2024年高考数学第二轮复习 专题07 一元函数的导数及其应用（利用导函数研究不等式有解(能成立)问题）（全题型压轴题）（学生版+教师版）

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（全题型压轴题）
目录
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc10458" ①已知函数在区间上存在单调区间 PAGEREF _Tc10458 \h 1
\l "_Tc26453" ②变量分离法 PAGEREF _Tc26453 \h 3
\l "_Tc11883" ③双变量型 PAGEREF _Tc11883 \h 6
\l "_Tc20358" ④最值法 PAGEREF _Tc20358 \h 11
①已知函数在区间上存在单调区间
1．（2023·全国·高二专题练习）若函数存在增区间，则实数的取值范围为 .
【答案】
【详解】，定义域为，，
由题意可知，存在使得，即.
当时，，
所以，，因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
8．（2023春·河北唐山·高二曹妃甸一中校考期末）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【详解】，在内成立，所以，
由于，所以，，所以．
故答案为:
3．（2023春·河北保定·高三校考阶段练习）若函数在区间上存在单调递减区间，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【详解】，则，
函数在区间上存在减区间，
只需在区间上有解，
又，则，所以在区间上有解，
所以，，
令，，则，
令，则在区间恒成立，
所以在上单调递增，所以，即，所以，
所以实数的取值范围是．
故答案为：．
4．（2023·全国·高二专题练习）若函数在上存在单调递减区间，则m的取值范围是 ．
【答案】
【详解】因为，
所以，
则原向题等价于在上有解，即在上有解，即在上有解，
令，则，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，此时，
所以，则，
所以，即.
故答案为：.
②变量分离法
1．（2023春·陕西西安·高二统考期中）已知函数，若存在，使得有解，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】若存在，使得有解，
由函数，即，即在有解，
设，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以当时，函数取得极大值，也为最大值，即，
所以，即实数a的取值范围是.
故选：C.
8．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·高二齐齐哈尔市第八中学校校考期末）若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围 ．
【答案】
【详解】若存在，使得不等式成立，
可转化为在上有解，
令，可得，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
又由时，；当时，，
因为，
所以函数的最大值为，所以，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．若存在，使成立，求a的取值范围；
【答案】
【详解】由，得，，即能成立，
令，，
则，
设，，
则，
∴φ(x)在上单调递增，
∴，
∴在上，，单调递增，
∴，
∴a的取值范围是．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)当时，若，求实数m的取值范围；
(8)若存在，使得，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(8)
【详解】（1）由可得，即，
设，则，
当时，，单调递减，则．
所以实数m的取值范围为．
（8）由可得，即，
设，则，
令可得或8．
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以的极大值为．
又，则在内的最大值为，
故，即m的取值范围为．
5．（2023春·福建厦门·高二厦门市湖滨中学校考期中）已知函数.
(1)当时，求的单调区间与极值；
(8)若在上有解，求实数a的取值范围.
【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增，函数有极小值，无极大值
(8)
【详解】（1）当时，，所以
当时；当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时函数有极小值，无极大值.
（8）因为在上有解，
所以在上有解，
当时，不等式成立，此时，
当时在上有解，
令，则
由（1）知时，即，
当时；当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，，所以，
综上可知，实数a的取值范围是.
③双变量型
1．（2023·全国·高三专题练习）已知，，若对，，使得，则a的取值范围是（ ）
A．[8，5]B．
C．D．
【答案】A
【详解】，
所以在[1，8]递减，在（8，3]递增，
,
可得的值域为，
对称轴为，在[1，3]递增，可得的值域为，
若对，，使得，
可得的值域为的值域的子集.
则，且，解得，
故选：A.
8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，若对于任意的，存在唯一的，使得，则实数a的取值范围是（ ）
A．（e，4）B．（e，4]C．（e，4）D．（，4]
【答案】B
【详解】解：g（x）=x8ex的导函数为g′（x）=8xex+x8ex=x（x+8）ex，当时，，
由时，，时，，可得g（x）在[–1，0]上单调递减，
在（0，1]上单调递增，故g（x）在[–1，1]上的最小值为g（0）=0，最大值为g（1）=e，
所以对于任意的，．因为开口向下，对称轴为轴，
又，所以当时，，当时，，
则函数在[，8]上的值域为[a–4，a]，且函数f（x）在，
图象关于轴对称，在（，8]上，函数单调递减．由题意，得，，
可得a–4≤0