专题25 圆锥曲线大题综合-备战2024年数学新高考一轮复习之专题知识归纳和题型技巧大综合

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冲刺秘籍
1.利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤：
（1）设直线方程，设交点坐标为、；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解
2.若直线与圆雉曲线相交于，两点，
由直线与圆锥曲线联立，消元得到（）
则：
则：弦长
或
处理定点问题的思路：
（1）确定题目中的核心变量（此处设为），
（2）利用条件找到与过定点的曲线的联系，得到有关与的等式，
（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于与的等式进行变形，直至找到，
①若等式的形式为整式，则考虑将含的式子归为一组，变形为“”的形式，让括号中式子等于0，求出定点；
②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去变为常数.
处理定值问题的思路：
联立方程，用韦达定理得到、（或、）的形式，代入方程和原式化简即可.
冲刺训练
一、解答题
1．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知点，在椭圆 上.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆交于两个不同的点（异于），过作轴的垂线分别交直线于点，当是中点时，证明．直线过定点.
2．（2023·广东深圳·统考二模）已知椭圆的离心率，且点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程；
(2)若经过定点的直线与椭圆交于两点，记椭圆的上顶点为，当直线的斜率变化时，求面积的最大值.
3．（2023·江苏常州·校考一模）已知椭圆：的短轴长为，离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的动直线与椭圆相交于不同的两点，在线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上．
4．（2023·江苏徐州·校考模拟预测）已知抛物线：，过点作斜率互为相反数的直线，分别交抛物线于及两点．
(1)若，求直线的方程；
(2)求证：．
5．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）已知双曲线，在双曲线的右支上存在不同于点的两点，，记直线的斜率分别为，且，，成等差数列．
(1)求的取值范围；
(2)若的面积为（为坐标原点），求直线的方程．
6．（2023·广东佛山·校考模拟预测）已知为坐标原点，定点，，圆，是圆内或圆上一动点，圆与以线段为直径的圆内切.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)设的轨迹为曲线，若直线与曲线相切，过点作直线的垂线，垂足为，证明：为定值.
7．（2023·浙江·校联考三模）已知双曲线为其左右焦点，点为其右支上一点，在处作双曲线的切线.
(1)若的坐标为，求证：为的角平分线；
(2)过分别作的平行线，其中交双曲线于两点，交双曲线于两点，求和的面积之积的最小值.
8．（2023·福建厦门·厦门一中校考一模）已知圆：，点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)经过点和的圆与直线：交于，，已知点，且、分别与交于、.试探究直线是否经过定点.如果有，请求出定点；如果没有，请说明理由.
9．（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考二模）已知双曲线的左、右顶点分别为A1，A2，动直线l：与圆相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为（，），（，）．

(1)求k的取值范围；
(2)记直线P1A1的斜率为k1，直线P2A2的斜率为k2，那么是定值吗？证明你的结论．
10．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）中，是边上的点，，且．
(1)若，求面积的最大值；
(2)若内是否存在点，使得？若存在，求；若不存在，说明理由．
11．（2023·江苏扬州·统考模拟预测）已知椭圆的左顶点为，过右焦点且平行于轴的弦．
(1)求的内心坐标；
(2)是否存在定点，使过点的直线交于，交于点，且满足？若存在，求出该定点坐标，若不存在，请说明理由．
12．（2023·江苏南京·南京市第九中学校考模拟预测）椭圆E的方程为，左、右顶点分别为，，点P为椭圆E上的点，且在第一象限，直线l过点P
(1)若直线l分别交x，y轴于C，D两点，若，求的长；
(2)若直线l过点，且交椭圆E于另一点Q（异于点A，B），记直线与直线交于点M，试问点M是否在一条定直线上？若是，求出该定直线方程；若不是，说明理由．
13．（2023·福建漳州·统考模拟预测）已知是圆：上的动点，点，直线与圆的另一个交点为，点在直线上，，动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)若过点的直线与曲线相交于，两点，且，都在轴上方，问：在轴上是否存在定点，使得的内心在一条定直线上?请你给出结论并证明.
14．（2023·云南·云南师大附中校考模拟预测）已知双曲线：（，）的离心率是，实轴长是2，为坐标原点.设点为双曲线上任意一点，过点的直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，的面积为.
(1)当的方程为时，求的值；
(2)设，求证：为定值.
15．（2023·云南·校联考模拟预测）已知椭圆的左、右顶点分别为、，为椭圆上异于、的动点，设直线、的斜率分别为、，且.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设动直线与椭圆相交于、两点，为坐标原点，若，的面积是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由.
16．（2023·黑龙江大庆·统考二模）已知椭圆C：的离心率，短轴长为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知经过定点的直线l与椭圆相交于A，B两点，且与直线相交于点Q，如果，，那么是否为定值？若是，请求出具体数值；若不是，请说明理由．
17．（2023·广东佛山·统考模拟预测）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，，，为线段上异于的一动点，点满足.
(1)求点的轨迹的方程；
(2)点是曲线上两点，且在轴上方，满足，求四边形面积的最大值.
18．（2023·广东茂名·茂名市第一中学校考三模）已知双曲线的离心率为2.
(1)求双曲线的渐近线方程；
(2)若双曲线的右焦点为，若直线与的左，右两支分别交于两点，过作的垂线，垂足为，试判断直线是否过定点，若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由.
19．（2023·山西运城·山西省运城中学校校考二模）已知点为双曲线上一点，的左焦点到一条渐近线的距离为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)不过点的直线与双曲线交于两点，若直线PA，PB的斜率和为1，证明：直线过定点，并求该定点的坐标.
20．（2023·广东梅州·统考三模）已知双曲线的右焦点，右顶点分别为，，，，点在线段上，且满足，直线的斜率为1，为坐标原点.
(1)求双曲线的方程.
(2)过点的直线与双曲线的右支相交于，两点，在轴上是否存在与不同的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
21．（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考三模）已知P为圆C：上一动点，点，线段PN的垂直平分线交线段PC于点Q．
(1)求点Q的轨迹方程；
(2)点M在圆上，且M在第一象限，过点M作圆的切线交Q点轨迹于A，B两点，问的周长是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.
22．（2023·湖北武汉·武汉二中校联考模拟预测）已知椭圆的左顶点为，椭圆的中心关于直线的对称点落在直线上，且椭圆过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)为椭圆上两个动点，且直线与的斜率之积为为垂足，求的最大值.
23．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，为轴正半轴上的一个动点．以为焦点、为顶点作抛物线．设为第一象限内抛物线上的一点，为轴负半轴上一点，设，使得为拋物线的切线，且．圆均与直线切于点，且均与轴相切．

(1)试求出之间的关系；
(2)是否存在点，使圆与的面积之和取到最小值．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
24．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知为坐标原点，椭圆的离心率为，椭圆的上顶点到右顶点的距离为．
(1)求椭圆的方程；
(2)若椭圆的左、右顶点分别为、，过点作直线与椭圆交于、两点，且、位于第一象限，在线段上，直线与直线相交于点，连接、，直线、的斜率分别记为、，求的值．
25．（2023·山东·山东师范大学附中校考模拟预测）已知椭圆的离心率为，且经过点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点的直线与C交于M，N两点，直线分别与直线交于点P，Q，求的值．
26．（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知椭圆与直线相交于两点，椭圆上一动点，满足（其中表示两点连线的斜率），且为椭圆的左、右焦点，面积的最大值为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线交椭圆于两点，求的内切圆面积的最大值．
27．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，A，B分别是C的右、上顶点，且，D是C上一点，周长的最大值为8.
(1)求C的方程；
(2)C的弦过，直线，分别交直线于M，N两点，P是线段的中点，证明：以为直径的圆过定点.
28．（2023·重庆·统考模拟预测）如图，已知抛物线C：，F为其焦点，点在C上，△OAF的面积为4．

(1)求抛物线C的方程；
(2)过点作斜率为的直线交抛物线C于点M，N，直线MF交抛物线C于点Q，以Q为切点作抛物线C的切线，且，求△MNQ的面积．
29．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）已知M是平面直角坐标系内的一个动点，直线MA与直线垂直，A为垂足且位于第三象限；直线MB与直线垂直，B为垂足且位于第二象限.四边形OAMB(O为原点)的面积为2，记动点M的轨迹为C.
(1)求C的方程；
(2)点，直线PE，QE与C分别交于P，Q两点，直线PE，QE，PQ的斜率分别为，，.若，求△PQE周长的取值范围.
30．（2023·重庆巴南·统考一模）在平面直角坐标系中，已知点、，的内切圆与直线相切于点，记点M的轨迹为C.
(1)求C的方程；
(2)设点T在直线上，过T的两条直线分别交C于A、B两点和P，Q两点，连接.若直线的斜率与直线的斜率之和为0，试比较与的大小.