2024陕西师大附中高一上学期期中考试数学含解析

这是一份2024陕西师大附中高一上学期期中考试数学含解析，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

命题人：马杰 审题人：张文英
一、选择题（本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 集合，则集合的非空真子集个数为（ ）
A. 2B. 3C. 6D. 7
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
3. “”的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知关于x的不等式的解集为，的解集为（ ）
A. B.
C D.
5. 记地球与太阳的平均距离为R，地球公转周期为T，万有引力常量为G，则太阳的质量（单位：）.由，， ，计算得太阳的质量约为（ ）
A. B. C. D.
6. 权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设m，n，x，y均为大于零的实数，则，当且仅当时等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为（ ）
A. 4B. 8C. 16D. 18
7. 定义域为函数满足，且当时，恒成立，设，，，则（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数，若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题（本题共4小题，每小题4分，共16分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得4分，部分选对的得-分有选错的得0分．）
9. 图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ）

A. B.
C D.
10. 下列命题为真命题的是( )
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
11. 已知是幂函数图像上的任意两点，则以下结论正确的是（ ）
A B.
C. D.
12. 设函数的定义域为，满足，且当时，，若对任意，都有，则实数的取值可以是（ ）
A. 4B. C. D. 6
三、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分．）
13. 已知，则的值为_____________．
14. 已知实数a，b满足，则的最小值为_____________．
15. “函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数”．该结论可以推广为：“函数的图象关于成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数”．则函数的对称中心为______________．
16. 已知函数是定义域为的偶函数，当时，，如果关于的方程恰有7个不同的实数根，那么的值等于______________．
四、解答题（本题共5小题，共56分．第17-18题每题满分10分，19-21题每题满分12分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 已知集合，．
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围．
18. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，．
（1）求函数的解析式；
（2）作出函数的图象，并根据图象写出函数的单调增区间和减区间．
19. 年，月日，华为在华为商城正式上线，成为全球首款支持卫星通话的大众智能手机.其实在年月日，华为被美国列入实体名单，以所谓科技网络安全为借口，对华为施加多轮制裁.为了进一步增加市场竞争力，华为公司计划在年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本万，每生产千部手机，需另投入成本万元，且由市场调研知此款手机售价万元，且每年内生产的手机当年能全部销售完.
（1）求出年的利润万元关于年产量千部的表达式
（2）年年产量为多少千部时，企业所获利润最大最大利润是多少
20. 设函数对任意，都有，当时，，．
（1）判断函数的奇偶性和单调性，并加以证明；
（2）当时，求函数值城．
21. 已知为偶函数，为奇函数，且满足.
（1）求、；
（2）若方程有解，求实数的取值范围；
（3）若，且方程有三个解，求实数的取值范围.
陕西师大附中2023—2024学年度第一学期
期中考试高一年级数学试题
命题人：马杰 审题人：张文英
一、选择题（本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 集合，则集合的非空真子集个数为（ ）
A 2B. 3C. 6D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】用集合的性质计算即可.
【详解】因为集合，
所以
所以集合的子集个数为个，
去掉它本身和空集，还剩个，
故选：C
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定求解.
【详解】命题“，”的否定是，,
故选:A.
3. “”的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】结合绝对值不等式的解法，利用充分条件、必要条件的概念判断即可.
【详解】由解得或，
对于A，由得不到，由得不到，
所以是的既不充分也不必要条件，不合题意；
对于B，由得不到，由得不到，
所以是的既不充分也不必要条件，不合题意；
对于C，由得不到，由得不到，
所以是的既不充分也不必要条件，不合题意；
对于D，当成立时，一定有，但是成立时，不一定有成立，
所以是的一个充分不必要条件.
故选：D.
4. 已知关于x的不等式的解集为，的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式的解集可知且的两根为1，4，然后利用根与系数的关系求出与的值，代入不等式，解之即可
【详解】依题意且的两根为1，4
由韦达定理知，∴，
代入得，即，
∴，从而所求不等式的解集为，
故选：C.
5. 记地球与太阳的平均距离为R，地球公转周期为T，万有引力常量为G，则太阳的质量（单位：）.由，， ，计算得太阳的质量约为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先由题意在中两边取对数并代入数据得，然后化为指数形式即可求解.
【详解】由题意在中两边取对数得，，
因，， ，所以，
所以，
综上所述：计算得太阳的质量约为.
故选：B.
6. 权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设m，n，x，y均为大于零的实数，则，当且仅当时等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为（ ）
A. 4B. 8C. 16D. 18
【答案】D
【解析】
【分析】利用权方和不等式求解.
【详解】，
当且仅当，即时取得等号，
所以函数的最小值为18，
故选:D.
7. 定义域为的函数满足，且当时，恒成立，设，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数的对称性和单调性比较大小即可求解.
【详解】因为定义域为的函数满足，
所以函数的图象关于对称，所以，
又因为当时，，
所以函数在单调递增，则在单调递减，
因为，
所以，
所以，即，
故选:C,
8. 已知函数，若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意构造函数，首先得出的单调性与奇偶性，然后将条件表达式等价转换即可得解.
【详解】令，因为的定义域为关于原点对称，且，
所以是上的奇函数，
注意到幂函数都是上的增函数，
所以是上的增函数，
而，
所以，解得，
综上所述，的取值范围是.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造函数，利用函数单调性与奇偶性解不等式.
二、选择题（本题共4小题，每小题4分，共16分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得4分，部分选对的得-分有选错的得0分．）
9. 图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ）

A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据所给图中阴影部分，结合集合的运算，可得答案。
【详解】对于A选项，即为图中所示；
对于B选项，应为如下图：

对于C选项，应为如下图：

对于D选项，即为图中所示.
故选：AD
10. 下列命题为真命题的是( )
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】AB
【解析】
【分析】根据不等式性质逐一判断命题真假即可.
【详解】对于选项A：因为，显然，由不等式可知，，故A正确；
对于选项B：因为，由不等式性质可知，，故B正确；
对于选项C：因为，由不等式性质可知，，故C错误；
对于选项D：因为，由不等式性质可知，，故D错误.
故选：AB.
11. 已知是幂函数图像上的任意两点，则以下结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用幂函数的单调性判断ABC；利用作差法判断D.
【详解】幂函数的定义域为，
，，
∵函数单调递增，，
∴，即，故A正确；
，，
∵函数在单调递减，，即，
∴，即，故B错误；
∵幂函数在上单调递增，，
∴，，即，∴，故C正确；
，
∵，
∴，即，故D正确.
故选：ACD.
12. 设函数的定义域为，满足，且当时，，若对任意，都有，则实数的取值可以是（ ）
A. 4B. C. D. 6
【答案】AB
【解析】
【分析】根据题意利用图象变换画出函数的图象，结合图象可求出的取值范围，从而可得答案.
【详解】因为函数的定义域为，满足，且当时，，
所以当时，，
当时，，
函数部分图象如图所示，
由，得，解得或，
因为对任意，都有，
所以由图可知，对比选项可知满足题意的实数的取值可以是4或.
故选：AB.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是由已知条件画出函数的部分图象，从而通过数形结合的方式来解决问题.
三、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分．）
13. 已知，则的值为_____________．
【答案】19
【解析】
【分析】利用换元法求函数的解析式即可求解.
【详解】令，则，所以，
所以，所以，
故答案为:19.
14. 已知实数a，b满足，则的最小值为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】先用对数运算得出，再用常值代换结合基本不等式即可.
【详解】因为，
所以，且，变形得，
因为
所以，当且仅当即时取等号，
故答案为：
15. “函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数”．该结论可以推广为：“函数的图象关于成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数”．则函数的对称中心为______________．
【答案】
【解析】
【分析】根据对称关系以及奇函数的概念求解.
【详解】设函数奇函数，
则有，
变形得，
则有，
即，
也即，
所以，解得，
故答案为:.
16. 已知函数是定义域为的偶函数，当时，，如果关于的方程恰有7个不同的实数根，那么的值等于______________．
【答案】
【解析】
【分析】利用偶函数做出图象，根据数形结合确定一元二次方程的两个根，韦达定理求解.
【详解】当时，，
当时，，
又因为函数是定义域为的偶函数，
则函数图象如图所示，
当时，有2个解，
当时，有4个解，
当时，有6个解，
当时，有3个解，
当时，有无解，
所以要想有7个解，
则关于的方程要有两个不同的根，设为，
且，从而，解得，所以，
故答案为: .
四、解答题（本题共5小题，共56分．第17-18题每题满分10分，19-21题每题满分12分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 已知集合，．
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）用并集的定义直接求即可；
（2）用交集的定义直接求即可，需注意分和两种情况.
【小问1详解】
因为，
解得，
当时，，
所以.
【小问2详解】
因为，故为的子集.
当时,
所以
解得,
当时
故实数的取值范围为
18. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，．
（1）求函数的解析式；
（2）作出函数的图象，并根据图象写出函数的单调增区间和减区间．
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）由题意当时，，，结合当时，即可得解.
（2）先将部分的图象画出来，根据奇函数的性质关于原点中心对称过去即可得到图象，进一步看图即可得到函数的单调区间.
【小问1详解】
因为当时，，且函数是定义在上的奇函数，
所以当时，，从而，
所以函数的解析式为.
【小问2详解】
函数的图象如图所示：
由图象可知，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.
19. 年，月日，华为在华为商城正式上线，成为全球首款支持卫星通话的大众智能手机.其实在年月日，华为被美国列入实体名单，以所谓科技网络安全为借口，对华为施加多轮制裁.为了进一步增加市场竞争力，华为公司计划在年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本万，每生产千部手机，需另投入成本万元，且由市场调研知此款手机售价万元，且每年内生产的手机当年能全部销售完.
（1）求出年的利润万元关于年产量千部的表达式
（2）年年产量为多少千部时，企业所获利润最大最大利润是多少
【答案】（1）；
（2）年年产量为千部时，企业所获利润最大，最大利润是万元
【解析】
【分析】（1）通过讨论的范围，得出的解析式；
（2）分别求出在和上的最大值即可得出结论．
【小问1详解】
当时，
，
当时，，
；
【小问2详解】
若，，
当时，万元；
若，
，
当且仅当时，即时，万元，
因为，
年年产量为千部时，企业所获利润最大，最大利润是万元．
20. 设函数对任意，都有，当时，，．
（1）判断函数的奇偶性和单调性，并加以证明；
（2）当时，求函数的值城．
【答案】（1）奇函数，在上为减函数，证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）令，求出，然后令，可判断出函数的奇偶性，再利用函数单调性的定义结合已知条件可判断出其单调性.
（2）令，求出，再由其单调性可得当时，，令，则，，所以将转化为，然后利用二次函数的性质可求出其值域.
【小问1详解】
令，则有，
所以，
令，则有，即，
又的定义域是关于原点对称，
所以是奇函数.
在定义域内任取，则，
因为当时，，
所以，
又因为，
所以，
所以在上为减函数.
【小问2详解】
令，所以，
因为函数是奇函数，
所以，
因为在上为减函数，，
所以，
令，，
所以，所以，
所以，，
所以在上单调递减，
所以当时，函数取最大值，当时，函数取最小值，
所以函数的值域为.
21. 已知为偶函数，为奇函数，且满足.
（1）求、；
（2）若方程有解，求实数的取值范围；
（3）若，且方程有三个解，求实数的取值范围.
【答案】（1），；（2）；（3）.
【解析】
【分析】（1）由已知条件可得出、的等式组，由此可解得这两个函数的解析式；
（2）令，分析可知函数在上有零点，分、两种情况讨论，结合二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围；
（3）作出函数的图象，分析可知方程有两个不等的实根，从而方程有且只有一个根，数形结合可求得实数的取值范围.
【详解】（1）因为为偶函数，为奇函数，由已知可得，
即，所以，，解得；
（2）由可得，
令，当且仅当时，等号成立，则，
故有，其中，
令，其中，则函数在上有零点，
①当时，即当时，则在上单调递增，所以，，不合乎题意；
②当时，即当时，则有，解得，此时.
综上所述，实数的取值范围是；
（3），作出函数的图象如下图所示：
由可得，
由图可知，方程有两个不等的实根，
由题意可知，方程有且只有一个根，故或，解得或.
因此，实数的取值范围是.