小学数学奥数讲义完整版

这是一份小学数学奥数讲义完整版，共354页。

观察法，是通过观察题目中数字的变化规律及位置特点，条件与结论之间的关系，题目的结构特点及图形的特征，从而发现题目中的数量关系，把题目解答出来的一种解题方法。
观察要有次序，要看得仔细、看得真切，在观察中要动脑，要想出道理、找出规律。
*例1（适于一年级程度）此题是九年义务教育六年制小学教科书数学
第二册，第11页中的一道思考题。书中除图1-1的图形外没有文字说明。这道题旨在引导儿童观察、思考，初步培养他们的观察能力。这时儿童已经学过20以内的加减法，基于他们已有的知识，能够判断本题的意思是：在右边大正方形内的小方格中填入数字后，使大正方形中的每一横行，每一竖列，以及两条对角线上三个数字的和，都等于左边小正方形中的数字18。实质上，这是一种幻方，或者说是一种方阵。
解：现在通过观察、思考，看小方格中应填入什么数字。从横中行10+6+□=18会想到，18-10-6=2，在横中行右面的小方格中应填入2（图1-2）。
从竖右列7+2+□=18（图1-2）会想到，18-7-2=9，在竖右列下面的小方格中应填入9（图1-3）。

从正方形对角线上的9+6+□=18（图1-3）会想到，18-9-6=3，在大正方形左上角的小方格中应填入3（图1-4）。
从正方形对角线上的7+6+□=18（图1-3）会想到，18-7-6=5，在大正方形左下角的小方格中应填入5（图1-4）。

从横上行3+□+7=18（图1-4）会想到，18-3-7=8，在横上行中间的小方格中应填入8（图1-5）。
又从横下行5+□+9=18（图1-4）会想到，18-5-9=4，在横下行中间的小方格中应填入4（图1-5）。
图1-5是填完数字后的幻方。
例2 看每一行的前三个数，想一想接下去应该填什么数。（适于二年级程度）
6、16、26、____、____、____、____。
9、18、27、____、____、____、____。
80、73、66、____、____、____、____。
解：观察6、16、26这三个数可发现，6、16、26的排列规律是：16比6大10，26比16大10，即后面的每一个数都比它前面的那个数大10。
观察9、18、27这三个数可发现，9、18、27的排列规律是：18比9大9，27比18大9，即后面的每一个数都比它前面的那个数大9。
观察80、73、66这三个数可发现，80、73、66的排列规律是：73比80小7，66比73小7，即后面的每一个数都比它前面的那个数小7。
这样可得到本题的答案是：
6、16、26、36、46、56、66。
9、18、27、36、45、54、63。
80、73、66、59、52、45、38。
例3 将1～9这九个数字填入图1-6的方框中，使图中所有的不等号均成立。（适于三年级程度）
解：仔细观察图中不等号及方框的排列规律可发现：只有中心的那个方框中的数小于周围的四个数，看来在中心的方框中应填入最小的数1。再看它周围的方框和不等号，只有左下角的那个方框中的数大于相邻的两个方框中的数，其它方框中的数都是一个比一个大，而且方框中的数是按顺时针方向排列越来越小。
所以，在左下角的那个方框中应填9，在它右邻的方框中应填2，在2右面的方框中填3，在3上面的方框中填4，以后依次填5、6、7、8。
图1-7是填完数字的图形。

例4 从一个长方形上剪去一个角后，它还剩下几个角？（适于三年级程度）
解：此题不少学生不加思考就回答：“一个长方形有四个角，剪去一个角剩下三个角。”
我们认真观察一下，从一个长方形的纸上剪去一个角，都怎么剪？都是什么情况？
（1）从一个角的顶点向对角的顶点剪去一个角，剩下三个角（图1-8）。
（2）从一个角的顶点向对边上任意一点剪去一个角，剩下四个角（图1-9）。
（3）从一个边上任意一点向邻边上任意一点剪去一个角，

剩下五个角（图1-10）。
例5 甲、乙两个人面对面地坐着，两个人中间放着一个三位数。这个三位数的每个数字都相同，并且两人中一个人看到的这个数比另一个人看到的这个数大一半，这个数是多少？（适于三年级程度）
解：首先要确定这个三位数一定是用阿拉伯数字表示的，不然就没法考虑了。
甲看到的数与乙看到的数不同，这就是说，这个三位数正看、倒看都表示数。在阿拉伯数字中，只有0、1、6、8、9这五个数字正看、倒看都表示数。
这个三位数在正看、倒看时，表示的数值不同，显然这个三位数不能是000，也不能是111和888，只可能是666或999。
如果这个数是666，当其中一个人看到的是666时，另一个人看到的一定是999，999-666=333，333正好是666的一半。所以这个数是666，也可以是999。
*例6 1966、1976、1986、1996、2006这五个数的总和是多少？（适于三年级程度）
解：这道题可以有多种解法，把五个数直接相加，虽然可以求出正确答案，但因数字大，计算起来容易出错。
如果仔细观察这五个数可发现，第一个数是1966，第二个数比它大10，第三个数比它大20，第四个数比它大30，第五个数比它大40。因此，这道题可以用下面的方法计算：
1966+1976+1986+1996+2006
=1966×5+10×（1+2+3+4）
=9830+100
=9930
这五个数还有另一个特点：中间的数是1986，第一个数1966比中间的数1986小20，最后一个数2006比中间的数1986大20，1966和2006这两个数的平均数是1986。1976和1996的平均数也是1986。这样，中间的数1986是这五个数的平均数。所以，这道题还可以用下面的方法计算：
1966+1976+1986+1996+2006
=1986×5
=9930
例7 你能从400÷25=（400×4）÷（25×4）=400×4÷100=16中得到启发，很快算出（1）600÷25（2）900÷25（3）1400÷25（4）1800÷25（5）7250÷25的得数吗？（适于四年级程度）
解：我们仔细观察一下算式：
400÷25=（400×4）÷（25×4）=400×4÷100=16
不难看出，原来的被除数和除数都乘以4，目的是将除数变成1后面带有0的整百数。这样做的根据是“被除数和除数都乘以一个相同的数（零除外），商不变”。
进行这种变化的好处就是当除数变成了1后面带有0的整百数以后，就可以很快求出商。按照这个规律，可迅速算出下列除法的商。
（1）600÷25 （2）900÷25
=（600×4）÷（25×4） =（900×4）÷（25×4）
=600×4÷100 =900×4÷100
=24 =36
（3）1400÷25 （4）1800÷25
=（1400×4）÷（25×4） =（1800×4）÷（25×4）
=1400×4÷100 =1800×4÷100
=56 =72
（5）7250÷25
=（7250×4）÷（25×4）
=29000÷100
=290
*例8 把1～1000的数字如图1-11那样排列，再如图中那样用一个长方形框框出六个数，这六个数的和是87。如果用同样的方法（横着三个数，竖着两个数）框出的六个数的和是837，这六个数都是多少？（适于五年级程度）
解：（1）观察框内的六个数可知：第二个数比第一个数大1，第三个数比第一个数大2，第四个数比第一个数大7，第五个数比第一个数大8，第六个数比第一个数大9。
假定不知道这几个数，而知道上面观察的结果，以及框内六个数的和是87，要求出这几个数，就要先求出六个数中的第一个数：
（87-1-2-7-8-9）÷6
＝60÷6
=10
求出第一个数是10，往下的各数也就不难求了。
因为用同样的方法框出的六个数之和是837，这六个数之中后面的五个数也一定分别比第一个数大1、2、7、8、9，所以，这六个数中的第一个数是：
（837-1-2-7-8-9）÷6
＝810÷6
=135
第二个数是：135+1=136
第三个数是：135+2=137
第四个数是：135+7=142
第五个数是：135+8=143
第六个数是：135+9=144
答略。
（2）观察框内的六个数可知：①上、下两数之差都是7；②方框中间坚行的11和18，分别是上横行与下横行三个数的中间数。
11=（10+11+12）÷3
18=（17+18+19）÷3
所以上横行与下横行两个中间数的和是：
87÷3＝29
由此可得，和是837的六个数中，横向排列的上、下两行两个中间数的和是：
837÷3＝279
因为上、下两个数之差是7，所以假定上面的数是x，则下面的数是x+7。
x+（x+7）=279
2x+7=279
2x=279-7
=272
x=272÷2
=136
x+7=136+7
=143
因为上一横行中间的数是136，所以，第一个数是：136-1=135
第三个数是：135+2=137
因为下一横行中间的数是143，所以，
第四个数是：143-1=142
第六个数是：142+2=144
答略。
*例9 有一个长方体木块，锯去一个顶点后还有几个顶点？（适于五年级程度）
解：（1）锯去一个顶点（图1-12），因为正方体原来有8个顶点，锯去一个顶点后，增加了三个顶点，所以，
8-1+3=10
即锯去一个顶点后还有10个顶点。

（2）如果锯开的截面通过长方体的一个顶点，则剩下的顶点是8-1+2=9（个）（图1-13）。
（3）如果锯开的截面通过长方体的两个顶点，则剩下的顶点是8-1+1=8（个）（图1-14）。

（4）如果锯开的截面通过长方体的三个顶点，则剩下的顶点是8-1=7（个）（图1-15）。
例10 将高都是1米，底面半径分别是1.5米、1米和0.5米的三个圆柱组成一个物体（图1-16），求这个物体的表面积S。（适于六年级程度）
解：我们知道，底面半径为γ，高为h的圆柱体的表面积是2πγ2+2πγh。

本题的物体由三个圆柱组成。如果分别求出三个圆柱的表面积，再把三个圆柱的表面积加在一起，然后减去重叠部分的面积，才能得到这个物体的表面积，这种计算方法很麻烦。这是以一般的观察方法去解题。
如果我们改变观察的方法，从这个物体的正上方向下俯视这个物体，会看到这个物体上面的面积就像图1-17那样。这三个圆的面积，就是底面半径是1.5米的那个圆柱的底面积。所以，这个物体的表面积，就等于一个大圆柱的表面积加上中、小圆柱的侧面积。
（2π×1.52+2π×1.5×1）+（2π×1×1）+（2π×0.5×1）
=（4.5π+3π）+2π+π
=7.5π+3π
=10.5π
=10.5×3.14
=32.97（平方米）
答略。
*例11 如图1-18所示，某铸件的横截面是扇形，半径是15厘米，圆心角是72°，铸件长20厘米。求它的表面积和体积。（适于六年级程度）
解：遇到这样的题目，不但要注意计算的技巧，还要注意观察的全面性，不可漏掉某一侧面。图1-18表面积中的一个长方形和一个扇形就容易被漏掉，因而在解题时要仔细。
求表面积的方法1：
＝3.14×45×2+600+120×3.14
=3.14×90+3.14×120+600
=3.14×（90+120）+600
=659.4+600
=1259.4（平方厘米）
求表面积的方法2：
=3.14×210+600
=659.4+600
=1259.4（平方厘米）
铸件的体积：
=3.14×225×4
=3.14×900
=2826（立方厘米）
答略。
第二讲 尝试法
解应用题时，按照自己认为可能的想法，通过尝试，探索规律，从而获得解题方法，叫做尝试法。尝试法也叫“尝试探索法”。
一般来说，在尝试时可以提出假设、猜想，无论是假设或猜想，都要目的明确，尽可能恰当、合理，都要知道在假设、猜想和尝试过程中得到的结果是什么，从而减少尝试的次数，提高解题的效率。
例1 把数字3、4、6、7填在图2-1的空格里，使图中横行、坚列三个数相加都等于14。（适于一年级程度）
解：七八岁的儿童，观察、总结、发现规律的能力薄弱，做这种填空练习，一般都感到困难。可先启发他们认识解此题的关键在于试填中间的一格。中间一格的数确定后，下面一格的数便可由竖列三个数之和等于14来确定，剩下的两个数自然应填入左右两格了。
中间一格应填什么数呢？
先看一个日常生活中的例子。如果我们要从一种月刊全年的合订本中找到第六期的第23页，我们一定要从合订本大约一半的地方打开。要是翻到第五期，就要再往后翻；要是翻到第七期、第八期，就要往前翻。找到第六期后，再往接近第23页的地方翻，……
这样反复试探几次，步步逼近，最后就能找到这一页。
这就是在用“尝试法”解决问题。
本题的试数范围是3、4、6、7四个数，可由小至大，或由大至小依次填在中间的格中，按“横行、竖列三个数相加都得14”的要求来逐个尝试。

如果中间的格中填3，则竖列下面的一格应填多少呢？因为14-5-3=6，所以竖列下面的一格中应填6（图2-2）。
下面就要把剩下的4、7，分别填入横行左右的两个格中（图2-3）。把横行格中的4、3、7三个数加起来，得14，合乎题目要求。
如果中间一格填4、或填6、7都不合乎题目的要求。
所以本题的答案是图2-3或图2-4。
例2 把1、2、3……11各数填在图2-5的方格里，使每一横行、每一竖行的数相加都等于18。（教科书第四册第57页的思考题，适于二年级程度）
解：图2-5中有11个格，正好每一格填写一个数。
图2-6中写有A、B、C的三个格中的三个数，既要参加横向的运算，又要参加纵向的运算，就是说这三个数都要被用两次。因此，确定A、B、C这三个数是解此题的关键。

因为1～11之中中间的三个数是5、6、7，所以，我们以A、B、C分别为5、
6、7开始尝试（图2-7）。
以6为中心尝试，看6上、下两个格中应填什么数。
因为18-6=12，所以6上、下两格中数字的和应是12。
考虑6已是1～11之中中间的数，那么6上、下两格中的数应是1～11之中两头的数。再考虑6上面的数还要与5相加，6下面的数还要与7相加，5比7小，题中要求是三个数相加都等于18，所以在6上面的格中填11，在6下面的格中填1（图2-8）。
6+11+1=18
看图2-8。6上面的数是11，11左邻的数是5，18-11-5=2，所以5左邻的数是2（图2-9）。
再看图2-8。6下面的数是1，1右邻的数是7，18-1-7=10，所以7右邻的数是10（图2-9）。
现在1～11之中只剩下3、4、8、9这四个数，图2-9中也只剩下四个空格。在5的上、下，在7的上、下都应填什么数呢？

因为18-5=13，所以5上、下两格中数字的和应是13，3、4、8、9这四个数中，只有4+9=13，所以在5的上、下两格中应填9与4（图2-10）。
看图2-10。因为6左邻的数是4，18-4-6=8，所以6右邻的数是8。
因为18-7-8=3，并且1-11的数中，只剩下3没有填上，所以在7下面的格中应填上3。
图2-10是填完数字的图形。
*例3 在9只规格相同的手镯中混有1只较重的假手镯。在一架没有砝码的天平上，最多只能称两次，你能把假手镯找出来吗？（适于三年级程度）
解：先把9只手镯分成A、B、C三组，每组3只。
①把A、B两组放在天平左右两边的秤盘上，如果平衡，则假的1只在C组里；若不平衡，则哪组较重，假的就在哪组里。
②再把有假手镯的那组中的两只分别放在天平的左右秤盘上。如果平衡，余下的1只是假的；若不平衡，较重的那只是假的。
*例4 在下面的15个8之间的任何位置上，添上+、-、×、÷符号，使得下面的算式成立。（适于三年级程度）8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8=1986
解：先找一个接近1986的数，如：8888÷8+888=1999。
1999比1986大13。往下要用剩下的7个8经过怎样的运算得出一个等于13的算式呢？88÷8=11，11与13接近，只差2。
往下就要看用剩下的4个8经过怎样的运算等于2。8÷8+8÷8=2。
把上面的思路组合在一起，得到下面的算式：
8888÷8+888-88÷8-8÷8-8÷8=1986
例5 三个连续自然数的积是120，求这三个数。（适于四年级程度）
解：假设这三个数是2、3、4，则：
2×3×4=24
24＜120，这三个数不是2、3、4；
假设这三个数是3、4、5，则：
3×4×5＝60
60＜120，这三个数不是3、4、5；
假设这三个数是4、5、6，则：
4×5×6=120
4、5、6的积正好是120，这三个数是4、5、6。例6 在下面式子里的适当位置上加上括号，使它们的得数分别是47、75、23、35。（适于四年级程度）
（1）7×9+12÷3-2＝47
（2）7×9+12÷3-2=75
（3）7×9+12÷3-2=23
（4）7×9+12÷3-2=35
解：本题按原式的计算顺序是先做第二级运算，再做第一级运算，即先做乘除法而后做加减法，结果是：
7×9+12÷3-2
=63+4-2
=65
“加上括号”的目的在于改变原来的计算顺序。由于此题加中括号还是加小括号均未限制，因此解本题的关键在于加写括号的位置。可以从加写一个小括号想起，然后再考虑加写中括号。如：
（1）7×7=49，再减2就是47。这里的第一个数7是原算式中的7，要减去的2是原算式等号前的数，所以下面应考虑能否把9+12÷3通过加括号后改成得7的算式。经过加括号，（9+12）÷3=7，因此：
7×[（9+12）÷3]-2=47
因为一个数乘以两个数的商，可以用这个数乘以被除数再除以除数，所以本题也可以写成：
7×（9+12）÷3-2=47
（2）7×11=77，再减2就得75。这里的7是原算式中的第一个数，要减去的2是等号前面的数。下面要看9+12÷3能不能改写成得11的算式。经尝试9+12÷3不能改写成得11的算式，所以不能沿用上一道题的解法。7×9+12得75，这里的7、9、12就是原式中的前三个数，所以只要把3-2用小括号括起来，使7×9+12之和除以1，问题就可解决。由此得到：
（7×9+12）÷（3-2）=75
因为（3-2）的差是1，所以根据“两个数的和除以一个数，可以先把两个加数分别除以这个数，然后把两个商相加”这一运算规则，上面的算式又可以写成：
7×9+12÷（3-2）=75
在上面的这个算式中，本应在7×9的后面写上“÷（3-2）”，因为任何数除以1等于这个数本身，为了适应题目的要求，不在7×9的后写出“÷（3-2）”。
（3）25-2=23，这个算式中，只有2是原算式等号前的数，只要把7×9+12÷3改写成得25的算式，问题就可解决。又因为7×9+12=75，75÷3=25，所以只要把7×9+12用小括号括起来，就得到题中所求了。
（7×9+12）÷3-2=23
（4）7×5=35， 7是原算式中的第一个数，原算式中的 9+12÷3-2能否改写成得5的算式呢？因为 7-2=5，要是9+12÷3能改写成得7的算式就好了。经改写为（9+12）÷3=7，因此问题得到解决。题中要求的算式是：
7×[（9+12）÷3-2]=35
*例7 王明和李平一起剪羊毛，王明剪的天数比李平少。王明每天剪20只羊的羊毛，李平每天剪12只羊的羊毛。他俩共剪了112只羊的羊毛，两人平均每天剪14只羊的羊毛。李平剪了几天羊毛？（适于四年级程度）
解：王明、李平合在一起，按平均每天剪14只羊的羊毛计算，一共剪的天数是：
112÷14=8（天）
因为王明每天剪20只，李平每天剪12只，一共剪了112只，两人合起来共剪了8天，并且李平剪的天数多，所以假定李平剪了5天。则：
12×5+20×（8-5）=120（只）
120＞112，李平不是剪了5天，而是剪的天数多于5天。
假定李平剪了6天，则：
12×6+20×（8-6）=112（只）
所以按李平剪6天计算，正满足题中条件。
答：李平剪了6天。
*例8 一名学生读一本书，用一天读80页的速度，需要5天读完，用一天读90页的速度，需要4天读完。现在要使每天读的页数跟能读完这本书的天数相等，每天应该读多少页？（适于五年级程度）
解：解这道题的关键是要求出一本书的总页数。因为每天读的页数乘以读的天数等于一本书的总页数，又因为每天读的页数与读完此书的天数相等，所以知道了总页数就可以解题了。
根据“用一天读80页的速度，需要5天读完”，是否能够认为总页数就是 80×5=400（页）呢？不能。
因为5天不一定每天都读80页，所以只能理解为：每天读80页，读了4天还有余下的，留到第五天才读完。这也就是说，这本书超过了80×4=320（页），最多不会超过：
90×4=360（页）
根据以上分析，可知这本书的页数在321～360页之间。知道总页数在这个范围之内，往下就不难想到什么数自身相乘，积在321～360之间。
因为17×17=289，18×18=324，19×19=361，324在321～360之间，所以只有每天读18页才符合题意，18天看完，全书324页。
答：每天应该读18页。
*例9 一个数是5个2，3个3，2个5，1个7的连乘积。这个数有许多约数是两位数。这些两位数的约数中，最大的是几？（适于六年级程度）
解：两位数按从大到小的顺序排列为：
99、98、97、96……11、10
以上两位数分解后，它的质因数只能是2、3、5、7，并且在它的质因数分解中2的个数不超过5，3的个数不超过3，5的个数不超过2，7的个数不超过1。
经尝试，99不符合要求，因为它有质因数11；98的分解式中有两个7，也不符合要求；质数97当然更不会符合要求。而，
96=2×2×2×2×2×3
所以在这些两位数的约数中，最大的是96。
答略。
*例10 从一个油罐里要称出6千克油来，但现在只有两个桶，一个能容4千克，另一个能容9千克。求怎样才能称出这6千克油？（适于六年级程度）
解：这道题单靠计算不行，我们尝试一些做法，看能不能把问题解决。
已知大桶可装9千克油，要称出6千克油，先把能容9千克油的桶倒满，再设法倒出9千克油中的3千克，为达到这一目的，我们应使小桶中正好有1千克油。
怎样才能使小桶里装1千克油呢？
（1）把能容9千克油的大桶倒满油。
（2）把大桶里的油往小桶里倒，倒满小桶，则大桶里剩5千克油，小桶里有4千克油。
（3）把小桶中的4千克油倒回油罐。
（4）把大桶中剩下的油再往小桶里倒，倒满小桶，则大桶里剩下1千克油。
（5）把小桶中现存的4千克油倒回油罐。此时油罐外，只有大桶里有1千克油。
（6）把大桶中的1千克油倒入小桶。
（7）往大桶倒满油。
（8）从大桶里往有1千克油的小桶里倒油，倒满。
（9）大桶里剩下6千克油。
第三讲 列举法
解应用题时，为了解题的方便，把问题分为不重复、不遗漏的有限情况，一一列举出来加以分析、解决，最终达到解决整个问题的目的。这种分析、解决问题的方法叫做列举法。列举法也叫枚举法或穷举法。
用列举法解应用题时，往往把题中的条件以列表的形式排列起来，有时也要画图。
例1 一本书共100页，在排页码时要用多少个数字是6的铅字？（适于三年级程度）
解：把个位是6和十位是6的数一个一个地列举出来，数一数。
个位是6的数字有：6、16、26、36、46、56、66、76、86、96，共10个。
十位是6的数字有：60、61、62、63、64、65、66、67、68、69，共10个。
10+10=20（个）
答：在排页码时要用20个数字是6的铅字。
*例2 从A市到B市有3条路，从B市到C市有两条路。从A市经过B市到C市有几种走法？（适于三年级程度）
解：作图3-1，然后把每一种走法一一列举出来。
第一种走法：A ① B ④ C
第二种走法：A ① B ⑤ C
第三种走法：A ② B ④ C
第四种走法：A ② B ⑤ C
第五种走法：A ③ B ④ C
第六种走法：A ③ B ⑤ C
答：从A市经过B市到C市共有6种走法。*例3 9○13○7=100
14○2○5=□
把+、-、×、÷四种运算符号分别填在适当的圆圈中（每种运算符号只能用一次），并在长方形中填上适当的整数，使上面的两个等式都成立。这时长方形中的数是几？（适于四年级程度）
解：把+、-、×、÷四种运算符号填在四个圆圈里，有许多不同的填法，要是逐一讨论怎样填会特别麻烦。如果用些简单的推理，排除不可能的填法，就能使问题得到简捷的解答。
先看第一个式子：9○13○7=100
如果在两个圆圈内填上“÷”号，等式右端就要出现小于100的分数；如果在两个圆圈内仅填“+”、“-”号，等式右端得出的数也小于100，所以在两个圆圈内不能同时填“÷”号，也不能同时填“+”、“-”号。
要是在等式的一个圆圈中填入“×”号，另一个圆圈中填入适当的符号就容易使等式右端得出100。9×13-7=117-7=110，未凑出100。如果在两个圈中分别填入“+”和“×”号，就会凑出100了。
9+13×7=100
再看第二个式子：14○2○5=□
上面已经用过四个运算符号中的两个，只剩下“÷”号和“-”号了。如果在第一个圆圈内填上“÷”号， 14÷2得到整数，所以：
14÷2-5=2
即长方形中的数是2。
*例4 印刷工人在排印一本书的页码时共用1890个数码，这本书有多少页？（适于四年级程度）
解：（1）数码一共有10个：0、1、2……8、9。0不能用于表示页码，所以页码是一位数的页有9页，用数码9个。
（2）页码是两位数的从第10页到第99页。因为99-9=90，所以，页码是两位数的页有90页，用数码：
2×90=180（个）
（3）还剩下的数码：
1890-9-180=1701（个）
（4）因为页码是三位数的页，每页用3个数码，100页到999页，999-99=900，而剩下的1701个数码除以3时，商不足600，即商小于900。所以页码最高是3位数，不必考虑是4位数了。往下要看1701个数码可以排多少页。
1701÷3=567（页）
（5）这本书的页数：
9+90+567=666（页）
答略。
*例5 用一根80厘米长的铁丝围成一个长方形，长和宽都要是5的倍数。哪一种方法围成的长方形面积最大？（适于四年级程度）
解：要知道哪种方法所围成的面积最大，应将符合条件的围法一一列举出来，然后加以比较。因为长方形的周长是80厘米，所以长与宽的和是40厘米。列表3-1：
表3-1
表3-1中，长、宽的数字都是5的倍数。因为题目要求的是哪一种围法的长方形面积最大，第四种围法围出的是正方形，所以第四种围法应舍去。
前三种围法的长方形面积
分别是：
35×5=175（平方厘米）
30×10=300（平方厘米）
25×15=375（平方厘米）
答：当长方形的长是25厘米，宽是15厘米时，长方形的面积最大。
例6 如图3-2，有三张卡片，每一张上写有一个数字1、2、3，从中抽出一张、两张、三张，按任意次序排列起来，可以得到不同的一位数、两位数、三位数。请将其中的质数都写出来。（适于五年级程度）
解：任意抽一张，可得到三个一位数：1、2、3，其中2和3是质数；
任意抽两张排列，一共可得到六个不同的两位数：12、13、21、23、31、32，其中 13、23和 31是质数；
三张卡片可排列成六个不同的三位数，但每个三位数数码的和都是1+2+3=6，即它们都是3的倍数，所以都不是质数。
综上所说，所能得到的质数是2、3、13、23、31，共五个。
*例7 在一条笔直的公路上，每隔10千米建有一个粮站。一号粮站存有10吨粮食，2号粮站存有20吨粮食，3号粮站存有30吨粮食，4号粮站是空的，5号粮站存有40吨粮食。现在要把全部粮食集中放在一个粮站里，如果每吨1千米的运费是0.5元，那么粮食集中到第几号粮站所用的运费最少（图3-3）？（适于五年级程度）
解：看图3-3，可以断定粮食不能集中在1号和2号粮站。
下面将运到3号、4号、5号粮站时所用的运费一一列举，并比较。
（1）如果运到3号粮站，所用运费是：
0.5×10×（10+10）+0.5×20×10+0.5×40×（10+10）
=100+100+400
=600（元）
（2）如果运到4号粮站，所用运费是：
0.5×10×（10+10+10）+0.5×20×（10+10）+0.5×30×10+0.5×40×10
=150+200+150+200
=700（元）
（3）如果运到5号粮站，所用费用是：
0.5×10×（10+10+10+10）+0.5×20×（10+10+10）+0.5×30×（10+10）
=200+300+300
=800（元）
800＞700＞600
答：集中到第三号粮站所用运费最少。
*例8 小明有10个1分硬币，5个2分硬币，2个5分硬币。要拿出1角钱买1支铅笔，问可以有几种拿法？用算式表达出来。（适于五年级程度）
解：（1）只拿出一种硬币的方法：
①全拿1分的：
1+1+1+1+1+1+1+1+1+1=1（角）
②全拿2分的：
2+2+2+2+2=1（角）
③全拿5分的：
5+5=1（角）
只拿出一种硬币，有3种方法。
（2）只拿两种硬币的方法：
①拿8枚1分的，1枚2分的：
1+1+1+1+1+1+1+1+2=1（角）
②拿6枚1分的，2枚2分的：
1+1+1+1+1+1+2+2=1（角）
③拿4枚1分的，3枚2分的：
1+1+1+1+2+2+2=1（角）
④拿2枚1分的，4枚2分的：
1+1+2+2+2+2=1（角）
⑤拿5枚1分的，1枚5分的：
1+1+1+1+1+5=1（角）
只拿出两种硬币，有5种方法。
（3）拿三种硬币的方法：
①拿3枚1分，1枚2分，1枚5分的：
1+1+1+2+5=1（角）
②拿1枚1分，2枚2分，1枚5分的：
1+2+2+5=1（角）
拿出三种硬币，有2种方法。
共有：
3+5+2=10（种）
答：共有10种拿法。
*例9 甲、乙、丙、丁与小强五位同学一起比赛象棋，每两人都要比赛一盘。到现在为止，甲赛了4盘，乙赛了3盘，丙赛了2盘，丁赛了1盘。问小强赛了几盘？（适于五年级程度）
解：作表3-2。
表3-2
甲已经赛了4盘，就是甲与乙、丙、丁、小强各赛了一盘，在甲与乙、丙、丁、小强相交的那些格里都打上√；乙赛的盘数，就是除了与甲赛的那一盘，又与丙和小强各赛一盘，在乙与丙、小强相交的那两个格中都打上√；丙赛了两盘，就是丙与甲、乙各赛一盘，打上√；丁与甲赛的那一盘也打上√。
丁未与乙、丙、小强赛过，在丁与乙、丙与小强相交的格中都画上圈。
根据条件分析，填完表格以后，可明显地看出，小强与甲、乙各赛一盘，未与丙、丁赛，共赛2盘。
答：小强赛了2盘。
*例10 商店出售饼干，现存10箱5千克重的，4箱2千克重的，8箱1千克重的，一位顾客要买9千克饼干，为了便于携带要求不开箱。营业员有多少种发货方式？（适于五年级程度）
解：作表3-3列举发货方式。
表3-3
答：不开箱有7种发货方式。
*例11 运输队有30辆汽车，按1～30的编号顺序横排停在院子里。第一次陆续开走的全部是单号车，以后几次都由余下的第一辆车开始隔一辆开走一辆。到第几次时汽车全部开走？最后开走的是第几号车？（适于五年级程度）
解：按题意画出表3-4列举各次哪些车开走。
表3-4
从表3-4中看得出，第三次开走后剩下的是第8号、16号、24号车。按题意，第四次8号、24号车开走。到第五次时汽车全部开走，最后开走的是第16号车。
答：到第五次时汽车全部开走，最后开走的是第16号车。
*例12 在甲、乙两个仓库存放大米，甲仓存90袋，乙仓存50袋，甲仓每次运出12袋，乙仓每次运出4袋。运出几次后，两仓库剩下大米的袋数相等？（适于五年级程度）
解：根据题意列表3-5。
表3-5
从表3-5可以看出，原来甲乙两仓库所存大米相差40袋；第一次运走后，两仓剩下的大米相差78-46=32（袋）；第二次运走后，两仓剩下的大米相差66-42=24（袋）；第三次运走后，两仓剩下的大米相差54-38=16（袋）；第四次运走后，两仓剩下的大米相差42-34=8（袋）；第五次运走后，两仓剩下的大米袋数相等。
40-32=8
32-24=8
24-16=8
……
从这里可以看出，每运走一次，两仓库剩下大米袋数的相差数就减少8袋。由此可以看出，两仓库原存大米袋数的差，除以每次运出的袋数差就得出运几次后两个仓库剩下大米的袋数相等。
（90-50）÷（12-4）=5（次）
答：运出5次后两个仓库剩下大米的袋数相等。
*例13 有三组小朋友共72人，第一次从第一组里把与第二组同样多的人数并入第二组；第二次从第二组里把与第三组同样多的人数并入第三组；第三次从第三组里把与第一组同样多的人数并入第一组。这时，三组的人数一样多。问原来各组有多少个小朋友？（适于五年级程度）
解：三个小组共72人，第三次并入后三个小组人数相等，都是72÷3=24（人）。在这以前，即第三组未把与第一组同样多的人数并入第一组时，第一组应是24÷2=12（人），第三组应是（24+12）=36（人），第二组人数仍为24人；在第二次第二组未把与第三组同样多的人数并入第三组之前，第三组应为36÷2=18（人），第二组应为（24+18）=42（人），第一组人数仍是12人；在第一次第一组未把与第二组同样多的人数并入第二组之前，第二组的人数应为42÷2=21（人），第一组人数应为12+21=33（人），第三组应为18人。
这33人、21人、18人分别为第一、二、三组原有的人数，列表3-6。
表3-6
答：第一、二、三组原有小朋友分别是33人、21人、 18人
第四讲 综合法
从已知数量与已知数量的关系入手，逐步分析已知数量与未知数量的关系，一直到求出未知数量的解题方法叫做综合法。
以综合法解应用题时，先选择两个已知数量，并通过这两个已知数量解出一个问题，然后将这个解出的问题作为一个新的已知条件，与其它已知条件配合，再解出一个问题……一直到解出应用题所求解的未知数量。
运用综合法解应用题时，应明确通过两个已知条件可以解决什么问题，然后才能从已知逐步推到未知，使问题得到解决。这种思考方法适用于已知条件比较少，数量关系比较简单的应用题。
例1 甲、乙两个土建工程队共同挖一条长300米的水渠，4天完成任务。甲队每天挖40米，乙队每天挖多少米？（适于三年级程度）
解：根据“甲、乙两个土建工程队共同挖一条长300米的水渠”和“4天完成任务”这两个已知条件，可以求出甲乙两队每天共挖水渠多少米（图4-1）。
300÷4=75（米）
根据“甲、乙两队每天共挖水渠75米”和“甲队每天挖40米”这两个条件，可以求出乙队每天挖多少米（图4-1）。
75-40=35（米）
综合算式：
300÷4-40
=75-40
=35（米）
答：乙队每天挖35米。
例2 两个工人排一本39500字的书稿。甲每小时排3500字，乙每小时排3000字，两人合排5小时后，还有多少字没有排？（适于四年级程度）
解：根据甲每小时排3500字，乙每小时排3000字，可求出两人每小时排多少字（图4-2）。
3500+3000=6500（字）
根据两个人每小时排6500字，两人合排5小时，可求出两人5小时已排多少字（图4-2）。
6500×5=32500（字）
根据书稿是39500字，两人已排32500字，可求出还有多少字没有排（图4-2）。
39500-32500=7000（字）
综合算式：
39500-（3500+3000）×5
=39500-6500×5
=39500-32500
=7000（字）
答略。
例3 客车、货车同时由甲、乙两地出发，相向而行。客车每小时行60千米，货车每小时行40千米，5小时后客车和货车相遇。求甲、乙两地之间的路程。（适于四年级程度）
解：根据“客车每小时行60千米”和“货车每小时行40千米”这两个条件，可求出两车一小时共行多少千米（图4-3）。
60+40=100（千米）
根据“两车一小时共行100千米”和两车5小时后相遇，便可求出甲、乙两地间的路程是多少千米（图4-3）。
100×5=500（千米）
综合算式：
（60+40）×5
=100×5
=500（千米）
答：甲、乙两地间的路程是500千米。
例4 一个服装厂计划做660套衣服，已经做了5天，平均每天做75套。剩下的要3天做完，问平均每天要做多少套？（适于四年级程度）
解：根据“已经做了5天，平均每天做75套”这两个条件可求出已做了多少套（图4-4）。
75×5=375（套）
根据“计划做660套”和“已经做了375套”这两个条件，可以求出还剩下多少套（图4-4）。
660-375=285（套）
再根据“剩下285套”和“剩下的要3天做完”，便可求出平均每天要做多少套（图4-4）。
285÷3=95（套）
综合算式：
（660-75×5）÷3
=285÷3
=95（套）
答略。
例5 某装配车间，甲班有20人，平均每人每天可做72个零件；乙班有24人，平均每人每天可做68个零件。如果装一台机器需要12个零件，那么甲、乙两班每天生产的零件可以装多少台机器？（适于四年级程度）
解：根据“甲班有20人，平均每人每天可做72个零件”这两个条件可求出甲班一天生产多少个零件（图4-5）。
72×20=1440（个）
根据“乙班有24人，平均每天每人可做68个零件”这两个条件可求出乙班一天生产多少个零件（图4-5）。
68×24=1632（个）
根据甲、乙两个班每天分别生产1440个、1632个零件，可以求出甲、乙两个班一天共生产多少个零件（图4-5）。
1440+1632=3072（个）
再根据两个班一天共做零件3072个和装一台机器需要12个零件这两条件，可求出两个班一天生产的零件可以装多少台机器。
3072÷12=256（台）
综合算式：
（72×20+68×24）÷12
=（1440+1632）÷12
=3072÷12
=256（台）
答略。
例6 一个服装厂计划加工2480套服装，每天加工100套，工作20天后，每天多加工20套。提高工作效率后，还要加工多少天才能完成任务？（适于四年级程度）
解：根据每天加工100套，加工20天，可求出已经加工多少套（图4-6）。
100×20=2000（套）
根据计划加工2480套和加工了2000套，可求出还要加工多少套（图4-6）。
2480-2000=480（套）
根据原来每天加工100套，现在每天多加工20套，可求出现在每天加工多少套（图4-6）。
100+20=120（套）
根据还要加工480套，现在每天加工120套，可求出还要加工多少天（图4-6）。
48O÷120=4（天）
综合算式：
（2480-100×20）÷（100+20）
=480÷120
=4（天）
答略。
刚开始学习以综合法解应用题时，一定要画思路图，当对综合法的解题方法已经很熟悉时，就可以不再画思路图，而直接解答应用题了。
解：此题先后出现了两个标准量：“第一桶的重量”和“第二桶的重量”。
=49.5（千克）
答略。
解：此题先后出现两个标准量：“甲块地产高粱的重量”和“乙块地产高粱的重量”。
将题中已知条件的顺序变更一下：丙块地产高粱450千克，丙块地比乙
条件，可求出乙块地产高粱是：
（这里乙块地的产量是标准量1）
（这里甲块地的产量是标准量1）
综合算式：
=546（千克）
答略。
第五讲 分析法
从求解的问题出发，正确选择所需要的两个条件，依次推导，一直到问题得到解决的解题方法叫分析法。
用分析法解应用题时，如果解题所需要的两个条件，（或其中的一个条件）是未知的，就要分别求解找出这两个（或一个）条件，一直到所需要的条件都是已知的为止。
分析法适于解答数量关系比较复杂的应用题。
例1 玩具厂计划每天生产200件玩具，已经生产了6天，共生产1260件。问平均每天超过计划多少件？（适于三年级程度）
解：这道题是求平均每天超过计划多少件。要求平均每天超过计划多少件，必须具备两个条件（图5-1）：①实际每天生产多少件；②计划每天生产多少件。
计划每天生产200件是已知条件。实际每天生产多少件，题中没有直接告诉，需要求出来。
要求实际每天生产多少件，必须具备两个条件（图5-1）：①一共生产了多少件；②已经生产了多少天。这两个条件都是已知的：①一共生产了1260件；②已经生产了6天。
分析到这里，问题就得到解决了。
此题分步列式计算就是：
（1）实际每天生产多少件？
1260÷6=210（件）
（2）平均每天超过计划多少件？
210-200=10（件）
综合算式：
1260÷6-200
=210-200
=10（件）例2 四月上旬，甲车间制造了257个机器零件，乙车间制造的机器零件是甲车间的2倍。四月上旬两个车间共制造多少个机器零件？（适于三年级程度）
解：要求两个车间共制造多少个机器零件，必须具备两个条件（图5-2）：①甲车间制造多少个零件；②乙车间制造多少个零件。已知甲车间制造257个零件，乙车间制造多少个零件未知。
下面需要把“乙车间制造多少个零件”作为一个问题，并找出解答这个问题所需要的两个条件。
这两个条件（图5-2）是：①甲车间制造多少个零件；②乙车间制造的零件是甲车间的几倍。这两个条件都是已知的：①甲车间制造257个，乙车间制造的零件数是甲车间的2倍。
分析到此，问题就得到解决了。
此题分步列式计算就是：
（1）乙车间制造零件多少个？
257×2=514（个）
（2）两个车间共制造零件多少个？
257+514=771（个）
综合算式：
257+257×2
=257+514
=771（个）
答略。
例3 某车间要生产180个机器零件，已经工作了3天，平均每天生产20个。剩下的如果每天生产30个，还需要几天才能完成？（适于四年级程度）
解：要求还需要几天才能完成，必须具备两个条件（图5-3）：①还剩下多少个零件；②每天生产多少个零件。在这两个条件中，每天生产30个零件是已知条件，还剩多少个零件未知。
先把“还剩多少个零件”作为一个问题，并找出解答这个问题所需要的两个条件。
要算出还剩下多少个零件，必须具备的两个条件（图5-3）是：①要生产多少个零件；②已经生产了多少个零件。要生产180个零件是已知条件，已经生产多少个零件未知。
然后把“已经生产多少个零件”作为一个问题，并找出解答这个问题所需要的两个条件。
要算出已生产多少个零件，必须知道的两个条件（图5-3）是：①每天生产多少个零件；②生产了几天。这两个条件题中都已经给出：每天生产20个零件，生产了3天。
分析到此，问题就得到解决。
上面的思考过程，分步列式计算就是：
（1）已经生产了多少个零件？
20×3=60（个）
（2）剩下多少个零件？
180-60=120（个）
（3）还要几天才能完成？
120÷30=4（天）
综合算式：
（180-20×3）÷30
=（180-60）÷30
=120÷30
=4（天）
答略。
例4 王明买了24本笔记本和6支铅笔，共花了9.60元钱。已知每支铅笔0.08元，每本笔记本多少钱？（适于五年级程度）
解：要算出每本笔记本多少钱，必须具备两个条件（图5-4）：①买笔记本用了多少钱；②买了多少本笔记本。从题中已知买了24本笔记本，买笔记本用的钱数未知。
先把买笔记本用的钱数作为一个问题，并找出解答这个问题所需要的两个条件。
要算出买笔记本用多少钱，必须知道的两个条件（图5-4）是：①买笔记本、铅笔共用多少钱；②买铅笔用多少钱。已知买笔记本、铅笔共用9.60元，买铅笔用去多少钱未知。
然后找出“买铅笔用多少钱”所需要的两个条件。
要算出买铅笔用多少钱，必须知道的两个条件（图5-4）是：①买多少支铅笔；②每支铅笔多少钱。这两个条件在题中都是已知的：买6支铅笔，每支0.08元。
分析到此，问题就得到解决。
此题分步列式计算就是：
（1）买铅笔用去多少元？
0.08×6=0.48（元）
（2）买笔记本用去多少元？
9.60-0.48=9.12（元）
（3）每本笔记本多少元？
9.12÷24=0.38（元）
列综合算式计算：
（9.60-0.08×6）÷24
＝（9.60-0.48）÷24
=9.12÷24
=0.38（元）
答：每本笔记本0.38元。
例5 仓库里共有化肥2520袋，两辆车同时往外运，共运30次，每次甲车运51袋。每次甲车比乙车多运多少袋？（适于五年级程度）
解：求每次甲车比乙车多运多少袋，必须具备两个条件（图5-5）：①甲车每次运多少袋；②乙车每次运多少袋。甲车每次运51袋已知，乙车每次运多少袋未知。
先找出解答“乙车每次运多少袋”所需要的两个条件。
要算出乙车每次运多少袋，必须具备两个条件（图5-5）：①两车一次共运多少袋；②甲车一次运多少袋。甲车一次运51袋已知；两车一次共运多少袋是未知条件。
然后把“两车一次共运多少袋”作为一个问题，并找出解答这个问题所需要的两个条件。
要算出两车一次共运多少袋，必须具备两个条件（图5-5）：①一共有多少袋化肥；②两车共运多少次。这两个条件都是已知的：共有2520袋化肥，两车共运30次。
分析到此，问题就得到解决。
此题分步列式计算就是：
①两车一次共运多少袋？
2520÷30=84（袋）
②乙车每次运多少袋？
84-51=33（袋）
③每次甲车比乙车多运多少袋？
51-33=18（袋）
综合算式：
51-（2520÷30-51）
=51-33
=18（袋）
答略。
*例6 把627.5千克梨装在纸箱中，先装7箱，每箱装梨20千克，其余的梨每箱装37.5千克。这些梨共装多少箱？（适于五年级程度）
解：要算出共装多少箱，必须具备两个条件（图5-6）：①先装多少箱。②后装多少箱。先装7箱已知，后装多少箱未知。
先把“后装多少箱”作为一个问题，并找出解答这个问题所需要的两个条件。
要算出后装多少箱，必须具备两个条件（图5-6）：①后来一共要装多少千克；②后来每箱装多少千克。后来每箱装37.5千克已知，后来一共装多少千克未知。
要把“后来一共要装多少千克”作为一个问题提出，并找出回答这一问题所需要的两个条件。要求后来一共要装多少千克，必须具备两个条件（图5-6）：①梨的总重量；②先装了多少千克。梨的总重量是627.5千克已知的；先装了多少千克是未知的，要把它作为一个问题提出来，并找出回答这个问题所需要的两个条件。
这两个条件（图5-6）是：①先装的每箱装梨多少千克；②装了多少箱。这两个条件都是已知的：先装的每箱装梨20千克，装了7箱。
分析到此，问题就得到解决了。
此题分步列式计算就是：
①先装多少千克？
20×7=140（千克）
②后来共装多少千克？
627.5-140=487.5（千克）
③后来装了多少箱？
487.5÷37.5=13（箱）
④共装多少箱？
7+13=20（箱）
综合算式：
7+（627.5-20×7）÷37.5
=7+（627.5-140）÷37.5
=7+487.5÷37.5
=7+13
=20（箱）
答略。
注意：开始学习用分析法解应用题时，一定要画思路图，当对分析法的解题方法已经很熟悉时，可不再画思路图，而直接分析解答应用题了。
节约了15％。问六月份比四月份少用煤多少吨？（适于六年级程度）
解：此题中出现两个标准量：“四月份的用煤量”和“五月份的用煤量”。四月份的用煤量和六月份的用煤量都与五月份的用煤量有直接联系。
要算出六月份比四月份少用煤多少吨，必须知道六月份、四月份各用煤多少吨。
要算出六月份用煤多少吨，必须知道两个条件：①五月份用煤多少吨；②六月份比五月份节约多少。这两个条件都是已知的。六月份用煤的吨数是：
3200×（1-15％）=2720（吨）
要算出四月份用煤多少吨，必须知道两个条件：①五月份用煤多少吨；②五月份比四月份节约多少。这两个条件都是已知的。四月份用煤的吨数是：
知道了六月份、四月份用煤的吨数，就可以求出六月份比四月份少用煤多少吨。
3600-2720=880（吨）
综合算式：
=3600-2720
=880（吨）
答略。
答略。
第六讲 分析-综合法
综合法和分析法是解应用题时常用的两种基本方法。在解比较复杂的应用题时，由于单纯用综合法或分析法时，思维会出现障碍，所以要把综合法和分析法结合起来使用。我们把分析法和综合法结合起来解应用题的方法叫做分析-综合法。
*例1 运输队要把600吨化肥运到外地，计划每天运22吨。运了15天以后，剩下的化肥要在10天内运完。这样每天要比原计划多运多少吨？（适于五年级程度）
解：解此题要运用分析法和综合法去思考。
先用综合法思考。根据“原计划每天运22吨”和“运了15天”这两个条件，可以求出已经运出的吨数（图6-1）。
根据要“运600吨”和已经运出的吨数，可以求出剩下化肥的吨数（图6-1）。
接下去要用哪两个数量求出什么数量呢？不好思考了。所以用综合法分析到这儿，接着要用分析法思考了。
要求“每天比原计划多运多少吨”，必须知道“后来每天运多少吨”和“原计划每天运多少吨”。“原计划每天运22吨”是已知条件，“后来每天运多少吨”不知道，这是此题的中间问题（图6-2）。
要知道“后来每天运多少吨”，必须知道“剩下多少吨”和“要在多少天内运完”。这两个条件中，第二个条件是已知的，“要在10天内运完”，“剩下多少吨”是未知的中间问题。
我们在前面用综合法分析这道题时，已经得到求剩下吨数的方法了。
所以本题分析到这里就可以解答了。
此题分步列式解答时，要从图6-1的上面往下看，接着从图6-2的下面往上看。
（1）已经运多少吨？
22×15=330（吨）
（2）剩下多少吨？
600-330=270（吨）
（3）后来每天运多少吨？
270÷10=27吨）
（4）每天比原计划多运多少吨？
27-22=5（吨）
综合算式：
（600-22×15）÷10-22
=（600-330）÷10-22
=270÷10-22
=27-22
=5（吨）
答略。
*例2 某鞋厂原计划30天做皮鞋13500双，实际上每天比原计划多做50双。问这个鞋厂提前几天完成原计划的任务？（适于五年级程度）
解：解答此题一般要运用分析法和综合法去思考。
先用分析法思考。要算出提前几天完成计划，必须知道“原计划天数”和“实际做鞋数”（图6-3）。“原计划天数”是30
天，已经知道；“实际做鞋天数”不知道，是中间问题。
要知道“实际做鞋天数”必须知道“皮鞋总数”和“实际每天做的皮鞋数”（图6-3）。
到此可以往下思考，要算出实际每天做的皮鞋数，必须具备哪两个条件？但有的人觉得这样思考时不顺当，思路会“卡壳”，这时就要换用综合法进行思考。
由“原计划30天做皮鞋13500双”，可求出“原计划每天做的皮鞋数”（图6-4）。
由“原计划每天做的皮鞋数”和“实际每天比原计划多做50双”，可用加法算出“实际每天做的皮鞋数”（图6-4）。
分析到此，这道题的问题就得到解决了。此题用分步列式的方法计算时，得从图6-4的上面往下面推想，然后从图6-3的后面（下面）往前推想。
（1）看图6-4的思路图。通过把原计划做的13500双除以计划做的30天，可以得到原计划每天做多少双皮鞋。
13500÷30=450（双）
（2）在计划每天做的450双皮鞋上，加上实际每天多做的50双，得到实际每天做的皮鞋数。
450+50=500（双）
（3）接着看图6-3的思路图。从思路图的下面往上推想，皮鞋总数除以实际每天做的皮鞋数500双，得到实际制做的天数。
13500÷500=27（天）
（4）接着往上看，从原计划做的30天，减去实际做的天数27天，就得到提前完成计划的天数。
30-27=3（天）
把上面分步计算的算式综合为一个算式是：
30-13500÷（13500÷30+50）
=30-13500÷500
=30-27
=3（天）
答略。
*例3甲、乙两队同时开凿一条2160米长的隧道，甲队从一端起，每天开凿20米，乙队从另一端起，每天比甲队多开凿5米。两队在离中点多远的地方会合？（适于五年级程度）
解：看图6-5。要求两队在离中点多远的地方会合，需要知道隧道的中点及会合点离一端的距离（分析法）。
每天20米每天比甲队多5米
隧道全长2160米，中点到一端的距离可以通过2160÷2求得（综合法）。
要求出会合点（在甲队的一侧）距离甲队开凿点的距离，实际就是求甲队开凿的米数。要求甲队开凿的米数，就要知道甲队（或乙队）每天开凿的米数（已知）和开凿的天数（分析法）。甲队每天开凿20米已知，开凿的天数不知道。
要求出开凿的天数，需要知道隧道的全长（已知）和两队每天共开凿多少米（分析法）。
已知甲队每天开凿20米，乙队每天比甲队多开凿5米，这样可以求出乙队每天开凿多少米，从而求出甲、乙两队一天共开凿多少米（综合法）。
分析到此，这道题的问题就得到解决了。
此题用分步列式的方法计算时，还得从上面分析过程的后面往前推理。
（1）乙队每天开凿多少米？
20+5=25（米）
（2）甲乙两队一天共开凿多少米？
20+25=45（米）
（3）甲乙两队共同开凿这个隧道用多少天？
2160÷45=48（天）
（4）甲队开凿了多少米？（会合点与甲队开凿点的距离）
20×48=960（米）
（5）甲队到中点的距离是多少米？
2160÷2=1080（米）
（6）会合点与中点间的距离是多少米？
1080-960=120（米）
综合算式：
2160÷2-20×[2160÷（20+20+5）]
=1080-20×48
=1080-960
=120（米）
答略。
*例4某中队三个小队的少先队员采集树种。第一小队8名队员共采集11.6千克，第二小队6名队员比第一小队少采集2.8千克，第三小队10名
克？（适于五年级程度）
解：如果先用综合法分析，虽然已知数量间存在着一定的关系，但不容易选择出与所求数量有直接联系的数量关系。而用分析法分析，能立即找到与所求数量有直接联系的数量关系，找到解题所需要的数量后，再用综合法分析。
要求出三个小队平均每名队员采集多少千克，必需知道“三个小队共采集树种多少千克”和“全体队员的人数”（图6-6）。
要求“三个小队共采集多少千克”，必须知道一、二、三这三个小队各采集多少千克；要求“全体队员人数”必须知道各小队的人数（图6-6）。
三个小队的人数都已经知道，第一小队采集11.6千克也已知，只是第二、三小队各采集多少还不知道。
往下可用综合法得出二、三小队各采集多少千克（图6-6）。
由“第一小队共采集11.6千克”和“第二小队比第一小队少采集2.8千克”，可求出第二小队采集多少千克；由“第二小队采集的重量”和“第
往下可由三个小队各采集多少千克之和，求出三个小队共采集多少千克；也可以由各小队的人数之和求出“全体队员的人数”。
到此本题就可以解出来了。
本题分步列式解答的方法是：
（1）第二小队采集多少千克？
11.6-2.8=8.8（千克）
（2）第三小队采集多少千克？
（3）三个小队共采集多少千克？
11.6+8.8+13.2=33.6（千克）
（4）三个小队有多少队员？
8+6+10=24（人）
（5）平均每人采集多少千克？
33.6÷24=1.4（千克）
综合算式：
=33.6÷24
=1.4（千克）
答略。
*例5甲、乙两城之间的路程是210千米，慢车以每小时40千米的速度由甲城开往乙城，行车15分钟后，快车由乙城开往甲城，经过2小时两车相遇。这时快车开到甲城还需要多少小时？（适于六年级程度）
解：运用分析法和综合法，分析此题的思路是：
先用分析法来思考。要求出“快车开到甲城还需要多少小时”，必须知道两个条件（图6-7）：①相遇地点到甲城的距离；②快车每小时行多少千米。这两个条件题目中都没给出，应把它们分别作为中间问题。
接着思考，要求相遇地点到甲城的路程必须具备哪两个条件？要求快车每小时行多少千米必须具备哪两个条件？……如果思路不“卡壳”，就一直思考下去，直到解答出所求问题。如果思路“卡壳”了，就改用综合法思考。另画一个思路图（图6-8）。
图6-8中慢车已行的路程，就是快车从相遇点到甲城的路程。这段路程是：
快车已行的路程是：
210-90=120（千米）
快车每小时所行的路程是：
120÷2=60（千米）
到此，我们可以把慢车走过的路程除以快车的速度，得到快车开到甲城还需要的时间是：
90÷60=1.5（小时）
综合算式：
答略。
第七讲 归一法
先求出单位数量（如单价、工效、单位面积的产量等），再以单位数量为标准，计算出所求数量的解题方法叫做归一法。
归一法分为一次直进归一法、一次逆反归一法、二次直进归一法、二次逆反归一法。
用归一法一般是解答整数、小数应用题，但也可以解答分数应用题。有些应用题用其它方法解答比较麻烦，不易懂，用归一法解则简单，容易懂。
（一）一次直进归一法
通过一步运算求出单位数量之后，再求出若干个单位数量和的解题方法叫做一次直进归一法。
1.解整数、小数应用题
例1某零件加工小组，5天加工零件1500个。照这样计算，14天加工零件多少个？（适于三年级程度）
解：（1）一天加工零件多少个？
1500÷5=300（个）
（2）14天加工零件多少个？
300×14=4200（个）
综合算式：
1500÷5×14=4200（个）
答略。
此类型题是适宜用一次直进归一法解的基本题型，下面的题都在此类型题的基础上有所扩展。
例2 用一台大型抽水机浇地，5小时浇了15公顷。照这样计算，再浇3小时，这台抽水机比原来多浇多少公顷地？（适于三年级程度）
解：（1）一小时浇地多少公顷？
15÷5=3（公顷）
（2）3小时浇地多少公顷？
3×3=9（公顷）
综合算式：
15÷5×3=9（公顷）
答略。例3一辆汽车3小时行驶了123.6千米。照这样的速度，再行驶4小时，这辆汽车一共行驶了多少千米？（适于五年级程度）
解：（1）一小时行驶多少千米？
123.6÷3=41.2（千米）
（2）前后共行驶多少小时？
3+4=7（小时）
（3）一共行驶多少千米？
41.2×7=288.4（千米）
综合算式：
123.6÷3×（3+4）
=41.2×7
=288.4（千米）
答略。
2.解分数应用题
经行驶了4份，还剩下全路程的7-4=3（份）。还可知，行驶4份用的时间是8小时。
（1）行驶1份用的时间是：
8÷4=2（小时）
（2）行驶剩下的3份用的时间是：
2×3=6（小时）
答略。
数量是单位“1”。把六月份的伐木数量平均分成6份，五月份的伐木数量就相当于六月份伐木数量的5份。
（1）一份木材是多少立方米？
240÷5=48（立方米）
（2）因为六月份比五月份多伐一份，所以六月份的伐木数量是：
240+48=288（立方米）
答略。
兔，其余的是灰兔。已知黑兔比白兔多21只。求灰免有多少只？（适于六年级程度）
12份，白兔占5份，则灰兔占20-12-5=3（份）。
（1）黑兔比白兔多21只，这21只所对应的份数是：
12-5=7（份）
（2）每一份的只数是：
21÷7=3（只）
（3）灰兔的只数是：
3×3=9（只）
答略。
程度）
运进一些红糖后，把两种糖的总重量平均分成10份，红糖占3份，白糖占7份。把上面的数量用表7-1表示。
表7-1
（1）白糖的重量是：
63O÷5×4=504（千克）
（2）运来红糖后两种糖的总重量是：
504÷7×10=720（千克）
（3）运来的红糖是：
720-630=90（千克）
答略。
（二）一次逆转归一法
通过一步计算求出单位数量，再求总数量里包含多少个单位数量的解题方法，叫做一次逆转归一法。
例1 一列火车6小时行驶390千米。照这样的速度，要行驶1300千米的路程，需要多少小时？（适于三年级程度）
解：（1）一小时行驶多少千米？
390÷6=65（千米）
（2）行驶1300千米需要多少小时？
1300÷65=20（小时）
综合算式：
1300÷（390÷6）
=1300÷65
=20（小时）
答略。
此题是一次逆转归一的基本题，下面的题都在此题的基础上有所扩展。
例2某人骑自行车从甲地到乙地，2小时行了26千米，剩下的路程是52千米。按照这样的速度，此人从甲地到乙地要行几小时？（适于四年级程度）
解：（1）一小时行多少千米？
26÷2=13（千米）
（2）行驶52千米用几小时？
52÷13=4（小时）
（3）从甲地到乙地要行几小时？
2+4=6（小时）
综合算式：
2+52÷（26÷2）
=2+52÷13
=2+4
=6（小时）
答略。
例3 学校买来135米塑料绳，先剪下9米做了5根跳绳。照这样计算，剩下的塑料绳可以做多少根跳绳？（适于五年级程度）
解：（1）一根跳绳有多少米？
9÷5=1.8（米）
（2）剩下的塑料绳有多少米？
135-9=126（米）
（3）剩下的绳子可以做多少根跳绳？
126÷1.8=70（根）
综合算式：
（135-9）÷（9÷5）
=126÷1.8
=70（根）
答略。
（三）二次直进归一法
通过两步计算求出单位数量，再求若干个单位数量和的解题方法叫做二次直进归一法。
*例1 4辆同样的卡车7次运货物224吨。照这样计算，9辆同样的卡车10次可以运货物多少吨？（适于五年级程度）
解：摘录整理题中的条件，排列成表7-2。
（1）4辆卡车一次运货多少吨？
224÷7=32（吨）
（2）一辆卡车一次运货多少吨？
32÷4=8（吨）
（3）9辆卡车一次运货多少吨？
8×9=72（吨）
表7-2
（4）9辆卡车10次运货多少吨？
72×10=720（吨）
综合算式：
224÷7÷4×9×10
=8×9×10
=720（吨）
答略。
此题是二次直进归一的基本题，下面的题在此基础上都有所变化。
*例2 某水库上游有农田需抽水浇地，抽水站七月上旬用一台柴油机从
农田用水量要增加，这个抽水站准备同时用4台柴油机抽水。这个抽水站最少还应准备多少千克柴油？（适于五年级程度）
解：摘录整理题中条件，排列成表7-3。
分成5份中的4份，所以5份中的1份是：
200÷4=50（千克）
表7-3
（2）一台柴油机一天用油多少千克？
50÷10=5（千克）
（3）4台柴油机21天用油多少千克？
5×4×21=420（千克）
（4）还应准备柴油多少千克？
420-200=220（千克）
综合算式：
200÷4÷10×4×21-200
=5×4×21-200
=420-200
=220（千克）
答略。
*例3 冬天，有12头牛3天吃干草720千克。牵走3头牛后，有720千克干草要给剩下的牛吃4天，干草是不是够用？（适于五年级程度）
解：摘录整理题中条件，排列成表7-4。
（1）1头牛1天吃干草多少千克？
720÷12÷3=20（千克）
（2）牵走3头牛后，剩下几头牛？
12-3=9（头）
表7-4
（3）9头牛4天吃干草多少千克？
20×9×4=720（千克）
综合算式：
720÷12÷3×（12-3）×4
=20×9×4
=720（千克）
答：720千克干草正好够用。
*例4 用手工剪羊毛，第一天4人6小时剪羊毛120千克。第二天增加了同样能干的3个人，还是工作6小时。问两天一共剪羊毛多少千克？（适于五年级程度）
解：摘录整理题中条件，排列成表7-5。
（1）1人1小时剪羊毛多少千克？
120÷4÷6=5（千克）
（2）增加3个人后共有多少个人？
4+3=7（人）
表7-5
（3）7个人6小时剪多少千克羊毛？
5×7×6=210（千克）
（4）两天一共剪多少千克羊毛？
120+210=330（千克）
综合算式：
120+120÷4÷6×（4+3）×6
=120+5×7×6
=120+210
=330（千克）
答略。
（四）二次逆转归一法
通过两步计算，求出单位数量之后，再求出总数量里包含多少个单位数量的解题方法，叫做二次逆转归一法。
*例1 3台拖拉机8小时耕地4.8公顷。照这样计算，9公顷地，用5台拖拉机耕，需要多少小时？（适于五年级程度）
解：摘录整理题中条件，排列成表7-6。
（1）1台拖拉机1小时耕地多少公顷？
4.8÷3÷8=0.2（公顷）
（2）5台拖拉机耕9公顷土地用多少小时？
表7-6
9÷5÷0.2=9（小时）
综合算式：
9÷5÷（4.8÷3÷8）
=9÷5÷0.2
=9（小时）
答略。
此题是适于用二次逆转归一法解的基本题，下面的题在此基础上都有所扩展。
*例2 7名工人10小时生产机器零件420个。在缺席2名工人的情况下，要生产330个机器零件，要用多少小时？（适于五年级程度）
解：摘录整理题中条件，排列出表7-7。
（1）1名工人1小时生产多少个机器零件？
表7-7
420÷7÷10=6（个）
（2）缺席2名工人，剩下多少名工人？
7-2=5（名）
（3）5名工人生产330个机器零件要用多少小时？
330÷5÷6=11（小时）
综合算式：
330÷（7-2）÷（420÷7÷10）
=330÷5÷6
=11（小时）
答略。
*例3 有900立方米的土，需要25人12天挖完。如果增加5人，可以提前几天挖完？（适于五年级程度）
解：摘录整理题中条件，排列成表7-8。
设提前x天挖完，则实际完成的天数是（12-x）天。
表7-8
（1）原来1人1天挖土多少立方米？
900÷12÷25=3（立方米）
（2）增加5人后共有多少人？
25+5=30（人）
（3）30人多少天挖完？
900÷30÷3=10（天）
（4）可以提前几天挖完？
12-10=2（天）
综合算式：
12-9000÷（25+5）÷（900÷25÷12）
=12-900÷30÷3
=12-10
=2（天）
答略。
第八讲 归总法
已知单位数量和单位数量的个数，先求出总数量，再按另一个单位数量或单位数量的个数求未知数量的解题方法叫做归总法。
解答这类问题的基本方法是：
总数量=单位数量×单位数量的个数；
另一单位数量（或个数）=总数量÷单位数量的个数（或单位数量）。
例1 李明从学校步行回家，每小时走4千米，5小时到家。如果他每小时走5千米，几小时到家？（适于三年级程度）
解：要求每小时走5千米，几小时到家，要先求出学校到家有多远，再求几小时到家。因此，
4×5÷5
=20÷5
=4（小时）
答：如果他每小时走5千米，4小时到家。
例 2 王明看一本故事书，计划每天看 15页，20天看完。如果要在12天看完，平均每天要看多少页？（适于三年级程度）
解：要求12天看完，平均每天看多少页，必须先求出这本故事书一共有多少页，再求平均每天看多少页。因此，
15×20÷12
=300÷12
=25（页）
答：如果要在12天看完，平均每天要看25页。例3 某工厂制造一批手扶拖拉机，原计划每天制造6台，30天完成。实际上只用了一半的时间就完成了任务。实际每天制造多少台？（适于四年级程度）
解：原来时间的一半就是30天的一半。
6×30÷（30÷2）
=180÷15
=12（台）
答：实际每天制造12台。
例4 永丰化肥厂要生产一批化肥，计划每天生产45吨，24天可以完成任务。由于改进生产技术，提高了工作效率，平均每天比原计划多生产15吨。实际几天完成任务？（适于四年级程度）
解：计划生产的这批化肥是：
45×24=1080（吨）
改进生产技术后每天生产：
45+15=60（吨）
实际完成任务的天数是：
1080÷60=18（天）
综合算式：
45×24÷（45+15）
=45×24÷60
=1080÷60
=18（天）
答：实际18天完成任务。
例5 有一批化肥，用每辆载重6吨的汽车4辆运送25次可以运完。如果改用每辆载重8吨的汽车5辆，几次能够运完这批化肥？（适于五年级程度）
解：这批化肥的重量是：
6×4×25=600（吨）
5辆载重8吨的汽车一次运：
8×5=40（吨）
能够运完的次数是：
600÷40=15（次）
综合算式：
6×4×25÷（8×5）
=600÷40
=15（次）
答：15次能够运完。
例 6 一项工程，20人每天工作8小时，30天可以完成。现在改用40人，每天工作10小时，现在几天可以完成？（适于五年级程度）
解：完成这项工程共用工时：
8×20×30=4800（个）
现在每天完成工时：
10×40=400（个）
可以完成的天数是：
4800÷400=12（天）
综合算式：
8×20×30÷（10×40）
=4800÷400
=12（天）
答略。
例7 印一本书，原计划印270页，每页排24行，每行排30个字。因为要节约用纸，现在改为每页排30行，每行排36个字。这本书要印多少页？（适于五年级程度）
解：原计划要印的总字数：
30×24×270=194400（个）
改排后每页排字：
36×30=1080（个）
这本书要印的页数是：
194400÷1080=180（页）
综合算式：
30×24×270÷（36×30）
=194400÷1080
=180（页）
答：这本书要印180页。
*例8 服装厂加工一批童装，原计划每天加工210套，7天完成。实际
任务？（适于六年级程度）
解：实际上每天加工童装：
这批童装的总套数是：
210×7=1470（套）
实际需要天数是：
1470÷294=5（天）
综合算式：
=1470÷294
=5（天）
答 略。
例 9 工厂有一批煤，原计划每天烧 6吨，可以烧 70天，技术革新后，每天节约1.8吨。照这样计算，这批煤可以多烧多少天？（适于五年级程度）
解：这批煤的总吨数是：
6×70=420（吨）
现在每天烧的吨数是：
6-1.8=4.2（吨）
现在能烧的天数是：
420÷4.2=100（天）
可多烧的天数是：
100-70=30（天）
综合算式：
6×70÷（6-1.8）-70
=420÷4.2-70
=100-70
=30（天）
答略。
例 10 挖一条水渠，原计划每天挖土 135立方米，20天挖完。实际上每天多挖了45立方米。这样可以提前几天完成任务？（适于五年级程度）
解：挖土的总任务是：
135×20=2700（立方米）
实际上每天的挖土量是：
135+45=180（立方米）
实际上只需要的天数是：
2700÷180=15（天）
提前完成任务的天数是：
20-15=5（天）
综合算式：
20-[135×20÷（135+45）]
=20-[2700÷180]
=20-15
=5（天）
答略。
*例 11 一堆煤，原计划每天运75吨，20天可以运完。运了2天后，
程度）
解：这批煤总吨数是：
75×20=1500（吨）
运2天后，剩下的吨数是：
1500-75×2=1350（吨）
现在每天运的吨数是：
还需要运的天数是：
1350÷100=13.5（天）
提前完成任务的天数是：
20-2-13.5=4.5（天）
综合算式：
=18-1350÷100
=18-13.5
=4.5（天）
答略。
第九讲 分解法
修理工人要掌握一台机器的构造和性能，有一个好办法：把机器拆开，对一个一个零件进行研究，然后再装配起来。经过这样拆拆装装，就能够熟悉机器的构造和性能了，这是日常生活中常见的现象。我们可以从中发现“由整体到部分，由部分到整体”的认识事物的规律。分析应用题也要用到这种方法。
一道多步复杂的应用题是由几道一步的基本应用题组成的。在分析应用题时，可把一道复杂的应用题先拆成几道基本应用题，从中找到解题的线索。我们把这种解题的思考方法称为分解法。

例1 工厂运来一批煤，原计划每天烧5吨，可以烧12天。现在改进烧煤技术后，每天比原计划节约1吨。现在这批煤可以烧几天？（适于四年级程度）
解：这道题看上去很复杂，可以把它拆成三道一步计算的应用题。
（1）工厂运来一批煤，原计划每天烧5吨，可以烧12天，这批煤有多少吨？（60吨）
（2）原计划每天烧5吨，现在改进烧煤技术后，每天比原计划节约1吨。现在每天烧煤多少吨？（4吨）
（3）工厂运来一批煤重60吨，现在改进烧煤技术每天烧4吨，现在这批煤可以烧多少天？
以上三道一步计算的应用题拼起来就是例1。经过这样拆拆拼拼，这道复杂应用题的来龙去脉就弄清楚了。根据这三道一步应用题的解题线索，问题便可得到解决。
分步列式计算：
（1）这批煤的重量是：
5×12=60（吨）
（2）现在每天烧煤的吨数是：
5-1=4（吨）
（3）现在这批煤可以烧的天数是：
60÷4=15（天）
综合算式：
5×12÷（5-1）
=60÷4
=15（天）
答略。
例 2 胜利小学要挖一个长方形的沙坑，长 4米、宽 2米、深0.45米，按每人每小时挖土0.2方计算，应组织多少人才能用1小时完成任务？（适于五年级程度）
解：这道题是由两道小题组成，一道是已知长、宽、深，求长方体沙坑的体积，一道是已知总共要挖的土方和每人每小时可挖的土方，求人数。把它分解成两道题来算，就不难了。
要挖土方：
4×2×0.45=3.6（方）
所需人数：
3.6÷0.2=18（人）
综合算式：
4×2×0.45÷0.2
=3.6÷0.2
=18（人）
答：需要组织18人。
*例 3 东山村播种 1600亩小麦，原计划用 5台播种机，每台播种机每天播种20亩。实际播种时调来8台播种机。这样比原计划提前几天完成？（适于五年级程度）
解：把此题拆成四道基本应用题。
（1）原计划每天每台播种20亩，5台播种机一天播种多少亩？
20×5=100（亩）
（2）每天播种100亩，播种1600亩要多少天？
1600÷100=16（天）
（3）每天每台播种20亩，8台播种机播种1600亩需要多少天？
1600÷（20×8）=10（天）
（4）比原计划提前几天完成？
16-10=6（天）
综合算式：
1600÷（20×5）-16000÷（20×8）
=1600÷100-1600÷160
=16-10
=6（天）
答略。
*例4 一辆汽车从甲城经过乙城到达丙城，共用了36小时。已知甲城到乙城的路程是640千米，汽车以每小时32千米的速度行驶。其余路程汽车以每小时27千米的速度行驶。求甲城到丙城的路程是多少千米？（适于五年级程度）
解：可以把这道题分解成四道基本应用题。
（1）甲城到乙城的路程是 640千米，这辆汽车以每小时32千米的速度行驶，要行驶多少小时？
640÷32=20（小时）
（2）从甲城经过乙城到达丙城行驶36小时，从甲城到乙城行驶20小时，乙城到丙城需要行驶多少小时？
36-20=16（小时）
（3）从乙城到丙城以每小时27千米的速度行驶，用了16小时，所行的路程是多少千米？
27×16=432（千米）
（4）甲城到乙城的路程是640千米，乙城到丙城的路程是432千米，甲城到丙城的路程有多少千米？
640+432=1072（千米）
综合算式：
640+27×（36-640÷32）
=640+27×16
=640+432
=1072（千米）
答略。
*例5 16人 3天平整土地 67.2亩。如果每人每天工作效率提高25％，20人平整280亩土地需要多少天？（适于六年级程度）
解：（1）16人3天平整土地67.2亩，每人每天平均平整土地多少亩？
67.2÷16+3=1.4（亩）
（2）每人每天平整土地1.4亩，工作效率提高25％后，每人每天平整土地多少亩？
1.4×（1+25％）=1.75（亩）
（3）工作效率提高后，每人每天平整土地1.75亩，20人每天平整土地多少亩？
1.75×20=35（亩）
（4）20人每天平整土地35亩，280亩土地需要平整多少天？
280÷35=8（天）
综合算式：
280÷[67.2÷16÷3×（1+25％）×20）]
=280÷[1.4×1.25×20]
=280÷35
=8（天）
答略。
10天完成。每天必须比以前多加工多少个零件？（适于六年级程度）
解：把这道题拆成下面的五道基本应用题：
（2） 9天加工了450个零件，平均每天加工多少个？
450÷9=50（个）
（3）要加工1200个零件，已经加工了 450个，还剩多少个？
1200-450=750（个）
（4）要在 10天内加工剩下的 750个零件，每天平均加工多少个？
750÷10=75（个）
（5）现在平均每天加工75个，以前平均每天加工50个，现在比以前平均每天多加工多少个？
75-50=25（个）
综合算式：
=750÷10-450÷9
=75-50
=25（个）
答：现在比以前平均每天多加工25个。
*例7 快、中、慢三辆车从同一地点出发，沿着同一条公路追赶前面的一个骑车人。这三辆车分别用6分钟、10分钟、12分钟追上骑车人。现在知道快车每小时行驶24千米，中车每小时行驶20千米。慢车每小时行驶多少千米？（适于六年级程度）
解：已知慢车12分钟追上骑车人，先求出三辆车出发时与骑车人的距离和骑车人的速度，便可按追及问题来解题。因此，这个问题分解成下面的六道比较简单的应用题来解（图9-1）。
（1）已知快车、中车每小时分别行驶24千米、20千米，它们6分钟各行驶多少千米？
快车行驶：
（2）快车在距出发点2.4千米的B处追上了骑车人，中车已行驶到了距出发点2千米的A处，这时中车与骑车人相距多少千米？
2.4-2=0.4（千米）
（3）中车10分钟追上骑车人，中车到A处已走了6分钟，还需几分钟才能追上骑车人？
10-6=4（分钟）
（4）中车与骑车人相距0.4千米，中车每小时行驶20千米，同时出发，中车4分钟追上骑车人，骑车人每小时行多少千米？
因为在追及问题中，速度差×时间=距离，设骑车人的速度是每小时行v千米，则得：
（5）快车与骑车人同时出发，快车与骑车人每小时分别行24千米、14千米，骑车人在前，快车在后，6分钟快车追上骑车人，出发时快车与骑车人相距多少千米？
（6）慢车与骑车人相距1千米，它们同时出发，向同一个方向行驶，骑车人每小时行14千米，慢车12分钟追上骑车人，慢车每小时行驶多少千米？
因为在追及问题中，速度差×时间=距离，设慢车每小时行v1千米，则得，
=5+14
=19（千米）
（此题列综合算式很复杂，这里不再列出。）
答略。
第十讲 分组法
在日常生活和生产中，有些事物的数量是按照一定的规律，一组一组有秩序地出现的。只要能看出哪些数量是同一组的，并计算出总数量中包含有多少个这样的同一组的数量，就便于计算出这一组数量中的每一种物品各是多少个，从而解答出应用题。这种解答应用题的方法叫做分组法。
例1 某汽车制造厂，计划在本月装配98辆汽车。当第一车间每装配5辆吉普车时，第二车间则装配2辆大卡车。求本月该厂装配吉普车、大卡车各多少辆？（适于五年级程度）
解：因为当第一车间每装配5辆吉普车时，第二车间装配2辆大卡车，所以在这同一时间内两个车间一共装配汽车：
5+2=7（辆）
把7辆汽车看作一组，看98辆汽车要分成多少组：
98÷7=14（组）
因为在一组中有5辆吉普车、2辆大卡车，所以本月装配吉普车：
5×14=70（辆）
本月装配大卡车：
2×14=28（辆）
答略。

例2 80名小学生正好做了80朵小红花，每名女学生做3朵小红花，每3名男学生做1朵小红花。求这80名小学生中有男、女生各多少名？（适于五年级程度）
解：因为每名女学生做3朵小红花，每3名男学生做1朵小红花，所以每名女学生和每3名男学生共做小红花：
3+1=4（朵）
把4朵小红花看作一组，看80朵小红花中有多少组：
80÷4=20（组）
因为做每一组花时有1名女生、3名男生。所以女生人数是：
1×20=20（名）
男生人数是：
3×20=60（名）
答略。例 3 用 1000个黑珠、白珠串成一串。珠子的排列顺序是：一个白珠、一个黑珠、两个白珠。问这一串珠子中有多少个白珠？最后一个珠子是黑色的还是白色的？（适于五年级程度）
解：这一串珠子的排列顺序是：一白、一黑、两白，不断出现，也就是“三个白珠”与“一个黑珠”为一组。
这1000个珠子可以分为多少组：
1000÷（1+3）=250（组）
因为每一组中有3个白珠，所以白珠的总数是：
3×250=750（个）
因为每一组最后的那个珠子是白色的，所以第250组最后的一个，也就是第1000个珠子，一定是白色的。
答略。
例 4 院子里有一群鸡和一群兔子，共有100条腿。已知兔子比鸡多一只，求有多少只鸡，多少只兔子？（适于五年级程度）
解：因为兔子比鸡多一只，所以去掉这一只兔子后，鸡兔共有腿：
100-4=96（条）
因为去掉一只兔后，鸡兔的只数一样多，所以可以把一只鸡和一只兔作为一组，每一组鸡、兔共有腿：
4+2=6（条）
一共有多少组鸡、兔，也就是有多少只鸡；
96÷6=16（组）
一共有兔：
16+1=17（只）
答：有16只鸡，17只兔。
例 5 有一摞扑克牌共60张，都是按红桃2张、梅花1张、方片3张的次序摞起来的。求这一摞扑克有红桃、梅花、方片各多少张？（适于五年级程度）
解：因为都是按红桃2张、梅花1张、方片3张的次序摞起的，所以可把2张红桃、1张梅花、3张方片看作是一组，这一组共有扑克牌：
2+1+3=6（张）
60张扑克可分为：
60÷6=10（组）
60张牌中有红桃：
2×10=20（张）
有梅花：
1×10=10（张）
有方片：
3×10=30（张）
答略。
*例6 某工厂召开职工代表大会，把会议室的桌凳组合起来使用。3个人坐一条凳子，2个人用1张桌子，132名代表正好坐满。求有桌子多少张，凳子多少条？（适于五年级程度）
解：因为3个人坐一条凳子，2个人用一张桌子，所以2条凳子、3张桌子组合为一组比较适当，这一组的人数是（图10-1）：
3+3=6（人）
或 2×3=6（人）
132名代表可分成多少组：
132÷6=22（组）
因为每一组中有3张桌子，所以22组共有桌子：
3×22=66（张）
因为每一组中有2条凳子，所以22组共有凳子：
2×22=44（条）
答略。
*例7 蜘蛛、蝴蝶共有腿506条，蜘蛛的只数是蝴蝶只数的2倍。已知蜘蛛有8条腿，蝴蝶有6条腿。求蜘蛛、蝴蝶各有多少只？（适于五年级程度）
解：一只蜘蛛有8条腿，2只蜘蛛有腿：
8×2=16（条）
把2只蜘蛛和1只蝴蝶作为一组，它们共有腿：
16+6=22（条）
506条腿可分成的组数：
506÷22=23（组）
因为每一组中有2只蜘蛛，所以23组中有蜘蛛：
2×23=46（只）
因为每一组中有一只蝴蝶，所以23组中有蝴蝶23只。
答略。
*例8 三年级的小朋友用90张红、绿、黄三色的彩色纸做纸花。每2朵花用红纸3张，每3朵花用绿纸2张，每6朵花用黄纸5张。最后，三色彩纸都用完。求90张纸中有红、绿、黄纸各多少张？（适于六年级程度）解：一朵花用红纸：
一朵花用绿纸：
一朵花用黄纸：
一朵花共用红、绿、黄三色纸：
90张纸可做多少朵花：
90÷3=30（朵）
30朵花用红纸：
30朵花用绿纸：
30朵花用黄纸：
答：90张纸中有红纸45张，绿纸20张，黄纸25张。
第十一讲 份数法
把应用题中的数量关系转化为份数关系，并确定某一个已知数或未知数为1份数，然后先求出这个1份数，再以1份数为基础，求出所要求的未知数的解题方法，叫做份数法。
（一）以份数法解和倍应用题
已知两个数的和及两个数的倍数关系，求这两个数的应用题叫做和倍应用题。
例1某林厂有杨树和槐树共320棵，其中杨树的棵数是槐树棵数的3倍。求杨树、槐树各有多少棵？（适于四年级程度）
解：把槐树的棵数看作1份数，则杨树的棵数就是3份数，320棵树就是（3+1）份数。
因此，得：
320÷（3+1）=80（棵）…………………槐树
80×3=240（棵）…………………杨树
答略。
例2 甲、乙两个煤场共存煤490吨，已知甲煤场存煤数量比乙煤场存煤数量的4倍少10吨。甲、乙两个煤场各存煤多少吨？（适于四年级程度）
解：题中已经给出两个未知数之间的倍数关系：甲煤场存煤数量比乙煤场存煤数量的4倍少10吨。因此可将乙煤场的存煤数量看作1份数，甲煤场的存煤数量就相当于乙煤场存煤数量的4倍（份）数少10吨，两个煤场所存的煤490吨就是（1+4）份数少10吨，（490+10）吨就正好是（1+4）份数。
所以乙场存煤：
（490+10）÷（1+4）
=500÷5
=100（吨）
甲场存煤：
490-100=390（吨）
答略。
例3 妈妈给了李平10.80元钱，正好可买4瓶啤酒，3瓶香槟酒。李平错买成3瓶啤酒，4瓶香槟酒，剩下0.60元。求每瓶啤酒、香槟酒各是多少钱？（适于五年级程度）
解：因为李平用买一瓶啤酒的钱买了一瓶香槟酒，结果剩下0.60元，这说明每瓶啤酒比每瓶香槟酒贵0.60元。把每瓶香槟酒的价钱看作1份数，则4瓶啤酒、3瓶香槟酒的10.80元钱就是（4+3）份数多（0.60×4）元，（10.80-0.60×4）元就正好是（4+3）份数。
每瓶香槟酒的价钱是：
（10.80-0.60×4）÷（4+3）
=8.4÷7
=1.2（元）
每瓶啤酒的价钱是：
1.2+0.60=1.80（元）
答略。
（二）以份数法解差倍应用题
已知两个数的差及两个数的倍数关系，求这两个数的应用题叫做差倍应用题。
例1 三湾村原有的水田比旱田多230亩，今年把35亩旱田改为水田，这样今年水田的亩数正好是旱田的3倍。该村原有旱田多少亩？（适于五年级程度）
解：该村原有的水田比旱田多230亩（图11-1），今年把35亩旱田改为水田，则今年水田比旱田多出230+35×2= 300（亩）。根据今年水田的亩数正好是旱田的3倍，以今年旱田的亩数为1份数，则水田比旱田多出的300亩就正好是2份数（图11-2）。
今年旱田的亩数是：
（230+35×2）÷ 2
=300÷2
=150（亩）
原来旱田的亩数是：
150+35=185（亩）
综合算式：
（230+35×2）÷2+35
=300÷2+35
=150+35
=185（亩）
答略。
*例2 和平小学师生步行去春游。队伍走出10.5千米后，王东骑自行车去追赶，经过1.5小时追上。已知王东骑自行车的速度是师生步行速度的2.4倍。王东和师生每小时各行多少千米？（适于五年级程度）
解：根据“追及距离÷追及时间=速度差”，可求出王东骑自行车和师生步行的速度差是10.5÷1.5=7（千米/小时）。已知骑自行车的速度是步行速度的2.4倍，可把步行速度看作是1份数，骑自行车的速度就是2.4份数，比步行速度多2.4-1=1.4（份）。以速度差除以份数差，便可求出1份数。
10.5÷1.5÷（2.4-1）
=7÷1.4
=5（千米/小时）…………………………步行的速度
5×2.4=12（千米/小时）………………………………骑自行车的速度
答略。
（三）以份数法解变倍应用题
已知两个数量原来的倍数关系和两个数量变化后的倍数关系，求这两个数量的应用题叫做变倍应用题。
变倍应用题是小学数学应用题中的难点。解答这类题的关键是要找出倍数的变化及相应数量的变化，从而计算出“ 1”份（倍）数是多少。
*例1大、小两辆卡车同时载货从甲站出发，大卡车载货的重量是小卡车的3倍。两车行至乙站时，大卡车增加了1400千克货物，小卡车增加了1300千克货物，这时，大卡车的载货量变成小卡车的2倍。求两车出发时各载货物多少千克？（适于五年级程度）
解：出发时，大卡车载货量是小卡车的3倍；到乙站时，小卡车增加了1300千克货物，要保持大卡车的载货重量仍然是小卡车的3倍，大卡车就应增加1300×3千克。
把小卡车增加1300千克货物后的重量看作1份数，大卡车增加1300×3千克货物后的重量就是3份数。而大卡车增加了1400千克货物后的载货量是2份数，这说明3份数与2份数之间相差（1300×3-1400）千克，这是1份数，即小卡车增加1300千克货物后的载货量。
1300×3-1400
=3900-1400
=2500（千克）
出发时，小卡车的载货量是：
2500-1300=1200（千克）
出发时，大卡车的载货量是：
1200×3=3600（千克）
答略。
*例2甲、乙两个班组织体育活动，选出15名女生参加跳绳比赛，男生人数是剩下女生人数的2倍；又选出45名男生参加长跑比赛，最后剩下的女生人数是剩下男生人数的5倍。这两个班原有女生多少人？（适于五年级程度）
解：把最后剩下的男生人数看作1份数，根据“最后剩下的女生人数是男生人数的5倍”可知，剩下的女生人数为5份数。
根据45名男生未参加长跑比赛前“男生人数是剩下女生人数的2倍”，而最后剩下的女生人数是5份数，可以算出参加长跑前男生人数的份数：
5×2=10（份）
因为最后剩下的男生人数是1份数，所以参加长跑的45名男生是：
10-1=9（份）
每1份的人数是：
45÷9=5（人）
因为最后剩下的女生人数是5份数，所以最后剩下的女生人数是：
5×5=25（人）
原有女生的人数是：
25+15=40（人）
综合算式：
45÷（5×2-1）×5+15
=45÷9×5+15
=25+15
=40（人）
答略。
（四）以份数法解按比例分配的应用题
把一个数量按一定的比例分成几个部分数量的应用题，叫做按比例分配的应用题。
例1一个工程队分为甲、乙、丙三个组，三个组的人数分别是24人、21人、18人。现在要挖2331米长的水渠，若按人数的比例把任务分配给三个组，每一组应挖多少米？（适于六年级程度）
解：甲、乙、丙三个组应挖的任务分别是24份数、21份数、18份数，求出1份数后，用乘法便可求出各组应挖的任务。
2331÷（24+21+18）=37（米）
37×24=888（米）…………………甲组任务
37×21=777（米）…………………乙组任务
37×18=666（米）…………………丙组任务
答略。
例2生产同一种零件，甲要8分钟，乙要6分钟。甲乙两人在相同的时间内共同生产539个零件。每人各生产多少个零件？（适于六年级程度）
解：由题意可知，在相同的时间内，甲、乙生产零件的个数与他们生产一个零件所需时间成反比例。
把甲生产零件的个数看作1份数，那么，乙生产零件的个数就是：
生产零件的总数539个就是：
甲生产的个数：
乙生产的个数：
答略。
（五）以份数法解正比例应用题
成正比例的量有这样的性质：如果两种量成正比例，那么一种量的任意两个数值的比等于另一种量的两个对应的数值的比。
含有成正比例关系的量，并根据正比例关系的性质列出比例式来解的应用题，叫做正比例应用题。
这里是指以份数法解正比例应用题。
例1某化肥厂4天生产化肥32吨。照这样计算，生产256吨化肥要用多少天？（适于六年级程度）
解：此题是工作效率一定的问题，工作量与工作时间成正比例。
以4天生产的32吨为1份数，256吨里含有多少个32吨，就有多少个4天。
4×（256÷32）
=4×8
=32（天）
答略。
例2每400粒大豆重80克，24000粒大豆重多少克？（适于六年级程度）
解：每400粒大豆重80克，这一数量是一定的，因此大豆的粒数与重量成正比例。如把400粒大豆重80克看作1份数，则24000粒大豆中包含多少个400粒，24000粒大豆中就有多少个80克。
24000÷400=60（个）
24000粒大豆的重量是：
80×60=4800（克）
综合算式：
80×（24000÷400）=4800（克）
答略。
（六）以份数法解反比例应用题
成反比例的量有这样的性质：如果两种量成反比例，那么一种量的任意两个数值的比，等于另一种量的两个对应数值的比的反比。
含有成反比例关系的量，并根据反比例关系的性质列出比例式来解的应用题，叫做反比例应用题。
这里是指以份数法解反比例应用题。
例1有一批水果，每箱装36千克，可装40箱。如果每箱多装4千克，需要装多少箱？（适于六年级程度）
解：题中水果的总重量不变，每箱装的多，则装的箱数就少，即每箱装的重量与装的箱数成反比例。
如果把原来要装的40箱看做1份数，那么现在需要装的箱数就是原来要装箱数的：
现在需要装的箱数是：
答略。
天的用煤量看做1份数，那么改进炉灶后每天的用煤量是原来每天用煤量的：
用煤天数与每天用煤量成反比例，原来要用24天的煤，现在可以用的天数是：
答略。
（七）以份数法解分数应用题
分数应用题就是指分数的三类应用题，即求一个数的几分之几是多少；求一个数是另一个数的几分之几；已知一个数的几分之几是多少，求这个数。
例1长征毛巾厂男职工人数比女职工人数少1/3，求女职工人数比男职工人数多百分之几？（适于六年级程度）
解：从题中条件可知，男职工人数相当于女职工人数的：
如果把女职工人数看作3份，那么男职工人数就相当于其中的2份。
所以，女职工人数比男职工人数多：
（3-2）÷2=50％
答略。
那么黄旗占：
如果把21面黄旗看作1份数，总数量“1”中包含有多少个7/45，旗的总面数就是21的多少倍。
答略。
棉花谷多少包？（适于六年级程度）
解：由题意可知，甲、乙两个仓库各运走了一些棉花之后，甲仓库剩下
成8份时，甲仓库剩下的是2份；把乙仓库的棉花分成5份时，乙仓库剩下的也是2份。
但是，乙仓库剩下的2份比甲仓库剩下的2份多130包。可以看出，乙仓库的1份比甲仓库的1份多出：
130÷2=65（包）
如果把乙仓库原有的棉花减少5个65包，再把剩下的棉花平均分成5份，这时乙仓库的每一份棉花就与甲仓库的每一份同样多了。
这样，从两仓库棉花的总数2600包中减去5个65包，再把剩下的棉花平均分成13份（其中甲仓库8份，乙仓库5份），其中的8份就是甲仓库原有的包数。
（2600-65×5）÷（8+5）×8
=2275÷13×8
=1400（包）……………………………甲仓库原有的包数
2600-1400=1200（包）……………乙仓库原有的包数
答略。
（八）以份数法解工程问题
工程问题就是研究工作量、工作时间及工作效率之间相互关系的问题，这种问题的工作量常用整体“1”表示。
例1一辆快车和一辆慢车同时从甲、乙两站相对开出，经12小时相遇。相遇后，快车又行8小时到达乙站。相遇后慢车还要行几小时才能到达甲站？（适于六年级程度）
解：由“相遇后快车又行8小时到达乙站”可知，慢车行12小时的路程快车只需行8小时。
把快车行这段路程所需的8小时看作1份数，则慢车所需的份数是：
答略。
*例2加工一批零件，甲单独完成需要30天，乙单独完成的时间比甲少
解：由题意可知，甲单独完成需要30天，乙单独完成所需天数是：
如果把乙工作的6天看作1份数，那么甲完成相同的工作量所需时间就
答略。
（九）以份数法解几何题
*例1一个正方形被分成了大小、形状完全一样的三个长方形（如图11-3）。每个小长方形的周长都是16厘米。这个正方形的周长是多少？（适于五年级程度）
解：在每个长方形中，长都是宽的3倍。换句话说，如果宽是1份，则长为3份，每个长方形的周长一共可分为：
3×2+1×2=8（份）
因为每个长方形的周长为16厘米，所以每份的长是：
16÷8=2（厘米）
长方形的长，也就是正方形的边长是：
2×3=6（厘米）
正方形的周长是：
6×4=24（厘米）
答略。
*例2长方形长宽的比是7∶3。如果把长减少12厘米，把宽增加16厘米，那么这个长方形就变成了一个正方形。求原来这个长方形的面积。（适于六年级程度）
解：根据题意，假设原来长方形的长为7份，则宽就是3分，长与宽之间相差：
7-3=4（份）
由于长方形的长要减少12厘米，宽增加16厘米，长方形才能变成正方形，因此原长方形长、宽之差为：
12+16=28（厘米）
看得出，4份与28厘米是相对应的，每一份的长度是：
28÷4=7（厘米）
原来长方形的长是：
7×7=49（厘米）
原来长方形的宽是：
7×3=21（厘米）
原来长方形的面积是：
49×21=1029（平方厘米）
答略。
第十二讲 消元法
在数学中，“元”就是方程中的未知数。“消元法”是指借助消去未知数去解应用题的方法。当题中有两个或两个以上的未知数时，要同时求出它们是做不到的。这时要先消去一些未知数，使未知数减少到一个，才便于找到解题的途径。这种通过消去未知数的个数，使题中的数量关系达到单一化，从而先求出一个未知数，然后再将所求结果代入原题，逐步求出其他未知数的解题方法叫做消元法。
（一）以同类数量相减的方法消元
例 买1张办公桌和2把椅子共用336元；买1张办公桌和5把椅子共用540元。求买1张办公桌和1把椅子各用多少钱？（适于四年级程度）
解：这道题有两类数量：一类是办公桌的张数、椅子的把数，另一类是钱数。先把题中的数量按“同事横对、同名竖对”的原则排列成表12-1。这就是说，同一件事中的数量横向对齐，单位名称相同的数量上下对齐。
表12-1
从表12-1第②组的数量减去第①组对应的数量，有关办公桌的数量便消去，只剩下有关椅子的数量：
5-2=3（把）
3把椅子的钱数是：
540-336=204（元）
买1把椅子用钱：
204÷3=68（元）
把买1把椅子用68元这个数量代入原题，就可以求出买1张办公桌用的钱数是：
336-68×2
=336-136
=200（元）
答略。（二）以和、积、商、差代换某数的方法消元
解题时，可用题中某两个数的和，或某两个数的积、商、差代换题中的某个数，以达到消元的目的。
1.以两个数的和代换某数
*例 甲、乙两个书架上共有584本书，甲书架上的书比乙书架上的书少88本。两个书架上各有多少本书？（适于四年级程度）
解：题中的数量关系可用下面等式表示：
甲+乙=584 ①
甲+88=乙 ②
把②式代入①式（以甲与88的和代换乙），得：
甲+甲+88=584
甲×2+88=584
2甲=584-88
=496
甲=496÷2
=248（本）
乙=248+88
=336（本）
答略。
2.以两个数的积代换某数
*例 3双皮鞋和7双布鞋共值242元，一双皮鞋的钱数与5双布鞋的钱数相同。求每双皮鞋、布鞋各值多少钱？（适于四年级程度）
解：因为1双皮鞋与5双布鞋的钱数相同，所以3双皮鞋的钱数与5×3=15（双）布鞋的钱数一样多。
这样可以认为242元可以买布鞋：
15+7=22（双）
每双布鞋的钱数是：
242÷22=11（元）
每双皮鞋的钱数是：
11×5=55（元）
答略。
3.以两个数的商代换某数
*例 5支钢笔和12支圆珠笔共值48元，一支钢笔的钱数与4支圆珠笔的钱数一样多。每支钢笔、圆珠笔各值多少钱？（适于五年级程度）
解：根据“一支钢笔的钱数与4支圆珠笔的钱数一样多”，可用12÷4=3（支）的商把12支圆珠笔换为3支钢笔。
现在可以认为，用48元可以买钢笔：
5+3=8（支）
每支钢笔值钱：
48÷8=6（元）
每支圆珠笔值钱：
6÷4=1.5（元）
答略。
4.以两个数的差代换某数
*例 甲、乙、丙三个人共有235元钱，甲比乙多80元，比丙多90元。三个人各有多少钱？（适于五年级程度）
解：题中三个人的钱数有下面关系：
甲+乙+丙=235 ①
甲-乙=80 ②
甲-丙=90 ③
由②、③得：
乙=甲-80 ④
丙=甲-90 ⑤
用④、⑤分别代替①中的乙、丙，得：
甲+（甲-80）+（甲-90）=235
甲×3-170=235
甲×3=235+170
=405
甲=405÷3
=135（元）
乙=135-80
=55（元）
丙=135-90
=45（元）
答略。
（三）以较小数代换较大数的方法消元
在用较小数量代换较大数量时，要把较小数量比较大数量少的数量加上，做到等量代换。
*例 18名男学生和14名女学生共采集松树籽78千克，每一名男学生比每一名女学生少采集1千克。每一名男、女学生各采集松树籽多少千克？（适于五年级程度）
解：题中说“每一名男学生比每一名女学生少采集1千克”，则18名男生比女生少采集1×18=18（千克）。假设这18名男生也是女生（以小代大），就应在78千克上加上18名男生少采集的18千克松树籽。
这样他们共采集松树籽：
78+18=96（千克）
因为已把18名男学生代换为女学生，所以可认为共有女学生：
14+18=32（名）
每一名女学生采集松树籽：
96÷32=3（千克）
每一名男学生采集松树籽：
3-1=2（千克）
答略。
（四）以较大数代换较小数的方法消元
在用较大数量代换较小数量时，要把较大数量比较小数量多的数量减去，做到等量代换。
*例 胜利小学买来9个同样的篮球和5个同样的足球，共付款432元。已知每个足球比每个篮球贵8元，篮球、足球的单价各是多少元？（适于五年级程度）
解：假设把5个足球换为5个篮球，就可少用钱：
8×5=40（元）
这时可认为一共买来篮球：
9+5=14（个）
买14个篮球共用钱：
432-40=392（元）
篮球的单价是：
392÷14=28（元）
足球的单价是：
28+8=36（元）
答略。
（五）通过把某一组数乘以一个数消元
当应用题的两组数量中没有数值相等的两个同类数量时，应通过把某一组数量乘以一个数，而使同一类数量中有两个数值相等的数量，然后再消元。
*例 2匹马、3只羊每天共吃草38千克；8匹马、9只羊每天共吃草134千克。求一匹马和一只羊每天各吃草多少千克？（适于五年级程度）
解：把题中条件摘录下来，排列成表12-2。
表12-2
把第①组中的数量乘以3得表12-3。
表12-3
第③组的数量中，羊的只数是9只；第②组的数量中，羊的只数也是9只。这样便可以从第②组的数量减去第③组的数量，从而消去羊的只数，得到2匹马吃草20千克。
一匹马吃草：
20÷2=10（千克）
一只羊吃草：
（38-10×2）÷3
=18÷3
=6（千克）
答略。
（六）通过把两组数乘以两个不同的数消元
当应用题的两组数量中没有数值相等的两个同类的数量，并且不能通过把某一组数量乘以一个数，而使同一类的数量中有两个数值相等的数，而达到消元的目的时，应当通过把两组数量分别乘以两个不同的数，而使同一类的数量中有两个数值相等的数，然后再消元。
*例1 买3块橡皮和6支铅笔用1.68元钱，买4块橡皮和7支铅笔用2元钱。求一块橡皮和一支铅笔的价格各是多少钱？（适于五年级程度）
解：把题中条件摘录下来排列成表12-4。
表12-4
要消去一个未知数，只把某一组数乘以一个数不行，要把两组数分别乘以两个不同的数，从而使两组数中有对应相等的两个同一类的数。因此，把第①组中的各数都乘以4，把第②组中的各数都乘以3，得表12-5。
表12-5
③-④得：3支铅笔用钱0.72元，一支铅笔的价格是：
0.72÷3=0.24（元）
一块橡皮的价格是：
（1.68-0.24×6）÷3
=（1.68-1.44）÷3
=0.24÷3
=0.08（元）
答略。
*例2 有大杯和小杯若干个，它们的容量相同。现在往5个大杯和3个小杯里面放满砂糖，共420克；又往3个大杯和5个小杯里面放满砂糖，共380克。求一个大杯和一个小杯分别可以放入砂糖多少克？（适于五年级程度）
解：摘录题中条件排列成表12-6。
表12-6
把表12-6中①组各数都乘以5，②组各数都乘以3，得表12-7。
表12-7
③-④得：16大杯放砂糖960克，所以，
一个大杯里面可以放入砂糖：
960÷16=60（克）
一个小杯里面可以放入砂糖：
（420-60×5）÷3
=（420-300）÷3
=40（克）
答略。
第十三讲 比较法
通过对应用题条件之间的比较，或难解题与易解题的比较，找出它们的联系与区别，研究产生联系与区别的原因，从而发现解题思路的解题方法叫做比较法。
在用比较法解应用题时，有些条件可直接比较，有些条件不能直接比较。在条件不能直接比较时，可借助画图、列表等方法比较，也可适当变换题目的陈述方式及数量的大小，创造条件比较。
（一）在同一道题内比较
在同一道题内比较，就是在同一道题的条件与条件、数量与数量之间的比较，不涉及其他题目。
1.直接比较
例1 五年级甲班要种一些树。如果每人种5棵，则剩下75棵；如果每人种7棵，则缺15棵。问这个班有多少人？这批树苗有多少棵？（适于四年级程度）
解：将两种分配方案进行比较，就会发现，第二次比第一次每人多种：
7-5=2（棵）
第二次比第一次多种：
75+15=90（棵）
90棵中含有多少个2棵就是全班的人数：
90÷2=45（人）
这批树苗的棵数是：
5×45+75=300（棵）
或7×45-15=300（棵）
答略。
*例2 四季茶庄购进两批茶叶，第一批有35箱绿茶和15箱红茶，共重2925千克。第二批有35箱绿茶和28箱红茶，共重3640千克。两种茶叶每箱各重多少千克？（适于五年级程度）
解：将前后两批茶叶的箱数与箱数、重量与重量分别比较，可发现，第二批红茶箱数比第一批红茶箱数多：
28-15=13（箱）
第二批红茶比第一批红茶多：
3640-2925=715（千克）
因此，可得每一箱红茶重量：
715÷13=55（千克）
每一箱绿茶重量：
（2925-55×15）÷35
=（2925-825）÷35
=2100÷35
=60（千克）
答略。
2.画图比较
有些应用题由于数量关系复杂、抽象，不便于通过直接推理、比较看出数量关系，可借助画图作比较，就容易看出数量关系。
解：作图13-1，比较已修过米数与未修过米数的关系。
可看出，这段公路一共分为（7+2）份。
答略。
3.列表比较
有些应用题适于借助列表的方法比较条件。在用列表的方法比较条件时，要把题中的条件摘录下来，尽量按“同事横对，同名竖对”的格式排列成表。这就是说，要尽量使同一件事情的数量横着对齐，使单位名称相同的数量竖着对齐。
例 赵明准备买2千克苹果和3千克梨，共带6.8元钱。到水果店后，他买了3千克苹果和2千克梨，结果缺了0.4元钱。求每千克苹果、梨各多少元钱？（适于五年级程度）
解：摘录已知条件排列成表13-1。
表13-1
比较①、②两组数量会看出：由于多买了1千克苹果，少买了1千克梨，才缺了0.4元。
可见1千克苹果比1千克梨贵0.4元。
从买2千克苹果、3千克梨的6.8元中去掉买2千克苹果多用的钱，便可以把买2千克苹果当成买2千克梨，则一共买梨（2+3）千克，用钱：
6.8-0.4×2=6（元）
每千克梨的价钱是：
6÷（2+3）=1.2（元）
每千克苹果的价钱是：
1.2+0.4=1.6（元）
答略。（二）和容易解的题比较
当一道应用题比较复杂时，可先回忆过去是不是学过类似的、较容易解的题，回忆起来后，可进行比较，找出联系，从而找到解题途径。
1.与常见题比较
例 4名骑兵轮流骑3匹马，行8千米远的路程，每人骑马行的路程相等。求每人骑马行的路程是多少？（适于四年级程度）
小学生对这类题不易理解，如与下面的常见题作比较就容易理解了。
有3篮苹果，每篮8个，平均分给4人，每人得几个？
把这两道题中的条件都摘录下来，一一对应地排列起来：
3匹马………………………3篮苹果
每匹马都行8千米…………每篮都装8个苹果
4人骑马行的路程相等……4人得到的苹果一样多
解答“苹果”这道题的方法是：
8×3÷4
通过这样的比较，自然会想出解题的方法。
解：8×3÷4=6（千米）
答：每人骑马行的路程是6千米。
2.与基本题比较
例 甲、乙两地相距10.5千米，某人从甲地到乙地每小时走5千米，从乙地到甲地每小时走3千米。求他往返于甲、乙两地的平均速度。（适于五年级程度）
在解答此题时，有的同学可能这样解：（5+3）÷2=4（千米）。这是错误的。
把上题与下面的题作比较，就会发现问题。
甲、乙两地相距12千米，某人从甲地到乙地走了4小时，他每小时平均走多少千米？
解此题的方法是：12÷4=3（千米）。这是总路程÷总的时间=平均速度。
前面的解法不符合“总路程÷总时间=平均速度”这个公式，所以是错误的。
解：本题的总路程是：
10.5×2
总时间是：
10.5÷5+10.5÷3
所以他往返的平均速度是：
10.5×2÷（10.5÷5+10.5÷3）=3.75（千米/小时）
答略。
3.把逆向题与顺向题比较
例 王明与李平共有糖若干块。王明的糖比李平的糖多
题，不易找出解题方法。
把这道题与类似的一道顺向思维的题比较一下，就可得出解题方法。
答略。
（三）创造条件比较
对那些不能以题中现有条件与相关条件进行比较的应用题，应适当变换条件，创造可以比较的条件，再进行比较。
*例1 学校食堂第一次买来2袋大米和3袋面粉，共275千克；第二次买来5袋大米和4袋面粉，共600千克。求1袋大米和1袋面粉各重多少千克？（适于五年级程度）解：摘录题中条件，列成表13-2。
表13-2
从表13-2中的条件看，题中条件不能直接比较。此时要创造条件比较。
因为大米袋数2和5的最小公倍数是10，所以把第一次买来的袋数2乘以5（把面粉的袋数3，重量275也要乘以5），把第二次买来的袋数乘以2（把面粉的袋数4，重量600也要乘以2），得表13-3。
此时题中条件便可以比较了。
表13-3
看表13-3，把两次买来粮食的数量比较一下，大米的袋数相同，面粉第一次比第二次多买：
15-8=7（袋）
因此，第一次买的粮食比第二次多：
1375-1200=175（千克）
每袋面粉重：
175÷7=25（千克）
每袋大米重：
（275-25×3）÷2
=（275-75）÷2
=100（千克）
答略。
*例2 1支铅笔、2块橡皮、3把卷笔刀共值2.35元；2支铅笔、3块橡皮、4把卷笔刀共值3.30元；3支铅笔、3块橡皮、5把卷笔刀共值4.05元。求1支铅笔、1块橡皮、1把卷笔刀各值多少钱？（适于五年级程度）
解：摘录题中条件排列成表13-4。
表13-4
从表13-4看，题中条件不能直接比较。因此，要创造条件比较。
因为橡皮的块数2、3、3的最小公倍数是6，所以①×3，②×2，③×2，得表13-5。此时题中条件便可以比较了。
表13-5
⑥-⑤，得：
2支铅笔价钱+2把卷笔刀价钱=1.5（元），即，
1支铅笔价钱+1把卷笔刀价钱=0.75（元）…………………………⑦
⑥-④，得：
3支铅笔价钱+1把卷笔刀价钱=1.05（元）…………………………⑧
⑧-⑦，得：
2支铅笔价钱=0.30（元）
1支铅笔价钱=0.15（元）
把1支铅笔价钱0.15元代入⑦，得出1把卷笔刀的价钱是：
0.75-0.15=0.60（元）
根据①可求出一块橡皮的价钱数：
（2.35-0.15-0.6×3）÷2
=0.4÷2
=0.2（元）
答略。
*例3 甲、乙两人共需做140个零件，甲做了自己任务的80％，乙做了自己任务的75％，这时甲、乙共剩下32个零件未完成。求甲、乙两人各需做多少个零件？（适于六年级程度）
解：已知“甲做了自己任务的80％，乙做了自己任务的75％”后共剩下32个零件，甲、乙两人所做零件个数不相等，因此，甲所做零件的80％与乙所做零件的75％不可直接比较。此时就要创造条件比较了。
已知甲做自己任务的80％，假设乙也做自己任务的80％，那么甲乙就共剩下零件：
140×（1-80％）=28（个）
这比原来已知的“甲、乙共剩下32个零件”少：
32-28=4（个）
这4个所对应的分率是：
80％-75％=5％
所以，乙需做的零件是：
4÷5％=80（个）
甲需做的零件是：
140-80=60（个）
答略。
第十四讲 演示法
对于那些不容易理解和分析数量关系的应用题，利用身边现成的东西，如铅笔、橡皮、小刀、文具盒等，进行演示，使应用题的内容形象化，数量关系具体化，这种解题的方法叫做演示法。
例1 一根绳子正好围成一个边长为5分米的正方形。如果用它围成长是8分米的长方形，问其宽应当是多少分米？（适于三年级程度）
解：对这道题一般同学都会用这样的方法解答：
5×4÷2-8=2（分米）
然而这并不是最简捷的解法，要用更简捷的解法，我们可以做下面的试验：
（1）用一根细铁丝围成一个边长是5分米的正方形（图14-1）。
（2）把正方形的细铁丝从C点断开。
这时ABC部分、CDA部分都是正方形边长的2倍。
（3）把ABC那部分（或CDA部分）拉直，折出8分米长的一段与另一段成90°
的角（图14-2）。此时会看到8分米长的这一段是长方形的长，与8分米长的边成直角的那一段是长方形的宽。
到此，很容易得出，求长方形的宽也可以用下面的方法：
5×2-8=2（分米）
答略。
*例2 有一列火车，长120米，以每小时18千米的速度通过一座长150米的隧道。求从火车头进隧道到火车尾部离开隧道共需要多长时间？（适于五年级程度）
解：求火车过隧道的时间，必须知道过隧道的速度和所行的路程。速度已知，因此，解此题的关键是求出火车头从进隧道到火车尾部离开隧道所行的路程。
为弄清这个问题，我们做下面的演示。
用文具盒当隧道，用铅笔当火车。
用图14-3表示火车刚刚要进隧道时的情景，用图14-4表示火车车尾正好离开隧道时的情景。
从图14-4可看出：火车从车头进隧道，到车尾离开隧
道，所行的路程等于隧道长与车身长之和。
到此，便可求出火车头从进隧道到车尾离开隧道所用的时间。
分步列式计算：
（1）火车每秒行：
1000×18÷3600=5（米）
（2）火车通过隧道共行的米数：
150+120=270（米）
（3）火车通过隧道需时间是：
270÷5=54（秒）
综合算式：
（150+120）÷（1000×18÷3600）
=270÷5
=54（秒）
答略。
*例3 兄弟二人早晨五点钟各推一车菜，同时从家里出发去集市。哥哥每分钟走100米，弟弟每分钟走60米。哥哥到达集市后5分钟卸完菜，立即返回，途中遇到弟弟，这时是5点55分。问集市离他们家有多远？（适于五年级程度）
解：本题可用橡皮、瓶盖分别代表“家”与“集市”，放在桌面的两端，用两支铅笔代表兄弟二人实际走一走。如（图14-5）。
图14-5实线表示弟弟走的路程，虚线表示哥哥走的路程。从演示中可以看出兄弟二人共走的路程是从家到集市路程的2倍。
因此，只要求出兄弟二人共走了多少路，就可求出家到集市的路程。
[60×55+100×（55-5）]÷2
=[3300+5000]÷2
=4150（米）
答略。
*例4 一个5分米高的圆柱体，它的侧面积是62.8平方分米，求圆柱体的体积。（适于六年级程度）
解：要求圆柱体的体积就要知道圆柱底面圆的半径是多少。从表面看，题中没有告诉圆柱底面圆的半径是多少，这可怎么办呢？做了下面的演示，问题就得到解决了。
用一张长方形的纸卷成一个圆柱形，再把圆柱形展开，展开后看到圆柱形的侧面是个长方形。长方形的宽就是圆柱的高，长方形的长就是圆柱底面圆的周长。知道了圆柱底面圆的周长，就能算出圆柱体底面圆的半径。
（1）圆柱体底面圆的周长是：
62.8÷5=12.56（分米）
（2）圆柱体底面圆的半径是：
12.56÷3.14÷2=2（分米）
（3）圆柱体的体积是：
3.14×2×2×5=62.8（立方分米）
答略。
*例5 从三点钟到四点钟之间，钟面上时针和分针什么时刻会重合？什么时刻成一直线？（适于高年级程度）
解：此题很抽象，可用有活动指针的时钟教具做演示来理解题中的数量关系。
看图14-6，因为钟的指针是顺时针方向转动的，所以在3点钟时，时针在分针前面。要使两针重合，分针就要追上时针。
我们把分针转动一圈，即分针走60小格，时针才走5个小格，因此，在
分针要与时针成一条直线，分针不仅要追上时针15格的距离，还要超过30格的距离，总计要“追”（15+30）格的距离。“追”（15+30）格的路程要用多长时间呢？
时针成一条直线。
答略。
*例6 一列快车全长151米，每秒钟行15米，一列慢车全长254米，每秒钟行12米。两车相对而行，从相遇到离开要用几秒钟？（适于五年级程度）
解：要求两车从相遇到离开要用几秒钟，必须知道两车从相遇到离开走多长的路程。
为弄清这个问题，我们做下面的演示：
用一支铅笔作慢车，用另一支铅笔作快车。先让它们相遇（图14-7），再让它们从相对运行到正好离开（图14-8）。
看图14-8会想到：两车共行的路程是两个车身长的和。
到此，可算出：

（151+254）÷（15+12）
=405÷27
=15（秒）
答：两车从相遇到离开需要15秒钟。
第十五讲 列表法
把应用题中的条件简要地摘录下来，列表分类整理、排列，并借助这个表格分析、解答应用题的方法叫做列表法。
在用列表法解题时，要仔细判断题中哪些数量是同一件事中直接相关联的，哪些数量是同一类的。排列数量时，要尽量做到“同事横对”，“同名竖对”。这就是说，要使同一件事中直接相关联的数量横向排列，使同一类的、单位名称相同的数量竖着排列，还要使它们的数位上、下对齐。
这样就可以在读题、列表的过程中正确识别数量，选择数量，理解数量之间的联系、区别，理清思路，为下一步的分析、推理作好准备。
（一）通过列表突出题目的解法特点
有些应用题的解法具有一定的特点，如果把题中的条件按一定的格式排列，整理成表，则表格会起到突出题目解法特点的作用。
例1 桌子上放着黄、红、绿三种颜色的塑料碗。3只黄碗里放着51个玻璃球，5只红碗里放着75个玻璃球，2只绿碗里放着24个玻璃球。要使每只碗里玻璃球的个数相同，每只碗里应放多少个玻璃球？（适于四年级程度）
解：摘录题中条件，排列成表15-1。
表15-1
求每只碗里应放多少个球，要先求出一共有多少个碗，和在这些碗中一共放了多少个球。由于表15-1中把碗的只数排列在前一竖行，把球的个数排列在另一竖行，所以只要看着表15-1中竖着排列的碗的只数和球的个数，便可算出碗的总数和玻璃球的总数，从而使问题得以解决。
（51+75+24）÷（3+5+2）
=150÷10
=15（只）
答：平均每只碗里应放15个玻璃球。
例2 荒地村砂场用3辆汽车往火车站运送砂子，5天运了180吨。照这样计算，用4辆同样的汽车15天可以运送多少吨砂子？（适于四年级程度）
解：摘录题中条件，排列成表15-2。
表15-2
解此题的要点是先求出单位数量。表15-2中，由于汽车的辆数、运送的天数和吨数这三个直接相关联的数量排在同一横行，因此便于想到，180÷5得到3辆车1天运多少吨，180÷5÷3就得到一辆车一天运多少吨；接着便可想到求出4辆车1天运多少吨，15天运多少吨。
求4辆车15天运送多少吨砂子的方法是：
180÷5÷3×4×15
=12×4×15
=720（吨）
答略。
例3 甲校买8个排球，5个篮球，共用415元，乙校买同样的4个排球、5个篮球，共用295元。求买一个排球需要多少钱？（适于四年级程度）
解：摘录题中条件，排列成表15-3。
表15-3
从表15-3可以看出，甲、乙二校所买篮球的个数一样多，甲校比乙校多用钱：
415-295=120（元）
甲校比乙校多买排球数是：
8-4=4（个）
所以，每个排球的卖价是：
120÷4=30（元）
答略。
例4 要把卖5角钱500克的红辣椒和卖3角5分钱500克的青辣椒混合起来，卖4角1分钱500克，应按怎样的比例混合，卖主和顾客才都不吃亏？（适于六年级程度）
解：摘录题中条件，排列成表15-4（为便于计算，表中钱数都以“分”为单位）。
表15-4
要使卖主与买主都不吃亏，就要使红辣椒损失的钱数与青辣椒多收入的钱数一样多。由表15-4可看出，当红辣椒损失18分，青辣椒多收入18分时，恰好达到要求。
因为每500克红辣椒与青辣椒混合时，红辣椒要少卖9分钱，当损失18分时，则有500×2克红辣椒；同理，青辣椒与红辣椒混合时，每500克青辣椒要多卖6分钱，要多卖18分时，就要有3个500克才行，即500×3克青辣椒。
所以，红辣椒与青辣椒混合的比应是：
500×2∶500×3=2∶3
答略。
*例5 甲种酒每500克卖1元4角4分，乙种酒每500克卖1元2角，丙种酒每500克卖9角6分。现在要把三种酒混合成每500克卖1元1角4分的酒，其中乙种酒与丙种酒的比是3∶2。求混合酒中三种酒的重量比。（适于六年级程度）
解：设混合酒中甲种酒占的份数是x，为便于计算题中钱数都以“分”为单位。摘录题中条件，排列成表15-5。
表15-5
从表15-5可以看出，当三种酒的混合比是x∶3∶2，混合酒的价钱是114分时，混合酒中每500克甲种酒要损失（少卖）30分钱，每500克乙种酒要损失6分钱，而每500克丙种酒要收益（多卖）18分钱。
当乙、丙两种酒的混合比是3∶2时，假设乙、丙两种酒分别是1.5千克、1千克，则这两种酒的混合液可以多卖钱：
18×2-6×3=18（分）
当三种酒按x∶3∶2的比例混合时，收益的18分钱应与甲种酒的损失抵消。因为三种酒混合时，每500克甲种酒损失30分，所以18分是30分的几分之几，甲种酒在三种酒的混合液中就占500克的几分之几：
答：混合酒中三种酒的重量比是3∶15∶10。
（二）通过列表暴露题目的中间问题
解答复合应用题的关键，是找出解答最后问题所需要的中间问题（隐藏量），应用题的步骤越多，需要找出的中间问题就越多，解答的过程就越复杂。
在用列表法解应用题时，由于题中数量是按“同事横对，同名竖对”的规律排列在表中，所以便于思考求最后的问题需要哪些数量，这些数量中哪些是已知的、哪些是未知的中间问题。同时也便于思考怎样求出中间问题，并在必要时把求中间问题的算式写在表中。这样，中间问题便暴露于表格中，和已知数处于平等的地位，从而排除了思维道路上的障碍，减轻了解题的难度。
*例1 张老师买了2千克苹果，3千克梨，共用5元钱。王老师买的苹果是张老师的2倍，买的梨是张老师的3倍，比张老师多用6.8元。问每一千克苹果、每一千克梨的价钱各是多少元？（适于五年级程度）
解：摘录题中条件，排列成表15-6。
表15-6中，由于张老师买的苹果是2千克、梨是3千克，共用5元钱，都已写在表中，因此很容易在表中写出王老师买的苹果是2×2千克，王老师买的苹果恰好是张老师的2倍，也很容易写出王老师买的梨是3×3千克，王老师买的梨比张老师的2倍多3×（3-2）千克，即多3千克。
表15-6
王老师共用钱（5+6.8）元，王老师买水果用的钱比张老师买水果用的钱的2倍多：
（5+6.8）-5×2=1.8（元）
这1.8元就是买3千克梨用的钱，所以1千克梨的价钱是：
1.8÷3=0.6（元）
1千克苹果的价钱是：
（5-0.6×3）÷2
=（5-1.8）÷2
=1.6（元）
答略。
*例2 有甲、乙、丙三桶油，先取出甲桶油的一半，平均倒在乙、丙两桶中；再取出乙桶油的一半，平均倒在甲、丙两桶中；最后取出丙桶油的一半，平均倒在甲、乙两桶中。这时3桶油正好都是16千克。问原来每桶中各有油多少千克？（适于高年级程度）
解：此题的中间量比较多，需要从题中最后的结果逐步往前推理，把推出的结果写在表中，就能求出原来每桶各有多少千克油。看表15-7。
表15-7
（1）由于最后取出丙桶油的一半，平均倒在甲、乙两桶中，3桶油正好都是16千克，因此在表15-7中，横向写上甲、乙、丙三桶油都是16千克。而在丙桶未向甲、乙两桶倒油之前，丙桶中有油：
16×2=32（千克）
丙桶油的一半是16千克，把这16千克平均倒在甲乙两桶中时，倒入每一桶的油是：
16÷2=8（千克）
所以，在丙桶未向甲、乙两桶倒油时，即“再取出乙桶油的一半，平均倒在甲、丙两桶中”后，甲、乙两桶中分别有油8千克。
在表15-7中，乙倒完后一栏的后面横向写上甲、乙、丙三桶分别有油8千克、8千克、32千克。
（2）根据取出乙桶油的一半平均倒在甲、丙两桶中后，乙桶中还剩8千克油，甲桶中有油8千克，丙桶中有油32千克，可以推出原来乙桶中有油16千克，乙桶油的一半是：
16÷2=8（千克）
8千克的一半是4千克。所以，在乙桶未向甲、丙两桶倒油之前，即“取出甲桶油的一半，平均倒在乙、丙两桶中”后，甲桶中有油：
8-4=4（千克）
丙桶中有油：
32-4=28（千克）
在表15-7中，甲倒完后一栏的后面横向写上甲、乙、丙三桶分别有油：4千克、16千克、28千克。
（3）由“取出甲桶油的一半，平均倒在乙、丙两桶中”之后，甲桶中还剩下4千克油，可以推出甲桶原来有油：
4×2=8（千克）
8千克的一半是4千克，4千克的一半是2千克。由甲桶向乙、丙两桶倒完油后，乙、丙两桶分别有油16千克，28千克，由此可推出乙、丙两桶原来分别有油：
16-2=14（千克）
28-2=26（千克）
答略。
第十六讲 倍比法
解应用题时，先求出题中两个对应的同类数量的倍数，再通过“倍数”去求未知数，这种解题的方法称为倍比法。
（一）用倍比法解归一问题
可以用倍比法解答的应用题一般都可以用归一法来解（除不尽时，可以用分数、小数来表示），但用倍比法解答要比用归一法简便。实际上，倍比法是归一法的特殊形式。为计算方便，在整数范围内，如果用归一法除不尽时，可以考虑用倍比法来解。反之，运用倍比法除不尽时，也可以考虑改用归一法来解。要根据题目中的具体条件，选择最佳解法。
例1 一台拖拉机3天耕地175亩。照这样计算，这台拖拉机15天可以耕地多少亩？（适于三年级程度）
解：这道题实质上是归一问题。要求15天耕地多少亩，只要先求出每天耕地多少亩就行了。但175不能被3整除，所以在整数范围内此题不便用归一法来解。因题目中的同一类数量（两个天数）之间成倍数关系（15天是3天的5倍），并且拖拉机的工作效率又相同，所以另一类量（两个耕地亩数）之间也必然有相同的倍数关系（15天耕地亩数也应是3天耕地亩数的5倍）。
先求15天是3天的几倍：
15÷3=5（倍）
再求175亩的5倍是多少亩：
175×5=875（亩）
综合算式：
175×（15÷3）
＝175×5
＝875（亩）
答：15天可以耕地875亩。
例2 3台拖拉机一天耕地40亩。要把160亩地在一天内耕完，需要多少台同样的拖拉机？（适于三年级程度）
解：先求出160亩是40亩的几倍：
160÷40=4（倍）
再求耕160亩地需要多少台同样的拖拉机：
3×4=12（台）
综合算式：
3×（160÷40）
=3×4
=12（台）例3 工厂运来52吨煤，先用其中的13吨炼出9750千克焦炭。照这样计算，剩下的煤可以炼出多少千克焦炭？（适于四年级程度）
用归一法解：先求出每吨煤可炼出多少千克焦炭，再求出剩下的煤可以炼多少千克焦炭：
9750÷13×（52-13）
=750×39
=29250（千克）
用倍比法解：先求出52吨里有几个13吨，然后去掉已炼的一个13吨，得：
9750×（52÷13-1）
=29250（千克）
答略。
例4 某粮食加工厂，3台磨粉机6小时磨小麦1620千克。照这样计算，5台磨粉机8小时可以磨小麦多少千克？（适于五年级程度）
用归一法解：
1620÷3÷6×5×8
=540÷6×5×8
=90×5×8
=3600（千克）
用倍比法解：把一台磨粉机工作1小时看作一个新的量--1台小时，3台磨粉机工作6小时，就是3×6台小时，5台磨粉机工作8小时，就是5×8台小时。只要求出5×8台小时是3×6台小时的几倍，那么5台磨粉机8小时磨的小麦就是1620千克小麦的几倍。
答略。
例5 甲、乙两辆车分别从东、西两城同时相对开出，4小时后相遇，相遇后甲车再经过2小时到达西城。求乙车再经过几小时可以到达东城？（适于五年级程度）
解：用图16-1表示题中的数量关系。
看图16-1中两车相遇点右侧的路程，甲、乙所走的路程一样长。但走这段路，甲用了2小时，乙却用了4小时。就是说，走同样的路程时，乙用的时间是甲的4÷2=2倍。再看相遇点左侧的路程，甲走这段路程用了4小时，因为走同样长的路程时乙用的时间是甲的2倍，所以，乙由相遇点到达东城的时间是4小时的2倍。
4×（4÷2）=8（小时）
答：乙车再过8小时可以到达东城。
（二）用倍比法解工程问题
用倍比法解工程问题，不用设总工作量为“1”，学生较易理解，尤其是解某些较复杂的工程问题，用倍比法解比较简捷。
例1 一项工程，由甲工程队修建，需要20天完成；由乙工程队修建，需要30天完成。两队合修需要多少天完成？（适于六年级程度）
解：因为甲工程队修建20天的工作量相当于乙工程队修建30天的工作
在把乙队30天的工作量看作总工作量时，乙队一天修的工作量是1，则
=12（天）
答略。
例2 一件工作单独由一个人完成，甲要用8小时，乙要用12小时。若甲先单独做5小时，剩下的由乙单独做完，则乙需要做多少小时？（适于六年级程度）
解：因为甲8小时的工作量相当于乙12小时的工作量，所以，甲1小时
作量，剩下的便是乙单独做完这项工作所需要的时间：
在把甲8小时的工作量看作工作总量时，甲1小时的工作量是1，则乙
答略。
例3 某工程由甲、乙两队合做12天完成，现在两队合做4天后，余下的再由甲队单独做10天可以完成。问甲队单独完成这项工程需要多少天？（适于六年级程度）
解：甲、乙两队合做4天后，再共同完成剩下的工作量，需要的天数是12-4=8（天）。这8天的工作量是甲、乙需合做8天才能完成的工作量。
这8天的工作量，甲单独做10天完成，就是说，甲、乙合做1天的工作
（天），再加上后来甲单独工作的10天，便可得到甲队单独完成这项工程需要的天数：
答略。
例4 一项工程，甲单独做10天完成，乙单独做15天完成。现在先由乙队做若干天后，甲再参加，4天就做完了。那么乙先单独做了多少天？（适于六年级程度）
解：因为这项工程，甲单独做10天完成，而甲只做了4天，所以10-4=6（天），这6天的工作量是由乙做的。而乙1天的工作量是甲1天工作量的
去掉乙后来与甲合做的4天，便得到乙先头单独做的天数：
答略。
*例5 甲、乙两人同做一件工作，甲做4天的工作量，等于乙做3天的工作量，若由甲单独做这项工作需要12天完成。现在甲、乙两人合做4天后，剩下的工作由乙单独做需要几天完成？（适于六年级程度）
把甲单独做12天完成的工作量看作工作总量，从工作总量中减去甲、乙合做的工作量，剩下的就是乙单独做的工作量。
再把剩下的工作量除以乙1天的工作量，即得到剩下的工作由乙单独做需要几天完成。
答略。
答略。
第十七讲 逆推法
小朋友在玩“迷宫”游戏时，在纵横交错的道路中常常找不到出口。有些聪明的小朋友，反其道而行之，从出口倒回去找入口，然后再沿着自己走过的路返回来。由于从出口返回时，途径单一，很快就会找到入口，然后再由原路退回，走出“迷宫”自然就不难了。
解应用题也是这样，有些应用题用顺向推理的方法很难解答，如果从问题的结果出发，从后往前逐步推理，问题就很容易得到解决了。
这种从条件或问题反过去想而寻求解题途径的方法，叫做逆推法。
用逆推法解应用题列算式时，经常要根据加减互逆，乘除互逆的关系，把原题中的加用减算，减用加算；把原题中的乘用除算，除用乘算。
（一）从结果出发逐步逆推
例1 一个数除以4，再乘以2，得16，求这个数。（适于四年级程度）
解：由最后再乘以2得16，可看出，在没乘以2之前的数是：
16÷2=8
在没除以4之前的数是：
8×4=32
答：这个数是32。
*例2 粮库存有一批大米，第一天运走450千克，第二天运进720千克，第三天又运走610千克，粮库现有大米1500千克。问粮库原来有大米多少千克？（适于四年级程度）
解：由现有大米1500千克，第三天运走610千克，可以看出，在没运走610千克之前，粮库中有大米：
1500+610=2110（千克）
在没运进720千克之前，粮库里有大米：
2110-720=1390（千克）
在没运走450千克之前，粮库里有大米：
1390+450=1840（千克）
答：粮库里原来有大米1840千克。
*例3 某数加上9后，再乘以9，然后减去9，最后再除以9，得9。问这个数原来是多少？（适于四年级程度）
解：由最后除以9，得9，看得出在除以9之前的数是：
9×9=81
在减去9之前的数是：
81+9=90
在乘以9之前的数是：
90÷9=10
在加上9之前，原来的数是：
10-9=1
答：这个数原来是1。
*例4 解放军某部进行军事训练，计划行军498千米，头4天每天行30千米，以后每天多行12千米。求还要行几天？（适于五年级程度）
解：从最后一个条件“以后每天多行12千米”可求出，以后每天行的路程是：
30+12=42（千米）
从头4天每天行30千米，可求出已行的路程是：
30×4=120（千米）
行完4天后剩下的路程是：
498-120=378（千米）
还要行的天数是：
378÷42=9（天）
综合算式：
（498-30×4）÷（30+12）
=378÷42
=9（天）
答略。
*例5 仓库里原有化肥若干吨。第一次取出全部化肥的一半多30吨，第二次取出余下的一半少100吨，第三次取出150吨，最后剩下70吨。这批化肥原来是多少吨？（适于五年级程度）
解：从“第三次取出150吨，最后剩下70吨”可看出，在第三次取出之前仓库里有化肥：
70+150=220（吨）
假定第二次取出余下的一半，而不是少100吨，则第二次取出后，仓库剩下化肥：
220-100=120（吨）
第二次取出之前，仓库中有化肥：
120×2=240（吨）
假定第一次正好取出一半，而不是多30吨，则第一次取出一半后，仓库里剩下化肥：
240+30=270（吨）
仓库中原有化肥的吨数是：
270×2=540（吨）
综合算式：
[（150+70-100）×2+30]×2
=[120×2+30]×2
=270×2
=540（吨）
答略。
共有多少本图书？有科普读物多少本？（适于六年级程度）
解：最后一个条件是“少儿读物是630本”，由于科普读物和文艺读物
所以，这个书架上共有书：
有科普读物：
答略。
（二）借助线段图逆推
*例1有一堆煤，第一次运走一半多10吨，第二次运走余下的一半少3吨，还剩下25吨。问这堆煤原来是多少吨（适于五年级程度）
解：作图17-1（见下页）。
从图17-1可看出，余下的一半是：
25-3=22
所以，余下的煤是：
22×2=44（吨）
全堆煤的一半是：
44+10=54（吨）
原来这堆煤是：
54×2=108（吨）
答略。
*例2 服装厂第一车间的人数占全厂人数的25％，第二车间的人数比第
个服装厂共有多少人？（适于六年级程度）
解：作图17-2（见下页），用三条线段表示三个车间的人数。
第二车间人数是：
第一车间人数是：
全厂人数是：
150÷25％=600（人）
综合算式：
（三）借助思路图逆推
例1 某工程队原计划12天修公路2880米，由于改进了工作方法，8天就完成了任务。问实际比原计划每天多修多少米？（适于四年级程度）
解：作思路图（图17-3）。
求实际比原计划每天多修多少米，必须知道实际每天修多少米和原计划每天修多少米。
求实际每天修多少米，就要知道公路的长和实际修完的天数。
实际每天修的米数是：
2880÷8=360（米）
求原计划每天修多少米，就要知道公路的长和原计划要修的天数。
原计划每天修的米数是：
2880÷12=240（米）
实际比原计划每天多修的米数是：
360-240=120（米）
答略。
*例2 某机床厂去年每月生产机床5台，每月用去钢材4000千克；今年每月生产的机床台数是去年的4倍，平均每台机床比去年少用钢材200千克。今年每月用的钢材是去年每月所用钢材的几倍？（适于五年级程度）
解：作思路图（图17-4）。
从图17-4的下边开始看，逐步往上推理。
（1）去年每台用钢材多少？
4000÷5=800（千克）
（2）今年每台用多少钢材？
800-200=600（千克）
（3）今年每月生产多少台？
5×4=20（台）
（4）今年每月用多少钢材？
600×20=12000（千克）
（5）今年每月用的钢材是去年每月所用钢材的几倍？
12000÷4000=3（倍）
综合算式：
（4000÷5-200）×（5×4）÷4000
=600×20÷4000
=3（倍）
答略。
（四）借助公式逆推
例1 一个三角形的面积是780平方厘米，底是52厘米。问高是多少？（适于五年级程度）
解：计算三角形面积的公式是：面积=底×高÷2，逆推这个公式得：
高=面积×2÷底
所以，这个三角形的高是：
780×2÷52=30（厘米）
答略。
例2 求图17-5平行四边形中CD边的长。（单位：厘米）（适于五年级
程度）
解：因为平行四边形的面积是：
BC×AE=6×3=18
平行四边形的面积也是：
CD×AF=5CD
所以，5CD=18
CD=18÷5
=3.6（厘米）
答略。
例3 一个圆锥体的体积是84.78立方厘米，底面的直径是6厘米。求它的高是多少。（适于六年级程度）
解：底面圆的直径是6厘米，则半径就是3厘米。
由V=1/3πR2h逆推得：
h=V×3÷π÷R2
因此，它的高是：
84.78×3÷3.14÷32
=254.34÷3.14÷32
=9（厘米）
答略。
（五）借助假设法逆推
解：假设取出存款后没有买书橱，则150元是取出的钱的：
取出的钱是：
150×3=450（元）
老张原有的存款是：
450×4=1800（元）
答略。
例2 供销社分配给甲、乙、丙三个乡若干吨化肥。甲乡分得总数的一半少2吨，乙乡分得剩下的一半又多半吨，最后剩下的8吨分给丙乡。问原来共有化肥多少吨？（适于六年级程度）
解：假设乙乡分得剩下一半，而不是又多半吨，则乙乡分走后剩下的化肥是：
乙乡分走前的化肥是：
假设甲乡分得总数的一半，而不是少2吨，则甲乡分走化肥：
17-2=15（吨）
这15吨正好是原有化肥吨数的一半，所以原来共有化肥：
15×2=30（吨）
综合算式：
答略。
（六）借助对应法逆推
所以，食堂原来有大米：
综合算式：
答略。
所以，第一天耕地后余下的亩数是：
25+3=28（亩）
28亩所对应的分率是：
综合算式：
答略。
第十八讲 图解法
图形是数学研究的对象，也是数学思维和表达的工具。
在解答应用题时，如果用图形把题意表达出来，题中的数量关系就会具体而形象。图形可起到启发思维、支持思维、唤起记忆的作用，有利于尽快找到解题思路。有时，作出了图形，答案便在图形中。
（一）示意图
示意图是为了说明事物的原理或具体轮廓而绘成的略图。
小学数学中的示意图简单、直观、形象，使人容易理解图中的数量关系。
例1 妈妈给兄弟二人每人10个苹果，哥哥吃了8个，弟弟吃了5个。谁剩下的苹果多？多几个？（适于四年级程度）
解：作图18-1。
哥哥吃了8个后，剩下苹果：
10-8=2（个）
弟弟吃了5个后，剩下苹果：
10-5=5（个）
弟弟剩下的苹果比哥哥的多：
5-2=3（个）
答：弟弟剩下的苹果多，比哥哥的多3个。
例2 一桶煤油，倒出40％，还剩18升。这桶煤油原来是多少升？（适于六年级程度）
解：作图18-2。
从图中可看出，倒出40％后，还剩：
1-40％=60％
这60％是18升所对应的百分率，所以这桶油原来的升数是：
18÷60％=30（升）
答略。
例3 把2米长的竹竿直立在地面上，量得它的影长是1.8米，同时量得电线杆的影长是5.4米。这根电线杆地面以上部分高多少米？（适于六年级程度）
解：根据题意画出如图18-3（见下页）的示意图。
同一时间，杆长和影长成正比例。设电线杆地面以上部分的高是x米，得：
1.8∶5.4=2∶x
答略。
（二）线段图
线段图是以线段的长短表示数量的大小，以线段间的关系反映数量间关系的一种图形。在小学数学应用题教学中线段图是使用最多、最方便的一种图形。
例1 王明有15块糖，李平的糖是王明的3倍。问李平的糖比王明的糖多多少块？（适于三年级程度）
解：作图18-4（见下页）。
从图18-4可看出，把王明的15块糖看作1份数，那么李平的糖就是3份数。
李平比王明多的份数是：
3-1=2（份）
李平的糖比王明的糖多：
15×2=30（块）
综合算式：
15×（3-1）
=15×2
=30（块）
答略。
例2 托尔斯泰是俄罗斯伟大作家，享年82岁。他在19世纪中度过的时间比在20世纪中度过的时间多62年。问托尔斯泰生于哪一年？去世于哪一年？（适于四年级程度）
解：作图18-5。
从图18-5可看出，他在20世纪度过的时间是：
（82-62）÷2
＝20÷2
=10（年）
由此看出，他死于1910年。他出生的时间是：
1910-82=1828（年）
答略。
解：作图18-6。
综合算式：
答略。
（三）思路图
小学数学中的许多应用题，需要用综合法或分析法分析解答。如果把思维的过程用文字图形表示出来，就有助于正确选择已知数量，提出中间问题，理清数量关系，从而顺利解题。这种表示思维过程的图形就是思路图。
例题参见前面的分析法和综合法。
（四）正方形图
借助正方形图解应用题，就是以正方形的边长、面积表示应用题中的数量，使应用题数量之间的关系具体而明显地呈现出来，从而达到便于解题的目的。
例1 农民张成良，把自己承包的土地的一半种了玉
承包了多少公顷土地？（适于四年级程度）
解：根据题意作图18-7。
所以，他承包的土地是：
2×8=16（公顷）
答略。
例2有大小两个正方形，其中大正方形的边长比小正方形的边长多4厘米，面积比小正方形的面积大96平方厘米。求大、小正方形的面积各是多少平方厘米？（适于六年级程度）
解：求大、小正方形的面积，应知道大、小正方形的边长，但题中没有说，也不好直接求出来。借助画图形的方法可轻易解决这个问题。
根据题意作图18-8。
图中大正方形ABCD的面积比小正方形的面积大96平方厘米。这96平方厘米的面积是由两个长方形a及比长方形还小的正方形c构成。从96平方厘米减去正方形c的面积，再除以2就可求出长方形a的面积。
（96-4×4）÷2=40（平方厘米）
因为长方形a的宽是4厘米，所以长方形a的长是：
40÷4=10（厘米）
因为10厘米也是小正方形的边长，所以小正方形的面积是：
10×10=100（平方厘米）
大正方形的边长是：
4+10=14（厘米）
大正方形的面积是：
14×14=196（平方厘米）
答略。
（五）长方形图
借助长方形图解应用题，是以长方形的长表示一种数量，以长方形的宽表示另一种数量，以长方形的面积表示这两种数量的积。它能把抽象的数量关系转化为具体形象的面积来计算问题。
*例1 甲、乙两名工人做机器零件，每天甲比乙多做10个。现在甲工作15天，乙工作12天，共做出1500个零件。问甲、乙两人每天各做多少个零件？（适于五年级程度）
解：根据题意作图18-9（见下页）。
图18-9中，以左边长方形的长表示甲工作15天，以左边长方形的宽表示甲每天做多少个；以右边长方形的长表示乙工作12天，以右边长方形的宽表示乙每天做多少个。
图中右上角那个长方形的宽表示甲每天比乙多做10个，所以，乙在12天中比甲少做零件：
10×12=120（个）
图中全部阴影部分的面积表示甲、乙共做的零件1500个。
从图18-9可以看出，整个大长方形面积所表示的零件的个数是：
1500+120=1620（个）
这个长方形的长表示甲、乙共同工作的天数：
15+12=27（天）
因为大长方形的宽表示甲每天做零件的个数，所以甲每天做零件的个数是：
1620÷27=60（个）
乙每天做零件的个数是：
60-10=50（个）
答略。
* 例2 某商店卖出苹果、鸭梨和桔子共25筐，其中鸭梨的筐数是桔子筐数的2倍。苹果每筐卖90元，鸭梨每筐卖72元，桔子每筐卖60元，共卖得1854元。问卖出苹果、鸭梨和桔子各多少筐？（适于六年级程度）
解：根据题意作图18-10。
图18-10中阴影部分表示，如果25筐都是苹果，则所造成的差价是：
90×25-1854=396（元）
每卖出1筐桔子、2筐鸭梨、3筐苹果的差价是：
（90-72）×2+（90-60）
=36+30
=66（元）
因此，桔子的筐数是：
396÷66=6（筐）
鸭梨的筐数是：
6×2=12（筐）
苹果的筐数是：
25-6-12=7（筐）
答略。
（六）条形图
条形图是把长方形的长画得比较长，把长方形的宽画得比较短的一种图形。条形图一般以长方形的长表示数量。条形图可以画成竖的，也可以画成横的。题中不同的数量可用不同的阴影线或不同的颜色表示。题中的数量可写在长方形内，也可写在长方形外面。
条形图比线段图更直观一些，在用来解某些应用题时效果要比线段图好。
吨后，两场所剩煤的数量相等。甲、乙两个煤场原来各存煤多少吨？（适于六年级程度）
解：作图18-11。
从图中可看出，从875吨中减去75吨后，甲煤场的煤就相当于乙煤场煤的3倍，两个煤场所存煤共分为4份。
其中一份是：
（875-75）÷（3+1）
＝800÷4
=200（吨）
乙煤场原来的存煤吨数是：
200+75=275（吨）
甲煤场原来存煤的吨数是：
200×3=600（吨）
答略。
解：作图18-12。
但是，实际上是运出125吨。这140吨比实际运出的多：
140-125=15（吨）
所以15吨所对应的分率是：
甲库原来的存粮吨数是：
420-180=240（吨）
答略。
*例3 一组割草人要把大、小两块草地的草割掉，其中大块草地的面积是小块草地面积的2倍。全体组员用半天的时间割大块草地的草。下午一半的组员仍停留在大块草地上割，另一半到小块草地上割。到傍晚时，大块草地的草全部割完，而小块草地还剩下一小块。这剩下的一小块，第二天一个人用一天的时间就割完了。这组割草的一共有多少人？（适于六年级程度）
全体组员割一个上午后，一半的组员又割一个下午就把大块地的草割完，这就是说，要是用一半的组员单独割大块草地的草，就要用3个半天，而在
这剩下的一小块是大块草地的：
这就是说，6个人一天可以把大块草地割完，一个人一天割大块地的
答略。
（七）圆形图
借助圆形图解应用题，是以圆的面积或周长表示题中的数量，并在圆周内、外标上数字、符号，从而达到便于分析数量关系的目的。
例1 甲、乙两个学生同时从同一起点沿着一个环形跑道相背而跑。甲每秒钟跑8米，乙每秒钟跑7米，经过20秒钟两人相遇。求环形跑道的周长。（适于五年级程度）
解：作图18-14。
从图中可看出，甲、乙两人跑的路程的总和就是圆的周长。根据“速度和×相遇时间=相遇路程”，可求出环形跑道的周长：
（7+8）×20=300（米）
答略。
问这块土地有多少公倾？（适于六年级程度）
解：作图18-15。
从图中可看出，第二天耕完这块土地的：
例3 有三堆棋子，这三堆棋子所含棋子的个数一样多，且都只有黑、白两色棋子。第一堆里的黑子与第二堆的白子一样多，第
棋子的几分之几？（适于六年级程度）
解：作图18-16。
从图中可看出，把第一堆里的黑子与第二堆里的白子交换，则第一堆全是白子，第二堆全是黑子。
因为第一堆与第二堆的棋子数相同，所以第一堆的白子数与第二堆的黑
所以，白子占全部棋子的：
*例4 甲、乙两人同时从环形路的同一点出发，同向环行。甲每分钟走70米，乙每分钟走46米。环形路的长是300米。他们出发后，在1小时20分里相会几次？到1小时20分时两人的最近距离是多少米？（适于五年级程度）
解：作图18-17。
甲、乙二人1分钟的速度差是：
70-46=24（米）
由二人出发到第一次相会所需的时间是：
300÷24=12.5（分）
1小时20分钟即为80分钟。80分钟内包含几个12.5分钟，二人即相会几次。80分钟内包括6个12.5分钟，还多5分钟，即二人相会6次。
由于第六次相会后还走5分钟，所以甲乙之间相隔：
24×5=120（米）
此时，甲、乙之间还有一个距离是：
300-120=180（米）
180＞120米
答：在1小时20分钟里两人相会6次；到1小时20分钟时，两人的最近距离是120米。
（八）染色图
在图中用不同的颜色表示不同的内容或不同的数量，以利于解题的图形叫染色图。染色图是解决数学题和智力题常用的一种图形。
*例1 图18-18是某湖泊的平面图，图中的所有曲线都表示湖岸。某人从岸边A点到B点至少要趟几次水？B点是在水中还是在岸上？（适于高年级程度）
解：这个问题好像很难解答。但我们按“图中所有曲线都是表示湖岸”的已知条件，将湖面染上色，湖岸部分就显示出来了，答案也就一目了然了（图18-19）。
答：他至少要趟3次水才能达到B处，B点在湖岸上。
* 例2 如图18-20，某展览馆有36个展室，每两个相邻展室之间均有门相通。问你能否从图中入口进去，不重复地参观完每个展室后，再从出口处出来？（适于高年级程度）
解：作图18-21。把图中36个方格相间地染上黑色。因入口处是白格，参观时若依顺序将展室编号，那么进入第奇数号展室时，应是白格位置；进第偶数号展室应是黑格。即应按白→黑→白→黑→……顺序交替参观。
参观者最后离开的是第36号展室，它是偶数，按上面的分析它应是黑格，但图中实际为白色方格。这说明题中要求的参观方式是不可能实现的。
答略。
*例3 将图18-22矩形 ABCD的一边AD分成6小段，其中线段1+线段3+线段5=线段2+线段4+线段6。连结对角线BD，用红（图中用横线表示）、蓝（图中用坚线表示）两色将图形分别染色。问图中染红色部分面积与染蓝色部分面积哪个大？（适于高年级程度）
解：此题利用三角形、梯形面积公式可算出结果，但较麻烦。用染色的方法解此题比较简捷。
先将图中BD线左下面的空白处染上黑色，用S红、S蓝、S黑分别表示染红、蓝、黑三种颜色图形的面积（图18-23）。
从图18-23很容易看到：
另外，S蓝+S黑等于3个小矩形面积的和，而它恰好等于矩形ABCD面积的一半，即：
这就是说：
S红+S黑=S蓝+S黑
从上面算式的两边同时减去S黑，得：
S红=S蓝
答：图中染红色部分的面积与染蓝色部分的面积一样大。
*例4 图18-24的图形是从4×4的正方形纸上剪去两个1×1的小方纸片后得到的。它们的面积都是14。若把它们剪成1×2的小矩形，最多能剪几个？为什么？（适于高年级程度）
解：图 18-24的三个图形除了（1）可以剪出 7个 1×2的小矩形外，（2）、（3）不管怎么剪，至多都只能剪出6个来。原因是：
分别用黑白两色对图形（1）、（2）、（3）相间地涂色（图18-25）。从它们上面剪下来的每一个小矩形都由两个相邻的小方格组成，这两个小方格上涂有不同的颜色，如图18-25中
（4）。既然每个1×2的小矩形都由一个白色格和一个黑色格组成（因为三个图形的面积都是14个方格，把它们剪成1×2的小矩形，照面积来算，似乎都应剪出7个来），要想剪出7个小矩形，当然得有7个白格和7个黑格，但在图18-25中，只有图形（1）是这样的，图形（2）、（3）都有8个白格和6个黑格。故它们只能剪出6个小矩形。
答略。
=3.2（公顷）
答略。
第十九讲 对应法
解应用题时要找出题中数量间的对应关系。如解平均数应用题需找出“总数量”所对应的“总份数”；解倍数应用题需找出具体数量和倍数的对应关系；解分数应用题需找出数量与分率的对应关系。因此，找出题中“对应”的数量关系，是解答应用题的基本方法之一。
用对应的观点，发现应用题数量之间的对应关系，通过对应数量求未知数的解题方法，称为对应法。
解答复杂的分数应用题，关键就在于找出具体数量与分率的对应关系。
（一）解平均数应用题
在应用题里，已知几个不相等的已知数及份数，要求出总平均的数值，称为求平均数应用题。
解平均数应用题，要找准总数量与总份数的对应关系，然后再按照公式
例1 同学们参加麦收劳动。第一天收麦16亩，第二天上午收麦8亩，下午收麦12亩。平均每天收麦多少亩？（适于三年级程度）
解：本题的总份数是2天（注意：总份数不是3天），2天所对应的总数量是（16+8+12）亩。
所以，平均每天收麦亩数是：
（16+8+12）÷2
=36÷2
=18（亩）
答略。例2 服装厂一、二月份共生产13356套服装，三月份生产12030套服装。第一季度平均每月生产多少套服装？（适于三年级程度）
解：本题的总份数是3个月（注意：不是2个月），与3相对应的总数是（13356+12030）套。
所以，平均每个月生产服装的套数是：
（13356+12030）÷3
=25386÷3
=8462（套）
答略。
例3 河南乡有两块稻谷实验田。第一块8亩，平均亩产稻谷550千克；第二块6亩，共产稻谷2880千克。这两块试验田平均亩产稻谷多少千克？（适于四年级程度）
解：求平均亩产量，总份数就是总亩数（8+6）亩，和总份数对应的总数量就是总产量（550×8+2880）千克。
所以，这两块试验田平均亩产稻谷的数量是：
（550×8+2880）÷（8+6）
=7280÷14
=520（千克）
答略。
例4 甲、乙两地相距 10.5千米。某人从甲地到乙地每小时走5千米，从乙地返回甲地每小时走3千米。求他往返的平均速度。（适于五年级程度）
解：有的同学以（5+3）÷2=4（千米/小时）这种方法解答此题。这个算式里没有某人走的总路程和与总路程所对应的时间，所以这种算法是错误的。
此题的总路程是 10.5×2千米，与总路程相对应的总时间是（10.5÷5+10.5+3）小时。
所以他往返的平均速度是：
10.5×2÷（10.5÷5+10.5÷3）
=21÷5.6
=3.75（千米/小时）
答略。
（二）解倍数应用题
已知两个数的倍数关系以及它们的和，求这两个数的应用题，称为和倍应用题；已知两个数的倍数关系以及它们的差，求这两个数的应用题，称为差倍应用题。
总起来讲，已知各数量之间的倍数关系和其他条件，求各个数量大小的这类应用题，就叫做倍数应用题。
在解倍数应用题时，要找准具体数量和倍数的对应关系。然后，利用下面的公式求出1倍数，使问题得到解决。
例1 甲、乙两筐中有重量相同的苹果。由甲筐卖出75千克，由乙筐卖出97千克后，甲筐剩下苹果的重量是乙筐剩下苹果重量的3倍。乙筐现在有苹果多少千克？（适于四年级程度）
解：根据“由甲筐卖出75千克，由乙筐卖出97千克后，甲筐剩下苹果的重量是乙筐剩下苹果重量的3倍”，可看出：
由甲筐卖出的少，由乙筐卖出的多，甲筐剩下的多，乙筐剩下的少；乙筐剩下的苹果是1倍数，甲筐剩下的苹果是3倍数。
甲筐剩下的苹果比乙筐剩下的苹果多：
3-1=2（倍）
这2倍数所对应的数量是：
97-75=22（千克）
因为乙筐剩下的苹果是1倍数，所以乙筐现在有苹果：
22÷2=11（千克）
答略。
例2 甲、乙两个粮库共存粮食107吨。甲库运出23吨粮食后，乙库所存粮是甲库的3倍。甲粮库原来存粮多少吨？（适于五年级程度）
解：由题意“甲库运出23吨粮食后，乙库所存粮食是甲库的3倍”可看出，甲库运出23吨粮食后，甲、乙两库共剩粮食：
107-23=84（吨）
甲库存粮是1倍数，乙库存粮是3倍数，84吨所对应的倍数是（1+3）倍。
所以，甲库现在存粮食：
84÷（1+3）=21（吨）
甲库原来存粮食：
21+23=44（吨）
答略。
例3 春光农场两组工人收桔子。第一组收的桔子是第二组所收桔子的3倍少50千克，比第二组多收3150千克。两组各收桔子多少千克？（适于五年级程度）
解：因为第一组收的桔子比第二组多3150千克，是第二组的3倍少50千克，所以，第二组收的是1倍数。如果在3150千克之上增加50千克，则第一组收的就是第二组的3倍。
3150+50=3200（千克）
这3200千克所对应的倍数是：
3-1=2（倍）
第二组所收的桔子是：
3200÷2=1600（千克）
第一组所收的桔子是：
1600×3-50
=4800-50
=4750（千克）
答略。
（三）解行程应用题
在距离、速度、时间三个量中，已知其中两个量而求另一个量的应用题叫做行程应用题。
它可以分为一般行程应用题、相向运动应用题、同向运动应用题（追及应用题）三类。
在解行程应用题时，要找准速度、时间和距离之间的对应关系，然后再按照公式“速度×时间=距离”、“速度和×相遇所需对间=原来相隔距离”、“速度差×追及所需时间=追及距离”来计算。
=30（千米）
答略。
*例2 一段路，客车行完要用12小时，货车行完要用15小时。现在两车同时从两地相向而行，相遇时客车行了150千米。求货车行了多少千米。（适于六年级程度）
解：作图19-1。
货车行的路程是：
270-150=120（千米）
答略。
（四）解分数应用题
用分数计算来解答的应用题，叫做分数应用题。
解：已知整袋的白糖重量是25千克，要求最后剩下的白糖的重量，就要求出最后剩下的白糖所对应的分率。
所以最后剩下的白糖是：
答略。
所以，两天一共修的米数是：
=135（米）
答略。
（五）解工程应用题
工程应用题，是叙述有关共同工作的问题。解答这类问题，是把全工程作为“1”。用工作的时间去除全工程“1”，可求单位时间的工作量；用单位时间的工作量去除全工程“1”，可求出完成工程所用的时间。
在解工程问题时，要找准工作效率、工作时间和工作量的对应关系，然后再按照公式“工作效率×工作时间=工作量”及其变形公式计算。
例1 甲、乙两人合做一批机器零件。甲单独做需要10小时完成，乙单独做需要15小时完成。两人合做5小时后，这批零件还剩30只。这批零件一共是多少只？（适于六年级程度）
解：把这批零件的只数看作单位“1”。甲单独做需要10小时完成，甲
剩余的工作量是：
答略。
例2一项工程，甲队单独做12天可以完成，甲队做了8天后，剩余的工程由乙队做了5天完成。问乙队单独做每天可以完成这项工程的几分之几？（适于六年级程度）
剩余的工作量是：
答略。
第二十讲 集合法
我们在研究一些问题时，可以把某一确定范围内的事物的全体看作是一个集合。例如，所有自然数就可以看作是一个集合。在小学一般用画图的方式表示集合，这种图叫作韦恩图（韦恩是英国数学家）。运用集合的思想，利用韦恩图进行解题的方法叫做集合法。
例1 五年级一班有48人。在午后自习时，做完语文作业的有37人，做完数学作业的有42人。语文、数学作业都做完的有多少人？（适于三年级程度）
解：由题意可知，做完语文作业的37人中有一部分只做完语文作业，另一部分既做完语文作业又做完数学作业。做完数学作业的42人中也是有一部分只做完数学作业，另一部分既做完数学作业又做完语文作业。
所以，如果我们用A圆圈表示做完语文作业的人数，用B圆圈表示做完数学作业的人数，则两个圆圈相交的阴影部分就表示语文、数学作业都做完的人数（如图20-1）。
从图中可以看出，语文、数学作业都做完的人数等于A圆圈的人数加上B圆圈的人数减去全班的总人数。
37+42-48=31（人）
答：语文、数学作业都做完的有31人。
例2 有110名学生参加书法和绘画比赛，参加书法比赛的有72人，既参加书法比赛又参加绘画比赛的有24人。参加绘画比赛的有多少人？（适于三年级程度）
解：可通过画如图20-2的韦恩图来分析题意。A圆圈表示参加书法比赛的人数，B圆圈表示参加绘画比赛的人数，两圆圈相交的阴影部分表示既参加书法比赛又参加绘画比赛的人数。由图可知，参加绘画比赛的人数应等于总人数减去只参加书法比赛的人数。而只参加书法比赛的人数等于A圆圈的人数减去相交阴影部分的人数。
只参加书法比赛的人数：
72-24=48（人）
参加绘画比赛的人数：
110-48=62（人）
答略。（适于六年级程度）
解：参加径赛的有：
根据题意作图20-3
从图中可以看出，只参加田赛的人数是：
276-230=46（人）
两种活动都参加的人数是：
184-46=138（人）
答略。
*例4 某班45名学生期末考试的成绩如下：语文90分以上的有14人，数学90分以上的有25人，语文和数学都不足90分的有17人。求语文、数学都在90分以上的有多少人？（适于五年级程度）
解：作图20-4。由图可看出，语文、数学一门或两门在90分以上的人数是：
45-17=28（人）
只语文在90分以上的人数是：
28-25=3（人）
只数学在90分以上的人数是：
28-14=14（人）
语文、数学都在90分以上的人数是：
28-（14+3）=11（人）
答略。*例5 学校气象小组有50名成员，其中负责观测的有19人，负责记录的有15人，既负责观测又负责记录的有7人。问：（1）只负责记录，不负责观测的有多少人？（2）只负责观测，不负责记录的有多少人？（3）气象小组有多少人负责其他工作？（适于高年级程度）
解：作图20-5。用A圆圈表示负责观测的人数，用B圆圈表示负责记录的人数，则两圆圈相交的阴影部分就表示既负责观测又负责记录的人数。
由图20-5可知，只负责记录，不负责观测的人数，等于负责记录的人数减去既负责观测又负责记录的人数；只负责观测，不负责记录的人数，等于负责观测的人数减去既负责观测又负责记录的人数；气象小组负责其他工作的人数，等于总人数减去负责观测和负责记录的人数，再加上既负责观测又负责记录的人数。
（1）只负责记录，不负责观测的人数：
15-7=8（人）
（2）只负责观测，不负责记录的人数为：
19-7=12（人）
（3）负责其他工作的人数为：
50-19-15+7=23（人）
答略。
*例6 某班有45名学生。据统计，喜爱足球、篮球、排球这三项运动的各有26人，喜爱其中两项运动的分别有13、14、15人。三项运动都喜爱的有多少人？（适于高年级程度）
解：用A圆圈表示喜爱足球的人数，B圆圈表示喜爱篮球的人数，C圆圈表示喜爱排球的人数。则A、B两圆圈相交的部分表示既喜爱足球又喜爱篮球的人数；B、C两圆圈相交的部分表示既喜爱篮球又喜爱排球的人数；A、C两圆圈相交的部分表示既喜爱足球又喜爱排球的人数；A、B、C三个圆圈相交的部分表示三项运动都喜爱的人数（图20-6）。
由图20-6可知，三项运动都喜爱的人数应等于班级的总人数减去喜爱足球、篮球、排球的人数，再加上既喜爱足球又爱篮球、既喜爱篮球又喜爱排球、既喜爱足球又喜爱排球的人数。
45-26×3+（13+14+15）
=45-78+42
=45+42-78
=87-78
=9（人）
答：三项运动都喜爱的有9人。
*例7 55名学生中，有18人参加合唱队，25人参加美术组，17人参加运动队，参加合唱队与美术组的共有36人，没有人既参加合唱队又参加运动队，什么组都没有参加的有5人，请回答：
（1）既参加合唱队又参加美术组的有多少人？
（2）只参加合唱队的有多少人？
（3）只参加美术组的有多少人？
（4）只参加运动队的有多少人？
（5）既参加运动队又参加美术组的有多少人？（适于高年级程度）
解：作图20-7。
因为参加合唱队与美术组的共有36人，所以：（1）既参加合唱队又参加美术组的人数是：
18+25-36=7（人）
（2）只参加合唱队的人数是：
18-7=11（人）
现在还不能求出只参加美术组的人数，先求出去掉既参加美术组又参加合唱队的7人，美术组剩下的人数是：
25-7=18（人）
因为在55名学生中，参加美术组、运动队的总人数是25+17=42（人），只参加合唱队的有11人，什么组都没有参加的有5人，参加美术、体育两项活动的实际人数是：
55-5-11=39（人）
所以：
（5）既参加运动队又参加美术组的人数是：
42-39=3（人）
（4）只参加运动队的人数是：
17-3=14（人）
（3）只参加美术组的人数是：
18-3=15（人）
答略。
第二十一讲 守恒法
应用题中的数量有的是变化的，有的是始终不变的。解应用题时，抓住始终不变的数量，分析不变的数量与其他数量的关系，从而找到解题的突破口，把应用题解答出来的解题方法，叫做守恒法，也叫抓不变量法。
（一）总数量守恒
有些应用题中不变的数量是总数量，用守恒法解题时要抓住这个不变的总数量。
例1 晶晶要看一本书，计划每天看15页，24天看完。如果要12天看完，每天要看多少页？如果改为每天看18页，几天可以看完？（适于三年级程度）
解：无论每天看多少页，总是看这一本书，只要抓住这本书的“总页数不变”这个关键，问题就好办了。
这本书的总页数是：
15×24=360（页）
如果要12天看完，每天要看的页数是：
360÷12=30（页）
如果改为每天看18页，看完这本书的天数是：
360÷18=20（天）
答略。
此题由于第一步是用乘法求出总数，因此也叫做“归总”应用题。
*例2 用一根铁丝围成一个长26厘米，宽16厘米的长方形。用同样长的铁丝围成一个正方形，正方形所围成的面积是多少？（适于三年级程度）
解：这根铁丝的长是不变的量，铁丝围成的长方形的周长和正方形的周长相同。即：
26×2+16×2
=52+32
=84（厘米）
正方形的边长是：
84÷4=21（厘米）
正方形所围成的面积是：
21×21=441（平方厘米）
答略。
解：书架上书总的本数是不变的数量，设它为单位1。从“上层书的本
书总的本数分成5份，上层的书占总本数的
因此，书总的本数是：
原来书架的上层有书：
原来书架的下层有书：
90-18=72（本）
（二）部分数量守恒
当应用题中不变的数量是题中的一部分数量时，要抓住这个不变的部分数量解题。
例1 一辆汽车，从甲站到乙站，要经过20千米的平路，45千米的上坡路，15千米的下坡路。如果这辆汽车在平路上每小时行40千米，在上坡路上每小时行30千米，在下坡路上每小时行45千米。照这样的速度行驶，这辆汽车在甲、乙两站间往返一次需要多少时间？（适于五年级程度）
解：无论汽车行驶在平路上、上坡路上，还是在下坡路上，每一段路上的速度是不变的。
这辆汽车往返一次共行：在平路（20+20）千米在上坡路（45+15）千米在下坡路（15+45）千米这辆汽车往返一次需要的时间是：
答略。
例2 有含盐15％的盐水20千克，要使盐水含盐10％，需要加水多少千克？（适于六年级程度）解：题中盐的重量是不变的数量，盐的重量是：
20×15％=3（千克）
在盐水含盐10％时，盐的对应分率是10％，因此盐水的重量是：
3÷10％=30（千克）
加入的水的重量是：
30-20=10（千克）
答略。
解：文艺书的本数是不变的数量。文艺书有：
=720（本）
从后来两种书总的本数中减去原来两种书总的本数，得到买进科技书的本数：
720-630=90（本）
综合算式：
=720-630
=90（本）
答略。
（三）差数守恒
当应用题中两个数量的差是不变的数量时，要抓住这个差，分析数量关系解题。
例1 父亲今年35岁，儿子5岁。多少年后父亲的年龄是儿子年龄的3倍？（适于四年级程度）
解：父子年龄的差是个不变的数量，始终是35-5=30（岁）
在父亲年龄是儿子年龄的3倍时，父子年龄的差恰好是儿子年龄的2倍。
因此，这时儿子的年龄是：
30÷2=15（岁）
15-5=10（年）
答：10年后父亲的年龄是儿子年龄的3倍。
*例2 小明有200个枣，大平有120个枣。两人吃掉个数相同的枣后，小明剩下的枣是大平剩下枣的5倍。问两个人一共吃掉多少个枣。（适于四年级程度）
解：两个人相差的枣的个数是不变的数量：
200-120=80（个）
两人吃掉个数相同的枣后，小明剩下的枣是大平剩下枣的5倍。这就是说大平剩下的枣是1份数，小明剩下的枣比大平剩下的枣多4份数。因为两人吃掉的枣的个数相同，所以相差数还是80个。这80个是4份数。
因此，大平剩下的枣是其中的一份数：
80÷4=20（个）
大平吃掉的枣是：
120-20=100（个）
因为两个人吃掉的枣一样多，所以一共吃掉枣：
100×2=200（个）
答略。
*例3 有甲、乙两个车间，如果从甲车间调出18人给乙车间，甲车间就比乙车间少3人；如果从两个车间各调出18人，乙车间剩下人数就是甲车间
解：由“从甲车间调出18人给乙车间，甲车间就比乙车间少3人”可看出，甲车间比乙车间多2个18人又少3人，即甲车间比乙车间多：
18×2-3=33（人）
由“从两个车间各调出18人，乙车间剩下的人数就是甲车间剩下人数的
甲车间原有的人数是：
88+18=106（人）
乙车间原有的人数是：
106-33=73（人）
答略。
*例4 甲种布的长是乙种布长的3倍。两种布各用去8米时，甲种布剩下的长是乙种布剩下长度的4倍。两种布原来各长多少米？（适于六年级程度）
解：甲、乙两种布的长度差是不变的数量，解题时要以这个不变的数量作为标准量。
原来乙种布的长是标准量的：
乙种布先后两个分率的差是：
乙种布的长是：
甲种布的长是：
48+24=72（米）
答略。
第二十二讲 两差法
解应用题时，首先确定一个标准数（即1倍数），再根据已知的两数差与倍数差，用除法求出1倍数，然后以此为基础，用乘法求出另一个数的解题方法，叫做两差法。用两差法一般是解答差倍问题。
差倍问题的数量关系是：
两数差÷倍数差=1倍数
1倍数×倍数=几倍数
较小数+两数差=较大数
例1 某厂女职工人数是男职工人数的6倍，男职工比女职工少65人。这个厂男女职工共有多少人？（适于四年级程度）
解：根据“人数差÷倍数差=1倍数”，有：
65÷（6-1）=13（人）
那么，这个厂男女职工共有的人数是：
13×（6+1）=91（人）
答略。
例2 小李买3本日记本，小华买同样的8本日记本，比小李多用2.75元。小李、小华两人分别用去多少钱？（适于五年级程度）
解：小华比小李多用2.75元（总价差），是因为小华比小李多买（8-3）本（数量差）日记本，用这两个差求出每本日记本的价钱。
小李用的钱数是：
0.55×3=1.65（元）
小华的钱数是：
0.55×8=4.40（元）
答略。例3 甲、乙两数的差是28，甲数是乙数的3倍。问甲乙两数各是多少？（适于四年级程度）
解：甲-乙=28，甲是乙的3倍，那么乙就是1倍数，28所对应的倍数是3-1=2（倍），则乙数可以求出。解法是：
28÷（3-1）=14……………………………乙数
14×3=42…………………………………甲数
答：甲数是42，乙数是14。
例4 一个植树小组植树。如果每人栽5棵，还剩14棵；如果每人栽7棵，就缺4棵。这个植树小组有多少人？一共有多少棵树苗？（适于五年级程度）
解：把题中的条件简要摘录如下：
每人5棵 剩14棵
每人7棵 缺4棵
比较两次分配的情况可看出，由于第二次比第一次每人多栽（7-5）棵，一共要多栽（14+4）棵树。根据两次每人栽的棵数差和所栽总棵数的差，可求出植树小组的人数，然后再求出原有树苗的棵数。
（14+4）÷（7-5）=9（人）……………………人数
5×9+14=59（棵）……………………………棵数
答略。
例5 用一个杯子向一个空瓶里倒水。如果倒进3杯水，连瓶共重440克；如果倒进5杯水，连瓶共重600克。一杯水和一个空瓶各重多少克？（适于五年级程度）
解：解这类题，要先找出“暗差”的等量关系，再找解题的最佳方法。
这道题的“暗差”有两个：一个是5-3=2（杯），另一个是600-440=160（克）。这里两个暗差的等量关系是：2杯水的重量=160克。
这样就能很容易求出一杯水的重量：
160÷2=80（克）
一个空瓶的重量：
440-80×3=200（克）
答略。
*例6 甲从西村到东村，每小时步行4千米。3.5小时后，乙因有急事，从西村出发骑自行车去追甲，每小时行9千米。问乙需要几小时才能追上甲？（适于高年级程度）
解：乙出发时，甲已经行了（4×3.5）千米，乙每行1小时便可比甲每小时多行（9-4）千米，那么（4×3.5）千米中含有几个（9-4）千米，乙追上甲就需要多少个小时。所以：
答：乙需2.8小时才能追上甲。
例6是典型的“追及问题”。由此可知，追及问题也可以利用两差法来解答。
*例7 某电风扇厂生产一批电风扇。原计划每天生产120台电风扇，实际每天比原计划多生产30台，结果提前12天完成任务。这批电风扇的生产任务是多少台？（适于高年级程度）
解：在同样的时间（计划天数）里，实际比原计划多生产电风扇的台数是：（120+30）×12。因为实际每天比原计划多生产30台，因此：
计划完成任务的天数是60天，那么这批电风扇的生产任务就是：
120×60=7200（台）
答略。
*例8 甲每小时走5千米，乙每小时走4千米，两人同走一段路，甲比乙少用了3小时。问这段路长多少千米？（适于五年级程度）
解：解答这道题应从“差异”入手。因为凡是发生差异必定有它的道理。题中的差异是“甲比乙少用了3小时”，抓住它作如下追问，即可发现解题途径。
为什么会“甲比乙少用了3小时”？因为甲比乙的速度快。
（1）在3个小时里甲比乙多走多少千米的路呢？在3小时里甲比乙正好多走：
4×3=12（千米）
（2）甲每小时可以追上乙多少千米呢？
5-4=1（千米）
（3）走完这12千米的差数甲要走几小时呢？
12÷1=12（小时）
（4）这段路长多少千米？
5×12=60（千米）
综合算式：
5×[4×3÷（5-4）]
=5×[12÷1]
=5×12
=60（千米）
答略。
解：此题是“差倍”问题的变形。
答略。
两堆煤原来各有多少吨？（适于六年级程度）
解：这里已知两堆煤的总数和运走的总数，不知道两堆煤在总数中占多大比率，也无法把运走的煤分为甲堆运走的和乙堆运走的。虽然知道甲堆运
知道，无法发生联系，因此这两个分率无法参加运算。
本题的难点在于两堆煤运走的分率不同，若分率相同，分析就会有所进展。
然后再看假设引出了什么差异。已知条件告诉我们共运走180吨，与方才算得的162吨相差180-162=18（吨），为什么会产生这18吨的差异呢？
270-120=150（吨）……………………甲堆
答略。
*例11 祖父给兄弟二人同样数目的零花钱，祖母给了哥哥1100日元，给了弟弟550日元，这样兄弟二人所得到的零花钱数的比为7∶5。求祖父给兄弟二人的钱数都是多少日元？（适于六年级程度）
解：因为祖父给兄弟二人的钱数相同，所以祖母给兄弟二人的钱数之差，就是他们分别得到的所有零花钱钱数之差。
1100-550=550（日元）
由兄弟二人所得到的零花钱钱数的比为7∶5可知，把哥哥的钱看成是7份的话，弟弟的钱数就是5份，它们相差：
7-5=2（份）
所以，每一份的钱数是：
550÷2=275（日元）
哥哥有零花钱：
275×7=1925（日元）
其中祖父给的是：
1925-1100=825（日元）
答：祖父给兄弟二人的钱都是825日元。
*例12 一位牧羊人赶着一群羊走过来，小明问他：“你的羊群里有山羊、绵羊各几只？”牧羊人说：“山羊的只数加上99只就是绵羊的只数，绵羊的只数加上99只就是山羊的3倍，你去算吧。”请你帮助小明算一算。（适于五年级程度）
解：由“山羊的只数加上99只就是绵羊的只数”知道，绵羊比山羊多99只。由“绵羊的只数加上99只就是山羊的3倍”知道，绵羊的只数加上99只后，绵羊的只数比山羊多（99+99）只。此时，如果把山羊只数看作1倍，绵羊只数就是3倍，比山羊多（3-1）倍，这（3-1）倍正好是（99+99）只（图22-1）。用除法可以求出1倍数（山羊只数），再用加法就可以求出绵羊只数。
（99+99）÷（3-1）
=198÷2
=99（只）…………………山羊只数
99+99=198（只）…………绵羊只数
答略。
*例13 某工厂有大、小两个车间。如果从小车间调10人到大车间，则大车间的人数是小车间的3倍；如果从大车间调30人到小车间，则两个车间的人数相等。求大、小两个车间各有多少人？（适于高年级程度）
解：根据“如果从大车间调30人到小车间，则两个车间的人数相等”知道，大车间比小车间多30×2人；根据“如果从小车间调10人到大车间，则大车间的人数是小车间的3倍”知道，这样调动后，大车间比小车间多（30×2+10×2）人。把调动后小车间的人数看作1倍数，则大车间的人数就是3倍数，比小车间的人数多（3-1）倍数，这（3-1）倍数正好是（30×2+10×2）人。用除法可以求出1倍数（调动后，小车间人数），加上10就得小车间原有人数。
（30×2+10×2）÷（3-1）+10
=80÷24+10
=50（人）………………（小车间原有人数）
50+30×2=110（人）…（大车间原有人数）
答略。
在差倍问题中，有一类比较特殊，这就是年龄问题。年龄问题一般用差倍问题的解题思路、计算公式来分析、解答。但要注意年龄问题所单独具有的“定差”特点，即大、小两个年龄，相当于大、小两个数，无论现在、过去、将来，这两个年龄的差不变。抓住这个特点，再利用差倍问题的数量关系和解题方法，便可解答年龄问题。
*例14 今年哥哥18岁，弟弟8岁。问几年前哥哥的年龄是弟弟的3倍？（适于高年级程度）
解：作图22-2。
哥哥和弟弟年龄之差（18-8）岁始终不变。把几年前弟弟的年龄看作1倍数，哥哥的年龄就是3倍数，比弟弟多（3-1）倍数，这（3-1）倍数正好对应于（18-8）岁。用除法可以求出1倍数，就是几年前弟弟的年龄，再用减法便可求出几年前哥哥的年龄是弟弟的3倍。
8-（18-8）÷（3-1）=3（年）
答略。
*例15 今年父亲40岁，儿子4岁。问几年后父亲的年龄是儿子的4倍？（适于高年级程度）
解：作图22-3。
父子年龄之差（40-4）岁始终不变。把几年后儿子的年龄看作1倍数，父亲的年龄就是4倍数，比儿子多（4-1）=3倍数，这（4-1）倍数正好对应于（40-4）岁。用除法可求出1倍数，即几年后儿子的年龄，再用减法便可求出几年后父亲的年龄是儿子的4倍。
（40-4）÷（4-1）-4
=36÷3-4
=8（年）
答略。
第二十三讲 比例法
比和比例是传统算术的重要内容，在较早的年代，许多实际问题都是应用比和比例的知识来解答的。近年来，小学数学教材中比和比例的内容虽然简化了，但它仍是小学数学教学的重要内容之一，是升入中学继续学习的必要基础。
用比例法解应用题，实际上就是用解比例的方法解应用题。有许多应用题，用比例法解简单、方便，容易理解。
用比例法解答应用题的关键是：正确判断题中两种相关联的量是成正比例还是成反比例，然后列成比例式或方程来解答。
（一）正比例
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。
如果用字母x、y表示两种相关联的量，用k表示比值（一定），正比例的数量关系可以用下面的式子表示：
例1 一个化肥厂4天生产氮肥32吨。照这样计算，这个化肥厂4月份生产氮肥多少吨？（适于六年级程度）
解：因为日产氮肥的吨数一定，所以生产氮肥的吨数与天数成正比例。
设四月份30天生产氮肥x吨，则：
答略。
例2 某工厂要加工1320个零件，前8天加工了320个。照这样计算，其余的零件还要加工几天？（适于六年级程度）
解：因为每一天加工的数量一定，所以加工的数量与天数成正比例。
还需要加工的数量是：
1320-320=1000（个）
设还需要加工x天，则：
例3 一列火车从上海开往天津，行了全程的60％，距离天津还有538千米。这列火车已行了多少千米？（适于六年级程度）
解：火车已行的路程∶剩下的路程=60％∶（1-60％）=3∶2。
设火车已行的路程为x千米。
答略。
米。这时这段公路余下的长度与已修好长度的比是2∶3。这段公路长多少米？（适于六年级程度）
解：余下的长度与已修好长度的比是2∶3，就是说，余下的长度是已
这段公路的长度是：
答略。
（二）反比例
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。
如果用字母x、y表示两种相关联的量，用k表示积（一定），反比例的数量关系可以用下面的式子表达：
x×y=k（一定）
例1 某印刷厂装订一批作业本，每天装订2500本，14天可以完成。如果每天装订2800本，多少天可以完成？（适于六年级程度）
解：由于要装订的本数一定，因此，每天装订的本数与可以装订的天数成反比例。
设x天可以完成，则：
答略。
例2 一项工程，原来计划30人做，18天完成。现在减少了3人，需要多少天完成？（适于六年级程度）
解：工作总量一定，每人的工作效率也是一定的，所以所需要的人数与天数成反比例。
现在减少3人，现在的人数就是：
30-3=27（人）
设需要x天完成，则：
答略。
例3 有一项搬运砖的任务，25个人去做，6小时可以完成任务；如果相同工效的人数增加到30人，搬运完这批砖要减少几小时？（适于六年级程度）
解：题中的总任务和每人的工作效率一定，所以搬运砖的人数与所需要的时间成反比例。
设增加到30人以后，需要x小时完成，则：
6-5=1（小时）
答：增加到30人后，搬运完这批砖要减少1小时。
例4 某地有驻军3600人，储备着吃一年的粮食。经过4个月后，复员若干人。如果余下的粮食可以用10个月，求复员了多少人？（适于六年级程度）
解：按原计划，4个月后余下的粮食可以用：
12-4=8（个月）
因为复员一部分人后，人数少了，所以原来可以用8个月的粮食，现在就可以用10个月。
粮食的数量一定，人数与用粮的时间成反比例。
设余下的粮食供x人吃10个月，则：
答：复员了720人。
（三）按比例分配
按比例分配的应用题可用归一法解，也可用解分数应用题的方法来解。
用归一法解按比例分配应用题的核心是：先求出一份是多少，再求几份是多少。这种方法比解分数应用题的方法容易一些。用解分数应用题的方法解按比例分配问题的关键是：把两个（或几个）部分量之比转化为部分量占总量的（几个部分量之和）几分之几。这种转化稍微难一些。然而学会这种转化对解答某些较难的比例应用题和分数应用题是有益的。
究竟用哪种方法解，要根据题目的不同，灵活采用不同的方法。
有些应用题叙述的数量关系不是以比或比例的形式出现的，如果我们用按比例分配的方法解这样的题，要先把有关数量关系转化为比或比例的关系。
1.按正比例分配
甲、乙、丙三个数的连比是：
4+5+8=17
答略。
例2 有甲、乙、丙三堆煤，甲堆比乙堆多12.5％，乙堆比丙堆少
解：因为甲堆比乙堆多12.5％，所以要把乙堆看作“1”，这样甲堆就是（1+12.5％）。
甲∶乙=（1+12.5％）∶1=9∶8
甲∶乙∶丙=9∶8∶10
已知甲堆比丙堆少6吨，这6吨所对应的份数是1，所以，甲堆煤的吨数是：
6×9=54（吨）
乙堆煤的吨数是：
6×8=48（吨）
丙堆煤的吨数是：
6×10=60（吨）
答略。
2.按反比例分配
*例1 某人骑自行车往返于甲、乙两地用了10小时，去时每小时行12千米，返回时每小时行8千米。求甲、乙两地相距多少千米？（适于六年级程度）
解：此人往返的速度比是：
12∶8=3∶2
因为在距离一定的情况下，时间与速度成反比例，所以，由此人往返的速度比是3∶2，可推出此人往返所用的时间比是2∶3。
去时用的时间是：
两地之间的距离：
12×4=48（千米）
答略。
*例2 一个文艺演出队去少数民族地区慰问演出，路上共用了110个小
这也是骑马、乘轮船、坐火车的时间比。
将110小时按8∶2∶1的比例分配。
骑马的时间是：
坐火车的时间是：
答略。
3.按混合比例分配
把价格不同、数量不等的同类物品相混合，已知各物品的单价及混合后的平均价（或总价和总数量），求混合量的应用题叫做混合比例应用题。混合比例应用题在实际生活中有广泛的应用。
*例1 红辣椒每500克3角钱，青辣椒每500克2角1分钱。现将红辣椒与青辣椒混合，每500克2角5分钱。问应按怎样的比例混合，菜店和顾客才都不会吃亏？（适于六年级程度）
解：列出表23-1。
表23-1
表中，价格一栏是根据题意填的，其他栏目是在分析题的过程中填的。
混合后的辣椒是每500克卖2角5分钱，而混合辣椒中红、青两种辣椒的比不能是1∶1，因为在混合后的辣椒中每有500克红辣椒，红辣椒就要少卖5分钱，所以应算是每500克红辣椒损失了5分钱，在“损”一栏中，横对红辣椒和3角，填上5分；又因为在混合后的辣椒中每有500克青辣椒，青辣椒就要多卖4分钱，所以应算是每500克青辣椒多卖了（益）4分钱，在“益”一栏中，横对青辣椒和2角1分，填上4分。
5与4的最小公倍数是20。
20÷5＝4，20÷4＝5，
只有在混合的辣椒中，有4份的红辣椒，5份的青辣椒，500克混合后的辣椒正好卖2角5分钱。
4份的红辣椒是4个500克，它的价钱是，
0.3×4=1.2（元）
5份的青辣椒是5个500克，它的价钱是，
0.21×5=1.05（元）
4份红辣椒与5份青辣椒的总价是，
1.2+1.05=2.25（元）
而9个500克的混合辣椒的总价是，
0.25×9=2.25（元）
9份（9个500克）红辣椒和青辣椒的总价正好与9个500克混合辣椒的总价相等。
所以在混合的辣椒中，红辣椒与青辣椒的比应是4∶5。这个比正好是益损两数比的反比。
答略。
*例2 王老师买甲、乙两种铅笔共20支，共用4元5角钱。甲种铅笔每支3角，乙种铅笔每支2角。两种铅笔各买多少支？（适于六年级程度）
解：20支铅笔的平均价格是：
4.5÷20=0.225（元）=2.25（角）
列出表23-2。
表23-2
因为甲种铅笔每支3角，而平均价格是每支2.25角，所以每支甲种铅笔损失了0.75角钱。在表中“损”一栏横对“甲”填上0.75角/支；因为乙种铅笔每支2角，而平均价格是每支2.25角，所以每支乙种铅笔是增加（益）了0.25角。在表中“益”一栏横对“乙”填上0.25角/支。
两种铅笔的混合比，正好是损、益两数比的反比，所以在混合比一栏中，横对甲填0.25，而横对乙填0.75。把0.25和0.75化简后得1和3。
现在可以认为两种铅笔的总份数是：
1+3=4（份）
甲种铅笔的支数是：
乙种铅笔的支数是：
答略。
（四）连比
如果甲数量与乙数量的比是a∶b，乙数量与丙数量的比是b∶c，那么表示甲、乙、丙三个数量的比可以写作a∶b∶c，a∶b∶c就叫做甲、乙、丙三个数量的连比。
注意：“比”中的比号相当于除号，也相当于分数线，而“连比”中的比号却不是相当于除号、分数线。
*例1 已知甲数和乙数的比是5∶6，丙数和乙数的比是7∶8，求这三个数的连比。（适于六年级程度）
解：已知甲、乙两数的比是5∶6，丙数与乙数之比为7∶8，即乙数与丙数之比为8∶7。第一个比的后项是6，第二个比的前项为8，这说明甲、丙两个数不是以相同标准划分的，甲、乙、丙三个数不能直接写成连比。
用下面的方法可以统一甲、丙的标准，把甲、乙、丙三个数写成连比。把5扩大8倍，得40；把6扩大8倍，得48。把6扩大8倍得48，也就是把8扩大6倍，得48，所以也要把7扩大6倍得42。
甲、乙、丙三个数的连比是：4O∶
48∶42=20∶24∶21。
答略。
*例2 甲、乙、丙三堆煤共重1480吨，已知甲堆煤重量的
又根据，甲∶乙=3∶2，乙∶丙=5∶6，可求出甲、乙、丙三个数的连比是：
甲∶乙∶丙=15∶10∶12
把1480吨煤按15∶10∶12的比例分配。
甲堆煤重：
乙堆煤重：
答略。
答略。
第二十四讲 转换法
解答应用题时，通过转换（即转化）题中的情节，分析问题的角度、数据……从而较快找到解题思路，或简化解题过程的解题方法叫做转换法。
（一）转换题中的情节
转换题中的情节是运用联想改变原题的某个情节，使题目变得易于解答。
14+6=20（吨）
30吨所对应的分率是：
答略。
例2 一项工程，甲、乙两队合做要用12天完成。如果甲队先独做16天，余下的再由乙队独做6天完成。如果全部工程由甲队独做，要用几天完成？（适于六年级程度）
解：求甲队独做要用几天完成全部工程，得先求出甲队的工作效率。可是题中已知的是甲、乙合做要用的时间，和甲、乙一前一后独做的时间，很难求出甲的工作效率。如果将“一前一后独做”这一情节变换为“先合做，后独做”就便于解题了。可这样设想，从甲队的工作量中划出6天的工作量与乙队6天的工作量合并起来，也就是假定两队曾经合做了6天。情节这样变动后，原题就变换成：
一项工程，甲、乙两队合做要用12天完成，这项工程先由甲乙两队合做6天后，余下的工程由甲队单独做10天完成。如果全部工程由甲队独做要用几天完成？
这样就很容易求出甲队的工作效率是：
甲队独做完成的时间是：
答略。
（二）转换看问题的角度
解应用题时，如果看问题的角度不适当就很难解出题。如果转换看问题的角度，把原来从正面看问题转换为从侧面看或从反面看，把这一数量转换为另一数量进行分析，就可能找到解题思路。
解：一般都沿着女工占总人数的分率去寻找与之相对应的具体人数，但这样往往会误入歧途，难以找到正确答案。不如根据女工所占分率，换一个角度，想一想男工的情况。
男工人数便占总人数的：
后来女工的总人数是：
=560-480
=80（人）
答略。
*例2 求图24-1中阴影部分的面积。（单位：厘米）（适于六年级程度）
解：如果直接计算图中阴影部分的面积，几乎是不可能的。如果把角度转换为，从大扇形面积减去右面空白处的面积，就容易求出阴影部分的面积了。
=200.96-81.5
=119.46（平方厘米）
答：阴影部分的面积是119.46平方厘米。
（三）转换题中的数据
转换题中的数据就是将题中已知的数据进行等价变换，从而协调各个数据之间的关系。
例1 两辆汽车同时从相距465千米的两地相对开出，4.5小时后两车还相距120千米。一辆汽车每小时行37千米。另一辆汽车每小时行多少千米？（适于五年级程度）
解：如果两地的距离减少120千米，两车经过4.5小时正好相遇，两车4.5小时行的路程是：
465-120=345（千米）
两车的速度之和是：
综合算式：
（465-120）÷4.5-37
=345÷4.5-37
解：如果从分数角度分析，不易找出数量间的关系。如果把分数转换为比来分析，就会得出，第一天与第二天种的棵数的比是3∶5，第二天与第三天种的棵数比是5∶6。
所以，第一、二、三天种的棵数的比是3∶5∶6。
第一天种：
第三天种：
答略。
（四）转换为统一标准
当题中两个或几个数量的单位“1”不统一，不便于解答时，如把某个数量作为标准单位“1”，把其他数量转化为以它为标准的分率，就会突破障碍，顺利解题。
例1甲、乙、丙、丁四人合买一批化肥。甲付的钱是其他人所付钱数之
解：把甲、乙、丙、丁所付钱数统一为以总数量作为标准量的分率。由
答略。
色电视机的台数没有发生变化，我们以彩色电视机的台数作为单位
彩色电视机的台数是：
黑白电视机的台数是：
答略。
（五）转换隐蔽条件为明显条件
有些应用题的解题条件十分隐蔽。认真体会题中字、词、句的含义，看清这些字、词、句实质上说的是什么，必要时借助图形分析，或适当改变题中的条件，就可能把原来题中隐蔽的条件转换为明显条件，从而较快解题。
*例1甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，相向而行，在离B点18千米的地方相遇。相遇后二人继续往前行，甲到B地和乙到A地立即返回，在离A地8千米的地方又相遇。求A、B两地相距多少千米？（适于高年级程度）
解：解答此题的条件十分隐蔽。借助图24-2分析问题，可将隐蔽条件转换为明显条件。
（1）从开始出发到二人第一次相遇，甲、乙共同走完一个全程的路程，其中乙走了18千米。这就是说甲、乙二人共同走完一个全程的路程时乙走18千米，若共同走完三个全程，那么乙就走18×3千米的路程。
（2）甲、乙第二次相遇时，二人走了三个全程的路程，而乙走了一个全程加8千米。
（3）乙走的一个全程加8千米应等于18×3千米，所以，A、B两地的距离是：
18×3-8=46（千米）
答：甲乙两地相距46千米。
220-100=120（千克）…………………甲袋米重
答略。
（六）转换叙述方式
对数量关系复杂、不易理出头绪、不易分析解答的应用题，经过逐字、逐句地分析，弄清每一句话的意思，然后转换原题的叙述方式，就可化繁为简，化难为易，使原题变得易于解答。
*例1李老师带领学生植100棵树。李老师先植一棵，然后对同学们说：“男同学每人植两棵，女同学每两人合植一棵。”这样正好把余下的树苗植完。问李老师带领的学生中有多少名男生，多少名女生？（适于高年级程度）
解：逐层分析每一句话的意思。李老师植一棵，那么学生就是植了99棵；男同学每人植两棵，女同学每两人合植一棵，可以看作一名男生和两名女生组成一组，植树3棵。
99÷3=33（组）
这样就可以认为学生正好分成33组。
根据上面的分析，上面的题就可以这样叙述：
有33组学生去植树，每一组学生中有一名男生、两名女生。求去植树的学生中有多少名男生、女生？
1×33=33（名）………………………………………男生人数
2×33=66（名）………………………………………女生人数
答：有男生33名，有女生66名。
*例2 一位天文爱好者说：“土星直径比地球直径的9倍还多4800千米，土星直径除以24等于水星直径，水星直径加上2000千米等于火星直径，火星直径的一半减去500千米等于月亮直径，月亮直径是3000千米。求地球直径是多少千米？（适于高年级程度）
解：把原题倒过来叙述：月亮直径是3000千米，月亮直径加上500千米后的2倍等于火星直径，火星直径减去2000千米等于水星直径，水星直径的24倍等于土星直径，土星直径减去4800千米是地球直径的9倍。
水星直径：
（3000+500）×2-2000=5000（千米）
土星直径：
5000×24=120000（千米）
地球直径：
（120000-4800）÷9=12800（千米）
答略。
（七）转换解题的方法
当题目用通常方法很难解答或不能解答时，应转换解题方法，使问题得到解决。
例1 汽车7小时行300千米，照这样计算，行驶7500千米需要多少小时？（适于三年级程度）
解：此题如果这样考虑，求行7500千米需要多少小时，要先求出汽车每小时行多少千米，然后7500千米再除以汽车每小时的速度，即：7500÷（300÷7）
这样列式计算时，小括号内的300÷7是除不尽的，三年级的学生还没学过计算小数的近似值。本题用上面的方法列式解答看来不行，应换一种解题方法。
如果求出7500千米中含有多少个300千米，就可求出这辆汽车行多少个7小时。这时可这样列式解答：
7×（7500÷300）
=7×25
=175（小时）
答：行驶7500千米需要175小时。
*例2 一个长方体，表面积是66.16平方分米，底面积是19平方分米，底面周长是17.6分米。这个长方体的高是多少分米？（适于五年级程度）
解：以一般方法解此题，求长方形的高，需要用底面积去除体积。可是已知条件中没有体积，而且不容易求出，这就需要转换解题方法。
题中已知长方体的表面积。因为长方体共有6个面，每一对相对面的面积相等，所以可以把表面积转化为三个不同面积之和：
66.16÷2=33.08（平方分米）
又因为底面积已知，所以可求出另外两个面的面积之和：
33.08-19=14.08（平方分米）
14.08平方分米这个面积是由“长×高+宽×高=（长+宽）×高”得到的。
14.08平方分米这个面积的长（即长与宽的和）是：
17.6÷2=8.8（分米）
所以，这个长方体的高是：
14.08÷8.8=1.6（分米）
答略。
例3 一辆快车和一辆慢车同时分别从A、B两站相对开出，经过4小时后两车相遇。相遇后快车继续行驶3小时到达乙地。已知慢车每小时比快车少行15千米。求A、B两站相距多少千米？（适于六年级程度）
解：此题要是依靠具体的数量进行分析，解题就会遇到困难。如果转换解题思路，用解工程问题的方法可化难为易。
慢车每小时行全程的：
A、B两地的距离是：
答略。

第二十五讲 假设法
当应用题用一般方法很难解答时，可假设题中的情节发生了变化，假设题中两个或几个数量相等，假设题中某个数量增加了或减少了，然后在假设的基础上推理，调整由于假设而引起变化的数量的大小，题中隐蔽的数量关系就可能变得明显，从而找到解题方法。这种解题方法就叫做假设法。
用假设法解应用题，要通过丰富的想象，假设出既合乎题意又新奇巧妙，既简单又便于计算的条件。
有些用一般方法能解答的应用题，用假设法解答可能更简捷。
（一）假设情节变化
解：假设篮球没有借出，足球借出一个，那么，可以把现有篮球的个数看作是3份数，把现有足球的个数看作2份数，两种球的总份数是：
3+2=5（份）
原来篮球的个数是：
原来足球的个数是：
21-12=9（个）
答略。
例2 甲乙两个煤场共存煤92吨，从甲场运出28吨后，乙场的存煤比甲场的4倍少6吨。两场原来各存煤多少吨？（适于六年级程度）
解：假设从甲场运出的不是28吨，而是比28吨少6吨的22吨，那么，乙场的存煤数就正好是甲场的4倍，甲场的存煤是1份数，乙场的存煤是4
甲场原来存煤：
92-50=42（吨）
答略。（二）假设两个（或几个）数量相等
例1有两块地，平均亩产粮食185千克。其中第一块地5亩，平均亩产粮食203千克。如果第二块地平均亩产粮食170千克，第二块地有多少亩？（适于五年级程度）
解：假设两块地平均亩产粮食都是170千克，则第一块地的平均亩产量比两块地的平均亩产多：
203-170=33（千克）
5亩地要多产：
33×5=165（千克）
两块地实际的平均亩产量比假设的平均亩产量多：
185-170=15（千克）
因为165千克中含有多少个15千克，两块地就一共有多少亩，所以两块地的亩数一共是：
165÷15=11（亩）
第二块地的亩数是：
11-5=6（亩）
答略。
解：此题可以有三种答案。
答：剩下的两根绳子一样长。
答：甲绳剩下的部分比乙绳剩下的部分长。
（3）假设两根绳子都比1米长。任意假定为1.5米，则甲绳剪去
答：乙绳剩下的部分比甲绳剩下的部分长。
例3一项工作，甲、乙两队单独做各需要10天完成，丙队单独做需要7.5天完成。在三队合做的过程中，甲队外出1天，丙队外出半天。问三队合做完成这项工作实际用了几天？（适于六年级程度）
解：假设甲没有外出，丙也未外出，也就是说，甲、乙、丙三个队的工作天数一样多，则三队合做的工作量可达到：
三队合做这项工作，实际用的天数是：
答略。
*例4 一项工程，甲、乙两队合做80天完成。如果先由甲队单独做72天，再由乙队单独做90天，可以完成全部工程。甲、乙两队单独完成全部工程各需要用多少天？（适于六年级程度）
解：假设甲队做72天后，乙队也做72天，则剩下的工程是：
乙队还需要做的时间是：
90-72=18（天）
乙队单独完成全部工程的时间是：
甲队单独完成全部工程的时间是：
答略。
（三）假设两个分率（或两个倍数）相同
*例1某商店上月购进的蓝墨水瓶数是黑墨水瓶数的3倍，每天平均卖出黑墨水45瓶，蓝墨水120瓶。过了一段时间，黑墨水卖完了，蓝墨水还剩300瓶。这个商店上月购进蓝墨水和黑墨水各多少瓶？（适于高年级程度）
解：根据购进的蓝墨水是黑墨水的3倍，假设每天卖出的蓝墨水也是黑墨水的3倍，则每天卖出蓝墨水：
45×3=135（瓶）
这样，过些日子当黑墨水卖完时蓝墨水也会卖完。实际上，蓝墨水剩下300瓶，这是因为实际比假设每天卖出的瓶数少：
135-120=15（瓶）
卖的天数：
300÷15=20（天）
购进黑墨水：
45×20=900（瓶）
购进蓝墨水：
900×3=2700（瓶）
答略。
*例2 甲、乙两个机床厂今年一月份都超额完成了生产计划，甲厂完成计划的112％，乙厂完成计划的110％。两厂共生产机床400台，比原计划超产40台。两厂原计划各生产多少台机床？（适于六年级程度）
解：假设两个厂一月份都完成计划的110％，则两个厂一月份共生产机床：
（400-40）×110％=396（台）
甲厂计划生产：
（400-396）÷（112％-110％）
=4÷2％
=200（台）
乙厂计划生产：
400-40-200=160（台）
答略。
（四）假设某个数量不比其他数量多或不比其他数量少
例1 某校三、四年级学生去植树。三年级去150人，四年级去的人数比三年级人数的2倍少20人。两个年级一共去了多少人？（适于三年级程度）
解：假设四年级去的人数正好是三年级的2倍，而不是比三年级的2倍少20人，则两个年级去的人数正好是三年级人数的3倍。
两个年级去的人数是：
150×3=450（人）
因为实际上，四年级去的人数比三年级2倍少20人，所以两个年级去的实际人数是：
450-20=430（人）
答略。
*例2 甲、乙、丙三个乡都拿出同样多的钱买一批化肥。买好后，甲、丙两个乡都比乙乡多18吨，因此甲乡和丙乡各给乙乡1800元。问每吨化肥的价格是多少元？（适于高年级程度）
解：假设甲、丙两个乡买的化肥不比乙乡多18吨，而是与乙乡买的同样多，则应把多出来的2个18吨平均分。平均分时每个乡多得：
18×2÷3=12（吨）
因为甲、丙两个乡都比乙乡多得18吨，而平均分时每个乡得12吨，所以乙乡实际比甲、丙两个乡都少：
18-12=6（吨）
每吨化肥的价格：
1800÷6=300（元）
答略。
（五）假设某个数量增加了或减少了
6-4=2（人）
全班人数是：
女生人数是：
答略。
*例2 学校运来红砖和青砖共9750块。红砖用去20％，青砖用去1650块后，剩下的红砖和青砖的块数正好相等。学校运来红砖、青砖各多少块？（适于六年级程度）
解：假设少运来1650块青砖，则一共运来砖：
9750-1650=8100（块）
以运来的红砖的块数为标准量1，则剩下的红砖的分率是：
1-20％=80％
因为剩下的红砖的块数与青砖的块数正好相等，所以青砖的分率也是80％。
因为8100块中包括全部红砖和红砖的（1-20％）（青砖），所以8100块的对应分率是（1+1-20％）。运来的红砖是：
（9750-1650）÷（1+1-20％）
=8100÷1.8
=4500（块）
运来的青砖是：
9750-4500=5250（块）
答：运来红砖4500块，运来青砖5250块。
（六）假设某个数量扩大了或缩小了
例1 把鸡和兔放在一起共有48个头、114只爪和脚。鸡和兔各有多少只？（适于四年级程度）
解：假设把鸡爪和兔子脚的只数都缩小2倍，则鸡爪数和鸡的头数一样多，兔的脚数是兔头数的2倍。
这样就可以认为，114÷2所得商中含有全部鸡的头数，也含有兔子头数2倍的数，而48中包含全部鸡的头数和兔子头数1倍的数。
所以兔的只数是：
114÷2-48=9（只）
鸡的只数是：
48-9=39（只）
答略。
解：假设把从甲、乙两堆煤里取出的煤的数量扩大4倍，则从两堆煤取出的总数量比原来的两堆煤多：
708×4-2268
=2832-2268
=564（千克）
甲堆煤的重量是：
乙堆煤的重量是：
2268-940=1328（千克）
答略。
第二十六讲 设数法
当应用题中没有解题必需的具体的数量，并且已有数量间的关系很抽象时，如果假设题中有个具体的数量，或假设题中某个未知数的数量是单位1，题中数量之间的关系就会变得清晰明确，从而便于找到解答问题的方法，我们把这种解答应用题的方法叫做设数法。
实际上设数法是假设法中的一种方法，因为它的应用比较多，所以我们把它单列为一种解题方法。
在用设数法解答应用题设具体数量时，要注意两点：一是所设数量要尽量小一些；二是所设的数量要便于分析数量关系和计算。
（一）设具体数量
例1 一艘轮船从甲港开往乙港，去时顺水，每小时行驶30千米；返回时逆水，每小时行驶20千米。求这艘轮船往返的平均速度。（适于五年级程度）
解：甲、乙两港之间的路程没有给，要求往返的平均速度就比较困难。我们可以设甲、乙两港之间的路程为60千米（60是轮船往返速度30和20的最小公倍数）。
这样去时用的时间是：
60÷30=2（小时）
返回时用的时间是：
60÷20=3（小时）
往返一共用的时间是：
3+2=5（小时）
往返的平均速度是：
60×2÷5=24（千米/小时）
综合算式：
60×2÷（60÷30+60÷20）
=120÷（2+3）
=120÷5
=24（千米/小时）
答略。
*例2光华小学中、高年级共有学生600名，如果中年级派出本年级人数
位“1”。假设高年级增加20名学生，这样中、高年级人数从原来的600名增加到：
600+20=620（名）
中年级人数是：
高年级的人数是：
600-320=280（人）
答略。例3 某人骑一辆自行车从甲地去乙地，每小时行15千米；从乙地回到甲地，每小时行10千米。求此人骑自行车往返甲、乙两地的平均速度。（适于六年级程度）
解：题中缺少“甲、乙两地的距离”的具体数量。我们可以任意设一个数为甲、乙两地的路程。
如设30千米为甲、乙两地路程，这辆自行车往返甲、乙两地的平均速度是：
答略。
此题如设20千米为甲、乙两地的路程，那么，可列式为20×2÷
辆自行车往返甲、乙两地的平均速度都是12千米/小时。
例4 用甲、乙两台收割机分别收割一块地的小麦时，甲用6小时可以收割完，乙用4小时可以收割完。用这两台收割机同时收割这块地，多少小时可以收割完？（适于五年级程度）
解：因为这块地的亩数是个未知的数量，所以对没学过用“解工程问题”的方法解应用题的学生是一道难题。如果假设出这块地的亩数是个已知的数量，此题就容易解了。
假设这块地是12亩（也可假设为6和4的其他公倍数，如24亩、36亩、48亩、60亩等。这里假设为12亩，是因为12是6和4的最小公倍数，这样便于计算）。则由题意得：
12÷（12÷6+12÷4）
=12÷（2+3）
=2.4（小时）
答：两台同时收割2.4小时可以收割完。
*例5有一堆苹果，如果平均分给大、小两个班的小朋友，每人可得6个；如果只分给大班，每人可得10个。如果只分给小班，每人可得几个？（适于五年级程度）
解法（1）：假设有120个苹果，则大、小两个班共有小朋友：
120÷6=20（人）
大班有：
120÷10=12（人）
小班有：
20-12=8（人）
小班每人可分得苹果：
120÷8=15（个）
综合算式：
120÷（120÷6-120÷10）
=120÷8
=15（个）
答：只分给小班，每人可得15个。
解法（2）：假设两个班的总人数是30人，则苹果的总个数是：
6×30=180（个）
大班人数是：
180÷10=18（人）
小班人数是：
30-18=12（人）
小班每人可分得苹果：
180÷12=15（个）
综合算式：
6×30÷（30-6×30÷10）
=180÷（30-18）
=15（个）
答略。
（二）设单位“1”
例1 某食堂改造炉灶后，每天节约用煤60千克，这样原来计划用32天的煤，现在可以用48天。这堆煤共有多少千克？（适于六年级程度）
答略。
例2 有一个正方体和一个长方体，长方体的长等于正方体的棱长，长方
解：设正方体的棱长为1，那么正方体的体积是：
1×1×1=1
长方体的体积是：
答略。
设甲的钱数为单位1，这时因为甲的钱数是1，所以上面的关系式便成为：
乙有人民币：
答略。
例4 在一次407人参加的歌手大赛中，没有获奖的女歌手占女歌手总数
解：设女歌手的总人数为1。
从男女歌手总人数407人中，去掉没获奖的男歌手16人之后，（407-
=207（人）
男歌手的人数是：
407-207=200（人）
答略。
第二十七讲 代数法
解应用题时，用字母代表题中的未知数，使它和其他已知数同样参加列式、计算，从而求得未知数的解题方法，叫做代数法。代数法也就是列方程解应用题的方法。
学习用代数法解应用题，要以学过算术法解应用题为基础。我们知道用算术法解应用题时，未知数始终处于被追求的地位，除了要进行顺向思考，必要时还要进行逆向思考，所以有些应用题用算术法解答很困难，而用代数法解应用题，由于是用字母代表题中的未知数，因此只要把代表未知数的字母看作已知数来考虑问题，正确找出题中数量间的等量关系，就可以用代表未知数的字母和已知数共同组成一个等式（即方程），然后计算出未知数的值。这种解题思路直接、简单，可化难为易，特别是在解答比较复杂的应用题时用代数法就更容易。
小学生在开始学习用代数法解应用题时，可能不大习惯，会受到算术法解题思路的干扰，在解题过程中可能出现一些错误。为顺利地学好用代数法解应用题，应注意以下几个问题：
1.切实理解题意。通过读题，要明白题中讲的是什么意思，有哪些已知条件，未知条件是什么，已知条件与未知条件之间是什么关系。
2.在切实理解题意的基础上，用字母代表题中（设）未知数。通常用字母x代表未知数，题目问什么就用x代表什么。小学数学教材中，求列方程解答的应用题绝大多数都是这样的。
有些练习题在用代数法解答时，不能题中问什么都用x表示。x只表示题中另一个合适的未知数，这样才能顺利列出方程，求出所设的未知数。然后通过计算，求出题目要求的那个未知量。如果一道题要求两个或两个以上的未知数，这就要根据题目的具体情况，从思考容易、计算方便着眼，灵活选择一个用x表示，其他未知数用含有x的代数式表示。
3.根据等量关系列方程。要根据应用题中数量之间的等量关系列出方程。列方程要同时符合三个条件：（1）等号两边的式子表示的意义相同；（2）等号两边数量的单位相同；（3）等号两边的数量相等。如果一道应用题的数量有几个相等的关系，并且每一个都可以作为列方程的依据，这时要选择最简便、最明确的等量关系列出方程。
列方程时，如果未知数x只出现在等式的一端，要注意把含有未知数x的式子放在等式左边，这样解方程时比较方便。但不能在列方程时，只把表示未知数的一个字母x单独写在等号左端，因为这种列式的方法不是代数法，而仍然是算术法。
4.解方程。解方程是根据四则运算中各部分数之间的关系进行推算。计算要有理有据，书写格式要正确。
解出x的数值后，不必注单位名称。
5.先检验，后写答案。求出x的值以后，不要忙于写出答案，而是要先把x的值代入原方程进行检验，检验方程左右两边的得数是不是相等。如果方程左右两边的得数相等，则未知数的值是原方程的解；如果方程左右两边的数值不相等，那么所求出的未知数的值就不是原方程的解。这时就要重新检查：未知数设得对不对？方程列得对不对？计算过程有没有问题？……一直到找出问题的根源。值得注意的是：即使求出的未知数的值是原方程的解，也应仔细考虑一下，得出的这个值是否符合题意，是否有道理。当证明最后得数确实正确后再写出答案。
列方程解应用题的关键是找准等量关系，根据等量关系列出方程。找等量关系没有固定方法，考虑的角度不同，得出的等量关系式就不同。
（一）根据数量关系式找等量关系，列方程解题
例1 一名工人每小时可以制作27个机器零件。要制作351个机器零件，要用多少小时？（适于五年级程度）
解：设制做351个机器零件，要用x小时。
根据“工作效率×时间=工作总量”这个数量关系，列方程得：
27x=351
x=351÷27
x=13
答：这名工人制作351个机器零件要用13个小时。

例2 A、B两地相距510千米，甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，6小时后相遇。已知甲车每小时行45千米，乙车每小时行多少千米？（适于五年级程度）
解：设乙车每小时行x千米。根据“部分数+部分数=总数”，列方程得：
45×6+6x=510
6x=510-45×6
6x=510-27O
6x=240
x=240÷6
x=40
答略。
（二）抓住关键词语找等量关系，列方程解题
例1 长江的长度为6300千米，比京杭大运河（北京-杭州）全长的3倍还多918千米。求京杭大运河的全长是多少千米？（适于五年级程度）
解：根据“长江的长度为6300千米，比京杭大运河全长的3倍还多918千米”，可找出长江的全长与京杭大运河全长的等量关系：京杭大运河全长×3+918=长江全长。
设京杭大运河全长为x千米，列方程得：
3x+918=6300
3x=6300-918
3x=5382
x=1794
答略。
例2 9头蓝鲸的最长寿命之和比6只乌龟的最长寿命之和多114年。乌龟的最长寿命是116年。求蓝鲸的最长寿命是多少年？（适于五年级程度）
解：根据“9头蓝鲸的最长寿命之和比6只乌龟的最长寿命之和多114年”，可以看出9头蓝鲸寿命之和与6只乌龟寿命之和的等量关系是：
蓝鲸的最长寿命×9-114=116×6。
设蓝鲸的最长寿命是x年，列方程得：
9x-114=116×6
9x=116×6+114
9x=810
x=90
答略。
（三）画图形找等量关系，列方程解题
例1 某农场收割4000亩小麦，前3天每天收割700亩。剩下的要2天收完，每天要收割多少亩？（适于五年级程度）
解：根据题意作图27-1。
由图27-1可以看出题中的等量关系是：“前3天收割的亩数+后2天收割的亩数=4000亩”。
设后2天每天收割x亩，列方程得：
700×3+2x=4000
2x=4000-700×3
2x=4000-2100
2x=1900
x=950
答略。
例2 甲、乙两列火车同时从相距360千米的两个车站相向开出，3小时后相遇。已知甲车每小时行55千米，乙车每小时行多少千米？（适于五年级程度）
解：根据题意作图27-2。
从图27-2可以看出，甲、乙两列火车3小时共行36O千米，甲车行的路程+乙车行的路程=360千米。
设乙车每小时行x千米，列方程得：
55×3+3X=360
3x=360-165
3x=195
x=65
答略。
*例3 甲、乙两地相距60千米，自行车和摩托车同时从甲地驶往乙地，摩托车比自行车早到4小时，摩托车的速度是自行车速度的3倍。求摩托车和自行车的速度。（适于高年级程度）
解：作图27-3。用图中纵向线段表示时间，用横向线段表示速度。
图27-3中线段AB表示自行车的速度，AC表示摩托车的速度；AG表示自行车用的时间，AF表示摩托车用的时间。矩形ABHG和ACDF的面积都是表示甲、乙两地的距离60千米。
设AB为x千米，则AC为3x千米。
4x+20=60
4x=60-20
x=10
3x=30
答：自行车每小时行10千米，摩托车每小时行30千米。
（四）列表找等量关系，列方程解题
例1甲、乙两名车工共车了390个零件，车工甲每小时车30个，车工乙每小时车35个。他们共同工作多少小时才车完这批零件？（适于五年级程度）
解：设两人共同车了x小时。根据题意，列表27-1。
表27-1
从表27-1可以看出，车工甲在x小时里共车30x个零件，车工乙在x小时里共车35x个零件。
根据题意，列方程：
30x+35x=390
65x=390
x=390÷65
x=6
答略。
*例2 31名学生去划船，分乘3只大船和4只小船，每只大船坐5名学生，每只小船坐几名学生？（适于高年级程度）
解：设每只小船坐x名学生。根据题意列出表27-2。
表27-2
从表27-2看出，大船上坐的人数+小船上坐的人数=31人。大船上的人数是5×3名，小船上的人数是4x名。
列方程：
5×3+4x=31
4x=31-15
4x=16
x=4
答略。
（五）根据公式找等量关系，列方程解题
例1一个三角形的面积是100平方厘米，它的底是25厘米，高是多少厘米？（适于五年级程度）
解：设三角形的高是x厘米。
根据三角形的面积公式“底×高÷2=三角形面积”，列方程：
25x÷2=100
25x=100×2
x=100×2÷25
x=8
答略。
例2 图27-4梯形的面积是1050平方厘米，下底长18厘米，高30厘米。上底长是多少厘米？（适于五年级程度）
解：设梯形的上底为x厘米。
根据梯形的面积公式“（上底+下底）×高÷2=梯形面积”，列方程：
（x+18）×30÷2=1050
（x+18）=1050×2÷30
x=70-18
x=52
答略。
第二十八讲 联想法
我们把由某事物而想起其他相关的事物，由某概念而想起其他相关的概念，由某种解题方法而想起其他解题方法，从而使问题得到解决的解题方法叫做联想法。
通过联想，可以把感知过的客观事物中那些接近的、相似的、对立的，或有一定因果关系的事物建立某种联系，从而沟通知识之间的逻辑关系，促进知识之间、方法之间的迁移和同化，有利于认识新事物、产生新的设想。
（一）纵向联想
这是把问题的前后条件联系起来思考的方法。
进红皮球20只，这时红皮球正好占皮球总数的60％。现在有红皮球和白皮球各多少只？（适于六年级程度）
4份。后来又买进红皮球20只，这时红皮球正好占皮球总数的60％，由此联想到：现在皮球的总只数中，红皮球占6份，白皮球占4份。
可见，白皮球占的份数没有起变化，红皮球的份数增加了6-5=1（份）。因为增加了20只红皮球是增加了1份。所以1份就是20只皮球。
红皮球这时占6份，红皮球的只数是：
20×6=120（只）
白皮球占4份，白皮球的只数是：
20×4=80（只）
答略。
（二）横向联想
这是指从一个问题想到另一个问题的思考方法。
例 东风小学五、六年级的同学共植树330棵。已知五年级植树的棵数
六年级植树：
或 330-180=150（棵）
由分数解法联想到按比例分配的解法。
六年级植树：
答略。
（三）多角度联想
这是指对一个问题从几个不同的角度进行思考的方法。
例 图28-1半圆空白部分的面积是7.85平方厘米，求阴影部分的面积？（适于六年级程度）
解：
（1）用归一法解。先求出右边扇形圆心角为1°时的面积，再求出阴影部分扇形圆心角度数，然后求出阴影部分面积。
7.85÷100=0.0785（平方厘米）
180°-100°=80°
0.0785×80=6.28（平方厘米）
（2）由归一法解联想到用倍比法来解。求出图中阴影扇形圆心角度数是空白扇形圆心角度数的倍数，再根据空白部分的面积7.85平方厘米是阴影部分面积的倍数，然后求出阴影部分的面积。
（3）由倍比法解又联想到用解分数应用题的方法来解。先求出右边空白扇形圆心角度数是所在半圆圆心角度数的几分之几，再求出半圆面积，然后从半圆面积中减去空白部分的面积，就得到阴影面积。
设图中阴影部分面积为x平方厘米
答略。
（四）由具体到抽象的联想
例 车站有货物45吨，用甲汽车10小时可以运完，用乙汽车15小时可以运完。用两辆汽车同时运，多少小时可以运完？（适于六年级程度）
解：根据具体的工作量、工作效率和工作时间之间的关系有：
（1）甲汽车每小时的工作量（工作效率）：
45÷10=4.5（吨）
（2）乙汽车每小时的工作量（工作效率）：
45÷15=3（吨）
（3）甲乙两汽车每小时的工作量（工作效率）的和：
4.5+3=7.5（吨）
（4）两辆汽车同时运所需时间：
45÷7.5=6（小时）
由具体的工作总量、工作效率和工作时间之间的关系，联想到抽象的工作总量、工作效率和工作时间之间的关系。
答略。
（五）由部分到整体的联想
例 图28-2是一个机器零件图，求图中阴影部分的面积。（单位：厘米）（适于六年级程度）
解：图28-2中阴影部分的面积由四个部分组成，分别求出它们的面积，再求几个部分面积的和是比较麻烦的。如果把这个图形经过旋转和翻折转化成图28-3，那么，只要计算出一个边长是4÷2=2（厘米）的正方形的面积就可以了。
答略。
（六）由一般到特殊的联想
例 前进机器厂，计划生产2400个机器零件，实际上在前3小时就完成了计划的40％，照这样计算，几小时可以完成任务？（适于六年级程度）
解：一般解法是先求出前3小时生产多少个机器零件，再求出平均每小时生产多少个机器零件，然后求出生产2400个机器零件需要的时间。
2400÷（2400×40％÷3）
=2400÷320
=7.5（小时）
由一般解法联想到特殊解法。
把计划生产2400个机器零件需要的时间看作1，由“实际上在前3小时就完成了计划的40％”可知“3小时”与
“40％”正好是对应关系。因此，可直接列出算式：
3÷40％=7.5（小时）
答略。
（七）由一种方法联想到另一种方法
这是指解决某个问题时，由一种方法想到另一些方法的思考方法。
例1 木材公司运进一批木材，垛成如图28-4的形状。已知最底层是102根，以上每层少1根，共有32层，求这些木材共有多少根？（适于六年级程度）
解：解这个题，当然可以把32层的32个数加起来，但是太麻烦，应该想一个能反映规律的办法。
观察它的截面，很容易同等腰梯形发生联想，梯形有上底、下底和高，于是联想到借用梯形的面积公式，或者说仿照梯形面积公式找出一个反映规律的公式，问题就可以解决了。
（102+71）×32÷2
答略。
例2 某工人原计划用42天的时间完成一批零件的加工任务，实际前12天就完成了任务的40％，剩下的零件比已完成的多21600个。照这样的工作效率，可以提前几天完成任务？（适于六年级程度）
解：先用一般解法。求出总任务的个数：
21600÷（1-40％-40％）
=21600÷20％
=108000（个）
再求提前完成天数：
42-12-[108000×（1-40％）÷（108000×40％÷12）]
=30-[64800÷3600]
=30-18
=12（天）
如果运用联想转化来解题，就不难发现，在工作效率一定的情况下，工作时间和工作量成正比例关系。也就是说前12天的工作量与总工作量的比率同前12天的工作时间与实际完成的工作时间的比率是一样的。因此可以由“实际前12天占实际完成任务所需时间的40％”，从而立即求出实际完成任务的天数是：
12÷40％=30（天）
提前完成任务的天数是：
42-30=12（天）
答略。
剩下的数量正好相等。两堆煤原来各有多少吨？（适于六年级程度）
解：先用一般方法解。先求甲堆煤的吨数。
因为两堆煤剩下的数量正好相等，所以把两堆煤剩下的数量分别看作1，则甲堆煤原来的数量是：
甲堆煤的吨数是：
270÷（5+4）×5
=270÷9×5
=150（吨）
乙堆煤的吨数是：
270-150=120（吨）
此题如果运用联想法，可获得简捷的解题思路。
两堆煤运走后剩下的数量相等，可见甲堆的1份等于乙堆的1份。
又已知两堆煤有270吨，共有（5+4）份，联想到整数归一应用题，便可轻而易举地求出甲堆煤原来的吨数：
270÷（5+4）×5
=270÷9×5
=30×5
=150（吨）
乙堆煤原有吨数：
270÷（5+4）×4
=270÷9×4
=30×4
=120（吨）
答略。
（八）情境联想
这是指回到问题的情境中去思考问题的方法。
例 有一个运动场（如图28-5），两头是半圆形，中间是长方形，这个运动场的周长是多少？面积是多少？（适于六年级程度）
解：有的同学对图中的两个“72米”，要不要作为周长来计算拿不定主意。我们可以联想在操场或运动场赛跑时的情境，就知道两个“72米”在赛跑时是不要跑的，因此跑道的长度是：
87×2+3.14×72÷2×2
=174+226.08
=400.08（米）
运动场的面积，也可联想实际情况而正确地算出：
答略。
（九）因果联想
*例 如图28-6，△ABC是等腰直角三角形，斜边BC=6cm，求阴影部分的面积（适于六年级程度）
解：我们从条件与问题所涉及的角和边展开联想：
（1）因为△ABC是等腰直角三角形，所以联想到，
∠1=∠2=45°
（2）因为AD是斜边上的高，所以联想到，
（5）因为阴影部分的面积，等于等腰直角三角形面积减去两个扇形面积，所以得出：
9-7.065=1.935（平方厘米）
答略。
第二十九讲 直接法
解应用题时，不用经过严密的逻辑推理，而是凭借已有的知识经验，迅速地解题，就是在运用直接法。
以直接法解题的思维过程是快速缩小问题所涉及的范围，接触事物的本质，打开解题的突破口。有些用一般方法解答要用四五步，甚至更多步计算才能求出结果的应用题，用直接法解答时，只用一两步计算就可以求出结果。
学习以直接法解题，可促进思维的灵活性、敏捷性和创造性。
（一）凭借数目的特点
数进行计算时，一般通过心算就能得出结果。
解应用题时，凭借这些数的这种特点，发现题目的本质，就可用简捷的方法解出复杂的问题。
一般解法：
6×3=18（天）
答略。
一般解法：
=1（千克）
所以瓶里原来有油：
例3 某校买来一批图书，放在两个书橱中。放在第一个书橱中的书占这批书的60％。如果从第一个书橱中取出16本放入第二个书橱，则两个书橱中的书一样多。问学校买来的这批图书是多少本？（适于六年级程度）
一般解法：
16×2÷[60％-（1-60％）]
=32÷[60％-40％]
=32÷20％
=160（本）
直接法：16本的对应分率是60％-50％=10％。学校买来的这批图书是：
16÷10％=160（本）
答略。
（二）凭借量、率对应的关系
有些应用题，可凭借直接看出题中哪个数量与哪个分率（“分率”就是不带单位名称的分数，是表示它所对应的数量占单位1的几分之几。）是相对应的一对数，而用简捷的方法解答出来。
例1 一项工程，由甲队单独做12天可以完成。甲队做3天后另有任务调走，余下的工程由乙队做15天才完成。乙队单独完成这项工程要用多少天？（适于六年级程度）
一般解法：
=20（天）
答略。
例2 织布厂第一、二车间共同织了一批布。第一车间织的布比这批布的60％少400米，第二车间织了这批布的44％。求这批布的长度。（适于六年级程度）
一般解法：
400÷[60％-（1-44％）]
=400÷4％
=10000（米）
直接法：从“第一车间织的布比这批布的60％少400米，第二车间织了这批布的44％”可以看出，这批布的4％是400米。所以，这批布的长是：
400÷4％=10000（米）
答略。
例3 某工厂一月份生产了一批零件。上旬生产了全部零件的30％，中
这个工厂一月份生产多少个零件？（适于六年级程度）
一般解法：
=8000（个）
％，下旬生产了50％。还可以看出下旬比中旬多生产30％，这30％正好是2400个。所以，一月份生产的零件个数是：
2400÷30％=8000（个）
答略。
（三）凭借份数的多少
有些应用题，可以凭借直接看出题中某个数量的一份或几份是多少，而用简捷的方法解答出来。
*例1 某服装厂做同样大小的衣服，上午做了60件，下午做了90件，上午比下午少用布75米。一天用布多少米？（适于四年级程度）
一般解法：
75÷（90-60）×（90+60）
=75÷30×150
=375（米）
直接法：从上午比下午少做30件，“上午比下午少用布75米”可以看出，每做30件衣服要用布75米。因为上午做2个30件，下午做3个30件，所以一天用布米数是：
75×（2+3）=375（米）
答略。
一般解法：
=720（吨）
直接法：把总运输量平均分成3份，已运走2份，还剩下1份，剩下的吨数是：
1440÷2=720（吨）
答略。
一般解法：
综合算式：
所以公路的全长是：
答略。
（四）凭借倍数的多少
有些应用题，可凭借直接看出这一数量是另一数量的几倍或某个数量倍数的变化，而用简捷的方法解答。
例1 同时开动3台功率相同的碾米机，4.5小时碾米4860千克。如果同时开动同样台数、同样规格的碾米机，9小时可以碾米多少千克？（适于四年级程度）
一般解法：
4860÷4.5÷3×9×3
=1080÷3×9×3
=360×9×3
=9720（千克）
直接法：因为碾米机是同时开动，并且效率相同、台数相同，9小时是4.5小时的2倍，所以9小时碾米的数量是4860千克的2倍。
4860×（9÷4.5）=9720（千克）
答略。
例2 某车间原计划每天生产225个零件，24天完成任务。实际上只用了原计划时间的一半就完成了任务。实际比原计划每天多生产多少个零件？（适于四年级程度）
一般解法：
225×24÷（24÷2）-225
=5400÷12-225
=450-225
=225（个）
直接法：零件总数未变，实际生产的天数缩小2倍，每天生产的零件个数是原计划每天生产个数的2倍，所以，实际每天比原计划多生产1倍，即225个。
答略。
例3 一项工程，原计划30天完成，做了3天后，效率提高到原计划的2倍。问还需要多少天才能完成这项工程？（适于六年级程度）
一般解法：设工作总量为1。
直接法：因为做了3天后，剩下的工作量用原来的工作效率去做，还需30-3=27（天），现在工作效率提高到原来的2倍，时间就比原来少一半，所以，还需要的天数是：
（30-3）÷2=13.5（天）
答略。
（五）凭借包含多少个的道理
有些应用题，可凭借直接看出这一数量中包含多少个另一个数量，而用简捷的方法解答。
例1 用长42米、宽1.2米的白布做直角三角巾，三角巾两条直角边的长都是1.2米。这块布可以做多少块三角巾？（适于五年级程度）
一般解法：
42×1.2÷（1.2×1.2÷2）=70（块）
直接法：因为布宽1.2米，要做的三角巾的两条直角边都长1.2米，所以可把布都叠成边长是1.2米的正方形，42÷1.2得到正方形的个数。因为边长是1.2米的一个正方形中，包含两个两条直角边长都是1.2米的三角形，所以把正方形的个数乘以2得到可以做多少块三角巾。
42÷1.2×2=70（块）
例2 一本故事书，小明原计划每天读25页，30天读完。实际每天读的页数是原计划的1.2倍。照这样计算，这本书可以用多少天读完？（适于五年级程度）
一般解法：
25×30÷（25×1.2）=25（天）
直接法：把原计划每天读的页数看作1，30天读的页数就是30；实际每天读的页数是原计划的1.2倍，则实际每天读的页数就是1.2。30中包含多少个1.2，就是实际用多少天读完。
30÷1.2=25（天）
答略。
例3 某工程队计划修一条长1600米的公路，前5天修了全长的20％。照这样计算，修完这条公路还需要多少天？（适于六年级程度）
一般解法：
1600×（1-20％）÷（1600×20％÷5）
=1600×80％÷64
=1280÷64
=20（天）
直接法：前5天修了全长的20％，剩下全长的80％，80％中包含4个20％，自然还需要4个5天。
5×4=20（天）
答略。
（六）凭借平均分的原理
解应用题时灵活运用平均分的原理，通过题中某一部分数量，或者通过把已经平均分出去的数量收回来的方法来解题，常常会使问题得到简捷的解决。
例1 王师傅要加工一批零件。如果每小时加工21个，8小时可以完成，由于改进加工技术，提前1小时完成任务。实际比原计划每小时多加工多少个零件？（适于四年级程度）
一般解法：
21×8÷（8-1）-21
=24-21
=3（个）
直接法：提前1小时完成，就是要用8-1=7（小时）完成加工任务。把按计划1小时应加工的21个零件平均分配在7小时内，就得到实际比原计划每小时多加工多少个零件。
21÷7=3（个）
答略。
例2 用一辆汽车运粮食。原计划每次运50袋，6次运完，而实际5次就运完了。问实际每次比原计划每次多运多少袋？（适于四年级程度）
一般解法：
50×6÷5-50
=60-50
=10（袋）
直接法：因为5次完成6次的任务，比原计划少运1次，这1次运50袋的任务自然要平均分到5次完成。所以实际每次比原计划每次多运的袋数是：
50÷5=10（袋）
答略。
例3 一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行65千米，要行4小时才能到达乙地。这辆汽车从乙地返回甲地比去时多用了1小时。这辆汽车从乙地返回甲地比从甲地去乙地每小时少行多少千米？（适于五年级程度）
一般解法：
65-65×4÷（4+1）
=65-260÷5
=65-52
=13（千米）
直接法：假设汽车用4小时从甲地开到乙地后，再往前开1小时，则汽车在5小时中要比从乙地回到甲地多行65千米，也就是说，在5小时中，汽车从甲地去乙地比从乙地返回甲地多行65千米。这辆汽车从乙地返回甲地比从甲地去乙地每小时少行的距离是：
65÷5=13（千米）
答略。
（七）凭借图形
当我们读过一道应用题后，有时头脑中立刻闪现出表示题中数量关系的图形，凭借这个图形我们会想到解答此题的方法，而不必仔细分析推理；有时刚刚画出表示题中数量关系的图形时，我们就领悟到解题方法。在这些情况下，得的解题方法往往比较简捷。
例1 在校运动会上，某班除4人没参加任何项目外，有26人参加了田赛，有30人参加了径赛，有12人既参加了田赛，又参加了径赛。这个班有学生多少人？（适于高年级程度）
一般解法：
（26-12）+（30-12）+12+4=48（人）
直接法：从图29-1可看出，12包含在26内，也包含在30内。从26与30的和中减去12，再加上4，就得到全班学生人数：（26+30-12）+4=48（人）
答略。
例2 一个圆柱体的侧面积是188.4平方厘米，底面半径是3厘米，求这个圆柱体的体积。（适于六年级程度）
一般解法：
直接法：按照图29-2把圆柱体的底面分成若干个相等的扇形来切割圆柱体，然后把切开的圆柱体拼成近似长方体的形状。这个长方体的底面积是圆柱体侧面积的一半，高等于圆柱体底面的半径。所以这个圆柱体的体积是：
188.4÷2×3=282.6（立方厘米）
答略。
这批水泥一共是多少吨？（适于六年级程度）
一般解法：
直接法：从图29-3中可以看出，全部需要运来的水泥被分为5份，剩下
所以，这批水泥一共是：
15×10=150（吨）
答略。
（八）凭借从整体上考虑
有些应用题，如果把问题分成许多细节，一步一步地分析、推理，有时要走弯路，陷入困境。如果不把问题分成许多部分去研究，而是从整体上、从全局考虑，往往会迅速发现问题的实质，很快解决问题。
*例1 由1024名运动员参加的乒乓球个人冠军赛，采用输一场即被淘汰的单淘汰制。共需安排多少场比赛？（适于高年级程度）
……最后一场是冠军赛，共应进行：
512+256+128+64+32+16+8+4+2+1
=1023（场）
直接法：从整体上考虑，每场淘汰1名运动员，要决出冠军，就要淘汰1023名运动员，所以共需进行1023场比赛。
答略。
*例2 走一段路，甲用40分钟，乙用30分钟。如果甲出发5分钟后乙再出发，乙经过多长时间才能追上甲？（适于高年级程度）
一般解法：
直接法：走这段路，甲、乙分别用40分钟和30分钟，则甲、乙走到这段路中点用的时间分别是20分钟、15分钟。因为甲提前5分钟出发，所以当甲用20分钟走到这段路的中点时，乙用15分钟也走到这段路的中点，也就是说乙追上了甲。乙追上甲用的时间是乙走这段路所用时间的一半。
30÷2=15（分钟）
答略。
*例3 在同一条公路上，有两辆汽车向同一个方向行驶。开始时，甲车在乙车前面4千米，甲车每小时行45千米，乙车每小时行60千米。乙车在追上甲车前1分钟，两车相距多远？（适于六年级程度）
一般解法：
直接法：乙车追上甲车前一分钟两车相距的路程等于，乙车每1分钟追上甲车的路程：
答略。
*例4 东、西两地相距100千米。甲、乙二人从东、西两地同时出发，相向而行。甲每小时走6千米，乙每小时走4千米。甲带的一只狗与甲同时同向出发，狗以每小时12千米的速度向乙奔去，遇到乙立即回头向甲跑来，遇到甲再回头向乙奔去，直到甲、乙二人相遇时狗才停住。求在这段时间里狗一共跑了多少千米。（适于高年级程度）
解：此题因无法求出在全程中，狗与乙到底相遇多少次，以及每次相遇时狗跑了多少千米或用了多长时间，所以很难用逻辑分析的方法解答出来。
如果从整体上考虑问题，抓住问题的实质，即不管狗与乙相遇几次，总之在全程过程中，狗跑的时间等于甲、乙二人相遇时所用的时间，所以可用下面的方法计算出狗一共跑了多少千米：
12×[100÷（6+4）]=120（千米）
答略。
答略。
第三十讲 四方阵法
四方阵是著名教育家赵宋光《新体制数学》中解应用题的一种方法。
通过画四方阵可以找准整数乘除题中数量间的对应关系，也可以找准分数（百分数）题中的标准量、比较量和分率，从而明确题中数量间的关系，很快解答出应用题。
画四方阵图要遵守“同名竖对、同事横对”的规则；四方阵图中，“四个方位的数交叉相乘，两个积必定相等”是四方阵的性质；在计算时，x斜对方位的数必当除数。
解：设九月份生产玻璃x箱。
（1）画一个大“十”字。在“十”字横线左端点外的上、下方位分别写上九月、十月（图30-1）。

（2）在大“十”字中心点的左上方、左下方，横对九月、十月分别写上x、20000，并在它们中间的横线上写出x与20000的单位名称“箱”（图30-2）。
从摘录、整理完条件与问题的四方阵图30-4中，可清楚地看到x的对应
根据题中的数量关系，也根据四方阵“交叉相乘，积相等”的性质，可以列出方程解答此题。
答：九月份生产玻璃15000箱解：设今年有水田x亩。
按题意画出图30-5的四方阵图。
根据题中的数量关系，再根据四方阵“交叉相乘，积相等”的性质，可得：
答略。
解：设还剩x块砖。
根据题意，画出图30-6的四方阵图。
图30-6中35000块与x块的单位名称相同，所以35000与x竖对，在它
答：还剩14000块砖。
例4 前进造纸厂四月份用煤540吨，比三月份节约20％。三月份用煤多少吨？（适于六年级程度）
解：设三月份用煤x吨。
根据题意，画出图30-7的四方阵图。
根据四方阵的性质“四个方位的数交叉相乘，两个积必定相等”可得：
（1-200％）x=540
x=540÷（1-20％）
x=540÷0.8
x=675
答略。
例5 用“1059”农药和水配合成药水，可防治棉花害虫。农药和水的重量比是1∶2000。要配制2500千克药水，需要“1059”多少千克？（精确到0.01千克）（适于六年级程度）
解：设需要农药x千克。
根据题意画出图30-8的四方阵图。
阵中1与2000坚对，1与x横对；要配制2500千克药水，农药占x千克，水的重量是（2500-x）千克。x与（2500-x）坚对。
根据四方阵“四个方位的数交叉相乘，两个积必定相等”的性质得：
2000x=2500-x
2001x=2500
x=2500÷2001
x≈1.24
答略。
少公顷土地？（适于六年级程度）
解：设这个农场共有x公顷土地。
根据题意画出图30-9的四方阵图。
根据四方阵“交叉相乘，两积相等”的性质，可得：
答略。
解：设图上的长是x厘米，宽是y厘米。
150米=15000厘米
30米=3000厘米
根据题意画出四方阵图30-10和30-11。

根据四方阵的性质可得：
2000x=15000
x=15000÷2000
x=7.5
根据四方阵的性质可得：
2000y=3000
y=3000÷2000
y=1.5
答：图上的长是7.5厘米，宽是1.5厘米。
例8 五年级学生去年种了4800棵蓖麻，平均每一棵收蓖麻子0.15千克。蓖麻子的出油率是45％，这些蓖麻能出油多少千克？（适于六年级程度）
解：设共收蓖麻子x千克，出油y千克。
根据题意画出四方阵图30-12和图30-13。

根据四方阵的性质可得：
x=4800×0.15
x=720
根据四方阵的性质可得：
y=720×45％
y=324
答：能出油324千克。
例9 某学校改制了一台饮水锅炉后，每天烧煤25千克，是原来每天用煤量的25％。现在每月（按30天计算）比原来节煤多少千克？（适于六年级程度）
解：设现在每天节约煤x千克，一个月节煤y千克。
根据题意画出四方阵图30-14和图30-15。
根据四方阵的性质可得：
25％x=25×（1-25％）
x=25×（1-25％）÷25％

根据四方阵的性质可得：
答：现在每月比原来节煤2250千克。
例10 同学们搞野营活动。一个同学到负责后勤的老师那里去领碗。老师问他领多少，他说领55个。又问“多少人吃饭？”他说：“一人一个饭碗，两个人一个菜碗，三个人一个汤碗。”这个同学给多少人领碗？（适于六年级程度）
解：这道题，教师不容易讲清，学生也不容易理解。
按四方阵的格式摘录整理条件和问题，就容易列式解答了。
设给x个人领碗。
画出四方阵图30-16。
因为x个人领55个碗，所以x与55横对；因为1个人得到1个饭碗，
根据阵中呈现的数量关系，也根据“交叉相乘，积相等”的性质，可以列出方程解答此题。
答略。
例11 一辆快车和一辆慢车同时从甲、乙两站相对开出，经过12小时相遇，相遇后快车又行了8小时到达乙站。求慢车还要行几小时才能到达甲站？（适于六年级程度）
解：先用一般方法解。这道题很抽象，不少学生不能理解。
慢车行了全程的：
用四方阵法解。用这种方法解题很简单。
设慢车还要行x小时才能到达甲站。
快车在相遇前行12小时，相遇后行8小时，慢车相遇前行12小时，相遇后行x小时。画出图30-17的四方阵后，就可根据四方阵的性质列出方程：
8x=12×12
x=12×12÷8
x=18（小时）
答略。
要注意的是，按四方阵的格式摘录、整理反比例应用题的条件和问题时，要使阵中的“同事斜对”。
例12 一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行驶32千米，5小时到达，如果要4小时到达，每小时行驶多少千米？（适于六年级程度）
解：设每小时行驶x千米。
按“同事横对，同名竖对”的摆阵规则，这道题应摆成图30-18的形式，这样根据“交叉相乘，积相等”的性质，得：
行驶的时间少了，速度增加才对，可这样速度却减少了，显然这样摆阵是错误的。
这道题是反比例应用题，正确的摆阵方式是图30-19的形式，即“同事斜对”。32与5斜对，x与4斜对。
根据题意，也根据四方阵“交叉相乘，积相等”的性质，以及x的斜对方必当除数的规律，可得：
4x=32×5
x=32×5÷4
x=40（千米）
答略。
“交叉相乘积相等”是四方阵的重要性质，它帮助解题，帮助验算，还可以验证阵式摆得是否正确。例如，把上面各例题中算出的x的数值代入四方阵中，把四个方位的数交叉相乘，得到的两个积相等，说明摆阵、运算都正确；要是两个积不相等，或虽然相等但不合理，那就要认真查找出现问题的原因了。
第三十一讲 分解质因数法
通过把一个合数分解为两个或两个以上质因数，来解答应用题的解题方法叫做分解质因数法。
分解质因数的方法在求最大公约数和最小公倍数时有用，在学习有理数的运算、因式分解、解方程等方面也有广泛的应用。分解质因数的方法还可为一些数学问题提供新颖的解法，有益于开辟解题思路，启迪创造性思维。
例1 一块正方体木块，体积是1331立方厘米。这块正方体木块的棱长是多少厘米？（适于六年级程度）
解：把1331分解质因数：
1331=11×11×11
答：这块正方体木块的棱长是11厘米。
例2 一个数的平方等于324，求这个数。（适于六年级程度）
解：把324分解质因数：
324= 2×2×3×3×3×3
=（2×3×3）×（2×3×3）
=18×18
答：这个数是18。例3 相邻两个自然数的最小公倍数是462，求这两个数。（适于六年级程度）
解：把462分解质因数：
462=2×3×7×11
=（3×7）×（2×11）
=21×22
答：这两个数是21和22。
*例4 ABC×D=1673，在这个乘法算式中，A、B、C、D代表不同的数字，ABC是一个三位数。求ABC代表什么数？（适于六年级程度）
解：因为ABC×D=1673，ABC是一个三位数，所以可把1673分解质因数，然后把质因数组合成一个三位数与另一个数相乘的形式，这个三位数就是ABC所代表的数。
1673=239×7
答：ABC代表239。
例5 一块正方形田地，面积是2304平方米，这块田地的周长是多少米？（适于六年级程度）
解：先把2304分解质因数，并把分解后所得的质因数分成积相同的两组质因数，每组质因数的积就是正方形的边长。
2304=2×2×2×2×2×2×2×2×3×3
=（2×2×2×2×3）×（2×2×2×2×3）
=48×48
正方形的边长是48米。
这块田地的周长是：
48×4=192（米）
答略。
*例6 有3250个桔子，平均分给一个幼儿园的小朋友，剩下10个。已知每一名小朋友分得的桔子数接近40个。求这个幼儿园有多少名小朋友？（适于六年级程度）
解：3250-10=3240（个）
把3240分解质因数：
3240=23×34×5
接近40的数有36、37、38、39
这些数中36=22×32，所以只有36是3240的约数。
23×34×5÷（22×32）
=2×32×5
=90
答：这个幼儿园有90名小朋友。
*例7 105的约数共有几个？（适于六年级程度）
解：求一个给定的自然数的约数的个数，可先将这个数分解质因数，然后按一个质数、两个质数、三个质数的乘积……逐一由小到大写出，再求出它的个数即可。
因为，105=3×5×7，
所以，含有一个质数的约数有1、3、5、7共4个；
含有两个质数的乘积的约数有3×5、3×7、5×7共3个；
含有三个质数的乘积的约数有3×5×7共1个。
所以，105的约数共有4+3+1=8个。
答略。
*例8 把15、22、30、35、39、44、52、77、91这九个数平均分成三组，使每组三个数的乘积都相等。这三组数分别是多少？（适于六年级程度）
解：将这九个数分别分解质因数：
15=3×5
22=2×11
30=2×3×5
35=5×7
39=3×13
44=2×2×11
52=2×2×13
77=7×11
91=7×13
观察上面九个数的质因数，不难看出，九个数的质因数中共有六个2，三个3，三个5，三个7，三个11，三个13，这样每组中三个数应包括的质因数有两个2，一个3，一个5，一个7，一个11和一个13。
由以上观察分析可得这三组数分别是：
15、52和77；
22、30和91；
35、39和44。
答略。
*例9 有四个学生，他们的年龄恰好一个比一个大一岁，他们的年龄数相乘的积是5040。四个学生的年龄分别是几岁？（适于六年级程度）
解：把5040分解质因数：
5040=2×2×2×2×3×3×5×7
由于四个学生的年龄一个比一个大1岁，所以他们的年龄数就是四个连续自然数。用八个质因数表示四个连续自然数是：
7，2×2×2，3×3，2×5
即四个学生的年龄分别是7岁、8岁、9岁、10岁。
答略。
*例10 在等式35×（ ）×81×27=7×18×（ ）×162的两个括号中，填上适当的最小的数。（适于六年级程度）
解：将已知等式的两边分解质因数，得：
5×37×7×（ ）=22×36×7×（ ）
把上面的等式化简，得：
15×（ ）=4×（ ）
所以，在左边的括号内填4，在右边的括号内填15。
15×（4）=4×（15）
答略。
*例11 把84名学生分成人数相等的小组（每组最少2人），一共有几种分法？（适于六年级程度）
解：把84分解质因数：
84=2×2×3×7
除了1和84外，84的约数有：
2，3，7，2×2=4，2×3=6，2×7=14，3×7=21，2×2×3=12，2×2×7=28，2×3×7=42。下面可根据不同的约数进行分组。84÷2=42（组），84÷3=28（组），84÷4=21（组），84÷6=14（组），84÷7=12（组），84÷12=7（组），84÷14=6（组），84÷21=4（组），84÷28=3（组），84÷42=2（组）。
因此每组2人分42组；每组3人分28组；每组4人分21组；每组6人分14组；每组7人分12组；每组12人分7组；每组14人分6组；每组21人分4组；每组28人分3组；每组42人分2组。一共有10种分法。
答略。
*例12 把14、30、33、75、143、169、4445、4953这八个数分成两组，每组四个数，要使各组数中四个数的乘积相等。求这两组数。（适于六年级程度）
解：要使两组数的乘积相等，这两组乘积中的每个因数不必相同，但这些因数经分解质因数，它们所含有的质因数一定相同。因此，首先应把八个数分解质因数。
14=2×7 143=11×13
30=2×3×5 169=13×13
33=3×11 4445=5×7×127
75=3×5×5 4953=3×13×127
在上面的质因式中，质因数2、7、11、127各有2个，质因数3、5、13各有4个。
在把题中的八个数分为两组时，应使每一组中的质因数2、7、11、127各有1个，质因数3、5、13各有2个。
按这个要求每一组四个数的积应是：
2×7×11×127×3×3×5×5×13×13
因为，（2×7）×（3×5×5）×（11×13）×（3×13×127）=14×75×143×4953，根据接下来为“14、75、143、4953”正符合题意，因此，要求的一组数是14、75、143、4953，另一组的四个数是：30、33、169、4445。
答略。
*例13 一个长方形的面积是315平方厘米，长比宽多6厘米。求这个长方形的长和宽。（适于五年级程度）
解：设长方形的宽为x厘米，则长为（x+6）厘米。根据题意列方程，得：
x（x+6）= 315
x（x+6）=3×3×5×7
=（3×5）×（3×7）
x（x+6）=15×21
x（x+6）=15×（15+6）
x=15
x+6=21
答：这个长方形的长是21厘米，宽是15厘米。
*例14 已知三个连续自然数的积为210，求这三个自然数各是多少？（适于五年级程度）
解：设这三个连续自然数分别是x-1，x，x+1，根据题意列方程，得：
（x-1）×x×（x+1）
=210
=21×10
=3×7×2×5
=5×6×7
比较方程两边的因数，得：x=6，x-1=5，x+1=7。
答：这三个连续自然数分别是5、6、7。
*例15 将37分为甲、乙、丙三个数，使甲、乙、丙三个数的乘积为1440，并且甲、乙两数的积比丙数的3倍多12，求甲、乙、丙各是几？（适于六年级程度）
解：把1440分解质因数：
1440= 12×12×10
=2×2×3×2×2×3×2×5
=（2×2×2）×（3×3）×（2×2×5）
=8×9×20
如果甲、乙二数分别是8、9，丙数是20，则：
8×9=72，
20×3+12=72
正符合题中条件。
答：甲、乙、丙三个数分别是8、9、20。
*例16 一个星期天的早晨，母亲对孩子们说：“你们是否发现在你们中间，大哥的年龄等于两个弟弟年龄之和？”儿子们齐声回答说：“是的，我们的年龄和您年龄的乘积，等于您儿子人数的立方乘以1000加上您儿子人数的平方乘以10。”从这次谈话中，你能否确定母亲在多大时，才生下第二个儿子？（适于六年级程度）
解：由题意可知，母亲有三个儿子。母亲的年龄与三个儿子年龄的乘积等于：
33×1000+32×10=27090
把27090分解质因数：
27090=43×7×5×32×2
根据“大哥的年龄等于两个弟弟年龄之和”，重新组合上面的质因式得：
43×14×9×5
这个质因式中14就是9与5之和。
所以母亲43岁，大儿子14岁，二儿子9岁，小儿子5岁。
43-9=34（岁）
答：母亲在34岁时生下第二个儿子。
第三十二讲 最大公约数法
通过计算出几个数的最大公约数来解题的方法，叫做最大公约数法。
例1 甲班有42名学生，乙班有48名学生，现在要把这两个班的学生平均分成若干个小组，并且使每个小组都是同一个班的学生。每个小组最多有多少名学生？（适于六年级程度）
解：要使每个小组都是同一个班的学生，并且要使每个小组的人数尽可能多，就要求出42和48的最大公约数：
2×3=6
42和48的最大公约数是6。
答：每个小组最多能有6名学生。
例2 有一张长150厘米、宽60厘米的长方形纸板，要把它分割成若干个面积最大，井已面积相等的正方形。能分割成多少个正方形？（适于六年级程度）
解：因为分割成的正方形的面积最大，并且面积相等，所以正方形的边长应是150和60的最大公约数。
求出150和60的最大公约数：
2×3×5=30
150和60的最大公约数是30，即正方形的边长是30厘米。
看上面的短除式中，150、60除以2之后，再除以3、5，最后的商是5和2。这说明，当正方形的边长是30厘米时，长方形的长150厘米中含有5个30厘米，宽60厘米中含有2个30厘米。
所以，这个长方形能分割成正方形：
5×2=10（个）
答：能分割成10个正方形。
例3 有一个长方体的方木，长是3.25米，宽是1.75米，厚是0.75米。如果将这块方木截成体积相等的小正方体木块，并使每个小正方体木块尽可能大。小木块的棱长是多少？可以截成多少块这样的小木块？（适于六年级程度）
解：3.25米=325厘米，1.75米=175厘米，0.75米=75厘米，此题实际是求325、175和75的最大公约数。
5×5=25
325、175和75的最大公约数是25，即小正方体木块的棱长是25厘米。
因为75、175、325除以5得商15、35、65，15、35、65再除以5，最后的商是3、7、13，而小正方体木块的棱长是25厘米，所以，在75厘米中包含3个25厘米，在175厘米中包含7个25厘米，在325厘米中包含13个25厘米。
可以截成棱长是25厘米的小木块：
3×7×13=273（块）
答：小正方体木块的棱长是25厘米，可以截成这样大的正方体273块。
例4 有三根绳子，第一根长45米，第二根长60米，第三根长75米。现在要把三根长绳截成长度相等的小段。每段最长是多少米？一共可以截成多少段？（适于六年级程度）
解：此题实际是求三条绳子长度的最大公约数。
3×5=15
45、60和75的最大公约数是15，即每一小段绳子最长15米。
因为短除式中最后的商是3、4、5，所以在把绳子截成15米这么长时，45米长的绳子可以截成3段，60米长的绳子可以截成4段，75米长的绳子可以截成5段。所以有：
3+4+5=12（段）
答：每段最长15米，一共可以截成12段。
例5 某校有男生234人，女生146人，把男、女生分别分成人数相等的若干组后，男、女生各剩3人。要使组数最少，每组应是多少人？能分成多少组？（适于六年级程度）
解：因为男、女生各剩3人，所以进入各组的男、女生的人数分别是：
234-3=231（人）…………………男
146-3=143（人）…………………女
要使组数最少，每一组的人数应当是最多的，即每一组的人数应当是231人和143人的最大公约数。
231、143的最大公约数是11，即每一组是11人。
因为231、143除以11时，商是21和13，所以男生可以分为21组，女生可以分为13组。
21+13=34（组）
答：每一组应是11人，能分成34组。
例6 把330个红玻璃球和360个绿玻璃球分别装在小盒子里，要使每一个盒里玻璃球的个数相同且装得最多。一共要装多少个小盒？（适于六年级程度）
解：求一共可以装多少个盒子，要知道红、绿各装多少盒。要将红、绿分别装在盒子中，且每个盒子里球的个数相同，装的最多，则每盒球的个数必定是330和360的最大公约数。
2×3×5=30
330和360的最大公约数是30，即每盒装30个球。
330÷30=11（盒）……………红球装11盒
360÷30=12（盒）……………绿球装12盒
11+12=23（盒）……………共装23盒
答略。
例7 一个数除40不足2，除68也不足2。这个数最大是多少？（适于六年级程度）
解：“一个数除40不足2，除68也不足2”的意思是：40被这个数除，不能整除，要是在40之上加上2，才能被这个数整除；68被这个数除，也不能整除，要是在68之上加上2，才能被这个数整除。
看来，能被这个数整除的数是：40+2=42，68+2=70。这个数是42和70的公约数，而且是最大的公约数。
2×7=14
答：这个数最大是14。
例8 李明昨天卖了三筐白菜，每筐白菜的重量都是整千克。第一筐卖了1.04元，第二筐卖了1.95元，第三筐卖了2.34元。每1千克白菜的价钱都是按当地市场规定的价格卖的。问三筐白菜各是多少千克，李明一共卖了多少千克白菜？（适于六年级程度）
解：三筐白菜的钱数分别是104分、195分、234分，每千克白菜的价钱一定是这三个数的公约数。
把104、195、234分别分解质因数：
104=23×13
195=3×5×13
234=2×32×13
104、195、234最大的公有的质因数是13，所以104、195、234的最大公约数是13，即每千克白菜的价钱是0.13元。
1.04÷0.13=8（千克）………第一筐
1.95÷0.13=15（千克）………第二筐
2.34÷0.13=18（千克）………第三筐
8+15+18=41（千克）
答：第一、二、三筐白菜的重量分别是8千克、15千克、18千克，李明一共卖了41千克白菜。
例9 一个两位数除472，余数是17。这个两位数是多少？（适于六年级程度）
解：因为这个“两位数除472，余数是17”，所以，472-17=455，455一定能被这个两位数整除。
455的约数有1、5、7、13、35、65、91和455，这些约数中35、65和91大于17，并且是两位数，所以这个两位数可以是35或65，也可以是91。
答略。
例10 把图32-1的铁板用点焊的方式焊在一个大的铁制部件上，要使每个角必须有一个焊点，并且各边焊点间的距离相等。最少要焊多少个点？（单位：厘米）（适于六年级程度）
解：要求焊点最少，焊点间距就要最大；要求每个角有一个焊点，焊点间距离相等，焊点间距离就应是42厘米、24厘米、18厘米、36厘米的最大公约数。
2×3=6
它们的最大公约数是6，即焊点间距离为6厘米。焊点数为：
7+4+3+6=20（个）
按这个算法每个角上的焊点是两个，因为要求每一个角上要有一个焊点，所以，要从20个焊点中减4个焊点。
20-4=16（个）
答略。
第三十三讲 最小公倍数法
通过计算出几个数的最小公倍数，从而解答出问题的解题方法叫做最小公倍数法。
例1 用长36厘米，宽24厘米的长方形瓷砖铺一个正方形地面，最少需要多少块瓷砖？（适于六年级程度）
解：因为求这个正方形地面所需要的长方形瓷砖最少，所以正方形的边长应是36、24的最小公倍数。
2×2×3×3×2=72
36、24的最小公倍数是72，即正方形的边长是72厘米。
72÷36=2
72÷24=3
2×3=6（块）
答：最少需要6块瓷砖。
*例2 王光用长6厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体木块拼最小的正方体模型。这个正方体模型的体积是多大？用多少块上面那样的长方体木块？（适于六年级程度）
解：此题应先求正方体模型的棱长，这个棱长就是6、4和3的最小公倍数。
2×3×2=12
6、4和3的最小公倍数是12，即正方体模型的棱长是12厘米。
正方体模型的体积为：
12×12×12=1728（立方厘米）
长方体木块的块数是：
1728÷（6×4×3）
=1728÷72
=24（块）
答略。例3 有一个不足50人的班级，每12人分为一组余1人，每16人分为一组也余1人。这个班级有多少人？（适于六年级程度）
解：这个班的学生每12人分为一组余1人，每16人分为一组也余1人，这说明这个班的人数比12与16的公倍数（50以内）多1人。所以先求12与16的最小公倍数。
2×2×3×4=48
12与16的最小公倍数是48。
48+1=49（人）
49<50，正好符合题中全班不足50人的要求。
答：这个班有49人。
例4 某公共汽车站有三条线路通往不同的地方。第一条线路每隔8分钟发一次车；第二条线路每隔10分钟发一次车；第三条线路每隔12分钟发一次车。三条线路的汽车在同一时间发车以后，至少再经过多少分钟又在同一时间发车？（适于六年级程度）
解：求三条线路的汽车在同一时间发车以后，至少再经过多少分钟又在同一时间发车，就是要求出三条线路汽车发车时间间隔的最小公倍数，即8、10、12的最小公倍数。
2×2×2×5×3=120
答：至少经过120分钟又在同一时间发车。
例5 有一筐鸡蛋，4个4个地数余2个，5个5个地数余3个，6个6个地数余4个。这筐鸡蛋最少有多少个？（适于六年级程度）
解：从题中的已知条件可以看出.不论是4个4个地数，还是5个5个地数、6个6个地数，筐中的鸡蛋数都是只差2个就正好是能被4、5、6整除的数。因为要求这筐鸡蛋最少是多少个，所以求出4、5、6的最小公倍数后再减去2，就得到鸡蛋的个数。
2×2×5×3=60
4、5、6的最小公倍数是60。
60-2=58（个）
答：这筐鸡蛋最少有58个。
*例6 文化路小学举行了一次智力竞赛。参加竞赛的人中，平均每15人有3个人得一等奖，每8人有2个人得二等奖，每12人有4个人得三等奖。参加这次竞赛的共有94人得奖。求有多少人参加了这次竞赛？得一、二、三等奖的各有多少人？（适于六年级程度）
解：15、8和12的最小公倍数是120，参加这次竞赛的人数是120人。
得一等奖的人数是：
3×（120÷15）=24（人）
得二等奖的人数是：
2×（120÷8）=30（人）
得三等奖的人数是：
4×（120÷12）=40（人）
答略。
*例7 有一个电子钟，每到整点响一次铃，每走9分钟亮一次灯。中午12点整时，电子钟既响铃又亮灯。求下一次既响铃又亮灯是几点钟？（适于六年级程度）
解：每到整点响一次铃，就是每到60分钟响一次铃。求间隔多长时间后，电子钟既响铃又亮灯，就是求60与9的最小公倍数。
60与9的最小公倍数是180。
180÷60=3（小时）
由于是中午12点时既响铃又亮灯，所以下一次既响铃又亮灯是下午3点钟。
答略。
*例8 一个植树小组原计划在96米长的一段土地上每隔4米栽一棵树，并且已经挖好坑。后来改为每隔6米栽一棵树。求重新挖树坑时可以少挖几个？（适于六年级程度）
解：这一段地全长96米，从一端每隔4米挖一个坑，一共要挖树坑：
96÷4+1=25（个）
后来，改为每隔6米栽一棵树，原来挖的坑有的正好赶在6米一棵的坑位上，可不重新挖。由于4和6的最小公倍数是12，所以从第一个坑开始，每隔12米的那个坑不必挖。
96÷12+1=9（个）
96米中有8个12米，有8个坑是已挖好的，再加上已挖好的第一个坑，一共有9个坑不必重新挖。
答略。
例9 一项工程，甲队单独做需要18天，乙队单独做需要24天。两队合作8天后，余下的工程由甲队单独做，甲队还要做几天？（适于六年级程度）
解：由18、24的最小公倍数是72，可把全工程分为72等份。
72÷18=4（份）…………是甲一天做的份数
72÷24=3（份）…………是乙一天做的份数
（4+3）×8=56份）………两队8天合作的份数
72-56=16（份）…………余下工程的份数
16÷4=4（天）……………甲还要做的天数
答略。
*例10 甲、乙两个码头之间的水路长234千米，某船从甲码头到乙码头需要9小时，从乙码头返回甲码头需要13小时。求此船在静水中的速度？（适于高年级程度）
解：9、13的最小公倍数是117，可以把两码头之间的水路234千米分成117等份。
每一份是：
234÷117=2（千米）
静水中船的速度占总份数的：
（13+9）÷2=11（份）
船在静水中每小时行：
2×11=22（千米）
答略。
*例11 王勇从山脚下登上山顶，再按原路返回。他上山的速度为每小时3千米，下山的速度为每小时5千米。他上、下山的平均速度是每小时多少千米？（适于六年级程度）
解：设山脚到山顶的距离为3与5的最小公倍数。
3×5=15（千米）
上山用：
15÷3=5（小时）
下山用：
15÷5=3（小时）
总距离÷总时间=平均速度
（15×2）÷（5+3）=3.75（千米）
答：他上、下山的平均速度是每小时3.75千米。
*例12 某工厂生产一种零件，要经过三道工序。第一道工序每个工人每小时做50个；第二道工序每个工人每小时做30个；第三道工序每个工人每小时做25个。在要求均衡生产的条件下，这三道工序至少各应分配多少名工人？（适于六年级程度）
解：50、30、25三个数的最小公倍数是150。
第一道工序至少应分配：
150÷50=3（人）
第二道工序至少应分配：
150÷30=5（人）
第三道工序至少应分配：
150÷25=6（人）
答略。
第三十四讲 解平均数问题的方法
已知几个不相等的数及它们的份数，求总平均值的问题，叫做平均数问题。
解答平均数问题时，要先求出总数量和总份数。总数量是几个数的和，总份数是这几个数的份数的和。解答这类问题的公式是；
总数量÷总份数=平均数
例1 气象小组在一天的2点、8点、14点、20点测得某地的温度分别是13摄氏度、16摄氏度、25摄氏度、18摄氏度。算出这一天的平均温度。（适于四年级程度）
解：本题可运用求平均数的解题规律“总数量÷总份数=平均数”进行计算。这里的总数量是指测得的四个温度的和，即13摄氏度、16摄氏度、25摄氏度、18摄氏度的和；这里的总份数是指测量气温的次数，一天测量四次气温，所以总份数为4。
（13+16+25+18）÷4
=72÷4
=18（摄氏度）
答：这一天的平均气温为18摄氏度。
例2 王师傅加工一批零件，前3天加工了148个，后4天加工了167个。王师傅平均每天加工多少个零件？（适于四年级程度）
解：此题的总数量是指前3天和后4天一共加工的零件数，总份数是指前、后加工零件的天数之和。用总数量除以总份数，便求出平均数。
前、后共加工的零件数：
148+167=315（个）
前、后加工零件共用的天数：
3+4=7（天）
平均每天加工的零件数：
315÷7=45（个）
综合算式：
（148+167）÷（3+4）
＝315÷7
=45（个）
答：平均每天加工45个零件。
例3 某工程队铺一段自来水管道。前3天每天铺150米，后2天每天铺200米，正好铺完。这个工程队平均每天铺多少米？（适于四年级程度）
解：本题的总数量是指工程队前3天、后2天一共铺自来水管道的米数。总份数是指铺自来水管道的总天数。用铺自来水管道的总米数除以铺自来水管道的总天数，就可以求出平均每天铺的米数。
前3天铺的自来水管道米数：
150×3=450（米）
后2天铺的自来水管道米数：
200×2=400（米）
一共铺的自来水管道米数：
450+400=850（米）
一共铺的天数：
3+2=5（天）
平均每天铺的米数：
850÷5=170（米）
综合算式：
（150×3+200×2）÷（3+2）
＝（450+400）÷5
＝850÷5
＝170（米）
答略。
例4 有两块实验田，第一块有地3.5亩，平均亩产小麦480千克；第二块有地1.5亩，共产小麦750千克。这两块地平均亩产小麦多少千克？（适于四年级程度）
解：本题的总数量是指两块地小麦的总产量，总份数是指两块地的总亩数，用两块地的总产量除以两块地的总亩数，可求出两块地平均亩产小麦多少千克。
3.5亩共产小麦：
480×3.5=1680（千克）
两块地总产量：
1680+750=2430（千克）
两块地的总亩数：
3.5+1.5=5（亩）
两块地平均亩产小麦：
2430÷5=486（千克）
综合算式：
（480×3.5+750）÷（3.5+1.5）
＝（1680+750）÷5
＝2430÷5
=486（千克）
答略。
例5 东风机器厂，五月份上半月的产值是125.2万元，比下半月的产值少70万元。这个厂五月份平均每天的产值是多少万元？（适于四年级程度）
解：本题的总数量是指五月份的总产值。五月份上半月的产值是125.2万元，比下半月的产值少70万元，也就是下半月比上半月多70万元，所以下半月产值为125.2+70=195.2（万元）。把上半月的产值和下半月的产值相加，求出五月份的总产值。
本题的总份数是指五月份的实际天数。五月份为大月，共有31天。用五月份的总产值除以五月份的实际天数，可求出五月份平均每天的产值是多少万元。
下半月产值：
125.2+70=195.2（万元）
五月份的总产值：
125.2+195.2=320.4（万元）
五月份平均每天的产值：
320.4÷31≈10.3（万元）
综合算式：
（125.2+125.2+70）÷31
=320.4÷31
≈10.3（万元）
答略。
例6 崇光轴承厂六月上旬平均每天生产轴承527只，中旬生产5580只，下旬生产5890只。这个月平均每天生产轴承多少只？（适于四年级程度）
解：本题的总数量是指六月份生产轴承的总只数，总份数是指六月份生产轴承的总天数。用六月份生产轴承的总只数除以六月份的总天数，可求出六月份平均每天生产轴承数。
六月上旬生产轴承的只数：
527×10=5270（只）
六月中、下旬共生产轴承：
5580+5890=11470(只）
六月份共生产轴承：
5270+11470=16740（只）
六月份平均每天生产轴承：
16740÷30=558（只）
综合算式：
（527×10+5580+5890）÷30
=（5270+5580+5890）÷30
=16740÷30
=558（只）
答略。
例7 糖果店配混合糖，用每千克4.8元的奶糖5千克，每千克3.6元的软糖10千克，每千克2.4元的硬糖10千克。这样配成的混合糖，每千克应卖多少元？（适于四年级程度）
解：本题中的总数量是指三种糖的总钱数；总份数是指三种糖的总重量。总钱数除以总重量，可求出每千克混合糖应卖多少钱。
三种糖总的钱数：
4.8×5+3.6×10+2.4×10
=24+36+24
=84（元）
三种糖的总的重量：
5+10+10=25（千克）
每千克混合糖应卖的价钱：
84÷25=3.36（元）
综合算式：
（4.8×5+3.6×10+2.4×10）÷(5+10+10）
＝84÷25
＝3.36（元）
答略。
例8 一辆汽车从甲地开往乙地，在平地上行驶了2.5小时，每小时行驶42千米；在上坡路行驶了1.5小时，每小时行驶30千米；在下坡路行驶了2小时，每小时行驶45千米，就正好到达乙地。求这辆汽车从甲地到乙地的平均速度。（适于四年级程度）
解：本题中的总数量是由甲地到乙地的总路程：
42×2.5+30×1.5+45×2
=105+45+90
=240（千米）
本题中的总份数是由甲地到乙地所用的时间：
2.5+1.5+2=6（小时）
这辆汽车从甲地到乙地的平均速度是：
240÷6=40（千米/小时）
综合算式：
（42×2.5+30×1.5+45×2）÷（2.5+1.5+2）
＝240÷6
＝40（千米/小时）
答略。
*例9 学校发动学生积肥支援农业，三年级85人积肥3640千克，四年级92人比三年级多积肥475千克，五年级的人数比四年级多3人，积肥数比三年级多845千克。三个年级的学生平均每人积肥多少千克？（适于四年级程度）
解：本题中的总数量是三个年级积肥的总重量。已知三年级积肥3640千克。
四年级积肥：
3640+475=4115（千克）
五年级积肥：
3640+845=4485（千克）
三个年级共积肥：
3640+4115+4485=12240（千克）
本题中的总份数就是三个年级学生的总人数。三年级学生人数是85人已知，四年级学生人数是92人已知，五年级学生人数是：
92+3=95（人）
三个年级学生的总人数是：
85+92+95=272（人）
三个年级的学生平均每人积肥：
12240÷272=45（千克）
综合算式：
（3640×3+475+845）÷（85+92×2+3）
=12240÷272
=45（千克）
答略。
例10 山上某镇离山下县城有60千米的路程。一人骑自行车从该镇出发去县城，每小时行20千米。从县城返回该镇时，由于是上坡路，每小时只行了15千米。问此人往返一次平均每小时行了多少千米？（适于四年级程度）
解：本题中的总数量是从某镇到县城往返一次的总路程：
60×2=120（千米）
总份数是往返一次用的时间：
60÷20+6O÷15
=3+4
=7（小时）
此人往返一次平均每小时行的路程是：
120÷7≈17.14（千米）
综合算式：
60×2÷（60÷20+60÷15）
＝120÷(3+4）
＝120÷7
≈17.14（千米）
答略。
*例11 有两块棉田，平均亩产皮棉91.5千克。已知一块田是3亩，平均亩产皮棉104千克。另一块田是5亩，求这块田平均亩产皮棉多少千克？（适于四年级程度）
解：两块棉田皮棉的总产量是：
91.5×（3+5）=732（千克）
3亩的那块棉田皮棉的产量是：
104×3=312（千克）
另一块棉田皮棉的平均亩产量是：
（732-312）÷5
＝420÷5
＝84（千克）
综合算式：
[91.5×（3+5）-104×3］÷5
＝[732-312]÷5
＝420÷5
＝84（千克）
答略。
*例12 王伯伯钓鱼，前4天共钓了36条，后6天平均每天比前4天多钓了5条。问王伯伯平均每天钓鱼多少条？（适于四年级程度）
解（1）：题中前4天共钓36条已知，后6天共钓鱼：
（36÷4+5）×6
=14×6
=84（条）
一共钓鱼的天数是：
4+6=10（天）
10天共钓鱼：
36+84=120（条）
平均每天钓鱼：
120÷10=12（条）
综合算式：
[36+（36÷4+5）×6]÷（4+6）
=[36+84]÷10
=120÷10
=12（条）
答略。
解（2）：这道题除用一般方法解之外，还可将后6天多钓的鱼按10天平均后，再加上原来4天的平均钓鱼数。
（5×6）÷（4+6）+36÷4
=3+9
=12（条）
答：王伯伯平均每天钓鱼12条。
例13 一个小朋友爬山，上山速度为每小时2千米，到达山顶后立即按原路下山，下山速度为每小时6千米。这个小朋友上、下山的平均速度是多少？（适于四年级程度）
解：本题的总数量是上山、下山的总路程，题中没有说总路程是多少。假设上山的路程是1千米，那么下山的路程也是1千米，上山、下山的总路程是2千米。
本题的总份数是上山、下山总共用的时间。
上山、下山总共用的时间是：
所以，上山、下山的平均速度是：
答略。
例14 某厂一、二月份的平均产值是1.2万元，三月份的产值比第一季度的平均月产值还多0.4万元。这个工厂三月份的产值是多少万元？（适于四年级程度）
解：此题数量关系比较隐蔽，用“总数量÷总份数”的方法做不出来。作图（34-1）。从图34-1可以看出，一、二月份的平均产值都是1.2万元。题中说“三月份的产值比第一季度的平均月产值还多0.4万元”，那么三月份的产值一定比一、二月份的平均产值要高，所以图34-1中表示三月份产值的线段比表示一、二月份平均产值的线段长。
第一季度的平均产值是多少万元呢？
我们用“移多补少”的方法，把图34-1中三月份的0.4万元平均分成2份，分别加到一、二月份的产值上，这样就得到第一季度的平均产值了。
1.2+0.4÷2=1.4（万元）
因为三月份的产值比第一季度的平均月产值还多0.4万元，所以三月份的产值是：
1.4+0.4=1.8（万元）
综合算式：
1.2+0.4÷2+0.4
=1.4+0.4
=1.8（万元）
答略。
*例15 苹果2千克卖2元钱，梨3千克卖2元钱。把每一筐15千克的梨、苹果各一筐掺到一起，按2元钱2.5千克来卖，是挣钱，还是赔钱？按照前面的标准价计算差了多少元？（适于四年级程度）
解：苹果的单价是每1千克1元钱，梨的单价是每1千克2/3元，混合后每1千克混合水果的价钱应当是：
因为是把每一筐15千克的梨、苹果各一筐掺合到一起，所以混合的水果一共是30千克，这30千克水果要少卖钱：
答：混合后是赔钱，照标准价差了1元钱。
*例16 三块小麦实验田的平均亩产量是267.5千克。已知第一块地是3亩，平均亩产量是275千克；第二块是5亩，平均亩产量是285千克；而第三块地的平均亩产量只有240千克。第三块地是多少亩？（适于四年级程度）
解：第三块地的亩产量比总平均亩产量低：
267.5-240=27.5（千克）
每亩低27.5千克，需要第一、二两块地可拿出多少千克来填补呢？
（275-267.5）×3+（285-267.5）×5
=7.5×3+17.5×5
=22.5+87.5
=110（千克）
110千克中含有多少个27.5千克，第三块地就是多少亩。
110÷27.5=4（亩）
综合算式：
[（275-267.5）×3+（285-267.5）×5]÷（267.5-240）
=[22.5+87.5]÷27.5
=110÷27.5
=4（亩）
答：第三块地是4亩。
第三十五讲 解行程问题的方法
已知速度、时间、距离三个数量中的任何两个，求第三个数量的应用题，叫做行程问题。
解答行程问题的关键是，首先要确定运动的方向，然后根据速度、时间和路程的关系进行计算。
行程问题的基本数量关系是：
速度×时间=路程
路程÷速度=时间
路程÷时间=速度
行程问题常见的类型是：相遇问题，追及问题（即同向运动问题），相离问题（即相背运动问题）。
（一）相遇问题
两个运动物体作相向运动或在环形跑道上作背向运动，随着时间的发展，必然面对面地相遇，这类问题叫做相遇问题。它的特点是两个运动物体共同走完整个路程。
小学数学教材中的行程问题，一般是指相遇问题。
相遇问题根据数量关系可分成三种类型：求路程，求相遇时间，求速度。
它们的基本关系式如下：
总路程=（甲速+乙速）×相遇时间
相遇时间=总路程÷（甲速+乙速）
另一个速度=甲乙速度和-已知的一个速度
1.求路程
（1）求两地间的距离
例1 两辆汽车同时从甲、乙两地相对开出，一辆汽车每小时行56千米，另一辆汽车每小时行63千米，经过4小时后相遇。甲乙两地相距多少千米？（适于五年级程度）
解：两辆汽车从同时相对开出到相遇各行4小时。一辆汽车的速度乘以它行驶的时间，就是它行驶的路程；另一辆汽车的速度乘以它行驶的时间，就是这辆汽车行驶的路程。两车行驶路程之和，就是两地距离。
56×4=224（千米）
63×4=252（千米）
224+252=476（千米）
综合算式：
56×4+63×4
=224+252
=476（千米）
答略。
例2 两列火车同时从相距480千米的两个城市出发，相向而行，甲车每小时行驶40千米，乙车每小时行驶42千米。5小时后，两列火车相距多少千米？（适于五年级程度）
解：此题的答案不能直接求出，先求出两车5小时共行多远后，从两地的距离480千米中，减去两车5小时共行的路程，所得就是两车的距离。
480-（40+42）×5
=480-82×5
=480-410
=70（千米）
答：5小时后两列火车相距70千米。
例3 甲、乙二人分别从A、B两地同时相向而行，甲每小时行5千米，乙每小时行4千米。二人第一次相遇后，都继续前进，分别到达B、A两地后又立即按原速度返回。从开始走到第二次相遇，共用了6小时。A、B两地相距多少千米？（适于五年级程度）
解：从开始走到第一次相遇，两人走的路程是一个AB之长；而到第二次相遇，两人走的路程总共就是3个AB之长（图35-1），这三个AB之长是：
（5+4）×6=54（千米）
所以，A、B两地相距的路程是：
54÷3=18（千米）
答略。
例4 两列火车从甲、乙两地同时出发对面开来，第一列火车每小时行驶60千米，第二列火车每小时行驶55千米。两车相遇时，第一列火车比第二列火车多行了20千米。求甲、乙两地间的距离。（适于五年级程度）
解：两车相遇时，两车的路程差是20千米。出现路程差的原因是两车行驶的速度不同，第一列火车每小时比第二列火车多行（60-55）千米。由此可求出两车相遇的时间，进而求出甲、乙两地间的距离。
（60+55）×[20÷（60-55）]
=115×[20÷5]
=460（千米）
答略。
*例5 甲、乙二人同时从A、B两地相向而行，甲每小时走6千米，乙每小时走5千米，两个人在距离中点1.5千米的地方相遇。求A、B两地之间的距离。（适于五年级程度）
解：由题意可知，当二人相遇时，甲比乙多走了1.5×2千米（图35-2），甲比乙每小时多行（6-5）千米。由路程差与速度差，可求出相遇时间，进而求出A、B两地之间的距离。
（6+5）×[1.5×2÷（6-5）]
=11×[1.5×2÷1]
=11×3
=33（千米）
答略。
2）求各行多少
例1 两地相距37.5千米，甲、乙二人同时从两地出发相向而行，甲每小时走3.5千米，乙每小时走4千米。相遇时甲、乙二人各走了多少千米？（适于五年级程度）
解：到甲、乙二人相遇时所用的时间是：
37.5÷（3.5+4）=5（小时）
甲行的路程是：
3.5×5=17.5（千米）
乙行的路程是：
4×5=20（千米）
答略。
例2 甲、乙二人从相距40千米的两地同时相对走来，甲每小时走4千米，乙每小时走6千米。相遇后他们又都走了1小时。两人各走了多少千米？（适于五年级程度）
解：到甲、乙二人相遇所用的时间是：
40÷（4+6）=4（小时）
由于他们又都走了1小时，因此两人都走了：
4+1=5（小时）
甲走的路程是：
4×5=20（千米）
乙走的路程是：
6×5=30（千米）
答略。
例3 两列火车分别从甲、乙两个火车站相对开出，第一列火车每小时行48.65千米，第二列火车每小时行47.35千米。在相遇时第一列火车比第二列火车多行了5.2千米。到相遇时两列火车各行了多少千米？（适于五年级程度）
解：两车同时开出，行的路程有一个差，这个差是由于速度不同而形成的。可以根据“相遇时间=路程差÷速度差”的关系求出相遇时间，然后再分别求出所行的路程。
从出发到相遇所用时间是：
5.2÷（48.65-47.35）
=5.2÷1.3
=4（小时）
第一列火车行驶的路程是：
48.65×4=194.6（千米）
第二列火车行驶的路程是：
47.35×4=189.4（千米）
答略。
*例4 东、西两车站相距564千米，两列火车同时从两站相对开出，经6小时相遇。第一列火车比第二列火车每小时快2千米。相遇时这两列火车各行了多少千米？（适于五年级程度）
解：两列火车的速度和是：
564÷6=94（千米/小时）
第一列火车每小时行：
（94+2）÷2=48（千米）
第二列火车每小时行：
48-2=46（千米）
相遇时，第一列火车行：
48×6=288（千米）
第二列火车行：
46×6=276（千米）
答略。
2.求相遇时间
例1 两个城市之间的路程是500千米，一列客车和一列货车同时从两个城市相对开出，客车的平均速度是每小时55千米，货车的平均速度是每小时45千米。两车开了几小时以后相遇？（适于五年级程度）
解：已知两个城市之间的路程是500千米，又知客车和货车的速度，可求出两车的速度之和。用两城之间的路程除以两车的速度之和可以求出两车相遇的时间。
500÷（55+45）
=500÷100
=5（小时）
答略。
例2 两地之间的路程是420千米，一列客车和一列货车同时从两个城市
答略。
例3 在一次战役中，敌我双方原来相距62.75千米。据侦察员报告，敌人已向我处前进了11千米。我军随即出发迎击，每小时前进6.5千米，敌人每小时前进5千米。我军出发几小时后与敌人相遇？（适于五年级程度）
解：此题已给出总距离是62.75千米，由“敌人已向我处前进了11千米”可知实际的总距离减少到（62.75-11）千米。
（62.75-11）÷（6.5+5）
=51.75÷11.5
=4.5（小时）
答：我军出发4.5小时后与敌人相遇。
例4 甲、乙两地相距200千米，一列货车由甲地开往乙地要行驶5小时；一列客车由乙地开往甲地需要行驶4小时。如果两列火车同时从两地相对开出，经过几小时可以相遇？（得数保留一位小数）（适于五年级程度）
解：此题用与平常说法不同的方式给出了两车的速度。先分别求出速度再求和，根据“时间=路程÷速度”的关系，即可求出相遇时间。
200÷（200÷5+200÷4）
=200÷（40+50）
=200÷90
≈2.2（小时）
答：两车大约经过2.2小时相遇。
例5 在复线铁路上，快车和慢车分别从两个车站开出，相向而行。快车车身长是180米，速度为每秒钟9米；慢车车身长210米，车速为每秒钟6米。从两车头相遇到两车的尾部离开，需要几秒钟？（适于五年级程度）
解：因为是以两车离开为准计算时间，所以两车经过的路程是两个车身的总长。总长除以两车的速度和，就得到两车从相遇到车尾离开所需要的时间。
（180+210）÷（9+6）
=390÷15
=26（秒）
答略。
3.求速度
例1 甲、乙两个车站相距550千米，两列火车同时由两站相向开出，5小时相遇。快车每小时行60千米。慢车每小时行多少千米？（适于五年级程度）
解：先求出速度和，再从速度和中减去快车的速度，便得出慢车每小时行：
550÷5-60
=110-60
=50（千米）
答略。
例2 A、B两个城市相距380千米。客车和货车从两个城市同时相对开出，经过4小时相遇。货车比客车每小时快5千米。这两列车每小时各行多少千米？（适于五年级程度）
解：客车每小时行：
（380÷4-5）÷2
=（95-5）÷2
=45（千米）
货车每小时行：
45+5=50（千米）
答略。
例3 甲、乙两个城市相距980千米，两列火车由两城市同时相对开出，经过10小时相遇。快车每小时行50千米，比慢车每小时多行多少千米？（适于五年级程度）
解：两城市的距离除以两车相遇的时间，得到两车的速度和。从两车的速度和中减去快车的速度，得到慢车的速度。再用快车速度减去慢车的速度，即得到题中所求。
50-（980÷10-50）
=50-（98-50）
=50-48
=2（千米）
答略。
例4 甲、乙两地相距486千米，快车与慢车同时从甲、乙两地相对开出，经过6小时相遇。已知快车与慢车的速度比是5∶4。求快车和慢车每小时各行多少千米？（适于六年级程度）
两车的速度和是：
486÷6=81（千米/小时）
快车每小时行：
慢车每小时行：
答略。
例5 两辆汽车同时从相距465千米的两地相对开出，4.5小时后两车还相距120千米。一辆汽车每小时行37千米。另一辆汽车每小时行多少千米？（适于五年级程度）
解：如果两地间的距离减少120千米，4.5小时两车正好相遇。也就是两车4.5小时行465-120=345千米，345千米除以4.5小时，可以求出两车速度之和。从速度之和减去一辆车的速度，得到另一辆车的速度。
答略。
例6 甲、乙两人从相距40千米的两地相向而行。甲步行，每小时走5千米，先出发0.8小时。乙骑自行车，骑2小时后，两人在某地相遇。乙骑自行车每小时行多少千米？（适于五年级程度）
解：两人相遇时，甲共走：
0.8+2=2.8（小时）
甲走的路程是：
5×2.8=14（千米）
乙在2小时内行的路程是：
40-14=26（千米）
所以，乙每小时行：
26÷2=13（千米）
综合算式：
[40-5×（0.8+2）]÷2
=[40-5×2.8]÷2
=[40-14]÷2
=26÷2
=13（千米）
答略。
例7 甲、乙二人从相距50千米的两地相对而行。甲先出发，每小时步行5千米。1小时后乙骑自行车出发，骑了2小时，两人相距11千米。乙每小时行驶多少千米？（适于五年级程度）
解：从相距的50千米中，去掉甲在1小时内先走的5千米，又去掉相隔的11千米，便得到：
50-5-11=34（千米）
这时，原题就改变成“两地相隔34千米，甲、乙二人分别从两地同时相对而行。甲步行，乙骑自行车，甲每小时走5千米。经过2小时两人相遇。乙每小时行多少千米？”
由此可知，二人的速度和是：
34÷2=17（千米/小时）
乙每小时行驶的路程是：
17-5=12（千米）
综合算式：
（50-5-11）÷2-5
=34÷2-5
=17-5
=12（千米）
答略。
（二）追及问题
追及问题的地点可以相同（如环形跑道上的追及问题），也可以不同，但方向一般是相同的。由于速度不同，就发生快的追及慢的问题。
根据速度差、距离差和追及时间三者之间的关系，常用下面的公式：
距离差=速度差×追及时间
追及时间=距离差÷速度差
速度差=距离差÷追及时间
速度差=快速-慢速
解题的关键是在互相关联、互相对应的距离差、速度差、追及时间三者之中，找出两者，然后运用公式求出第三者来达到解题目的。
*例1 甲、乙二人在同一条路上前后相距9千米。他们同时向同一个方向前进。甲在前，以每小时5千米的速度步行；乙在后，以每小时10千米的速度骑自行车追赶甲。几小时后乙能追上甲？（适于高年级程度）
解：求乙几小时追上甲，先求乙每小时能追上甲的路程，是：
10-5=5（千米）
再看，相差的路程9千米中含有多少个5千米，即得到乙几小时追上甲。
9÷5=1.8（小时）
综合算式：
9÷（10-5）
=9÷5
=1.8（小时）
答略。
*例2 甲、乙二人在相距6千米的两地，同时同向出发。乙在前，每小时行5千米；甲在后，每小时的速度是乙的1.2倍。甲几小时才能追上乙？（适于高年级程度）
解：甲每小时行：
5×1.2=6（千米）
甲每小时能追上乙：
6-5=1（千米）
相差的路程6千米中，含有多少个1千米，甲就用几小时追上乙。
6÷1=6（小时）
答：甲6小时才能追上乙。
*例3 甲、乙二人围绕一条长400米的环形跑道练习长跑。甲每分钟跑350米，乙每分钟跑250米。二人从起跑线出发，经过多长时间甲能追上乙？（适于高年级程度）
解：此题的运动路线是环形的。求追上的时间是指快者跑一圈后追上慢者，也就是平时所说的“落一圈”，这一圈相当于在直线上的400米，也就是追及的路程。因此，甲追上乙的时间是：
400÷（350-250）
=400÷100
=4（分钟）
答略。
*例4 在解放战争的一次战役中，我军侦察到敌军在我军南面6千米的某地，正以每小时5.5千米的速度向南逃窜，我军立即以每小时8.5千米的速度追击敌人。在追上敌人后，只用半小时就全歼敌军。从开始追击到全歼敌军，共用了多长时间？（适于高年级程度）
解：敌我两军行进的速度差是：
8.5-5.5=3（千米/小时）
我军追上敌军用的时间是：
6÷3=2（小时）
从开始追击到全歼敌军，共用的时间是：
2+0.5=2.5（小时）
综合算式：
60÷（8.5-5.5）+0.5
=6÷3+0.5
=2.5（小时）
答略。
*例5 一排解放军从驻地出发去执行任务，每小时行5千米。离开驻地3千米时，排长命令通讯员骑自行车回驻地取地图。通讯员以每小时10千米的速度回到驻地，取了地图立即返回。通讯员从驻地出发，几小时可以追上队伍？（适于高年级程度）
解：通讯员离开队伍时，队伍已离开驻地3千米。通讯员的速度等于队伍的2倍（10÷5=2），通讯员返回到驻地时，队伍又前进了（3÷2）千米。这样，通讯员需追及的距离是（3+3÷2）千米，而速度差是（10-5）千米/小时。
根据“距离差÷速度差=时间”可以求出追及的时间。
（3+3÷2）÷（10-5）
=4.5÷5
=0.9（小时）
答略。
（三）相离问题
相离问题就是两个人或物体向相反方向运动的应用题，也叫做相背运动问题。
解相离问题一般遵循“两个人或物体出发地之间的距离+速度和×时间=两个人或物体之间的距离”。
例1 哥哥由家向东到工厂去上班，每分钟走85米，弟弟同时由家往西到学校去上学，每分钟走75米。几分钟后二人相距960米？（适于四年级程度）
解：二人同时、同地相背而行，只要求出速度和，由“时间=距离÷速度和”即可求出所行时间。因此，得：
960÷（85+75）
=960÷160
=6（分钟）
答略。
例2 甲、乙二人从同一城镇某车站同时出发，相背而行。甲每小时行6千米，乙每小时行7千米。8小时后，甲、乙二人相距多少千米？（适于四年级程度）
解：先求出二人速度之和，再乘以时间就得到二人之间的距离。
（6+7）×8
=13×8
=104（千米）
答略。
*例3 东、西两镇相距69千米。张、王二人同时自两镇之间的某地相背而行，6小时后二人分别到达东、西两镇。已知张每小时比王多行1.5千米。二人每小时各行多少千米？出发地距东镇有多少千米？（适于高年级程度）
解：由二人6小时共行69千米，可求出他们的速度和是（69÷6）千米/小时。张每小时比王多行1.5千米，这是他们的速度差。从而可以分别求出二人的速度。
张每小时行：
（69÷6+1.5）÷2
=（11.5+1.5）÷2
=13÷2
=6.5（千米）
王每小时行：
6.5-1.5=5（千米）
出发地距东镇的距离是：
6.5×6=39（千米）
答：张每小时行6.5千米，王每小时行5千米；出发地到东镇的距离是39千米。
第三十六讲 解工程问题的方法
工程问题是研究工作量、工作效率和工作时间三者之间关系的问题。这三者之间的关系是：
工作效率×工作时间=工作量
工作量÷工作时间=工作效率
工作量÷工作效率=工作时间
根据上面的数量关系，只要知道三者中的任意两种量，就可求出第三种量。
由于工作量的已知情况不同，工程问题可分为整数工程问题和分数工程问题两类。在整数工程问题中，工作量是已知的具体数量。解答这类问题时，只要按照上面介绍的数量关系计算就可解题，计算过程中一般不涉及分率。在分数工程问题中，工作量是未知数量。解这类题时，也要根据上面介绍的数量关系计算，但在计算过程中要涉及到分率。
（一）工作总量是具体数量的工程问题
例1 建筑工地需要1200吨水泥，用甲车队运需要15天，用乙车队运需要10天。两队合运需要多少天？（适于四年级程度）
解：这是一道整数工程问题，题中给出了总工作量是具体的数量1200吨，还给出了甲、乙两队完成总工作量的具体时间。先根据“工作量÷工作时间=工作效率”，分别求出甲、乙两队的工作效率。再根据两队工作效率的和及总工作量，利用公式“工作量÷工作效率=工作时间”，求出两队合运需用多少天。
甲车队每天运的吨数：（甲车队工作效率）
1200÷15=80（吨）
乙车队每天运的吨数：（乙车队工作效率）
1200÷10=120（吨）
两个车队一天共运的吨数：
80+120=200（吨）
两个车队合运需用的天数：
1200÷200=6（天）
综合算式：
1200÷（1200÷15+1200÷10）
=1200÷（80+120）
=1200÷200
=6（天）
答略。
*例2 生产350个零件，李师傅14小时可以完成。如果李师傅和他的徒弟小王合作，则10小时可以完成。如果小王单独做这批零件，需多少小时？（适于四年级程度）
解：题中工作总量是具体的数量，李师傅完成工作总量的时间也是具体的。
李师傅1小时可完成：
350÷14=25（个）
由“如果李师傅和他的徒弟小王合作，则10小时可以完成”可知，李师傅和徒弟小王每小时完成：
350÷10=35（个）
小王单独工作一小时可完成：
35-25=10（个）
小王单独做这批零件需要：
350÷10=35（小时）
综合算式：
350÷（350÷10-350÷14）
=350÷（35-25
=350÷10
=35（小时）
答略。
*例3 把生产2191打毛巾的任务，分配给甲、乙两组。甲组每小时生产毛巾128打，乙组每小时生产毛巾160打。乙组生产2小时后，甲组也开始生产。两组同时完工时超产1打。乙组生产了多长时间？（适于四年级程度）
解：两组共同生产的总任务是：
2191-160×2+1=1872（打）
两组共同生产的时间是：
1872÷（160+128）=6.5（小时）
乙组生产的时间是：
6.5+2=8.5（小时）
综合算式：
（2191-160×2+1）÷（160+128）+2
=1872÷288+2
=6.5+2
=8.5（小时）
答略。
一同生产用了多少小时？（适于六年级程度）
解：两台机器一同生产的个数是：
108-45=63（个）
第一台机器每小时生产：
第二台机器每小时生产：
两台机器一同生产用的时间是：
63÷（4+5）=7（小时）
综合算式：
答略。
（二）工作总量不是具体数量的工程问题
例1 一项工程，甲队单独做24天完成，乙队单独做16天完成。甲、乙两队合做，多少天可以完成？（适于六年级程度）
解：把这项工程的工作总量看作1。甲队单独做24天完成，做1天完成
答略。
例2 一项工程，由甲工程队修建需要20天，由乙工程队修建需要30
解：把这项工程的工作总量看作1，由甲工程队修建需要20天，知甲工
答略。
例3 一项工程，甲、乙合做5天可以完成，甲单独做15天可以完成。乙单独做多少天可以完成？（适于六年级程度）
解：把这项工程的工作量看作1。甲、乙合做5天可以完成，甲、乙合
需要多长的时间。
=7.5（天）
答：乙单独做7.5天可以完成。
例4 有一个水箱，用甲水管注水10分钟可以注满，用乙水管注水8分钟可以注满。甲、乙两管同时开放2分钟后，注入水箱中的水占水箱容量的几分之几？（适于六年级程度）
解：把水箱的容量看作1。用甲水管注水10分钟可以注满，则甲水管1
的：
答略。
例5 一项工程，由甲、乙、丙三人各自单独做分别要用6天、3天、2天完成任务。如果三人合作需要几天完成任务？（适于六年级程度）
解：甲、乙、丙三人各自单独做分别要用6天、3天、2天完成任务，
=1（天）
答略。
所以，乙单独做可以完成的时间是：
综合算式：
=6（天）
答略。
以完成？（适于六年级程度）
解：甲队独做3天，乙队独做5天所完成的工作量，相当于甲乙两队合做3天，乙队再独做2天所完成的工作量。这时完成了全工程的：
乙队单独做完成的时间是：
答略。
*例8加工一批零件，甲独做需要3天完成，乙独做需要4天完成。两人同时加工完成任务时，甲比乙多做24个。这批零件有多少个？（适于六年级程度）
解：解这道题的关键是，求出24个零件相当于零件总数的几分之几。
完成任务时甲比乙多做：
综合算式：
答略。
*例9 一项工程，甲单独做20天完成，乙单独做30天完成。甲、乙合做了数天后，乙因事请假，甲继续做，从开工到完成任务共用了14天。乙请假几天？（适于六年级程度）
解：根据“甲单独做20天完成”和“从开工到完成任务共用了14天”，可知甲做了全工程的：
乙做了全工程的：
乙请假的天数是：
14-9=5（天）
综合算式：
答略。
*例10 一项工程，乙队单独做需要15天完成。甲、乙两队合做，比乙队单独做可提前6天完成。如果甲、乙两队合做5天后，再由甲队单独做，甲队还需要多少天才能完成？（适于六年级程度）
解：设这项工程为1，则乙队每天做：
两队合做时每天做：
甲队每天做：
两队合做5天后剩下的工作量是：
甲队做剩的工作还需要的时间是：
综合算式：
答略。
（三）用解工程问题的方法解其他类型的应用题
例1 甲、乙两地相距487千米。李华驾驶摩托车从甲地到乙地，需要1小时；王明骑自行车从乙地到甲地需要3小时。照这样的速度，两人分别从两地同时相向出发，经过几小时在途中相遇？
一般解法：（适于四年级程度）
用解工程问题的方法解：（适于六年级程度）
把全程看作1。李华驾驶摩托车从甲地到乙地需要1小时，李华的速度就是1；王明骑自行车从乙地到甲地需要3小时，王明每1小时要行全程的
例2 某学校食堂购进一车煤，原计划烧60天。由于改进了炉灶的构造，实际每天比原来少烧10千克，这样这车煤烧了70天。这车煤重多少千克？
*一般解法：（适于四年级程度）
10×60÷（70-60）×70
=4200（千克）
答：这车煤重4200千克。
用解工程问题的方法解：（适于六年级程度）
答略。
例2 一项工程，甲队单独做16天完成，乙队单独做20天完成。甲队先做7天，然后由甲、乙两队合做。甲、乙两队合做还要多少天才能完成？（适于六年级程度）
解：把这项工程的总工作量看做16×20份，则甲队每天做20份，乙队每天做16份。
甲队先做7天，完成的工作量是：
20×7=140（份）
甲队做7天后，剩下的工作量是：
16×20-140=180（份）
甲、乙两队合做，一天可以完成：
20+16=36（份）
甲、乙两队合做还需要的天数是：
180÷36=5（天）
答略。
例3 一个水池装有进、出水管各一个。单开进水管10分钟可将空池注满，单开出水管12分钟可将满池水放完。若两管齐开多少分钟可将空池注满？（适于六年级程度）
解：把注满全池水所用的时间看作10×12份，当进水管进12份的水量时，出水管可放出10份的水量，进出水相差的水量是：
12-10=2（份）
甲、乙两管齐开注满水池所用的时间是：
10×12÷2=60（分钟）
答：若两管齐开60分钟可将空池注满。
（五）根据时间差解工程问题
例1 师、徒二人共同加工一批零件，需要4小时完成。师傅单独加工这批零件需要5小时完成。师、徒二人共同加工完这批零件时，徒弟加工了30个。这批零件有多少个？（适于六年级程度）
解：从时间差考虑，师、徒共同加工完的时间与师傅单独加工完的时间相差5-4=1（小时）。这说明师傅1小时加工的零件数等于徒弟4小时加工的零件数。
所以，师傅5小时加工的零件就是这批零件的总数：
30×5=150（个）
答略。
例2 一份稿件需要打字，甲、乙两人合打10天可以完成。甲单独打15天可以完成。乙单独打需要几天完成？（适于六年级程度）
解：从时间差考虑，甲、乙两人合打完成与甲单独打完，两者的时间差是15-10=5（天），这说明甲5天的工作量相当于乙10天的工作量。
那么，甲15天的工作量，乙要工作：
10÷5×15=30（天）
答：乙单独打需要30天完成。
例3 一辆快车和慢车同时分别从A、B两站相对开出，经过12小时相遇。已知快车行完全程需要20小时。求两车相遇后慢车还要行多少小时才能到达A站？（适于六年级程度）
解：从时间差考虑，两车相遇与快车行完全程的时间差是20-12=8（小时）。这说明快车8小时行的路程相当于慢车12小时行的路程。那么快车行12小时的路程，慢车要行多长时间？也就是两车相遇后慢车还要行驶而到达A点的时间。
12÷8×12=18（小时）
答略。
第三十七讲、解流水问题的方法
流水问题是研究船在流水中的行程问题，因此，又叫行船问题。在小学数学中涉及到的题目，一般是匀速运动的问题。这类问题的主要特点是，水速在船逆行和顺行中的作用不同。
流水问题有如下两个基本公式：
顺水速度=船速+水速 （1）
逆水速度=船速-水速 （2）
这里，顺水速度是指船顺水航行时单位时间里所行的路程；船速是指船本身的速度，也就是船在静水中单位时间里所行的路程；水速是指水在单位时间里流过的路程。
公式（1）表明，船顺水航行时的速度等于它在静水中的速度与水流速度之和。这是因为顺水时，船一方面按自己在静水中的速度在水面上行进，同时这艘船又在按着水的流动速度前进，因此船相对地面的实际速度等于船速与水速之和。
公式（2）表明，船逆水航行时的速度等于船在静水中的速度与水流速度之差。
根据加减互为逆运算的原理，由公式（1）可得：
水速=顺水速度-船速 （3）
船速=顺水速度-水速 （4）
由公式（2）可得：
水速=船速-逆水速度 （5）
船速=逆水速度+水速 （6）
这就是说，只要知道了船在静水中的速度、船的实际速度和水速这三者中的任意两个，就可以求出第三个。
另外，已知某船的逆水速度和顺水速度，还可以求出船速和水速。因为顺水速度就是船速与水速之和，逆水速度就是船速与水速之差，根据和差问题的算法，可知：
船速=（顺水速度+逆水速度）÷2 （7）
水速=（顺水速度-逆水速度）÷2 （8）
*例1 一只渔船顺水行25千米，用了5小时，水流的速度是每小时1千米。此船在静水中的速度是多少？（适于高年级程度）
解：此船的顺水速度是：
25÷5=5（千米/小时）
因为“顺水速度=船速+水速”，所以，此船在静水中的速度是“顺水速度-水速”。
5-1=4（千米/小时）
综合算式：
25÷5-1=4（千米/小时）
答：此船在静水中每小时行4千米。
例2 一只渔船在静水中每小时航行4千米，逆水4小时航行12千米。水流的速度是每小时多少千米？（适于高年级程度）
解：此船在逆水中的速度是：
12÷4=3（千米/小时）
因为逆水速度=船速-水速，所以水速=船速-逆水速度，即：
4-3=1（千米/小时）
答：水流速度是每小时1千米。
*例3 一只船，顺水每小时行20千米，逆水每小时行12千米。这只船在静水中的速度和水流的速度各是多少？（适于高年级程度）
解：因为船在静水中的速度=（顺水速度+逆水速度）÷2，所以，这只船在静水中的速度是：
（20+12）÷2=16（千米/小时）
因为水流的速度=（顺水速度-逆水速度）÷2，所以水流的速度是：
（20-12）÷2=4（千米/小时）
答略。
*例4 某船在静水中每小时行18千米，水流速度是每小时2千米。此船从甲地逆水航行到乙地需要15小时。求甲、乙两地的路程是多少千米？此船从乙地回到甲地需要多少小时？（适于高年级程度）
解：此船逆水航行的速度是：
18-2=16（千米/小时）
甲乙两地的路程是：
16×15=240（千米）
此船顺水航行的速度是：
18+2=20（千米/小时）
此船从乙地回到甲地需要的时间是：
240÷20=12（小时）
答略。
*例5 某船在静水中的速度是每小时15千米，它从上游甲港开往乙港共用8小时。已知水速为每小时3千米。此船从乙港返回甲港需要多少小时？（适于高年级程度）
解：此船顺水的速度是：
15+3=18（千米/小时）
甲乙两港之间的路程是：
18×8=144（千米）
此船逆水航行的速度是：
15-3=12（千米/小时）
此船从乙港返回甲港需要的时间是：
144÷12=12（小时）
综合算式：
（15+3）×8÷（15-3）
=144÷12
=12（小时）
答略。
*例6 甲、乙两个码头相距144千米，一艘汽艇在静水中每小时行20千米，水流速度是每小时4千米。求由甲码头到乙码头顺水而行需要几小时，由乙码头到甲码头逆水而行需要多少小时？（适于高年级程度）
解：顺水而行的时间是：
144÷（20+4）=6（小时）
逆水而行的时间是：
144÷（20-4）=9（小时）
答略。
*例7 一条大河，河中间（主航道）的水流速度是每小时8千米，沿岸边的水流速度是每小时6千米。一只船在河中间顺流而下，6.5小时行驶260千米。求这只船沿岸边返回原地需要多少小时？（适于高年级程度）
解：此船顺流而下的速度是：
260÷6.5=40（千米/小时）
此船在静水中的速度是：
40-8=32（千米/小时）
此船沿岸边逆水而行的速度是：
32-6=26（千米/小时）
此船沿岸边返回原地需要的时间是：
260÷26=10（小时）
综合算式：
260÷（260÷6.5-8-6）
=260÷（40-8-6）
=260÷26
=10（小时）
答略。
*例8 一只船在水流速度是2500米/小时的水中航行，逆水行120千米用24小时。顺水行150千米需要多少小时？（适于高年级程度）
解：此船逆水航行的速度是：
120000÷24=5000（米/小时）
此船在静水中航行的速度是：
5000+2500=7500（米/小时）
此船顺水航行的速度是：
7500+2500=10000（米/小时）
顺水航行150千米需要的时间是：
150000÷10000=15（小时）
综合算式：
150000÷（120000÷24+2500×2）
=150000÷（5000+5000）
=150000÷10000
=15（小时）
答略。
*例9 一只轮船在208千米长的水路中航行。顺水用8小时，逆水用13小时。求船在静水中的速度及水流的速度。（适于高年级程度）
解：此船顺水航行的速度是：
208÷8=26（千米/小时）
此船逆水航行的速度是：
208÷13=16（千米/小时）
由公式船速=（顺水速度+逆水速度）÷2，可求出此船在静水中的速度是：
（26+16）÷2=21（千米/小时）
由公式水速=（顺水速度-逆水速度）÷2，可求出水流的速度是：
（26-16）÷2=5（千米/小时）
答略。
*例10 A、B两个码头相距180千米。甲船逆水行全程用18小时，乙船逆水行全程用15小时。甲船顺水行全程用10小时。乙船顺水行全程用几小时？（适于高年级程度）
解：甲船逆水航行的速度是：
180÷18=10（千米/小时）
甲船顺水航行的速度是：
180÷10=18（千米/小时）
根据水速=（顺水速度-逆水速度）÷2，求出水流速度：
（18-10）÷2=4（千米/小时）
乙船逆水航行的速度是：
180÷15=12（千米/小时）
乙船顺水航行的速度是：
12+4×2=20（千米/小时）
乙船顺水行全程要用的时间是：
180÷20=9（小时）
综合算式：
180÷[180÷15+（180÷10-180÷18）÷2×3]
=180÷[12+（18-10）÷2×2]
=180÷[12+8]
=180÷20
=9（小时）
答略。
第三十八讲 解植树问题的方法
植树问题是研究植树地段的全长、间隔距离、株数三种数量之间的关系的应用题。植树应用题基本分为两类：沿路旁植树；沿周长植树。
沿路旁植树，因为首尾两端都要种一棵，所以植树棵数要比分成的段数多1；沿周长植树，因为首尾两端重合在一起，所以，植树的棵数和所分成的段数相等。
解答植树问题的基本方法是：
（1）沿路旁植树
棵数=全长÷间隔+1
间隔=全长÷（棵数-1）
全长=间隔×（棵数-1）
（2）沿周长植树
棵数=全长÷间隔
间隔=全长÷棵数
全长=间隔×棵数
（一）沿路旁植树
例1 有一段路长720米，在路的一边每间隔3米种1棵树。问这样可以种多少棵树？（适于三年级程度）
解：根据棵数=全长÷间隔+1的关系，可得：
720÷3+1
=240+1
=241（棵）
答：可以种241棵树。
例2 在某城市一条柏油马路上，从始发站到终点站共有14个车站，每两个车站间的平均距离是1200米。这条马路有多长？（适于三年级程度）
解：根据全长=间隔×（棵数-1）的关系，可得：
1200×（14-1）
=1200×13
=15600（米）
答：这条马路长15600米。例3 要在612米长的水渠的一岸植树154棵。每相邻两棵树间的距离是多少米？（适于三年级程度）
解：根据“间隔=全长÷（棵数-1）”的关系，可得：
612÷（154-1）
=612÷153
=4（米）
答：每相邻两棵树间的距离是4米。
例4 两座楼房之间相距60米，现要在两座楼房之间栽树9棵。每两棵树的间隔是多少米？（适于三年级程度）
解：因为在60米的两端是两座楼房，不能紧挨着楼房的墙根栽树，所以，把60米平均分成的段数要比树的棵数多1。由距离和段数便可求出两棵树之间的距离：
60÷（9+1）
=60÷10
=6（米）
答：每两棵树的间隔是6米。
*例5 原计划沿公路一旁埋电线杆301根，每相邻两根间的距离50米。实际上在公路一旁只埋了201根电线杆。求实际上每两根电线杆之间的距离。（适于四年级程度）
解：题中所埋电线杆的根数比段数多1，因此在计算段数时，要从根数减去1，才得段数。
50×（301-1）÷（201-1）
=50×300÷200
=75（米）
答：实际上每两根电线杆之间的距离是75米。
（二）沿周长植树
例1 在周长是480米的圆形养鱼池周围，每隔12米栽一棵树。一共可以栽多少棵树？（适于三年级程度）
解：根据棵数=全长÷间隔，可求出一共栽树的棵数：
480÷12=40（棵）
答：一共可以栽40棵树。
例2 一个圆形湖的周长是945米，沿着湖的周长栽了270棵树。求相邻两棵树间的距离是多少米？（适于三年级程度）
解：
945÷270=3.5（米）
答：相邻两棵树间的距离是3.5米。
例3 一块长方形场地，长300米，宽比长少50米。从这个长方形的一个角开始，沿长方形的周长栽树，每隔10米栽一棵。这块场地周围可以栽树多少棵？（适于四年级程度）
解：先求出长方形场地的周长，再求可栽树多少棵。
（300+300-50）×2÷10
=550×2÷10
=1100÷10
=110（棵）
答：可以栽树110棵。
*例4 有一个圆形花坛，绕它走一圈是120米。如果在花坛周围每隔6米栽一株丁香花，再在每相邻的两株丁香花之间等距离地栽2株月季花。可栽丁香花多少株？可栽月季花多少株？每2株紧相邻的月季花相距多少米？（适于四年级程度）
解：根据棵数=全长÷间隔可求出栽丁香花的株数：
120÷6=20（株）
由于是在每相邻的2株丁香花之间栽2株月季花，丁香花的株数与丁香花之间的间隔数相等，因此，可栽月季花：
2×20=40（株）
由于2株丁香花之间的2株月季花是紧相邻的，而2株丁香花之间的距离被2株月季花分为3等份，因此紧相邻2株月季花之间距离为：
6÷3=2（米）
答：可栽丁香花20株，可栽月季花40株，2株紧相邻月季花之间相距2米。
例5 在圆形水池边植树，把树植在距离岸边均为3米的圆周上，按弧长计算，每隔2米植一棵树，共植了314棵。水池的周长是多少米？（适于六年级程度）
解：先求出植树线路的长。植树线路是一个圆的周长，这个圆的周长是：
2×314=628（米）
这个圆的直径是：
628÷3.14=200（米）
由于树是植在距离岸边均为3米的圆周上，所以圆形水池的直径是：
200-3×2=194（米）
圆形水池的周长是：
194×3.14=609.16（米）
综合算式：
（2×314÷3.14-3×2）×3.14
=（200-6）×3.14
=194×3.14
=609.16（米）
答略。
第三十九讲 解时钟问题的方法
研究时钟的长针（分针）与短针（时针）成直线、成直角与重合的问题，叫做时钟问题。
钟表的分针每小时走60个小格，而时针每小时只走5个小格；分针每分
出题中所要求的时间。
解题规律：
（1）求两针成直线所需要的时间，有：
（3）求两针重合所需要的时间，有：
求出所需要的时间后，再加上原来的时刻，就得出两针形成各种不同位置的时刻。
（一）求两针成直线所需要的时间
*例1 在7点钟到8点钟之间，分针与时针什么时候成直线？（适于高年级程度）
解：在7点钟的时候，分针在时针后面（图39-1）：
5×7=35（格）
当分针与时针成直线时，两针的间隔是30格。因此，只需要分针追上时针：
35-30=5（格）
综合算式：
*例2 在4点与5点之间，分针与时针什么时候成直线？（适于高年级程度）
解：4点钟时，分针在时针的后面（图39-2）：
5×4=20（格）
当分针与时针成直线时，分针不仅要追上已落后的20格，还要超过时针30格，所以一共要追上：
20+30=50（格）
综合算式：
（二）求两针成直角所需要的时间
*例1 在6点到7点之间，时针与分针什么时候成直角？（适于高年级程度）
解：分针与时针成直角时，分针在时针前面15格或时针后面15格，因此，本题有两个答案。
（1）6点钟时，分针在时针后面（图39-3）：
5×6=30（格）
因为两针成直角时，分针在时针后面15格，所以分针追上时针的格数是：
30-15=15（格）
综合算式：
（2）以上是两针第一次成直角的时刻。当两针第二次成直角时，分针在时针前面15格，所以分针不仅追上时针，而且要超过时针：
5×6+15=45（格）
综合算式：
*例2 在1点到2点之间，时针与分针在什么时候成直角？（适于高年级程度）
解：1点钟时，分针在时针后面：
5×1=5（格）
当分针与时针成直角时，两针间隔是15格，因此，分针不仅要追上时针5格，而且要超过时针15格，分针实际追上时针的格数是：
5+15=20（格）
综合算式：
当分针走到时针前面45格（也就是走到时针后面15格）时，两针也成直角。因此，所需时间是：
*例3 在11点与12点之间，时针与分针在什么时候成直角？（适于高年级程度）
解：在11点钟时，分针在时针后面：
5×11=55（格）
第一次两针成直角时，分针是在时针后面45格，因此，分针需要追上时针的格数是：
55-45=10（格）
综合算式：
（三）求两针重合所需要的时间
在11点到1点之间，两针除在12点整重合外，其他每一点钟之间都有一次重合。
*例1 3点钟到4点钟之间，分针与时针在什么时候重合？（适于高年级程度）
解：在3点钟时，分针在时针后面：
5×3=15（格）
*例2在4点与5点之间，两针什么时候重合？（适于高年级程度）
解：在4点钟时，分针在时针后面5×4格，分针只要追上时针4×5格，两针就重。
“时间就是生命”。自从人类发明了计时工具——钟表，人们的生活就离不开它了。什么时间起床，什么时间吃饭，什么时间上学……全都依靠钟表，如果没有钟表，生活就乱套了。
时钟问题就是研究钟面上时针和分针关系的问题。大家都知道，钟面的一周分为60格，分针每走60格，时针正好走5格，所以时针的速度是分针速度
垂直、两针成直线、两针成多少度角提出问题。因为时针与分针的速度不同，并且都沿顺时针方向转动，所以经常将时钟问题转化为追及问题来解。
例1 现在是2点，什么时候时针与分针第一次重合？
分析：如右图所示，2点分针指向12，时针指向2，分针在时针后面





例2 在7点与8点之间，时针与分针在什么时刻相互垂直？
分析与解：7点时分针指向12，时针指向7（见右图），分针在时针后 面5×7＝35（格）。时针与分针垂直，即时针与分针相差15格，在7点与8点之间，有下图所示的两种情况：
（1）顺时针方向看，分针在时针后面15格。从7点开始，分针要比时针多走35-15=20（格），需

（2）顺时针方向看，分针在时针前面15格。从7点开始，分针要比时针多走35＋15＝50（格），需


例3 在3点与4点之间，时针和分针在什么时刻位于一条直线上？
分析与解：3点时分针指向12，时针指向3（见右图），分针在时针后 面5×3＝15（格）。时针与分针在一条直线上，可分为时针与分针重合、时针与分针成180°角两种情况（见下图）：
（1）时针与分针重合。从3点开始，分针要比时针多走15格，需15÷

（2）时针与分针成180°角。从3点开始，分针要比时针多走15＋30


例4 晚上7点到8点之间电视里播出一部动画片，开始时分针与时针正好成一条直线，结束时两针正好重合。这部动画片播出了多长时间？
分析与解：这道题可以利用例3的方法，先求出开始的时刻和结束的时刻，再求出播出时间。但在这里，我们可以简化一下。因为开始时两针成180°，结束时两针重合，分针比时针多转半圈，即多走30格，所以播出时间为

例1～例4都是利用追及问题的解法，先找出时针与分针所行的路程差是多少格，再除以它们的速度差求出准确时间。但是，有些时钟问题不太容易求出路程差，因此不能用追及问题的方法求解。如果将追及问题变为相遇问题，那么有时反而更容易。
例5 3点过多少分时，时针和分针离“3”的距离相等，并且在“3”的两边？
分析与解：假设3点以后，时针以相反的方向行走，时针和分针相遇的时刻就是本题所求的时刻。这就变成了相遇问题，两针所行距离和是15个格。



例6 小明做作业的时间不足1时，他发现结束时手表上时针、分针的位置正好与开始时时针、分针的位置交换了一下。小明做作业用了多少时间？
分析与解：从左上图我们可以看出，时针从A走到B，分针从B走到A，两针一共走了一圈。换一个角度，问题可以化为：时针、分针同时从B出发，反向而行，它们在A点相遇。两针所行的
时间是：


第四十讲 几何变换法
利用几何图形的变换解答几何题的方法叫做几何变换法。
在实际生产和生活中，几何形体往往不是以标准的形状出现，而是以比较复杂的组合图形出现，很难直接利用公式计算其面积或体积。如果在保持图形的面积或体积不变的前提下，对图形进行适当的变换，就容易找出计算其面积或体积的方法。
（一）添辅助线法
有些组合图形按一般的思考方法好像已知条件不足，很难解答。如果在图形中添加适当的辅助线，就可能找到解题的途径。辅助线一般用虚线表示。
*例1 求图40-1阴影部分的面积。（单位：平方米）（适于三年级程度）

解：图40-1中，右边两个部分的面积分别是20平方米和30平方米，所以可如图40-2那样添上三条辅助线，把整个长方形分成5等份。这样图中右边的五个小长方形的面积相等。同时，左边五个小长方形的面积也相等。左边每个小长方形的面积是：
25÷2=12.5（平方米）
所以，阴影部分的面积是：
12.5×3=37.5（平方米）
答略。
*例2 如图40-3，一个平行四边形被分成两个部分，它们的面积差是10平方厘米，高是5厘米。求EC的长。（单位：厘米）（适于五年级程度）
解：如图40-4，过E点作AB的平行线EF，则△AEF与△ABE是等底等高的三角形。所以，△AEF的面积与△ABE的面积相等。

小平行四边形EFDC的面积就是10平方厘米。
因为它的高是5厘米，所以，
EC=10÷5=2（厘米）
答：EC长2厘米。
*例3 如图40-5，已知图中四边形两条边的长度和三个角的度数，求这个四边形的面积。（单位：厘米）（适于五年级程度）
解：这是一个不规则的四边形，无法直接计算它的面积。
如图40-6，把AD和BC两条线段分别延长，使它们相交于E点。这样，四边形ABCD的面积就可以转化为△ABE的面积与△DCE的面积之差。

在△ABE中，∠A是直角，∠B=45°，所以∠E=45°，即△ABE是等腰直角三角形。所以AB=AE=7（厘米），则△ABE的面积是：
7×7÷2=24.5（平方厘米）
在△DCE中，∠DCE是直角，∠E=45°，所以，∠CDE=45°，即△DCE是等腰直角三角形。所以，CD=CE=3厘米，则△DCE的面积是：
3×3÷2=4.5（平方厘米）
所以，四边形ABCD的面积是：
24.5-4.5=20（平方厘米）
答略。
（二）分割法
分割法是在一个复杂的几何图形中，添上一条或几条辅助线，把图形分割成若干个已学过的基本图形，然后分别计算出各图形的面积或体积，再将所得结果相加的解题方法。
例1 计算图40-7的面积。（单位：厘米）（适于五年级程度）
解：如图40-8，在图中添上一条辅助线，把图形分割为一个梯形和一个长方形，分别计算出它们的面积，再把两个面积相加。

［2+（8-4）］×（6-4）÷2+4×8
=6+32
=38（平方厘米）
答：图形的面积是38平方厘米。
例2 图40-9中，ABCD是长方形，AB=40厘米，BC=60厘米，E、F、G、H是各边的中点。求图中阴影部分的面积。（适于五年级程度）
解：如图40-10，在图中添加辅助线EG，使阴影部分被分割成为两个面积相等的三角形。先计算出一个三角形的面积，再把它的面积乘以2。
三角形的底是长方形的长，高是长方形的宽的一半。

60×（40÷2）÷2×2
=60×20
=1200（平方厘米）
答：阴影部分的面积是1200平方厘米。
*例3 求图40-11中各组合体的体积。（单位：厘米）（适于六年级程度）
解：如图40-12，把各组合体分割为几个基本形体，然后分别求出每个基本形体的体积，再用加法、减法算出各组合体的体积。
（三）割补法
在计算一些不规则的几何图形的面积时，把图形中凸出来的部分割下来，填补到相应的凹陷处，或较适当的位置，使图形组合成一个或几个规则的形状，再计算面积的解题方法叫做割补法。
例1 求图40-13阴影部分的面积。（单位：厘米）（适于六年级程度）
成了一个梯形如图40-14，这个梯形的面积就是图40-13中的阴影部分的面积。

答：阴影部分的面积是45平方厘米。
*例2 求图40-15中阴影部分的面积。（单位：米）（适于六年级程度）
16×16×2=512（平方米）
答：阴影部分的面积是512平方米。
*例3 图40-17中，ABCD是正方形，ED=DA=AF=2厘米。求图中阴影部分的面积。（适于六年级程度）
解：经割补，把图40-17组合成图40-18。很容易看出，只要从正方形的面积中减去空白扇形的面积，便得到阴影部分的面积。

答：图中阴影部分的面积是2.43平方厘米。
（四）平移法
在看不出几何图形面积的计算方法时，通过把图形的某一部分向某一方向平行移动一定的距离，使图形重新组合成可以看出计算方法的图形，从而计算出图形面积的解题方法叫做平移法。
例1 计算图40-19中阴影部分的周长。（单位：厘米）（适于六年级程度）
解：把图40-19中右边正方形中的阴影部分向左平移5厘米，图40-19中的阴影部分便转化为图40-20中的正方形。图40-20中阴影正方形的面积就是图40-19阴影部分的面积。

5×5=25（平方厘米）
答略。
*例2 求图40-21中阴影部分的周长。（单位：厘米）（适于三年级程度）
解：按图40-22箭头指示，把两条横向的线段向上平移到虚线处，再按图40-23箭头指示把垂直线段的一部分向右平移到虚线处，求图40-21阴影部分的周长便转化为求图40-24的周长和两条竖线长之和的问题了。

（5+4）×2+2×2
=9×2+4
=22（厘米）
答略。
*例3 求图40-25S形水泥弯路面的面积。（单位：米）（适于三年级程度）

解：把图40-25中水泥弯路面左边的甲部分向右平移2米，使S形水泥路面的两条边重合，图40-25便转化为图40-26，S形水泥路面的面积转化为图40-26中的阴影部分的面积。
S形水泥路的面积是：
30×2=60（平方米）
答略。
（五）旋转法
将看不出计算方法的图形的一部分以某一点为中心旋转适当角度，使图形重新组合成能看出计算方法的形状，从而计算出图形面积的解题方法叫旋转法。
*例1 计算图40-27阴影部分的面积。（单位：分米）（适于六年级程度）
图40-27便转化为图40-28。图40-28中梯形的面积就是图40-27中的阴影面积。

答略。
例2 图40-29中，小圆的半径是10厘米，中圆的半径是20厘米，大圆的半径是30厘米。求图中阴影部分的面积。（适于六年级程度）
解：把图40-29中的小圆向逆时针方向旋转90度，把中环向顺时针方向旋转90度，图40-29便转化为图40-30。
很明显，图40-29阴影部分的面积就是整个大圆面积的四分之一。
答略。
*例3 计算图40-31的阴影面积。（单位：厘米）（适于六年级程度）
解：把图40-31右边的半圆以两个半圆的公共点为中心，顺时针方向旋转180度，与左边的半圆组成一个圆（图40-32）。

此时，两个空白的三角形组成一个等腰直角三角形。这个等腰直角三角形的底边等于圆的直径10厘米，高等于圆的半径5厘米，三角形的面积可求，接着也就可以求出图中阴影部分的面积了。
答略。
（六）扩倍法
扩倍法就是把组合图形扩大几倍后，先求扩大倍数后的面积或体积，然后再求原来的面积或体积。
*例1 求图40-33的面积。（单位：厘米）（适于三年级程度）

解：此题用分割法计算比较麻烦，而用扩倍法解答就容易多了。如图40-34那样把图40-33扩大为原来的2倍，就会看出图40-33的面积是：
（30+40）×30÷2=1050（平方厘米）
答略。
例2 计算图40-35木块的体积。（单位：分米）（适于五年级程度）
解：在图40-35的木块上再扣上同形状、同体积的木块，如图40-36。图40-35木块的体积就是图40-36长方体木块体积的一半儿。

3×10×（3+2）÷2
=150÷2
=75（立方分米）
答略。
（七）缩倍法
缩倍法与扩倍法正好相反，它是先将图形的面积缩小若干倍，计算出面积，再把面积扩大为原来那么大。
例1 图40-37中，每个小正方形的面积都是2平方厘米，求图中阴影部分的面积。（适于五年级程度）
解：将图40-37中小正方形的面积先缩小2倍，则每个小正方形的面积都是1平方厘米，边长都是1厘米。
从大长方形面积减去三个空白三角形的面积（即①、②、③三个部分的面积），得阴影部分面积。
3×5-3×3÷2-2×1÷2-5×2÷2
=15-4.5-1-5
=4.5（平方厘米）
把4.5平方厘米扩大2倍，得阴影部分的实际面积。
4.5×2=9（平方厘米）
答略。
例2 图40-38正方形的面积是18平方厘米。求图中阴影部分的面积。（适于六年级程度）
解：先将正方形面积缩小2倍，18平方厘米被转化为9平方厘米，则正方形的边长是3厘米。
先算出已经缩小的正方形中的阴影面积，然后再把它扩大2倍，就得到题中所求。
答略。
（八）剪拼法
有些几何图形比较抽象，不适于用割补、分割、平移等方法解答。如果把这类图形剪成若干部分，再重新组合、拼接，就有可能找到解答方法。
*例1 计算图40-39、图40-40、图40-41的阴影部分的面积。（单位：厘米）（适于六年级程度）

解：沿各图中的虚线，把各图剪成上、下两部分，再把下半部分翻过来，以它的背面与上半部分的正面拼接，图40-39、图40-40、图40-41便转化为图40-42、图40-43、图40-44的形状。

很容易看出，图40-39的阴影面积等于大圆面积的一半。
图40-40的阴影面积等于从大圆面积减去小圆的面积。
图40-41的阴影面积等于从大圆面积减去中圆的面积，加上小圆的面积。
答略。
*例2 图40-45中每个大正方形的边长都是2厘米，求（1）～（10）各图阴影部分的面积。（适于六年级程度）
解：作图40-46，并把图40-46中的（1）画在一张透明纸上剪成（2）那样的4个小正方形。如果画出两个（1），就可以剪出8个（2）那样的小正方形。
用（2）的4个小正方形，可以组合、拼接出图40-45中（1）～（5）中的任何一个图形。
这时可清楚地看出，图40-45中（1）～（5）每个图形的阴影部分的面积都与图40-46中（1）的阴影部分的面积相等，它们的面积都是：
2×2-3.14×1×1=0.86（平方厘米）
同理，用8个图40-46中（2）的小正方形可以组合、拼接出图40-45中（6）～（10）的任何一个图形。
图40-45中（6）～（10）每个图形的阴影面积都是图40-46中（1）的阴影面积的2倍：
（2×2-3.14×12）×2=1.72（平方厘米）
答略。
由两车“在离中点2千米处相遇”可知，甲车比乙车少行：
2×2=4（千米）
所以，乙车行的路程是：
甲车行的路程是：
A、B两站间的距离是：
24+20=44（千米）
答略。
同普通客车相遇。甲、乙两城间相距多少千米？（适于六年级程度）
快车从乙城开出，普通客车与快车相对而行。已知普通客车每小时行60千米，快车每小时行80千米，可以求出两车速度之和。又已知两车相遇时间，可以按“速度之和×相遇时间”，求出两车相对而行的总行程。普通客车已行驶
普通客车与快车速度之和是：
60+80=140（千米/小时）
两车相对而行的总路程是：
140×4=560（千米）
两车所行的总路程占全程的比率是：
甲、乙两城之间相距为：
综合算式：
答略。
一般解法：（适于六年级程度）
答略。
用解工程问题的方法解：（适于六年级程度）
如果把这批零件的总数作为一项“工程”，以1表示，则这个工厂计划
因此，实际需要的天数是：
答略。
（四）用份数法解工程问题
例1 一项工程，甲队单独做9天完成，乙队单独做18天完成。甲、乙两队合做4天后，剩下的任务由乙队单独做。乙队还需要几天才能完成？（适于六年级程度）
解：把整个工程的工作量平均分成9×18=162（份）
甲队每天可以完成：
162÷9=18（份）
乙队每天可以完成：
162÷18=9（份）
甲、乙两队合做每天共完成：
18+9=27（份）
两队4天共完成：
27×4=108（份）
两队合做4天后，剩下的工程是：
162-108=54（份）
剩下的任务由乙队单独做，需要的天数是：
54÷9=6（天）
综合算式：
[9×18-(9×18÷18+9×18÷9)×4]÷9
=[162-108]÷9
=6（天）
答略。