四川省成都市第四十九中学校2023-2024学年高一上学期期中数学试题（解析版）

这是一份四川省成都市第四十九中学校2023-2024学年高一上学期期中数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

时间：120分钟 满分：150分
一、单选题（每小题5分）
1. 幂函数的图象经过点，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】已知函数类型，设函数解析式，将已知点带入，求出a，然后再求的值
【详解】设幂函数的解析式为，
∵点在函数的图象上，
∴，即，解得，
∴，
∴．
故选B．
【点睛】会根据题意求幂函数表达式，并会求简单的幂函数值
2. 已知R，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】若，则，则成立．更多课件教案等优质滋源请 家 威杏 MXSJ663 而当且时，满足，但不成立；
“”是“”的充分不必要条件．
故选：．
3. 命题则
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据特征命题的否定,即可求得答案.
【详解】命题
根据存在性命题的否定是全称性命题:
命题的否定是:
故选:C.
【点睛】本题主要考查了特称命题的否定,解题关键是掌握特称命题的基础知识,考查了分析能力,属于基础题.
4. 设，则有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】作差法得到答案.
【详解】
，
当且仅当时，等号成立，故.
故选：A
5. 函数的最小值是（ ）
A. 4B. 6C. 8D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用基本不等式计算可得；
【详解】解：因为，
所以，
取等号时，即，
所以.
故选：C
【点睛】本题考查基本不等式的应用，属于基础题.
6. 将函数向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得图像为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，将函数化为分段函数的形式，得到其大致图像，即可判断平移之后的函数图像.
【详解】
因为，可得函数的大致图像如图所示，
将其向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得函数图像为C选项中的图像.
故选：C
7. 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数的图象与性质，写出对称轴，比较对称轴与4的关系即可求解.
【详解】由于二次函数的二次项系数为正数，对称轴为直线，
其对称轴左侧的图像是下降的，
∴，故，
因此，实数的取值范围是.
故选：A.
8. 若定义在上的函数同时满足：①为奇函数；②对任意的，且，都有，则称函数具有性质．已知函数具有性质，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】构造函数，由题意可以推出函数的奇偶性、单调性，然后对进行分类讨论解不等式即可.
【详解】因为对任意的，且，都有，
即对任意两个不相等的正实数不妨设，都有，
所以有，
所以函数是上的减函数，
又因为为奇函数，即有，有，
所以有，
所以为偶函数，
所以在上单调递增．
当，即时，有,由，得，
所以，解得，此时无解；
当，即时，由，得，
所以，解得或．
综上所述，不等式的解集为．
故选：C.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是由已知条件去构造函数，并结合已知导出其函数性质，从而分类讨论解不等式即可.
二、多选题（每小题5分，全部选对得5分，部分选对得2分，有错选得0分）
9. 已知函数，若，则实数的值可以是（ ）
A. 3B. C. 4D. -4
【答案】BC
【解析】
【分析】分与两种情况求解的值即可.
【详解】当时，得，解得或（舍去）；当时，得，解得.
故选：BC
10. 下列对应关系是从集合到集合的函数的是（ ）
A. ，，对应关系对集合中的元素取绝对值与中元素对应
B. ，，对应关系
C. ，，对应关系中的数开方
D. ，，对应关系
【答案】BD
【解析】
【分析】根据函数的概念判断每个选项.
【详解】选项A，对于中的元素，由对应关系的作用下得，
但不属于，即中的元素在中没有元素与之对应，不是函数；
选项B，对于中的元素，在对应关系的作用下
与中的元素对应；对于中的元素，在对应关系的作用下
与中的元素对应.所以满足中任意元素与中唯一元素对应，
是“多对一”的对应，所以是函数；
选项C，对于中的元素，由对应关系的作用下与中元素对应，
不满足中任意元素与中唯一元素对应，不是函数；
选项D，对于中的任意元素，在对应关系的作用下，
中都有唯一元素与之对应，所以是函数.
故选：BD
11. 符号[x]表示不超过x的最大整数，如[3.14]=3，[－1.6]=－2．定义函数：，则下列命题正确的是（ ）
A.
B. 当时，
C. 函数的定义域为，值域为
D. 函数是增函数
【答案】AB
【解析】
【分析】将代入解析式，即可判断A项；当时，，得出，从而判断B项；由表示不超过的最大整数，得出，从而判断C项；取特殊值，判断D项.
【详解】对于A项，，则A正确；
对于B项，当时，，得出，则B正确；
对于C项，函数的定义域为，因为表示不超过的最大整数，
所以，则C错误；
对于D项，，
，
函数不是增函数，则D错误；
故选：AB.
12. 已知正实数满足，则下列结论中正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】把的相应值代入，结合基本不等式及相关结论分别检验各选项即可．
【详解】解：当时，，
当且仅当时取等号，解得，故A正确；
，当且仅当时取等号，
解得，故B错误；
当时，，则，
所以
，当且仅当时取等号，所以C正确，
当时，，当且仅当时取等号，
解得（舍负），故D正确．
故选：ACD．
三、填空题（每小题5分）
13. 函数的定义域为，则的定义域为________.
【答案】
【解析】
【分析】根据抽象函数的定义域求的定义域即可.
【详解】由于函数的定义域为，则，所以函数的定义域为，
则函数中，所以，即的定义域为.
故答案为：.
14. 命题，为真，求实数的取值范围__________.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意知有实数解，分或，即可求解.
【详解】由题意知有实数解,
当时，一定有解，故符合题意，
当时，，
解得：，
综上所述：，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了已知函数有解求参数范围，属于中档题.
15. 函数在的最大值与最小值之和是__________．
【答案】
【解析】
【分析】首先判断函数的单调性，即可求出函数的最值，从而得解.
【详解】解：∵，
∴在区间上是增函数，∴，，
∴在上的最大值与最小值之和是．
故答案为：
16. 设函数，给出下列四个命题：
①时，是奇函数；
②时，方程只有一个实根；
③的图象关于对称；
④方程至多两个实根.
其中正确的命题是_________．（填序号）
【答案】①②③
【解析】
【详解】时，，
是奇函数；1正确；
时，方程为，只有当
时，方程才有解，此时解得，
方程只有一个实根；2正确；
的图像关于点对称；3正确；
例如：时，方程为有三个根4错误.
四、解答题
17. 某超市引进，两类有机蔬菜．在当天进货都售完的前提下，A类有机蔬菜的纯利润为3元/千克，类有机蔬菜的纯利润为5元/千克．若当天出现未售完的有机蔬菜，次日将以5折售出，此时售出的A类蔬菜的亏损为1元/千克，类蔬菜的亏损为3元/千克．已知当天未售完的有机蔬菜，次日5折促销都能售完．假设该超市A，两类有机蔬菜当天共进货100千克，其中A类有机蔬菜进货千克．假设A，类有机蔬菜进货当天可售完的质量均为50千克．
（1）试求进货当天及次日该超市这两类有机蔬菜的总盈利（单位：元）的表达式；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）分、写出分段函数即可；
（2）解分段函数不等式，即可求出.
【小问1详解】
当，时，；
当，时，．
故
【小问2详解】
当，时，由，解得；
当，时，由，解得．
故的取值范围是．
18. 设集合.
（1）若，求；
（2）若“”是“”充分不必要条件，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】先利用补集概念求，再结合交集概念求；
由“”是“”的充分不必要条件，可得，再建立不等关系求m的取值范围即可.
【小问1详解】
由题意知当时，，故，
而，故．
【小问2详解】
由“”是“”的充分不必要条件，可得为的真子集，
又，故需满足且中等号不能同时取得，
解得，
综上所述：的取值范围为
19. 已知实数，均为正实数．
（1）若，求的最小值；
（2）若，求的最小值．
【答案】（1）9 （2）25
【解析】
【分析】（1）利用乘“1”法即可；
（2）利用基本不等式构造关于的一元二次不等式即可.
小问1详解】
因为实数，均为正实数，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
故的最小值为9.
【小问2详解】
由题意得，解得或（舍去），
则，当且仅当时等号成立.
则的最小值为25.
20. 已知函数.
（1）若的图象关于直线对称，求函数在区间上的值域；
（2）求使的自变量的取值范围.
【答案】（1）
（2）答案详见解析
【解析】
【分析】（1）根据对称性求得，根据二次函数的性质求得在区间上的值域；
（2）对进行分类讨论，由此求得正确答案.
【小问1详解】
依题意，的图象关于直线对称，
即，所以，
，
所以函数在区间上的值域为.
【小问2详解】
由得，
当时，，解得，即的取值范围是.
当时，由解得或，
即的取值范围是或.
当时，由解得或，
即的取值范围是或.
21. 已知函数，，满足条件，且.
（1）求的值；
（2）用单调性定义证明：函数在区间上单调递增；
（3）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法，即可得解；
（2）利用单调性的定义，结合作差法即可证明；
（3）变形得，再利用（2）中结论去掉即可得解.
【小问1详解】
因为，，，
所以，解得，
所以.
【小问2详解】
由（1）得，
，且，
有，
由于，即，
所以函数在区间上单调递增.
【小问3详解】
由得
又函数在区间上单调递增，
所以，解得，故，
所以实数的取值范围是.
22. 已知是定义在上的奇函数，且若对任意的m，，，都有.
（1）若，求实数a的取值范围；
（2）若不等式对任意和都恒成立，求实数t的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）利用单调性的定义，令，计算，证得在上递增，由此结合奇函数的性质化简不等式，求得的取值范围.
（2）将不等式恒成立转化为对任意的都恒成立，通过构造一次函数的方法，求得的取值范围.
【详解】（1）设任意，，满足，
由题意可得，
即，
在定义域上是增函数.
则可化为，
解得，a的取值范围为.
（2）由（1）知不等式对任意和都恒成立，
对任意的都恒成立，
恒成立，
即对任意的都恒成立，
令，，
则只需，
解得，的取值范围.
【点睛】利用函数单调性的定义进行证明，主要是判断的符号.