河北省保定市部分高中2023-2024学年高一上学期9月月考数学试卷(含答案)

这是一份河北省保定市部分高中2023-2024学年高一上学期9月月考数学试卷(含答案)，共12页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1、已知全集,集合和关系的韦恩图如图所示,则阴影部分所表示集合中的元素共有( )
A.3个B.4个C.5个D.无数个
2、已知函数，，且，则的值为( )
A.3B.4C.5D.6
3、已知函数是定义在R上的偶函数，且在区间上是增函数，令，，，则( )
A.B.C.D.
4、设函数，其中实数.若的值域为，则a的取值范围是( )
A.B.C.D.
5、已知集合，，则M与N的关系是( )
A.B.C.D.
6、已知a，，，则的取值范围是( )
A.B.C.D.
7、直角坐标系内A，B两点满足：①点A，B都在的图像上；②点A，B关于原点对称，则称点对是函数的一个“姊妹对点”，与可看作一个“姊妹对点”，已知函数，则的“姊妹对点”有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
8、已知函数，.若有2个零点，则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9、已知集合，，若，则实数a可以为( )
A.B.1C.0D.以上选项都不对
10、下列运算错误的是( )
A.
B.
C.
D.
11、若，则下列不等式中一定不成立的是( )
A.
B.
C.
D.
12、已知函数经过点，且满足，则下列结论正确的是( )
A.B.C.D.
三、填空题
13、已知幂函数在上单调递增，则m值为_____________.
14、若实数x，y满足，且，则的最小值为_____________.
15、已知关于x的不等式为，若该不等式对任意的均成立，则a的取值范围是_____________.
16、已知函数的图像关于点中心对称，又关于直线轴对称.若时，，则的值为_____________.
四、解答题
17、已知集合，.
（1）若，求a的取值范围；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求a的取值范围.
18、函数是定义在R上的奇函数，且.
（1）求实数a，b的值，并确定的解析式；
（2）判断在上的单调性，并用定义证明.
19、某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额x成正比，且投资1万元时的收益为万元，投资股票等风险型产品的收益与投资额x的算术平方根成正比，且投资1万元时的收益为0.5万元.
（1）分别写出两种产品的收益与投资额的函数关系；
（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？
20、定义在R上的函数满足对任意x，恒有且不恒为0.
（1）求、的值；
（2）判断的奇偶性并加以证明；
（3）若时，是增函数，求满足不等式的x的集合.
21、设函数，对于给定的负数a，有一个最大的正数，使得在时，不等式都成立，求的最大值.
22、若函数满足（其中且）.
（1）求函数的解析式，并判断其奇偶性和单调性；
（2）当时，的值恒为负数，求a的取值范围.
参考答案
1、答案：A
解析：由题意知,集合,
因为集合,
由集合的交运算可得,,
故阴影部分所表示集合为,
其中的元素共有三个.
故选：A.
2、答案：C
解析：，
，
.
故选：C.
3、答案：A
解析：因为函数是定义在R上的偶函数，所以.
又因为是R上的增函数.所以.
由于函数在区间上是增函数，
所以，即.
故选：A.
4、答案：D
解析：考虑函数（当时，），
由于在上严格递减，在上严格递增，
且注意到，，，
故所求a的取值范围是.
故选：D.
5、答案：B
解析：因为与表示同一函数，所以.
故选：B.
6、答案：D
解析：因为a，，，所以，
当且仅当时取等号，又，
所以，
故，所以的取值范围是.
故选：D.
7、答案：B
解析：根据题意可知，“姊妹对点”满足两点：都有函数图象上，
且关于坐标原点对称，可作出函数的图象关于原点对称的图象，
看它与函数交点个数即可，如图所示，
当时，，观察图象可得：它们由两个交点.
故选：B.
8、答案：D
解析：令可得，作出函数与函数的图象如图所示.
由图可知，当时，函数与函数的图象有2个交点，
此时，函数有2个零点.因此，实数a的取值范围是.
故选：D.
9、答案：ABC
解析：集合，，，或或，
不存在，或，或，解得，或，或.
故选：ABC.
10、答案：ABC
解析：对于A，，A错误；
对于B，，B错误；
对于C，，C错误；
对于D，，D正确.
故选：ABC.
11、答案：AD
解析：，则，一定不成立；
，当时，，故可能成立；
，故恒成立；，
故一定不成立.
故选：AD.
12、答案：ABCD
解析：由题意对于二次函数，，①，
②，
显然.②-①并化简得，选项A正确；
①+②并化简得，选项B正确；
由①有，故，选项C正确；
，选项D正确.
故选：ABCD.
13、答案：2
解析：由题意可知，解得.
答案为：2.
14、答案：4
解析：由，得，，
则的最小值为4.
15、答案：
解析：不等式对任意的均成立.当时，，此时；
当时，，对任意的均成立，
得.
综上，.
16、答案：
解析：用C表示函数的图像.对，
令，则，且.
利用C的中心对称性与轴对称性，可依次推得：
，，，
取，此时.
因此.
17、答案：（1）
（2）
解析：（1），
，
因为，所以或，即或.
所以a的取值范围是.
（2）因为“”是“”的充分不必要条件，所以，
则，解得.
所以a的取值范围是.
18、答案：（1），，
（2）在上单调递增
解析：（1）是定义在R上的奇函数，，
又.，，.
（2）设，，且.
，
，，，
，
在上单调递增.
19、答案：（1），，
（2）投资债券等稳健型产品为16万元，投资股票等风险型产品为4万元，投资收益最大为3万元
解析：（1）依题意设，，，，
，，.
（2）设投资股票等风险型产品为x万元，则投资债券等稳健型产品为万元，
，，
当，万元时，收益最大万元，
故20万元资金，投资债券等稳健型产品为16万元，投资股票等风险型产品为4万元，
投资收益最大为3万元.
20、答案：（1）
（2）是偶函数
（3）
解析：（1）令得，令，得.
（2）令，对得即，
而不恒为0，是偶函数.
（3）又是偶函数，，当时，递增，
由，得，
，x的取值范围是.
21、答案：当且仅当时，取最大值
解析：，
结合函数图像及，
①当，即，此时，
所以是方程的较小根，
即.
②当，即，此时，
所以是方程的较大根，
，
当且仅当时等号成立.
而，因此当且仅当时，取最大值.
22、答案：（1）在R上为增函数
（2）a的取值范围为
解析：（1）令，则，.
.
，为奇函数.
当时，为增函数，为增函数，且，为增函数.
当时，为减函数，为减函数，且，为增函数.
在R上为增函数.
（2）是R上的增函数，也是R上的增函数.
由，得，要使在上恒为负数，
只需，即.
，，，，
又，a的取值范围为.