小学奥数精华讲义汇总

这是一份小学奥数精华讲义汇总，共209页。学案主要包含了裂项综合，整数裂项，换元，比例题目常用解题方式和思路，六三个年级的人数比为3 等内容，欢迎下载使用。

教学目标
本讲知识点属于计算大板块内容，分为三个方面系统复习和学习小升初常考计算题型.
1、裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握
裂项技巧及寻找通项进行解题的能力
2、换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。
3、循环小数与分数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数
与分数的主要利用运算定律进行简算的问题．
4、通项归纳法
通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，
使计算过程更加简便，而通项归纳法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式．
知识点拨
一、裂项综合
（一）、“裂差”型运算
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即
1
a ×b
形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a < b ，
那么有
1 1 (1 1)
a b b a a b
= −
× −
(2)对于分母上为3 个或4 个连续自然数乘积形式的分数，即：
1
n × (n +1)× (n + 2)
，
1
n × (n +1)× (n + 2)× (n + 3)
形式的，我们有：
1 1[ 1 1 ]
n (n 1) (n 2) 2 n (n 1) (n 1)(n 2)
= −
× + × + × + + +
1 1[ 1 1 ]
n (n 1) (n 2) (n 3) 3 n (n 1) (n 2) (n 1) (n 2) (n 3)
= −
× + × + × + × + × + + × + × +
裂差型裂项的三大关键特征：
（1）分子全部相同，最简单形式为都是1 的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x
提取出来即可转化为分子都是1 的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2 个分母上的因数“首尾相接”
（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
（二）、“裂和”型运算：
常见的裂和型运算主要有以下两种形式：
（1）
a b a b 1 1
a b a b a b b a
+
= + = +
× × ×
（2）
a2 b2 a2 b2 a b
a b a b a b b a
+
= + = +
× × ×
裂和型运算与裂差型运算的对比：
裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，
同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
三、整数裂项
(1) 1× 2 + 2×3 + 3× 4 + ...+ (n −1)×n 1 ( 1) ( 1)
3
= n − ×n × n +
(2)
1 2 3 2 3 4 3 4 5 ... ( 2) ( 1) 1 ( 2)( 1) ( 1)
4
× × + × × + × × + + n − × n − ×n = n − n − n n +
二、换元
解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．
换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简．
三、循环小数化分数
1、循环小数化分数结论：
纯循环小数混循环小数
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- 2 -
分子循环节中的数字所组成的数
循环小数去掉小数点后的数字所组成的数与不循环部分数字
所组成的数的差
分母n 个9，其中n 等于循环节所含的数字个数
按循环位数添9，不循环位数添0，组成分母，其中9 在0
的左侧
·
0.
9
a = a ；
· ·
0.
99
ab = ab ；
· · 1 0.0
99 10 990
ab = ab × = ab ；
· ·
0.
990
abc abc a −
= ，……
2、单位分数的拆分：
例：
1
10
=
1 1
20 20
+ = ( ) ( )
1 + 1 = ( ) ( )
1 + 1 = ( ) ( )
1 + 1 = ( ) ( )
1 + 1
分析：分数单位的拆分，主要方法是：
从分母N 的约数中任意找出两个m 和n,有：
1 1( )
( ) ( ) ( )
m n m n
N N m n N m n N m n
+
= = +
+ + +
=
1 1
A B
+
本题10 的约数有:1,10,2,5.。
例如：选1 和2，有：
1 1(1 2) 1 2 1 1
10 10(1 2) 10(1 2) 10(1 2) 30 15
+
= = + = +
+ + +
本题具体的解有：
1 1 1 1 1 1 1 1 1
10 11 110 12 60 14 35 15 30
= + = + = + = +
例题精讲
模块一、分数裂项
【例1】1 1 1 1 1
1 2 3 4 2 3 4 5 3 4 5 6 6 7 8 9 7 8 9 10
+ + + ⋅ ⋅ ⋅ + +
× × × × × × × × × × × × × × ×
【解析】原式
1 1 1 1 1 1 1
3 1 2 3 2 3 4 2 3 4 3 4 5 7 8 9 8 9 10
= × ⎛ − + − + + − ⎞ ⎜ × × × × × × × × × × × × ⎟ ⎝ ⎠
⋯
1 1 1
3 1 2 3 8 9 10
= × ⎛ − ⎞ ⎜ × × × × ⎟ ⎝ ⎠
119
2160
=
【巩固】3 3 3
1 2 3 4 2 3 4 5 17 18 19 20
+ + +
× × × × × × × × ×
【解析】原式
3 [1 ( 1 1 1 1 ... 1 1 )]
3 1 2 3 2 3 4 2 3 4 3 4 5 17 18 19 18 19 20
= × × − + − + + −
× × × × × × × × × × × ×
1 1 3 19 20 1 1139
1 2 3 18 19 20 18 19 20 6840
× × −
= − = =
× × × × × ×
【例2】计算：
5 7 19
1 2 3 2 3 4 8 9 10
+ + + =
× × × × × ×
⋯ ．
【解析】如果式子中每一项的分子都相同，那么就是一道很常见的分数裂项的题目．但是本题中分子不
相同，而是成等差数列，且等差数列的公差为2．相比较于2，4，6，……这一公差为2 的等差
数列(该数列的第n 个数恰好为n 的2 倍)，原式中分子所成的等差数列每一项都比其大3，所以
可以先把原式中每一项的分子都分成3 与另一个的和再进行计算．
原式
3 2 3 4 3 16
1 2 3 2 3 4 8 9 10
+ + +
= + + +
× × × × × ×
⋯
3 1 1 1 2 1 2 8
1 2 3 2 3 4 8 9 10 1 2 3 2 3 4 8 9 10
= × ⎛ + + + ⎞ + × ⎛ + + + ⎞ ⎜ × × × × × × ⎟ ⎜ × × × × × × ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⋯ ⋯
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- 3 -
3 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1
2 1 2 2 3 2 3 3 4 8 9 9 10 2 3 3 4 9 10
= × × ⎛ − + − + + − ⎞ + × ⎛ + + + ⎞ ⎜ × × × × × × ⎟ ⎜ × × × ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⋯ ⋯
3 1 1 2 1 1 1 1 1 1
2 1 2 9 10 2 3 3 4 9 10
= × ⎛ − ⎞ + ×⎛ − + − + + − ⎞ ⎜ × × ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⋯
3 1 1 2 1 1
2 2 90 2 10
= × ⎛ − ⎞ + × ⎛ − ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
7 1 1
4 60 5
= − − 23
15
=
也可以直接进行通项归纳．根据等差数列的性质，可知分子的通项公式为2n + 3 ，所以
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 3 2 3
1 2 1 2 1 2
n
n n n n n n n n
+
= +
× + × + + × + × + × +
， 再将每一项的
( ) ( )
2
n +1 × n + 2
与( ) ( )
3
n × n +1 × n + 2
分别加在一起进行裂项．后面的过程与前面的方法相
同．
【巩固】计算：
1155 5 7 17 19
2 3 4 3 4 5 8 9 10 9 10 11
× + + + +
× × × × × × × ×
（ ⋯ ）
【解析】本题的重点在于计算括号内的算式：
5 7 17 19
2 3 4 3 4 5 8 9 10 9 10 11
+ + + +
× × × × × × × ×
⋯ ．这个
算式不同于我们常见的分数裂项的地方在于每一项的分子依次成等差数列，而非常见的分子相
同、或分子是分母的差或和的情况．所以应当对分子进行适当的变形，使之转化成我们熟悉的
形式．
观察可知5 = 2 + 3，7 = 3 + 4 ，……即每一项的分子都等于分母中前两个乘数的和，所以
5 7 17 19
2 3 4 3 4 5 8 9 10 9 10 11
+ + + +
× × × × × × × ×
⋯
2 3 3 4 9 10
2 3 4 3 4 5 9 10 11
+ + +
= + + +
× × × × × ×
⋯
1 1 1 1 1 1
3 4 2 4 4 5 3 5 10 11 9 11
= + + + + + +
× × × × × ×
⋯
1 1 1 1 1 1
3 4 4 5 10 11 2 4 3 5 9 11
= ⎛ + + + ⎞ + ⎛ + + + ⎞ ⎜ × × × ⎟ ⎜ × × × ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⋯ ⋯
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
3 4 4 5 10 11 2 2 4 3 5 4 6 8 10 9 11
= ⎛ − + − + + − ⎞ + × ⎛ − + − + − + + − + − ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⋯ ⋯
1 1 1 1 1 1 1
3 11 2 2 10 3 11
= ⎛ − ⎞ + × ⎛ − + − ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
8 1 2 8
33 2 5 33
= + × ⎛ + ⎞ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
31
55
=
所以原式
1155 31 651
55
= × = ．
【巩固】计算：
3 4 5 12
1 2 4 5 2 3 5 6 3 4 6 7 10 11 13 14
+ + + +
× × × × × × × × × × × ×
⋯
【解析】观察可知原式每一项的分母中如果补上分子中的数，就会是5 个连续自然数的乘积，所以可以
先将每一项的分子、分母都乘以分子中的数．即：
原式
32 42 52 122
1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 10 11 12 13 14
= + + + +
× × × × × × × × × × × × × × × ×
⋯
现在进行裂项的话无法全部相消，需要对分子进行分拆，考虑到每一项中分子、分母的对称性，
可以用平方差公式：32 =1× 5 + 4，42 = 2×6 + 4 ，52 = 3× 7 + 4 ……
【解析】原式
32 42 52 122
1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 10 11 12 13 14
= + + + +
× × × × × × × × × × × × × × × ×
⋯
1 5 4 2 6 4 3 7 4 10 14 4
1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 10 11 12 13 14
× + × + × + × +
= + + + +
× × × × × × × × × × × × × × × ×
⋯
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- 4 -
1 1 1 1
2 3 4 3 4 5 4 5 6 11 12 13
4 4 4 4
1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 10 11 12 13 14
= ⎛ + + + + ⎞ ⎜ × × × × × × × × ⎟ ⎝ ⎠
+⎛ + + + + ⎞ ⎜ × × × × × × × × × × × × × × × × ⎟ ⎝ ⎠
⋯
⋯
1 1 1 1 1 1 1
2 2 3 3 4 3 4 4 5 11 12 12 13
1 1 1 1 1 1
1 2 3 4 2 3 4 5 2 3 4 5 3 4 5 6 10 11 12 13 11 12 13 14
= × ⎛ − + − + + − ⎞ ⎜ × × × × × × ⎟ ⎝ ⎠
+⎛ − + − + + − ⎞ ⎜ × × × × × × × × × × × × × × × × × × ⎟ ⎝ ⎠
⋯
⋯
1 1 1 1 1
2 2 3 12 13 1 2 3 4 11 12 13 14
= × ⎛ − ⎞ + ⎛ − ⎞ ⎜ × × ⎟ ⎜ × × × × × × ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1 1 1 1
12 2 12 13 24 11 12 13 14
= − + −
× × × × ×
1 77 1
8 11 12 13 14
+
= −
× × ×
1 1
8 2 11 14
= −
× ×
1 1 75
8 308 616
= − =
【例3】1 2 3 4 9
2 2 3 2 3 4 2 3 4 5 2 3 4 10
+ + + + +
× × × × × × × × ×
⋯
⋯
【解析】原式
1 2 3 4 9
2 2 3 2 3 4 2 3 4 5 2 3 4 10
= + + + + +
× × × × × × × × ×
⋯
⋯
2 1 3 1 4 1 10 1
2 2 3 2 3 4 2 3 4 10
− − − −
= + + + +
× × × × × ×
⋯
⋯
1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 3 2 3 2 3 4 2 3 4 9 2 3 4 9 10
= − + − + − + + −
× × × × × × × × × × ×
⋯
⋯ ⋯
1 1 3628799
2 3 4 9 10 3628800
= − =
× × ⋯× ×
【例4】1 1 1 1
1 1 2 1 2 3 1 2 100
+ + + +
+ + + + + +
⋯⋯
⋯
【解析】本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题。此类问题需要从最简
单的项开始入手，通过公式的运算寻找规律。从第一项开始，对分母进行等差数列求和运算公
式的代入有
1 1 2
1 (1 1) 1 1 2
2
= =
+ × ×
，
1 1 2
1 2 (1 2) 2 2 3
2
= =
+ + × ×
，……，
原式
2 2 2 2 2 (1 1 ) 200 1 99
1 2 2 3 3 4 100 101 101 101 101
= + + + + = × − = =
× × × ×
⋯⋯
【巩固】2 3 4 50
1 (1 2) (1 2) (1 2 3) (1 2 3) (1 2 3 4) (1 2 3 49) (1 2 3 50)
+ + + +
× + + × + + + + × + + + + + + + × + + + +
⋯
⋯ ⋯
原式＝
2
1× 3
＋
3
3× 6
＋
4
6×10
＋
5
10×15
＋…＋
50
1225×1275
＝（
1
1
− 1
3
）＋（
1
3
− 1
6
）＋（
1
6
− 1
10
）＋（
1
1225
− 1
1275
）＝
1274
1275
【巩固】2 3 4 100
1 (1 2) (1 2) (1 2 3) (1 2 3) (1 2 3 4) (1 2 99) (1 2 100)
+ + + +
× + + × + + + + × + + + + + + × + + +
⋯
⋯ ⋯
【解析】2 1 1
1 (1 2) 1 1 2
= −
× + +
，
3 1 1
(1 2) (1 2 3) 1 2 1 2 3
= −
+ × + + + + +
，……，
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- 5 -
100 1 1
(1 2 99) (1 2 100) 1 2 99 1 2 100
= −
+ +⋯+ × + +⋯+ + +⋯+ + +⋯+
，所以
原式
1 1
1 2 100
= −
+ +⋯+
1 1 5049
5050 5050
= − =
【巩固】1 2 3 10
1 1 2 (1 2) (1 2 3) (1 2 3 9) (1 2 3 10)
− − − −
× + + × + + + + + + × + + + +
⋯
（ ） ⋯ ⋯
【解析】原式
1 ( 2 3 4 10 )
1 3 3 6 6 10 45 55
= − + + + +
× × × ×
⋯
1 1 1 1 1 1 1 1 1
3 3 6 6 10 45 55
= − ⎛ − + − + − + + − ⎞ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
⋯
1 1 1
55
= − ⎛ − ⎞ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
1
55
=
【例5】
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
3 1 5 1 7 1 9 1 11 1 13 1
+ + + + + =
− − − − − −
.
【解析】这题是利用平方差公式进行裂项：a2 −b2 = (a −b)× (a +b)，
原式
( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
2 4 4 6 6 8 8 10 10 12 12 14
= + + + + +
× × × × × ×
(1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) 1
2 4 4 6 6 8 8 10 10 12 12 14 2
= − + − + − + − + − + − ×
(1 1 ) 1 3
2 14 2 14
= − × =
【巩固】计算：
2 2 2 2 2 2 2 2
3 5 7 15
1 2 2 3 3 4 7 8
+ + + +
× × × ×
⋯
【解析】原式
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 1 3 2 4 3 8 7
1 2 2 3 3 4 7 8
− − − −
= + + + +
× × × ×
⋯
2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 3 3 4 7 8
= − + − + − +⋯+ −
2
1 1
8
= − 63
64
=
【巩固】计算：
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
3 1 5 1 7 1 1993 1 1995 1
3 1 5 1 7 1 1993 1 1995 1
+ + + + +
+ + + + + =
− − − − −
⋯ ．
【解析】原式
2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
3 1 5 1 7 1 1993 1 1995 1
= ⎛ + ⎞ + ⎛ + ⎞ + ⎛ + ⎞ + + ⎛ + ⎞ + ⎛ + ⎞ ⎜ − ⎟ ⎜ − ⎟ ⎜ − ⎟ ⎜ − ⎟ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⋯
997 2 2 2
2 4 4 6 1994 1996
= + ⎛ + + + ⎞ ⎜ × × × ⎟ ⎝ ⎠
⋯
997 1 1 1 1 1 1
2 4 4 6 1994 1996
= + ⎛ − + − + + − ⎞ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
⋯
997 1 1
2 1996
= + ⎛ − ⎞ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
997 997
1996
=
【巩固】计算：
12 22 32 502
1 3 3 5 5 7 99 101
+ + + + =
× × × ×
⋯ ．
【解析】式子中每一项的分子与分母初看起来关系不大，但是如果将其中的分母根据平方差公式分别变
为22 −1，42 −1，62 −1，……，1002 −1，可以发现如果分母都加上1，那么恰好都是分子
的4 倍，所以可以先将原式乘以4 后进行计算，得出结果后除以4 就得到原式的值了．
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- 6 -
原式
2 2 2 2
2 2 2 2
1 2 4 6 100
4 2 1 4 1 6 1 100 1
⎛ ⎞
= × ⎜ + + + + ⎟ ⎝ − − − − ⎠
⋯
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1
4 2 1 4 1 6 1 100 1
= × ⎛ + + + + + + + + ⎞ ⎜ − − − − ⎟ ⎝ ⎠
⋯
1 50 1 1 1 1
4 1 3 3 5 5 7 99 101
= × ⎛ + + + + + ⎞ ⎜ × × × × ⎟ ⎝ ⎠
⋯
1 50 1 1 1 1 1 1 1 1 1
4 2 3 3 5 5 7 99 101
⎡ ⎛ ⎞⎤ = × ⎢ + ×⎜ − + − + − + + − ⎟⎥ ⎣ ⎝ ⎠⎦
⋯
1 50 1 1 1
4 2 101
⎡ ⎛ ⎞⎤ = × ⎢ + × ⎜ − ⎟⎥ ⎣ ⎝ ⎠⎦
1 50 50
4 101
= × 12 63
101
=
【巩固】2 2 4 4 6 6 8 8 10 10
1 3 3 5 5 7 7 9 9 11
× × × × ×
+ + + +
× × × × ×
【解析】（法1）：可先找通项
2
2 2
1 1 1 1
1 1 ( 1) ( 1) n
a n
n n n n
= = + = +
− − − × +
原式
(1 1 ) (1 1 ) (1 1 ) (1 1 ) (1 1 )
1 3 3 5 5 7 7 9 9 11
= + + + + + + + + +
× × × × ×
5 1 (1 1 ) 5 5 5 5
2 11 11 11
= + × − = + =
（法2）：原式
(2 2) (8 8) (18 18) (32 32) (50 50)
3 3 5 5 7 7 9 9 11
= − + − + − + − + −
2 6 10 14 18 50 10 4 6 5 5
3 5 7 9 11 11 11
= + + + + − = − =
【例6】
1 1 1
2 3 1999
1 1 (1 1) (1 1) (1 1) (1 1) (1 1 )
2 2 3 2 3 1999
+ + +
+ + × + + × + × × +
⋯
⋯
【解析】
1 1
1 1 2 2 ( 1 1 ) (1 1) (1 1) (1 1 ) 2 ( 1)( 2) 1 2
2 3 1 2
n n
n n n n n
n
+ = + = = × −
+ + + + + + × + × × +
+
⋯
原式＝
(1 1) (1 1) (1 1) ( 1 1 ) 2
2 3 3 4 4 5 1999 2000
⎡ − + − + − + + − ⎤ × ⎢⎣ ⎥⎦
⋯ ＝ 1000
999
1000
1− 1 =
【巩固】计算：
1 1 1 1
1 2 1 2 3 1 2 2007
+ + +…
+ + + + +…
【解析】先找通项公式
1 2 2(1 1 )
n 1 2 ( 1) 1 a
n n n n n
= = = −
+ +⋯ × + +
原式
1 1 1 1
2 (2 1) 3 (3 1) 2007 (2007 1)
2 2 2
= + + + +
× + × + ⋯ × +
2 2 2 2
1 2 2 3 3 4 2007 2008
= + + + +
× × × ×
⋯
2 2007
2008
= × 2007
1004
=
【巩固】1 1 1 1
3 3 5 3 5 7 3 5 7 21
+ + + +
+ + + + + + +
⋯
⋯
【解析】先找通项： ( ) ( ) ( )
1 1 1
3 5 2 1 1 2 1 3 2
2
n a
n n n n n
= = =
+ +⋯+ + × + + × +
，
中小学课外辅导领军品牌
- 7 -
原式
1 1 1 1 1 1
1 3 2 4 3 5 4 6 9 11 10 12
= + + + + + +
× × × × × ×
⋯
1 1 1 1 1 1
1 3 3 5 9 11 2 4 4 6 10 12
= ⎛ + + + ⎞ + ⎛ + + + ⎞ ⎜ × × × ⎟ ⎜ × × × ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⋯ ⋯
1 1 1 1 1 1
2 1 11 2 2 12
= × ⎛ − ⎞ + × ⎛ − ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
175
264
=
【例7】1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 50
2 2 3 2 3 4 2 3 50
+ + + + + + + + + +
× × × ×
+ + + + + +
⋯ ⋯
⋯
【解析】找通项
(1 )
2 ( 1)
(1 ) 1 ( 1) 2
2
n
n n
a n n n n n n
+ ×
× +
= =
+ × × + − −
原式
2 3 3 4 4 5 5 6 2 3 3 4 4 5 5 6
4 10 18 28 1 4 2 5 3 6 4 7
× × × × × × × ×
= × × × × = × × × ×
× × × ×
⋯ ⋯ ，
通过试写我们又发现数列存在以上规律，这样我们就可以轻松写出全部的项，所以有
原式
2 3 3 4 4 5 5 6 48 49 49 50 50 51
1 4 2 5 3 6 4 7 47 50 48 51 49 52
× × × × × × ×
= × × × × × × ×
× × × × × × ×
⋯
3 50 2 23
1 52 26
= × =
【例8】
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 26
1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 26
+ + + + + + + + …+
− + − + …−
+ + + + + + + + …+
【解析】
2 2 2
3 3 3 2 2
( 1) (2 1)
1 2 6 2 2 1 2 (1 1 )
1 2 ( 1) 3 ( 1) 3 1
4
n
n n n
a n n
n n n n n n n
× + × +
+ +…+ +
= = = × = × +
+ +…+ × + × + +
原式=
2 [(1 1) (1 1) (1 1) ( 1 1 )]
3 1 2 2 3 3 4 26 27
× + − + + + ⋯⋯− + =
2 (1 1 ) 52
3 27 81
× − =
【巩固】
2 2 2
1 1 1 1 1 1
2 1 3 1 99 1
⎛ + ⎞× ⎛ + ⎞ × × ⎛ + ⎞ ⎜ − ⎟ ⎜ − ⎟ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⋯
【解析】
2 2
2 2
1 1 ( 1) ( 1)
( 1) 1 ( 1) 1 ( 2) n
a n n
n n n n
+ +
= + = =
+ − + − × +
原式
2 2 3 3 98 98 99 99
(2 1) (2 1) (3 1) (3 1) (98 1) (98 1) (99 1) (99 1)
× × × ×
= × × × ×
+ × − + × − + × − + × −
⋯
2 2 3 3 4 4 5 5 98 98 99 99 2 99 1 49
3 1 4 2 5 3 6 4 99 97 100 98 1 100 50
× × × × × ×
= × × × × × × = × =
× × × × × ×
⋯
【例9】计算：
2 2 2
2 2 2
2 3 99
2 1 3 1 99 1
× × × =
− − −
⋯
【解析】通项公式：
( )
( )( )
( )
( )
2 2 1 1
n 1 1 1 1 2
n n
a
n n n n
+ +
= =
+ + + − +
，
原式
2 2 3 3 4 4 98 98 99 99
(2 1) (2 1) (3 1) (3 1) (4 1) (4 1) (98 1) (98 1) (99 1) (99 1)
× × × × ×
= × × × × ×
+ × − + × − + × − + × − + × −
⋯
2 2 3 3 4 4 5 5 98 98 99 99
3 1 4 2 5 3 6 4 99 97 100 98
× × × × × ×
= × × × × × ×
× × × × × ×
⋯
2 2 3 3 4 4 98 98 99 99
1 3 2 4 3 5 97 99 98 100
= × × × × × ×⋯× × × ×
2 99 99
1 100 50
= × =
【巩固】计算：
2 2 2
2 2 2
1 2 99
1 100 5000 2 200 5000 99 9900 5000
+ + + =
− + − + − +
⋯
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- 8 -
【解析】本题的通项公式为
2
2 100 5000
n
n − n +
， 没办法进行裂项之类的处理． 注意到分母
n2 −100n + 5000 = 5000 −n (100 −n ) = 5000 − (100 −n )⎡⎣100 − (100 −n )⎤⎦ ，可以看出如果
把n 换成100 − n 的话分母的值不变，所以可以把原式子中的分数两两组合起来，最后单独剩下
一个
2
2
50
50 − 5000 + 5000
．将项数和为100 的两项相加，得
( )
( ) ( )
2 2 2 ( )2 2
2 2 2 2
100 100 2 200 10000 2
100 5000 100 100 100 5000 100 5000 100 5000
n n n n n n
n n n n n n n n
− + − − +
+ = = =
− + − − − + − + − +
，
所以原式= 2× 49 +1= 99．（或者，可得原式中99项的平均数为1，所以原式=1× 99 = 99）
【例1】⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
+ + +
+ +
+
+ − ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
×
+ +
×
+
×
× 2 2 2 12 22 102
1
1 2
1
1
1
20 21
1
4 5
1
2 3
24 1
⋯
⋯ ⋯
【解析】虽然很容易看出
2 3
1
×
＝
3
1
2
1 − ，
4 5
1
×
＝
5
1
4
1 − ……可是再仔细一看，并没有什么效果，因为
这不象分数裂项那样能消去很多项．我们再来看后面的式子，每一项的分母容易让我们想到公
式，于是我们又有
( 1) (2 1)
6
1 2 3
1
2 + 2 + 2 + + n 2 n × n + × n +
＝
⋯
．．减号前面括号里的式
子有10 项，减号后面括号里的式子也恰好有10 项，是不是“一个对一个”呢？
⎟⎠⎞
⎜⎝
⎛
+ + +
+ +
+
+ − ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
×
+ +
×
+
×
× 2 2 2 12 22 102
1
1 2
1
1
1
20 21
1
4 5
1
2 3
24 1
⋯
⋯ ⋯
＝ ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
× ×
+ +
× ×
+
× ×
× − ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
×
+ +
×
+
×
×
10 11 21
1
2 3 5
1
1 2 3
6 1
20 21
1
4 5
1
2 3
24 1 ⋯ ⋯
＝
⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
× ×
+ +
× ×
+
× ×
× − ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
×
+ +
×
+
×
×
20 22 21
1
4 6 5
1
2 4 3
24 1
20 21
1
4 5
1
2 3
24 1 ⋯ ⋯
＝ ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
⎟⎠
⎞
⎜⎝⎛
× ×
−
×
+ + ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
× ×
−
×
+ ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
× ×
−
×
×
20 22 21
1
20 21
1
4 6 5
1
4 5
1
2 4 3
1
2 3
24 1 ⋯
＝ ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
×
+ +
×
+
×
×
20 22
1
4 6
1
2 4
24 1 ⋯ ＝ ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
×
+ +
×
+
×
×
10 11
1
2 3
1
1 2
6 1 ⋯ ＝
⎟⎠
⎞
⎜⎝
× ⎛ −
11
6 1 1 ＝
11
60
．
模块二、换元与公式应用
【例10】计算：13 + 33 + 53 + 73 + 93 +113 +133 +153
【解析】原式=13 + 23 + 33 + 43 +⋯+143 +153 − (23 + 43 +⋯+143 )
( ) ( )
2 2
3 3 3 15 15 1
8 1 2 7
4
× +
= − × + +⋯+
57600 2 72 82
4
= − × ×
= 8128
【巩固】1× 3 + 2× 4 + 3×5 +⋯9 ×11
【解析】原式= (2 −1)(2 +1) + (3 −1)(3 +1) +⋯+ (10 −1)(10 +1)
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- 9 -
( ) ( ) ( )
( )
( )
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 1 3 1 10 1
2 3 10 9
1 2 3 10 10
10 11 21 10 375
6
= − + − + + −
= + + + −
= + + + + −
× ×
= − =
⋯
⋯
⋯
【巩固】计算：1× 2× 3+ 2× 3× 4 + 3× 4× 5+⋯+ 8× 9×10
【解析】原式= 2× (22 −1)+ 3× (32 −1)+ 4× (42 −1)+⋯+ 9× (92 −1)
= 23 + 33 + 43 +⋯+ 93 − (2 + 3 + 4 +⋯+ 9)
( )2 ( ) = 1+ 2 + 3 +⋯+ 9 −1− 2 + 3+ 4 +⋯+ 9
= 452 − 45 = 1980
【例11】计算：
2 3 4 5 6
1 1 1 1 1 1 1
3 3 3 3 3 3
+ + + + + +
【解析】法一：利用等比数列求和公式。
原式
7 1 1 1
3
1 1
3
⎡ ⎛ ⎞ ⎤ × ⎢ − ⎜ ⎟ ⎥
⎢⎣ ⎝ ⎠ ⎥⎦ =
−
7 1 1 3 1264
3 2 729
⎡ ⎛ ⎞ ⎤ = ⎢ − ⎜ ⎟ ⎥ × =
⎢⎣ ⎝ ⎠ ⎥⎦
法二：错位相减法．
设
2 3 4 5 6
1 1 1 1 1 1 1
3 3 3 3 3 3
S = + + + + + +
则
2 3 4 5
3 3 1 1 1 1 1 1
3 3 3 3 3
S = + + + + + + ，
6
3 3 1
3
S −S = − ，整理可得
1364
729
S = ．
法三：本题与例3 相比，式子中各项都是成等比数列，但是例3 中的分子为3，与公比4 差1，
所以可以采用“借来还去”的方法，本题如果也要采用“借来还去”的方法，需要将每一项的
分子变得也都与公比差1．由于公比为3，要把分子变为2，可以先将每一项都乘以2 进行算，最后
再将所得的结果除以2 即得到原式的值．由题设，
2 3 4 5 6
2 2 2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3
S = + + + + + + ，则运用
“借来还去”的方法可得到
6
2 1 3
3
S + = ，整理得到
1364
729
S = ．
【例12】计算：
(22 42 62 1002 ) (12 32 52 992 )
1 2 3 9 10 9 8 3 2 1
+ + + ⋅ ⋅ ⋅ + − + + + ⋅ ⋅ ⋅ +
+ + + ⋅ ⋅ ⋅ + + + + + ⋅ ⋅ ⋅ + + +
【解析】原式
2 2 2 2 2 2 2 2
2
(2 1 ) (4 3 ) (6 5 ) (100 99 )
10
− + − + − + ⋅ ⋅ ⋅ + −
=
(2 1) (2 1) (4 3) (4 3) (6 5) (6 5) (100 99) (100 99)
100
+ × − + + × − + + × − + ⋅ ⋅ ⋅ + + × −
=
1 2 3 4 99 100 5050 50 1
100 100 2
+ + + + ⋅ ⋅ ⋅ + +
= = =
【巩固】⑴( )2 31415926 − 31415925× 31415927 = ________；
⑵12342 + 87662 + 2468× 8766 = ________．
【解析】⑴ 观察可知31415925和31415927都与31415926相差1，设a = 31415926，
原式= a2 − (a −1)(a +1) = a2 − (a2 −1) =1
⑵ 原式=12342 + 87662 + 2×1234× 8766
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- 10 -
= (1234 + 8766)2 = 100002 = 100000000
【巩固】计算：12 − 22 + 32 − 42 +⋯+ 20052 − 20062 + 20072
【解析】原式= 20072 − 20062 +⋯+ 52 − 42 + 32 − 22 +12
= (2007 − 2006)× (2007 + 2006) + (2005− 2004)× (2005+ 2004)+⋯+ (3 − 2)× (3+ 2) +1
= 2007 + 2006 + 2005 + 2004 +⋯+ 3+ 2 +1
1 (2007 1) 2007 2015028
2
= × + × =
【例13】计算：
12 22 22 32 32 42 42 52 20002 20012
1 2 2 3 3 4 4 5 2000 2001
+ + + + +
+ + + + ⋅ ⋅ ⋅ +
× × × × ×
【解析】原式
12 22 22 32 32 42 42 52 20002 20012
1 2 1 2 2 3 2 3 3 4 3 4 4 5 4 5 2000 2001 2000 2001
= + + + + + + + + ⋅ ⋅ ⋅ + +
× × × × × × × × × ×
1 2 2 3 3 4 4 5 2000 2001
2 1 3 2 4 3 5 4 2001 2000
= + + + + + + + + ⋅ ⋅ ⋅ + +
2 (1 3) (2 4) 3 5 1999 2001 2000
1 2 2 3 3 4 4 2000 2000 2001
= + + + + + ⎛ + ⎞ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⎛ + ⎞ + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2000
2 2 2 2 2 2000 4000 2000
2001 2001
= ?+??+??+ ?+?⋅ ⋅?⋅ +?+ =
个2相加
【例14】⎡⎣2007 − (8.5×8.5 −1.5×1.5) ÷10⎤⎦ ÷160 − 0.3 = ．
【解析】原式
= ⎡⎣2007 − (8.5 +1.5)(8.5 −1.5) ÷10⎤⎦ ÷160 − 0.3
= ⎡⎣2007 −10× (8.5 −1.5) ÷10⎤⎦ ÷160 − 0.3
= (2007 − 7) ÷160 − 0.3 =12.5 − 0.3 =12.2
【巩固】计算：53× 57 − 47× 43 = ．
【解析】本题可以直接将两个乘积计算出来再求它们的差，但灵活采用平方差公式能收到更好的效果．
原式= (55 − 2)× (55 + 2) − (45 + 2)× (45 − 2) = 552 − 22 − (452 − 22 )
= 552 − 452 = (55 − 45)× (55 + 45) =1000
【巩固】计算：11×19 +12×18 +13×17 +14×16 = ．
【解析】本题可以直接计算出各项乘积再求和，也可以采用平方差公式．
原式= (152 − 42 ) + (152 − 32 ) + (152 − 22 ) + (152 −12 )
=152 × 4 − (12 + 22 + 32 + 42 )
= 900 − 30 = 870
其中12 + 22 + 32 + 42可以直接计算，但如果项数较多，应采用公式
12 22 2 1 ( 1)(2 1)
6
+ +⋯+ n = n n + n + 进行计算．
【巩固】计算：1×99 + 2×98 + 3×97 +⋯+ 49× 51= ．
【解析】观察发现式子中每相乘的两个数的和都是相等的，可以采用平方差公式．
原式= (50 − 49)× (50 + 49) + (50 − 48)× (50 + 48) +⋯+ (50 − 1)× (50+ 1)
= (502 − 492 ) + (502 − 482 ) +⋯+ (502 −12 )
= 502 × 49 − (12 + 22 +⋯+ 492 )
= 502 × 49 − (12 + 22 +⋯+ 492 )
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- 11 -
502 49 1 49 50 99
6
= × − × × ×
= 502 × 49 − 49× 25×33
= 49× 25× (100 − 33)
= 49× 25× 67
= 82075
【巩固】看规律13 = 12 ，13 + 23 = 32，13 + 23 + 33 = 62 ……，试求63 + 73. +⋯+143
原式
= (13 + 23. +⋯+143 ) − (13 + 23. +⋯+ 53 ) ( )2 ( )2 = 1+ 2 + 3 +⋯+14 − 1+ 2 + 3 + 4 + 5
=1052 −152 = (105 −15)(105 +15) = 90×120 = 10800
【例15】计算：
(1 1 1) (1 1 1) (1 1 1 1) (1 1)
2 4 2 4 6 2 4 6 2 4
+ + × + + − + + + × +
【解析】令
1 1 1 1
2 4 6
+ + + = a ，
1 1 1
2 4 6
+ + = b ，则：
原式
( 1) ( 1)
6 6
= a − ×b −a × b −
1 1
6 6
= ab − b −ab + a
1 ( )
6
= a −b 1 1 1
6 6
= × =
【巩固】(1 1 1 1) (1 1 1 1) (1 1 1 1 1) (1 1 1)
2 3 4 2 3 4 5 2 3 4 5 2 3 4
+ + + × + + + − + + + + × + +
【解析】设
1 1 1
2 3 4
a = + + ，则原式化简为：
1 1 (1 1 1
5 5 5
( +a)(a+ )-a + a+ )=
【巩固】1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
11 21 31 41 21 31 41 51 11 21 31 41 51 21 31 41
⎛ + + + ⎞× ⎛ + + + ⎞ − ⎛ + + + + ⎞× ⎛ + + ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
【解析】设
1 1 1 1
11 21 31 41
+ + + = a ，
1 1 1
21 31 41
+ + = b ，
原式
1 1
51 51
= a × ⎛⎜b + ⎞⎟ − ⎛⎜a + ⎞⎟×b
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1 1
51 51
= ab + a −ab − b
1 ( )
51
= a −b
1 1 1
51 11 561
= × =
【巩固】1 1 1 1 (1 1 1 1 ) 1 1 1 1 1 ) (1 1 1 )
5 7 9 11 7 9 11 13 5 7 9 11 13 7 9 11
（ + + + ）× + + + −（ + + + + × + +
【解析】设
1 1 1 1
5 7 9 11
+ + + = A，
1 1 1
7 9 11
+ + = B ，
原式
1 1
13 13
= A × ⎛⎜B + ⎞⎟ − ⎛⎜A + ⎞⎟×B
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1 1
13 13
= A ×B + A − A ×B − B
1 ( )
13
= A − B
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- 12 -
1 1 1
13 5 65
= × =
【巩固】计算
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 3 4 5 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 2 3 4 5
⎛ + + + + ⎞ ×⎛ + + + + ⎞ − ⎛ + + + + + ⎞ ×⎛ + + + ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
【解析】设
1 1 1 1 1
2 3 4 5
+ + + + = A ，
1 1 1 1
2 3 4 5
+ + + = B
原式= 1 1
6 6
A × ⎛⎜B + ⎞⎟ − ⎛⎜A + ⎞⎟×B
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= 1 1
6 6
A ×B + × A − A ×B − ×B = 1 1
6 6
× A − ×B
1
6
= × ( A − B )
1
6
=
【巩固】
2 1 2 3 9 1 2 3 9 1 1 1 2 9 2 3 9
2 3 4 10 2 3 4 10 2 2 3 10 3 4 10
⎛ + + + + ⎞ + ⎛ + + + + ⎞ × − ⎛ + + + + ⎞ ×⎛ + + + ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⋯ ⋯ ⋯ ⋯
【解析】设
1 2 3 9
2 3 4 10
t = + + +⋯+ ，则有2 1 (1 ) 1 2 1 2 1 1
2 2 2 2 2 2
t +t × − + t ⎛t − ⎞ = t + t − ⎛t + t − t − ⎞ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
【巩固】2 (1 2 3 9 ) (1 2 3 9 ) 1 (1 1 2 3 9 ) ( 2 3 9 )
2 3 4 10 2 3 4 10 2 2 3 4 10 3 4 10
+ + +⋯+ + + + +⋯+ × − + + + +⋯+ × + +⋯+
【解析】设
1 2 3 9
2 3 4 10
t = + + +⋯+ ，则有2 1 (1 )( 1) 2 1 ( 2 1) 1
2 2 2 2 2 2
t +t × − + t t − = t + t − t + t − t − =
【巩固】计算
1 1
2 1 1 1 3 1 1 1 4 1 3 1 1 4 1 2009 1
2009
+
+ +
+ +
+ +
+ +
+
⋯
⋯
【解析】设N = 3 + 1
4 1 1
2009
+
⋯+
. 原式=
1
2 1
N
+
+
1
1 1 1 1
N
+
+
=
1
2N 1
N
+ +
1
1
1
N
N
+
+
=
1 1
2 1 2 1
N N
N N
+
+ =
+ +
.
【巩固】( 7.88 + 6.77 + 5.66 ) × ( 9.31+10.98 +10 ) − ( 7.88 + 6.77 + 5.66 +10 ) × (
9.31+10.98)
【解析】换元的思想即“打包”，令a = 7.88 + 6.77 + 5.66，b = 9.31+10.98，
则原式
= a × (b +10 ) − (a +10 )×b = (ab +10a ) − (ab +10b ) = ab +10a − ab −10b = 10× (a −b )
=10× ( 7.88 + 6.77 + 5.66 − 9.31−10.98 ) =10× 0.02 = 0.2
【巩固】计算(1+ 0.45 + 0.56 )× ( 0.45 + 0.56 + 0.67 ) − (1+ 0.45 + 0.56 + 0.67 )× ( 0.45 + 0.56 )
【解析】该题相对简单，尽量凑相同的部分，即能简化运算.设a = 0.45 + 0.56 ，b = 0.45 + 0.56 + 0.67，
有原式= (1+ a )×b − (1+b )×a =b +ab −a −ab =b −a = 0.67
三、循环小数与分数互化
【例16】计算：0.1̇+0.125+0.3̇+0.16̇ ，结果保留三位小数．
【解析】方法一：0.1̇+0.125+0.3̇+0.16̇ ≈ 0.1111+0.1250+0.3333+0.1666=0.7359=0.736
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- 13 -
方法二：0.1̇+0.125+0.3̇+0.16̇ 1 1 3 15
9 8 9 90
= + + + 11 1
18 8
= + 53 0.7361
72
= = ̇
【巩固】⑴ 0.54̇ + 0.3̇6̇ = ；
⑵
1.2 1.24 19
27
• • •
× + =
【解析】⑴ 法一：原式
54 5 36 49 4 899
90 99 90 11 990
−
= + = + = ．
法二：将算式变为竖式：
可判断出结果应该是
· ·
0.908 ，化为分数即是
908 9 899
990 990
−
= ．
⑵ 原式
12 124 19 11 123 19 20
9 99 27 9 99 27 9
= × + = × + =
【巩固】计算：0.01̇ + 0.12̇ + 0.23̇ + 0.34̇ + 0.78̇ + 0.89̇
【解析】方法一：0.01̇ + 0.12̇ + 0.23̇ + 0.34̇ + 0.78̇ + 0.89̇
1 12 1 23 2 34 3 78 7 89 8
90 90 90 90 90 90
− − − − −
= + + + + +
1 11 21 31 71 81
90 90 90 90 90 90
= + + + + + =
216
90
方法二：0.01̇ + 0.12̇ + 0.23̇ + 0.34̇ + 0.78̇ + 0.89̇
=0+0.1+0.2+0.3+0.7+0.8+ 0.01̇ + 0.02̇ + 0.03̇ + 0.04̇ + 0.08̇ + 0.09̇
=2.1+0.01̇× (1+2+3+4+8+9)
2.1 1 27
90
= + ×
= 2.1+ 0.3 = 2.4
【巩固】计算（1）0.2̇91̇ − 0.19̇2̇ + 0.3̇75̇ + 0.52̇ 6̇ （2）0.3̇30̇ × 0.18̇6̇
【解析】（1）原式
291 192 1 375 526 5
999 990 999 990
− −
= + + + 291 375 521 191
999 990
+ −
= + 666 330 1
999 990
= + =
（2）原式
330 186 1
999 990
−
= × 330 185
999 990
×
=
×
5
81
=
【例17】某学生将1.23̇ 乘以一个数a 时，把1.23̇ 误看成1.23，使乘积比正确结果减少0.3.则正确结
果该是多少?
【解析】由题意得：1.23a 1.23a 0.3
•
− = ，即：0.003a 0.3
•
= ，所以有：
3 3
900 10
a = ．解得a = 90，
所以
1.23 1.23 90 111 90 111
90
a
• •
= × = × =
【巩固】将循环小数0.0̇27̇ 与0.1̇79672̇ 相乘，取近似值，要求保留一百位小数，那么该近似值的最后一
位小数是多少?
【解析】0.0̇27̇ ×0.1̇79672̇ 27 179672 1 179672 4856 0.004856
999 999999 37 999999 999999
= × = × = = ̇ ̇
循环节有6 位，100÷6=16……4，因此第100 位小数是循环节中的第4 位8，第10l 位是5．这
样四舍五入后第100 位为9．
0.544444
0.363636
0.908080
+
⋯
⋯
⋯
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- 14 -
【例18】有8 个数，0.5̇1̇，
2
3
,
5
9
, 0.51̇ ,
24 , 13
47 25
是其中6 个，如果按从小到大的顺序排列时，第4
个数是0.51̇ ，那么按从大到小排列时，第4 个数是哪一个数?
【解析】2 =0.6
3
̇ ,
5 =0.5
9
̇ ,
24 0.5106
47
≈ ,
13 =0.52
25
显然有0.5106<0.51̇<0.5̇1̇<0.52<0.5̇<0.6̇ 即
24 <051<0.51< 13 < 5 < 2
47 25 9 3
̇ ̇ ̇ ，8个数从小到大排
列第4 个是0.51̇ ，所以有
< < 24 <0.51<0.51< 13 < 5 < 2
47 25 9 3
口口̇ ̇ ̇ ．(“□”，表示未知的那2 个
数).所以，这8 个数从大到小排列第4个数是0.5̇1̇．
【例19】真分数
7
a
化为小数后，如果从小数点后第一位的数字开始连续若干个数字之和是1992，那么a
是多少?
【解析】1 =0.142857
7
̇ ̇ ，
2
7
=0.2̇85714̇ ，
3
7
=0.4̇28571̇ ，
4
7
=0.5̇71428̇ ，
5
7
=0.7̇14285̇ ，
6
7
=0.8̇5714̇2．因此，真分数
7
a
化为小数后，从小数点第一位开始每连续六个数字之和都是
1+4+2+8+5+7=27，又因为1992÷27=73……21,27-21=6，而6=2+4，所以
.
=0.85714 2
7
a ̇ ，即a = 6 ．
【巩固】真分数
7
a
化成循环小数之后，从小数点后第1 位起若干位数字之和是9039 ，则a 是多少？
【解析】我们知道形如
7
a
的真分数转化成循环小数后，循环节都是由1、2、4、5、7、8 这6 个数字组成，
只是各个数字的位置不同而已，那么9039 就应该由若干个完整的1+ 4 + 2 + 8 + 5 + 7和一个不
完整1+ 4 + 2 + 8 + 5 + 7组成。9039 ÷ (1+ 2 + 4 + 5 + 7 + 8) = 334⋯21，而21 = 27 − 6 ，
所以最后一个循环节中所缺的数字之和为6，经检验只有最后两位为4，2 时才符合要求，显然，
这种情况下完整的循环节为“ 857142 ”，因此这个分数应该为
6
7
，所以a = 6。
【巩固】真分数
7
a
化成循环小数之后，小数点后第2009 位数字为7，则a 是多少？
【解析】我们知道形如
7
a
的真分数转化成循环小数后， 循环节都是由6 位数字组成，
2009 ÷ 6 = 334⋯⋯5 ，因此只需判断当a 为几时满足循环节第5 位数是7，经逐一检验得
a = 3。
【例20】2002
2009
和
1
287
化成循环小数后第100 位上的数字之和是_____________.
【解析】如果将
2002
2009
和
1
287
转化成循环小数后再去计算第100 位上的数字和比较麻烦，通过观察计算
我们
发现
2002 1 1
2009 287
+ = ，而1 0.9 ⋅
= ，则第100 位上的数字和为9.
【巩固】纯循环小数0.ȧbċ 写成最简分数时,分子和分母的和是58 ,则三位数abc = _________
【解析】如果直接把0.ȧbċ 转化为分数,应该是
999
abc
,因此,化成最简分数后的分母应该是999 的约数,我
们将999分解质因数得: 999 = 33 × 37 ,这个最简分数的分母应小于58 ,而且大于29 ,否则该
分数就变成了假分数了,符合这个要求的999 的约数就只有37 了,因此,分母应当为37,分子就
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- 15 -
是58 − 37 = 21,也就是说
0. 21
999 37 27 37
abc = abc = abc =
×
̇ ̇ ,因此abc = 21× 27 = 567 .
【例21】在下面的括号里填上不同的自然数，使等式成立．
（1） ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
10 20 20
= + = + = + = + = + ；
（2） ( ) ( )
1 1 1
10
= −
【解析】单位分数的拆分，主要方法是从分母N 的约数中任意找出两个数m 和n ，有：
1 1 1
( ) ( ) ( )
m n m n
N N m n N m n N m n A B
+
= = + = +
+ + +
，
从分母n 的约数中任意找出两个m 和n (m > n )，有：
1 1 1
( ) ( ) ( )
m n m n
N N m n N m n N m n A B
−
= = − = −
− − −
（1） 本题10 的约数有：1，10，2，5．
例如：选1 和2，有：
1 1 2 1 2 1 1
10 10 (1 2) 10 (1 2) 10 (1 2) 30 15
+
= = + = +
× + × + × +
；
从上面变化的过程可以看出，如果取出的两组不同的m 和n ，它们的数值虽然不同，但是如果m
和n 的比值相同，那么最后得到的A 和B 也是相同的．本题中，从10 的约数中任取两个数， 共
有2
4 C + 4 =10种，但是其中比值不同的只有5组：(1，1)；(1，2)；(1，5)；(1，10)；(2，5)，
所以本题共可拆分成5 组．具体的解如下：
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
10 20 20 11 110 12 60 14 35 15 30
= + = + = + = + = + ．
（2）10 的约数有1、2、5、10，我们可选2 和5：
1 5 2 5 2 1 1
10 10 (5 2) 10 (5 2) 10 (5 2) 6 15
−
= = − = −
× − × − × −
另外的解让学生去尝试练习．
【巩固】在下面的括号里填上不同的自然数，使等式成立．
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1 1 1 1
10
= − − = + +
【解析】先选10的三个约数，比如5、2 和1，表示成连减式5 − 2 −1和连加式5 + 2 +1．
则： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1 1 1 1
10 4 10 20 80 40 16
= − − = + +
如果选10、5、2，那么有：
1 1 1 1 1 1 1
10 3 6 15 17 34 85
= − − = + + ．
另外，对于这类题还有个方法，就是先将单位分数拆分，拆成两个单位分数的和或差，再将其
中的一个单位分数拆成两个单位分数的和或差，这样就将原来的单位分数拆成了3 个单位分数
的和或差了．比如，要得到( ) ( ) ( )
1 1 1 1
10
= + + ，根据前面的拆分随意选取一组，比如
1 1 1
10 12 60
= + ， 再选择其中的一个分数进行拆分， 比如
1 1 1
12 13 156
= + ， 所以
1 1 1 1
10 13 60 156
= + + ．
【例22】( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
45
= + = − = + + = − −
【解析】( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
45 72 120 18 30 405 135 81 9 15 45
= + = − = + + = − −
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- 16 -
【巩固】1
10
= ( ) ( )
1 − 1 - ( )
1
= ( ) ( ) ( )
1 + 1 + 1
【解析】( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1 1 1 1
10 4 10 20 80 40 16
= − − = + +
注：这里要先选10 的三个约数，比如5、2 和1，表示成连减式5-2-1 和连加式5+2+1.
【例23】所有分母小于30并且分母是质数的真分数相加，和是__________。
【解析】小于30的质数有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29共十个，分母为17的真分数相加，和
等于
( 1 16) ( 2 15) ( 3 14) ( 8 9 ) 8
17 17 17 17 17 17 17 17
+ + + + + +⋯⋯+ + = =
17 1
2
−
。
类似地，可以求出其它分母为质数的分数的和。因此，所求的和是
1 3 1 5 1 7 1 11 1 13 1 17 1 19 1 23 1 29 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
− − − − − − − − −
+ + + + + + + + +
1 1 2 3 5 6 8 9 11 14 59 1
2 2
= + + + + + + + + + =
【巩固】分母为1996的所有最简分数之和是_________。
【解析】因为1996=2×2×499。所以分母为1996的最简分数，分子不能是偶数，也不能是499的倍数，
499 与3×499。因此，分母为1996 的所有最简真分数之和是
( 1 1995) ( 3 1993) ( 501 1495) ( 997 999 ) 1 1 1 498
1996 1996 1996 1996 1996 1996 1996 1996
+ + + +⋯⋯+ + + + = + +…+ =
=
1 1 2 3 5 6 8 9 11
2
+ + + + + + + + =
59 1
2
【例24】若
1 1 1
2004 a b
= + ，其中a、b 都是四位数，且a【解析】2004的约数有：1,2004,2,1002,3,668,4,501，满足题意的分拆有：
1 1 2 1 1
2004 2004(1 2) 2004(1 2) 6012 3006
= + = +
+ +
1 1 3 1 1
2004 2004(1 3) 2004(1 3) 8016 2672
= + = +
+ +
1 2 3 1 1
2004 2004(2 3) 2004(2 3) 5010 3340
= + = +
+ +
1 3 4 1 1
2004 2004(3 4) 2004(3 4) 4676 3507
= + = +
+ +
【巩固】如果
1 1 1
2009 A B
= − ，A，B 均为正整数，则B 最大是多少？
【解析】从前面的例题我们知道，要将
1
N
按照如下规则写成
1 1
A B
− 的形式：
1 1 1
( ) ( ) ( )
m n m n
N N m n N m n N m n A B
−
= = − = −
− − −
，其中m 和n 都是N 的约数。如果要让B
尽可能地大，实际上就是让上面的式子中的n 尽可能地小而m 尽可能地大，因此应当m 取最大的约
数，而n 应取最小的约数，因此m = 2009，n =1，所以B = 2009× 2008 .
课后练习：
练习1.
1 2 3 4 5 6
1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7
+ + + + +
× × × × × × × × × × × × × × × × × × × × ×
【解析】原式
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- 17 -
1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1
1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7
− − − − −
= + + + + +
× × × × × × × × × × × × × × × × × × × × ×
1 1 1 1 1 1
1 2 1 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 7
= + − + − + −
× × × × × × × × × × × × × × ×
⋯
1 1 1
1 2 1 2 1 2 3 4 5 6 7
= + −
× × × × × × × ×
1 1
5040
= −
5039
5040
=
练习2.
(1 1) (2 2) (3 3) (8 8) (9 9 )
2 3 4 9 10
− × − × − ×⋯× − × −
【解析】通项为：
( 1) 2
n 1 1 1
a n n n n n n
n n n
+ −
= − = =
+ + +
，
原式
1 22 32 42 82 92 3 4 6 7 8 9 36288
2 3 4 5 9 10
= × × × ×⋯× × = × × × × × =
练习3. 计算：13 + 33 + 53 +⋯+ 993 = ___________．
【解析】与公式( ) ( )2 2
3 3 3 2 1
1 2 1 2
4
n n
n n
+
+ +⋯+ = + +⋯ = 相比，13 + 33 + 53 +⋯+ 993缺少偶数
项，所以可以先补上偶数项．
原式= (13 + 23 + 33 +⋯+1003 ) − (23 + 43 +⋯+1003 )
1 1002 1012 23 (13 23 503 )
4
= × × − × + +⋯+
1 1002 1012 23 1 502 512
4 4
= × × − × × ×
= 502 ×(1012 − 2× 512 )
= 12497500
练习4. 计算：
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2007 2 3 2008 2 2008 2 3 2007
⎛ + + + ⎞× ⎛ + + + ⎞ − ⎛ + + + ⎞× ⎛ + + + ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⋯ ⋯ ⋯ ⋯
【解析】令
1 1 1
2 3 2007
a = + +⋯+ ，
1 1 1
2 3 2008
b = + +⋯+ ，
原式(1 ) (1 ) 1
2008
= + a ×b − +b ×a =b +ab −a −ab =b −a =
练习5. ⑴
· · · · 11 0.15 0.218 0.3
111
⎛ + ⎞× × ⎜ ⎟
⎝ ⎠
； ⑵ (2.23̇4̇ − 0.9̇8̇) ÷11 (结果表示成循环小数)
【解析】⑴原式
15 1 218 2 3 11
90 990 9 111
⎛ − − ⎞ = ⎜ + ⎟× ×
⎝ ⎠
37 1 11 1 12345679 0.012345679
99 3 111 81 999999999
= × × = = = ̇ ̇
⑵
2.234 2 234 2 2 232
990 990
−
̇ ̇ = = ，
0.98 98
99
̇ ̇ = ，所以
2.234 0.98 2 232 98 1242 122
990 99 990 90
̇ ̇ − ̇ ̇ = − = = ，
(2.234 0.98) 11 122 11 1 2 0.09 0.02 0.113
90 11 90
̇ ̇ − ̇ ̇ ÷ = ÷ = + = ̇ ̇ + ̇ = ̇ ̇
月测备选
【备选1】计算：
2 3 99
3! 4! 100!
+ +⋯+ = .
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- 18 -
【解析】原式为阶乘的形式，较难进行分析，但是如果将其写成连乘积的形式，题目就豁然开朗了．
原式
2 3 99
1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 100
= + + +
× × × × × × × × ×
⋯
⋯
3 1 4 1 100 1
1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 100
− − −
= + + +
× × × × × × × × ×
⋯
⋯
1 1 1 1 1 1
1 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 99 1 2 3 100
= − + − + + −
× × × × × × × × × × × × × × × ×
⋯
⋯ ⋯
1 1
1 2 1 2 3 100
= −
× × × ×⋯×
1 1
2 100!
= −
【备选2】计算：
12 22 22 32 20042 20052 20052 20062
1 2 2 3 2004 2005 2005 2006
+ + + +
+ + + +
× × × ×
⋯
【解析】（法1）：可先来分析一下它的通项情况，
2 ( 1)2 2 ( 1)2 1
( 1) ( 1) ( 1) 1 n
a n n n n n n
n n n n n n n n
+ + + +
= = + = +
× + × + × + +
原式=
(2 1) (3 2) (4 3) (5 4) ( 2005 2004) ( 2006 2005)
1 2 2 3 3 4 4 5 2004 2005 2005 2006
+ + + + + + + +⋯+ + + +
2005 2 2005 4010 2005
2006 2006
= × + =
（法2）：
2 2 2
2 2
( 1) 2 2 1 2 1 2 1
( 1) ( 1) n
a n n n n
n n n n n n n n
+ + + +
= = = + = +
× + + + × +
【备选3】计算：
1 23 33 20063
1 2 3 2006
+ + + ⋅ ⋅ ⋅ +
+ + + ⋅ ⋅ ⋅ +
【解析】原式
( )2 1 2 3 2006
1 2 3 2006
+ + + ⋅ ⋅ ⋅ +
=
+ + + ⋅ ⋅ ⋅ +
=1+ 2 + 3 + ⋅ ⋅ ⋅ + 2006 1 2006 (2006 1)
2
= × × + = 2013021
【备选4 】计算：
621 739 458 739 458 378 621 739 458 378 739 458
126 358 947 358 947 207 126 358 947 207 358 947
⎛ + + ⎞ ×⎛ + + ⎞ − ⎛ + + + ⎞ ×⎛ + ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
【解析】令
621 739 458
126 358 947
+ + = a ；
739 458
358 947
+ = b ，
原式
378 378
207 207
= a × ⎛⎜b + ⎞⎟ − ⎛⎜a + ⎞⎟×b
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
( ) 378 621 378 9
207 126 207
= a −b × = × =
【备选5】计算
2009 2009 11
99900 99990 9901
⎛ − ⎞× ⎜ ⎟
⎝ ⎠
(结果表示为循环小数)
【解析】由于
1 0.00001
99900
= ̇ ̇ ，
1 0.00001
99990
= ̇ ̇ ，
所以
1 1 0.00001 0.00001 0.00000000900991
99900 99990
− = ̇ ̇ − ̇ ̇ = ̇ ̇ ，
而900991= 7×13× 9901= 91× 9901，
所以，
2009 2009 11 0.00000000900991 2009 11
99900 99990 9901 9901
⎛ − ⎞× = × × ⎜ ⎟
⎝ ⎠
̇ ̇
= 0.000̇00000000091̇×11× 2009 = 0.000̇ 0000000100̇1× 2009 = 0.000̇00002011009̇
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- 19 -
第二讲比和比例
教学目标：
1、比例的基本性质
2、熟练掌握比例式的恒等变形及连比问题
3、能够进行各种条件下比例的转化，有目的的转化；
4、单位“1”变化的比例问题
5、方程解比例应用题
知识点拨：
比例与百分数作为一种数学工具在人们日常生活中处理多组数量关系非常有用，这一部分内
容也是小升初考试的重要内容.通过本讲需要学生掌握的内容有：
一、比和比例的性质
性质1：若a: b=c：d，则(a + c)：(b + d)= a：b=c：d；
性质2：若a: b=c：d，则(a - c)：(b - d)= a：b=c：d；
性质3：若a: b=c：d，则(a +x c)：(b +x d)=a：b=c：d；(x 为常数)
性质4：若a: b=c：d，则a×d = b×c；(即外项积等于内项积)
正比例：如果a÷b=k(k 为常数)，则称a、b 成正比；
反比例：如果a×b=k(k 为常数)，则称a、b 成反比．
二、主要比例转化实例
① x a
y b
= ⇒ y b
x a
= ； x y
a b
= ； a b
x y
= ；
② x a
y b
= ⇒ mx a
my b
= ； x ma
y mb
= (其中m ≠ 0 )；
③ x a
y b
= ⇒ x a
x y a b
=
+ +
； x y a b
x a
− −
= ； x y a b
x y a b
+ +
=
− −
；⋯
④ x a
y b
= ， y c
z d
= ⇒ x ac
z bd
= ；x : y : z = ac :bc :bd ；
⑤ x 的c
a
等于y 的d
b
，则x 是y 的ad
bc
， y 是x 的bc
ad
．
三、按比例分配与和差关系
⑴按比例分配
例如：将x 个物体按照a :b 的比例分配给甲、乙两个人，那么实际上甲、乙两个人各自分配
到的物体数量与x 的比分别为a : (a +b )和b : (a +b )，所以甲分配到ax
a +b
个，乙分
配到bx
a +b
个.
⑵已知两组物体的数量比和数量差，求各个类别数量的问题
例如：两个类别A 、B ，元素的数量比为a :b (这里a >b )，数量差为x ，那么A 的元素数
量为ax
a −b
， B 的元素数量为bx
a −b
，所以解题的关键是求出(a −b )与a或b 的比值．
四、比例题目常用解题方式和思路
解答分数应用题关键是正确理解、运用单位“l”。题中如果有几个不同的单位“1”，必
须根据具体情况，将不同的单位“1”，转化成统一的单位“1”，使数量关系简单化，达到解
决问题的效果。在解答分数应用题时，要注意以下几点：
1. 题中有几种数量相比较时，要选择与各个已知条件关系密切、便于直接解答的数量
为单位“1”。
2. 若题中数量发生变化的，一般要选择不变量为单位“1”。
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- 20 -
3. 应用正、反比例性质解答应用题时要注意题中某一数量是否一定，然后再确定是成
正比例，还是成反比例。找出这些具体数量相对应的分率与其他具体数量之间的正、反
比例关系，就能找到更好、更巧的解法。
4. 题中有明显的等量关系，也可以用方程的方法去解。
5. 赋值解比例问题
例题精讲：
模块一、比例转化
【例25】已知甲、乙、丙三个数，甲等于乙、丙两数和的1
3
，乙等于甲、丙两数和的1
2
，
丙等于甲、乙两数和的5
7
，求甲:乙:丙.
【解析】由甲等于乙、丙两数和的1
3
，得到甲等于三个数和的1 1
3+1 4
= ，同样的乙等于甲、
丙两数和的1 1
2+1 3
= ， 同样的丙等于甲、乙两个数和的5 5
7 5 12
=
+
， 所以
: : 1 : 1 : 5 3: 4 : 5
4 3 12
甲乙丙= = ．
【例26】已知甲、乙、丙三个数，甲的一半等于乙的2倍也等于丙的2
3
，那么甲的2
3
、乙
的2 倍、丙的一半这三个数的比为多少？
【解析】甲的一半、乙的2 倍、丙的2
3
这三个数的比为1:1:1，所以甲、乙、丙这三个数的
比为1 1 : (1 2) : 1 2
2 3
⎛ ÷ ⎞ ÷ ⎛ ÷ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
即2 : 1 : 3
2 2
，化简为4 :1: 3，那么甲的2
3
、乙的2 倍、丙
的一半这三个数的比为4 2 : (1 2) : 3 1
3 2
⎛ × ⎞ × ⎛ × ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
即8 : 2 : 3
3 2
，化简为16 :12 : 9 .
【例27】如下图所示，圆B 与圆C 的面积之和等于圆A面积的4
5
，且圆A 中的阴影部分面
积占圆A 面积的1
6
，圆B 的阴影部分面积占圆B 面积的1
5
，圆C 的阴影部分面积
占圆C 面积的1
3
．求圆A 、圆B 、圆C 的面积之比．
C
B
A
【解析】设A 与B 的共同部分的面积为x ， A 与C 的共同部分的面积为y ，则根据题意有
5 ( ) 6( )
4
A = B +C = x + y ，
5
x = B ，
3
y = C ，于是得到5 ( ) 6
4 5 3
B +C = ⎛ B + C ⎞ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
，这条
式子可化简为B =15C ，所以5 ( ) 20
4
A = B +C = C .最后得到A :B :C = 20 :15 :1.
【例28】某俱乐部男、女会员的人数之比是3: 2，分为甲、乙、丙三组．已知甲、乙、丙
三组的人数比是10 : 8 : 7 ，甲组中男、女会员的人数之比是3 :1 ，乙组中男、女会
员的人数之比是5 : 3．求丙组中男、女会员人数之比．
【解析】以总人数为1，则甲组男会员人数为10 3 3
10 8 7 3 1 10
× =
+ + +
，女会员为3 1 1
10 3 10
× = ，
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- 21 -
乙组男会员为8 5 1
10 8 7 5 3 5
× =
+ + +
， 女会员为1 3 3
5 5 25
× = ； 丙组男会员为
3 3 1 1
3+2 10 5 10
− ⎛ + ⎞ = ⎜ ⎟
⎝ ⎠
，女会员为2 1 3 9
3+2 10 25 50
− ⎛ + ⎞ = ⎜ ⎟
⎝ ⎠
；所以，丙组中男、女会员人
数之比为1 : 9 5:9
10 50
= ．
【巩固】一项公路的修建工程被平均分成两份承包给甲、乙个工程队建设，两个工程
队建设了相同多的一段时间后，分别剩下60% 、40% 的任务没有完成，已知两个
工程队的工作效率(建设速度)之比3 :1，求这两个工程队原先承包的修建公路长度
之比.
【解析】(法一)甲工程队以3倍乙工程队建设速度，仅完成了40% 的承包任务，而乙工程队
完成了60% ， 所以甲工程队承包任务的40% 等于乙工程队承包任务的
60%× 3 =180% ， 所以甲工程队的承包的任务是乙工程队承包任务的
180%÷ 40% = 450%，所以两个工程队承包的修建公路长度之比为450%:1 = 9 : 2．
(法二)两个工程队完成的工程任务(修建公路长度)之比等于工作效率之比，等于3 :1，而他
们分别完成了各自任务的40% 和60% ，所以两个工程队承包的修建公路长度之比
为(3 ÷ 40%) : (1÷ 60%) = 9 : 2．
【例29】某团体有100名会员，男女会员人数之比是14 :11，会员分成三组，甲组人数与
乙、丙两组人数之和一样多，各组男女会员人数之比依次为12 :13、5 : 3 、2 :1 ，
那么丙组有多少名男会员？
【解析】会员总人数100 人，男女比例为14 :11，则可知男、女会员人数分别为56 人、44 人；
又已知甲组人数与乙、丙两组人数之和一样多，则可知甲组人数为50 人，乙、丙
人数之和为50人，可设丙组人数为x 人，则乙组人数为(50 − x )人，又已知甲组男、
女会员比为12 :13 ，则甲组男、女会员人数分别为24 人、26 人，又已知乙、丙两
组男、女会员比例，则可得： 24 5 (50 ) 2 56
8 3
+ − x + x = ，解得x =18．即丙组会员
人数为18 人，又已知男、女比例，可得丙组男会员人数为18 2 12
3
× = 人．
【例30】(2007 年华杯赛总决赛) A 、B 、C 三项工程的工作量之比为1: 2 : 3，由甲、乙、
丙三队分别承担．三个工程队同时开工，若干天后，甲完成的工作量是乙未完成
的工作量的二分之一，乙完成的工作量是丙未完成的工作量的三分之一，丙完成
的工作量等于甲未完成的工作量，则甲、乙、丙队的工作效率的比是多少？
【解析】根据题意，如果把A 工程的工作量看作1，则B 工程的工作量就是2 ，C 工程的工
作量就是3．
设甲、乙、丙三个工程队的工作效率分别为x 、y 、z .经过k 天，则：
( )
( )
( )
2 2 1
3 3 2
1 3
kx ky
ky kz
kz kx
= − ⎧⎪
= − ⎨⎪
⎩ = −
⋯⋯
⋯⋯
⋯⋯
将⑶代入⑵，得2 (4)
3
ky kx
+
= ⋯⋯ ，
将⑷代入⑴，得2 2 2
3
kx kx
+
= − ， 4
7
x
k
= ，
将4
7
x
k
= 代入⑴，得6
7
y
k
= ．代入⑶，得3
7
z
k
= ．
甲、乙、丙三队的．工作效率的连比是4 : 6 : 3 4 : 6 : 3
7k 7k 7k
= ．
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- 22 -
【巩固】某次数学竞赛设一、二、三等奖．已知：①甲、乙两校获一等奖的人数相等；
②甲校获一等奖的人数占该校获奖总人数的百分数与乙校相应的百分数的比为
5 : 6 ；③甲、乙两校获二等奖的人数总和占两校获奖人数总和的20% ；④甲校获
三等奖的人数占该校获奖人数的50% ；⑤甲校获二等奖的人数是乙校获二等奖人
数的4.5 倍．那么，乙校获一等奖的人数占该校获奖总人数的百分数等于多少？
【解析】由①、②可知甲、乙两校获奖总人数的比为6 : 5 ，不妨设甲校有60 人获奖，则乙
校有50 人获奖．由③知两校获二等奖的共有(60 + 50)× 20% = 22人；由⑤知甲校
获二等奖的有22 ÷ (4.5 +1)× 4.5 =18 人； 由④ 知甲校获一等奖的有
60 − 60× 50%−18 = 12人，那么乙校获一等奖的也有12 人，从而所求百分数为
12 ÷ 50×100% = 24%．
【例31】①某校毕业生共有9 个班，每班人数相等．②已知一班的男生人数比二、三班两
个班的女生总数多1；③四、五、六班三个班的女生总数比七、八、九班三个班的
男生总数多1．那么该校毕业生中男、女生人数比是多少？
【解析】如下表所示，由②知，一、二、三班的男生总数比二、三班总人数多1；由③知，
四至九班的男生总数比四、五、六班总人数少1．
一班男生比二、三班女生多1 人
加上二、三班男生二、三班男生
一、二、三班男生比二、三班总人数多1 人
七、八、九班男生比四、五、六班女生少1 人
加上四、五、六班男生四、五、六班男生
四、五、六、七、八、九班男生比四、五、六班总人数少1 人
因此，一至九班的男生总数是二、三、四、五、六共五个班的人数之和，由于每班人数均相
等，则女生总数等于四个班的人数之和．所以，男、女生人数之比是5 : 4 ．
模块二、按比例分配与和差关系
（一）量倍对应
【例32】一些苹果平均分给甲、乙两班的学生，甲班比乙班多分到16个，而甲、乙两班的
人数比为13 :11 ，求一共有多少个苹果？
【解析】一共有16 ÷ (13 −11)×(13+11) = 192个苹果.
【巩固】小新、小志、小刚三人拥有的藏书数量之比为3: 4 : 6，三人一共藏书52本，
求他们三人各自的藏书数量.
【解析】根据题意可知，他们三人各自的藏书数量分别占三人藏书总量的3
3 + 4 + 6
、
4
3 + 4 + 6
、6
3 + 4 + 6
，所以小新拥有的藏书数量为52 3 12
3 4 6
× =
+ +
本，小志拥有
的藏书数量为52 4 16
3 4 6
× =
+ +
本，小刚拥有的藏书数量为52 6 24
3 4 6
× =
+ +
本.
【巩固】在抗洪救灾区活动中，甲、乙、丙三人一共捐了80 元．已知甲比丙多捐18
元，甲、乙所捐资的和与乙、丙所捐资的和之比是10 : 7 ，则甲捐元，乙
捐元，丙捐元．
【解析】由于甲比丙多捐18 元，所以甲、乙所捐资的和比乙、丙所捐资的和多18 元，那么
甲、乙所捐资的和为：18 ÷ (10 − 7)×10 = 60(元)，乙、丙所捐资的和为60 −18 = 42
元．所以，甲捐了80 − 42 = 38 (元)，乙捐了60 − 38 = 22 (元)，丙捐了
38 −18 = 20 (元)．
【巩固】有120个皮球，分给两个班使用，一班分到的1
3
与二班分到的1
2
相等，求两个
班各分到多少皮球？
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- 23 -
【解析】根据题意可知一班与二班分到的球数比1 : 1 3: 2
2 3
= ， 所以一班分到皮球
120 3 72
3 2
× =
+
个，二班分到皮球120 − 72 = 48个．
【例33】一班和二班的人数之比是8 : 7，如果将一班的8名同学调到二班去，则一班和二
班的人数比变为4 : 5 ．求原来两班的人数．
【解析】原来一班的人数为两班总人数的8 8
8 7 15
=
+
，调班后一班的人数是两班人数的
4 4
4 5 9
=
+
，调班前后一班人数的比值为8 : 4 6 : 5
15 9
= ，所以一班原来的人数为
8 ÷ (6 − 5) ×6 = 48人，二班原来的人数为48 ÷8× 7 = 42人.
【例34】幼儿园大班和中班共有32 名男生，18 名女生．已知大班男生数与女生数的比为
5 : 3，中班男生数与女生数的比为2 :1 ，那么大班有女生多少名？
【解析】由于男、女生人数有比例关系，而且知道总数，所以可以用鸡兔同笼的方法．假设
18名女生全部是大班，则大班男生数：女生数= 5 : 3 = 30 :18，即男生应有30 人，
实际上男生有32人，相差2 个人；又中班男生数：女生数= 2 :1= 6 : 3，以3 个中
班女生换3 个大班女生，每换一组可增加1 个男生，所以需要换2 组；所以，大班
女生有18 − 3× 2 = 12(名)．
【巩固】参加植树的同学共有720人，已知六年级与五年级人数的比是3: 2，六年级比
四年级多80 人，三个年级参加植树的各有多少人?
【解析】假设四年级和六年级人数同样多，则参加植树的同学共有720 + 80 = 800人，四、
五、六三个年级的人数比为3 : 2 : 3 ，知道三个量的和及它们的比，就可以按比例分
配，分别求出三个年级参加植树的人数．六年级： 800 3 300
3 2 3
× =
+ +
人；五年级：
800 2 200
3 2 3
× =
+ +
人；四年级：300 − 80 = 220人．
【巩固】圆珠笔和铅笔的价格比是4：3，20支圆珠笔和21支铅笔共用71．5元．问
圆珠笔的单价是每支多少元?
【解析】设圆珠笔的价格为4，那么铅笔的价格为3，则20 支圆珠笔和21 支铅笔的价格为
20×4+21×3=143，则单位“1”的价格为71.5÷143=0.5 元．所以圆珠笔的单价是
O.5×4=2(元)．
【例35】甲、乙两只蚂蚁同时从A 点出发，沿长方形的边爬去，结果在
距B 点2 厘米的C 点相遇，已知乙蚂蚁的速度是甲的1.2 倍，求
这个长方形的周长．
【解析】两只蚂蚁在距B 点2 厘米的C 点相遇，说明乙比甲一共多走了
2× 2 = 4 (厘米)．又知乙蚂蚁的速度是甲蚂蚁的1.2倍，相同时
间内乙蚂蚁爬的路程与甲蚂蚁爬的路程比为：1.2：1＝6：5，
所以甲爬的路程是4 ÷ (6 − 5) ×5 = 20 (厘米)，乙爬的路程是20 + 4 = 24 (厘
米)，长方形的周长为20 + 24 = 44 (厘米)．
【例36】甲乙两车分别从A， B 两地出发，相向而行．出发时，甲、乙的速度比是5∶4，
相遇后，甲的速度减少20％，乙的速度增加20％，这样，当甲到达B 地时，乙离
A 地还有10千米．问：A，B 两地相距多少千米？
【解析】甲、乙原来的速度比是5∶4，相遇后的速度比是：[5×（1－20％）]∶[4×（1＋
20％）]＝4∶4．8＝5∶6．相遇时，甲、乙分别走了全程的
9
5
和
9
4
。设全程x 千
米，剩下的部分甲行的长度和乙行的长度之比为5：6，其中相遇后甲行驶了全长
C
B
A
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- 24 -
的4/9，所以乙行驶了全长的
15
5 6 8
9
4 ÷ × = ，所以乙一共行了全长
45
44
15
8
9
4 + = ，
还剩1-
45
44
＝
45
1
，没有走所以A、B 全长为450 千米.
【例37】师徒二人加工一批零件，师傅加工一个零件用9 分钟，徒弟加工一个零件用15
分钟．完成任务时，师傅比徒弟多加工100 个零件，求师傅和徒弟一共加工了多
少个零件？
【解析】师傅与徒弟的工作效率之比是1 : 1 5 : 3
9 15
= ，工作时间相同，工作量与工作效率成
正比，所以师傅与徒弟分别完成总量的5
5 + 3
和3
5 + 3
，师傅和徒弟一共加工了
100 ( 5 3 ) 400
5 3 5 3
÷ − =
+ +
个零件
【巩固】师徒二人共加工零件400个，师傅加工一个零件用9分钟，徒弟加工一个零件
用15 分钟．完成任务时，师傅比徒弟多加工多少个零件？
【解析】师傅与徒弟的工作效率之比是1 : 1 5 : 3
9 15
= ，而工作时间相同，则工作量与工作效
率成正比，所以师傅与徒弟分别完成总量的5
5 + 3
和3
5 + 3
，师傅比徒弟多加工零件
400 5 3 100
5 3 5 3
×⎛ − ⎞ = ⎜ + + ⎟ ⎝ ⎠
个．
【例38】A 、B 、C 三个水桶的总容积是1440公升，如果A 、B 两桶装满水，C 桶是空
的；若将A 桶水的全部和B 桶水的1
5
，或将B 桶水的全部和A 桶水的1
3
倒入C 桶，
C 桶都恰好装满．求A 、B 、C 三个水桶容积各是多少公升？
【解析】根据题意可知， A 桶水的全部加上B 桶水的1
5
等于B 桶水的全部加上A 桶水的1
3
，
所以A 桶水的2
3
等于B 桶水的4
5
，那么A 桶水的全部等于B 桶水的4 2 6
5 3 5
÷ = ，C
桶水为B 桶水的6 1 7
5 5 5
+ = ．所以A 、B 、C 三个水桶的容积之比是6 :1: 7 6 : 5 : 7
5 5
= ．
又A 、B 、C 三个水桶的总容积是1440 公升， 所以A 桶的容积是
1440 6 480
6 5 7
× =
+ +
公升， B 桶的容积是480 5 400
6
× = 公升， C 桶的容积是
480 7 560
6
× = 公升．
【巩固】学而思学校四五六年级共有615名学生，已知六年级学生的1
2
，等于五年级
学生的2
5
，等于四年级学生的3
7
。这三个年级各有多少名学生学生？
【解析】将六年级学生的1
2
，等于五年级学生的2
5
，等于四年级学生的3
7
，看作一个单位，
那么六年级学生人数等于2 个单位，五年级学生等于2.5 个单位，四年级学生等于
7
3
学生，所以六年级、五年级、四年级学生人数的比为2 5 7 12 15 14
2 3
：： = ：： ，所以六
年级学生人数为615 12
12 15 14
×
+ +
=180 人， 五年级学生人数为
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- 25 -
615 15 225
12 15 14
× =
+ +
人，四年级学生人数为615 14 210
12 15 14
× =
+ +
人
【例39】一块长方形铁板，宽是长的4
5
．从宽边截去21 厘米，长边截去35% 以后，得到
一块正方形铁板．问原来长方形铁板的长是多少厘米?
【解析】如果只将长边截去35%，宽、长之比为4 : ⎡⎣5× (1− 35%)⎤⎦ =16 :13，所以宽边的长
度为21÷ (16 −13) ×16 =112厘米，所以原来铁板的长为112 4 140
5
÷ = 厘米．
【巩固】一个正方形的一边减少20%，另一边增加2米，得到一个长方形，这个长方
形的面积与原正方形面积相等．原正方形的边长是多少米?
【解析】要保证面积不变，一边减少20% ，即是原来的4
5
，另一边要变成原来的5
4
，即增
加5 1 1
4 4
− = ，所以原正方形的边长为2 1 8
4
÷ = (米).
【例40】一把小刀售价3元．如果小明买了这把小刀，那么小明与小强剩余的钱数之比是
2 : 5 ；如果小强买了这把小刀，那么两人剩余的钱数之比变为8 :13 ．小明原来有
多少钱？
【解析】由已知，小强的钱相当于小明、小强买刀后所剩钱数和的5 5
2 5 7
=
+
，小明的钱相
当于小明、小强买刀后钱数和的8 8
8+13 21
= ，所以小明、小强的钱数的比值为
8 : 5 8 :15
21 7
= ，而小明买刀后小明、小强的钱数之比为2 : 5 = 6 :15，所以小明买刀
前后的钱数之比为8 : 6 = 4 : 3，所以小刀的售价等于小明原来钱数的4 3 1
4 4
−
= ，所
以小明的钱数为3 1 12
4
÷ = 元。也可这样看，小明买刀与未买刀的钱数比为
2 : 8 3: 4
7 21
= ，小明的钱数为4× ⎡⎣3 ÷ (4 − 3)⎤⎦ =12（元）
【巩固】甲、乙两人原有的钱数之比为6 : 5，后来甲又得到180 元，乙又得到30 元，
这时甲、乙钱数之比为18 :11 ，求原来两人的钱数之和为多少？
【解析】两人原有钱数之比为6 : 5 ，如果甲得到180 元，乙得到150 元，那么两人的钱数之
比仍为6 : 5 ，现在甲得到180 元，乙只得到30 元，相当于少得到了120 元，现在
两人钱数之比为18 :11 ，可以理解为：两人的钱数分别增加180 元和150 元之后，
钱数之比为18 :15 ，然后乙的钱数减少120 元，两人的钱数之比变为18 :11 ，所以
120元相当于4 份，1 份为30 元，后来两人的钱数之和为30× (18 +15) = 990元，所
以原来两人的总钱数之和为990 −180 −150 = 660元．
【例41】一项机械加工作业，用4 台A 型机床，5 天可以完成；用4台A型机床和2 台B
型机床3 天可以完成；用3 台B 型机床和9 台C 型机床，2 天可以完成，若3 种机
床各取一台工作5 天后，剩下A 、C 型机床继续工作，还需要______ 天可以完
成作业．
【解析】由于用4 台A 型机床5 天可以完成；用4 台A 型机床和2 台B 型机床3 天可以完
成，所以2 台B 型机床3 天完成的量等于4 台A 型机床2 天完成的量，则A 、B 两
种机床每天完成的量的比为(2× 3) : (4× 2) = 3: 4，即A型机床每天完成的量为3，B
型机床每天完成的量为4，该项作业总量为3× 4× 5 = 60，那么C 型机床每天完成
的量为(60 ÷ 2 − 4× 3) ÷ 9 = 2 ，3 种机床各取一台工作5 天后，剩下的工作量为
60 − (3 + 4 + 2)× 5 =15，A、C 型机床还需继续工作15 ÷ (3 + 2) = 3天．
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- 26 -
【例42】动物园门票大人20元，小孩10元．六一儿童节那天，儿童免票，结果与前一天
相比，大人增加了60% ，儿童增加了90% ，共增加了2100 人，但门票收入与前一
天相同．六一儿童节这天共有多少人入园？
【解析】前一天大人与小孩的人数比为1: (60%× 2) = 5 : 6，六一那天增加的大人与增加的小
孩人数比为(5× 60%) : (6× 90%) = 5 : 9， 大人增加的人数为2100 5 750
14
× = 人，小
孩增加的人数为2100 − 750 =1350人，大人的总数为750 ÷ 60%+ 750 = 2000人，小
孩的总人数为1350 ÷ 90%+1350 = 2850人，总人数为2000 + 2850 = 4850人．
【例43】某水果批发市场存放的苹果与桃子的吨数的比是1: 2，第一天售出苹果的20%，
售出桃子的吨数与所剩桃子的吨数的比是1: 3 ；第二天售出苹果18 吨，桃子12 吨，
这样一来，所剩苹果的吨数是所剩桃子吨数的4
15
，问原有苹果和桃子各有多少
吨？
【解析】法一：设原来苹果有x 吨，则原来桃子有2x 吨，得： (1 20%) 18 4
2 3 12 15
1 3
x
x
× − −
=
× −
+
，解得
x = 37．所以原有苹果37 吨，原有桃子37× 2 = 74 (吨)．
法二：原来苹果和桃子的吨数的比是1: 2 ，把原来的苹果的吨数看作1，则原来桃
子的吨数为2，第一天后剩下的苹果是1 (1 20%) 4
5
× − = ，剩下的桃子是2 3 3
1 3 2
× =
+
，
所以此时剩下的苹果和桃子的重量比是4 : 3 8 :15
5 2
= ．现在再售出苹果18 吨，桃子
12 吨，所剩的苹果与桃子的重量比是4 :15 ．这就相当于第一天后剩下的苹果和桃
子的重量比是8 :15 ，先售出桃子12 吨，苹果12 8 32
15 5
× = 吨，此时剩下的苹果和桃
子的重量比还是8 :15 ，再售出18 32 58
5 5
− = 吨苹果，剩下的苹果和桃子的重量比变
为4 :15 ，所以这58
5
相当于8 − 4 = 4份，最后剩下的桃子有58 15 87
5 4 2
× = 吨，那么第
一天后剩下的桃子有87 12 111
2 2
+ = 吨，原有桃子111 3 74
2 1 3
÷ =
+
吨，原有苹果
74 ÷ 2 = 37吨．
（二）利用不变量统一份数
【例44】有一个长方体，长和宽的比是2 :1，宽与高的比是3: 2．表面积为72cm2，求这
个长方体的体积.
【解析】由条件长方体的长、宽、高的比6 : 3 : 2 ，则长方体的所有视面，上面、前面、左面
的面积比为(6×3) : (6× 2) : (3× 2) =18 :12 : 6 = 3: 2 :1，这三个面的面积和等于长方体
表面积的二分之一，所以，长方体的上面的面积为72 1 3 18cm2
2 3 2 1
× × =
+ +
，前面
的面积为72 1 2 12cm2
2 3 2 1
× × =
+ +
，左面的面积为720 1 1 6cm2
2 3 2 1
× × =
+ +
，而
18×12× 6 =1296 = 362，所以36即是长、宽、高的乘积，所以这个长方体的体积为
36cm3．
【巩固】有一个长方体，长与宽的比是2 :1，宽与高的比是3: 2．已知这个长方体的全
部棱长之和是220 厘米，求这个长方体的体积．
【解析】由条件宽与高的比为3: 2 1: 2
3
= ，所以这个长方体的长、宽、高的比为2 :1: 2
3
即
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6 : 3 : 2 ，由于长方体的所有棱中，长、宽、高各有4 条，所以长方体的长为
220 1 6 30
4 6 3 2
× × =
+ +
厘米， 宽为220 1 3 15
4 6 3 2
× × =
+ +
厘米， 高为
220 1 2 10
4 6 3 2
× × =
+ +
厘米，所以这个长方形的体积为30×15×10 = 4500立方厘米.
【例45】（2009 年第七届“希望杯”二试六年级）某高速公路收费站对于过往车辆收费标
准是：大型车30 元，中型车15 元，小型车10 元．一天，通过该收费站的大型车和
中型车数量之比是5 : 6 ，中型车与小型车之比是4 :11 ，小型车的通行费总数比大
型车多270 元．（1）这天通过收费站的大型车、中型车、小型车各有多少辆？（2）
这天的收费总数是多少元？
【解析】⑴大型车、小型车通过的数量都是与中型车相比，如果能将5 : 6 中的6 与4 :11 中
的4统一成[4,6] =12，就可以得到大型车、中型车、小型车的连比．由5 : 6 =10 :12
和4 :11 = 12 : 33，得到大型车:中型车:小型车=10 :12 : 33．以10辆大型车、12辆
中型车、33 辆小型车为一组．因为每组中收取小型车的通行费比大型车多
10× 33− 30×10 = 30 (元)，所以这天通过的车辆共有270 ÷ 30 = 9 (组)．所以这天通
过大型车有10× 9 = 90 (辆)，中型车有12× 9 =108 (辆)，小型车有33× 9 = 297 (辆)．
（2）这天收取的总费用为：30× 90 +15×108 + 297×10 = 7290元．
【例46】6枚壹分硬币摞在一起与5枚贰分硬币摞在一起一样高，4枚壹分硬币摞在一起
与3枚伍分硬币摞在一起一样高．用壹分、贰分、伍分硬币各摞成一个圆柱体，并
且三个圆柱体一样高，共用了124 枚硬币，问：这些硬币的币值为多少元？
【解析】由题目条件壹分硬币和贰分硬币的数量比为6 : 5 ，壹分硬币和伍分硬币的数量比为
4 : 3 = 6 : 4.5，所以壹分硬币、贰分硬币以及伍分硬币的数量比为6 : 5 : 4.5，即
12 :10 : 9 ，因此壹分硬币的数量为124 12 48
12 10 9
× =
+ +
枚，贰分硬币的数量为
124 10 40
12 10 9
× =
+ +
枚，伍分硬币的数量为124 9 36
12 10 9
× =
+ +
枚，这些硬币一共
有48×1+ 40× 2 + 36× 5 = 308分，即币值为3.08元．
【例47】某工地用3种型号的卡车运送土方．已知甲、乙、丙三种卡车载重量之比为
10 : 7 : 6 ，速度比为6 : 8 : 9 ，运送土方的路程之比为15 :14 :14 ，三种车的辆数之比
为10 : 5 : 7 ．工程开始时，乙、丙两种车全部投入运输，但甲种车只有一半投入，
直到10 天后，另一半甲种车才投入工作，一共干了25 天完成任务．那么，甲种车
完成的工作量与总工作量之比是多少？
【解析】由于甲、乙、丙三种卡车运送土方的路程之比为15∶14∶14，速度之比为6∶8∶9，
所以它们运送1次所需的时间之比为15 14 14 5 7 14
6 8 9 2 4 9
∶ ∶ = ∶ ∶ ，相同时间内它们运送
的次数比为： 2 4 9
5 7 14
∶ ∶ ．在前10 天，甲车只有一半投入使用，因此甲、乙、丙的
数量之比为5∶5∶7．由于三种卡车载重量之比为10∶7∶6，所以三种卡车的总载重
量之比为50∶35∶42 ． 那么三种卡车在前10 天内的工作量之比为：
50 2 35 4 42 9 20 20 27
5 7 14
⎛ × ⎞ ⎛ × ⎞ ⎛ × ⎞ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∶ ∶ ∶ ∶ ．在后15 天，由于甲车全部投入使用，所
以在后15天里的工作量之比为40∶20∶27．所以在这25天内，甲的工作量与总工
作量之比为： 20 10 40 15 32
20 20 27 10 40 20 27 15 79
× + ×
=
( + + )× +( + + )×
．
【例48】将一堆糖果全部分给甲、乙、丙三个小朋友．原计划甲、乙、丙三人所得糖果数
的比为5 : 4 : 3 ．实际上，甲、乙、丙三人所得糖果数的比为7 : 6 : 5 ，其中有一位小
朋友比原计划多得了15 块糖果．那么这位小朋友是(填“甲”、“乙”或
“丙”)，他实际所得的糖果数为块．
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- 28 -
【解析】方法一：原计划甲、乙、丙三人所得糖果数分别占总数的5
12
， 4
12
， 3
12
；实际甲、
乙、丙三人所得糖果数分别占总数的7
18
， 6
18
， 5
18
，只有丙占总数的比例是增加
的，所以这位小朋友是丙.糖果总数为15 5 3 540
18 12
÷ ⎛ − ⎞ = ⎜ ⎟
⎝ ⎠
(块)，丙实际所得的糖
果数为540 5 150
18
× = (块)．
方法二：化通比为： 甲乙丙总数为
原计分配为5 ： 4 : 3 12 份
实际分配为7 ： 6 ： 5 18 份
化通比为15 ： 12 ： 9 36 份
14 ： 12 ： 10 36 份
对比分析甲15——14，乙12——12，丙9——10，发现多得糖果的是丙
所以15÷（10—9）×10＝150（块）
【巩固】今年儿子的年龄是父亲年龄的1
4
，15 年后，儿子的年龄是父亲年龄的5
11
．今
年儿子多少岁？
【解析】方法一：今年儿子的年龄相当于父子年龄差的1 1
4 1 3
=
−
，15 年后儿子的年龄相当于
父子年龄差的5 5
11 5 6
=
−
，所以15 年相当于父子年龄差的5 1 1
6 3 2
− = ，年龄差为
15 1 30
2
÷ = 岁.今年儿子30 ÷ 3 =10岁.
方法二：今年儿子的年龄是父亲年龄的1
4
，所以儿子：父亲＝1：4；15 年后，儿
子的年龄是父亲年龄的5
11
，所以儿子：父亲＝5：11。因为在年龄问题中年龄差不
变所以列表分析为：
儿子父亲年龄差
1 ： 4 3
5 ： 11 6
根据不变量化通比为2 ： 8 6
5 ： 11 6
对比分析为：15÷（5—2）×2＝10（岁）
【例49】一个周长是56厘米的大长方形，按图⑴与图⑵所示意那样，划分为四个小长方形．
在图⑴中小长方形面积的比是A :B =1: 2，B :C =1: 2．而在图⑵中相应的比例是
A ' :B ' =1: 3，B ' :C ' =1: 3.又知长方形D '的宽减去D 的宽所得到的差与D '的长减
去D 的长所得到差之比为1: 3 ．求大长方形的面积．
（1）
D
C
B
A
⑵
D'
C'
B'
A'
【详解】因为A :B = 1: 2，B :C = 1: 2，所以A :C =1: 4；
因为A ' :B ' =1: 3，B ' :C ' =1: 3，所以A ' :C ' =1: 9，
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- 29 -
设长方形的宽为a ,长为b ,得：
3 2
4 3 1
9 4 3
10 5
a a
b b
−
=
−
．
得a :b = 2 : 5．又a +b = 56 ÷ 2 = 28，所以a = 8，b = 20．
所以长方形面积= 20×8 =160 ．
【例50】北京中学生运动会男女运动员比例为19 :12，组委会决定增加女子艺术体操项目，
这样男女运动员比例变为20 :13 ；后来又决定增加男子象棋项目，男女比例变为
30 :19 ,已知男子象棋项目运动员比女子艺术体操运动员多15 人，则总运动员人数
为多少？
【解析】将运动会最初的运动员人数设为“1”，那么男运动员人数为19 19
19 12 31
=
+
，女运动
员人数为12
31
，而增加女子艺术体操项目，男运动员人数不变，仍然是19
31
，所以这
时女运动员人数为19 20 13 247
31 620
÷ × = ，增加男子象棋项目，女运动员人数保持不变，
仍然是247
620
，所以男运动员人数增加为247 19 30 39
620 62
÷ × = ．女子艺术体操项目人数
为247 12 7
620 31 620
− = ，男子象棋项目的人数为39 19 1
62 31 62
− = ，男子象棋项目运动员比
女子艺术体操运动员多1 7 3
62 620 620
− = ，原来总运动员人数为15 3 3100
620
÷ = 人，
男子象棋项目运动员有3100 1 50
62
× = 人，女子艺术体操运动员有3100 7 35
620
× =
人，所以现在的总运动员人数为3100 + 50 + 35 = 3185人．
【巩固】袋子里红球与白球的数量之比是19 :13．放入若干只红球后，红球与白球数量
之比变为5 : 3；再放入若干只白球后，红球与白球数量之比变为13 :11 ．已知放入
的红球比白球少80 只．那么原来袋子里共有只球．
【解析】根据第一次操作白球的数量不变，把19 :13改写成57 : 39 ， 5 : 3 改写成65 : 39 ．第
二次操作相对于第一次操作红球数量不变，把13 :11 改写成65 : 55 ，这时我们可以
看出，经过两次操作后，红球共增加了65 − 57 = 8份，白球增加了55 − 39 = 16份．
原来红球有80 ÷ (16 − 8)× 57 = 570个，白球有80 ÷ (16 − 8)× 39 = 390个．两种球共
570 + 390 = 960个．
【例51】有若干个突击队参加某工地会战，已知每个突击队人数相同，而且每个队的女队
员的人数是该队的男队员的7
18
，以后上级从第一突击队调走了该队的一半队员，
而且全是男队员，于是工地上的全体女队员的人数是剩下的全体男队员的8
17
，问
开始共有多少支突击队参加会战？
【解析】由于每个队的女队员的人数是该队的男队员的7
18
，所以原来全体女队员的人数是
全体男队员的7
18
，即原来女队员的人数占所有队员人数的7
25
，调走第一突击队的
一半队员后，女队员的人数占剩下的队员总数的8
25
，由于调走的全是男队员，女
队员的人数没有变化，所以调走后的队员总数与调走前的队员总数之比为
25 : 25 7 :8
8 7
= ，即调走的队员人数占原来队员总人数的1
8
，而调走的队员为第一突
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- 30 -
击队的一半，且每个突击队人数相同， 1 1 4
2 8
÷ = ，故开始共有4 支突击队参加会战．
（三）利用等量关系列方程解比例
【例52】某学校入学考试，参加的男生与女生人数之比是4 : 3． 结果录取91 人，其中男
生与女生人数之比是8 : 5 ．未被录取的学生中，男生与女生人数之比是3 : 4 ． 问
报考的共有多少人？
【解析】(法1)录取的学生中男生有91 8 56
5 8
× =
+
人，女生有91− 56 = 35 (人)，先将未录取
的人数之比3: 4 变成4 : 4 4
3
× ， 又有56 3 42
4
× = ( 人) ， 所以每份人数是
(42 35) 4 4 3 3
3
− ÷ ⎛ × − ⎞ = ⎜ ⎟
⎝ ⎠
(人)，那么未录取的男生有4×3 =12 (人)，未录取的女生
有4 4 3 16
3
× × = (人)．所以报考总人数是(56 +12) + (35 +16) =119 (人)．
(法2)设未被录取的男生人数为3x 人，那么未被录取的女生人数为4x 人，由于录
取的学生中男生有91 8 56
5 8
× =
+
人， 女生有91− 56 = 35 ( 人) ， 则
(56 + 3x ) : (35 + 4x ) = 4 : 3，解得x = 4．所以未被录取的男生有12 人，女生有16
人．报考总人数是(56 +12) + (35 +16) =119 (人)．
【例53】有甲、乙两块含铜率不同的合金，甲块重6千克，乙块重4千克，现在从甲、乙
两块合金上各切下重量相等的一部分，将甲块上切下的部分与乙块的剩余的部分
一起熔炼，再将乙块上切下的部分与甲块的剩余的部分一起熔炼，得到的两块新
合金的含铜率相同，求切下的重量为________．
【解析】设切下的部分重量为x千克，则甲切下的x 千克与乙剩下的(4－x)千克混合．由于
得到的两块新合金的含铜率相同，所以若将这两块新合金混合，得到的大块合金的
含铜率应与原来的两块新合金的含铜率相同，而这一大块合金是由6 千克甲块合金
与4千克乙块合金混合而成的，所以x 千克甲块合金与(4－x)千克乙块合金混合后
的含铜率与6 千克甲块合金与4 千克乙块合金混合后的含铜率相同，而甲、乙两块
合金含铜率不同，所以这两种混合中甲、乙两种合金的重量比相同，即6
4 4
x
x
=
－
，
所以：4x = 6（4－x），解得x = 2.4．
课后练习：
a) 右图是一个园林的规划图，其中，正方形的3
4
是草地；圆的6
7
是竹林；竹林比草地多
占地450平方米． 问：水池占多少平方米?
【解析】正方形的3
4
是草地，那如果水池占1 份，草地的面积便是3 份；圆的6
7
是竹林，
水池占1 份，竹林的面积是6 份。从而竹林比草地多出的面积是（6-3=）3 份。3
份的面积是450 平方米，可见1 份面积是450÷3=150（平方米），即水池面积是150
平方米。
b) 乙两个班共种树若干棵，已知甲班种的棵数的1
4
等于乙班种的棵数的1
5
，且乙班比甲
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- 31 -
班多种树24 棵，甲、乙两个班各种树多少棵?
【解析】甲、乙两班种树棵数之比为： 1 : 1 4 : 5
5 4
= ， 甲班种树棵数为：
24 ÷ (5 − 4)× 4 = 96 (棵)，乙班种树棵数为：24 ÷ (5 − 4)×5 =120 (棵)．
c) 甲本月收入的钱数是乙收入的5
8
，甲本月支出的钱数是乙支出的3
4
，甲节余240元，
乙节余480元．甲本月收入多少元？
【解析】甲、乙本月收入的比是5 : 8 ，分别节余240 元和480 元，支出的钱数之比是3 : 4 ．
如果乙节余480元，甲节余480 ÷8×5 = 300元，那么两人支出的钱数之比也是5 :8 ，
现在甲只节余240 元，多支出了60 元，结果支出的钱数之比从5 : 8 变成了6 : 8 (即
3: 4 )，所以这60元就对应6 − 5 =1份，那么甲支出了60× 6 = 360元，所以甲本月
收入为360 + 240 = 600元．
d) 甲、乙两车分别从A 、B 两地同时相向开出，甲车速度是50 千米／小时，乙车速度是
40 千米／小时，当甲车驶过A 、B 距离的1
3
多50 千米时与乙车相遇， A 、B 两地
相距千米．
【解析】在相同的时间内，两车行驶的路程比等于两车的速度之比，由于两车的速度之比等
于50 : 40 = 5 : 4，那么A 、B 距离的1
3
多50 千米即是A 、B 距离的5 5
4 5 9
=
+
，所以
50 千米的距离相当于全程的5 1 2
9 3 9
⎛ − ⎞ = ⎜ ⎟
⎝ ⎠
，全程的距离为50 2 225
9
÷ = (千米)．
月测备选
【备选1】甲、乙、丙三个数，已知甲: (乙+丙) = 4 : 3，乙:丙= 2 : 7，求甲:乙:丙。
【解析】由乙:丙= 2 : 7可得到乙: (乙+丙) = 2 : 9 ，丙: (乙+丙) = 7 : 9，而甲: (乙+丙) = 4 : 3，
所以： : : 4 : 2 : 7 12 : 2 : 7
3 9 9
甲乙丙= = ．
【备选2】有一堆糖果，其中奶糖占45％，再放人16块水果糖后，奶糖就只占25％那么，
这堆糖果中有奶糖多少块?
【解析】方法一：原来奶糖占45 9
100 20
= ，后来占25 1
100 4
= ，因此后来的糖果数是奶糖的4 倍，
也比原来糖果多16 粒，从而原来的糖果是16+( 4 9
20
× − 1)=20 块.其中奶糖有20
× 9
20
=9 块．
方法二：原来奶糖与其他糖(包含水果糖)之比是45％：(1-45％)=9：11,设奶糖有
9 份，其他糖(包含水果糖)有11 份．现在奶糖与其他糖之比是25％：(1-25％)=1：
3=9：27,奶糖的份数不变，其他糖的份数增加了27-11=16 份，而其他糖也恰好增
加了16 块，所以，l 份即1 块．奶糖占9 份，就是9 块奶糖．
【备选3】甲、乙两个工人上班，甲比乙多走1
5
的路程，而乙比甲的时间少1
11
，甲、乙的
速度比是．
【解析】甲走的路程是乙走的路程的6
5
，甲用的时间是乙用的时间的11
10
，所以甲的速度是
乙的速度的6 11 12
5 10 11
÷ = ，即甲、乙的速度比是12 :11．
【备选4】一堆围棋子有黑白两种颜色，拿走15 枚白棋子后，黑子与白子的个数之比为2 :1 ；
再拿走45 枚黑棋子后，黑子与白子的个数比为1: 5 ，求开始时黑棋子与白棋子各
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- 32 -
有多少枚？
【解析】第二次拿走45枚黑棋，黑子与白子的个数之比由2 :1(=10 : 5)变为1: 5，而其中白
棋的数目是不变的，所以黑棋由原来的10 份变成现在的1 份，减少了9 份，这样
原来黑棋的个数为45 ÷ 9×10 = 50 (枚)，白棋的个数为45 ÷ 9× 5 +15 = 40 (枚)．
【备选5】加工某种零件，甲3分钟加工1个，乙3.5 分钟加工1个，丙4 分钟加工1个．现在
三人在同样的时间内一共加工3650 个零件．问：甲、乙、丙三人各加工多少个零
件?
【解析】根据题意可知，甲、乙、丙的工作效率之比为1 : 1 : 1 28 : 24 : 21
3 3.5 4
= ，那么在相同
的时间内， 三人完成的工作量之比也是28 : 24 : 21 ， 所以甲加工了
3650 28 1400
28 24 21
× =
+ +
个零件，乙加工了3650 24 1200
28 24 21
× =
+ +
个零件，丙
加工了3650 21 1050
28 24 21
× =
+ +
个零件。
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- 33 -
第三讲方程综合运用
教学目标
1、会解各种方程及方程组，熟练掌握各种解方程的解法
2、根据题意寻找等量关系的方法来构建方程及方程组
3、合理规划等量关系，设未知数、列方程（组）。
例题精讲
【例54】用边长相同的正六边形白色皮块、正五边形黑色皮块总计32 块，缝制成一个足
球，如图所示，每个黑色皮块邻接的都是白色皮块；每个白色皮块相间地与3 个
黑色皮块及3 个白色皮块相邻接．问：这个足球上共有多少块白色皮块？
【解析】设这个足球上共有x 块白色皮块，则共有3x 条边是黑白皮块共有的．另一方面，
黑色皮块有（32 − x）块，共有（5 32 − x）条边是黑白皮块共有的（如图）．由于在这个
足球上黑白皮块共有的边是个定值，列得方程：3x =（5 32 − x），解得x = 20．即这
个足球上共有20 块白色皮块．
【例55】某八位数形如2abcdefg ，它与3 的乘积形如abcdefg 4 ，则七位数abcdefg 应
是．
【解析】设x = abcdefg ，则(20000000 + x)× 3 =10x + 4，7x = 59999996，x = 8571428，即
七位数应是8571428
【巩固】有一个六位数1abcde乘以3后变成abcde1，求这个六位数．
【解析】设x = abcde ，则有六位数1x 和x1，有（100000 + x）× 3 = 10x +1，解得x = 42857，
所以原六位数是142857．
【例56】有三个连续的整数，已知最小的数加上中间的数的两倍再加上最大的数的三倍的
和是68，求这三个连续整数.
【解析】设最小的那个数为x ，那么中间的数和最大的数分别为x +1和x + 2 ．则
x + 2(x +1) + 3(x + 2) = 68，x =10．所以这三个连续整数依次为10、11、12．
【例57】小军原有故事书的本数是小力的3 倍，小军又买来7 本书，小力买来6 本书后，
小军所有的书是小力的2 倍，两人原来各有多少本书？
【解析】设小力原有故事书x 本，则小军原有故事书3x 本。小力原有故事书5 本，小军原
有故事书15 本．
【巩固】水果店运来的西瓜的个数是白兰瓜的个数的2 倍．如果每天卖白兰瓜40 个，
西瓜50 个，若干天后卖完白兰瓜时，西瓜还剩360 个．水果店运来的西瓜和白兰
瓜共多少个？
【解析】设白兰瓜进了x 个，则西瓜进了2x 个，有
( )( )
( )( )
4 3 3
4 5 5
x y xy
xy x y
⎧ + − − = ⎪⎨
⎩⎪ − − + =
，得
4 3 15 (1)
5 4 15 (2)
y x
x y
− = ⎧⎨
⎩ − =
⋯
⋯
，所以西瓜和白兰瓜共+ （个）．
法一：(涉及到分数，慎重选讲)
注意到两种瓜卖的天数相等这一等量关系，设白兰瓜进了2x = 30个，则西瓜进了x =15个，
列方程得：x =15，解得y =15，19×12 +15×15 +11× 20 = 673，
所以西瓜和白兰瓜共480 + 960 =1440个．
法二：设卖了27 天，根据题意列方程得18 ，解得12 ，所以西瓜和白兰瓜共有8
【例58】一群学生进行篮球投篮测验，每人投10 次，按每人进球数统计的部分情况如下
表：
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- 34 -
进球数0 1 2 …… 8 9 10
人数7 5 4 …… 3 4 1
还知道至少投进3 个球的人平均投进6 个球，投进不到8 个球的人平均投进3 个球．问：
共有多少人参加测验？
【解析】设有x 人参加测验．
由上表看出，至少投进3个球的有(x − 7 − 5 − 4)人，投进不到8个球的有(x − 3 − 4 −1)人．
投中的总球数，既等于进球数不到3 个的人的进球数加上至少投进3 个球的人的进球数，
为0× 7 +1×5 + 2× 4 + 6×(x − 7 − 5 − 4) = 5 + 8 + 6×(x −16) = 6x − 83；
也等于进球数不到8 个的人的进球数加上至少投进8 个球的人的进球数，
为3×(x − 3 − 4 −1) + 8×3 + 9× 4 +10×1 = 3×(x − 8) + 24 + 36 +10 = 3x + 46；
由此可得方程：6x − 83 = 3x + 46，解得x = 43．
故共有43 人参加测验．
【例59】甲、乙、丙三人同乘汽车到外地旅行，三人所带行李的重量都超过了可免费携带
行李的重量，需另付行李费，三人共付4 元，而三人行李共重150 千克．如果一
个人带150 千克的行李，除免费部分外，应另付行李费8 元．求每人可免费携带
的行李重量．
【解析】设每人可免费携带x 千克行李．一方面，三人可免费携带3x 千克行李，三人携带
150千克行李超重(150 − 3x )千克，超重行李共付4元行李费；另一方面，一人携
带150 千克行李超重(150 − x )千克，超重行李需付行李费8元．根据超重行李每千
克应付的钱数相同，可列方程：
150 3 150
4 8
− x − x
= ，x = 30．所以每人可免费携带的行李重量为30 千克．
【例60】某旅游点有儿童票、成人票两种规格的门票卖， 儿童票的价格为30 元，成人票
的价格为40 元，如果是团体还可以买平均32 元一位的团体票，一个由8 个家庭
组成的旅游团(每个家庭由两位大人，或两个大人、一个小孩组成)来景点旅游，
如果他们买团体票那么可以比他们各自买票少花120 元，问这个旅游团一共有多
少人？
【解析】设八个家庭中有x 个是三口之家， y 是个两口之家，则
20× (21− x) + 24× (21− y) = 924 − 20x − 24y ， 所以旅游团一共有
16x +18y = 924 − 20x − 24y 人。
【例61】有一队伍以1.4 米/秒的速度行军，末尾有一通讯员因事要通知排头，于是以2.6
米/秒的速度从末尾赶到排头并立即返回排尾，共用了10 分50 秒。问：队伍有多
长？
【解析】这是一道“追及又相遇”的问题，通讯员从末尾到排头是追及问题，他与排头所行
路程差为队伍长；通讯员从排头返回排尾是相遇问题，他与排尾所行路程和为队伍
长。如果设通讯员从末尾到排头用了x 秒，那么通讯员从排头返回排尾用了
(650 − x )秒，于是不难列方程。
设通讯员从末尾赶到排头用了x 秒，依题意得，2.6x −1.4x = 2.6(650 − x ) +1.4(650 − x )，解
得x = 500推知队伍长为(2.6 −1.4)× 500 = 600（米）。
【巩固】解放军某部快艇追及敌舰，追到A 岛时敌舰已逃离该岛12分钟，敌舰每分钟行
1000 米，我军快艇每分钟行1360 米。如果距敌舰600 米处可以开炮射击，解放军
快艇从A 岛出发经过多少分钟可以开炮射击敌舰？
【解析】根据题意可以知道题中的等量关系是：解放军所行路程-敌舰所行路程= 600 米
设解放军快艇从A 岛出发经过x 分钟可以开炮射击敌舰，由题意得：
1360x − (1000×12 +1000x ) = 600
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- 35 -
1360x −1000x = 600 +12000
x = 35
所以，解放军快艇从A 岛出发经过35 分钟可以开炮射击敌舰。
【巩固】铁路旁的一条与铁路平行的小路上，有一行人与骑车人同时向南行进，行人速度
为3.6 千米/时，骑车人速度为10.8 千米/时，这时有一列火车从他们背后开过来，
火车通过行人用22 秒，通过骑车人用26 秒，这列火车的车身总长是多少？
【解析】本题属于追及问题，行人的速度为3.6 千米/时=1米/秒，骑车人的速度为10.8 千米
/时= 3米/秒。火车的车身长度既等于火车车尾与行人的路程差，也等于火车车尾
与骑车人的路程差。如果设火车的速度为x 米/秒，那么火车的车身长度可表示为
22(x −1)或26(x − 3)，由此不难列出方程。
设这列火车的速度是x米/秒，依题意列方程，得22(x −1) = 26(x − 3)，解得x =14。
所以火车的车身长为(14 −1)× 22 = 286（米）。
【例62】有甲、乙、丙三个人，当甲的年龄是乙的2 倍时；丙是22 岁，当乙的年龄是丙
的2 倍，甲是31 岁；当甲60 岁时，丙是多少岁?
【解析】设丙22 岁时，乙的年龄是x 岁，当时甲的年龄就是2x 岁，甲乙的年龄差为x 岁．
那么甲是3l岁时，乙是(31− x)岁，丙是22 + (31− 2x) = 53− 2x 岁，
列方程得，31− x = 2(53− 2x)，解得x = 25，
所以乙25 岁时，甲50 岁，丙22 岁．那么甲60 岁时，丙32 岁．
【巩固】甲、乙两人在10年前的年龄比为2：3，现在他俩的年龄比为3：4，那么10年后
他俩的年龄比为多少？
【解析】设10 年前甲的年龄为2x 岁，则当时乙的年龄为3x 岁，那根据现在两人的年龄比
可得方程：(2x +10) : (3x +10) = 3: 4，等式两边前后项交叉相乘可得
8x + 40 = 9x + 30，解得x =10，所以10 年前甲的年龄为20 岁，乙的年龄为30 岁，
10 年后两人分别是40 岁、50 岁，10 年后两人的年龄比为4：5．
【巩固】已知哥哥5年后的年龄与弟弟3年前的年龄和恰好是29岁，而弟弟现在的年龄是
两人年龄差的4 倍，那么试问哥哥今年多少岁？
【解析】在这道题中，哥哥和弟弟的年龄是多少都不知道，未知的量不止一个，那么如何设
未知数成了问题的关键．按理说弟弟的年龄小，如果设弟弟的年龄未知数，那哥哥
的年龄如何表示，这就要涉及到题目中的一个条件——弟弟现在的年龄是两人年龄
差的4 倍．通过这个条件可以发现，原来年龄差是他们两人年龄的最基本的组成元
素．
设他们两人的年龄差是x 岁，那么弟弟现在的年龄是4x 岁，而哥哥现在的年龄是4x + x = 5x
岁．根据“哥哥A 年后的年龄与弟弟B 年前的年龄和恰好是B 岁”这个条件可以得出方程，
两个人的年龄差是M 岁，于是弟弟的年龄是A 岁，哥哥的年龄是B 岁．
【例63】金银合金的重量是250克，放在水中称重时，重量减轻了16克，已知金在水中称
重量减轻1
19
，银在水中称重量减轻1
10
，求这块合金中金、银各含多少克？
【解析】设250克合金中，金有x 克，则银有(250 − x)克；依题意：
1 1 (250 ) 16
19 10
x + − x = ，解得x =190，
所以这块合金中金有190克，银有250 −190 = 60克．
【巩固】有甲、乙两块含铜率不同的合金，甲块重6千克，乙块重4千克，现在从甲、乙
两块合金上各切下重量相等的一部分，将甲块上切下的部分与乙块剩余的部分一
起熔炼，再将乙块上切下的部分与甲块剩余的部分一起熔炼，得到的两块新合金
的含铜率相同，则切下的重量为________千克．
【解析】设切下的部分重量为x千克，则甲切下的x 千克与乙剩下的(4－x)千克混合．由于
得到的两块新合金的含铜率相同，所以若将这两块新合金混合，得到的大块合金的
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- 36 -
含铜率应与原来的两块新合金的含铜率相同，而这一大块合金是由6 千克甲块合金
与4 千克乙块合金混合而成的，所以9 : 7 千克甲块合金与7 : 5 千克乙块合金混合后
的含铜率与x 千克甲块合金与y 千克乙块合金混合后的含铜率相同，而甲、乙两块
合金含铜率不同， 所以这两种混合中甲、乙两种合金的重量比相同， 即
( )
( )
1 : 9 : 7
: 1 7 : 5
x y
x y
⎧ − = ⎪⎨
⎩⎪ − =
，所以：
28
21
x
y
= ⎧⎨
⎩ =
，解得28 + 21 = 49．即切下的重量为2
7
千克．
【例64】从前有一位王子，有一天，他把几位妹妹召集起来，出了一道数学题考她们．题
目是： 我有金、银两个首饰箱，箱内分别装有若干件首饰，如果把金箱中
(7x + 70) : (3x + 70) = 7 : 4的首饰送给第一个算对这个题目的人，把银箱中x = 30的
首饰送给第二个算对这个题目的人，然后我再从金箱中拿出7 × 30 = 210件送给第
三个算对这个题目的，再从银箱中拿出3×30 = 90件送给第四个算对这个题目的
人．最后我的金箱中剩下的首饰比分掉的多2 件，银箱中剩下的首饰与分掉的比是
x ．王子的金箱中原来有首饰________件，银箱中原来有首饰________件．
【解析】设原来金箱中有首饰y 件，银箱中有首饰
7
3
70 7
70 4
x
y
x
y
⎧ = ⎪⎪⎨
⎪ + =
⎩⎪ +
件，则：
210
90
x
y
= ⎧⎨
⎩ =
， 90 ，解
得3，7 − 3 = 4，故金箱中原来有首饰7 − 4 = 3件，银箱中原来有首饰[3,4] = 12件．
【例65】运来三车苹果，甲车比乙车多4箱，乙车比丙车多4 箱，甲车比乙车每箱少3 个
苹果，乙车比丙车每箱少5 个苹果，甲车比乙车总共多3 个苹果，乙车比丙车总
共多5 个苹果，这三车苹果共有多少个？
【解析】设乙车运来x 箱，每箱装y 个苹果，根据题意列表如下：
车别甲乙丙
箱数x
x + 7 + 7 = 2(x − 7) − 7
x +14 = 2x − 21
每箱苹果数x = 35 35 35 + 7 + 7 = 49
根据上表可列出如下方程：
( )( )
( )( )
4 3 3
4 5 5
x y xy
xy x y
⎧ + − − = ⎪⎨
⎩⎪ − − + =
，化简为
4 3 15 (1)
5 4 15 (2)
y x
x y
− = ⎧⎨
⎩ − =
⋯
⋯
⑴+⑵，得：2x = 30，于是x =15．
将x =15代入⑴或⑵，可得：y =15．
所以甲车运19 箱，每箱12 个；乙车运15 箱，每箱15 个；丙车运11 箱，每箱20 个．三车
苹果的总数是：19×12 +15×15 +11× 20 = 673(个)．
【例66】有大、中、小三种包装的筷子27盒，它们分别装有18双、12双、8双筷子，一
共装有330 双筷子，其中小盒数是中盒数的2 倍．问：三种盒各有多少盒？
【解析】设中盒数为x ，大盒数为y ，那么小盒数为2x ，根据题目条件有两个等量关系：
2 27
18 12 8 2 330
x x y
y x x
+ + = ⎧⎨
⎩ + + × =
该方程组解得
6
9
x
y
= ⎧⎨
⎩ =
，所以大盒有9 个，中盒有6 个，小盒有12 个.
【巩固】用62根同样长的木条钉制出正三角形、正方形和正五边形总共有15个.其中
正方形的个数是三角形与五边形个数和的一半，三角形、正方形和五边形各有多
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- 37 -
少个？
【解析】设三角形的个数为x ，五边形的个数为y ，那么正方形的个数为
2
⎛ x + y ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
，由此可
列得方程组：
15
2
3 4 5 62
2
x x y y
x x y y
⎧ ⎛ + ⎞ + + = ⎜ ⎟ ⎪⎪
⎝ ⎠
⎨
⎪ ⎛ + ⎞ ⎪ + ⎜ ⎟ + = ⎩ ⎝ ⎠
该方程组解得：
4
6
x
y
= ⎧⎨
⎩ =
，所以5
2
⎛ x + y ⎞ = ⎜ ⎟
⎝ ⎠
，因此三角形、正方形、五边形分别有4 、
5 、6 个.
【例67】甲、乙两人生产一种产品，这种产品由一个A配件与一个B 配件组成．甲每天生
产300 个A 配件，或生产150 个B 配件；乙每天生产120 个A 配件，或生产48 个
B 配件．为了在10 天内生产出更多的产品，二人决定合作生产，这样他们最多能
生产出多少套产品？
【解析】假设甲、乙分别有（x − 8）天和y 天在生产x − 8 − 6配件，则他们生产x − 8 + 2配件
所用的时间分别为x − 8 − 6 − 2 天和x − 6 =（2 x −16）天，那么10 天内共生产了
x = 26 配件(300x +120y ) 个， 共生产了B 配件
150× (10 − x) + 48× (10 − y ) = 1980 −150x − 48y 个．
要将它们配成套，A 配件与B 配件的数量应相等，即300x +120y =1980 −150x − 48y，得到
75x + 28y = 330，则330 28
75
x y
−
= ．
此时生产的产品的套数为300 120 300 330 28 120 1320 8
75
x y y y y
−
+ = × + = + ，要使生产的产品
最多，就要使得y 最大，而y 最大为10，所以最多能生产出1320 + 8×10 = 1400套产品．
【巩固】某服装厂有甲、乙两个生产车间，甲车间每天能生产上衣16 件或裤子20 件；乙
车间每天能生产上衣18 件或裤子24 件．现在要上衣和裤子配套，两车间合作21
天，最多能生产多少套衣服？
【解析】假设甲、乙两个车间用于生产上衣的时间分别为x 天和y 天，则他们用于生产裤子
的天数分别为(21− x)天和(21− y)天，那么总共生产了上衣(16x +18y )件，生产了
裤子20× (21− x) + 24× (21− y) = 924 − 20x − 24y 件．
根据题意，裤子和上衣的件数相等，所以16x +18y = 924 − 20x − 24y ，即2x ，即
7 + (2x −1) ×1 = 2x +1.5x ．那么共生产了2x + 6 = 3.5x套衣服．要使生产的衣服最多，就要
使得1.5x = 6最小，则x = 4应最大，而x 最大为21，此时2× 4 +1.5× 4 =14．故最多可以生
产出14 −1.6 =12.4套衣服．
【例68】米老鼠从A到B ，唐老鸭从B 到A，米老鼠与唐老鸭行走速度之比是6∶5，如下
图所示．
4
26
B
D
M
C
A
M 是A 、B 的中点，离M 点26 千米的C 点有一个魔鬼，谁从它处经过就要减速25%，离M
点4 千米的D 点有一个仙人，谁从它处经过就能加速25%．现在米老鼠与唐老鸭同时出发，
同时到达，那么A 与B 之间的距离是千米．
【解析】设AM =MB = x ，米老鼠的行走速度为6k ，则唐老鸭的行走速度为5k (k ≠ 0 )，
如下图，则有米老鼠从A 到B 需要时间
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- 38 -
x
-
4
30
x
-
26
A
C
M
D
B
26 30 4
6 6 (1 25%) 6 (1 25%) (1 25%)
x x
k k k
− −
+ +
× − × − × +
1 14 16 ( 4)
6 15
x x
k
= ⎧ + + − ⎫ ⎨ ⎬
⎩ ⎭
，
唐老鸭从B 到A 需要时间
4 30 26
5 5 (1 25%) 5 (1 25%) (1 25%)
x x
k k k
− −
+ +
× + × − × +
1 20 16 ( 26)
5 15
x x
k
= ⎧ + + − ⎫ ⎨ ⎬
⎩ ⎭
．
因为米老鼠与唐老鸭用的时间相同，所以列方程
1 14 16 ( 4) 1 20 16 ( 26)
6 15 5 15
x x x x
k k
⎧ + + − ⎫ = ⎧ + + − ⎫ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎩ ⎭ ⎩ ⎭
，
解得x = 46．
所以， A 、B 两地相距92 千米．
【巩固】甲、乙两个容器共有溶液2600克,从甲容器取出1
4
的溶液，从乙容器取出1
5
的溶
液，结果两个容器共剩下2000 克.问：两个容器原来各有多少溶液？
【解析】设甲容器有溶液x 克，乙容器有溶液y 克，根据题目条件有两条等量关系,一是两
容器溶液加起来等于2600 克，二是取溶液后两容器加起来有2000 克.由此可列得
方程组:
2600
1 1 1 1 2000
4 5
x y
x y
+ = ⎧⎪⎨
⎛ − ⎞ + ⎛ − ⎞ = ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎩⎝ ⎠ ⎝ ⎠
方程组最终解得
1600
1000
x
y
= ⎧⎨
⎩ =
，所以甲容器中有溶液1600 克，乙容器中有溶液1000
克．
【例69】甲、乙两种商品的原来价格比是7 : 3．如果它们的价格各自上涨70元，它们的
价格比变为7 : 4 ．求甲乙两种商品的原价各是多少元？
【解析】方法1：设甲乙两种商品原来价格分别为7x 元， 3x 元，根据涨价后价格比为7 : 4 ，
列方程得(7x + 70) : (3x + 70) = 7 : 4，解得x = 30，所以原来两种商品的原价各是
7×30 = 210元，3×30 = 90元
方法2 ：设甲乙两种商品原价各是x 元, y 元，依题意列方程组得
7
3
70 7
70 4
x
y
x
y
⎧ = ⎪⎪⎨
⎪ + =
⎩⎪ +
解得
210
90
x
y
= ⎧⎨
⎩ =
甲乙两种商品原价各是210 元, 90 元
方法3：由于原来两种商品相差7 − 3 = 4份，涨价后相差7 − 4 = 3份，由于涨价钱数相同，
所以应涨[3,4] = 12份，所以原来两种商品的价格比x ，涨价后价格比1 10 4 1
8 12
x x −
+ ≥ + + ，
所以价格涨了x ≥ 232份，恰是A元，所以B 份是50元，所以原来两种商品的价格各是为A
元， 3元
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- 39 -
【巩固】兄弟两人每月收入比B ，支出钱数比4，他们每月都节余10元，求兄弟两人月收
入各多少？
【解析】方法360 :设兄弟两人每月收入分别为290 元， A 元，根据支出钱数比B 列方程得
A ，解得x ，所以兄弟两人收入各是B 元，(50 − x)元
方法A： 9x + 4(50 − x) = 200 + 5x ：设兄弟两人月收入各是3x +10(50 − x) = 500 − 7x 元，
200 5 360
500 7 290
x
x
+ ≤ ⎧⎨
⎩ − ≤
元根据两个比例列方程得30 ≤ x ≤ 32解得x 所以兄弟两人收入各是A 元，
2700 元
方法B ：由于兄弟结余相同，所以兄弟收入差和支出差相同，而收入差为A 份，支出差为
B 份， 所以收入差应为和支出差应为A 份， 所以兄弟收入比为B ， 所以结余应为
20 −18 =15 −13 = 2 份对应360 元，所以1份就是180 元，所以兄弟两人月收入各是
180× 20 = 3600元，180×15 = 2700元
【例70】求方程3x＋5y＝31 的整数解
【解析】方法一：利用欧拉分离法，由原方程，得x＝ 31 5
3
− y
，即x＝10－2y＋ 1
3
+ y
，
要使方程有整数解1
3
+ y
必须为整数．
取y＝2，得x＝10－2y＋ 1
3
+ y
＝10－4＋1＝7，故x＝7，y＝2
当y＝5，得x＝10－2y＋ 1
3
+ y
＝10－10＋2＝2，故x＝2，y＝5
当y＝8，得x＝10－2y＋ 1
3
+ y
＝10－16＋3 无解
所以方程的解为：
7 2
,
2 5
x x
y y
⎧ = ⎧ =
⎨ = ⎨ = ⎩ ⎩
方法二：利用余数的性质3x 是3 的倍数，和31 除以3 余1，所以5y 除以3 余1（2y 除以3
余1），根据这个情况用余数的和与乘积性质进行判定为：
取y＝1，2y＝2，2÷3＝0……2（舍）
y＝2，2y＝4，4÷3＝1……1（符合题意）
y＝3，2y＝6，6÷3＝2（舍）
y＝4，2y＝8，8÷3＝2……2（舍）
y＝5，2y＝10，10÷3＝3……1（符合题意）
y＝6，2y＝12，12÷3＝4（舍）
当y＞6 时，结果超过31，不符合题意。
所以方程的解为：
7 2
,
2 5
x x
y y
⎧ = ⎧ =
⎨ = ⎨ = ⎩ ⎩
【例71】解方程
1800 1200 800 16000
15
a b c
a b c
+ + = ⎧⎨
⎩ + + =
（ 其中a、b、c 均为正整数）
【解析】根据等式的性质将第一个方程整理得
9 6 4 80
15
a b c
a b c
+ + = ⎧⎨
⎩ + + =
，根据消元的思想将第二个
式子扩大4 倍相减后为： (9a + 6b + 4c) − 4(a +b +c) = 80 − 4×15 ，整理后得
5a + 2b = 20，根据等式性质，2b 为偶数，20 为偶数，所以5a 为偶数，所以a 为
偶数，当a = 2时，5× 2 + 2b = 20，b = 5，所以c = 8，当a = 4时，5× 4 + 2b = 20 ，
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- 40 -
b = 5，所以无解。所以方程解为
2
5
8
a
b
c
= ⎧⎪
= ⎨⎪
⎩ =
【例72】解不定方程
5 3 1 100
3
100
x y z
x y z
⎧ + + = ⎪⎨⎪
⎩ + + =
(其中x、y、z 均为正整数)
【解析】根据等式的性质将第一个方程整理得
15 9 300
100
x y z
x y z
+ + = ⎧⎨
⎩ + + =
，根据消元思想与第二个
式子相减得14x + 8y = 200，根据等式的性质两边同时除以2 得：7x + 4y =100，
根据等式性质4y 为4 的倍数，100 为4 的倍数，所以7y 为4 的倍数，所以y 为4
的倍数试值如下
4 8 12
18, 11, 4
78 81 84
x x x
y y y
z z z
⎧ = ⎧ = ⎧ =
⎪ = ⎪ = ⎪ = ⎨ ⎨ ⎨
⎪ = ⎪ = ⎪ = ⎩ ⎩ ⎩
【例73】某公交车起点站已停放10 辆公交车，第一辆公交车开出后，每隔8 分钟就有一
辆公交车开出，在第一辆公交车开出4 分钟后，有一辆公交车进站，以后每隔12
分钟就有一辆公交车进站，回站的公交车在原有的公交车依次开出之后又依次每
隔8 分钟开出一辆，问：第一辆公交车开出后，经过多少时间，车站第一次不能
正点发车？
【解析】假设第一辆公交车开出x 分钟后车站无车可发，可列方程：
1 10 4 1
8 12
x x −
+ ≥ + + ，解得x ≥ 232．
第一辆公交车开出后第232 分钟可以发一趟车，到第240 分钟时就无车可发了，所以答案是
经过240 分钟后车站第一次不能正点发车．
【巩固】某工厂接到任务要用甲、乙两种原料生产A 、B 两种产品共50件，已知每生产一
件A 产品需甲原料9 千克和乙原料3千克；每生产一件B 产品需甲原料4 千克和乙
原料10 千克．现在工厂里只有甲原料360 千克和乙原料290 千克，那么该工厂利
用这些原料，应该生产A 、B 两种产品各多少件，才能完成任务？请求出所有的
生产方案．
【解析】设生产A产品x 件，则生产B 产品(50 − x)件．
共需要甲原料9x + 4(50 − x) = 200 + 5x 千克，需要乙原料3x +10(50 − x) = 500 − 7x 千克．
为避免原料不够用，则
200 5 360
500 7 290
x
x
+ ≤ ⎧⎨
⎩ − ≤
，解得30 ≤ x ≤ 32．
由于x 是整数，所以共有3 种方案：①生产A 产品30 件， B 产品20 件；②生产A 产品31
件， B 产品19 件；③生产A 产品32 件， B 产品18 件．
【例74】如图，图中5、8和10分别代表包含该数字的三个三角形的面积．试问：包含X
这个字母的四边形面积是多少？
X
8
10
5
b
a
X
8
10
5
【解析】如图，设虚线把四边形X 分成面积为a 、b 的两个三角形.利用同高的两个三角形
面积之比等于相应底边之比，可得： 5 5 10
a 8 a b
+
=
+ +
（可化简为2a −b = 8 ）和
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- 41 -
8 8 10
b 5 a b
+
=
+ +
（可化简为5b − 4a = 20），由这两条方程构成方程组：
2 8
5 4 20
a b
b a
− = ⎧⎨
⎩ − =
，方程组可解得：
10
12
a
b
= ⎧⎨
⎩ =
，
所以四边形X 的面积为10 +12 = 22 .
【巩固】三角形ABC 中， 1 1 1
1 1 1
1
2
A C B A C B
A B B C C A
= = = ，问： DEF ?
ABC
S
S
Δ
Δ
=
D
E
F
C
1
B
1
C
A
1
B
A
D
E
F
C
1
B
1
C
A
1
B
A
【解析】根据题意，直接建立ΔDEF 与ΔABC 的联系是解答本题的关键，因为1
1
1
2
C B
C A
= ，所
以连接AD 后，既可以使1 ΔBDC 与ΔABC 建立联系，又可使四边形1 AFDC 与ΔABC
也建立联系.
设1 ABC SΔ = ，
BDC1 S a Δ = ，
ADB1 S x Δ = ，则：
1 2 ADC S a Δ = ，
1 2 CDB S x Δ = .
根据题意， 1 1 1
1 1 1
1
2
A C B A C B
A B B C C A
= = = ，可列方程：
3 1
3
2 3 2
3
a x
a x
⎧ + = ⎪⎪⎨⎪
+ =
⎪⎩
，方程解得
4
21
1
21
x
a
⎧ = ⎪⎪⎨⎪
=
⎪⎩
，
所以四边形1 1 AC DB 的面积等于2 2
7
x + a = ，同理四边形1 1 CB FA 的面积和四边形1 1 BA EC 的面
积都是2
7
，所以剩下的三角形DEF 的面积为1
7
.
【例75】甲、乙、丙三个人玩三张牌，这三张牌分别写着不同的自然数，洗牌后发给每人
一张，按每人所拿的自然数得分，重复玩了3次后，甲共得19 分，乙和丙各得13 分，
那么这三张牌上写的数是哪三个数？
【解析】三张牌上的三个数之和是(19 +13 +13) ÷ 3 = 15．
因为3不能整除13 和19 ，所以甲、乙、丙谁也不可能三次拿到同一张牌，，又因为
谁也没有拿到三张牌各1次，所以三人都是拿了某张牌两次、另一张牌一次．设三
张牌从大到小写的数依次为a 、b 、c .由乙、丙各得13 分，推知乙、丙的三张牌
是c 、c 、a和x 、(24 − x ) 、x .则甲的三张牌是8x − (24 − x ) = 2× (24 − x ) − x 、x = 6 、
x .
y
由x + y = 24得8x − y = 2y − x .
由
24 (1)
8 2 (2)
x y
x y y x
+ = ⎧⎨
⎩ − = −
⋯⋯⋯
⋯
得y = 3x ，从而x + 3x = 24 x = 6 .
将y =18代入(1)、(3)得b = 5，c = 3 .
所以，三张牌从大到小写的数依次是7 ， 5 ， 3 .
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【例76】三张卡片上分另标有p 、q 、r 数码(整数)且0 < p < q < r ，游戏时将三张卡片随
意分发给A 、B 、C 三个人，每人各一张，根据每个人得到卡片上的数码数分别
给他们记分，如此重复游戏若干轮，结果A 、B 、三人得分总数分别为20、10、9．
已知B 在最后一轮的得分是r ，那么⑴ 在第一轮得分是q ；（2） p 、q 、r
分别是、、．
【解析】三人总分为20 +10 + 9 = 39 =1×39 = 3×13．
如果游戏进行了39或13 轮，则p + q + r =1或3，与0 < p < q < r 矛盾；如果游戏只进行了
1轮，则r = 20，被A 得到，与“B 在最后一轮的得分是r ”矛盾．所以游戏进行了3 轮，
且p + q + r =13．
⑴因为B 共得10 分，且最后一次得r 分，所以前两次都得p 分，否则三次至少得13 分．因
为C 三次总分比B 少，所以C 没得过r 分，前两次都得q 分，即第一轮得q 分的是C ．
⑵假设C 三次都得q，由B 得p + p + r =10和A 得r + r + p = 20，解得r =10， p = 0，与
p > 0矛盾，所以C 前两次得q，最后一次得p ．
由
2 9,
2 10,
2 20,
p q
p r
r q
+ = ⎧⎪
+ = ⎨⎪
⎩ + =
解得p =1，q = 4，r = 8．
【例77】购买3斤苹果，2 斤桔子需要6.90元；购买8 斤苹果，9 斤桔子需要22.80元，那
么苹果、桔子各买1 斤需要元.
【解析】假设购买1 斤苹果、桔子分别需要x 元、y 元，则：
3 2 6.9
8 9 22.8
x y
x y
+ = ⎧⎨
⎩ + =
，
两式相加得11x +11y = 29.7，即x + y = 2.7。
所以各买1 斤需要2.7 元。
点评：从上面的过程可以看出，本题可以直接采用算术解法：买3 + 8 =11斤苹果和2 + 9 =11
斤苹果，须6.90 + 22.80 = 29.7元，所以各买1斤需要29.7 ÷11 = 2.7元.
【例78】有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件、乙7件、丙1件，共需20元；若购甲4件、
乙10 件、丙1件，共需27 元；则购买甲、乙、丙各1件，共需要元。
【解析】设甲、乙、丙的单价分别为x ， y ， z ，则
3 7 20 (1)
4 10 27 (2)
x y z
x y z
+ + = ⎧⎨ + + = ⋅ ⎩
⋯⋯
⋯
，
由(1)× 3− (2)× 2得x + y + z = 3× 20 − 2× 27 = 6，即各买一件需要6元。
点评：本题实际上是三元一次方程，但整体代入消元的思想与二元一次方程是相同的。
【例79】假设五家共用一井取水，甲用绳2根不够，差乙家绳子1根；乙用绳3根不够，差
丙家绳子1根；丙用绳子4 根不够。差丁家绳子1根；丁用绳子5 根不够，差戊家
绳子1根；戊用绳6 根不够，差甲家绳子1根．如果各得所差的绳子1根，都能到达
井深．问井深，绳长各是多少？（井深为小于1000 的整数）
【解析】依次设甲、乙、丙、丁、戊家绳长为A 、B 、C 、D 、E ，井深k ，则可列出方
程组如下：
2
3
4
5
6
A B k
B C k
C D k
D E k
E A k
+ = ⎧⎪
+ = ⎪⎪
+ = ⎨⎪
⎪ + =
+ = ⎪⎩
这个方程组不是二元一次方程组，但是解方程组的思想方法与二元一次方程组相同，依次迭
代B = k − 2A，C = k − 3B = 6A − 2k ，D = k − 4C = 9k − 24A ，E = k − 5D = 120A − 44k ，
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- 43 -
代入最后一个式子，6×(120A − 44k ) + A = k ，即721A = 265k ，所以A = 265，
k = 721．
于是，B =191，C =148，D =129，E = 76．
【例80】在同一路线上有4个人:第一个人坐汽车，第二个人开摩托车，第三个人乘助力
车，第四个人骑自行车，各种车的速度是固定的，坐汽车的12 时追上乘助力车的，
14 时遇到骑自行车的，而与开摩托车的相遇是16 时．开摩托车的遇到乘助力车的
是17 时，并在18 时追上骑自行车的，问骑自行车的几时遇见乘助力车的？
【解析】12 时以前的位置关系对于这个问题的解决不起任何作用，所以我们从12 时开始考
虑．
设汽车、摩托车、助力车、自行车的速度分别为a 、b 、c 、d ，设在12 时骑自行车的与坐
汽车的距离为x ，骑自行车的与开摩托车的之间的距离为y ．
有
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 1
4 2
5 3
6 4
x a d
x y a b
x y b c
y b d
⎧ = +
⎪
+ = + ⋅ ⎪⎨
+ = + ⋅ ⎪⎪
⎩ = −
⋯⋯⋯⋯
⋯⋯
⋯⋯
⋯⋯⋯⋯
(1)× 2 + (3)× 2 − (2) − (4)得到3x = 10(c + d )，即10 ( )
3
x = c + d
设骑自行车的在t 时遇见骑助力车的，则
x = (t −12)× (c + d )，即12 10
3
t − = ，所以15 1
3
t = ．
所以骑自行车的在15 时20 分遇见骑助力车的．
【例81】河水是流动的，在Q点处流入静止的湖中，一游泳者在河中顺流从P 到Q，然后
穿过湖到R ，共用3小时．若他由R 到Q 再到P ，共需6 小时．如果湖水也是流动
的，速度等于河水的速度，那么从P 到Q 再到R 需5
2
小时．问在这样的条件下，
从R 到Q 再到P 需几小时？
【解析】设游泳者的速度为1，水速为y ，PQ = a ，QR = b，则有：
( )
( )
( )
3 1
1
5 2
1 2
6 3
1
a b
y
a b
y
a b
y
⎧
⎪ + = + ⎪⎪
+
⎨ =
+ ⎪⎪
⎪ + =
⎩ −
⋯⋯
⋯⋯⋯
⋯⋯
且有1+ y 、1− y 、y 均不为0．
(1) − (2)得1
1 2
by
y
=
+
，即1 (4)
2
b y
y
+
= ⋯⋯⋯⋯
(3) − (1)得2
2 3
1
ay
y
=
−
，即
( ) ( )
3 1 2
5
2
y
a
y
−
= ⋯⋯
由(2)、(4)、(5)得： 5 (1 ) 1 (4 3 )
2 2
y a b y y
y
+
× + = + = × − ，即5y = 4 − 3y．
于是， 1
2
y = ．由(2)得： 5 1 1 15
2 2 4
a +b = × ⎛⎜ + ⎞⎟ =
⎝ ⎠
．
15 1 1 15
1 4 2 2
a b
y
+ ⎛ ⎞ = ÷ ⎜ − ⎟ = − ⎝ ⎠
小时．
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- 44 -
即题中所述情况下从R 到Q 再到P 需15
2
小时．
课后练习：
a) 丁丁和玲玲两人摘苹果，丁丁说：“把我摘的苹果给玲玲7 个，玲玲摘的苹果的个数就
是我的2 倍．”玲玲说：“把我摘的苹果给丁丁7 个，他的苹果个数就和我的一样
多了．”问丁丁和玲玲各摘了多少个苹果？
【巩固】设丁丁摘了x 个苹果，由题意得：
x + 7 + 7 = 2(x − 7) − 7
x +14 = 2x − 21
x = 35．
即丁丁摘了35个苹果，而玲玲的苹果个数为35 + 7 + 7 = 49 (个)．
b) 大强参加6 次测验，第三、四次的平均分比前两次的平均分多2 分，比后两次的平均
分少2 分．如果后三次的平均分比前三次的平均分多3 分，那么第四次比第三次
多得多少分？
【解析】设第三次分数是a 分，第四次的分数为（a + x）分，则前两次的分数之和
（2a + x − 4） 分， 最后两次的分数之和（2a + x + 4） 分， 有
（2a + x + 4）+（a + x）=（2a + x − 4）+ a + 9，解得x =1，即第四次比第三次多得1 分．
c) 儿子与父亲下围棋，双方约定父亲胜一局就得2 分，儿子胜一局得8 分，负的一方不
管是谁都要扣1 分，比赛24 局以后，父子得分相同，问他们各胜几局？
【解析】法一：设儿子胜了x 局，输了(24 − x )局，父亲胜了(24 − x )局，输了x 局，
则由得分关系得8x − (24 − x ) = 2× (24 − x ) − x，解得x = 6，
所以儿子赢了6 局，父亲赢了18 局．
法二：本题中要求儿子和父亲各胜多少局，可分别设两个未知数为x 和y ，要求两个未知数
的值，一般要根据不同的等量关系列出两个方程．题中儿子、父亲比赛的总局数是24 局，
可列出一个方程：x + y = 24．另外，两人的得分相同，儿子胜的局数正好是父亲负的局数，
由此列出另一个方程：8x − y = 2y − x．所以可列出方程组：
24 (1)
8 2 (2)
x y
x y y x
+ = ⎧⎨ ⎩ − = −
⋯⋯⋯
⋯
将⑵变形为y = 3x ，代入⑴，得x + 3x = 24，解得x = 6，所以y =18．
所以儿子胜了6 局，父亲胜了18 局．
d) 一位牧羊人赶着一群羊去放牧，跑出一只公羊后，他数了数羊的只数，发现剩下的羊
中，公羊与母羊的只数比是9 : 7 ；过了一会儿跑走的公羊又回到羊群，却又跑走了
一只母羊，牧羊人又数了数羊的只数，发现公羊与母羊的只数比是7 : 5 ．这群羊原
来有多少只？
【解析】设原来公羊有x 只，母羊有y 只，那么根据题目条件有以下数量关系：
( )
( )
1 : 9 : 7
: 1 7 : 5
x y
x y
⎧ − = ⎪⎨
⎩⎪ − =
根据有关比例性质，方程组可化简为：
28
21
x
y
= ⎧⎨
⎩ =
，所以这群羊原来有28 + 21= 49只.
e) 有甲、乙、丙三堆石子，从甲堆中取出8 个给乙堆后，甲、乙两堆的石子数就相等了；
再从乙堆中取出6 个给丙堆，乙、丙两堆的石子数也相等；此时又从丙堆中取2
个给甲堆，使甲堆石子数是丙堆石子数的2 倍，问：原来甲堆有多少个石子？
【解析】解：设甲堆原来有x 个石子，那么甲堆取出8个给乙堆后，甲乙两堆都是（x − 8）个
石子；再从乙堆中取出6 个给丙堆，乙、丙两堆的石子数都变成（x − 8 − 6）个石
子；此时又从丙堆中取2 个给甲堆，那么甲堆石子数变成（x − 8 + 2）个，丙堆石
子数变成（x − 8 − 6 − 2）个，有x − 6 =（2 x −16），解得x = 26．
月测备选
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- 45 -
【备选1】有一个五位数，在它后面写上一个7，得到一个六位数；在它前面写上一个7，
也得到一个六位数．如果第二个六位数是第一个六位数的5 倍，那么这个五位数
是．
【解析】设五位数是x，那么第一个六位数是10x + 7，第二个六位数是700000 + x ．依题意
列方程
700000 + x =（5 10x + 7），解得x =1425．
【备选2】松鼠妈妈采松子，晴天每天可以采20 个，雨天每天可以采12 个，它一连几天采
了112 个松子，平均每天采14 个，问这几天当中有几天是下雨天？
【解析】根据题意，松鼠妈妈采的松子有晴天采的，也有雨天采的，总的采集数可以求得，
采集天数也确定，因此可列方程组来求解．
设晴天有x 天，雨天有y 天，则可列得方程组：
( )
( )
20 12 112 1
112 2
14
x y
x y
+ = ⎧⎪⎨
+ = ⎪⎩
⋯⋯
⋯⋯⋯⋯
(1)化简为5x + 3y = 28 …………(3)
用加减法消元：(2)×5 − (3)得：5(x + y) − (5x + 3y ) = 40 − 28
解得y = 6 .所以其中6天下雨.
【备选3】把金放在水里称，其重量减轻1
19
；把银放在水里称，其重量减轻1
10
．现有一块
金银合金重770 克，放在水里称共减轻了50 克，问这块合金含金、银各多少克？
【解析】设770克合金中金有x 克，则银有(770 − x)克，根据题意，有：
1 1 (770 ) 50
19 10
x + − x = ，解得x = 570，
即这块合金中金有570 克，银有770 − 570 = 200克．
【备选4】口袋中有若干红色和白色的球．若取走一个红球，则口袋中的红球占2
7
；若取出
的不是一个红球而是两个白球，则口袋中的白球占2
3
.原来口袋中白球比红球多多
少个？
【解析】设原来红球数为x ，白球数为y ，那么根据题目条件有以下数量关系：
( ) ( )
( ) ( )
1 2 1
7
2 2 2
3
x x y
y x y
⎧ − = + − ⎪⎪⎨⎪
− = + −
⎪⎩
方程组解得
9
20
x
y
= ⎧⎨ = ⎩
，
原来口袋中白球比红球多20 − 9 =11个．
【备选5】张老师购买了一套教师住宅，原计划采取分期付款方式．一种付款方式是开始第
一年先付7 万元，以后每年付款1 万元；另一种付款方式是前一半时间每年付款2
万元，后一半时间，每年付款1 万5 千元．两种付款方式的付款总数和付款时间
都相同．假如一次性付款，可以少付房款1 万6 千元．现在张老师决定采用一次
性付款方式．问：张老师要付房款多少万元？
【解析】设分期付款方式的付款时间为2x 年，则：
7 + (2x −1) ×1 = 2x +1.5x
2x + 6 = 3.5x
1.5x = 6
x = 4．
将x的值代入方程的右式(也可代入左式)，可知分期付款的付款总数为2× 4 +1.5× 4 =14 (万
元)．
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- 46 -
所以，一次性付款的总数为14 −1.6 =12.4 (万元)．
【备选6】姐姐现在的年龄是弟弟当年年龄的4 倍，姐姐当年的年龄和弟弟现在的年龄相同，
姐姐与弟弟现在的年龄和为26 岁，则弟弟现在的年龄是多少岁？
【解析】设弟弟现在的年龄是x 岁，那么姐姐的年龄为26 − x 岁，年龄差为26 − 2x ，
弟弟当年年龄为x − (26 − 2x) = 3x − 26岁，
由题意可列方程(3x − 26)× 4 = 26 − x ，解得x =10
所以，弟弟现在的年龄是10 岁。
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第四讲平面几何部分
教学目标：
1． 熟练掌握五大面积模型
2. 掌握五大面积模型的各种变形
知识点拨
一、等积模型
①等底等高的两个三角形面积相等；
②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；
两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；
如右图1 2 S : S = a :b
③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图ACD BCD S =S △ △ ；
反之，如果ACD BCD S = S △ △ ，则可知直线AB 平行于CD ．
④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；
⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；
⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于
它们的高之比．
二、鸟头定理
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．
如图在△ABC 中，D,E 分别是AB,AC 上的点如图⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC
上)，
则: ( ) : ( ) ABC ADE S S = AB × AC AD × AE △ △
E
D
C
B
A
E
D
C
B
A
图⑴ 图⑵
三、蝴蝶定理
任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：
① 1 2 4 3 S :S = S :S 或者1 3 2 4 S ×S = S ×S ② ( ) ( ) 1 2 4 3 AO :OC = S + S : S + S
蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造
模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；
另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：
① 2 2
1 3 S :S = a :b
② 2 2
1 3 2 4 S :S :S :S = a :b :ab :ab；
③ S 的对应份数为( )2 a +b ．
b
a
S
2
S
1
D
C
B
A
S
4
S
3
S
2
S
1
O
D
C
B
A
A
B
C
D
O
b
a
S
3
S
2
S
1
S
4
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- 48 -
四、相似模型
(一)金字塔模型(二) 沙漏模型
G
F
E
A
B
C
D
A
B
C
D
E
F
G
① AD AE DE AF
AB AC BC AG
= = = ；
② 2 : 2 ADE ABC S S = AF AG △ △ ： ．
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样
改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：
⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；
⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；
⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．
相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具．
在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．
五、燕尾定理
在三角形ABC 中， AD ， BE ， CF 相交于同一点O ，那么: : ABO ACO S S BD DC Δ Δ = ．
上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ΔABO 和ΔACO的形状
很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着
广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的
三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.
典型例题
【例1】如图，正方形ABCD 的边长为6， AE = 1.5，CF = 2．长方形EFGH 的
面积为．
H
G
F
E
D
C
B
A A
B
C
D
E
F
G
H
【解析】连接DE，DF，则长方形EFGH 的面积是三角形DEF 面积的二倍．
三角形DEF 的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，
6 6 1.5 6 2 2 6 2 4.5 4 2 16.5 DEF S = × − × ÷ − × ÷ − × ÷ = △ , 所以长方形
EFGH 面积为33．
【巩固】如图所示，正方形ABCD 的边长为8 厘米，长方形EBGF 的长BG 为10 厘米，那么长
O
F
E
D
C
B
A
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- 49 -
方形的宽为几厘米？
A B
G C
E
F
D
A B
G C
E
F
D
【解析】本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可
以看作特殊的平行四边形)．三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一
半．
证明：连接AG ．(我们通过△ABG 把这两个长方形和正方形联系在一起)．
∵在正方形ABCD 中， G
1
AB 2 S = × AB × AB △ 边上的高，
∴
1
ABG 2 ABCD S = S△ □ (三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半)
同理，
1
ABG 2 EFGB S = S △ ．
∴正方形ABCD与长方形EFGB 面积相等． 长方形的宽= 8×8 ÷10 = 6.4 (厘米)．
【例2】长方形ABCD 的面积为36cm2，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一
点，问阴影部分面积是多少？
H
G
F
E
D
C
B
A
【解析】解法一：寻找可利用的条件，连接BH 、HC ，如下图：
H
G
F
E
D
C
B
A
可得：
1
2 EHB AHB S S Δ Δ = 、
1
2 FHB CHB S S Δ Δ = 、
1
2 DHG DHC S S Δ Δ = ， 而
36 ABCD AHB CHB CHD S S S S Δ Δ Δ = + + =
即
1 ( ) 1 36 18
EHB BHF DHG 2 AHB CHB CHD 2 S S S S S S Δ Δ Δ Δ Δ Δ + + = + + = × = ；
而EHB BHF DHG EBF S S S S S Δ Δ Δ Δ + + = + 阴影，
1 1 (1 ) (1 ) 1 36 4.5
EBF 2 2 2 2 8 S BE BF AB BC Δ = × × = × × × × = × = ．
所以阴影部分的面积是： 18 18 4.5 13.5 EBF S SΔ = − = − = 阴影
解法二：特殊点法．找H 的特殊点，把H 点与D 点重合，
那么图形就可变成右图：
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- 50 -
G
A
B
C
D
E
F
(
H
)
这样阴影部分的面积就是ΔDEF 的面积，根据鸟头定理，则有：
36 1 1 36 1 1 1 36 1 1 36 13.5
2 2 2 2 2 2 2 ABCD AED BEF CFD S S S S S Δ Δ Δ = − − − = − × × − × × × − × × = 阴影
．
【巩固】在边长为6 厘米的正方形ABCD 内任取一点P ，将正方形的一组对边二等分，另
一组对边三等分，分别与P 点连接,求阴影部分面积．
P
D
C
B
A
A
B
C
D
(
P
)
P
D
C
B
A
【解析】（法1）特殊点法．由于P 是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设P 点与
A 点重合，则阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占
正方形面积的1
4
和1
6
，所以阴影部分的面积为62 (1 1) 15
4 6
× + = 平方厘米．
（法2）连接PA 、PC ．
由于ΔPAD 与ΔPBC 的面积之和等于正方形ABCD面积的一半，所以上、下两个阴
影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的1
4
，同理可知左、右两个阴影三角
形的面积之和等于正方形ABCD 面积的1
6
，所以阴影部分的面积为62 (1 1) 15
4 6
× + =
平方厘米．
【例3】如图所示，长方形ABCD 内的阴影部分的面积之和为70，AB = 8，AD =15，四
边形EFGO 的面积为．
O
G
F
E
D
C
B
A
【解析】利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之
和，以及三角形AOE 和DOG 的面积之和，进而求出四边形EFGO 的面积．
由于长方形ABCD 的面积为15×8 =120，所以三角形BOC 的面积为120 1 30
4
× = ，
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- 51 -
所以三角形AOE 和DOG 的面积之和为120 3 70 20
4
× − = ；
又三角形AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和为120 1 1 30
2 4
×⎛ − ⎞ = ⎜ ⎟
⎝ ⎠
，所以四边
形EFGO的面积为30 − 20 =10．
另解：从整体上来看，四边形EFGO 的面积= 三角形AFC 面积+ 三角形BFD 面积
− 白色部分的面积，而三角形AFC 面积+ 三角形BFD 面积为长方形面积的一半，
即60，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即120 − 70 = 50，所
以四边形的面积为60 − 50 =10．
【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是36，E 是AD 的三等分点，AE = 2ED ，则阴影部分
的面积为．
O
A
B
C
D
E
N
M
O
A
B
C
D
E
【解析】如图，连接OE ．
根据蝴蝶定理，
: : 1 : 1:1
COE CDE 2 CAE CDE ON ND S S S S Δ Δ Δ Δ = = = ， 所以
1
OEN 2 OED S S Δ Δ = ；
: : 1 : 1: 4
BOE BAE 2 BDE BAE OM MA S S S S Δ Δ Δ Δ = = = ，所以
1
OEM 5 OEA S S Δ Δ = ．
又
1 1 3
3 4 OED ABCD S S Δ = × = 矩形， 2 6 OEA OED S S Δ Δ = = ，所以阴影部分面积为：
3 1 6 1 2.7
2 5
× + × = ．
【例4】已知ABC 为等边三角形，面积为400， D 、E 、F 分别为三边的中点，已知甲、
乙、丙面积和为143，求阴影五边形的面积．(丙是三角形HBC )
H
N
M
J
I
F
E
D
C
B
A
【解析】因为D 、E 、F 分别为三边的中点，所以DE 、DF 、EF 是三角形ABC 的中位
线，也就与对应的边平行，根据面积比例模型，三角形ABN 和三角形AMC 的面
积都等于三角形ABC 的一半，即为200．
根据图形的容斥关系，有ABC ABN AMC AMHN S S S S S Δ Δ Δ − = + − 丙，
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即400 −S = 200 + 200 − SAMHN 丙，所以AMHN S = S 丙．
又ADF AMHN S S S S S Δ + = + + 阴影甲乙，所以
143 1 400 43
4 ADF S S S S SΔ = + + − = − × = 阴影甲乙丙．
【例5】如图，已知CD = 5，DE = 7，EF =15，FG = 6，线段AB 将图形分成两部分，
左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形ADG 的面积是．
G
F
E
D
C
B
A
A
B
C
D
E
F
G
【解析】连接AF ， BD ．
根据题意可知，CF = 5 + 7 +15 = 27；DG = 7 +15 + 6 = 28；
所以，
15
BEF 27 CBF S SΔ Δ = ，
12
27 BEC CBF S SΔ Δ = ，
21
AEG 28 ADG S S Δ Δ = ，
7
28 AED ADG S S Δ Δ = ，
于是：
21 15 65
28 27 ADG CBF S S Δ Δ + = ；
7 12 38
28 ADG 27 CBF S S Δ Δ + = ；
可得40 ADG SΔ = ．故三角形ADG 的面积是40．
【例6】如图在△ABC 中，D,E 分别是AB,AC 上的点，且AD : AB = 2 : 5 ， AE : AC = 4 : 7 ，
16 ADE S = △ 平方厘米，求△ABC 的面积．
E
D
C
B
A
E
D
C
B
A
【解析】连接BE ， : : 2 : 5 (2 4) : (5 4) ADE ABE S S = AD AB = = × × △ △ ，
: : 4 : 7 (4 5) : (7 5) ABE ABC S S = AE AC = = × × △ △ ，所以: (2 4) : (7 5) ADE ABC S S = × × △ △ ，
设8 ADE S = △ 份，则35 ABC S = △ 份， 16 ADE S = △ 平方厘米，所以1份是2 平方厘米， 35
份就是70平方厘米，△ABC 的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，
共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．
【巩固】如图，三角形ABC 中， AB 是AD 的5 倍， AC 是AE 的3 倍，如果三角形ADE 的
面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？
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- 53 -
E
D
C
B
A
A
B
C
D
E
【解析】连接BE ．
∵EC = 3AE
∴ 3 ABC ABE S = S △ △
又∵AB = 5AD
∴ 5 15 ADE ABE ABC S = S ÷ = S ÷ △ △ △ ，∴ 15 15 ABC ADE S = S = △ △ ．
【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，BD = DC = 4，BE = 3，
AE = 6，乙部分面积是甲部分面积的几倍？
E
D
C
B
A
A
B
C
D
E
【解析】连接AD ．
∵BE = 3，AE = 6
∴AB = 3BE ， 3 ABD BDE S = S △ △
又∵BD = DC = 4，
∴ 2 ABC ABD S = S △ △ ，∴ 6 ABC BDE S = S △ △ ，S = 5S 乙甲．
【例7】如图在△ABC 中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且AB : AD = 5 : 2，
AE :EC = 3: 2， 12 ADE S = △ 平方厘米，求△ABC 的面积．
E
D
C
B
A
E
D
C
B
A
【解析】连接BE ， : : 2 : 5 (2 3) : (5 3) ADE ABE S S = AD AB = = × × △ △
: : 3: (3 2) (3 5) :[(3 2) 5] ABE ABC S S = AE AC = + = × + × △ △ ，
所以: (3 2) :[5 (3 2)] 6 : 25 ADE ABC S S = × × + = △ △ ，设6 ADE S = △ 份，则25 ABC S = △ 份，
12 ADE S = △ 平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，△ABC 的
面积是50 平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面
积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比
【例8】如图，平行四边形ABCD ，BE = AB ，CF = 2CB ，GD = 3DC ，HA = 4AD ，平
行四边形ABCD 的面积是2 ， 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．
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- 54 -
H
G
A
B
C
D
E
F
H
G
A
B
C
D
E
F
【解析】连接AC 、BD ．根据共角定理
∵在△ABC 和△BFE 中，∠ABC 与∠FBE 互补，
∴ 1 1 1
1 3 3
ABC
FBE
S AB BC
S BE BF
⋅ ×
= = =
⋅ ×
△
△
．
又1 ABC S = △ ，所以3 FBE S = △ ．
同理可得8 GCF S = △ ， 15 DHG S = △ ， 8 AEH S = △ ．
所以8 8 15+3+2 36 EFGH AEH CFG DHG BEF ABCD S = S + S + S + S + S = + + = △ △ △ △ ．
所以2 1
36 18
ABCD
EFGH
S
S
= = ．
【例9】如图所示的四边形的面积等于多少？
O
D
C
B
A
13
13
12
12
13
13
12
12
【解析】题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积.
我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：
把三角形OAB 绕顶点O 逆时针旋转，使长为13 的两条边重合，此时三角形OAB 将
旋转到三角形OCD 的位置.这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为12 的
正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形的面积.
因此，原来四边形的面积为12×12 =144 .(也可以用勾股定理)
【例10】如图所示，ΔABC 中，∠ABC = 90°，AB = 3，BC = 5，以AC 为一边向ΔABC 外
作正方形ACDE ，中心为O，求ΔOBC 的面积．
5
3
O
A
B
C
D
E
F
5
3
O
A
B
C
D
E
【解析】如图，将ΔOAB 沿着O 点顺时针旋转90°，到达ΔOCF 的位置．
由于∠ABC = 90°，∠AOC = 90°，所以∠OAB + ∠OCB =180°．而∠OCF = ∠OAB ，
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- 55 -
所以∠OCF + ∠OCB =180°，那么B 、C 、F 三点在一条直线上．
由于OB =OF ，∠BOF = ∠AOC = 90°，所以ΔBOF 是等腰直角三角形，且斜边BF
为5 + 3 = 8，所以它的面积为82 1 16
4
× = ．
根据面积比例模型，ΔOBC 的面积为16 5 10
8
× = ．
【例11】如图，以正方形的边AB 为斜边在正方形内作直角三角形ABE ，∠AEB = 90°，
AC 、BD 交于O ．已知AE 、BE 的长分别为3cm 、5cm ，求三角形OBE 的面积．
A
B
C
D
O
E
F
A
B
C
D
O
E
【解析】如图，连接DE ，以A点为中心，将ΔADE 顺时针旋转90°到ΔABF 的位置．
那么∠EAF = ∠EAB + ∠BAF = ∠EAB + ∠DAE = 90°，而∠AEB 也是90°，所以四边
形AFBE 是直角梯形，且AF = AE = 3，
所以梯形AFBE 的面积为：
(3 5) 3 1 12
2
+ × × = ( cm2 )．
又因为ΔABE 是直角三角形，根据勾股定理，AB2 = AE2 + BE2 = 32 + 52 = 34，所
以
1 2 17
ABD 2 S AB Δ = = ( cm2 )．
那么( ) 17 12 5 BDE ABD ABE ADE ABD AFBE S S S S S S Δ Δ Δ Δ Δ = − + = − = − = ( cm2 )，
所以
1 2.5
OBE 2 BDE S S Δ Δ = = ( cm2 )．
【例12】如下图，六边形ABCDEF 中，AB = ED ，AF =CD ，BC = EF ，且有AB 平行
于ED ，AF 平行于CD ，BC 平行于EF ，对角线FD垂直于BD，已知FD = 24厘
米，BD =18厘米，请问六边形ABCDEF 的面积是多少平方厘米？
F
E
A
B
D
C
G
F
E
A
B
D
C
【解析】如图，我们将ΔBCD平移使得CD与AF 重合，将ΔDEF 平移使得ED与AB 重合，
这样EF 、BC 都重合到图中的AG 了．这样就组成了一个长方形BGFD ，它的面
积与原六边形的面积相等，显然长方形BGFD的面积为24×18 = 432平方厘米，所
以六边形ABCDEF 的面积为432 平方厘米．
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- 56 -
【例13】如图，三角形ABC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在BC 上，且BD :DC = 1: 2 ，
AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于．
F
E
D
C
B
A
3
3
3
2
1
F
E
D
C
B
A
A
B
C
D
E
F
E
C
A
【解析】方法一：连接CF ，根据燕尾定理，
1
2
ABF
ACF
S BD
S DC
△ = =
△
， 1 ABF
CBF
S AE
S EC
△ = =
△
,
设1 BDF S = △ 份，则2 DCF S = △ 份， 3 ABF S = △ 份， 3 AEF EFC S = S = △ △ 份，
如图所标
所以
5 5
12 12 DCEF ABC S = S = △
方法二：连接DE ，由题目条件可得到
1 1
ABD 3 ABC 3 S = S = △ △ ，
1 1 2 1
ADE 2 ADC 2 3 ABC 3 S = S = × S = △ △ △ ，所以
1
1
ABD
ADE
BF S
FE S
= △ =
△
，
1 1 1 1 1 1 1
DEF 2 DEB 2 3 BEC 2 3 2 ABC 12 S = ×S = × ×S = × × × S = △ △ △ △ ，
而
2 1 1
CDE 3 2 ABC 3 S = × ×S = △ △ ．所以则四边形DFEC 的面积等于5
12
．
【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是2平方厘米，EC = 2DE ，F 是DG 的中点．阴影部
分的面积是多少平方厘米?
x
y
y
x
A
B
C
D
E
F
G
G
F
E
D
C
B
A
3
3
G
F
E
D
C
B
A
2
1
3
【解析】设1 DEF S = △ 份，则根据燕尾定理其他面积如图所示
5 5
12 BCD 12 S = S = 阴影△ 平
方厘米.
【例14】四边形ABCD的对角线AC 与BD交于点O (如图所示)．如果三角形ABD的面积
等于三角形BCD 的面积的1
3
，且AO = 2，DO = 3，那么CO的长度是DO 的长
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- 57 -
度的_________倍．
A
B
C
D
O
H
G
A
B
C
D
O
【解析】在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处
理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改
造不良四边形．看到题目中给出条件: 1: 3 ABD BCD S S = △ △ ，这可以向模型一蝴蝶定
理靠拢，于是得出一种解法．又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为
边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良
四边形”，于是可以作AH 垂直BD 于H ，CG 垂直BD 于G ，面积比转化为高之
比．再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果．请老师注
意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶
定理解决问题．
解法一： ∵ : : 1: 3 ABD AO OC = SΔ SΔBDC = ， ∴ OC = 2× 3 = 6 ， ∴
OC :OD = 6 : 3 = 2 :1．
解法二：作AH ⊥ BD于H ，CG ⊥ BD 于G ．
∵
1
ABD 3 BCD S S Δ Δ = ，∴ 1
3
AH = CG ，∴
1
3 AOD DOC S S Δ Δ = ，
∴ 1
3
AO = CO ，∴OC = 2×3 = 6，∴OC :OD = 6 : 3 = 2 :1．
【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4 个三角形，其中三个三角形的面积已知，
求：⑴三角形BGC 的面积；⑵AG :GC =？
A
B
C
D
G
3
2
1
【解析】⑴根据蝴蝶定理， 1 2 3 BGC S × = × △ ，那么6 BGC S = △ ；
⑵根据蝴蝶定理，AG :GC = (1+ 2) : (3 + 6) =1: 3．
【例15】如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O点，△CEF 、△OEF 、△ODF 、△BOE
的面积依次是2、4、4和6．求：⑴求△OCF 的面积；⑵求△GCE 的面积．
O
G
F
E
D
C
B
A
【解析】⑴根据题意可知，△BCD 的面积为2 + 4 + 4 + 6 =16，那么△BCO 和ΔCDO 的面积
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- 58 -
都是16 ÷ 2 = 8，所以△OCF 的面积为8 − 4 = 4；
⑵由于△BCO 的面积为8，△BOE 的面积为6，所以△OCE 的面积为8 − 6 = 2，
根据蝴蝶定理， : : 2 : 4 1: 2 COE COF EG FG S S Δ Δ = = = ， 所以
: : 1: 2 GCE GCF S S EG FG Δ Δ = = ，
那么
1 1 2 2
GCE 1 2 CEF 3 3 S S Δ Δ = = × =
+ ．
【例16】如图，长方形ABCD 中，BE :EC = 2 : 3，DF :FC =1: 2，三角形DFG 的面积为
2 平方厘米，求长方形ABCD 的面积．
A
B
C
D
E
F
G
A
B
C
D
E
F
G
【解析】连接AE ， FE ．
因为BE :EC = 2 : 3 ， DF :FC =1: 2 ， 所以
(3 1 1) 1
5 3 2 10 DEF ABCD ABCD S = × × S = S △ 长方形长方形．
因为
1
AED 2 ABCD S = S △ 长方形， : 1 : 1 5 :1
2 10
AG GF = = ，所以5 10 AGD GDF S = S = △ △ 平
方厘米，所以12 AFD S = △ 平方厘米．因为
1
6 AFD ABCD S = S △ 长方形，所以长方形
ABCD 的面积是72 平方厘米．
【例17】如图，正方形ABCD 面积为3平方厘米，M 是AD 边上的中点．求图中阴影部分
的面积．
G
M
D
C
B
A
【解析】因为M 是AD 边上的中点，所以AM :BC =1: 2，根据梯形蝴蝶定理可以知道
: : : 12 : 1 2 : 1 2 : 22 1: 2 : 2 : 4 AMG ABG MCG BCG S S S S = × × = △ △ △ △ （ ） （ ） ，设1 AGM S = △ 份，
则1 2 3 MCD S = + = △ 份， 所以正方形的面积为1+ 2 + 2 + 4 + 3 =12 份，
S = 2 + 2 = 4 阴影份，所以S :S =1: 3 阴影正方形，所以S =1 阴影平方厘米．
【巩固】在下图的正方形ABCD 中， E 是BC 边的中点， AE 与BD 相交于F 点，三角形BEF
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- 59 -
的面积为1 平方厘米，那么正方形ABCD 面积是平方厘米．
A
B
C
D
E
F
【解析】连接DE ，根据题意可知BE : AD = 1: 2，根据蝴蝶定理得
S = 1+ 2 2 = 9 梯形（ ） (平
方厘米)， 3 ECD S = △ (平方厘米)，那么12 ABCD S = □ (平方厘米)．
【例18】已知ABCD 是平行四边形，BC :CE = 3: 2，三角形ODE 的面积为6 平方厘米．
则阴影部分的面积是平方厘米．
O
E
A
B
C
D
O
E
A
B
C
D
【解析】连接AC ．
由于ABCD是平行四边形，BC :CE = 3: 2，所以CE : AD = 2 : 3，
根据梯形蝴蝶定理， : : : 22 : 2 3: 2 3: 32 4 : 6 : 6 : 9 COE AOC DOE AOD S S S S = × × = △ △ △ △ ，
所以6 AOC S = △ ( 平方厘米) ， 9 AOD S = △ ( 平方厘米) ， 又
6 9 15 ABC ACD S = S = + = △ △ (平方厘米)，阴影部分面积为6 +15 = 21(平方厘米)．
【巩固】右图中ABCD 是梯形， ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平
方厘米)，阴影部分的面积是平方厘米．
21
A
B
C
D
E
9
4
21
A
B
C
D
E
O
9
4
【分析】连接AE ．由于AD 与BC 是平行的，所以AECD 也是梯形，那么OCD OAE S S Δ Δ = ．
根据蝴蝶定理， 4 9 36 OCD OAE OCE OAD S S S S Δ Δ Δ Δ × = × = × = ， 故
2 36 OCD SΔ = ，
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- 60 -
所以6 OCD SΔ = (平方厘米)．
【巩固】右图中ABCD 是梯形， ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平
方厘米)，阴影部分的面积是平方厘米．
16
8
2
A
B
C
D
E
O
16
8
2
A
B
C
D
E
【解析】连接AE ．由于AD 与BC 是平行的，所以AECD 也是梯形，那么OCD OAE S S Δ Δ = ．
根据蝴蝶定理， 2 8 16 OCD OAE OCE OAD S S S S Δ Δ Δ Δ × = × = × = ， 故
2 16 OCD SΔ = ，所以4 OCD SΔ = (平方厘米)．
另解：在平行四边形ABED 中， 1 1 (16 8) 12
ADE 2 ABED 2 S S Δ = = × + = ▱ (平方厘米)，
所以12 8 4 AOE ADE AOD S S S Δ Δ Δ = − = − = (平方厘米)，
根据蝴蝶定理，阴影部分的面积为8× 2 ÷ 4 = 4 (平方厘米)．
【例19】如图，长方形ABCD 被CE 、DF 分成四块，已知其中3 块的面积分别为2、5、
8 平方厘米，那么余下的四边形OFBC 的面积为___________平方厘米．
?
8
5
2
O
A
B
C
D
E
F
?
8
5
2
O
A
B
C
D
E
F
【解析】连接DE 、CF ．四边形EDCF 为梯形，所以EOD FOC S S Δ = △ ，又根据蝴蝶定理，
EOD FOC EOF COD S S S S Δ Δ Δ Δ ⋅ = ⋅ ，所以2 8 16 EOD FOC EOF COD S S S S Δ Δ Δ Δ ⋅ = ⋅ = × = ，所以
4 EOD SΔ = (平方厘米)， 4 8 12 ECD SΔ = + = (平方厘米)．那么长方形ABCD 的面积为
12× 2 = 24平方厘米，四边形OFBC 的面积为24 − 5 − 2 − 8 = 9 (平方厘米)．
【例20】如图，ΔABC 是等腰直角三角形，DEFG 是正方形，线段AB 与CD相交于K 点．
已知正方形DEFG 的面积48，AK :KB =1: 3，则ΔBKD的面积是多少？
K
G
F
E
D
C
B
A
M
K
G
F
E
D
C
B
A
【解析】由于DEFG 是正方形，所以DA 与BC 平行，那么四边形ADBC 是梯形．在梯形
ADBC 中，ΔBDK 和ΔACK 的面积是相等的．而AK :KB =1: 3，所以ΔACK 的面
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- 61 -
积是ΔABC 面积的1 1
1 3 4
=
+
，那么ΔBDK 的面积也是ΔABC 面积的1
4
．
由于ΔABC 是等腰直角三角形，如果过A 作BC 的垂线，M 为垂足，那么M 是BC
的中点，而且AM = DE ，可见ΔABM 和ΔACM 的面积都等于正方形DEFG面积的
一半，所以ΔABC 的面积与正方形DEFG 的面积相等，为48．
那么ΔBDK 的面积为48 1 12
4
× = ．
【例21】下图中，四边形ABCD 都是边长为1 的正方形，E 、F 、G 、H 分别是AB ，BC ，
CD ， DA 的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分
数m
n
，那么，(m +n)的值等于．
A
B
C
D
E
F
G
H
H
G
F
E
D
C
B
A
【解析】左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观察发现两个图
中的空白部分面积都比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的
面积．
如下图所示，在左图中连接EG ．设AG 与DE 的交点为M ．
左图中AEGD 为长方形，可知ΔAMD 的面积为长方形AEGD 面积的1
4
，所以三角
形AMD 的面积为12 1 1 1
2 4 8
× × = ．又左图中四个空白三角形的面积是相等的，所以
左图中阴影部分的面积为1 1 4 1
8 2
− × = ．
M
A
B
C
D
E
F
G
H
N
H
G
F
E
D
C
B
A
如上图所示，在右图中连接AC 、EF ．设AF 、EC 的交点为N ．
可知EF ∥AC 且AC = 2EF ．那么三角形BEF 的面积为三角形ABC 面积的1
4
，所
以三角形BEF 的面积为12 1 1 1
2 4 8
× × = ，梯形AEFC 的面积为1 1 3
2 8 8
− = ．
在梯形AEFC 中，由于EF : AC =1: 2，根据梯形蝴蝶定理，其四部分的面积比为：
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12 :1× 2 :1× 2 : 22 = 1: 2 : 2 : 4，所以三角形EFN 的面积为3 1 1
8 1 2 2 4 24
× =
+ + +
，那么
四边形BENF 的面积为1 1 1
8 24 6
+ = ．而右图中四个空白四边形的面积是相等的，所
以右图中阴影部分的面积为1 1 4 1
6 3
− × = ．
那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为1 : 1 3: 2
2 3
= ，即3
2
m
n
= ，
那么m + n = 3 + 2 = 5．
【例22】如图， △ABC 中，DE ，FG ，BC 互相平行，AD = DF = FB ，
则: : ADE DEGF FGCB S S S = △ 四边形四边形．
E
G
F
A
D
C
B
【解析】设1 ADE S = △ 份，根据面积比等于相似比的平方，
所以: 2 : 2 1: 4 ADE AFG S S = AD AF = △ △ ， : 2 : 2 1: 9 ADE ABC S S = AD AB = △ △ ，
因此4 AFG S = △ 份， 9 ABC S = △ 份，
进而有3 DEGF S = 四边形份， 5 FGCB S = 四边形份，所以: : 1: 3 : 5 ADE DEGF FGCB S S S = △ 四边形四边形
【巩固】如图，DE 平行BC ，且AD = 2，AB = 5，AE = 4，求AC 的长．
A
E
D
C
B
【解析】由金字塔模型得AD : AB = AE : AC = DE :BC = 2 : 5，所以AC = 4 ÷ 2× 5 = 10
【巩固】如图， △ABC 中，DE ，FG ，MN ，PQ，BC 互相平行，
AD = DF = FM =MP = PB ，则
: : : : ADE DEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S = △ 四边形四边形四边形四边形
．
【解析】设1 ADE S = △ 份， : 2 : 2 1: 4 ADE AFG S S = AD AF = △ △ ， 因此
4 AFG S = △ 份， 进而有3 DEGF S = 四边形份， 同理有
5 FGNM S = 四边形份， 7 MNQP S = 四边形份， 9 PQCB S = 四边形份．
所以有
: : : : 1: 3: 5 : 7 : 9 ADE DEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S = △ 四边形四边形四边形四边形
Q
E
G
N
M
F
P
A
D
C
B
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- 63 -
【例23】如图，已知正方形ABCD 的边长为4，F 是BC 边的中点，E 是DC 边上的点，
且DE :EC =1: 3，AF 与BE 相交于点G ，求ABG S△
G
F
A
E
D
C
B
M
G
F
A
E
D
C
B
G
F
A
E
D
C
B
【解析】方法一：连接AE ，延长AF ， DC 两条线交于点M ，构造出两个沙漏，所以有
AB :CM = BF :FC =1:1，因此CM = 4，根据题意有CE = 3，再根据另一个沙漏
有GB :GE = AB :EM = 4 : 7，所以
4 4 (4 4 2) 32
ABG 4 7 ABE 11 11 S = S = × × ÷ =
+ △ △ ．
方法二： 连接AE,EF ， 分别求4 2 2 4 ABF S = × ÷ = △ ，
4 4 4 1 2 3 2 2 4 7 AEF S = × − × ÷ − × ÷ − = △ ， 根据蝴蝶定理
: : 4 : 7 ABF AEF S S = BG GE = △ △ ， 所以
4 4 (4 4 2) 32
ABG 4 7 ABE 11 11 S = S = × × ÷ =
+ △ △ ．
【例24】如图所示，已知平行四边形ABCD 的面积是1，E 、F 是AB 、AD 的中点， BF
交EC 于M ，求ΔBMG 的面积．
M
H
G
F
E
D
C
B
A
I
A
B
C
D
E
F
G
H
M
【解析】解法一：由题意可得， E 、F 是AB 、AD 的中点，得EF / /BD ，而
FD :BC = FH :HC =1: 2，
EB :CD = BG :GD =1: 2所以CH :CF =GH :EF = 2 : 3，
并得G 、H 是BD的三等分点，所以BG =GH ，所以
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- 64 -
BG :EF = BM :MF = 2 : 3 ， 所以2
5
BM = BF ，
1 1 1 1
2 2 2 4 BFD ABD ABCD S S S Δ Δ = = × = ▱ ；
又因为1
3
BG = BD ，__________所以
1 2 1 2 1 1
BMG 3 5 BFD 3 5 4 30 S S Δ Δ = × × = × × = ．
解法二：延长CE 交DA 于I ，如右图，
可得，AI :BC = AE :EB = 1:1，从而可以确定M 的点的位置，
BM :MF = BC : IF = 2 : 3， 2
5
BM = BF ， 1
3
BG = BD (鸟头定理)，
可得
2 1 2 1 1 1
5 3 5 3 4 30 BMG BDF ABCD S S S Δ Δ = × = × × = ▱
【例25】如图，ABCD 为正方形，AM = NB = DE = FC =1 cm且MN = 2 cm，请问四边形
PQRS 的面积为多少？
S
R
B
C
D
A
E
Q
N
M
F
P
S
R
B
C
D
A
E
Q
N
M
F
P
【解析】(法1)由AB / /CD ，有MP PC
MN DC
= ，所以PC = 2PM ，又MQ MB
QC EC
= ，所以
1
2
MQ =QC = MC ，所以1 1 1
2 3 6
PQ = MC − MC = MC ，所以SPQR S 占AMCF S 的1
6
，
所以1 1 (1 1 2) 2
6 3 SPQR S = × × + + = (cm2 )．
(法2 )如图，连结AE ，则1 4 4 8
ABE 2 SΔ = × × = ( cm2 )，
而RB ER
AB EF
= ，所以RB AB 2
EF EF
= = ， 2 2 8 16
3 3 3 ABR ABE S S Δ Δ = = × = ( cm2 )．
而1 3 4 1 3
2 2 MBQ ANS S S Δ Δ = = × × × = ( cm2 )，因为MN MP
DC PC
= ，
所以1
3
MP = MC ，则1 2 4 1 4
MNP 2 3 3 SΔ = × × × = ( cm2 )，阴影部分面积等于
16 3 3 4 2
3 3 3 ABR ANS MBQ MNP S S S S Δ Δ Δ Δ − − + = − − + = ( cm2 )．
【例26】如右图，三角形ABC 中，BD :DC = 4 : 9，CE :EA = 4 : 3，求AF :FB ．
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- 65 -
O
F
E
D
C
B
A
【解析】根据燕尾定理得S AOB :S AOC = BD :CD = 4 :9 =12 : 27 △ △
: : 3: 4 12 :16 AOB BOC S S = AE CE = = △ △
（都有△AOB 的面积要统一，所以找最小公倍数）
所以: 27 :16 : AOC BOC S S = = AF FB △ △
【点评】本题关键是把△AOB 的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题
中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大
力量！
【巩固】如右图，三角形ABC 中，BD :DC = 3: 4，AE :CE = 5 : 6，求AF :FB .
O
F
E
D
C
B
A
【解析】根据燕尾定理得: : 3 : 4 15 : 20 AOB AOC S S = BD CD = = △ △
: : 5 : 6 15 :18 AOB BOC S S = AE CE = = △ △
（都有△AOB 的面积要统一，所以找最小公倍数）
所以: 20 :18 10 : 9 : AOC BOC S S = = = AF FB △ △
【巩固】如右图，三角形ABC 中，BD :DC = 2 : 3，EA :CE = 5 : 4，求AF :FB .
O
F
E
D
C
B
A
【解析】根据燕尾定理得: : 2 : 3 10 :15 AOB AOC S S = BD CD = = △ △
: : 5 : 4 10 : 8 AOB BOC S S = AE CE = = △ △
（都有△AOB 的面积要统一，所以找最小公倍数）
所以: 15 : 8 : AOC BOC S S = = AF FB △ △
【点评】本题关键是把△AOB 的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题
中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大
力量！
【例27】如右图，三角形ABC 中，AF :FB = BD :DC =CE : AE = 3: 2，且三角形ABC 的
面积是1，则三角形ABE 的面积为______，三角形AGE 的面积为________，三
角形GHI 的面积为______．
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I
H
G
F
E
D
C
B
A
I
H
G
F
E
D
C
B
A
【分析】连接AH 、BI 、CG ．
由于CE : AE = 3: 2，所以2
5
AE = AC ，故2 2
5 5 ABE ABC S S Δ Δ = = ；
根据燕尾定理， : : 2 : 3 ACG ABG S S CD BD Δ Δ = = ， : : 3 : 2 BCG ABG S S CE EA Δ Δ = = ，所以
: : 4 : 6 : 9 ACG ABG BCG S S S Δ Δ Δ = ，则4
19 ACG SΔ = ， 9
19 BCG SΔ = ；
那么2 2 4 8
5 5 19 95 AGE AGC S S Δ Δ = = × = ；
同样分析可得9
ACH 19 SΔ = ， 则: : 4 : 9 ACG ACH EG EH S S Δ Δ = = ，
: : 4 :19 ACG ACB EG EB S S Δ Δ = = ， 所以EG :GH :HB = 4 : 5 :10 ， 同样分析可得
AG :GI : ID =10 : 5 : 4，
所以5 5 2 1
BIE 10 BAE 10 5 5 S S Δ Δ = = × = ， 5 5 1 1
GHI 19 BIE 19 5 19 S S Δ Δ = = × = ．
【巩固】如右图，三角形ABC 中，AF :FB = BD :DC =CE : AE = 3: 2，且三角形GHI 的面
积是1，求三角形ABC 的面积．
I
H
G
F
E
D
C
B
A
I
H
G
F
E
D
C
B
A
【解析】连接BG， AGC S△ = 6 份
根据燕尾定理， : : 3 : 2 6 : 4 AGC BGC S S = AF FB = = △ △ ，
: : 3 : 2 9 : 6 ABG AGC S S = BD DC = = △ △
得4 BGC S = △ (份)， 9 ABG S = △ (份)，则19 ABC S = △ (份)，因此6
19
AGC
ABC
S
S
△ =
△
,
同理连接AI、CH 得6
19
ABH
ABC
S
S
△ =
△
, 6
19
BIC
ABC
S
S
△ =
△
,所以19 6 6 6 1
19 19
GHI
ABC
S
S
− − −
△ = =
△
三角形GHI 的面积是1，所以三角形ABC 的面积是19
【巩固】如图，ΔABC 中BD = 2DA，CE = 2EB ，AF = 2FC ，那么ΔABC 的面积是阴影三
角形面积的倍．
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A
B
C
D
E
F
G
H
I
I
H
G
F
E
D
C
B
A
【分析】如图，连接AI ．
根据燕尾定理， : : 2 :1 BCI ACI S S BD AD Δ Δ = = ， : : 1: 2 BCI ABI S S CF AF Δ Δ = = ，
所以， : : 1: 2 : 4 ACI BCI ABI S S S Δ Δ Δ = ，那么， 2 2
BCI 1 2 4 ABC 7 ABC S S S Δ Δ Δ = =
+ +
．
同理可知ΔACG 和ΔABH 的面积也都等于ΔABC 面积的2
7
，所以阴影三角形的面
积等于ΔABC 面积的1 2 3 1
7 7
− × = ，所以ΔABC 的面积是阴影三角形面积的7 倍．
【巩固】如图在△ABC 中， 1
2
DC EA FB
DB EC FA
= = = ,求GHI
ABC
△ 的面积
△ 的面积
的值．
I
H
G
F
E
D
C
B
A
I
H
G
F
E
D
C
B
A
【解析】连接BG,设BGC S△ = 1 份，根据燕尾定理
: : 2 :1 AGC BGC S S = AF FB = △ △ , : : 2 :1 ABG AGC S S = BD DC = △ △ ,得2 AGC S = △ (份)，
4 ABG S = △ (份),则7 ABC S = △ (份)，因此2
7
AGC
ABC
S
S
△ =
△
,同理连接AI、CH 得
2
7
ABH
ABC
S
S
△ =
△
, 2
7
BIC
ABC
S
S
△ =
△
,所以7 2 2 2 1
7 7
GHI
ABC
S
S
− − −
△ = =
△
【点评】如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的，那么在同样的位置上的图形，虽然
形状千变万化，但面积是相等的，这在这讲里面很多题目都是用“同理得到”的，
即再重复一次解题思路，因此我们有对称法作辅助线.
【例28】如图，三角形ABC 的面积是1，BD = DE = EC ，CF = FG =GA，三角形ABC 被
分成9 部分，请写出这9 部分的面积各是多少?
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- 68 -
G
F
E
D
C
B
A
N
M
Q
P
G
F
E
D
C
B
A
【解析】设BG 与AD 交于点P，BG 与AE 交于点Q，BF 与AD 交于点M，BF 与AE 交于
点N．连接CP，CQ，CM，CN．
根据燕尾定理，S ABP : S CBP = AG :GC =1: 2 △ △ ， : : 1: 2 ABP ACP S S = BD CD = △ △ ，设
1 ABP S = △ (份)，则1 2 2 5 ABC S = + + = △ (份)，所以1
ABP 5 S = △
同理可得， 2
7 ABQ S = △ , 1
2 ABN S = △ , 而1
3 ABG S = △ ， 所以2 1 3
7 5 35 APQ S = − = △ ，
1 2 1
3 7 21 AQG S = − = △ ．
同理， 3
BPM 35 S = △
1
BDM 21 S = △ ,所以1 2 3 9
PQMN 2 7 35 70 S = − − = 四边形，
1 3 9 5
MNED 3 35 70 42 S = − − = 四边形, 1 1 5 1
NFCE 3 21 42 6 S = − − = 四边形,
1 1 1 5
GFNQ 3 21 6 42 S = − − = 四边形
【巩固】如图，ΔABC 的面积为1，点D 、E 是BC 边的三等分点，点F 、G 是AC 边的三
等分点，那么四边形JKIH 的面积是多少？
K
J
I
H
A
B
C
D
E
F
G
K
J
I
H
A
B
C
D
E
F
G
【解析】连接CK 、CI 、CJ ．
根据燕尾定理， : : 1: 2 ACK ABK S S CD BD Δ Δ = = ， : : 1: 2 ABK CBK S S AG CG Δ Δ = = ，
所以: : 1: 2 : 4 ACK ABK CBK S S S Δ Δ Δ = ，那么1 1
1 2 4 7 ACK SΔ = =
+ +
， 1 1
3 21 AGK ACK S S Δ Δ = = ．
类似分析可得2
AGI 15 SΔ = ．
又: : 2 :1 ABJ CBJ S S AF CF Δ Δ = = ， : : 2 :1 ABJ ACJ S S BD CD Δ Δ = = ，可得1
4 ACJ SΔ = ．
那么， 1 1 17
4 21 84 CGKJ S = − = ．
根据对称性，可知四边形CEHJ 的面积也为17
84
，那么四边形JKIH 周围的图形的面
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- 69 -
积之和为2 17 2 2 1 61
84 15 3 70 CGKJ AGI ABE S S S Δ Δ × + + = × + + = ，所以四边形JKIH 的面积为
1 61 9
70 70
− = ．
【例29】右图，△ABC 中，G 是AC 的中点，D 、E 、F 是BC 边上的四等分点，AD 与
BG 交于M ，AF 与BG 交于N ，已知△ABM 的面积比四边形FCGN 的面积大
7.2平方厘米，则△ABC 的面积是多少平方厘米？
N
M
G
A
B
C
D
E
F
N
M
G
A
B
C
D
E
F
【解析】连接CM 、CN ．
根据燕尾定理， : : 1:1 ABM CBM S S = AG GC = △ △ ， : : 1: 3 ABM ACM S S = BD CD = △ △ ，所
以1
5 ABM ABC S = S △ △ ；
再根据燕尾定理， : : 1:1 ABN CBN S S = AG GC = △ △ ，所以
: : 4 : 3 ABN FBN CBN FBN S S = S S = △ △ △ △ ，所以AN :NF = 4 : 3，那么
1 4 2
2 4 3 7
ANG
AFC
S
S
= × =
+
△
△
，所以1 2 5 1 5
7 7 4 28 FCGN AFC ABC ABC S = ⎛⎜ − ⎞⎟S = × S = S
⎝ ⎠ △ △ △ ．
根据题意，有1 5 7.2
5 ABC 28 ABC S − S = △ △ ，可得336 ABC S = △ (平方厘米)
【例30】如图，面积为l 的三角形ABC 中，D、E、F、G、H、I 分别是AB、BC、CA 的三等
分点,求阴影部分面积.
I
G
H
F
E
D
C
B
A
I
N
M
Q
P
G
H
F
E
D
C
B
A
【解析】三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！
令BI 与CD 的交点为M，AF 与CD 的交点为N，BI 与AF 的交点为P,BI 与CE 的
交点为Q,连接AM、BN、CP
⑴求ADMI S四边形：在△ABC 中，根据燕尾定理，
: : 1: 2 ABM CBM S S = AI CI = △ △ : : 1: 2 ACM CBM S S = AD BD = △ △
设1 ABM S = △ (份)，则2 CBM S = △ (份), 1 ACM S = △ (份), 4 ABC S = △ (份),
所以1
4 ABM ACM ABC S = S = S △ △ △ ，所以1 1
3 12 ADM ABM ABC S = S = S △ △ △ , 1
12 AIM ABC S = S △ △ ,
所以( 1 1 ) 1
12 12 6 ADMI ABC ABC S = + S = S 四边形△ △ ,
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- 70 -
同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是△ABC 面积的1
6
⑵求DNPQE S五边形：在△ABC 中，根据燕尾定理
: : 1: 2 ABN ACN S S = BF CF = △ △ : : 1: 2 ACN BCN S S = AD BD = △ △ ,
所以1 1 1 1
3 3 7 21 ADN ABN ABC ABC S = S = × S = S △ △ △ △ ,同理1
21 BEQ ABC S = S △ △
在△ABC 中， 根据燕尾定理
: : 1: 2 ABP ACP S S = BF CF = △ △ , : : 1: 2 ABP CBP S S = AI CI = △ △
所以1
5 ABP ABC S = S △ △ ， 所以
1 1 1 11
5 21 21 105 DNPQE ABP ADN BEP ABC ABC S = S − S − S = ⎛⎜ − − ⎞⎟S = S
⎝ ⎠ 五边形△ △ △ △ △
同理另外两个五边形面积是△ABC 面积的11
105
，所以1 1 3 11 3 13
6 105 70
S = − × − × = 阴影
【例31】如图，面积为l 的三角形ABC 中，D、E、F、G、H、I 分别是AB、BC、CA 的三等
分点,求中心六边形面积.
I
G
H
F
E
D
C
B
A
S
R
I
N
M
Q
P
G
H
F
E
D
C
B
A
【解析】设深黑色六个三角形的顶点分别为N、R、P、S、M、Q，连接CR
在△ABC 中根据燕尾定理， : : . 2 :1 ABR ACR S S = BG CG = △ △ ,
: : 1: 2 ABR CBR S S = AI CI = △ △
所以2
ABR 7 ABC S = S △ △ ,同理2
ACS 7 ABC S = S △ △ , 2
CQB 7 ABC S = S △ △
所以1 2 2 2 1
7 7 7 7 RQS S = − − − = △ ，同理1
7 MNP S = △
根据容斥原理，和上题结果1 1 13 1
7 7 70 10
S = + − = 六边形
课后练习：
练习1. 已知△DEF 的面积为7平方厘米，BE =CE,AD = 2BD,CF = 3AF ，求△ABC 的面
积．
F
E
D
C
B
A
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- 71 -
【解析】: ( ) : ( ) (1 1) : (2 3) S BDE S ABC = BD ×BE BA ×BC = × × = 1: 6 △ △ ，
: ( ) : ( ) (1 3) : (2 4) 3 :8 CEF ABC S S = CE ×CF CB ×CA = × × = △ △
: ( ) : ( ) (2 1) : (3 4) 1: 6 ADF ABC S S = AD × AF AB × AC = × × = △ △
设24 ABC S = △ 份，则4 BDE S = △ 份， 4 ADF S = △ 份， 9 CEF S = △ 份，
24 4 4 9 7 DEF S = − − − = △ 份，恰好是7 平方厘米，所以24 ABC S = △ 平方厘米
练习2. 如图，四边形EFGH 的面积是66 平方米， EA = AB ，CB = BF ，DC =CG ，
HD = DA，求四边形ABCD 的面积．
H
G
F
E
D
C
B
A
A
B
C
D
E
F
G
H
【解析】连接BD ． 由共角定理得: ( ) : ( ) 1: 2 BCD CGF S S = CD ×CB CG ×CF = △ △ ， 即
2 CGF CDB S = S △ △
同理: 1: 2 ABD AHE S S = △ △ ，即2 AHE ABD S = S △ △
所以2( ) 2 AHE CGF CBD ADB ABCD S + S = S + S = S △ △ △ △ 四边形
连接AC ，同理可以得到2 DHG BEF ABCD S + S = S △ △ 四边形
5 EFGH AHE CGF HDG BEF ABCD ABCD S = S + S + S + S + S = S 四边形△ △ △ △ 四边形四边形
所以66 5 13.2 ABCD S = ÷ = 四边形平方米
练习3. 正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，四边形
BGHF 的面积是平方厘米．
H
G
F
E
D
C
B
A
M
H
G
F
E
D
C
B
A
【解析】欲求四边形BGHF 的面积须求出ΔEBG 和ΔCHF 的面积．
由题意可得到：EG :GC = EB :CD = 1: 2，所以可得： 1
3 EBG BCE S S Δ Δ =
将AB 、DF 延长交于M 点，可得：
BM :DC =MF :FD = BF :FC =1:1，
而: : (1 ) : 3: 2
2
EH HC = EM CD = AB + AB CD = ，得2
5
CH = CE ，
而1
2
CF = BC ，所以1 2 1
2 5 5 CHF BCE BCE S S S Δ Δ Δ = × =
1 1 1 120 30
BCE 2 2 4 S AB BC Δ = × × = × =
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1 1 7 7 30 14
BGHF EBC 3 EBC 5 EBC 15 EBC 15 S S S S S Δ Δ Δ Δ = − − = = × = 四边形．
本题也可以用蝴蝶定理来做，连接EF ，确定H 的位置(也就是FH :HD )，同样也
能解出．
练习4. 如图，已知AB = AE = 4cm，BC = DC ，∠BAE = ∠BCD = 90°，AC =10cm ，则
S ABC ACE CDE S S Δ Δ Δ + + = cm2．
D
C
E
B
A
B
C
A'
C'
E
D
A
【解析】将三角形ABC 绕A 点和C 点分别顺时针和逆时针旋转90? ，构成三角形AEC '和
A'DC ，再连接A'C '，显然AC ⊥ AC '， AC ⊥ A'C ， __________AC = A'C = AC '，所以ACA'C '
是正方形．三角形AEC '和三角形A 'DC 关于正方形的中心O 中心对称，在中心对
称图形ACA'C '中有如下等量关系：
AEC A 'DC ' S S Δ Δ = ； AEC ' A 'DC S S Δ Δ = ； CED C 'DE S S Δ Δ = ．
所以2
' ' '
1 1 10 10 50cm
ABC ACE CDE AEC ACE CDE 2 ACA C 2 S S S S S S S Δ Δ Δ Δ Δ Δ + + = + + = = × × = □ ．
练习5. 如图，正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，
四边形BGHF 的面积是_____平方厘米．
H
G
F
E
D
C
B
A
H
G
F
E
D
C
B
A
【解析】连接BH ,根据沙漏模型得BG :GD =1: 2 ,设1 BHC S = △ 份，根据燕尾定理2 CHD S = △
份， 2 BHD S = △ 份，因此S = 1+ 2 + 2)× 2 =10 正方形（ 份， 1 2 7
BFHG 2 3 6 S = + = ， 所以
120 10 7 14
6 BFHG S = ÷ × = (平方厘米).
练习6. 如图，ΔABC 中，点D 是边AC 的中点，点E 、F 是边BC 的三等分点，若ΔABC
的面积为1，那么四边形CDMF 的面积是_________．
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F
A
B
C
D
E
M
N
F
A
B
C
D
E
M
N
【解析】由于点D 是边AC 的中点，点E 、F 是边BC 的三等分点，如果能求出BN 、NM 、
MD 三段的比，那么所分成的六小块的面积都可以求出来，其中当然也包括四边形
CDMF 的面积．
连接CM 、CN ．
根据燕尾定理， : : 2 :1 ABM ACM S S BF CF Δ Δ = = ， 而2 ACM ADM S S Δ Δ = ， 所以
2 4 SΔABM = SΔACM = SΔADM ，那么BM = 4DM ，即4
5
BM = BD ．
那么4 2 1 4
5 3 2 15 BMF BCD
S BM BF S
BD BC Δ Δ = × × = × × = ， 1 4 7
CDMF 2 15 30 S = − = 四边形．
另解：得出2 4 ABM ACM ADM S S S Δ Δ Δ = = 后，可得1 1 1 1
5 5 2 10 ADM ABD S S Δ Δ = = × = ，
则1 1 7
3 10 30 CDMF ACF ADM S S S Δ Δ = − = − = 四边形．
练习7. 如右图，三角形ABC 中，AF :FB = BD :DC =CE : AE = 4 : 3，且三角形ABC 的面
积是74 ，求角形GHI 的面积．
I
H
G
F
E
D
C
B
A
I
H
G
F
E
D
C
B
A
【解析】连接BG， AGC S△ = 12 份
根据燕尾定理， : : 4 : 3 12 : 9 AGC BGC S S = AF FB = = △ △ ，
: : 4 : 3 16 :12 ABG AGC S S = BD DC = = △ △
得9 BGC S = △ (份)， 16 ABG S = △ (份)，则9 12 16 37 ABC S = + + = △ (份)，因此
12
37
AGC
ABC
S
S
△ =
△
,
同理连接AI、CH 得12
37
ABH
ABC
S
S
△ =
△
, 12
37
BIC
ABC
S
S
△ =
△
,所以37 12 12 12 1
37 37
GHI
ABC
S
S
− − −
△ = =
△
三角形ABC 的面积是74 ,所以三角形GHI 的面积是74 1 2
37
× =
月测备选
【备选1】按照图中的样子，在一平行四边形纸片上割去了甲、乙两个直角三角形．已
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- 74 -
知甲三角形两条直角边分别为2cm 和4cm ，乙三角形两条直角边分别为3cm 和
6cm ，求图中阴影部分的面积．
6
4
3
2
6
4
3
2
【解析】如右图，我们将三角形甲与乙进行平移，就会发现平行四边形面积等于平移后两个
长方形面积之和．所以阴影部分面积为：3× 4 + 6× 2 −（3× 6 ÷ 2 + 4× 2 ÷ 2）=1（1 cm2）
【备选2】如图所示，矩形ABCD 的面积为36 平方厘米，四边形PMON 的面积是3 平方
厘米，则阴影部分的面积是平方厘米．
N
O
M
P
D
C
B
A
【解析】因为三角形ABP 面积为矩形ABCD 的面积的一半，即18 平方厘米，三角形ABO 面
积为矩形ABCD 的面积的1
4
，即9 平方厘米，又四边形PMON 的面积为3 平方厘
米，所以三角形AMO 与三角形BNO的面积之和是18 − 9 − 3 = 6平方厘米．
又三角形ADO 与三角形BCO 的面积之和是矩形ABCD 的面积的一半，即18 平方
厘米，所以阴影部分面积为18 − 6 =12 (平方厘米)．
【备选3】如图，已知BD = 3DC ，EC = 2AE ，BE 与CD相交于点O ,则△ABC 被分成
的4部分面积各占△ABC 面积的几分之几？
O
E
D
C
B
A
13.5
4.5
9
2
1
1
2
1
3
O
E
D
C
B
A
【解析】连接CO ,设1 AEO S = △ 份，则其他部分的面积如图所示，所以
1 2 9 18 30 ABC S = + + + = △ 份，所以四部分按从小到大各占△ABC 面积的
1 , 2 4.5 13 , 9 3 ,13.5 9
30 30 60 30 10 30 20
+
= = =
【备选4】如图，在△ABC 中，延长AB 至D ，使BD = AB ，延长BC 至E ，使1
2
CE = BC ，
F 是AC 的中点，若△ABC 的面积是2，则△DEF 的面积是多少？
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- 75 -
A
B
C
D
E
F
【解析】∵在△ABC 和△CFE 中，∠ACB 与∠FCE 互补，
∴ 2 2 4
1 1 1
ABC
FCE
S AC BC
S FC CE
⋅ ×
= = =
⋅ ×
△
△
．
又2 ABC S = △ ，所以0.5 FCE S = △ ．
同理可得2 ADF S = △ ， 3 BDE S = △ ．
所以2 0.5 3 2 3.5 DEF ABC CEF DEB ADF S = S + S + S − S = + + − = △ △ △ △ △
【备选5】如图，BD :DC = 2 : 3 , AE :CE = 5 : 3 ,则AF :BF =
G
F
E
D
C
B
A
【解析】根据燕尾定理有: 2 : 3 10 :15 ABG ACG S S = = △ △ , : 5 : 3 10 : 6 ABG BCG S S = = △ △ ,所以
: 15 : 6 5 : 2 : ACG BCG S S = = = AF BF △ △
【备选6】如图在△ABC 中， 1
3
DC EA FB
DB EC FA
= = = ,求GHI
ABC
△ 的面积
△ 的面积
的值．
I
H
G
F
E
D
C
B
A
I
H
G
F
E
D
C
B
A
【解析】连接BG,设BGC S△ = 1 份，根据燕尾定理
: : 3 :1 AGC BGC S S = AF FB = △ △ , : : 3 :1 ABG AGC S S = BD DC = △ △ ,得3 AGC S = △ (份)，
9 ABG S = △ (份),则13 ABC S = △ (份)，因此3
13
AGC
ABC
S
S
△ =
△
,同理连接AI、CH 得
ABH 13
ABC
S
S
△ =
△
, 3
13
BIC
ABC
S
S
△ =
△
,
所以13 3 3 3 4
13 13
GHI
ABC
S
S
− − −
△ = =
△
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- 76 -
第五讲几何——立体部分
教学目标：
对于小学几何而言，立体图形的表面积和体积计算，既可以很好地考查学生的空间想象
能力，又可以具体考查学生在公式应用中处理相关数据的能力，所以，很多重要考试都很重
视对立体图形的考查．
知识点拨：
一、长方体和正方体
如右图，长方体共有六个面(每个面都是长方形)，八个顶点，十二条棱．
c
b
a
H
G
F
E
D
C
B
A
①在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等．
(叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形．)
②长方体的表面积和体积的计算公式是：
长方体的表面积：S = 2(ab +bc + ca) 长方体；
长方体的体积：V = abc 长方体．
③正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形．
如果它的棱长为a，那么：S = 6a2 正方体，V = a3 正方体．
二、圆柱与圆锥
立体图形表面积体积
圆柱
h
r
S = + 2 = 2πrh + 2πr 2 圆柱侧面积个底面积V = πr 2h 圆柱
圆锥
h
r
π 2 π 2
360
S = + = n l + r 圆锥侧面积底面积
注：l 是母线，即从顶点到底面圆上的线段长
1 π 2
3
V = r h 圆锥体
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- 77 -
例题精讲：
【例1】如右图，在一个棱长为10 的立方体上截取一个长为8，宽为3，
高为2 的小长方体，那么新的几何体的表面积是多少？
【解析】我们从三个方向(前后、左右、上下)考虑，新几何体的表面积仍
为原立方体的表面积：10 × 10 × 6 = 600．
【例2】右图是一个边长为4 厘米的正方体，分别在前后、左右、上下
各面的中心位置挖去一个边长l 厘米的正方体，做成一种玩具．
它的表面积是多少平方厘米?（图中只画出了前面、右面、上
面挖去的正方体）
【解析】原正方体的表面积是4 × 4 × 6 = 96(平方厘米)．每一个面被挖
去一个边长是1 厘米的正方形，同时又增加了5 个边长是1 厘
米的正方体作为玩具的表面积的组成部分．总的来看，每一个
面都增加了4 个边长是1 厘米的正方形．
从而，它的表面积是：96 + 4 × 6 = 120 平方厘米．
【巩固】在一个棱长为50 厘米的正方体木块，在它的八个角上各挖去
一个棱长为5 厘米的小正方体，问剩下的立体图形的表面积是
多少？
【解析】对于和长方体相关的立体图形表面积，一般从上下、左右、前后3 个方向考虑．变
化前后的表面积不变：50 × 50 × 6 = 15000(平方厘米)．
【例3】下图是一个棱长为2 厘米的正方体，在正方体上表面的正中，向下挖一个棱长为
1 厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长
为1
2
厘米的正方形小洞，第三个正方形小洞的挖法和前两个相
同为1
4
厘米，那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘
米？
【解析】我们仍然从3 个方向考虑．平行于上下表面的各面面积之和：
2 × 2 × 2 = 8(平方厘米)；左右方向、前后方向：2 × 2 × 4 = 16(平
方厘米)，1 × 1 × 4 = 4(平方厘米)， 1
2
× 1
2
× 4 = 1(平方厘米)，
1
4
× 1
4
× 4 = 1
4
(平方厘米)，这个立体图形的表面积为：8 +16 + 4 + 1 + 1
4
= 29 1
4
(平
方厘米).
【例4】一个正方体木块，棱长是1 米，沿着水平方向将它锯成2 片，每片又锯成3 长条，
每条又锯成4 小块，共得到大大小小的长方体24 块，那么这24 块长方体的表面
积之和是多少？
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【解析】锯一次增加两个面，锯的总次数转化为增加的面数的公式为：锯的总次数× 2 = 增
加的面数．
原正方体表面积：1 × 1 × 6 = 6(平方米)，一共锯了(2 − 1) + (3 − 1) + (4 − 1) = 6 次，
6 + 1 × 1 × 2 × 6 = 18(平方米)．
【巩固】(2008 年走美六年级初赛)一个表面积为56cm2的长方体如图切成27 个小长方体，
这27个小长方体表面积的和是cm2．
【解析】每一刀增加两个切面，增加的表面积等于与切面平行的两个表面积，所以每个方向
切两刀后，表面积增加到原来的3 倍，即表面积的和为56× 3 =168(cm2 )．
【例5】如图，25 块边长为1 的正方体积木拼成一个几何体，表面积最小是多少？
25
【解析】当小积木互相重合的面最多时表面积最小.
设想27块边长为1 的正方形积木，当拼成一个3×3×3的正方体时，表面积最小，
现在要去掉2 块小积木，只有在两个角上各去掉一块小积木，或在同一个角去掉两
块相邻的积木时，表面积不会增加，该几何体表面积为54.
【例6】要把12 件同样的长a、宽b、高h 的长方体物品拼装成一件大的长方体，使打包
后表面积最小，该如何打包？
⑴当b = 2h 时，如何打包？
⑵当b < 2h 时，如何打包？
⑶当b > 2h 时，如何打包？
【解析】图2 和图3 正面的面积相同，侧面面积= 正面周长× 长方体长，所以正面的周长愈
大表面积越大，图2 的正面周长是8h + 6b，图3 的周长是12h + 4b.两者的周长之
差为2（b − 2h）.
当b = 2h 时，图2 和图3 周长相等，可随意打包；当b < 2h 时，按图2 打包；当
b > 2h 时，按图3 打包.
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3
2
1
h
b
a
【巩固】要把6 件同样的长17、宽7、高3 的长方体物品拼装成一件大的长方体，表面积
最小是多少？
【解析】考虑所有的包装方法，因为6 = 1 × 2 × 3，所以一共有两种拼接方式：
第一种按长宽高1 × 1 × 6 拼接，重叠面有三种选择，共3 种包装方法.
第二种按长宽高1 × 2 × 3 拼接，有3 个长方体并列方向的重叠面有三种选择，有2
个长方体并列方向的重叠面剩下2 种选择，一共有6 种包装方法.
其中表面积最小的包装方法如图所示，表面积为1034.
【例7】如图，在一个棱长为5 分米的正方体上放一个棱长为4 分米的小正方体，求这个
立体图形的表面积．
【解析】我们把上面的小正方体想象成是可以向下“压缩”的，“压缩”后我们发现：小正
方体的上面与大正方体上面中的阴影部分合在一起，正好是大正方体的上面.这样
这个立体图形的表面积就可以分成这样两部分：上下方向：大正方体的两个底面；
四周方向(左右、前后方向)：小正方体的四个侧面，大正方体的四个侧面．上下方
向：5×5× 2 = 50 (平方分米)；侧面：5×5× 4 =100 (平方分米)，4× 4× 4 = 64 (平方
分米)．这个立体图形的表面积为：50 +100 + 64 = 214 (平方分米)．
【例8】(2008 年“希望杯”五年级第2 试)如图，棱长分别为1厘米、2 厘米、3厘米、5
厘米的四个正方体紧贴在一起，则所得到的多面体的表面积是_______平方厘米．
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- 80 -
【解析】(法1)四个正方体的表面积之和为：(12 + 22 + 32 + 52 )× 6 = 39×6 = 234 (平方厘米)，
重叠部分的面积为：
12 ×3 + (22 × 2 +12 ) + (32 + 22 +12 ) + (32 + 22 +12 ) = 3 + 9 +14 +14 = 40 (平方厘米)，
所以，所得到的多面体的表面积为：234 − 40 =194 (平方厘米)．
(法2)三视图法．从前后面观察到的面积为52 + 32 + 22 = 38平方厘米,从左右两个
面观察到的面积为52 + 32 = 34平方厘米，从上下能观察到的面积为52 = 25平方厘
米．
表面积为(38 + 34 + 25)× 2 =194 (平方厘米)．
【例9】把19 个棱长为1 厘米的正方体重叠在一起，按右图中的方式拼成一个立体图形.，
求这个立体图形的表面积．
【解析】从上下、左右、前后观察到的的平面图形如下面三图表示．因此，这个立体图形的
表面积为：2 个上面+2个左面+2个前面．上表面的面积为：9 平方厘米，左表面
的面积为：8 平方厘米，前表面的面积为：10 平方厘米．因此，这个立体图形的总
表面积为：(9 + 8+10)× 2 = 54 (平方厘米)．
上下面左右面前后面
【巩固】用棱长是1 厘米的立方块拼成如右图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少
平方厘米?
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【解析】该图形的上、左、前三个方向的表面分别由9、7、7 块正方形组成．
该图形的表面积等于(9 + 7 + 7)× 2 = 46个小正方形的面积，所以该图形表面积为46
平方厘米．
【例10】有30 个边长为1 米的正方体，在地面上摆成右上图的形式，然后把露出的表面
涂成红色．求被涂成红色的表面积．
【解析】4× 4 + (1+ 2 + 3+ 4)× 4 = 56 (平方米)．
【例11】棱长是m 厘米（m 为整数）的正方体的若干面涂上红色，然后将其切割成棱长是
1 厘米的小正方体．至少有一面红色的小正方体个数和表面没有红色的小正方体
个数的比为13 :12 ，此时m 的最小值是多少?
【解析】切割成棱长是1 厘米的小正方体共有m3个，由于其中至少有一面是红色的小正方
体与没有红色面的个数之比为13:12，而13 +12 = 25，所以小正方体的总数是25
的倍数，即m3是25 的倍数，那么m 是5 的倍数．
当m = 5时，要使得至少有一面的小正方体有65个，可以将原正方体的正面、上面
和下面涂色，此时至少一面涂红色的小正方体有5× 5 + 5× 4× 2 = 65个，表面没有
红色的小正方体有
125 − 65 = 60个，个数比恰好是13:12，符合题意.因此，m 的最小值是5．
【例12】有64个边长为1 厘米的同样大小的小正方体，其中34个为白色的，30个为黑色
的．现将它们拼成一个4× 4× 4的大正方体，在大正方体的表面上白色部分最多
可以是多少平方厘米？
【解析】要使大正方体的表面上白色部分最多，相当于要使大正方体表面上黑色部分最少，
那么就要使得黑色小正方体尽量不露出来．
在整个大正方体中，没有露在表面的小正方体有(4 − 2)3 = 8 (个)，用黑色的；在面
上但不在边上的小正方体有(4 − 2)2 × 6 = 24 (个)，其中30 − 8 = 22个用黑色．
这样，在表面的4× 4× 6 = 96个1×1的正方形中，有22个是黑色，96 − 22 = 74 (个)
是白色，所以在大正方体的表面上白色部分最多可以是74 平方厘米．
【例13】三个完全一样的长方体，棱长总和是288厘米，每个长方体相交于一个顶点的三
条棱长恰是三个连续的自然数，给这三个长方体涂色，一个涂一面，一个涂两面，
一个涂三面．涂色后把三个长方体都切成棱长为1 厘米的小正方体，只有一个面
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涂色的小正方体最少有多少个？
【解析】每个长方体的棱长和是288 ÷ 3 = 96厘米，所以，每个长方体长、宽、高的和是
96 ÷ 4 = 24厘米．因为，每个长方体相交于一个顶点的三条棱长恰是三个连续的自
然数，所以，每个长方体的长、宽、高分别是9 厘米、8 厘米、7 厘米．
要求切割后只有一个面涂色的小正方体最少有多少个，则需每一个长方体按题意涂
色时，应让切割后只有一个面涂色的小正方体最少．所以，涂一面的长方体应涂一
个8× 7 面，有8× 7 = 56个；
涂两面的长方体，若两面不相邻，应涂两个8× 7 面，有8× 7 × 2 =112个；若两面
相邻，应涂一个8× 7 面和一个9× 7面，此时有7 × (8 + 9 − 2) = 105个，所以涂两面
的最少有105 个；
涂三面的长方体，若三面不两两相邻，应涂两个8× 7 面、一个9× 7 面，有
7×(8 + 8 + 9 − 4) =147 个； 若三面两两相邻， 有
(7 −1)×(8 −1) + (7 −1)×(9 −1) + (8 −1)×(9 −1) =146 个，所以涂三面的最少有146
个．
那么切割后只有一个面涂色的小正方体最少有56 +105 +146 = 307个．
【例14】把一个大长方体木块表面上涂满红色后，分割成若干个同样大小的小正方体，其
中恰好有两个面涂上红色的小正方体恰好是100 块，那么至少要把这个大长方体
分割成多少个小正方体？
【解析】设小正方体的棱长为1，考虑两种不同的情况，一种是长方体的长、宽、高中有一
个是1 的情况，另一种是长方体的长、宽、高都大于1 的情况．
当长方体的长、宽、高中有一个是1 时，分割后只有一层小正方体，其中有两个面
涂上红色的小正方体是去掉最外层一圈的小正方体后剩下的那些．因为有两个面涂
上红色的小正方体恰好是100 块，设100 = a ×b ，那么分成的小正方体个数为
(a + 2)× (b + 2)×1 = ab + 2(a +b) + 4 = 2(a +b) +104，为了使小正方体的个数尽量
少，应使(a +b )最小，而两数之积一定，差越小积越小，所以当a = b =10时它们
的和最小，此时共有
(10 + 2)× (10 + 2) =144个小正方体．
当长方体的长、宽、高都大于1 时，有两个面涂上红色的小正方体是去掉8 个顶点
所在的小正方体后12 条棱上剩余的小正方体，因为有两个面涂上红色的小正方体
恰好是100块，所以长方体的长、宽、高之和是100 ÷ 4 + 2× 3 = 31．由于三个数的
和一定，差越大积越小，为了使小正方体的个数尽量少，应该令31= 2 + 2 + 27，
此时共有2× 2× 27 = 108个小正方体．
因为108 <144，所以至少要把这个大长方体分割成108个小正方体．
【例15】把正方体的六个表面都划分成9 个相等的正方形．用红、黄、蓝三种颜色去染这
些小正方形，要求有公共边的正方形染不同的颜色，那么，用红色染的正方形最
多有多少个？
【解析】一个面最多有5 个方格可染成红色（见左下图）．因为染有5 个红色方格的面不能
相邻，可以相对，所以至多有两个面可以染成5 个红色方格．
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其余四个面中，每个面的四个角上的方格不能再染成红色，至多能染4 个红色方格
（见上中图）．因为染有4 个红色方格的面也不能相邻，可以相对，所以至多有两
个面可以染成4 个红色方格．最后剩下两个相对的面，每个面最多可以染2 个红色
方格（见右上图）．所以，红色方格最多有5× 2 + 4× 2 + 2 × 2 = 22（个）．
（另解）事实上上述的解法并不严密，“如果最初的假设并没有两个相对的有5 个
红色方格的面，是否其他的四个面上可以出现更多的红色方格呢？”这种解法回避
了这个问题，如果我们从约束染色方格数的本质原因入手，可严格说明22 是红色
方格数的最大值．
对于同一个平面上的格网，如果按照国际象棋棋盘的方式染色，那么至少有一半的
格子可以染成红色．但是现在需要染色的是一个正方体的表面，因此在分析问题时
应该兼顾棱、角等面与面相交的地方：
⑴ ⑵ ⑶
⑴如图，每个角上三个方向的3 个方格必须染成不同的三种颜色，所以8 个角上最
多只能有8 个方格染成红色．
⑵如图，阴影部分是首尾相接由9 个方格组成的环，这9 个方格中只能有4 个方格
能染成同一种颜色(如果有5 个方格染同一种颜色，必然出现相邻，可以用抽屉原
理反证之：先去掉一个白格，剩下的然后两两相邻的分成四个抽屉，必然有一个抽
屉中有两个红色方格)，像这样的环，在正方体表面最多能找到不重叠的两道（关
于正方体中心对称的两道），涉及的18 个方格中最多能有8 个可染成红色．
⑶剩下6×3×3 − 8× 3− 9× 2 =12个方格，分布在6条棱上，这12个格子中只能有6
个能染成红色．
综上所述，能被染成红色的方格最多能有8 + 8 + 6 = 22个格子能染成红色，第一种
解法中已经给出22 个红方格的染色方法，所以22 个格子染成红色是最多的情况．
【例16】一个长、宽、高分别为21厘米、15厘米、12厘米的长方形.现从它的上面尽可能
大的切下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体，最后再
从第二次剩余的部分尽可能大的切下一个正方体，剩下的体积是多少立方厘米？
【解析】本题的关键是确定三次切下的正方体的棱长.由于21:15 :12 = 7 : 5 : 4，为了方便起
见.我们先考虑长、宽、高分别为7 厘米、5 厘米、4 厘米的长方体.
因为7 > 5 > 4，容易知道第一次切下的正方体棱长应该是4厘米，第二次切时，切
下棱长为3厘米的正方体符合要求.第三次切时，切下棱长为2 厘米的正方体符合要
求．
那么对于原长方体来说，三次切下的正方体的棱长分别是12 厘米、9 厘米和6 厘
米，所以剩下的体积应是：21×15×12 − (123 + 93 + 63 ) =1107（立方厘米）.
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12
12
9
9
9
6
6
6
3
12
12
6
3
9
12
【例17】有黑白两种颜色的正方体积木，把它摆成右图所示的形状，已知相邻(有公共面)
的积木颜色不同，标A 的为黑色，图中共有黑色积木多少块？
A
【解析】分层来看，如下图(切面平行于纸面)共有黑色积木17 块.
【巩固】这个图形，是否能够由1×1× 2的长方体搭构而成？
【解析】每一个1×1× 2的长方体无论怎么放，都包含了一个黑色正方体和一个白色正方体，
而黑色积木有17 块，白色积木有15 块，所以该图形不能够由1×1× 2的长方体搭
构而成.
【巩固】有许多相同的立方体，每个立方体的六个面上都写着同一个数字(不同的立方体可
以写相同的数字)先将写着2 的立方体与写着1 的立方体的三个面相邻，再将写着
3 的立方体写着2 的立方体相邻(见左下图)．依这样构成右下图所示的立方体，它
的六个面上的所有数字之和是多少?
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3
3
2
2
3
3
2
3
3
2
2
3
2
3
1
1
1
1
1
1
【解析】第一层如下图，第二层、第三层依次比上面一层每格都多1(见下图)．
7
6
5
4
3
4
5
6
5
6
5
4
3
2
3
4
5
4
3
4
3
2
1
2
3
4
5
上面的9 个数之和是27，由对称性知，上面、前面、右面的所有数之和都是27．
同理，下面的9 个数之和是45，下面、左面、后面的所有数之和都是45．所以六
个面上所有数之和是(27 + 45)×3 = 216．
【例18】(05 年武汉明心杯数学挑战赛)如图所示，一个5×5×5的立方体，在一个方向上
开有1×1×5的孔，在另一个方向上开有2×1×5的孔，在第三个方向上开有3×1×5
的孔，剩余部分的体积是多少？表面积为多少？
【解析】求体积：
开了3×1×5的孔，挖去3×1×5 =15，开了1×1×5的孔，
挖去1×1×5 −1= 4；开了2×1×5的孔，
挖去2×1×5 − (2 + 2) = 6，
剩余部分的体积是：5×5×5 − (15 + 4 + 6) =100．
(另解)将整个图形切片，如果切面平行于纸面，那么五个切片分别如图：
得到总体积为：22× 4 +12 =100．
求表面积：
表面积可以看成外部和内部两部分．外部的表面积为5×5× 6 −12 =138，内部的面
积可以分为前
后、左右、上下三个方向，面积分别为2×(2×5 +1×5 −1× 2 −1×3) = 20、
2×(1×5 + 3×5 −1×3−1) = 32、2×(1×5 +1×5 −1×1− 2) =14，所以总的表面积为
138 + 20 + 32 +14 = 204．
(另解)运用类似于三视图的方法，记录每一方向上的不同位置上的裸露正方形个
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数：
前后方向： 32
上下方向： 30 左右方向： 40
1
1
2
2
1
1
1
2
1
2
2
2
2
1
1
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
1
1
1
1
1
1
2
2
2
1
1
1
1
1
1
2
1
1
2
1
1
2
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
2
1
1
2
2
总表面积为2×(32 + 30 + 40) = 204．
【总结】“切片法”：全面打洞(例如本题，五层一样)，挖块成线(例如本题，在前一层的基
础上，一条线一条
线地挖)，这里体现的思想方法是：化整为零，有序思考！
【巩固】（2008 年香港保良局第12 届小学数学世界邀请赛）如图，原来的大正方体是由125
个小正方体所构成的．其中有些小正方体已经被挖除，图中涂黑色的部分就是贯穿整
个大正方体的挖除部分．请问剩下的部分共有多少个小正方体？
【解析】对于这一类从立体图形中间挖掉一 部8 分后再求体积（或小正方体数目）的题目一般
可以采用“切片法”来做，所谓“切片法”，就是把整个立体图形切成一片一片的
（或一层一层的），然后分别计算每一片或每一层的体积或小正方体数目，最后再
把它们相加．
采用切片法，俯视第一层到第五层的图形依次如下，其中黑色部分表示挖除掉的部
分．
1
2
3
4
5
从图中可以看出，第1、2、3、4、5 层剩下的小正方体分别有22 个、11 个、11 个、
6个、22 个，所以总共还剩下22 +11+11+ 6 + 22 = 72（个）小正方体．
【巩固】一个由125 个同样的小正方体组成的大正方体，从这个大正方体中抽出若干个小
正方体，把大正方体中相对的两面打通，右图就是抽空的状态．右图中剩下的小
正方体有多少个？
【解析】解法一：(用“容斥原理”来解)由正面图形抽出的小正方体有5×5 = 25个，由侧面
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- 87 -
图形抽出的小正方体有5×5 = 25个，由底面图形抽出的小正方体有4×5 = 20个，
正面图形和侧面图形重合抽出的小正方体有1× 2 + 2×1+ 2× 2 = 8个，正面图形和底
面图形重合抽出的小正方体有1×3+ 2× 2 = 7个，底面图形和侧面图形重合抽出的
小正方体有1× 2 +1×1+ 2× 2 = 7个，三个面的图形共同重合抽出的小正方体有4个．
根据容斥原理，25 + 25+ 20 − 8− 7 − 7 + 4 = 52，所以共抽出了52 个小正方体．
125 − 52 = 73，所以右图中剩下的小正方体有73个．
注意这里的三者共同抽出的小正方体是4 个，必须知道是哪4 块，这是最让人头疼
的事．
但你可以先构造空的两个方向上共同部分的模型，再由第三个方向来穿过“花墙”．
这里，化虚为实的思想方法很重要．
解法二：(用“切片法”来解)
可以从上到下切五层，得：
⑴从上到下五层，如图：
⑵或者，从右到左五片，如图：
请注意这里的挖空的技巧是：先认一种方向．
比如：从上到下的每一层，首先都应该有第一层的空四块的情况，即——
如果挖第二层：第(1)步，把中间这些位置的四块挖走如图：
第(2)步，把从右向左的两块成线地挖走．(请注意挖通的效果就是成线挖去)，如
图：
第(3)步，把从前向后的一块(请注意跟第二层有关的只是一块！)挖成线！如图：
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【例19】（2009 年迎春杯高年级组复赛）右图中的⑴⑵⑶⑷是同样的小等边三角形，⑸⑹
也是等边三角形且边长为⑴的2 倍，⑺⑻⑼⑽是同样的等腰直角三角形，⑾是正
方形．那么，以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形的体积是以⑴⑵⑶⑷为
平面展开图的立体图形体积的倍．
【解析】本题中的两个图都是立体图形的平面展开图，将它们还原成立体图形，可得到如下
两图：
其中左图是以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形，是一个四个面都是正三角形的正
四面体，右图以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形，是一个不规则图形，底
面是⑾，四个侧面是⑺⑻⑼⑽，两个斜面是⑸⑹．
对于这两个立体图形的体积，可以采用套模法来求，也就是对于这种我们不熟悉的
立体图形，用一些我们熟悉的基本立体图形来套，看看它们与基本立体图形相比，
缺少了哪些部分．
由于左图四个面都是正三角形，右图底面是正方形，侧面是等腰直角三角形，想到
都用正方体来套．
对于左图来说，相当于由一个正方体切去4 个角后得到(如下左图，切去1 ABDA 、
1 CBDC 、1 1 1 D A C D 、1 1 1 B A C B )；而对于右图来说，相当于由一个正方体切去2 个
角后得到(如下右图，切去1 BACB 、1 DACD )．
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D
1
C
1
B
1
A
1
D
C
B
A
A
B
C
D
A
1
B
1
C
1
D
1
假设左图中的立方体的棱长为a ，右图中的立方体的棱长为b ，则以⑴⑵⑶⑷为平
面展开图的立体图形的体积为： 3 1 2 1 4 1 3
2 3 3
a − a ×a × × = a ，
以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形的体积为3 1 2 1 2 2 3
2 3 3
b − b ×b × × = b ．
由于右图中的立方体的棱长即是题中正方形⑾的边长，而左图中的立方体的每一个
面的对角线恰好是正三角形⑴的边长，通过将等腰直角三角形⑺分成4 个相同的小
等腰直角三角形可以得到右图中的立方体的棱长是左图中的立方体的棱长的2 倍，
即b = 2a．
那么以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形的体积与以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开
图的立体图形的体积的比为： 1 3 : 2 3 1 3 : 2 (2 )3 1:16
3 3 3 3
a b = a × a = ，也就是说以⑸⑹⑺
⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形的体积是以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形
体积的16 倍．
【例20】图⑴和图⑵是以正方形和等边三角形为面的立体图形的展开图，图中所有的边长
都相同．请问：图⑴能围起来的立体图形的体积是图⑵能围起来的立体图形的体
积的几倍？
图⑴ 图⑵
【解析】首先，我们把展开图折成立体图形，见下列示意图：
图⑴ 图⑵
对于这类题目，一般采用“套模法”，即用一个我们熟悉的基本立体图形来套，这
样做基于两点考虑，一是如果有类似的模型，可以直接应用其计算公式；二是如果
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可以补上一块或者放到某个模型里面，那么可以从这个模型入手．
我们把图⑴中的立体图形切成两半，再转一转，正好放进去！我们看到图⑴与图⑶
的图形位置的微妙关系：
1
3 !
60°
60°
图⑶ 图⑷
由图⑷可见，图⑴这个立体的体积与图⑶这个被切去了8 个角后的立体图形的体积
相等．
假设立方体的1 条边的长度是1，那么一个角的体积是1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 3 48
× × × × = ，所以
切掉8 个角后的体积是1 1 8 5
48 6
− × = ．
再看图⑵中的正四面体，这个正四面体的棱长与图⑶中的每一条实线线段相等，所
以应该用边长为1
2
的立方体来套．如果把图⑵的立体图形放入边长为1
2
的立方体
里的话是可以放进去的．
1
2
这是切去了四个角后的图形，从上面的分析可知一个角的体积为1
48
，所以图⑵的
体积是： 1 1 1 1 4 1
2 2 2 48 24
× × − × = ，那么前者的体积是后者的5 1 20
6 24
÷ = 倍．
【例21】如图，用高都是1米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的3个圆柱组成一个物
体．问这个物体的表面积是多少平方米？( π 取3.14 )
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1
1
1
0.5
1
1.5
【解析】从上面看到图形是右上图，所以上下底面积和为2×3.14×1.52 =14.13 (立方米)，侧
面积为2×3.14×(0.5 +1+1.5)×1=18.84 (立方米)，所以该物体的表面积是
14.13+18.84 = 32.97 (立方米)．
【例22】有一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形
的圆孔，圆孔的直径是4 厘米，孔深5 厘米(见右图)．如果将这个零件接触空气
的部分涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘米？
【解析】涂漆的面积等于大圆柱表面积与小圆柱侧面积之和，为
6π 10 π (6)2 2 4π 5 60π 18π 20π 98π 307.72
2
× + × × + × = + + = = (平方厘米)．
【例23】(第四届希望杯2 试试题)圆柱体的侧面展开，放平，是边长分别为10 厘米和12
厘米的长方形，那么这个圆柱体的体积是________立方厘米．(结果用π 表示)
【解析】当圆柱的高是12 厘米时体积为π (10 )2 12 300
2π π
× × = (立方厘米)
当圆柱的高是12厘米时体积为π (12 )2 10 360
2π π
× × = (立方厘米)．所以圆柱体的体积
为300
π
立方厘米或360
π
立方厘米．
【例24】如右图，是一个长方形铁皮，利用图中的阴影部分，刚好能做成一个油桶(接头
处忽略不计)，求这个油桶的容积．( π = 3.14 )
16.56m
【解析】圆的直径为：16.56 ÷ (1+ 3.14) = 4 (米)，而油桶的高为2 个直径长，即为：
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4× 2 = 8(m)，故体积为100.48立方米．
【巩固】如图，有一张长方形铁皮，剪下图中两个圆及一块长方形，正好可以做成1 个圆
柱体，这个圆柱体的底面半径为10 厘米，那么原来长方形铁皮的面积是多少平方
厘米？( π = 3.14 )
10cm
【解析】做成的圆柱体的侧面是由中间的长方形卷成的，可见这个长方形的长与旁边的圆的
周长相等，则剪下的长方形的长，即圆柱体底面圆的周长为： 2× π ×10 = 62.8(厘
米)，
原来的长方形的面积为：（10× 4 + 62.8）×（10× 2）= 2056 (平方厘米)．
【例25】把一个高是8 厘米的圆柱体，沿水平方向锯去2 厘米后，剩下的圆柱体的表面积
比原来的圆柱体表面积减少12.56 平方厘米．原来的圆柱体的体积是多少立方厘
米？
【解析】沿水平方向锯去2 厘米后，剩下的圆柱体的表面积比原来的圆柱体表面积减少的部
分为减掉的2 厘米圆柱体的侧面积，所以原来圆柱体的底面周长为12.56 ÷ 2 = 6.28
厘米，底面半径为6.28 ÷ 3.14 ÷ 2 = 1厘米，所以原来的圆柱体的体积是
π ×12 ×8 = 8π = 25.12 (立方厘米)．
【例26】一个圆柱体的体积是50.24立方厘米，底面半径是2厘米．将它的底面平均分成
若干个扇形后，再截开拼成一个和它等底等高的长方体，表面积增加了多少平方
厘米？ ( π = 3.14 )
【解析】从图中可以看出，拼成的长方体的底面积与原来圆柱体的底面积相同，长方体的前
后两个侧面面积与原来圆柱体的侧面面积相等，所以增加的表面积就是长方体左右
两个侧面的面积．
(法1)这两个侧面都是长方形，且长等于原来圆柱体的高，宽等于圆柱体底面半径．
可知，圆柱体的高为50.24 ÷ (3.14× 22 ) = 4 (厘米)，所以增加的表面积为
2× 4× 2 =16 (平方厘米)；
(法2)根据长方体的体积公式推导．增加的两个面是长方体的侧面，侧面面积与长
方体的长的乘积就是长方体的体积．由于长方体的体积与圆柱体的体积相等，为
50.24 立方厘米， 而拼成的长方体的长等于圆柱体底面周长的一半， 为
3.14× 2 = 6.28厘米，所以侧面长方形的面积为50.24 ÷ 6.28 = 8平方厘米，所以增加
的表面积为8× 2 =16平方厘米．
【例27】(2008 年”希望杯”五年级第2试)一个拧紧瓶盖的瓶子里面装着一些水(如图)，
由图中的数据可推知瓶子的容积是_______ 立方厘米．( π 取3.14 )
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8
(单位：厘米)
4
10
6
【解析】由于瓶子倒立过来后其中水的体积不变，所以空气部分的体积也不变，从图中可
以看出，瓶中的水构成高为6厘米的圆柱，空气部分构成高为10 − 8 = 2厘米的圆柱，
瓶子的容积为这两部分之和，所以瓶子的容积为：
π (4)2 (6 2) 3.14 32 100.48
2
× × + = × = (立方厘米)．
【巩固】一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形(不包括瓶颈)，如图．已知它的容积为26.4π 立方
厘米．当瓶子正放时，瓶内的酒精的液面高为6 厘米；瓶子倒放时，空余部分的
高为2 厘米．问：瓶内酒精的体积是多少立方厘米？合多少升？
2
6
【解析】由题意，液体的体积是不变的，瓶内空余部分的体积也是不变的，因此可知液体体
积是空余部分体积的6 ÷ 2 = 3倍．所以酒精的体积为26.4π 3 62.172
3 1
× =
+
立方厘
米，而62.172立方厘米= 62.172毫升= 0.062172升．
【巩固】一个盖着瓶盖的瓶子里面装着一些水，瓶底面积为10 平方厘米，(如下图所示)，
请你根据图中 标明的数据，计算瓶子的容积是＿＿＿＿＿＿．
7cm
4cm
5cm
【解析】由已知条件知，第二个图上部空白部分的高为7 − 5 = 2cm，从而水与空着的部分的
比为4 : 2 = 2 :1，由图1 知水的体积为10× 4，所以总的容积为40 ÷ 2×(2 +1) = 60立
方厘米．
【例28】一个盛有水的圆柱形容器，底面内半径为5 厘米，深20 厘米，水深15厘米．今
将一个底面半径为2 厘米，高为17 厘米的铁圆柱垂直放入容器中．求这时容器
的水深是多少厘米？
【解析】若圆柱体能完全浸入水中，则水深与容器底面面积的乘积应等于原有水的体积与圆
柱体在水中体积之和，因而水深为：
2 2
2
5 15 2 17
5 π π 17.72
π
× × + × ×
× = (厘米)．
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它比圆柱体的高度要大，可见圆柱体可以完全浸入水中．
于是所求的水深便是17.72 厘米．
【例29】有甲、乙两只圆柱形玻璃杯，其内直径依次是10 厘米、20 厘米，杯中盛有适量
的水．甲杯中沉没着一铁块，当取出此铁块后，甲杯中的水位下降了2 厘米；然
后将铁块沉没于乙杯，且乙杯中的水未外溢．问：这时乙杯中的水位上升了多少
厘米？
【解析】两个圆柱直径的比是1: 2 ，所以底面面积的比是1: 4 ．铁块在两个杯中排开的水的
体积相同， 所以乙杯中水升高的高度应当是甲杯中下降的高度的1
4
， 即
2 1 0.5
4
× = (厘米)．
【例30】如图，甲、乙两容器相同，甲容器中水的高度是锥高的1
3
，乙容器中水的高度是
锥高的2
3
，比较甲、乙两容器，哪一只容器中盛的水多？多的是少的的几倍？
【解析】设圆锥容器的底面半径为r ，高为h ，则甲、乙容器中水面半径均为2
3
r ，则有
1 π 2
3
V = r h 容器，
1 π 2 2 2 8 π 2
3 3 3 81
V = r × h = r h 乙水（ ） ， 1 π 2 1 π 2 2 2 19 π 2
3 3 3 3 81
V = r h − r × h = r h 甲水（ ） ，
2
2
19 π 19 81
8 π 8
81
V r h
V r h
甲水= =
乙水
，即甲容器中的水多，甲容器中的水是乙容器中水的19
8
倍．
【例31】(2008年仁华考题)如图，有一卷紧紧缠绕在一起的塑料薄膜，薄膜的直径为20厘
米，中间有一直径为8 厘米的卷轴，已知薄膜的厚度为0.04 厘米，则薄膜展开后
的面积是平方米．
20cm
8cm
100cm
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【解析】缠绕在一起时塑料薄膜的体积为：
2 2 π 20 π 8 100 8400π
2 2
⎡ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎤ ⎢ × ⎜ ⎟ − × ⎜ ⎟ ⎥ × =
⎢⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎥⎦
(立方厘米)，
薄膜展开后为一个长方体，体积保持不变，而厚度为0.04 厘米，所以薄膜展开后
的面积为
8400π ÷ 0.04 = 659400平方厘米= 65.94平方米．
另解：也可以先求出展开后薄膜的长度，再求其面积．
由于展开前后薄膜的侧面的面积不变，展开前为
2 2 π 20 π 8 84π
2 2
×⎛ ⎞ − ×⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(平方厘
米)，展开后为一个长方形，宽为0.04厘米，所以长为84π ÷ 0.04 = 6594厘米，所
以展开后薄膜的面积为6594×100 = 659400平方厘米= 65.94平方米．
【巩固】图为一卷紧绕成的牛皮纸，纸卷直径为20 厘米，中间有一直径为6 厘米的卷轴．
已知纸的厚度为0.4 毫米，问：这卷纸展开后大约有多长？
【解析】将这卷纸展开后，它的侧面可以近似的看成一个长方形，它的长度就等于面积除以
宽．这里的宽就是纸的厚度，而面积就是一个圆环的面积．
因此，纸的长度：
3.14 102 3.14 32 3.14 (100 9) 7143.5
0.04 0.04
× − × × −
≈ ≈ = = 纸卷侧面积
纸的厚度
(厘米)
所以，这卷纸展开后大约71.4 米．
【例32】如图，ABC 是直角三角形，AB 、AC 的长分别是3 和4．将ΔABC 绕AC 旋转
一周，求ΔABC 扫出的立体图形的体积．( π = 3.14 )
C
B
A
4
3
【解析】如右上图所示，ΔABC 扫出的立体图形是一个圆锥，这个圆锥的底面半径为3，高
为4，
体积为：1 π 32 4 12π 37.68
3
× × × = = ．
【例33】已知直角三角形的三条边长分别为3cm，4cm，5cm ，分别以这三边轴，旋转一
周，所形成的立体图形中，体积最小的是多少立方厘米？( π 取3.14 )
【解析】以3 cm 的边为轴旋转一周所得到的是底面半径是4 cm ，高是3 cm 的圆锥体，体积
为1 3.14 42 3 50.24 (cm3 )
3
× × × =
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以4 cm 的边为轴旋转一周所得到的是底面半径是3 cm ，高是4 cm 的圆锥体，体积
为1 3.14 32 4 37.68 (cm3 )
3
× × × =
以5 cm 的边为轴旋转一周所得到的是底面半径是斜边上的高3× 4 ÷ 5 = 2.4 cm 的
两个圆锥， 高之和是5 cm 的两个圆的组合体， 体积为
1 3.14 2.42 5 30.144 (cm3 )
3
× × × =
【巩固】如图，直角三角形如果以BC 边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为16π ，
以AC 边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为12π ，那么如果以AB 为轴旋
转一周，那么所形成的几何体的体积是多少？
A
B
C
【解析】设BC = a ，AC =b ，那么以BC 边为轴旋转一周，所形成的圆锥的体积为
2 π
3
ab ，
以AC 边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为
2 π
3
a b ，由此可得到两条等式：
2
2
48
36
ab
a b
⎧ = ⎪⎨
⎩⎪ =
，两条等式相除得到4
3
b
a
= ，将这条比例式再代入原来的方程中就能得到
3
4
a
b
= ⎧⎨
⎩ =
，根据勾股定理，直角三角形的斜边AB 的长度为5 ，那么斜边上的高为2.4 ．
如果以AB 为轴旋转一周，那么所形成的几何体相当于两个底面相等的圆锥叠在一
起，底面半径为2.4 ，高的和为5，所以体积是
2.42 π 5 9.6π
3
×
= ．
【例34】如图，ABCD 是矩形，BC = 6cm，AB =10cm，对角线AC 、BD相交O．E 、
F 分别是AD 与BC 的中点，图中的阴影部分以EF 为轴旋转一周，则白色部分
扫出的立体图形的体积是多少立方厘米？( π 取3)
O
F
A
B
C
D
E
O
F
A
B
C
D
E
【解析】扫出的图形如右上图所示，白色部分实际上是一个圆柱减去两个圆锥后所形成的图
形．
两个圆锥的体积之和为2 1 π 32 5 30π 90
3
× × × × = = (立方厘米)；
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圆柱的体积为π ×32 ×10 = 270 (立方厘米)，
所以白色部分扫出的体积为270 − 90 =180 (立方厘米)．
【巩固】(2006年第十一届华杯赛决赛试题)如图，ABCD 是矩形，BC = 6cm，AB =10cm ，
对角线AC 、BD 相交O ．图中的阴影部分以CD 为轴旋转一周，则阴影部分扫出
的立体的体积是多少立方厘米？
D
C
B
A
O
【解析】设三角形BCO 以CD 为轴旋转一周所得到的立体图形的体积是V ，则V 等于高为
10 厘米，底面半径是6 厘米的圆锥，减去2 个高为5 厘米，底面半径是3 厘米的
圆锥的体积后得到．
所以， 1 π 62 10 2 1 π 32 5 90π
3 3
V = × × × − × × × × = (立方厘米)，
那么阴影部分扫出的立体的体积是2V =180π = 540 (立方厘米)．
【例35】(人大附中分班考试题目)如图，在一个正方体的两对侧面的中心各打通一个长方
体的洞，在上下底面的中心打通一个圆柱形的洞．已知正方体边长为10 厘米，
侧面上的洞口是边长为4 厘米的正方形，上下底面的洞口是直径为4 厘米的圆，
求此立体图形的表面积和体积．
【解析】⑴先求表面积．表面积可分为外侧表面积和内侧表面积．
外侧为6 个边长10 厘米的正方形挖去4 个边长4 厘米的正方形及2 个直径4 厘米
的圆，所以，外侧表面积为：10×10× 6 − 4× 4× 4 − π × 22 × 2 = 536 − 8π (平方厘米)；
内侧表面积则为右上图所示的立体图形的表面积，需要注意的是这个图形的上下两
个圆形底面和前后左右4 个正方形面不能计算在内，所以内侧表面积为：
4×3×16 + 2×(4× __________4 − π × 22 ) + 2π × 2×3× 2 =192 + 32 − 8π + 24π = 224 +16π (平方厘
米)，
所以，总表面积为：224 +16π + 536 − 8π = 760 + 8π = 785.12 (平方厘米)．
⑵再求体积．计算体积时将挖空部分的立体图形取出，如右上图，只要求出这个几
何体的体积，用原立方体的体积减去这个体积即可．
挖出的几何体体积为：
4× 4×3× 4 + 4× 4× 4 + π × 22 ×3× 2 =192 + 64 + 24π = 256 + 24π (立方厘米)；
所求几何体体积为：10×10×10 − (256 + 24π) = 668.64 (立方厘米)．
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- 98 -
课后练习
练习1. （《小学生数学报》邀请赛）从一个棱长为10 厘米的正方形木块中挖去一个长10
厘米、宽2 厘米、高2 厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少？(写出符合要
求的全部答案)
【解析】按图1 所示沿一条棱挖，为592 平方厘米；
按图2 所示在某一面上挖，为632 平方厘米；
按图3 所示在某面上斜着挖，为648 平方厘米；
按图4 所示挖通两个对面，为672 平方厘米．
图1 图2 图3 图
4
练习2. 一个酒瓶里面深30cm，底面内直径是10cm，瓶里酒深15cm．把酒瓶塞紧后使其
瓶口向下倒立这时酒深25cm ．酒瓶的容积是多少？( π 取3)
25
30
15
【解析】观察前后，酒瓶中酒的总量没变，即瓶中液体体积不变．
当酒瓶倒过来时酒深25cm ，因为酒瓶深30cm ，这样所剩空间为高5cm 的圆柱，
再加上原来15cm 高的酒即为酒瓶的容积．酒的体积： 15π 10 10 375π
2 2
× × =
瓶中剩余空间的体积(30 25)π 10 10 125π
2 2
− × × = ， 酒瓶容积：
375π +125π = 500π =1500(ml)
练习3. 如右图所示，由三个正方体木块粘合而成的模型，它们的棱长分别为1 米、2 米、
4 米，要在表面涂刷油漆，如果大正方体的下面不涂油漆，则模型涂刷油漆的面积
是多少平方米？
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- 99 -
【解析】该图形从前、后、左、右四面观察到的面积都是12 + 22 + 42 = 21平方米，从上面观
察到的面积是42 =16 平方米，由于下面不涂油漆，所以涂刷油漆的面积是
21× 4 +16 =100平方米．
练习4. (2008 年第二届两岸四地”华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛)一个圆柱体形状的
木棒，沿着底面直径竖直切成两部分．已知这两部分的表面积之和比圆柱体的表
面积大2008cm2，则这个圆柱体木棒的侧面积是________ cm2．( π 取3.14 )
【解析】根据题意可知，切开 后2 表面积增加的就是两个长方形纵切面．
设圆柱体底面半径为r ，高为h ，那么切成的两部分比原来的圆柱题表面积大：
2× 2r ×h = 2008(cm2 )，所以r ×h = 502(cm2 )，所以，圆柱体侧面积为：
2× π ×r ×h = 2× 3.14× 502 = 3152.56(cm2 )．
练习5. 如图，厚度为0.25毫米的铜版纸被卷成一个空心圆柱(纸卷得很紧，没有空隙)，
它的外直径是180 厘米，内直径是50 厘米．这卷铜版纸的总长是多少米？
【解析】卷在一起时铜版纸的横截面的面积为
2 2 π 180 π 50 7475π
2 2
×⎛ ⎞ − ×⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(平方厘米)，
如果将其展开，展开后横截面的面积不变，形状为一个长方形，宽为0.25 毫米(即
0.025厘米)，所以长为7475π ÷ 0.025 = 938860厘米= 9388.6米．所以这卷铜版纸的
总长是9388.6米．
本题也可设空心圆柱的高为h ，根据展开前后铜版纸的总体积不变进行求解，其中
h 在计算过程将会
消掉．
月测备选
【备选1】如右图，一个正方体形状的木块，棱长l 米，沿水平方向将它锯成3 片，每片又
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- 100 -
锯成4 长条，每条又锯成5 小块，共得到大大小小的长方体60 块．那么，这60
块长方体表面积的和是多少平方米?
【解析】我们知道每切一刀，多出的表面积恰好是原正方体的2 个面的面积．现在一共切了
(3 − 1) + (4 − 1) + (5 − 1) = 9 刀，而原正方体一个面的面积1 × l = 1(平方米)，所以
表面积增加了9 × 2 × 1 = 18(平方米)．原来正方体的表面积为6 × 1 = 6(平方米)，所
以现在的这些小长方体的表积之和为6 + 18=24(平方米)．
【备选2】一个透明的封闭盛水容器，由一个圆柱体和一个圆锥体组成，圆柱体的底面直径
和高都是12 厘米．其内有一些水，正放时水面离容器顶11厘米，倒放时水面离顶
部5厘米，那么这个容器的容积是多少立方厘米？( π = 3)
5cm
11cm
【解析】设圆锥的高为x 厘米．由于两次放置瓶中空气部分的体积不变，有：
5 π 62 (11 ) π 62 1 π 62
3
× × = − x × × + × × × x，解得x = 9，
所以容器的容积为： π 62 12 1 π 62 9 540π 1620
3
V = × × + × × × = = (立方厘米)．
【备选3】如图，有一个边长为20 厘米的大正方体，分别在它的角上、棱上、面上各挖掉
一个大小相同的小立方体后，表面积变为2454 平方厘米，那么挖掉的小立方体
的边长是多少厘米？
【解析】大立方体的表面积是20 × 20 × 6 = 2400 平方厘米．在角上挖掉一个小正方体后，外
面少了3 个面，但里面又多出3 个面；在棱上挖掉一个小正方体后，外面少了2
个面，但里面多出4 个面；在面上挖掉一个小正方体后，外面少了1 个面，但里面
多出5 个面．所以，最后的情况是挖掉了三个小正方体，反而多出了6 个面，可以
计算出每个面的面积：(2454 − 2400) ÷ 6 = 9 平方厘米，说明小正方体的棱长是3
厘米．
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- 101 -
【备选4】一个圆柱体底面周长和高相等．如果高缩短4 厘米，表面积就减少50.24 平方厘
米．求这个圆柱体的表面积是多少？
4cm
【解析】圆柱体底面周长和高相等，说明圆柱体侧面展开是一个正方形．高缩短4 厘米，表
面积就减少50.24 平方厘米．阴影部分的面积为圆柱体表面积减少部分，值是50.24
平方厘米，所以底面周长是50.24 ÷ 4 =12.56 (厘米)，侧面积是：
12.56×12.56 = 157.7536(平方厘米)，两个底面积是：
( )2 3.14× 12.56 ÷ 3.14 ÷ 2 × 2 = 25.12 (平方厘米)．所以表面积为：
157.7536 + 25.12 = 182.8736(平方厘米)．
【备选5】(2009 年”希望杯”一试六年级)如图，圆锥形容器中装有水50 升，水面高度是
圆锥高度的一半，这个容器最多能装水升．
1
2
r
r
1
2
h
h
【解析】圆锥容器的底面积是现在装水时底面积的4 倍，圆锥容器的高是现在装水时圆锥高
的2 倍，所以容器容积是水的体积的8 倍，即50×8 = 400升．
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- 102 -
第六讲：分数百分数应用题
教学目标
1. 分析题目确定单位“1”
2. 准确找到量所对应的率，利用量÷对应率＝单位“1”解题
3. 抓住不变量，统一单位“1” BJ03-Y0355
知识点拨：
一、知识点概述
分数应用题是研究数量之间份数关系的典型应用题，一方面它是在整数应用题上的延续
和深化，另一方面，它有其自身的特点和解题规律．在解这类问题时，分析中数量之间的关
系，准确找出“量”与“率”之间的对应是解题的关键．
关键：分数应用题经常要涉及到两个或两个以上的量，我们往往把其中的一个量看作是标准
量．也称为：单位“1”，进行对比分析。在几个量中，关键也是要找准单位“1”和对应的
百分率，以及对应量三者的关系
例如：（1）a 是b 的几分之几，就把数b 看作单位“1”．
（2）甲比乙多1
8
，乙比甲少几分之几？
方法一：可设乙为单位“1”，则甲为1 1 9
8 8
+ = ，因此乙比甲少1 9 1
8 8 9
÷ = .
方法二：可设乙为8 份，则甲为9 份，因此乙比甲少1 9 1
9
÷ = .
二、怎样找准分数应用题中单位“1”
（一）、部分数和总数
在同一整体中，部分数和总数作比较关系时，部分数通常作为比较量，而总数则
作为标准量，那么总数就是单位“1”。
例如：
我国人口约占世界人口的几分之几？——世界人口是总数，我国人口是部分数，世界
人口就是单位“1”。
解答题关键：只要找准总数和部分数，确定单位“1”就很容易了。
（二）、两种数量比较
分数应用题中，两种数量相比的关键句非常多。有的是“比”字句，有的则没有
“比”字，而是带有指向性特征的“占”、“是”、“相当于”。在含有“比”字的
关键句中，比后面的那个数量通常就作为标准量，也就是单位“1”。
例如：六（2）班男生比女生多——就是以女生人数为标准（单位“1”），
解题关键：在另外一种没有比字的两种量相比的时候，我们通常找到分率，看“占”
谁的，“相当于”谁的，“是”谁的几分之几。这个“占”，“相当于”，“是”后
面的数量——谁就是单位“！”。
（三）、原数量与现数量
有的关键句中不是很明显地带有一些指向性特征的词语，也不是部分数和总数的
关系。这类分数应用题的单位“1”比较难找。需要将题目文字完善成我们熟悉的类似
带“比”的文字，然后在分析。
例如：水结成冰后体积增加了，冰融化成水后，体积减少了。
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- 103 -
完善后：水结成冰后体积增加了→ “水结成冰后体积比原来增加了” →原来的水是
单位“1”
冰融化成水后，体积减少了→ “冰融化成水后，体积比原来减少了” →原
来的冰是单位“1”
解题关键：要结合语文知识将题目简化的文字丰富后在分析
例题精讲
【例82】(小数报数学竞赛初赛)甲、乙两人星期天一起上街买东西，两人身上所带的钱
共计是86 元.在人民市场，甲买一双运动鞋花去了所带钱的4
9
，乙买一件衬衫花
去了人民币16 元．这样两人身上所剩的钱正好一样多．问甲、乙两人原先各带了
多少钱?
【解析】方法一：把甲所带的钱视为单位“1”，由题意，乙花去16 元后所剩的钱与甲所带钱的5
9
一样多，那么86 −16 元钱正好是甲所带钱的5 1
9
+ ， 那么甲原来带了
(86 16) (5 1) 45
9
− ÷ + = (元)，乙原来带了86 − 45 = 41(元)．
方法二：
86
16
4
设甲所带的钱数为9份，则甲和乙都还剩5份，所以每份是(86 −16 ÷ (9 + 5) = 5 (元)，
则甲原来带了5×9 = 45 (元)，乙原来带了5×5 +16 = 41 (元).
【巩固】一实验五年级共有学生152 人，选出男同学的1
11
和5 名女同学参加科技小组，剩
下的男、女人数正好相等。五年级男、女同学各有多少人？
【解析】根据题意画出线段图，找出量率对应：
题中所给的已知数量虽然没有直接的对应关系，但从中可以看出，如果女工去掉5
人就和男工人数的（1－ 1
11
）相对应，因此总人数也应去掉5 人，相应的与男工人
数的（1－ 1
11
＋1）相对应。因此男工有：（152－5）÷（1－ 1
11
＋1）=77（名）女
工有：152－77=75（名） 答：男共有77 名，女工有75 名。
【巩固】五年级有学生238人，选出男生的1
4
和14 名女生参加团体操，这时剩下的男生和
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女生人数一样多，问：五年级女生有多少人？
【解析】男生人数为(238 14) (1 3) 128
4
− ÷ + = (人)，女生有： 128 3 14 110
4
× + = (人)．
【例83】甲、乙两个书架共有1100本书，从甲书架借出1
3
，从乙书架借出75% 以后，甲
书架是乙书架的2 倍还多150 本，问乙书架原有多少本书？
【解析】
甲甲甲
乙乙乙乙
共1100 本
甲
乙
甲
乙150 本
还剩下~ 甲的2
3
比乙的1
2
多150 本
甲
乙
甲
乙150 本
甲
乙
甲
乙150 本
甲的4
3
比乙多300 本
同时扩大两倍
这个题目的难点就在于甲乙的数目同时发生了变化，变化之后的关系是两倍还多
150 本，也就是说：甲的2
3
比乙的1
4
的两倍还多150 本，如果能够正确地理解和转
化这个条件，这道题也就迎刃而解了，从上图中不难看出，“甲的2
3
比乙的1
4
的两
倍还多150 本”其实也就是“甲的2
3
比乙的1
2
多150 本”，如果同时扩大两倍，他
们之间的关系就变成了“甲的4
3
比乙多300 本”，结合“甲乙的和为1100 本”这个
条件，这个问题就变成了一个简单的和倍问题了。
1 1 2
3 3
− = ， 1 75% 1
4
− = ，150 × 2 = 300 （本）， 1 2 1
4 2
× = ，
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- 105 -
(1100 300) ( 2 2 1 2) 600
3 2
+ ÷ × + × = （本）…………甲的书本数目
1100 − 600 = 500（本）………………………………乙的书本数目
方法二：设甲原有x 本书， ( ) 1 1 150 2 1 75% 1100
3
x x ⎡⎛ ⎞ ⎤ ⎢⎜ − ⎟ − ⎥ ÷ ÷ − + = ⎣⎝ ⎠ ⎦
，解得
x = 600，则乙为500 本。
【例84】五年级上学期男、女生共有300人，这一学期男生增加1
25
，女生增加1
20
，共增
加了13 人．这一学年六年级男、女生各有多少人?
【解析】方法一：此题我们用假设法来解答．假设这一学期五年级男、女生人数都增加1
25
，
那么增加的人数应为300 1 12
25
× = (人)，这与实际增加的13人相差13 −12 =1 (人)．
相差1 人的原因是把女生增加的1
20
看成1
25
计算了，即少算了原女生人数的
1 1 1
20 25 100
− = ，也就是说这1人正好相当于上学期女生人数的1% ，可求出上学期
女生的人数： (13 300 1 ) ( 1 1 ) 100
25 20 25
− × ÷ − = ( 人) ， 男生人数为：
300 −100 = 200 (人)，这学年女生的人数： 100 (1 1 ) 105
20
× + = (人)，这学年男生的
人数： 200 (1 1 ) 208
25
× + = (人)．
方法二：本题可以看成男生1 份＋女生1 份＝13（人），那么男生20 份＋女生20
份=13×20＝260（人），对比分析可以看出：300—260＝40（人）对应男生的25—
20＝5（份），所以男生有40÷5×（25＋1）＝208（人），女生有300＋13—208＝
105（人）。
【巩固】把金放在水里称，其重量减轻1
19
，把银放在水里称，其重量减轻1
10
．现有一块
金银合金重770 克，放在水里称共减轻了50 克，问这块合金含金、银各多少克？
【解析】方法一：设合金含金x 克，则银有(770 − x) 克．依题意，列方程得：
1 1 (770 ) 50
19 10
x + − x = ，
解得x = 570，所以这块合金中金有570克，银有200克．
方法二：本题可以看成金1 份＋银1 份＝50（克），那么金10 份＋银10 份=50×10
＝500（克），对比分析可以看出：770—500＝270（克）对应金的19—10＝9（份），
所以金有270÷9×19＝570（人），银有770—570=200（人）。
【例85】光明小学有学生900人，其中女生的4
7
与男生的2
3
参加了课外活动小组，剩下的
340 人没有参加．这所小学有男、女生各多少人?
【解析】（用假设法）假设男生、女生都有2
3
的人参加了课外活动小组， 那么共有
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- 106 -
900 2 600
3
× = (人)，比现在多出了600 − (900 − 340) = 40 (人)，这多出的40人即为
女生的2 4
3 7
⎛ − ⎞ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
，所以女生人数为
40 2 4 420
3 7
÷ ⎛ − ⎞ = ⎜ ⎟
⎝ ⎠
(人)，男生人数为900 − 420 = 480 (人)．
【巩固】二年级两个班共有学生90人，其中少先队员有71人，又知一班少先队员占全班人
数的3
4
，二班少先队员占全班人数的5
6
，求两个班各有多少人？
【解析】本题与鸡兔同笼问题相似，根据鸡兔同笼问题的假设法，可求得一班人数为
(90 5 71) (5 3) 48
6 6 4
× − ÷ − = (人)，那么二班人数为90 − 48 = 42 (人)．
【例86】盒子里有红，黄两种玻璃球，红球为黄球个数的2
5
，如果每次取出4 个红球， 7 个
黄球，若干次后，盒子里还剩2 个红球， 50 个黄球，那么盒子里原有________
个玻璃球．
【解析】由于红球与黄球个数比为2 : 5 ，所以若每次取4 个红球，10 个黄球，则最后剩下
的红球与黄球的个数比仍为2 : 5 ，即最后剩下2 个红球，5 个黄球，而实际上是每
次取4 个红球， 7 个黄球，最后剩2 个红球， 50 个黄球，每次少取了3 个黄球，最
后多剩下45 个黄球， 所以一共取了45 ÷ 3 =15 次， 所以球的总数为
(4 + 7)×15 + 2 + 50 = 217个．
【巩固】甲乙两班的同学人数相等，各有一些同学参加课外天文小组，已知甲班参加的人
数恰好是乙班未参加人数的三分之一，乙班参加人数恰好是甲班未参加人数的四
分之一，问甲班没有参加的人数是乙班没有参加的人数的几分之几？
【解析】分别用甲参、甲未、乙参、乙未表示甲、乙班参加和未参加的人数，则：甲参+甲
未=乙参+乙未，
1 1 1 1 8
3 4 3 4 9
= = + = + 末=
参末末末末末末末
末
甲
将甲乙、乙甲代入上式，得乙甲甲乙,解得
乙
【例2】（ 2009 年第七届“希望杯”五年级一试）工厂生产一批产品，原计划15 天完成。
实际生产时改进了生产工艺，每天生产产品的数量比原计划每天生产产品数量的
5
11
多10 件，结果提前4 天完成了生产任务。则这批产品有件。
【解析】设原计划每天生产11份，则实际每天生产5 份加10 件，而根据题意这批产品共有
11×15 =165份，所以实际每天生产165 ÷ (15− 4) =15份，所以15份与5份加10件的
和相同，所以每份就是1件，所以这批产品共有165 件.或用方程来解.
【例3】有若干堆围棋子，每堆棋子数一样多，且每堆中白子都占28％．小明从某一堆中
拿走一半棋子，而且拿走的都是黑子，现在，在所有的棋子中，白子将占32％．
那么，共有棋子多少堆?
【解析】设每堆棋子为100 个有x 堆棋子，那么每堆中白子为28 个，黑子为72 个，那走一
半棋子且为黑子时，还剩白子为28x 个，黑子为（72x—50）个，所以列方程为：
28 32%
100 50
x
x
=
−
,解得x=4，所以有4 堆。
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【例4】我从飞机的舷窗向外看去，看见了部分海岛、部分白云以及不大的一块海域，假
定白云占窗口画面的一半，它遮住了岛的1
4
，因此岛在窗口画面上只占1
4
，问被
白云遮住的那部分海洋占画面的多少？
【解析】5/12.
【例5】养殖专业户王老伯养了许多鸡鸭，鸡的只数是鸭的只数的 11
4
倍．鸭比鸡少几分
之几？
【解析】方法一：把鸭看成单位“1”，那么鸡就是11
4
，鸭比鸡少： (11 1) 11 1
4 4 5
− ÷ = (此时
的单位“1”是鸡的只数)．
方法二：设鸭有4 份，则鸡有5 份，所以鸭比鸡少1 5 1
5
÷ = .
【巩固】某校男生比女生多3
7
，女生比男生少几分之几？
【解析】方法一：男生比女生多3
7
，则男生有1 3 10
7 7
+ = ，女生比男生少3 10 3
7 7 10
÷ = .
方法二：设女生有7 份，则男生有10 份，所以女生比男生少3 10 3
10
÷ = .
【例6】学校阅览室里有36 名学生在看书，其中女生占4
9
，后来又有几名女生来看书，
这时女生人数占所有看书人数的9
19
．问后来又有几名女生来看书?
【解析】把总人数视为“1”，紧抓住男生人数不变进行解答．男生人数是36 (1 4) 20
9
× − = 人，
后来阅览室的总人数是20 (1 9 ) 38
19
÷ − = (名)，后来有38 − 36 = 2 (名)女生进来．
【巩固】（2009年五中小升初入学测试题）工厂原有职工128人，男工人数占总数的1
4
，
后来又调入男职工若干人，调入后男工人数占总人数的2
5
，这时工厂共有职工
人．
【解析】在调入的前后，女职工人数保持不变．在调入前，女职工人数为128 (1 1) 96
4
× − = 人，
调入后女职工占总人数的1 2 3
5 5
− = ，所以现在工厂共有职工96 3 160
5
÷ = 人．
【巩固】有甲、乙两桶油，甲桶油的质量是乙桶的5
2
倍，从甲桶中倒出5 千克油给乙桶后，
甲桶油的质量是乙桶的4
3
倍，乙桶中原有油千克．
【解析】原来甲桶油的质量是两桶油总质量的5 5
5 2 7
=
+
，甲桶中倒出5 千克后剩下的油的
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- 108 -
质量是两桶油总质量的4 4
4 3 7
=
+
，由于总质量不变，所以两桶油的总质量为
5 (5 4) 35
7 7
÷ − = 千克，乙桶中原有油35 2 10
7
× = 千克．
【例7】（1）某工厂二月份比元月份增产10％，三月份比二月份减产10％．问三月份比
元月份增产了还是减产了？（2）一件商品先涨价15％，然后再降价15％，问现
在的价格和原价格比较升高、降低还是不变？
【解析】（1）设二月份产量是1，所以元月份产量为： 1 (1+10%)=10
11
÷ ，三月份产量为：
1−10%=0.9，因为10
11
＞0.9，所以三月份比元月份减产了
（ 2 ） 设商品的原价是1 ， 涨价后为1+15%=1.15 ， 降价15% 为：
1.15×(1−15%)=0.9775，现价和原价比较为：0.9775＜1，所以价格比较后是价
降低了。
【例8】某校三年级有学生240 人，比四年级多1
4
，比五年级少1
5
．四年级、五年级各
多少人？
【分析】比四年级,可以设四年级为4 份,（一般情况下可设“比”、“是”、等词后面的实际
量的份数为分数的分母）， 则三年级为5 份恰有240 人, 所以一每份就是
240 ÷5 = 48,所以四年级就有48×4 =192人,同理可设五年级有5份,则三年级有
4 份恰是240 人,所以五年级就有300 人.
【巩固】把100个人分成四队，一队人数是二队人数的11
3
倍，一队人数是三队人数的11
4
倍，那么四队有多少个人?
【解析】方法一：设一队的人数是“1”，那么二队人数是： 1 11 3
3 4
÷ = ，三队的人数是：
1 11 4
4 5
÷ = ， 1 3 4 51
4 5 20
+ + = ，因此，一、二、三队之和是：一队人数51
20
× ，因为
人数是整数，一队人数一定是20 的整数倍，而三个队的人数之和是51× (某一整
数)， 因为这是100 以内的数，这个整数只能是1．所以三个队共有51人，其中一、
二、三队各有20，15，16人．而四队有：100 −51 = 49 (人)．
方法二：设二队有3 份，则一队有4 份；设三队有4 份，则一队有5 份.为统一一
队所以设一队有[4,5] = 20份，则二队有15份，三队有16份，所以三个队之和为
15+16+ 20 = 51份，而四个队的份数之和必须是100的因数，因此四个队份数之
和是100份，恰是一份一人，所以四队有100 −51 = 49人(人).
【例9】新光小学有音乐、美术和体育三个特长班，音乐班人数相当于另外两个班人数的
2
5
，美术班人数相当于另外两个班人数的3
7
，体育班有58 人，音乐班和美术班
各有多少人？
【解析】条件可以化为：音乐班的人数是所有班人数的2 2
5 2 7
=
+
，美术班的学生人数是所
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- 109 -
有班人数的3 3
7 3 10
=
+
，所以体育班的人数是所有班人数的1 2 3 29
7 10 70
− − = ，所以所
有班的人数为58 29 140
70
÷ = 人， 其中音乐班有140 2 40
7
× = 人， 美术班有
140 3 42
10
× = 人.
【巩固】甲、乙、丙三人共同加工一批零件，甲比乙多加工20 个，丙加工零件数是乙加工
零件数的4
5
，甲加工零件数是乙、丙加工零件总数的5
6
，则甲、丙加工的零件数
分别为个、个．
【解析】把乙加工的零件数看作1 ， 则丙加工的零件数为4
5
， 甲加工的零件数为
(1 4) 5 3
5 6 2
+ × = ，由于甲比乙多加工20 个，所以乙加工了20 (3 1) 40
2
÷ − = 个，甲、
丙加工的零件数分别为40 3 60
2
× = 个、40 4 32
5
× = 个．
【例10】王先生、李先生、赵先生、杨先生四个人比年龄，王先生的年龄是另外三人年龄
和的1
2
，李先生的年龄是另外三人年龄和的1
3
，赵先生的年龄是其他三人年龄
和的1
4
，杨先生26 岁，你知道王先生多少岁吗?
【解析】方法一：要求王先生的年龄，必须先要求出其他三人的年龄各是多少．而题目中出
现了三个“另外三人”所包含的对象并不同，即三个单位“1”是不同的，这就是
所说的单位“1”不统一，因此，解答此题的关键便是抓不变量，统一单位“1”．
题中四个人的年龄总和是不变的，如果以四个人的年龄总和为单位“1”，则单位
“1”就统一了．那么王先生的年龄就是四人年龄和的1 1
1 2 3
=
+
，李先生的年龄就
是四人年龄和的1 1
1 3 4
=
+
，赵先生的年龄就是四人年龄和的1 1
1 4 5
=
+
(这些过程
就是所谓的转化单位“1”)．则杨先生的年龄就是四人年龄和的1 1 1 1 13
3 4 5 60
− − − = ．
由此便可求出四人的年龄和：
26 1 1 1 1 120
1 2 1 3 1 4
÷⎛ − − − ⎞ = ⎜ + + + ⎟ ⎝ ⎠
(岁)，王先生的
年龄为： 120 1 40
3
× = (岁)．
方法二：设王先生年龄是1 份,则其他三人年龄和为2 份,则四人年龄和为3 份,同理
设李先生年龄为1 份,则四人年龄和为4 份,设赵先生年龄为1 份,则四人年龄和为5
份,不管怎样四人年龄和应是相同的,但是现在四人年龄和分别是3 份、4 份、5 份，
它们的最小公倍数是60 份，所以最后可以设四人年龄和为60 份，则王先生的年龄
就变为20 份，李先生的年龄就变为15 份，赵先生的年龄就变为12 份，则杨先生的
年龄为13 份，恰好是26 岁，所以1 份是2 岁，王先生年龄是20 份所以就是40 岁.
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- 110 -
【巩固】甲、乙、丙、丁四个筑路队共筑1200 米长的一段公路，甲队筑的路是其他三个队
的
1
2
，乙队筑的路是其他三个队的
1
3
，丙队筑的路是其他三个队的
1
4
，丁队筑了
多少米？
【解析】甲队筑的路是其他三个队的1
2
，所以甲队筑的路占总公路长的1 = 1
1+2 3
；
乙队筑的路是其他三个队的1
3
，所以乙队筑的路占总公路长的1 = 1
1+3 4
；
丙队筑的路是其他三个队的1
4
，所以丙队筑的路占总公路长的1 = 1
1+4 5
，
所以丁筑路为： 1200 1 1 1 1 =260
3 4 5
×⎛ − − − ⎞ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
（米）
【例11】(迎春杯决赛)小刚给王奶奶运蜂窝煤，第一次运了全部的3
8
，第二次运了50 块，
这时已运来的恰好是没运来的5
7
．问还有多少块蜂窝煤没有运来？
【解析】方法一:运完第一次后，还剩下5
8
没运，再运来50 块后，已运来的恰好是没运来的
5
7
，也就是说没运来的占全部的7
12
，所以，第二次运来的50 块占全部的：
5 7 1
8 12 24
− = ， 全部蜂窝煤有： 50 1 1200
24
÷ = ( 块) ， 没运来的有：
1200 7 700
12
× = (块)．
方法二：根据题意可以设全部为8 份，因为已运来的恰好是没运来的5
7
，所以可以
设全部为12份，为了统一全部的蜂窝煤，所以设全部的蜂窝煤共有[8,12] = 24份，
则已运来应是24 5 10
7 5
× =
+
份，没运来的24 7 14
7 5
× =
+
份，第一次运来9份，
所以第二次运来是10 −9 =1份恰好是50块，因此没运来的蜂窝煤有50×14 = 700
（块）.
【巩固】五(一)班原计划抽1
5
的人参加大扫除，临时又有2 个同学主动参加，实际参加扫
除的人数是其余人数的1
3
．原计划抽多少个同学参加大扫除？
【解析】又有2 个同学参加扫除后，实际参加扫除的人数与其余人数的比是1: 3 ，实际参加
人数比原计划多1 1 1
1 3 5 20
− =
+
． 即全班共有2 1 40
20
÷ = ( 人) ． 原计划抽
40 1 8
5
× = (人)参加大扫除．
【巩固】某校学生参加大扫除的人数是未参加大扫除人数的1
4
，后来又有20 名同学参加
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- 111 -
大扫除，实际参加的人数是未参加人数的1
3
，这个学校有多少人？
【解析】20 1 1 400
3 1 4 1
÷⎛ − ⎞ = ⎜ + + ⎟ ⎝ ⎠
（人）.
【例12】小莉和小刚分别有一些玻璃球，如果小莉给小刚24 个，则小莉的玻璃球比小刚
少
7
3 ；如果小刚给小莉24 个，则小刚的玻璃球比小莉少
8
5 ，小莉和小刚原来共
有玻璃球多少个？
【解析】小莉给小刚24 个时，小莉是小刚的
7
4 (=1 一
7
3 )，即两人球数和的
11
4 ；小刚给小
莉24 个时，小莉是两人球数和的
11
8 (=
8 8 5
8
+ −
)，因此24+24 是两人球数和的
11
8 -
11
4 =
11
4 ．从而，和是(24+24) ÷
11
4 =132(个)．
【巩固】某班一次集会，请假人数是出席人数的
9
1 ，中途又有一人请假离开，这样一来，
请假人数是出席人数的
22
3 ，那么，这个班共有多少人？
【解析】因为总人数未变，以总人数作为”1”．原来请假人数占总人数的1
1+ 9
，现在请假
人数占总人数的3
3+ 22
，这个班共有：l÷( 3
3+ 22
- 1
1+ 9
)=50(人)．
【例13】小明是从昨天开始看这本书的，昨天读完以后，小明已经读完的页数是还没读的
页数1
9
，他今天比昨天多读了14 页，这时已经读完的页数是还没读的页数的1
3
，
问题是，这本书共有多少页？”
【解析】首先，可以直接运算得出，第一天小明读了全书的
1
9 1
1 1 10
9
=
+
，而前二天小明一共
读了全书的
1
3 1
1 1 4
3
=
+
， 所以第二天比第一天多读的14 页对应全书的
1 1 2 1
4 10 20
− × = 。所以整本书一共有14 1 280
20
÷ = （页）。此外，如果对分数的
掌握还不是很熟练的话，那么这道题可以采用设份数的方法：把这本书看作20 份，
那么昨天他看了2 份，而今天他看了2 份还多14 页，两天一共看了4 份还多14 页，
或者可以表示成20 ÷(1+ 3) = 5（份）。那么每份是14 ÷(5− 4) =14（页），这本
书共14×20 = 280（页）。两种方法都可以得到相同的结果。
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- 112 -
【例14】某校有学生465人，其中女生的2
3
比男生的4
5
少20 人，那么男生比女生少多少
人?
【解析】方法一：女生的2
3
比男生的4
5
少20 人， 4 2 6
5 3 5
÷ = ， 20 2 30
3
÷ = ，所以女生比男
生的6
5
少30 人． 男生人数是(465 30) (1 6) 225
5
+ ÷ + = ( 人) ， 女生人数是
225 6 30 240
5
× − = （人），男生比女生少240 − 225 =15（人）。
方法二：
20
通过画图比较女生的1份加10 人恰好等于男生的两份，因此给每份女生加10 后，
男女生总份数就变为3×2+ 5 =11份，因此每份有(465 +10×3) ÷11 = 45人，男
生有45×5 = 225 女生人数是465− 225 = 240 ( 人) ， 男生比女生少
240− 225 =15 (人)．
【例15】某校四年级原有两个班，现在要重新编为三个班，将原一班的1
3
与原二班的1
4
组
成新一班，将原一班的1
4
与原二班的1
3
组成新二班，余下的30 人组成新三班．
如果新一班的人数比新二班的人数多1
10
，那么原一班有多少人？
【解析】新三班人数占原来两班人数之和的1 1 1 5
3 4 12
− − = ，所以，原来两班总人数为：
30 5 72
12
÷ = (人)，新一班与新二班人数之和为：72 − 30 = 42 (人)，新二班人数是：
42 (1 1 1) 20
10
÷ + + = (人)，新一班人数为：42 − 20 = 22 (人)，新一班与新二班人数
之差为22 − 20 = 2 ，而新一班与新二班人数之差为(原一班人数− 原二班人
数) (1 1)
3 4
× − ，故：原一班人数− 原二班人数2 (1 1) 24
3 4
= ÷ − = (人)，原一班人数
= (72 + 24) ÷ 2 = 48 (人)．
【巩固】某工厂对一、二两个车间的职工进行重组，将原来的一车间人数的1
2
和二车间人
数的1
3
分到一车间，将原来的一车间人数的1
3
和二车间人数的1
2
分到二车间，两
个车间剩余的140 人组成劳动服务公司，现在二车间人数比一车间人数多1
17
，现
在一车间有人，二车间有人．
【解析】由“将一车间人数的1
2
和二车间人数的1
3
分到一车间，将一车间人数的1
3
和二车间
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- 113 -
人数的1
2
分到二车间”可知，现在一、二两车间的人数之和为总人数的1 1 5
2 3 6
+ = ，
所以劳动服务公司的140人占总人数的1 5 1
6 6
− = ，那么总人数为： 140 1 840
6
÷ = 人，
现在一、二两车间的人数之和为840 5 700
6
× = 人．由于现在二车间人数比一车间人
数多1
17
，所以现在一车间人数为700 (1 1 1 ) 340
17
÷ + + = 人，现在二车间人数为
700 − 340 = 360人．提示：可以继续求出原来一车间和二车间的人数．由于现在二
车间比一车间多20 人，所以原来二车间人数的1 1 1
2 3 6
− = 比一车间人数的1
6
多20
人， 那么原来二车间人数比乙车间人数多20 1 120
6
÷ = 人， 原来一车间有
(840 −120) ÷ 2 = 360人，原来二车间有360 +120 = 480人．
【例16】2008年第十三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛(小学组)决赛林林倒满一杯纯
牛奶，第一次喝了1
3
，然后加入豆浆，将杯子斟满并搅拌均匀，第二次林林又喝
了1
3
，继续用豆浆将杯子斟满并搅拌均匀，重复上述过程，那么第四次后，林林
共喝了一杯纯牛奶总量的(用分数表示)。
【解析】大家要先分析清楚的是不论是否加入豆浆，每次喝到的都是杯子里剩下牛奶的1
3
，
要是能想清楚这一点那么这道题就变了一道找规律的问题了。
喝掉的牛奶剩下的牛奶
第一次
1
3
1 1 2
3 3
− =
第二次
2 1 2
3 3 9
× =
（喝掉剩下4
9
的1
3
）
2 2 4
3 3 9
× =
（剩下是第一次剩下2
3
的2
3
）
第三次
4 1 4
9 3 27
× =
（喝掉剩下4
9
的1
3
）
4 2 8
9 3 27
× =
（剩下是第一次剩下4
9
的2
3
）
第四次
8 1 8
27 3 81
× = （喝掉剩下8
27
的1
3
）
所以最后喝掉的牛奶为1 2 4 8 65
3 9 27 81 81
+ + + =
【例17】参加迎春杯数学竞赛的人数共有2000 多人.其中光明区占
3
1 ，中心区占
7
2 ，朝阳
区占
5
1 ，剩余的全是远郊区的学生.比赛结果，光明区有去的学生得奖，中心区
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- 114 -
有
16
1 的学生得奖，朝阳区有
18
1 的学生得奖，全部获奖者的号
7
1 远郊区的学生．
那么参赛学生有多少名?获奖学生有多少名?
【解析】如下表所示，我们将题中所给的条件列在表格内：
有远郊区参赛的占参赛总数的1- 1 2 1 19
3 7 5 105
− − = 而光明区、中心区、朝阳区获奖
学生数占参赛总数的1 1 1
3 24 72
× = ， 2 1 1
7 16 56
× = ， 1 1 1
5 18 90
× = .所以有参赛学生
数是3、7、5、72、56、90 的倍数，即为2520 的倍数，而参赛学生总数只有2000
多人,所以只能是2520．光明区、中心区、朝阳区获奖学生共35+45+28=108 人，
占获奖总数的1 1 6
7 7
− = ，所以获奖学生总数为108÷ 6
7
=126.即参赛学生有2520
名，获奖学生有126 名．
【例18】一炉铁水凝成铁块，其体积缩小了1
34
，那么这个铁块又熔化成铁水（不计损耗），
其中体积增加了几分之几?
【解析】方法一：设铁水的体积为1，则铁块为1 1 33
34 34
− = ．现在变回来，那么铁块的体
积就要变为单位1 ， 则铁水的体积就为1 33 34
34 33
÷ = ， 故体积增加了：
(34 1) 1 1
33 33
− ÷ = .
方法二： 体积缩小是铁块比铁水缩小,所以可以设铁水为34 份,则铁块为33 份,铁
块又熔化成铁水,体积增加是比铁块增加,所以用差的1 份除以铁块的33 份就是答案
1
33
.
【巩固】水结成冰后体积增大它的1
10
. 问：冰化成水后体积减少它的几分之几？
【解析】设水的体积是10 份，则结成冰后体积为11份，冰化成水后比冰减少1 11 1
11
÷ = .
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- 115 -
【例19】(2008 年清华附中考题)在下降的电梯中称重，显示的重量比实际体重减少1
7
；在
上升的电梯中称重，显示的重量比实际体重增加1
6
．小明在下降的电梯中与小刚
在上升的电梯中称得的体重相同，小明和小刚实际体重的比是．
【解析】小明在下降的电梯中称得的体重为其实际体重的6
7
，小刚在上升的电梯中称得的
体重为其实际体重的7
6
，而小明在下降的电梯中与小刚在上升的电梯中称得的体
重相同，所以小明和小刚实际体重的比是： 1 6 : 1 7 49 : 36
7 6
⎛ ÷ ⎞ ⎛ ÷ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
．
【例20】某工厂二月份比元月份增产1
10
，三月份比二月份减产1
10
．问三月份比元月份增
产了还是减产了？
【解析】工厂二月份比元月份增产1
10
， 将元月份产量看作1 ， 则二月份产量为：
1 (1 1 ) 11
10 10
× + = ， 三月比二月减产1
10
， 则三月份产量为：
11 (1 1 ) 99 1
10 10 100
× − = < ，所以三月份比元月份减产了．
【巩固】一件商品先涨价1
5
，然后再降价1
5
，问现在的价格和原价格比较升高、降低还是
不变？
【解析】1 (1 1) (1 1) 0.96 1
5 5
× + × − = < ，所以现在的价格比原价降低了.
【例21】如图⑴，线段MN 将长方形纸分成面积相等的两部分．沿MN 将这张长方形纸
对折后得到图⑵，将图⑵沿对称轴对折，得到图⑶，已知图⑶所覆盖的面积占长
方形纸面积的3
10
，阴影部分面积为6 平方厘米．长方形的面积是多少？
(3)
M
N
N
M
(2)
(1)
【解析】如图⑶所示，阴影部分是2 层，空白部分是4 层，如果将阴影部分缩小一半，即变
为3 平方厘米，那么阴影部分也变成4 层，此时覆盖面的面积占长方形纸片面积的
1
4
，即缩小的3 平方厘米相当于长方形纸片面积的( 3 1)
10 4
− ，所以长方形纸片面
积为3 ( 3 1) 60
10 4
÷ − = (平方厘米).
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- 116 -
课后练习
a) 某小学六年级有三个班，一班和二班人数相等，三班的人数是全年级总人数的7
20
，并
且比一班多3人，六年级共有多少人？
【解析】根据条件“三班的人数占全年级的7
20
，并且比二班多3 人”可知一班、二班都比
全年级的7
20
少3 人，假设一班、二班都占全年级的7
20
，那么将比实际人数多出
3×2=6 人，比单位“1”多出（ 7
20
＋ 7
20
＋ 7
20
－1），两个数量正好对应。因此全
年级的人数为：3×2÷（ 7
20
＋ 7
20
＋ 7
20
－1）=120（人）六年级共有120 人。
b) 有三堆棋子，每堆棋子数一样多，并且都只有黑、白两色棋子．第一堆里的黑子和第
二堆里的白子一样多，第三堆里的黑子占全部黑子的2
5
，把这三堆棋子集中在一
起，问白子占全部棋子的几分之几?
【解析】不妨认为第二堆全是黑子，第一堆全是白子，(即将第一堆黑子与第二堆白子互换)，
第二堆黑子是全部棋子的
3
1 ，同时，又是黑子的1-
5
2 ．所以黑子占全部棋子的
3
1
÷(1-
5
2 )= 5
9
，白子占全部棋子的1- 5
9
= 4
9
.
c) 有红、黄、白三种球共160 个。如果取出红球的1/3，黄球的1/4，白球的1/5，则还
剩120 个；如果取出红球的1/5，黄球的1/4，白球的1/3，则剰116 个，问：（1）
原有黄球几个？ （2）原有红球、白球各有几个？
【解析】（1）两次共取出球160×2-（120＋116）＝84（个），共取出红、白球的1 1 8
3 5 15
+ = ，
黄球的1 1 1
4 4 2
+ = 。推知原有黄球(160 8 84) ( 8 1) 40( )
15 15 2
× − ÷ − = 个
160 40
1 1 40 1 160 120
3 4 5
+ = − ⎧⎪⎨
+ × + = − ⎪⎩
红白
（2）
红白
120
1 1 30
3 5
+ = ⎧⎪⎨
+ = ⎪⎩
红白
整理得
红白，解得红=45，白=75
d) 有一块菜地和一块稻田，菜地的一半和稻田的三分之一放在一起是13 公顷，稻田的一
半和菜地的三分之一合在一起是12 公顷。那么这块稻田有多少公顷？
【解析】( + ) 1 + 1 =13+12
2 3
×⎛ ⎞ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
菜地稻田， 整理得到菜地+稻田=30 ，
1 ( + )=15
2
菜地稻田，而题目中1 + 1 =13
2 3
菜地稻田，两者对比分析得到，稻田
为(15 13) 1 1 12
2 3
− ÷⎛ − ⎞ = ⎜ ⎟
⎝ ⎠
(公顷)
中小学课外辅导领军品牌
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e) 学校派出60 名选手参加2008 年“华罗庚金杯小学数学邀请赛”，其中女选手占1
4
．正
式比赛时有几名女选手因故缺席，这样就使女选手人数变为参赛选手总数的2
11
．
正式参赛的女选手有多少名？
【解析】因为女选手人数有变化，男选手人数未变，所以抓住男选手人数不变求解．把总人
数视为“1”， 男选手人数是60×(1- 1
4
)=45(人)，男选手人数占正式参赛选手总
数的1- 2
11
，所以正式参赛选手总数是：45÷(1- 2
11
)=55(人)，正式参赛的女选手
人数是55× 2
11
=10(人)。
f) 四只小猴吃桃，第一只小猴吃的是另外三只的总数的1
3
，第二只小猴吃的是另外三只
吃的总数的1
4
，第三只小猴吃的是另外三只的总数的1
5
，第四只小猴将剩下的46
个桃全吃了.问四只小猴共吃了多少个桃？
【解析】根据题意知前三只小猴分别吃了总数的1
4
， 1
5
， 1
6
，
所以四只小猴共吃了46 (1 1 1 1) 120
4 5 6
÷ − − − = （个）
月测备选
【备选1】五年级选出男生的1
11
和12 名女生参加数学竞赛，剩下的男生人数是女生的2 倍．
已知五年级共有
学生156 人，其中男生有多少人?
【解析】方法一：把男生人数视为单位“ 1 ”，未参加比赛的女生是： (1 1 ) 2 5
11 11
− ÷ = ，
156 −12 = 144 (人)是男生和剩下的女生人数，所以男生有144 (1 5 ) 99
11
÷ + = (人).
方法二：设五年级男生有11份，所以每份是(156 −12) ÷[(11+ (11−1) ÷2] = 9 (人)，所
以男生有9×11= 99 (人).
【备选2】甲、乙两个书架，已知甲书架有600 本书，从甲书架借出1
3
，从乙书架借出75%
以后，甲书架是
乙书架的2 倍还多150 本，乙书架原有多少本书？
【解析】甲原有600 本书，借出去1
3
之后还有600 (1 1) 400
3
× − = 本，这个时候是乙现在的两
倍还多150，因此现在乙剩下的书为(400 −150) ÷ 2 =125本，而这125本正好是乙
中小学课外辅导领军品牌
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借出去75% 以后剩下的，因此乙原来的书本数目便很容易求出了。根据题意可知，
乙书架原有(600 600 1 150) 2 (1 75%) 500
3
− × − ÷ ÷ − = 本书．
【备选3】甲、乙两班共有学生100 人，甲班的3
4
比乙班的5
6
少1 人，乙班有学生人．
【解析】根据题意可知，甲班人数比乙班人数的5 4 10
6 3 9
× = 少4
3
人，那么甲、乙两班人数之
和比乙班人数的(1 10)
9
+ 少4
3
人，故乙班人数为(100 4) (1 10) 48
3 9
+ ÷ + = 人．
【备选4】一堆围棋子，黑子的个数是白子的3 倍，每次拿5 枚黑子，2 枚白子，拿了若干
次后，白子拿完，
还剩11 枚黑子．这堆棋子中，共有白子个．
【解析】由于原来黑子的个数是白子的3 倍，假如拿的时候每次拿6 枚黑子和2 枚白子，则
当白子拿完的时候黑子也恰好拿完，而现在每次拿5 枚黑子，比每次拿6 枚少拿1
枚，最后还剩下11枚黑子，所以共拿了11次，这堆棋子中共有白子2×11= 22枚．
【备选5】某公司有1
5
的职员参加新产品的开发工作，后来又有2 名职工主动参加，这样参
加新产品开发的职
工人数是其余人数的1
3
，原来有多少职工参加开发工作？
【解析】后来参加新产品开发的职工人数是总人数的1 1
1 3 4
=
+
，所以新加入的2 个人占总人
数的1 1 1
4 5 20
− = ，那么职工总人数为2 1 40
20
÷ = 人，原来参加开发的职工数是
40 1 8
5
× = 人．
【备选6】兄弟四人去买电视,老大带的钱是另外三人的一半,老二带的钱是另外三人的1/3,
老三带
的钱是另外三人总钱数的1/4，老四带91 元，兄弟四人一共带了多少钱？
【解析】老大带的钱是另外三人的一半，也就说老大带的钱是一共带钱的1/3，同理老二带
的钱是一共带钱的1/4，老三带的钱是一共带钱的1/5，所以老四带的钱是一共带
钱的：1-1/3-1/4-1/5=13/60
四人一共带的钱：91 除以13/60=420（元）__