2024年高考数学第二轮复习 专题04 一元函数的导数及其应用（利用导函数研究不等式问题）（选填压轴题）（学生版+教师版）

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TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc12602" ①构造或(，且)型 PAGEREF _Tc12602 \h 1
\l "_Tc1826" ②构造或(，且)型 PAGEREF _Tc1826 \h 6
\l "_Tc149" ③构造或型 PAGEREF _Tc149 \h 9
\l "_Tc28521" ④构造或型 PAGEREF _Tc28521 \h 13
\l "_Tc27475" ⑤根据不等式（求解目标）构造具体函数 PAGEREF _Tc27475 \h 17
①构造或(，且)型
1．（2023春·四川成都·高二校考阶段练习）函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】根据题意，，则导函数，
函数在区间上，满足，则有，
所以，即函数在区间上为增函数，
，
所以，
则有，
解得，
即此不等式的解集为.
故选：D
8．（2023春·云南楚雄·高二统考期中）已知是定义在上的奇函数，其导函数为，对任意的，都有0，且，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】函数是定义在上的奇函数，
令，
是定义在上的偶函数，
又，
，
又当时，，
即当时，，
即在上是增函数，在是减函数，
若且，即，解得：
若且，即，解得：，
当时，，不合题意；
不等式的解集为：，，，
故，，
故选：．
3．（2023春·广东梅州·高二统考期末）已知是定义在R上的偶函数，当时，有恒成立，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】设，则，
因为当时，有恒成立，所以时，，
所以在单调递减；
又是定义在R上的偶函数，则，
故为偶函数，
则，A选项错误；
，B选项错误；
，C选项错误；
，D选项正确；
故选：D.
4．（2023春·广东东莞·高二统考期末）已知函数的定义域为,其导函数满足,则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】由题意知，当时，，
设，
则，
所以在上单调递减，
不等式等价于，
即为，所以，
解得.
故选：A.
5．（2023春·陕西宝鸡·高二统考期末）已知函数为定义在R上的奇函数，若当时，，且，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】令，可得，
因为时，，可得，所以为单调递增函数，
又由为定义在上的奇函数，可得，
则，所以函数为偶函数，
所以函数在上单调递减，
又因为，可得，
则对于不等式，当时，等价于不等式，解得；
当时，等价于不等式，解得，
所以不等式的解集为.
故选：A.
6．（2023·全国·高三对口高考）已知是定义在上的非负可导函数，且满足，对任意正数a、b，若，则必有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】由.
若不是常函数，则在上单调递减，又，则；
若为常函数，则.综上，.
故选：A
7．（2023春·江西南昌·高二校联考阶段练习）若定义域为的函数满足，则不等式的解集为 .
【答案】
【详解】由时，函数满足，可得，
设，则，故在上单调递增，
由，即，即，
所以，解得，所以的解集为.
故答案为：.
8．（2023·全国·高二专题练习）已知定义在的函数满足任意成立，且，则不等式的解集为 .
【答案】
【详解】令，则，所以在减函数，又，由，可得，故不等式的解集为,
故答案为：
9．（2023春·陕西延安·高二陕西延安中学校考期中）定义域为的奇函数，当时，恒成立，若，，则的大小关系为 .
【答案】
【详解】设，其定义域为，关于原点对称，
因为为奇函数，可得，
所以函数为偶函数，
当时，可得，所以单调递减，
则函数在单调递增，
又因为，
因为，所以，所以.
故答案为：.
10．（2023春·新疆伊犁·高二奎屯市第一高级中学校考期中）设是定义在上的偶函数，为其导函数，，当时，有恒成立，则不等式的解集为 ．
【答案】
【详解】设,则
当时,有恒成立,
当时,在上单调递增,
是定义在上的偶函数,
，
即是定义在上的奇函数,
在上也单调递增.
又.
不等式的解可等价于即的解,
或,
不等式的解集为.
故答案为：.
②构造或(，且)型
1．（2023春·安徽合肥·高二合肥工业大学附属中学校联考期末）设函数的定义域为，其导函数为，且满足，，则不等式（其中e为自然对数的底数）的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】定义在上的函数的导函数为，，
令函数，求导得，即函数在上单调递减，
由，得，不等式等价于，解得，
所以不等式的解集是.
故选：D
8．（2023春·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考期末）设函数的定义域为R，是其导函数，若，，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】构造函数，则，
故在R上单调递增，，
可化为，
故原不等式的解集为，
故选：B
3．（2023春·广东潮州·高二统考期末）已知函数的导函数为，且，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【详解】构造函数，
因为，所以，因此函数是减函数，
于是有，
构造函数，因为，
所以，因此是单调递增函数，
于是有，
故选：B
4．（2023春·陕西汉中·高二校联考期末）已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：令，
则，
因为，
所以，则在R上递减，
又不等式，即为，
又，则即，
所以，
故选：A
5．（2023春·河南洛阳·高二统考期末）设是定义在上的函数的导函数，且．若（e为自然对数的底数），则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】设，，
所以函数在上单调递减，
若，则，即，
所以，得.
故选：A
6．（2023春·福建漳州·高二统考期末）已知函数的导函数为，若，且，则不等式的解集为 .
【答案】
【详解】令，则，
因为，所以，
所以在上单调递增，又，所以，
不等式，即，即，即，所以，
即不等式的解集为.
故答案为：
7．（2023春·山东枣庄·高二统考期末）已知定义在R上的函数的导函数为，且满足，，则不等式的解集是 ．
【答案】
【详解】依题意，令，求导得，因此函数在R上单调递减，
不等式，由，得，
则有，解得，
所以不等式的解集是.
故答案为：
8．（2023·四川泸州·统考三模）已知函数及其导函数定义域均为R，且，，则关于x的不等式的解集为 ．
【答案】．
【详解】由题得．设，则，
则函数为增函数，且，
则不等式即为，所以.
故答案为：
③构造或型
1．（2023春·四川成都·高二期末）记函数的导函数为，若为奇函数，且当时恒有成立，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】由，得，
因为，所以
所以，
所以，
令，，则，
所以在上单调递增，
对于A，因为，所以，
所以，，
所以，所以A错误，
对于C，因为，所以，
所以，，
所以，
因为为奇函数，所以，
所以， 所以C错误
对于BD，因为，所以，
所以，，
所以，
因为为奇函数，所以，所以B正确，D错误，
所以D错误，
故选：B
8．（2023春·重庆·高二统考期末）设是函数的导函数，当时，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】，
设在单调递增，
，所以A错误；
，
所以，所以B正确；
，所以C错误；
，
，所以D错误.
故选：B
3．（2023春·内蒙古赤峰·高三校考阶段练习）已知是奇函数的导函数，且当时，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】当时，，则由，得；
当时，，则由，得．
令，则，
故g（x）在上单调递增，在上单调递减．
又f（x）是奇函数，所以是偶函数，
故，即，，
即．
与和的大小关系不确定．
故选：A．
4．（2023·全国·高二专题练习）设是定义在的奇函数，其导函数为，且当时， ，则关于的不等式的解集为 .
【答案】
【详解】令，
则，
由条件得当时，，
∴函数在上单调递减．
因为，是奇函数，∴函数为偶函数，
∴函数在上单调递增．
①当时，，不等式可化为，
∴；
②当时，，不等式可化为，
∴．
综上可得不等式的解集为．
故答案为：
5．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域是，其导函数是，若，则关于的不等式的解集为 ．
【答案】
【详解】变形为，
变形为，
故可令g(x)＝f(x)sinx，，
则，
∴g(x)在单调递减，
不等式即为g(x)＜g()，
则，
故答案为：.
④构造或型
1．（2023春·新疆克孜勒苏·高二校考期末）已知函数对于任意的x∈满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】设，则，则在上单调递增，
对于A，，化简得，故A错误；
对于B，，化简得，故B错误；
对于C，，化简得，故C正确；
对于D，，化简得，故D错误.
故选：C.
8．（2023春·陕西西安·高二统考期中）已知是函数的导函数，，且对于任意的有．请你试用构造函数的方法，利用函数的单调性判断下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】令，，则，
故在上单调递增，
而，故，故是偶函数，
故，
即，
故A正确，BCD错误，
故选：A．
3．（2023春·山东聊城·高二山东聊城一中校联考阶段练习）已知偶函数满足对恒成立，下列正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】因为为偶函数，则，
令，则，
所以为偶函数，
又，则当时，
所以在上单调递增，则，
所以，即，故A正确；
，即，
则，即，故B错误；
，即，
则，即，故C错误；
，即，
则，即，故D错误；
故选：A
4．（2023春·陕西咸阳·高二统考期中）已知是函数的导函数，且对于任意的有.请你试用构造函数的方法，利用函数的单调性判断下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】因为，所以，所以为偶函数，
则对于任意的有，
即为对于任意的有，
设，，则，
因为当时，，所以，
所以在上为增函数，
因为，所以，所以，
所以，
所以，故A正确；
因为，所以，所以，
所以，所以，故B不正确；
因为，所以，所以，
所以，所以，故C不正确；
因为，所以，所以，
所以，所以，故D不正确.
故选：A.
5．（多选）（2023春·江西吉安·高二永丰县永丰中学校考期末）已知函数是其导函数，恒有，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【详解】由题意得：令，
于是其导数．
又函数是其导函数，恒有，即，所以，即函数为增函数．
对于选项A：由，有，即，于是，故A正确；
对于选项B：由，有，即，于是，故B正确；
对于选项C：由，有，即，于是，无法比较与的大小关系，故C错误；
对于选项D：由，有，即，于是，即，故D正确.
故选：ABD．
⑤根据不等式（求解目标）构造具体函数
1．（2023·江苏南京·统考二模）已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为．若对任意有，，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】设，则恒成立，故函数在上单调递增.
，则，即，
故.
，即，即，故，解得.
故选：D
8．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在的可导函数，对于任意实数都有成立，且当时，都有，若， 则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】令， 则，
即，故函数为上的偶函数.
当时，都有成立，故，
故在上单调递减，在上单调递增.
，即，
即， 因此，即，
化为： 解得.
故选：A
3．（2023春·吉林白城·高二校考期中）已知函数为定义在R上的偶函数，当时，，，则不等式的解集是 ．
【答案】
【详解】当时，，即，
设，则当时，，
函数在上单调递增，且，
又是定义在R上的偶函数，有，
则，所以是定义在R上的偶函数，
则有在上单调递减，且，
不等式整理得，
可得，即，
当时，，则或，解得或，
又，所以；
当时，，则，解得，
又，所以；
当时，显然不等式不成立；
综上所述，不等式的解集为，
故答案为：．
4．（2023·上海嘉定·上海市嘉定区第一中学校考三模）设函数，的导函数是，，当时，，那么关于的不等式的解是 .
【答案】
【详解】构造，则，其定义域为，
因为，所以是奇函数，
又因为当时，，所以结合是奇函数可知在上单调递增，
原不等式可转化为，即，
所以，解得，
故答案为：
5．（2023·全国·高三专题练习）已知是定义在R上的偶函数，当时，，则不等式的解集是 ．
【答案】
【详解】当时，，，
则在上单调递增，
因为是定义在R上的偶函数，则在上单调递减，
若，即，
可得，解得，
所以不等式的解集是.
故答案为：.