八年级上学期数学第三次月考试卷 (28)

这是一份八年级上学期数学第三次月考试卷 (28)，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】A．是轴对称图形，故本选项错误；
B．是轴对称图形，故本选项错误；
C．是轴对称图形，故本选项错误；
D．不是轴对称图形，故本选项正确．
故选D．
2. 下列计算正确的是( )
A. a6+a6 = a12
B. a6·a2 = a8
C. a6÷a2 = a3
D. (a6)2= a8
【答案】B
【解析】
【分析】根据合并同类项、同底数幂乘除法和幂的乘方法则逐项计算即可.
【详解】解：A. a6+a6=2a6，故错误；
B. a6·a2 = a8，正确；
C. a6÷a2 = a4，故错误；
D. (a6)2= a12，故错误；
故选B.
【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂乘除法和幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题关键.
3. 若□×3xy＝3x2y，则□内应填的单项式是( )
A. xyB. 3xyC. xD. 3x
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：根据题意列出算式，计算即可得到结果．
解：根据题意得：3x2y÷3xy=x，
故选C
点评：此题考查了单项式乘单项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4. 下列分解因式正确的是（ ）
A. －a＋a3=－a(1＋a2)B. 2a－4b＋2=2(a－2b)
C. a2－4=(a－2)2D. a2－2a＋1=(a－1)2
【答案】D
【解析】
【分析】根据因式分解的定义进行分析.
【详解】A、-a+a3=-a（1-a2）=-a（1+a）（1-a），故本选项错误；
B、2a-4b+2=2（a-2b+1），故本选项错误；
C、a2-4=（a-2）（a+2），故本选项错误；
D、a2-2a+1=（a-1）2，故本选项正确．
故选D．
【点睛】考核知识点：因式分解.
5. 如图,在△ABC中,∠A=70°,若∠1、∠2是△ABC的外角,则∠1+∠2=( )
A. 180°B. 240°C. 250°D. 300°
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形的外角性质表示出∠2和∠1，然后利用三角形的内角和定理计算即可．
【详解】解：∵∠1、∠2是△ABC的外角，
∴∠2＝∠A＋∠ABC，∠1＝∠A＋∠ACB，
∴∠1＋∠2＝∠A＋∠A＋∠ABC＋∠ACB＝∠A＋180°＝70°＋180°＝250°，
故选C．
【点睛】本题考查了三角形的外角性质及三角形的内角和定理，难度不大，熟练掌握基础知识是解题关键．
6. 如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=3,∠B=30°,点P是BC边上的动点,则AP的长可能是( )
A. 5B. 6.2C. 7.8D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】利用垂线段最短分析AP最小不能小于3；利用含30度角的直角三角形的性质得出AB＝6，可知AP最大不能大于6，此题可解．
【详解】解：根据垂线段最短，可知AP的长不能小于3；
∵△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，
∴AB＝6，
∴AP的长不能大于6．
故选A．
【点睛】本题主要考查了垂线段最短性质和含30度角的直角三角形的性质，解答此题的关键是利用含30度角的直角三角形的性质求出AB＝6．
二、填空题(每小题3分,共24分)
7. 已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长是_______．
【答案】10
【解析】
【详解】解：因为2+2=4，
所以腰长为2时不能构成三角形；
所以等腰三角形的腰的长度是4，底边长2，
周长：4+4+2=10，
答：它的周长是10，
故答案为：10．
8. 若，，则_____．
【答案】15
【解析】
【分析】由，，根据同底数幂的乘法可得，继而可求得答案．
【详解】∵，，
∴，
故答案为15.
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键.本题中要注意掌握公式的逆运算．
9. 若整式（为常数，且）能在有理数范围内分解因式，则的值可以是_____（写一个即可）．
【答案】-1
【解析】
【分析】令，使其能利用平方差公式分解即可．
【详解】令，整式为
故答案为（答案不唯一）．
【点睛】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
10. 当a＝b－时，代数式a2－2ab＋b2的值为 ▲ ．
【答案】
【解析】
【详解】解：∵
答案
11. 若点与点关于轴对称，则__．
【答案】0
【解析】
【分析】根据关于y轴对称的点纵坐标相同，横坐标互为相反数得出m、n的值，代入求值即可．
【详解】解：点与点关于轴对称，
，，
解得：，，
，
故答案为：0
【点睛】本题考查了坐标与图形－轴对称变换，熟知关于y轴对称的点纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数；是解本题的关键．
12. 如图,将等边△AOB放在平面直角坐标系中,点A的坐标为(0,4),点B在第一象限,则点B到x轴的距离是__________
【答案】2
【解析】
【分析】过点B作BC⊥OA，根据点A的坐标和等边三角形三线合一的性质求出OC即可.
【详解】解：过点B作BC⊥OA，
∵点A的坐标为(0，4)，△AOB是等边三角形，
∴OA＝4，
∴OC＝OA＝2，
∴点B到x轴的距离是2，
故答案为2.
【点睛】本题考查了坐标与图形性质以及等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形三线合一的性质是解题关键.
13. 如图，中，点在上，将点分别以、为对称轴，画出对称点、，并连接、．根据图中标示的角度，则的度数为______．
【答案】
【解析】
【分析】连接AD，根据三角形内角和性质，得；根据轴对称的性质，得，；结合，通过计算即可得到答案．
【详解】如下图，连接AD
根据题意得：，
∴
∵将点分别以、为对称轴，画出对称点、，并连接、
∴，
∵
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形内角和、轴对称的知识；解题的关键是熟练掌握三角形内角和、轴对称的性质，从而完成求解．
14. 如图，在矩形纸片中，，点在边上，将沿直线折叠，点恰好落在对角线上的点处，若，则的长是______．
【答案】6
【解析】
【分析】根据折叠的性质得到AF=AB，∠AFE=∠B=90°，根据等腰三角形的性质得到AF=CF，于是得到结论．
【详解】解：∵将△ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处，
∴AF=AB，∠AFE=∠B=90°，
∴EF⊥AC，
∵∠EAC=∠ECA，
∴AE=CE，
∴AF=CF，
∴AC=2AB=6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
三、解答题(每小题5分,共20分)
15. 化简:.
【答案】
【解析】
【分析】根据完全平方公式及单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．进行求解即可．
【详解】原式.
【点睛】本题考查了完全平方公式及单项式乘多项式，解答本题的关键在于熟练掌握完全平方公式及单项式与多项式相乘的运算法则.
16. 分解因式：．
【答案】．
【解析】
【分析】直接利用完全平方公式化简，进而利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用公式是解题关键．
17. 小明化简（2x+1）（2x﹣1）﹣x（x+5）的过程如图，请指出他化简过程中的错误，写出对应的序号，并写出正确的化简过程．
【答案】见解析.
【解析】
【分析】利用平方差公式和单项式乘多项式计算法则去括号，然后合并同类项．
【详解】解：①：4x2﹣1﹣x（x+5）．
②：4x2﹣1﹣x2﹣5x．
③：3x2﹣5x﹣1．
18. 先化简，再求值：，其中．
【答案】1
【解析】
【分析】注意到可以利用完全平方公式进行展开，利润平方差公式可化为，则将各项合并即可化简，最后代入进行计算．
【详解】解：原式
将代入原式
【点睛】考查整式的混合运算，灵活运用两条乘法公式：完全平方公式和平方差公式是解题的关键，同时，在去括号的过程中要注意括号前的符号，若为负号，去括号后，括号里面的符号要改变.
四、解答题(每小题7分,共28分)
19. 在如图所示的平面直角坐标系中,三个点A、O、B的位置如图所示,它们的坐标分别是A(-1,1),O(0,0)和B(1,0).
(1)点A关于x轴对称的点的坐标是 ,点B关于y轴对称的点的坐标是
(2)在如图所示的平面直角坐标系中,添加点C,使以A、O、B、C四个点为顶点的四边形是一个轴对称图形,并在图中画出该图形的对称轴.
【答案】（1）；（2）见解析.
【解析】
【分析】（1）根据轴对称的性质可直接得出答案；
（2）根据轴对称图形的性质找到点C的位置，然后再画出该图形的对称轴即可.
【详解】（1）点A关于x轴对称的点的坐标是（－1，－1）；
点B关于y轴对称的点的坐标是（－1，0）；
（2）如图所示：
【点睛】本题考查了利用轴对称设计图案，解题关键是掌握轴对称的性质.
20. 已知x+4y=6,xy=-1,求多项式8(x2+2y2)-x(7x+y)+xy的值.
【答案】44.
【解析】
【分析】将多项式展开，然后变形为，再整体代入求值即可.
详解】，
当时，原式=.
【点睛】本题考查了整式化简求值，熟练掌握完全平方公式的常见变形及整体思想的应用是解答本题的关键.
21. 如图,已知∠C=∠D=90°,BC与AD交于点E,BC=AD,求证:AE=BE.
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】利用HL证明，得到，然后根据等角对等边可得结论.
【详解】证明：，
和是直角三角形，
∵，
，
，
.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质以及等角对等边，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键.
22. 如图，在△中，点分别在边上，与交于点，给出下列三个条件：①∠=∠；②；③．
（1）上述三个条件中，由哪两个条件可以判定是等腰三角形？（用序号写出所有成立的情形）
（2）请选择（1）中的一种情形，写出证明过程．
【答案】（1）①②；①③（2）见解析
【解析】
【分析】（1）由三角形全等的判定得出结论；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠OBC=∠OCB，再加上∠EBO=∠DCO，可到∠ABC=∠ACB，从而得出AB=AC，则是等腰三角形．
【详解】（1）①②；①③．
（2）选①②，理由如下：
在△BOE和△COD中，
∵∠EBO=∠DCO，BE=CD，∠BOE=∠COD，
∴△BOE≌△COD，
∴OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠OBC+∠EBO=∠OCB+∠DCO，即：∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
∴△ABC等腰三角形．
选①③，理由如下：
①③判定△ABC是等腰三角形，理由如下：
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
又∵∠EBO=∠DCO，
∴∠OBC+∠EBO=∠OCB+∠DCO，即：∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形．
【点睛】考查等腰三角形的判定、三角形全等，解题关键是利用三角形全等得出角相等，线段相等进而得出结论．
五、解答题(每小题8分,共16分)
23. 如图，在中，.
⑴已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连结AP，求证：；
⑵以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连结AQ，若，求的度数.
【答案】（1）见解析；（2）∠B=36°.
【解析】
【分析】（1）根据垂直平分线的性质，得到PA=PB，再由等腰三角形的性质得到∠PAB=∠B，从而得到答案；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠BAQ=∠BQA，设∠B=x，由题意得到等式∠AQC=∠B+∠BAQ=3x，即可得到答案.
【详解】（1）证明：因为点P在AB的垂直平分线上，
所以PA=PB，
所以∠PAB=∠B，
所以∠APC=∠PAB+∠B=2∠B.
（2）根据题意，得BQ=BA，
所以∠BAQ=∠BQA，
设∠B=x，
所以∠AQC=∠B+∠BAQ=3x，
所以∠BAQ=∠BQA=2x，
在△ABQ中，x+2x+2x=180°，
解得x=36°，即∠B=36°.
【点睛】本题考查垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，解题的关键是掌握垂直平分线的性质、等腰三角形的性质.
24. 如图是用一些小长方形和正方形拼成的一个大正方形.
(1)在图①中根据图形面积的关系写出一个用乘法公式计算的等式;
(2)如果a-b=3,a2+b2=15,求图②中阴影部分的面积
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）用不同的方法表示出图①中大正方形的面积即可得出该等式；
（2）根据三角形面积公式列式，然后进行整理，再整体代入求值即可.
【详解】（1）图①中大正方形的面积为边长为的正方形的面积，即，
还可表示为：边长为a的正方形的面积+4个长为a宽为b的长方形的面积+4个边长为b的正方形的面积，即，
故可得：；
（2）.
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景以及整式的化简求值，灵活运用乘法公式的变形是化简求值的关键.
六、解答题(每小题10分,共20分)
25. 观察下列各个等式的规律:
第一个等式:22-12-1=2,第二个等式:32-22-1=4,第三个等式:42-32-1=6…请用上述等式反映出的规律解决下列问题:
(1)直接写出第四个等式;
(2)猜想第n个等式(用含n的式子表示),并证明你猜想的等式是正确的;
(3)直接写出20202-20192-2019=
【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）2020.
【解析】
【分析】（1）根据所给等式，可直接写出第四个等式；
（2）观察所给等式可得：等号左边的第一个数是序号加1的平方，第二个数是序号的平方，第三个数是1，等号右边是序号的二倍，据此写出第n个等式，然后展开证明即可；
（3）利用（2）中等式先求出20202-20192的值，然后即可求出结果.
【详解】（1）由题意得，第四个等式为：；
（2）观察所给等式可得：等号左边的第一个数是序号加1的平方，第二个数是序号的平方，第三个数是1，等号右边是序号的二倍，
故猜想第n个等式为：，
证明：左边＝＝右边，
故等式成立；
（3）∵，
∴，
∴20202-20192=2×2019+1，
∴20202-20192-2019=2×2019+1-2019=2020.
【点睛】本题考查了数字类规律探索以及整式的混合运算，通过观察所给式子，找出变化的部分和不变的部分以及变化部分的变化规律，进而总结出一般性规律是解答此类问题的关键.
26. 如图,在Rt△ABO中,∠BOA=90°,∠BAO=30°.以AB为一边向上作等边三角形ABE,点D为OA垂直平分线上的一点,且AD⊥AB,连接BD、OD、OE.
(1)判断△ADO的形状,并说明理由;
(2)求证:BD=OE
(3)在射线BA上有一动点P,若△PAO为等腰三角形,直接写出∠AOP的度数
【答案】（1）△ADO是等边三角形，理由见解析；（2）证明见解析；（3）75°或30°或15°.
【解析】
【分析】（1）根据AD⊥AB且∠BAO=30°可求出∠DAO=60°，然后根据垂直平分线的性质得到OD=DA，即可证明△ADO是等边三角形；
（2）根据等边三角形的性质结合SAS证明△ABD≌△AEO即可；
（3）分情况讨论：①当OA=AP时，②当OP=AP时，③当OA=AP时，分别根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理及三角形外角的性质求解即可.
【详解】（1）△ADO是等边三角形；
理由：∵DA⊥BA，∠BAO=30°，
∴∠DAO=90°-30°=60°，
∵点D为OA垂直平分线上的一点，
∴OD=DA，
∴△ADO是等边三角形；
（2）∵△ABE、△ADO是等边三角形，
∴DA=OA，AB=AE，∠OAD=∠EAB=60°，
∵∠BAO=30°，
∴∠BAD=EAO=90°，
∴△ABD≌△AEO（SAS），
∴BD=OE；
（3）分情况讨论：
①当OA=AP时，如图，
∵∠BAO=30°，
∴∠AOP1=（180°－30°）÷2=75°；
②当OP=AP时，如图，
∵∠BAO=30°，
∴∠AOP2=∠BAO=30°；
③当OA=AP时，如图，
∴∠AOP3=∠AP3O，
∵∠BAO=30°，
∴∠AOP3=∠BAO=15°，
综上所述：∠AOP的度数为75°或30°或15°.
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理以及三角形外角的性质等，涉及知识点较多，但难度不大，灵活运用所学知识是解题关键.解：原式=2x2﹣1﹣x（x+5）…①
=2x2﹣1﹣x2+5x…②
=x2+5x﹣1 …③