重庆市2023届高三第二次联合诊断数学试卷（康德卷）(含答案)

这是一份重庆市2023届高三第二次联合诊断数学试卷（康德卷）(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1、已知集合,,则( )
A.B.C.D.R
2、“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3、设,则( )
A.B.C.1D.2
4、已知点和双曲线,过点P且与双曲线C只有一个公共点的直线有( )
A.2条B.3条C.4条D.无数条
5、用模型拟合一组数据组,其中;设,得变换后的线性回归方程为,则( )
A.B.70C.D.35
6、已知等差数列的前30项中奇数项的和为A,偶数项的和为B,且,,则( )
A.B.C.D.
7、已知点O是的外心,,,,若,则( )
A.5B.6C.7D.8
8、在数学王国中有许多例如,e等美妙的常数,我们记常数为的零点,若曲线与存在公切线,则实数的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9、已知复数,,则下列结论中正确的是( )
A.若,则B.若,则或
C.若且,则D.若,则
10、已知函数,则下列说法正确的是( )
A.
B.的图象的对称中心是
C.函数的零点是
D.在上单调递增
11、我国春秋时期便有了风筝,人们用折纸做成了风筝并称为“纸鸢”,我们把如图1的“纸鸢”抽象成如图2的四棱锥,如果于点O,,,下列说法正确的是( )
A.是等腰直角三角形
B.平面平面ABCD
C.平面ABCD
D.P到AB,BC,CD,DA距离均相等
12、定义在R上的奇函数满足,当时,,则( )
A.
B.在上单调递增
C.为偶函数
D.在上的所有实根之和为12
三、填空题
13、饺子是我国的传统美食,不仅味道鲜美而且寓意美好.现锅中煮有白菜馅饺子4个,韭菜馅饺子3个,这两种饺子的外形完全相同.从中任意舀取3个饺子,则每种口味的饺子都至少舀取到1个的概率为________.
14、已知直线l经过点,且,两点到直线l的距离相等,则l的方程为________.
15、已知x,,,则的最小值为________.
16、传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数.他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类,如图中第一行的1,3,6,10,…称为三角形数,第二行的1,4,9,16…称为正方形数,第三行的1,5,12,22…称为五边形数,…,照此规律进行下去,若将每一行的第个数从小到大排列形成数列,
(i)若,则________;
(ii)当且时,________.(用k表示)
四、解答题
17、在等比数列中,,,.
（1）求的通项公式;
（2）设,求数列的前n项和.
18、为了缓解重庆市中心城区早晩高峰的交通压力,重庆市在中心城区部分桥梁､隧道实行工作日早高峰7:00至9:00､晩高峰17:00至19:30时期的车辆限行政策.某组织为了解学生对限行政策之后交通情况的满意度,随机抽取了100位学生进行调查,结果如下:回答“满意”的人数占总人数的,在回答“满意”的人中,“在校学生”的人数是“非在校学生”人数的;在回答“不满意”的人中,“在校学生”占其人数的.
（1）请根据以上数据填写下面列联表,并依据小概率值的独立性检验,分析能否认为学生对限行政策之后交通情况的满意度与是否在校有关?
（2）为了进一步了解学生对限行政策之后交通情况的具体意见,该组织准备随机抽取部分学生做进一步调查.规定:直到随机抽取的学生中回答“不满意”的人数达到抽取总人数的及以上或抽样次数达到5次时,抽样结束.若学生回答满意与否相互独立,以频率估计概率,记X为抽样次数,求X的分布列和数学期望.
附:
参考公式:,其中.
19、在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.
（1）求角A;
（2）若的面积为1,求的周长的最小值.
20、如图1,在直角梯形EFBC中,,,,,.现沿平行于EF的AD折叠,使得且平面BDE,如图2所示.
（1）求AB的长度;
（2）求二面角的大小.
21、已知椭圆的左､右焦点分别为,,直线与C交于A,B两点,当时,直线l经过椭圆的上顶点,且的周长为4a.
（1）求椭圆C的方程;
（2）若D为AB中点,当D在圆上时,求面积的最大值.
22、已知e为自然对数的底数,a为常数,函数.
（1）求函数的极值;
（2）若在y轴的右侧函数的图象总在函数的图象上方,求实数a的取值范围.
参考答案
1、答案：C
解析:,
,
故选:C.
2、答案：A
解析:由可得其解集为:,由可得其解集为:.
而,即由“”可以推出“”,反过来“”不能推出“”,故“”是“”的充分不必要条件.
故选:A
3、答案：D
解析:因为,
令,可得,
令,可得,
所以.
故选:D
4、答案：A
解析:由题意可得,双曲线的渐近线方程为,点是双曲线的顶点.
①若直线l的斜率不存在时,直线l的方程为,此时,直线l与双曲线C只有一个公共点,合乎题意;
②若直线l的斜率存在,则当直线平行于渐近线时,直线l与双曲线只有一个公共点.
若直线l的斜率为2,则直线l的方程为,此时直线l为双曲线C的一条渐近线,不合乎题意.
综上所述,过点与双曲线只有一个公共点的直线l共有2条.
故选:A.
5、答案：C
解析:因为,所以,,
即,
所以.
故选:C
6、答案：B
解析:设等差数列的公差为d,首项为,
则,所以,
因为,即,则,
等差数列的奇数项是以为首项,2d为公差的等差数列,等差数列的前30项中奇数项有15项,所以,得,
所以.
故选:B
7、答案：C
解析:如图,点O在AB,AC上的射影是点D,E,它们分别为AB,AC的中点.
由数量积的几何意义,可得,.
又,所以,
又,
所以,即.
同理,即,解得.
所以.
故选:C.
8、答案：A
解析:由题意可知,曲线与存在公切线,设切点分别为,,则公切线为,即,
而切线斜率,,
则,而点B在公切线上,故代入切线方程得,,化简得
,其中,
令,其中,
,可知在上单调递减,而为的零点,
当时,,单调递增;当时,,单调递减;
故
,即
故选:A.
9、答案：BCD
解析:对于A,若,例如:,则,故A错误;
对于B,若,则,所以或至少有一个成立,即或,故B正确;
对于C,由,则,,,故C正确;
对于D,若,则,故D正确.
故选:BCD.
10、答案：BCD
解析:因为,又的最小正周期为,的最小正周期为,
所以的最小正周期为,
所以,故A错误;
因为的对称中心为,的对称中心为,
所以的图象的对称中心是,故B正确;
因为的零点为,的零点心为,
所以函数的零点是,故C正确;
函数的定义域为,
所以,因为,且,
所以,所以在上单调递增,故D正确;
故选:BCD
11、答案：AB
解析:因为且,所以与均为等腰直角三角形,且,
所以,且,则,所以是等腰直角三角形,故A正确;
因为,,,AC,平面PAC,所以平面PAC,
又平面ABCD,所以平面平面ABCD,故B正确;
过点P作于点H,因为平面平面ABCD,平面PAC,
所以平面ABCD,
若,则H不为O点,此时平面ABCD不成立,故C错误;
设H点到AB,BC,CD,DA的距离分别为,,,,
若P到AB,BC,CD,DA距离均相等,则,
则,故点H为与的角平分线的交点,当时H不在的平分线上,故D错误.
故选:AB
12、答案：BCD
解析:对于A,因为,所以,
所以,即,
所以函数关于对称,且关于原点对称,
又,所以函数是周期为4的周期函数.
因为,所以,,
因为不是2的倍数,所以,故A错误;
对于B,令,,,
则函数在上单调递增,则在上单调递增,
由奇偶性可知,在上单调递增,且,
即函数在上单调递增,
由周期性可知函数在上的单调性与上一致,即函数在上
单调递增,故B正确;
对于C,由周期为4可知,函数与图象一致,
的对称轴为,为偶函数,则函数为偶函数,故C正确;
对于D,因为,
所以,函数在上的图象如下图所示:
由图可知,,则,故D正确;
故选:BCD
13、答案：
解析:由条件可知,舀到的有1个白菜,2个韭菜,或是2个白菜,1个韭菜,
所以概率.
故答案为:
14、答案：或.
解析:当直线l与直线AB平行,或直线l过线段AB的中点时,满足条件,
第一种情况:当直线l与直线AB平行时,,此时直线l的方程为,即,
第二种情况,当直线l过线段AB的中点时,中点坐标,此时直线的斜率,方程为,即.
综上可知,直线l的方程为或.
故答案为:或
15、答案：/
解析:设,
,
当,此时,的最小值为.
故答案为:
16、答案：92,
解析:第1行的图形点数规律为:1,,,,…
第2行的图形点数规律为:1,,,,…
第3行的图形点数规律为:1,,,,…
通过以上的规律可得第n行第k列的图形点数为,
所以当,时,;
.
故答案为:;
17、答案：（1）
（2）
解析:（1）设等比数列的公差为q,
因为,,即,是方程的两根,
又因为,解得,,则,可得,
所以数列的通项公式为;
（2）由,可得,所以,
设数列的前n项和为,
可得,
,
两式相减得,
所以,即数列的前n项和为,
18、答案：（1）列联表见解析,学生对限行政策之后交通情况的满意度与是否在校有关;
（2）分布列见解析,期望
解析:（1）由题意可得下表
,
所以学生对限行政策之后交通情况的满意度与是否在校有关;
（2）由题可知,抽取一名学生回答不满意的概率估计为,
X的可能值为1,2,4,5,
,,,
,
所以X的分布列为
.
19、答案：（1）
（2）(或写成)
解析:（1）因为,
所以,
即,
由正弦定理得,
,
,即,且,
所以,,
则;
（2）由题知,,则,
,
当时,等号成立,
,
,即,
所以当(或写成),时,
周长的最小值是(或写成)
20、答案：（1）1
（2）
解析:（1）由平面BDE,平面BDE,得,
在矩形EFBC中,由,,,,,知,
设,则,,
故,,
由勾股定理:,
解得:,
AB的长度为1;
（2）因为,,,
且AD,平面ABCD,所以平面ABCD,
结合知,DA,DC,DE两两互相垂直,故以点D为原点,,,为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系,所以
,,,,,,
所以,,,,
设为平面BCE的一个法向量,所以,
取,则,
设为平面BEF的一个法向量,所以,
取,则,
记所求二面角大小为,为钝角,则,
所求二面角的大小为.
21、答案：（1）
（2）
（2）联立直线l与C的方程得出点D,由D在圆上得出两个未知量间关系,应用面积公式结合基本不等式可以求出最大值.
解析:（1）当时,直线,椭圆上顶点为,,连接,,
有,而的周长为4a,
所以l经过,故,所以,所以.
.
（2）联立直线与的方程,有,
设,,有:
,,
,,
有,由D在圆上,有:
整理有,
原点O到直线l的距离,
所以的面积,
,
等号成立时,结合,
解得,,
面积的最大值为.
22、答案：（1）极小值为,无极大值
（2）
解析:（1）,
当时,,函数单调递减,无极值;
当时,由得,
当时,,当时,,
所以在区间单调递减,在单调递增,
当时,函数取得极小值,极小值为,无极大值;
（2）,关于x的不等式恒成立,
设,则,,
(ⅰ)当时,,单调递增,
,当时,,
所以存在,使,所以在上单调递减,
当时,矛盾;
(ⅱ)当时,令,解得:,
在区间单调递减,在单调递增,
若,即时,在单调递增,,在上单调递增,,满足条件;
若时,在上单调递减,此时,
在上单调递减,,矛盾
综上,实数a的取值范围.
满意
不满意
合计
在校学生
非在校学生
合计
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
满意
不满意
合计
在校学生
10
40
50
非在校学生
40
10
50
合计
50
50
100
X
1
2
4
5
P