2个不同交点,
求导得,,
当时,,此时函数单调递增;
当时,,此时函数单调递减.
又当时,;当时,,当时,取得最大值.
可画出函数的图象,如下图所示,
根据图象可知,当时,直线与函数的图象没有交点;
当或时,直线与函数的图象只有1个交点;
当,即时,直线与函数的图象有2个不同交点.
又因为,且直线与函数的图象的2个不同交点的横坐标不等于,所以,即,
综上所述,当时,直线与函数的图象有2个不同交点,且两个交点的横坐标都不等于e,此时有3个不同的零点,故C错误;
不妨设,,是直线与函数的图象的2个不同交点,且,
则,,
根据的图象,当a趋近与0时,趋近于1,趋近于无穷大,此时趋近于无穷大,故选项B错误;
对于选项D,由,,可得,,
因为,所以,则,
则,,
所以,即,
故选项D正确.
故选:AD.
13、答案：0
解析:因为为偶函数,
所以,即,
所以函数关于对称,所以,
又因为为奇函数,
所以,
所以函数关于(1,0)对称,,
即,
所以,,
即,
所以的周期为4,
在中令,得,所以,即,
又因为,所以,即,所以,
所以当时,,
所以,
所以,
,
,
,
所以则.
故答案为:0.
14、答案：
解析:,所以;
当时,函数的对称轴为,抛物线开口向上,
要使时,对任意,恒成立,即对任意,恒成立;
令,
则只需要,
即,得,
当时,要使恒成立,即,
在射线的下方或在上,
由,即,
由判别式,得,综上.
故答案为:.
15、答案：
解析:在中,,
则,
通分化简可得,
由正弦和角公式可得,
所以,
由正弦定理代入可得,即,
又由余弦定理,
代入可得,
所以,当且仅当时取等号,
则,所以,
即,所以,
则的最大值为.
故答案为:.
16、答案：,
解析:由题知,,则直线,即,
由题知,内切圆圆心为,
则圆心到直线的距离为,
设直线,则内切圆圆心到直线的距离为,
由内切圆性质知,,两边同时平方,化简得:
,即或,
当时,与渐近线平行,满足图像条件;根据点到直线的距离相等的两条直线位置情况知,这两条线关于点对称,当时,出现在图示内切圆的左上侧,不符合题意,故舍去;
则,从而有,即,
由知,,,
由双曲线定义知,,即,
从而有,离心率
故答案为:;;
17、答案：（1）证明见解析;
（2）.
解析:（1）证明:,①
,②
②-①得.
,
,
,
即.
又,
则,
,
,
是以为首项,为公比的等比数列.
（2）由（1）可知,,
.
当时,.
又当时,,符合上式,
.
18、答案：（1）;
（2）28.5.
解析:（1）由题意得,
,
,
,
.
所以回归方程为;
（2）由（1）知当时,,
故估计该等级的中国小龙虾销售单价为28.5元.
19、答案：（1）证明见解析
（2）.
解析:证明:（1）取PD的中点F,连结AF,EF.
为PC的中点,,且.
又,且,
,且,故四边形ABEF为平行四边形.
.
又平面BEP,平面BEP,
平面PAD.
（2）由（1）得平面PAD.
故点B到平面PAD的距离等于点E到平面PAD的距离.
取BC的中点G,连结PG.
平面PBC,平面ABCD,
平面平面PBC.
又是边长为2的正三角形,,,且.
平面平面,平面ABCD.
四边形是直角梯形,,,,
,.
,,,,
,.
.
记点B到平面PAD的距离为h,
三棱锥的体积,
.
点E到平面PAD的距离为.
20、答案：（1）,;
（2）.
解析:（1）以点O为坐标原点建立如图直角坐标系,则,
在中,设,又,故,,
所以直线AB的方程为,即,
因为直线AB与圆H相切,所以H到直线AB的距离等于半径2,即①,
又点H在直线AB的上方,故,
所以①式可化简为,即,
故,,
所以的面积为,;
即S关于θ的函数解析式为,;
（2）令,,则,且,所以,,
令,分母,其中,所以时,分母部分最大,面积最小,此时,即.
所以时面积S为最小,政府投资最低.
21、答案：（1）;
（2）
解析:（1）过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为,,
离心率为,,又,解得,,,
椭圆C的方程为
（2）(i)当直线MN的斜率不存在时,直线PQ的斜率为0,
此时,,
(ii)当直线MN的斜率存在时,设直线MN的方程为,联立,
得,
设M,N的横坐标分别为,,
则,,
由可得直线PQ的方程为,联立椭圆C的方程,消去y,
得
设P,Q的横坐标为,,则,
,令,
则,
综上
22、答案：（1）极大值:,极小值
（2）证明见解析
解析:（1）函数的定义域为,,
,
由得或
由得,
的单调递增区间为和;单调递减区间为.
的极大值:
的极小值:
（2）欲证,,即证,,
令,,则
令,则,
因为,所以,所以在上单调递增,所以,
所以,所以在上单调递增,
所以
所以欲证,,只需证,①
因为,所以,
即,②
令,则,当时,
所以在上单调递增,所以,即,
所以,故②式可等价变形为:,
所以,欲证①式成立,只需证成立
所以仅需证,
令,(),则,
在上单调递增,
故,即,
结论得证.
等级代码数值x
38
48
58
68
78
88
销售单价y(元/kg)
16.8
18.8
20.8
22.8
24
25.8