四川省资阳市雁江区资阳中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题（Word版附解析）

这是一份四川省资阳市雁江区资阳中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题（Word版附解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

学校：___________姓名：___________班级：___________
一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知命题，，则是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】全称与特称命题的否定分两步，第一步：改写符号（与互改）；第二步：否定后半部分，据此回答即可.
【详解】第一步：改写符号，由改成；
第二步：对进行否定得；
所以为：，.
故选：A.
2. 满足的集合M共有（ ）
A. 16个B. 15个
C. 8个D. 7个
【答案】C
【解析】
【分析】根据集合满足的条件，列举出所有情况即可.
【详解】集合M满足，
所以集合M可以为：
共有8个.
故选：C
3. 图中给出的四个对应关系，其中构成函数的是（ ）
① ②
③ ④
A. ②B. ①④C. ②④D. ③④
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数的定义判断即可.
【详解】根据函数的定义，每个都有一个对应的唯一确定的函数值，
故只有③④符合条件.
故选：D.
4. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用作差比较大小即可.
【详解】由题意可得，则.
故选：D.
5. 已知函数，则（ ）
A. ﹣3B. ﹣2C. ﹣1D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】
根据分段函数定义域的区间范围直接代入，即可得解.
【详解】，
所以，
故选：A.
6. 已知，则的最小值等于（ ）
A. 6B. 8C. 4D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】
利用基本不等式即可求解.
【详解】由基本不等式可得：，
即，
所以，
解得或（舍），
当且仅当即时等号成立，
所以的最小值等于4，
故选：C
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
7. 若，则下列式子一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】构造函数，利用函数单调性求解即可.
【详解】若，
则，设，
因为都是增函数，
所以是增函数，
所以，即.
故.
故选：D
8. 定义在上的函数满足：①；②函数对任意的都有．则（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】确定函数单调递增，设，代入计算得到，解得，计算得到答案.
【详解】，故函数在上单调递增，
，故存在唯一值满足条件，
即，，
当时满足，又函数在上单调递增，故是唯一解，
，.
故选：C.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 的一个充分不必要条件是（ ）
A. 或B. 或C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据一元二次不等式的解法和充分不必要条件的定义逐项判断即可.
【详解】即或,
所以或是的充要条件，故A错；
或和是的充分不必要条件，故BC正确；
是的不充分不必要条件，故D错.
故选：BC
10. 已知函数值域为，则的定义域可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】根据的图象求得正确答案.
【详解】画出的图象如下图所示，由解得，
的图象是函数的图象的一部分，
依题意，的值域为，
由图可知，的定义域可以是、.
故选：AB
11. 给出下列结论，其中错误的结论有（ ）
A. 已知函数是定义域上的减函数，若，则；
B. 函数在定义域内是减函数
C. 函数，则
D. 若函数的定义域为，则函数的定义域为；
【答案】BD
【解析】
【分析】利用函数的单调性判断AB选项，利用整体代入法判断C选项，利用函数定义域的求法判断D选项即可.
【详解】对于A，函数是定义域上的减函数，若，则，故A正确；
对于B，函数在和是减函数，但是在定义域内不是减函数，故B错误；
对于C，函数，则，故，故C正确；
对于D，若函数的定义域为，则函数定义域为，不等式的解集为：，的定义域为，故D错误；
所以错误的结论有BD.
故选：BD
12. 函数是定义在R上的奇函数，下列说法正确的是（ ）
A.
B. 若在上有最小值，则在上有最大值1
C. 若在上为增函数，则在上为减函数
D. 若时，，则时，
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用奇函数的性质逐项判断即可.
【详解】对于A，是定义在R上的奇函数，所以，故A正确；
对于B，图像关于原点对称，若在上有最小值，则在上有最大值1，故B正确；
对于C，的图像关于原点对称，若在上为增函数，则在上也为增函数，故C错误；
对于D，若时，，则时，,故D正确；
故选：ABD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 函数（且）的图象恒过定点________.
【答案】
【解析】
【分析】令，此时，从而求出函数图象恒过的定点坐标.
【详解】当，即时，，所以函数图象恒过定点.
故答案为：
14. 设则a，b，c大小关系是_______________．
【答案】
【解析】
【分析】利用中间数0和1比大小即可.
【详解】
且
同时
所以，即.
故答案为：
15. 函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是________________．
【答案】
【解析】
【分析】利用二次函数的单调性和对称轴的联系求解即可.
【详解】函数的对称轴为，
在区间上是单调函数，
所以或者，
解得或者.
故答案为：
16. 定义在R上的函数满足：①在内单调递增；②为偶函数；③．则不等式的解集为______________．
【答案】
【解析】
【分析】利用函数的对称性和单调性求解即可.
【详解】为偶函数，
所以，即.
所以关于对称；
在内单调递增，所以在内单调递减.
，且关于对称，所以，
所以的解集为；
的解集为.
若，则或，
即或，
解得或.
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）5 （2）2
【解析】
【分析】（1）直接计算指数幂即可；
（2）利用对数的运算性质计算即可.
【小问1详解】
；
【小问2详解】
．
18. 已知全集集合，．
（1）求，；
（2）若求实数的取值范围.
【答案】（1）；或.
（2）
【解析】
【分析】（1）利用集合的运算求解即可；
（2）利用集合的包含关系求解即可.
【小问1详解】
集合，
,且全集
或，
或.
【小问2详解】
,
若
当时，;
当时，，解得；
综上得，实数的取值范围是
19. 已知函数
（1）求函数的定义域，判断并证明函数的奇偶性；
（2）求不等式的解集．
【答案】（1）;奇函数，证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用函数定义域的求法和奇偶性的定义求解即可；
（2）利用对数函数的单调性解不等式即可.
【小问1详解】
，所以，
即，故定义域为.
判断为奇函数，
，
所以为奇函数.
【小问2详解】
,
即，
且定义域为，
故.
所以不等式的解集为.
20. 我校艺术体育节将在11月29-12月2日进行，艺体节的主题为“魅力与和谐”，学校宣传部拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形且），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为．为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为，设．
（1）当时，求海报纸的面积；
（2）当为多少时，可使海报纸面积最小（即矩形的面积最小）？
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）确定海报的长和宽，得到面积的解析式，代入计算得到答案.
（2）利用均值不等式计算最值得到答案.
【小问1详解】
设海报的面积为，海报的长为，
海报的宽为
，
，
【小问2详解】
，
当且仅当，即时等号成立.
故当时，可使海报纸面积最小.
21. 已知函数．
（1）若的解集为，求的值；
（2）当时，解关于x的不等式．
【答案】（1），
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）将不等式的解转化为对应方程的解，根据根与系数的关系解得答案.
（2）变换得到，考虑，，，，几种情况，解不等式得到答案.
【小问1详解】
，的解集为，
则的解为和，故，解得，.
【小问2详解】
，即，
①当时，不等式的解为：；
②当时，不等式的解为：；
③当时，
若，不等式解为：或；
若，不等式解为：；
若，不等式解：或；
综上所述：
时，不等式的解为；
时，不等式的解为；
时，不等式的解为；
时，不等式的解为；
时，不等式的解为
22. 已知函数
（1）若，定义域为，求函数的值域；
（2）当时，恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用换元法求值域即可；
（2）利用换元法结合二次函数的性质进行分类讨论即可.
【小问1详解】
，
若，，
设， ，所以.
此时,
.
故函数的值域为.
【小问2详解】
当时，,
设，对称轴，
所以恒成立， 即在恒成立.
当时，，即，此时符合条件；
当时,,即，不满足，舍去；
当时，，即，此时符合条件；