2023届重庆市高三第二次联合诊断数学试题（康德卷）含解析

2023届重庆市高三第二次联合诊断数学试题（康德卷）

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】分别化简两集合，利用两集合交集的运算规则进行运算即可.

【详解】，

，

故选：C.

2．“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】将已知转化为集合的关系再利用充分条件和必要条件的定义处理即可.

【详解】由可得其解集为：，由可得其解集为：.

而，即由“”可以推出“”，反过来“”不能推出“”，故“”是“”的充分不必要条件.

故选：A

3．设，则（    ）

A． B． C．1 D．2

【答案】D

【分析】令求出，再令求出，即可得解.

【详解】因为，

令，可得，

令，可得，

所以.

故选：D

4．已知点和双曲线，过点且与双曲线只有一个公共点的直线有（    ）

A．2条 B．3条 C．4条 D．无数条

【答案】A

【分析】对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，验证直线是否满足题意，在直线的斜率存在时，可知直线与双曲线的渐近线平行，由此可得出结论.

【详解】由题意可得，双曲线的渐近线方程为，点是双曲线的顶点.

①若直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，直线与双曲线只有一个公共点，合乎题意；

②若直线的斜率存在，则当直线平行于渐近线时，直线与双曲线只有一个公共点.

若直线的斜率为，则直线的方程为，此时直线为双曲线的一条渐近线，不合乎题意.

综上所述，过点与双曲线只有一个公共点的直线共有条.

故选：A.

5．用模型拟合一组数据组，其中；设，得变换后的线性回归方程为，则（    ）

A． B．70 C． D．35

【答案】C

【分析】根据回归直线方程，必过样本点中心，再利用换元公式，以及对数运算公式，化简求值.

【详解】因为，所以，，

即，

所以.

故选：C

6．已知等差数列的前30项中奇数项的和为，偶数项的和为，且，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据条件列出关于首项和公差的方程，即可求解.

【详解】设等差数列的公差为，首项为，

则，所以，

因为，即，则，

等差数列的奇数项是以为首项，为公差的等差数列，等差数列的前30项中奇数项有15项，所以，得，

所以.

故选：B

7．已知点是的外心，，，，若，则（    ）

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】C

【分析】如图，点O在、上的射影是点、，根据数量积的几何意义求出、，再根据数量积的定义求出，最后根据数量积的运算律得到、的方程组，解得再代入计算可得.

【详解】如图，点O在、上的射影是点、，它们分别为、的中点．

由数量积的几何意义，可得，．

又，所以，

又，

所以，即．

同理，即，解得．

所以．

故选：C.

8．在数学王国中有许多例如，等美妙的常数，我们记常数为的零点，若曲线与存在公切线，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用函数切线的求法求出切线方程，与另一个函数的切点经过该切线方程上，建立等式关系，利用分离参数的方法将参数分离，利用导数研究函数最值的方法求取值范围.

【详解】由题意可知，曲线与存在公切线，设切点分别为，，则公切线为，即，

而切线斜率，，

则，而点由在公切线上，故代入切线方程得，，化简得

，其中，

令，其中，

，由复合函数的单调性可知，在上单调递减，而为的零点，

当时，，单调递增；当时，，单调递减；

故

，即

故选：A.

二、多选题

9．已知复数，，则下列结论中正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则或

C．若且，则 D．若，则

【答案】BCD

【分析】根据复数的特征、几何意义以及复数运算判断各选项即可.

【详解】对于A，若，例如：，则，故A错误；

对于B，若，则，所以或至少有一个成立，即或，故B正确；

对于C，由，则，∵，∴，故C正确；

对于D：若，则，故D正确.

故选：BCD.

10．已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A． B．的图象的对称中心是

C．函数的零点是 D．在上单调递增

【答案】BCD

【分析】结合正弦函数与正切函数的性质分析A、B、C，利用导数判断函数的单调性，即可说明D.

【详解】因为，又的最小正周期为，的最小正周期为，

所以的最小正周期为，

所以，故A错误；

因为的对称中心为，的对称中心为，

所以的图象的对称中心是，故B正确；

因为的零点为，的零点心为，

所以函数的零点是，故C正确；

函数的定义域为，

所以，因为，且，

所以，所以在上单调递增，故D正确；

故选：BCD

11．我国春秋时期便有了风筝，人们用折纸做成了风筝并称为“纸鸢”，我们把如图1的“纸鸢”抽象成如图2的四棱锥，如果于点，，，下列说法正确的是（    ）

A．是等腰直角三角形 B．平面平面

C．平面 D．到，，，距离均相等

【答案】AB

【分析】依题意可得且，即可判断A，由，，即可证明平面，即可判断B，过点作于点，由面面垂直的性质得到平面，再利用反例说明C、D.

【详解】因为且，所以与均为等腰直角三角形，且，

所以，且，则，所以是等腰直角三角形，故A正确；

因为，，，平面，所以平面，

又平面，所以平面平面，故B正确；

过点作于点，因为平面平面，平面，

所以平面，

若，则不为点，此时平面不成立，故C错误；

设点到，，，的距离分别为、、、，

若到，，，距离均相等，则，

则，故点为与的角平分线的交点，当时不在的平分线上，故D错误.

故选：AB

12．定义在上的奇函数满足，当时，，则（    ）

A． B．在上单调递增

C．为偶函数 D．在上的所有实根之和为12

【答案】BCD

【分析】由周期性以及对称性判断A；由导数得出在上单调性，结合周期判断B；由周期性判断C；由函数与的图象，结合对称性判断D.

【详解】对于A，因为，所以，

所以，即，

所以函数关于对称，且关于原点对称，

又，所以函数是周期为的周期函数.

因为，所以，

因为不是2的倍数，所以，故A错误；

对于B，令，，

则函数在上单调递增，则在上单调递增，

由奇偶性可知，在上单调递增，且，

即函数在上单调递增，

由周期性可知函数在上的单调性与上一致，即函数在上

单调递增，故B正确；

对于C，由周期为可知，函数与图象一致，

的对称轴为，为偶函数，则函数为偶函数，故C正确；

对于D，因为，

所以，函数在上的图象如下图所示：

由图可知，则，故D正确；

故选：BCD

【点睛】关键点睛：在判断D选项时，关键是将方程的根问题转化为两个函数的交点问题，利用对称性，从而得出.

三、填空题

13．饺子是我国的传统美食，不仅味道鲜美而且寓意美好.现锅中煮有白菜馅饺子4个，韭菜馅饺子3个，这两种饺子的外形完全相同.从中任意舀取3个饺子，则每种口味的饺子都至少舀取到1个的概率为___________.

【答案】

【分析】首先将所求事件分类，再根据组合公式，古典概型公式求解.

【详解】由条件可知，舀到的有1个白菜，2个韭菜，或是2个白菜，1个韭菜，

所以概率.

故答案为：

14．已知直线经过点，且，两点到直线的距离相等，则的方程为___________.

【答案】或.

【分析】根据题意，分两种情况，分别求直线的斜率，即可求直线方程.

【详解】当直线与直线平行，或直线过线段的中点时，满足条件，

第一种情况：当直线与直线平行时，,此时直线的方程为，即，

第二种情况，当直线过线段的中点时，中点坐标，此时直线的斜率，方程为，即.

综上可知，直线的方程为或.

故答案为：或

15．已知，，则的最小值为___________.

【答案】/

【分析】首先由条件变形得，再利用二次函数求最值.

【详解】设，

，

当，此时，的最小值为.

故答案为：

四、双空题

16．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数.他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的称为三角形数，第二行的称为正方形数，第三行的称为五边形数，…，照此规律进行下去，若将每一行的第个数从小到大排列形成数列，

（i）若，则___________；

（ii）当且时，___________.（用表示）

【答案】     92    

【分析】根据图形抽象出第行第列的图形点数，再代入数值求，并化简求的结果.

【详解】第1行的图形点数规律为：

第2行的图形点数规律为：

第3行的图形点数规律为：

通过以上的规律可得第行第列的图形点数为，

所以当时，；

.

故答案为：；

【点睛】关键点点睛：本题考查根据图形，发现规律，找到项与序号的关系.

五、解答题

17．在等比数列中，，，.

(1)求的通项公式；

(2)设，求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意求得，得到，进而求得数列的通项公式；

（2）由（1）得到，结合乘公比错位相减法求和，即可求解.

【详解】（1）设等比数列的公差为，

因为，，即是方程的两根，

又因为，解得，则，可得，

所以数列的通项公式为；

（2）由，可得，所以，

设数列的前项和为，

可得，

，

两式相减得，

所以，即数列的前项和为，

18．为了缓解重庆市中心城区早晩高峰的交通压力，重庆市在中心城区部分桥梁､隧道实行工作日早高峰7：00至9：00､晩高峰17：00至19：30时期的车辆限行政策.某组织为了解学生对限行政策之后交通情况的满意度，随机抽取了100位学生进行调查，结果如下：回答“满意”的人数占总人数的，在回答“满意”的人中，“在校学生”的人数是“非在校学生”人数的；在回答“不满意”的人中，“在校学生”占其人数的.

(1)请根据以上数据填写下面列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析能否认为学生对限行政策之后交通情况的满意度与是否在校有关？

(2)为了进一步了解学生对限行政策之后交通情况的具体意见，该组织准备随机抽取部分学生做进一步调查.规定：直到随机抽取的学生中回答“不满意”的人数达到抽取总人数的及以上或抽样次数达到5次时，抽样结束.若学生回答满意与否相互独立，以频率估计概率，记为抽样次数，求的分布列和数学期望.

附：

参考公式：，其中.

【答案】(1)列联表见解析，学生对限行政策之后交通情况的满意度与是否在校有关；

(2)分布列见解析，期望

【分析】（1）首先根据条件补全列联表，并计算，并与参考数据进行比较，即可判断；

（2）首先根据条件判断，并结合独立事件的概率公式计算概率，最后求解分布列和数学期望.

【详解】（1）由题意可得下表

，

所以学生对限行政策之后交通情况的满意度与是否在校有关；

（2）由题可知，抽取一名学生回答不满意的概率估计为，

的可能值为1，2，4，5，

，，,

,

所以的分布列为

.

19．在中，角，，的对边分别为，，，已知.

(1)求角；

(2)若的面积为1，求的周长的最小值.

【答案】(1)

(2)（或写成）

【分析】（1）利用正弦定理边角互化，结合三角函数恒等变形，化简求，即可求解；

（2）首先由面积公式得，再结合余弦定理和基本不等式，即可求解周长的最小值.

【详解】（1）因为，

所以，

即,

由正弦定理得，

，

，即，且，

所以，，

则；

（2）由题知，，则，

，

当时，等号成立，

，

，即，

所以当（或写成），时，

周长的最小值是（或写成）

20．如图1，在直角梯形中，，，，，.现沿平行于的折叠，使得且平面，如图2所示.

(1)求的长度；

(2)求二面角的大小.

【答案】(1)1

(2)

【分析】（1）利用垂直关系得，再结合勾股定理，即可求解；

（2）分别求平面和的法向量，根据二面角的向量公式，即可求解.

【详解】（1）由平面，平面，得，

在矩形中，由，，知，

设，则，，

故，，

由勾股定理：，

解得：，

的长度为1；

（2）因为，，，

且平面，所以平面，

结合知，两两互相垂直，故以点为原点，为，，轴正方向建立空间直角坐标系，所以

，，，，，，

所以，，，，

设为平面的一个法向量，所以，

取，则，

设为平面的一个法向量，所以，

取，则，

记所求二面角大小为，为钝角，则，

所求二面角的大小为.

21．已知椭圆的左､右焦点分别为，，直线与交于，两点，当时，直线经过椭圆的上顶点，且的周长为.

(1)求椭圆的方程；

(2)若为中点，当在圆上时，求面积的最大值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）当时，,所以经过,可求出，得出椭圆方程；

（2）联立直线与的方程得出点，由在圆上得出两个未知量间关系，应用面积公式结合基本不等式可以求出最大值.

【详解】（1）当时，直线，椭圆上顶点为,，连接，

有，而的周长为，

所以经过，故，所以,所以.

.

（2）联立直线与的方程，有，

设，有：

,

有，由在圆上，有：

整理有,

原点到直线的距离，

所以的面积

,

等号成立时，结合,

解得

面积的最大值为.

22．已知为自然对数的底数，为常数，函数.

(1)求函数的极值；

(2)若在轴的右侧函数的图象总在函数的图象上方，求实数的取值范围.

【答案】(1)极小值为，无极大值

(2)

【分析】（1）首先求函数的导数，讨论和两种情况，求函数的极值；

（2）根据不等式构造函数，并求函数的二阶导数，利用二阶导数，讨论的取值范围，判断函数的单调性，利用，即可求实数的取值范围.

【详解】（1），

当时，，函数单调递减，无极值；

当时，由得，

当时，，当时，，

所以在区间单调递减，在单调递增，

当时，函数取得极小值，极小值为，无极大值；

（2），关于的不等式恒成立，

设，则，，

（ⅰ）当时，，单调递增，

，当时，，

所以存在，使，所以在上单调递减，

当时，矛盾；

（ⅱ）当时，令，解得：，

在区间单调递减，在单调递增，

若，即时，在单调递增，，在上单调递增，，满足条件；

若时，在上单调递减，此时，

在上单调递减，，矛盾

综上，实数的取值范围.

【点睛】本题考查利用导数研究函数的性质，以及研究不等式恒成立的综合应用，本题第二问的关键利用二阶导数讨论，由的正负，讨论函数的单调性，转化为判断是否成立.