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高考物理考前知识 专题3 力与物体的曲线运动
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这是一份高考物理考前知识 专题3 力与物体的曲线运动，共19页。试卷主要包含了物体做曲线运动的条件，分析运动合成与分解的一般思路等内容，欢迎下载使用。
考题一 运动的合成与分解
1.物体做曲线运动的条件
当物体所受合外力的方向跟它的速度方向不共线时，物体做曲线运动.合运动与分运动具有等时性、独立性和等效性.
2.分析运动合成与分解的一般思路
eq \x(明确合运动及其运动性质)
⇓
eq \x(根据效果分解或正交分解)
⇓
eq \x(确定分运动的方向及运动性质)
⇓
eq \x(由平行四边形定则确定数量关系)
⇓
eq \x(写出表达式进行数学分析)
例1 质量为2 kg的质点在x－y平面上运动，x方向的速度—时间图象和y方向的位移—时间图象分别如图1甲、乙所示，则质点( )
图1
A.初速度为4 m/s
B.所受合外力为4 N
C.做匀变速直线运动
D.初速度的方向与合外力的方向垂直
解析 x轴方向初速度为vx＝4 m/s，y轴方向初速度vy＝3 m/s，质点的初速度v0＝eq \r(v\\al( 2,x)＋v\\al( 2,y))＝5 m/s.故A错误.x轴方向的加速度a＝2 m/s2，质点的合力F合＝ma＝4 N.故B正确.x轴方向的合力恒定不变，y轴做匀速直线运动，合力为零，则质点受到的合力恒定不变.合力沿x轴方向，而初速度方向既不在x轴方向，也不在y轴方向，质点初速度的方向与合外力方向不垂直，做匀变速曲线运动.故C、D错误.
答案 B
变式训练
1.(2016·全国乙卷·18)一质点做匀速直线运动，现对其施加一恒力，且原来作用在质点上的力不发生改变，则( )
A.质点速度的方向总是与该恒力的方向相同
B.质点速度的方向不可能总是与该恒力的方向垂直
C.质点加速度的方向总是与该恒力的方向相同
D.质点单位时间内速率的变化量总是不变
答案 BC
解析 质点一开始做匀速直线运动，处于平衡状态，施加恒力后，则该质点所受的合外力为该恒力.①若该恒力方向与质点原运动方向不共线，则质点做曲线运动，质点速度方向与恒力方向不同，故A错；②若F的方向某一时刻与质点运动方向垂直，之后质点做曲线运动，力与速度方向不再垂直，例如平抛运动，故B正确；③由牛顿第二定律可知，质点加速度的方向总是与其所受合外力方向相同，C正确；④根据加速度的定义，相等时间内速度变化量相同，而速率变化量不一定相同，故D错.
2.如图2所示，甲乙两船在同一条河流中同时开始渡河，M、N分别是甲乙两船的出发点，两船头与河岸均成α角，甲船船头恰好对准N点的正对岸P点，经过一段时间乙船恰好到达P点，如果划船速度大小相等，且两船相遇，不影响各自的航行，下列判断正确的是( )
图2
A.甲船也能到达正对岸
B.甲船渡河时间一定短
C.两船相遇在NP直线上的某点(非P点)
D.渡河过程中两船不会相遇
答案 C
解析 甲船航行方向与河岸成α角，水流速度水平向右，故合速度一定不会垂直河岸，即甲船不能垂直到达对岸，A错误；在垂直河岸方向上v甲＝vsin α，v乙＝vsin α，故渡河时间t甲＝eq \f(d,v甲)＝eq \f(d,vsin α)、t乙＝eq \f(d,v乙)＝eq \f(d,vsin α)，所以渡河时间相等，因为在垂直河岸方向上分速度相等，又是同时出发的，故两船相遇在NP直线上的某点(非P点)，B、D错误，C正确.
考题二 平抛(类平抛)运动的规律
1.求解平抛运动的基本思路和方法——运动的分解
将平抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动——“化曲为直”，是处理平抛运动的基本思路和方法.
2.求解平抛(类平抛)运动的注意点
(1)突出落点问题时，一般建立坐标系，由两个方向遵循的规律列出位移方程，由此确定其落点.
(2)突出末速度的大小和方向问题时，一般要建立水平分速度和竖直分速度之间的关系，由此确定其末速度.
(3)如图3所示，分解某一过程的位移和某一位置瞬时速度，则可以获得两个直角三角形，一般该类运动问题都可以在这两个直角三角形中解决.
图3
例2 如图4所示，将甲、乙两球从虚线PQ右侧某位置分别以速度v1、v2沿水平方向抛出，其部分轨迹如图1、2所示，两球落在斜面上同一点，且速度方向相同，不计空气阻力，下列说法正确的是( )
图4
A.甲、乙两球抛出点在同一竖直线上
B.甲、乙两球抛出点在斜面上
C.甲球抛出点更靠近PQ线
D.一定有v1>v2
解析 二者落在斜面上时速度的方向相同，所以速度的方向与水平方向之间的夹角θ是相等的，tan θ＝eq \f(vy,v0)
根据：vy＝gt
x＝v0t
y＝eq \f(1,2)gt2
位移偏转角为α，联立可得：tan α＝eq \f(y,x)＝eq \f(1,2)tan θ
可知二者的位移偏转角也相等，所以两个小球的抛出点与落点的连线在同一直线上，故结合题目的图象可知1的抛出点高于2的抛出点，故A错误；结合A的分析可知，两个小球的抛出点与落点的连线在同一直线上，两个小球的抛出点可能在斜面上，也可能不在斜面上，故B错误；两个小球的抛出点与落点的连线在同一直线上，而题目的图中1在上，所以甲的抛出点离PQ要远一些，故C错误；由于甲的抛出点高一些，因此甲运动的时间长些，故竖直方向的速度v＝gt大些，而根据落点的速度方向相同，因此速度v1要大一些，故D正确.
答案 D
变式训练
3.如图5所示，在水平地面上A、B两点同时迎面抛出两个物体，初速度分别为v1、v2，与水平方向所成角α1＝30°、α2＝60°，两物体恰好落到对方抛出点.两物体在空中运动的时间分别为t1、t2，不计空气阻力.则( )
图5
A.v1＝v2
B.t1＝t2
C.两物体在空中可能相遇
D.两物体位于同一竖直线时，一定在AB中点的右侧
答案 AD
解析 在水平方向上做匀速直线运动，故有v1cs 30°t1＝v2cs 60°t2，在竖直方向上做竖直上抛运动，所以t1＝eq \f(2v1sin 30°,g)，t2＝eq \f(2v2sin 60°,g)，联立可得v1＝v2，t1确，B错误；在竖直方向上的速度一个大，一个小，又是同时抛出，所以两者不可能同时到达同一高度，即两者不可能相遇，C错误；两者位于同一竖直线时，由于运动时间相同，而A球的水平初速度较大，所以A球走过的水平位移大于B球的，所以一定在AB中点的右侧，D正确.
4.横截面为直角三角形的两个相同斜面紧靠在一起，固定在水平面上，如图6所示.它们的竖直边长都是底边长的一半，现有三个小球从左边斜面的顶点以不同的初速度向右平抛，最后落在斜面上，其落点分别是a、b、c.若不计空气阻力，则下列判断正确的是( )
图6
A.三小球比较，落在c点的小球飞行过程速度变化最大
B.三小球比较，落在c点的小球飞行过程速度变化最快
C.三小球比较，落在a点的小球飞行时间最短
D.无论小球抛出时初速度多大，落在斜面上的瞬时速度都不可能与斜面垂直
答案 D
解析 根据h＝eq \f(1,2)gt2得t＝eq \r(\f(2h,g))知平抛运动的时间由高度决定，落在a点的小球下落的高度最大，则飞行时间最长，由速度变化量Δv＝gt，可知落在a点的小球飞行过程速度变化最大，故A、C错误.三个小球均做平抛运动，加速度都是g，则速度变化快慢一样，故B错误.小球打到两斜面交点时，速度方向与水平方向夹角为45°，与斜面夹角小于90°，打到右侧斜面的其他位置处，夹角更小，故D正确.
考题三 圆周运动问题的分析
1.圆周运动的描述
v＝eq \f(Δs,Δt) ω＝eq \f(Δθ,Δt)
ω＝eq \f(2π,T)
v＝ω·R＝eq \f(2π,T)·R
an＝eq \f(v2,R)＝ω2·R＝eq \f(4π2,T2)·R.
2.水平面内圆周运动的临界问题
(1)水平面内做圆周运动的物体其向心力可能由弹力、摩擦力等力提供，常涉及绳的张紧与松弛、接触面分离等临界状态.
(2)常见临界条件：绳的临界：张力FT＝0；接触面滑动的临界：F＝Ff；接触面分离的临界：FN＝0.
3.竖直平面内圆周运动的绳、杆模型
例3 如图7所示，质量为m的小球置于内部光滑的正方体盒子中，盒子的边长略大于球的直径.盒子在竖直平面内做半径为R、周期为2πeq \r(\f(R,g))的匀速圆周运动，重力加速度大小为g，则( )
图7
A.盒子运动到最高点时，小球对盒子底部压力为mg
B.盒子运动到最低点时，小球对盒子底部压力为2mg
C.盒子运动到最低点时，小球对盒子底部压力为6mg
D.盒子从最低点向最高点运动的过程中，球处于超重状态
解析 设盒子运动到最高点时，小球受到盒子顶部的压力，则：F＋mg＝mR(eq \f(2π,T))2，解得：F＝0
根据牛顿第三定律，盒子运动到最高点时，小球对盒子底部压力为0.故A错误；盒子运动到最低点时，小球受到盒子底部支持力与重力的合力提供向心力，则：FN－mg＝mR(eq \f(2π,T))2，解得：FN＝2mg根据牛顿第三定律，盒子运动到最低点时，小球对盒子底部压力为2mg .故B正确，C错误；由A项的分析可知，在最高点小球只受到重力的作用，所以盒子从最低点向最高点运动的过程中，球接近最高点时处于失重状态.故D错误.
答案 B
变式训练
5.如图8所示，在匀速转动的水平盘上，沿半径方向放着用细线相连的质量相等的两个物体A和B，它们分居圆心两侧，与圆心距离分别为RA＝r，RB＝2r，与盘间的动摩擦因数μ相同，当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是( )
图8
A.此时绳子张力为FT＝3μmg
B.此时圆盘的角速度为ω＝ eq \r(\f(2μg,r))
C.此时A所受摩擦力方向沿半径指向圆外
D.此时烧断绳子，A仍相对盘静止，B将做离心运动
答案 ABC
解析 两物块A和B随着圆盘转动时，合外力提供向心力，则F＝mω2r，B的半径比A的半径大，所以B所需向心力大，绳子拉力相等，所以当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，B的静摩擦力方向指向圆心，A的最大静摩擦力方向指向圆外，根据牛顿第二定律得：FT－μmg＝mω2r，FT＋μmg＝mω2·2r，解得：FT＝3μmg，ω＝eq \r(\f(2μg,r))，故A、B、C正确；此时烧断绳子，A的最大静摩擦力不足以提供所需向心力，则A做离心运动，故D错误.
6.(2016·浙江理综·20)如图9所示为赛车场的一个水平“梨形”赛道，两个弯道分别为半径R＝90 m的大圆弧和r＝40 m的小圆弧，直道与弯道相切.大、小圆弧圆心O、O′距离L＝100 m.赛车沿弯道路线行驶时，路面对轮胎的最大径向静摩擦力是赛车重力的2.25倍，假设赛车在直道上做匀变速直线运动，在弯道上做匀速圆周运动，要使赛车不打滑，绕赛道一圈时间最短(发动机功率足够大，重力加速度g＝10 m/s2，π＝3.14)，则赛车( )
图9
A.在绕过小圆弧弯道后加速
B.在大圆弧弯道上的速率为45 m/s
C.在直道上的加速度大小为5.63 m/s2
D.通过小圆弧弯道的时间为5.58 s
答案 AB
解析 在弯道上做匀速圆周运动时，根据径向静摩擦力提供向心力得，kmg＝meq \f(v\\al( 2,m),r)，当弯道半径一定时，在弯道上的最大速率是一定的，且在大弯道上的最大速率大于小弯道上的最大速率，故要想时间最短，可在绕过小圆弧弯道后加速，选项A正确；在大圆弧弯道上的速率为vmR＝eq \r(kgR)＝eq \r(2.25×10×90) m/s＝45 m/s，选项B正确；直道的长度为x＝eq \r(L2－R－r2)＝50eq \r(3) m，在小弯道上的最大速率为：vmr＝eq \r(kgr)＝eq \r(2.25×10×40) m/s＝30 m/s，在直道上的加速度大小为a＝eq \f(v\\al( 2,mR)－v\\al( 2,mr),2x)＝eq \f(452－302,2×50\r(3)) m/s2≈6.50 m/s2，选项C错误；由几何关系可知，小圆弧轨道的长度为eq \f(2πr,3)，通过小圆弧弯道的时间为t＝eq \f(\f(2πr,3),vmr)＝eq \f(2×3.14×40,3×30) s≈2.80 s，选项D错误.
考题四 抛体运动与圆周运动的综合
解决抛体与圆周运动的综合问题应注意：
(1)平抛运动与圆周运动的关联速度.
(2)圆周运动中向心力与运动学公式的关联.
(3)动能定理的灵活运用.
例4 (12分)如图10所示，BC为半径等于eq \f(2,5)eq \r(2) m竖直放置的光滑细圆管，O为细圆管的圆心，在圆管的末端C连接倾斜角为45°、动摩擦因数μ＝0.6的足够长粗糙斜面，一质量为m＝0.5 kg的小球从O点正上方某处A点以v0水平抛出，恰好能垂直OB从B点进入细圆管，小球从进入圆管开始受到始终竖直向上的力F＝5 N的作用，当小球运动到圆管的末端C时作用力F立即消失，小球能平滑地冲上粗糙斜面.(g＝10 m/s2)求：
图10
(1)小球从O点的正上方某处A点水平抛出的初速度v0为多少？OA的距离为多少？
(2)小球在圆管中运动时对圆管的压力是多少？
(3)小球在CD斜面上运动的最大位移是多少？
[思维规范流程]
⑨式2分，其余各式1分.
变式训练
7.如图11所示，质量为1 kg物块自高台上A点以4 m/s的速度水平抛出后，刚好在B点沿切线方向进入半径为0.5 m的光滑圆弧轨道运动.到达圆弧轨道最底端C点后沿粗糙的水平面运动4.3 m到达D点停下来，已知OB与水平面的夹角θ＝53°，g＝10 m/s2(sin 53°＝0.8，cs 53°＝0.6).求：
图11
(1)A、B两点的高度差；
(2)物块到达C点时，物块对轨道的压力；
(3)物块与水平面间的动摩擦因数.
答案 (1)0.45 m (2)96 N (3)0.5
解析 (1)小物块恰好从B端沿切线方向进入轨道，据几何关系有：
vB＝eq \f(v0,sin θ)＝eq \f(4,0.8)＝5 m/s.
A到B的过程中机械能守恒，得：
mgh＋eq \f(1,2)mveq \\al( 2,0)＝eq \f(1,2)mveq \\al( 2,B)
联立得：h＝0.45 m
(2)小物块由B运动到C，据动能定理有：
mgR(1＋sin θ)＝eq \f(1,2)mveq \\al( 2,C)－eq \f(1,2)mveq \\al( 2,B)
在C点处，据牛顿第二定律有
FN′－mg＝meq \f(v\\al( 2,C),R)
解得FN′＝96 N
根据牛顿第三定律，小物块经过圆弧轨道上C点时对轨道的压力FN的大小为96 N.
(3)小物块从C运动到D，据功能关系有：
－μmgL＝0－eq \f(1,2)mveq \\al( 2,C)
联立得：μ＝0.5
专题规范练
1.2015年9月23日，在江苏省苏州市进行的全国田径锦标赛上高兴龙获得男子跳远冠军，在一次试跳中，他(可看做质点)水平距离达8 m，高达1 m.设他离开地面时的速度方向与水平面的夹角为θ，若不计空气阻力，g＝10 m/s2，则tan θ等于( )
A.eq \f(1,8) B.eq \f(1,4) C.eq \f(1,2) D.1
答案 C
解析 设水平速度为vx，竖直速度为vy.由运动的合成与分解知：
eq \f(v\\al( 2,y),2g)＝y，eq \f(vy,g)＝t，x＝vx·2t，由以上各式得：tan θ＝eq \f(vy,vx)＝eq \f(1,2)，C对.
2.如图1所示，一铁球用细线悬挂于天花板上，静止垂在桌子的边缘，悬线穿过一光盘的中间孔，手推光盘在桌面上平移，光盘带动悬线紧贴着桌子的边缘以水平速度v匀速运动，当光盘由A位置运动到图中虚线所示的B位置时，悬线与竖直方向的夹角为θ，此时铁球( )
图1
A.竖直方向速度大小为vcs θ
B.竖直方向速度大小为vsin θ
C.竖直方向速度大小为vtan θ
D.相对于地面速度大小为v
答案 B
解析 光盘的速度是水平向右的，将该速度沿线和垂直于线的方向分解，如图所示，
沿线方向的分量v线＝vsin θ，这就是桌面以上悬线变长的速度，也等于铁球上升的速度，B正确；由题意可知铁球在水平方向上速度与光盘相同，竖直方向速度为vsin θ，可得铁球相对于地面速度大小为veq \r(1＋sin2 θ)，D错误.
3.(2016·全国甲卷·16)小球P和Q用不可伸长的轻绳悬挂在天花板上，P球的质量大于Q球的质量，悬挂P球的绳比悬挂Q球的绳短.将两球拉起，使两绳均被水平拉直，如图2所示.将两球由静止释放.在各自轨迹的最低点( )
图2
A.P球的速度一定大于Q球的速度
B.P球的动能一定小于Q球的动能
C.P球所受绳的拉力一定大于Q球所受绳的拉力
D.P球的向心加速度一定小于Q球的向心加速度
答案 C
解析 小球从水平位置摆动至最低点，由动能定理得，mgL＝eq \f(1,2)mv2，解得v＝eq \r(2gL)，因LPmQ，则两小球的动能大小无法比较，选项B错误；对小球在最低点受力分析得，FT－mg＝meq \f(v2,L)，可得FT＝3mg，因mP>mQ，所以选项C正确；由a＝eq \f(v2,L)＝2g可知，两球的向心加速度相等，选项D错误.
4.如图3，一小球从一半圆轨道左端A点正上方某处开始做平抛运动(小球可视为质点)，飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点.O为半圆轨道圆心，半圆轨道半径为R，OB与水平方向夹角为60°，重力加速度为g，则小球抛出时的初速度为( )
图3
A.eq \f(\r(3)gR,2) B.eq \r(gR)
C. eq \r(\f(3\r(3)gR,2)) D.eq \r(3gR)
答案 C
解析 飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点，知速度与水平方向的夹角为30°，设位移与水平方向的夹角为θ，则tan θ＝eq \f(tan 30°,2)＝eq \f(\r(3),6)，因为tan θ＝eq \f(y,x)＝eq \f(y,\f(3,2)R)，则竖直位移y＝eq \f(\r(3),4)R.veq \\al( 2,y)＝2gy＝eq \f(\r(3),2)gR，tan 30°＝eq \f(vy,v0)，所以v0＝eq \f(\r(\f(\r(3)gR,2)),\f(\r(3),3))＝ eq \r(\f(3\r(3)gR,2))，故C正确，A、B、D错误.
5.(多选)如图4所示，一带电小球自固定斜面顶端A点以速度v0水平抛出，经时间t1落在斜面上B点.现在斜面空间加上竖直向下的匀强电场，仍将小球自A点以速度v0水平抛出，经时间t2落在斜面上B点下方的C点.不计空气阻力，以下判断正确的是( )
图4
A.小球一定带正电
B.小球所受电场力可能大于重力
C.小球两次落在斜面上的速度方向相同
D.小球两次落在斜面上的速度大小相等
答案 CD
解析 不加电场时，小球做平抛运动，加电场时，小球做类平抛运动，根据tan θ＝eq \f(\f(1,2)at2,v0t)＝eq \f(at,2v0)，则t＝eq \f(2v0tan θ,a)，因为水平方向上做匀速直线运动，可知t2＞t1，则a＜g，可知小球一定带负电，所受的电场力向上，且小于重力的大小，故A、B错误.因为做类平抛运动或平抛运动时，小球在某时刻的速度方向与水平方向夹角的正切值是位移与水平方向夹角正切值的2倍，由于位移方向相同，则小球两次落在斜面上的速度方向一定相同.根据平行四边形定则知，初速度相同，则小球两次落在斜面上的速度大小相等，故C、D正确.
6.如果高速转动的飞轮重心不在转轴上，运行将不稳定，而且轴承会受到很大的作用力，加速磨损.如图5所示，飞轮半径r＝20 cm，ab为转动轴.正常工作时转动轴受到的水平作用力可以认为是0.假想在飞轮的边缘固定两个互成直角的螺丝钉P和Q，两者的质量均为m＝0.01 kg，当飞轮以角速度ω＝1 000 rad/s转动时，转动轴ab受到力的大小为( )
图5
A.1×103 N B.2×103 N
C.eq \r(2)×103 N D.2eq \r(2)×103 N
答案 D
解析 对钉子：F1＝F2＝mω2·r＝2 000 N，受到的合力F＝eq \r(2)F1＝2eq \r(2)×103 N.
7.如图6所示，一根细线下端拴一个金属小球P，细线的上端固定在金属块Q上，Q放在带小孔(小孔光滑)的水平桌面上，小球在某一水平面内做匀速圆周运动.现使小球在一个更高的水平面上做匀速圆周运动，而金属块Q始终静止在桌面上的同一位置，则改变高度后与原来相比较，下面的判断中正确的是( )
图6
A.细线所受的拉力变小
B.小球P运动的角速度变大
C.Q受到桌面的静摩擦力变小
D.Q受到桌面的支持力变大
答案 B
解析 设细线与竖直方向的夹角为θ，细线的拉力大小为FT，细线的长度为L.P球做匀速圆周运动时，由重力和细线的拉力的合力提供向心力，如图，则有：FT＝eq \f(mg,cs θ)，mgtan θ＝mω2Lsin θ，得角速度ω＝ eq \r(\f(g,Lcs θ))，使小球改到一个更高的水平面上做匀速圆周运动时，θ增大，cs θ减小，则得到细线拉力FT增大，角速度ω增大.故A错误，B正确.对Q球，由平衡条件得知，Q受到桌面的静摩擦力等于细线的拉力大小，Q受到桌面的支持力等于重力，则静摩擦力变大，Q所受的支持力不变，故C、D错误；故选B.
8.如图7所示，河水流动的速度为v且处处相同，河宽度为a.在船下水点A的下游距离为b处是瀑布.为了使小船渡河安全(不掉到瀑布里去)( )
图7
A.小船船头垂直河岸渡河时间最短，最短时间为t＝eq \f(b,v).速度最大，最大速度为vmax＝eq \f(av,b)
B.小船轨迹沿y轴方向渡河位移最小、速度最大，最大速度为vmax＝eq \f(\r(a2＋b2)v,b)
C.小船沿轨迹AB运动位移最大、时间最短且速度最小，最小速度vmin＝eq \f(av,b)
D.小船沿轨迹AB运动位移最大、速度最小，最小速度vmin＝eq \f(bv,\r(a2＋b2))
答案 D
解析 小船船头垂直河岸渡河时间最短，最短时间为：t＝eq \f(a,v船)，故A错误；小船轨迹沿y轴方向渡河位移最小，为a，但沿着船头指向的分速度必须指向上游，合速度不是最大，故B错误；由图，小船沿轨迹AB运动位移最大，由于渡河时间t＝eq \f(a,v船)，与船的船头指向的分速度有关，故时间不一定最短，故C错误；合速度沿着AB方向时位移显然是最大的，划船的速度最小，故：eq \f(a,v船)＝eq \f(\r(a2＋b2),v)，故v船＝eq \f(av,\r(a2＋b2))；故D正确；故选D.
9.(2016·全国丙卷·24)如图8，在竖直平面内有由eq \f(1,4)圆弧AB和eq \f(1,2)圆弧BC组成的光滑固定轨道，两者在最低点B平滑连接.AB弧的半径为R，BC弧的半径为eq \f(R,2).一小球在A点正上方与A相距eq \f(R,4)处由静止开始自由下落，经A点沿圆弧轨道运动.
图8
(1)求小球在B、A两点的动能之比；
(2)通过计算判断小球能否沿轨道运动到C点.
答案 (1)5∶1 (2)能，理由见解析
解析 (1)设小球的质量为m，小球在A点的动能为EkA，由机械能守恒得
EkA＝mg·eq \f(R,4)①
设小球在B点的动能为EkB，同理有
EkB＝mg·eq \f(5R,4)②
由①②式得eq \f(EkB,EkA)＝5③
(2)若小球能沿轨道运动到C点，小球在C点所受轨道的正压力FN应满足
FN≥0④
设小球在C点的速度大小为vC，由牛顿第二定律和向心力公式有
FN＋mg＝meq \f(v\\al( 2,C),\f(R,2))⑤
由④⑤式得
mg≤meq \f(2v\\al( 2,C),R)⑥
vC≥ eq \r(\f(Rg,2))⑦
全程应用机械能守恒定律得
mg·eq \f(R,4)＝eq \f(1,2)mvC′2⑧
由⑦⑧式可知，vC＝vC′，即小球恰好可以沿轨道运动到C点.
10.如图9所示为圆弧形固定光滑轨道，a点切线方向与水平方向夹角53°，b点切线方向水平.一小球以水平初速度6 m/s做平抛运动刚好能从a点沿轨道切线方向进入轨道，已知轨道半径1 m，小球质量1 kg.(sin 53°＝0.8，cs 53°＝0.6，g＝10 m/s2)求：
图9
(1)小球做平抛运动的飞行时间.
(2)小球到达b点时，轨道对小球压力大小.
答案 (1)0.8 s (2)58 N
解析 (1)小球进入轨道时速度方向与水平方向夹角为53°，则有：tan 53°＝eq \f(vy,vx)
vy＝gt 解得t＝0.8 s
(2)设初始位置距a点高度为h，则有：
h＝eq \f(1,2)gt2
设初始位置距b点高度为H，则有：
H＝h－(R＋eq \f(3,5)R)
从初始位置到b由动能定理得：
mgH＝eq \f(1,2)mveq \\al( 2,b)－eq \f(1,2)mveq \\al( 2,x)
对b点由牛顿第二定律得：
FN＋mg＝meq \f(v\\al( 2,b),R)
解得：FN＝58 N
模型
绳模型
杆模型
实例
球与绳连接、水流星、翻滚过山车等
球与杆连接、球过竖直的圆形管道、套在圆环上的物体等
图示
在最高
点受力
重力、弹力F弹(向下或等于零)
mg＋F弹＝meq \f(v2,R)
重力和弹力F弹(向下、向上或等于零)
mg±F弹＝meq \f(v2,R)
恰好过
最高点
F弹＝0，mg＝meq \f(v2,R)，v＝eq \r(Rg)，即在最高点速度不能为零
v＝0，mg＝F弹在最高点速度可为零
步骤1：小球从A到B点做平抛运动
vB为平抛运动与圆周运动的关联速度
(1)A到B：
x＝r·sin 45°＝v0t①
h＝eq \f(1,2)gt2②
在B点：
tan 45°＝eq \f(gt,v0)③
得：v0＝2 m/s h＝0.2 m④
|OA|＝h＋r·cs 45°＝0.6 m⑤
步骤2：小球从B到C点做匀速圆周运动
(2)在B点：vB＝eq \f(v0,cs 45°)＝2eq \r(2) m/s⑥
FN＝eq \f(mv\\al( 2,B),r)＝5eq \r(2) N⑦
由牛顿第三定律得：
小球对圆管的压力
FN′＝FN＝5eq \r(2) N⑧
步骤3：小球由C点沿斜面上滑到最高点
(3)mgsin 45°＋μmgcs 45°＝ma⑨
a＝8eq \r(2) m/s2⑩
x＝eq \f(v\\al( 2,B),2a)＝eq \f(\r(2),4) m⑪
考题一 运动的合成与分解
1.物体做曲线运动的条件
当物体所受合外力的方向跟它的速度方向不共线时，物体做曲线运动.合运动与分运动具有等时性、独立性和等效性.
2.分析运动合成与分解的一般思路
eq \x(明确合运动及其运动性质)
⇓
eq \x(根据效果分解或正交分解)
⇓
eq \x(确定分运动的方向及运动性质)
⇓
eq \x(由平行四边形定则确定数量关系)
⇓
eq \x(写出表达式进行数学分析)
例1 质量为2 kg的质点在x－y平面上运动，x方向的速度—时间图象和y方向的位移—时间图象分别如图1甲、乙所示，则质点( )
图1
A.初速度为4 m/s
B.所受合外力为4 N
C.做匀变速直线运动
D.初速度的方向与合外力的方向垂直
解析 x轴方向初速度为vx＝4 m/s，y轴方向初速度vy＝3 m/s，质点的初速度v0＝eq \r(v\\al( 2,x)＋v\\al( 2,y))＝5 m/s.故A错误.x轴方向的加速度a＝2 m/s2，质点的合力F合＝ma＝4 N.故B正确.x轴方向的合力恒定不变，y轴做匀速直线运动，合力为零，则质点受到的合力恒定不变.合力沿x轴方向，而初速度方向既不在x轴方向，也不在y轴方向，质点初速度的方向与合外力方向不垂直，做匀变速曲线运动.故C、D错误.
答案 B
变式训练
1.(2016·全国乙卷·18)一质点做匀速直线运动，现对其施加一恒力，且原来作用在质点上的力不发生改变，则( )
A.质点速度的方向总是与该恒力的方向相同
B.质点速度的方向不可能总是与该恒力的方向垂直
C.质点加速度的方向总是与该恒力的方向相同
D.质点单位时间内速率的变化量总是不变
答案 BC
解析 质点一开始做匀速直线运动，处于平衡状态，施加恒力后，则该质点所受的合外力为该恒力.①若该恒力方向与质点原运动方向不共线，则质点做曲线运动，质点速度方向与恒力方向不同，故A错；②若F的方向某一时刻与质点运动方向垂直，之后质点做曲线运动，力与速度方向不再垂直，例如平抛运动，故B正确；③由牛顿第二定律可知，质点加速度的方向总是与其所受合外力方向相同，C正确；④根据加速度的定义，相等时间内速度变化量相同，而速率变化量不一定相同，故D错.
2.如图2所示，甲乙两船在同一条河流中同时开始渡河，M、N分别是甲乙两船的出发点，两船头与河岸均成α角，甲船船头恰好对准N点的正对岸P点，经过一段时间乙船恰好到达P点，如果划船速度大小相等，且两船相遇，不影响各自的航行，下列判断正确的是( )
图2
A.甲船也能到达正对岸
B.甲船渡河时间一定短
C.两船相遇在NP直线上的某点(非P点)
D.渡河过程中两船不会相遇
答案 C
解析 甲船航行方向与河岸成α角，水流速度水平向右，故合速度一定不会垂直河岸，即甲船不能垂直到达对岸，A错误；在垂直河岸方向上v甲＝vsin α，v乙＝vsin α，故渡河时间t甲＝eq \f(d,v甲)＝eq \f(d,vsin α)、t乙＝eq \f(d,v乙)＝eq \f(d,vsin α)，所以渡河时间相等，因为在垂直河岸方向上分速度相等，又是同时出发的，故两船相遇在NP直线上的某点(非P点)，B、D错误，C正确.
考题二 平抛(类平抛)运动的规律
1.求解平抛运动的基本思路和方法——运动的分解
将平抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动——“化曲为直”，是处理平抛运动的基本思路和方法.
2.求解平抛(类平抛)运动的注意点
(1)突出落点问题时，一般建立坐标系，由两个方向遵循的规律列出位移方程，由此确定其落点.
(2)突出末速度的大小和方向问题时，一般要建立水平分速度和竖直分速度之间的关系，由此确定其末速度.
(3)如图3所示，分解某一过程的位移和某一位置瞬时速度，则可以获得两个直角三角形，一般该类运动问题都可以在这两个直角三角形中解决.
图3
例2 如图4所示，将甲、乙两球从虚线PQ右侧某位置分别以速度v1、v2沿水平方向抛出，其部分轨迹如图1、2所示，两球落在斜面上同一点，且速度方向相同，不计空气阻力，下列说法正确的是( )
图4
A.甲、乙两球抛出点在同一竖直线上
B.甲、乙两球抛出点在斜面上
C.甲球抛出点更靠近PQ线
D.一定有v1>v2
解析 二者落在斜面上时速度的方向相同，所以速度的方向与水平方向之间的夹角θ是相等的，tan θ＝eq \f(vy,v0)
根据：vy＝gt
x＝v0t
y＝eq \f(1,2)gt2
位移偏转角为α，联立可得：tan α＝eq \f(y,x)＝eq \f(1,2)tan θ
可知二者的位移偏转角也相等，所以两个小球的抛出点与落点的连线在同一直线上，故结合题目的图象可知1的抛出点高于2的抛出点，故A错误；结合A的分析可知，两个小球的抛出点与落点的连线在同一直线上，两个小球的抛出点可能在斜面上，也可能不在斜面上，故B错误；两个小球的抛出点与落点的连线在同一直线上，而题目的图中1在上，所以甲的抛出点离PQ要远一些，故C错误；由于甲的抛出点高一些，因此甲运动的时间长些，故竖直方向的速度v＝gt大些，而根据落点的速度方向相同，因此速度v1要大一些，故D正确.
答案 D
变式训练
3.如图5所示，在水平地面上A、B两点同时迎面抛出两个物体，初速度分别为v1、v2，与水平方向所成角α1＝30°、α2＝60°，两物体恰好落到对方抛出点.两物体在空中运动的时间分别为t1、t2，不计空气阻力.则( )
图5
A.v1＝v2
B.t1＝t2
C.两物体在空中可能相遇
D.两物体位于同一竖直线时，一定在AB中点的右侧
答案 AD
解析 在水平方向上做匀速直线运动，故有v1cs 30°t1＝v2cs 60°t2，在竖直方向上做竖直上抛运动，所以t1＝eq \f(2v1sin 30°,g)，t2＝eq \f(2v2sin 60°,g)，联立可得v1＝v2，t1
4.横截面为直角三角形的两个相同斜面紧靠在一起，固定在水平面上，如图6所示.它们的竖直边长都是底边长的一半，现有三个小球从左边斜面的顶点以不同的初速度向右平抛，最后落在斜面上，其落点分别是a、b、c.若不计空气阻力，则下列判断正确的是( )
图6
A.三小球比较，落在c点的小球飞行过程速度变化最大
B.三小球比较，落在c点的小球飞行过程速度变化最快
C.三小球比较，落在a点的小球飞行时间最短
D.无论小球抛出时初速度多大，落在斜面上的瞬时速度都不可能与斜面垂直
答案 D
解析 根据h＝eq \f(1,2)gt2得t＝eq \r(\f(2h,g))知平抛运动的时间由高度决定，落在a点的小球下落的高度最大，则飞行时间最长，由速度变化量Δv＝gt，可知落在a点的小球飞行过程速度变化最大，故A、C错误.三个小球均做平抛运动，加速度都是g，则速度变化快慢一样，故B错误.小球打到两斜面交点时，速度方向与水平方向夹角为45°，与斜面夹角小于90°，打到右侧斜面的其他位置处，夹角更小，故D正确.
考题三 圆周运动问题的分析
1.圆周运动的描述
v＝eq \f(Δs,Δt) ω＝eq \f(Δθ,Δt)
ω＝eq \f(2π,T)
v＝ω·R＝eq \f(2π,T)·R
an＝eq \f(v2,R)＝ω2·R＝eq \f(4π2,T2)·R.
2.水平面内圆周运动的临界问题
(1)水平面内做圆周运动的物体其向心力可能由弹力、摩擦力等力提供，常涉及绳的张紧与松弛、接触面分离等临界状态.
(2)常见临界条件：绳的临界：张力FT＝0；接触面滑动的临界：F＝Ff；接触面分离的临界：FN＝0.
3.竖直平面内圆周运动的绳、杆模型
例3 如图7所示，质量为m的小球置于内部光滑的正方体盒子中，盒子的边长略大于球的直径.盒子在竖直平面内做半径为R、周期为2πeq \r(\f(R,g))的匀速圆周运动，重力加速度大小为g，则( )
图7
A.盒子运动到最高点时，小球对盒子底部压力为mg
B.盒子运动到最低点时，小球对盒子底部压力为2mg
C.盒子运动到最低点时，小球对盒子底部压力为6mg
D.盒子从最低点向最高点运动的过程中，球处于超重状态
解析 设盒子运动到最高点时，小球受到盒子顶部的压力，则：F＋mg＝mR(eq \f(2π,T))2，解得：F＝0
根据牛顿第三定律，盒子运动到最高点时，小球对盒子底部压力为0.故A错误；盒子运动到最低点时，小球受到盒子底部支持力与重力的合力提供向心力，则：FN－mg＝mR(eq \f(2π,T))2，解得：FN＝2mg根据牛顿第三定律，盒子运动到最低点时，小球对盒子底部压力为2mg .故B正确，C错误；由A项的分析可知，在最高点小球只受到重力的作用，所以盒子从最低点向最高点运动的过程中，球接近最高点时处于失重状态.故D错误.
答案 B
变式训练
5.如图8所示，在匀速转动的水平盘上，沿半径方向放着用细线相连的质量相等的两个物体A和B，它们分居圆心两侧，与圆心距离分别为RA＝r，RB＝2r，与盘间的动摩擦因数μ相同，当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是( )
图8
A.此时绳子张力为FT＝3μmg
B.此时圆盘的角速度为ω＝ eq \r(\f(2μg,r))
C.此时A所受摩擦力方向沿半径指向圆外
D.此时烧断绳子，A仍相对盘静止，B将做离心运动
答案 ABC
解析 两物块A和B随着圆盘转动时，合外力提供向心力，则F＝mω2r，B的半径比A的半径大，所以B所需向心力大，绳子拉力相等，所以当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，B的静摩擦力方向指向圆心，A的最大静摩擦力方向指向圆外，根据牛顿第二定律得：FT－μmg＝mω2r，FT＋μmg＝mω2·2r，解得：FT＝3μmg，ω＝eq \r(\f(2μg,r))，故A、B、C正确；此时烧断绳子，A的最大静摩擦力不足以提供所需向心力，则A做离心运动，故D错误.
6.(2016·浙江理综·20)如图9所示为赛车场的一个水平“梨形”赛道，两个弯道分别为半径R＝90 m的大圆弧和r＝40 m的小圆弧，直道与弯道相切.大、小圆弧圆心O、O′距离L＝100 m.赛车沿弯道路线行驶时，路面对轮胎的最大径向静摩擦力是赛车重力的2.25倍，假设赛车在直道上做匀变速直线运动，在弯道上做匀速圆周运动，要使赛车不打滑，绕赛道一圈时间最短(发动机功率足够大，重力加速度g＝10 m/s2，π＝3.14)，则赛车( )
图9
A.在绕过小圆弧弯道后加速
B.在大圆弧弯道上的速率为45 m/s
C.在直道上的加速度大小为5.63 m/s2
D.通过小圆弧弯道的时间为5.58 s
答案 AB
解析 在弯道上做匀速圆周运动时，根据径向静摩擦力提供向心力得，kmg＝meq \f(v\\al( 2,m),r)，当弯道半径一定时，在弯道上的最大速率是一定的，且在大弯道上的最大速率大于小弯道上的最大速率，故要想时间最短，可在绕过小圆弧弯道后加速，选项A正确；在大圆弧弯道上的速率为vmR＝eq \r(kgR)＝eq \r(2.25×10×90) m/s＝45 m/s，选项B正确；直道的长度为x＝eq \r(L2－R－r2)＝50eq \r(3) m，在小弯道上的最大速率为：vmr＝eq \r(kgr)＝eq \r(2.25×10×40) m/s＝30 m/s，在直道上的加速度大小为a＝eq \f(v\\al( 2,mR)－v\\al( 2,mr),2x)＝eq \f(452－302,2×50\r(3)) m/s2≈6.50 m/s2，选项C错误；由几何关系可知，小圆弧轨道的长度为eq \f(2πr,3)，通过小圆弧弯道的时间为t＝eq \f(\f(2πr,3),vmr)＝eq \f(2×3.14×40,3×30) s≈2.80 s，选项D错误.
考题四 抛体运动与圆周运动的综合
解决抛体与圆周运动的综合问题应注意：
(1)平抛运动与圆周运动的关联速度.
(2)圆周运动中向心力与运动学公式的关联.
(3)动能定理的灵活运用.
例4 (12分)如图10所示，BC为半径等于eq \f(2,5)eq \r(2) m竖直放置的光滑细圆管，O为细圆管的圆心，在圆管的末端C连接倾斜角为45°、动摩擦因数μ＝0.6的足够长粗糙斜面，一质量为m＝0.5 kg的小球从O点正上方某处A点以v0水平抛出，恰好能垂直OB从B点进入细圆管，小球从进入圆管开始受到始终竖直向上的力F＝5 N的作用，当小球运动到圆管的末端C时作用力F立即消失，小球能平滑地冲上粗糙斜面.(g＝10 m/s2)求：
图10
(1)小球从O点的正上方某处A点水平抛出的初速度v0为多少？OA的距离为多少？
(2)小球在圆管中运动时对圆管的压力是多少？
(3)小球在CD斜面上运动的最大位移是多少？
[思维规范流程]
⑨式2分，其余各式1分.
变式训练
7.如图11所示，质量为1 kg物块自高台上A点以4 m/s的速度水平抛出后，刚好在B点沿切线方向进入半径为0.5 m的光滑圆弧轨道运动.到达圆弧轨道最底端C点后沿粗糙的水平面运动4.3 m到达D点停下来，已知OB与水平面的夹角θ＝53°，g＝10 m/s2(sin 53°＝0.8，cs 53°＝0.6).求：
图11
(1)A、B两点的高度差；
(2)物块到达C点时，物块对轨道的压力；
(3)物块与水平面间的动摩擦因数.
答案 (1)0.45 m (2)96 N (3)0.5
解析 (1)小物块恰好从B端沿切线方向进入轨道，据几何关系有：
vB＝eq \f(v0,sin θ)＝eq \f(4,0.8)＝5 m/s.
A到B的过程中机械能守恒，得：
mgh＋eq \f(1,2)mveq \\al( 2,0)＝eq \f(1,2)mveq \\al( 2,B)
联立得：h＝0.45 m
(2)小物块由B运动到C，据动能定理有：
mgR(1＋sin θ)＝eq \f(1,2)mveq \\al( 2,C)－eq \f(1,2)mveq \\al( 2,B)
在C点处，据牛顿第二定律有
FN′－mg＝meq \f(v\\al( 2,C),R)
解得FN′＝96 N
根据牛顿第三定律，小物块经过圆弧轨道上C点时对轨道的压力FN的大小为96 N.
(3)小物块从C运动到D，据功能关系有：
－μmgL＝0－eq \f(1,2)mveq \\al( 2,C)
联立得：μ＝0.5
专题规范练
1.2015年9月23日，在江苏省苏州市进行的全国田径锦标赛上高兴龙获得男子跳远冠军，在一次试跳中，他(可看做质点)水平距离达8 m，高达1 m.设他离开地面时的速度方向与水平面的夹角为θ，若不计空气阻力，g＝10 m/s2，则tan θ等于( )
A.eq \f(1,8) B.eq \f(1,4) C.eq \f(1,2) D.1
答案 C
解析 设水平速度为vx，竖直速度为vy.由运动的合成与分解知：
eq \f(v\\al( 2,y),2g)＝y，eq \f(vy,g)＝t，x＝vx·2t，由以上各式得：tan θ＝eq \f(vy,vx)＝eq \f(1,2)，C对.
2.如图1所示，一铁球用细线悬挂于天花板上，静止垂在桌子的边缘，悬线穿过一光盘的中间孔，手推光盘在桌面上平移，光盘带动悬线紧贴着桌子的边缘以水平速度v匀速运动，当光盘由A位置运动到图中虚线所示的B位置时，悬线与竖直方向的夹角为θ，此时铁球( )
图1
A.竖直方向速度大小为vcs θ
B.竖直方向速度大小为vsin θ
C.竖直方向速度大小为vtan θ
D.相对于地面速度大小为v
答案 B
解析 光盘的速度是水平向右的，将该速度沿线和垂直于线的方向分解，如图所示，
沿线方向的分量v线＝vsin θ，这就是桌面以上悬线变长的速度，也等于铁球上升的速度，B正确；由题意可知铁球在水平方向上速度与光盘相同，竖直方向速度为vsin θ，可得铁球相对于地面速度大小为veq \r(1＋sin2 θ)，D错误.
3.(2016·全国甲卷·16)小球P和Q用不可伸长的轻绳悬挂在天花板上，P球的质量大于Q球的质量，悬挂P球的绳比悬挂Q球的绳短.将两球拉起，使两绳均被水平拉直，如图2所示.将两球由静止释放.在各自轨迹的最低点( )
图2
A.P球的速度一定大于Q球的速度
B.P球的动能一定小于Q球的动能
C.P球所受绳的拉力一定大于Q球所受绳的拉力
D.P球的向心加速度一定小于Q球的向心加速度
答案 C
解析 小球从水平位置摆动至最低点，由动能定理得，mgL＝eq \f(1,2)mv2，解得v＝eq \r(2gL)，因LP
4.如图3，一小球从一半圆轨道左端A点正上方某处开始做平抛运动(小球可视为质点)，飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点.O为半圆轨道圆心，半圆轨道半径为R，OB与水平方向夹角为60°，重力加速度为g，则小球抛出时的初速度为( )
图3
A.eq \f(\r(3)gR,2) B.eq \r(gR)
C. eq \r(\f(3\r(3)gR,2)) D.eq \r(3gR)
答案 C
解析 飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点，知速度与水平方向的夹角为30°，设位移与水平方向的夹角为θ，则tan θ＝eq \f(tan 30°,2)＝eq \f(\r(3),6)，因为tan θ＝eq \f(y,x)＝eq \f(y,\f(3,2)R)，则竖直位移y＝eq \f(\r(3),4)R.veq \\al( 2,y)＝2gy＝eq \f(\r(3),2)gR，tan 30°＝eq \f(vy,v0)，所以v0＝eq \f(\r(\f(\r(3)gR,2)),\f(\r(3),3))＝ eq \r(\f(3\r(3)gR,2))，故C正确，A、B、D错误.
5.(多选)如图4所示，一带电小球自固定斜面顶端A点以速度v0水平抛出，经时间t1落在斜面上B点.现在斜面空间加上竖直向下的匀强电场，仍将小球自A点以速度v0水平抛出，经时间t2落在斜面上B点下方的C点.不计空气阻力，以下判断正确的是( )
图4
A.小球一定带正电
B.小球所受电场力可能大于重力
C.小球两次落在斜面上的速度方向相同
D.小球两次落在斜面上的速度大小相等
答案 CD
解析 不加电场时，小球做平抛运动，加电场时，小球做类平抛运动，根据tan θ＝eq \f(\f(1,2)at2,v0t)＝eq \f(at,2v0)，则t＝eq \f(2v0tan θ,a)，因为水平方向上做匀速直线运动，可知t2＞t1，则a＜g，可知小球一定带负电，所受的电场力向上，且小于重力的大小，故A、B错误.因为做类平抛运动或平抛运动时，小球在某时刻的速度方向与水平方向夹角的正切值是位移与水平方向夹角正切值的2倍，由于位移方向相同，则小球两次落在斜面上的速度方向一定相同.根据平行四边形定则知，初速度相同，则小球两次落在斜面上的速度大小相等，故C、D正确.
6.如果高速转动的飞轮重心不在转轴上，运行将不稳定，而且轴承会受到很大的作用力，加速磨损.如图5所示，飞轮半径r＝20 cm，ab为转动轴.正常工作时转动轴受到的水平作用力可以认为是0.假想在飞轮的边缘固定两个互成直角的螺丝钉P和Q，两者的质量均为m＝0.01 kg，当飞轮以角速度ω＝1 000 rad/s转动时，转动轴ab受到力的大小为( )
图5
A.1×103 N B.2×103 N
C.eq \r(2)×103 N D.2eq \r(2)×103 N
答案 D
解析 对钉子：F1＝F2＝mω2·r＝2 000 N，受到的合力F＝eq \r(2)F1＝2eq \r(2)×103 N.
7.如图6所示，一根细线下端拴一个金属小球P，细线的上端固定在金属块Q上，Q放在带小孔(小孔光滑)的水平桌面上，小球在某一水平面内做匀速圆周运动.现使小球在一个更高的水平面上做匀速圆周运动，而金属块Q始终静止在桌面上的同一位置，则改变高度后与原来相比较，下面的判断中正确的是( )
图6
A.细线所受的拉力变小
B.小球P运动的角速度变大
C.Q受到桌面的静摩擦力变小
D.Q受到桌面的支持力变大
答案 B
解析 设细线与竖直方向的夹角为θ，细线的拉力大小为FT，细线的长度为L.P球做匀速圆周运动时，由重力和细线的拉力的合力提供向心力，如图，则有：FT＝eq \f(mg,cs θ)，mgtan θ＝mω2Lsin θ，得角速度ω＝ eq \r(\f(g,Lcs θ))，使小球改到一个更高的水平面上做匀速圆周运动时，θ增大，cs θ减小，则得到细线拉力FT增大，角速度ω增大.故A错误，B正确.对Q球，由平衡条件得知，Q受到桌面的静摩擦力等于细线的拉力大小，Q受到桌面的支持力等于重力，则静摩擦力变大，Q所受的支持力不变，故C、D错误；故选B.
8.如图7所示，河水流动的速度为v且处处相同，河宽度为a.在船下水点A的下游距离为b处是瀑布.为了使小船渡河安全(不掉到瀑布里去)( )
图7
A.小船船头垂直河岸渡河时间最短，最短时间为t＝eq \f(b,v).速度最大，最大速度为vmax＝eq \f(av,b)
B.小船轨迹沿y轴方向渡河位移最小、速度最大，最大速度为vmax＝eq \f(\r(a2＋b2)v,b)
C.小船沿轨迹AB运动位移最大、时间最短且速度最小，最小速度vmin＝eq \f(av,b)
D.小船沿轨迹AB运动位移最大、速度最小，最小速度vmin＝eq \f(bv,\r(a2＋b2))
答案 D
解析 小船船头垂直河岸渡河时间最短，最短时间为：t＝eq \f(a,v船)，故A错误；小船轨迹沿y轴方向渡河位移最小，为a，但沿着船头指向的分速度必须指向上游，合速度不是最大，故B错误；由图，小船沿轨迹AB运动位移最大，由于渡河时间t＝eq \f(a,v船)，与船的船头指向的分速度有关，故时间不一定最短，故C错误；合速度沿着AB方向时位移显然是最大的，划船的速度最小，故：eq \f(a,v船)＝eq \f(\r(a2＋b2),v)，故v船＝eq \f(av,\r(a2＋b2))；故D正确；故选D.
9.(2016·全国丙卷·24)如图8，在竖直平面内有由eq \f(1,4)圆弧AB和eq \f(1,2)圆弧BC组成的光滑固定轨道，两者在最低点B平滑连接.AB弧的半径为R，BC弧的半径为eq \f(R,2).一小球在A点正上方与A相距eq \f(R,4)处由静止开始自由下落，经A点沿圆弧轨道运动.
图8
(1)求小球在B、A两点的动能之比；
(2)通过计算判断小球能否沿轨道运动到C点.
答案 (1)5∶1 (2)能，理由见解析
解析 (1)设小球的质量为m，小球在A点的动能为EkA，由机械能守恒得
EkA＝mg·eq \f(R,4)①
设小球在B点的动能为EkB，同理有
EkB＝mg·eq \f(5R,4)②
由①②式得eq \f(EkB,EkA)＝5③
(2)若小球能沿轨道运动到C点，小球在C点所受轨道的正压力FN应满足
FN≥0④
设小球在C点的速度大小为vC，由牛顿第二定律和向心力公式有
FN＋mg＝meq \f(v\\al( 2,C),\f(R,2))⑤
由④⑤式得
mg≤meq \f(2v\\al( 2,C),R)⑥
vC≥ eq \r(\f(Rg,2))⑦
全程应用机械能守恒定律得
mg·eq \f(R,4)＝eq \f(1,2)mvC′2⑧
由⑦⑧式可知，vC＝vC′，即小球恰好可以沿轨道运动到C点.
10.如图9所示为圆弧形固定光滑轨道，a点切线方向与水平方向夹角53°，b点切线方向水平.一小球以水平初速度6 m/s做平抛运动刚好能从a点沿轨道切线方向进入轨道，已知轨道半径1 m，小球质量1 kg.(sin 53°＝0.8，cs 53°＝0.6，g＝10 m/s2)求：
图9
(1)小球做平抛运动的飞行时间.
(2)小球到达b点时，轨道对小球压力大小.
答案 (1)0.8 s (2)58 N
解析 (1)小球进入轨道时速度方向与水平方向夹角为53°，则有：tan 53°＝eq \f(vy,vx)
vy＝gt 解得t＝0.8 s
(2)设初始位置距a点高度为h，则有：
h＝eq \f(1,2)gt2
设初始位置距b点高度为H，则有：
H＝h－(R＋eq \f(3,5)R)
从初始位置到b由动能定理得：
mgH＝eq \f(1,2)mveq \\al( 2,b)－eq \f(1,2)mveq \\al( 2,x)
对b点由牛顿第二定律得：
FN＋mg＝meq \f(v\\al( 2,b),R)
解得：FN＝58 N
模型
绳模型
杆模型
实例
球与绳连接、水流星、翻滚过山车等
球与杆连接、球过竖直的圆形管道、套在圆环上的物体等
图示
在最高
点受力
重力、弹力F弹(向下或等于零)
mg＋F弹＝meq \f(v2,R)
重力和弹力F弹(向下、向上或等于零)
mg±F弹＝meq \f(v2,R)
恰好过
最高点
F弹＝0，mg＝meq \f(v2,R)，v＝eq \r(Rg)，即在最高点速度不能为零
v＝0，mg＝F弹在最高点速度可为零
步骤1：小球从A到B点做平抛运动
vB为平抛运动与圆周运动的关联速度
(1)A到B：
x＝r·sin 45°＝v0t①
h＝eq \f(1,2)gt2②
在B点：
tan 45°＝eq \f(gt,v0)③
得：v0＝2 m/s h＝0.2 m④
|OA|＝h＋r·cs 45°＝0.6 m⑤
步骤2：小球从B到C点做匀速圆周运动
(2)在B点：vB＝eq \f(v0,cs 45°)＝2eq \r(2) m/s⑥
FN＝eq \f(mv\\al( 2,B),r)＝5eq \r(2) N⑦
由牛顿第三定律得：
小球对圆管的压力
FN′＝FN＝5eq \r(2) N⑧
步骤3：小球由C点沿斜面上滑到最高点
(3)mgsin 45°＋μmgcs 45°＝ma⑨
a＝8eq \r(2) m/s2⑩
x＝eq \f(v\\al( 2,B),2a)＝eq \f(\r(2),4) m⑪
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