八年级上学期期中考试数学试题 (66)

这是一份八年级上学期期中考试数学试题 (66)，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列各城市地铁标志中，轴对称图形是( )
A. B. C. D.
2. 如果点A(−2,2b+1)与B(2,3)关于y轴对称，则b的值是( )
A. −2B. −1C. 1D. 2
3. 在△ABC中，∠A=30°，∠B=80°，则∠C=( )
A. 60°B. 70°C. 80D. 90°
4. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AB交BC于D，AD=2，则BC的长为( )
A. 6B. 8C. 9D. 10
5. 等腰三角形有一个角为50°，则另两个角分别为( )
A. 50°，50°B. 65°，65°
C. 50°，80°D. 50°，80°或65°，65°
6. 如图，∠A=15°，AB=BC=CD=DE=EF，则∠DEF等于( )
A. 60°B. 65°C. 70°D. 75°
7. 如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E.若△ABC的周长为16，BE=4，则△ABD的周长为( )
A. 6B. 8C. 12D. 20
8. 如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE=CD，则下列结论错误的是( )
A. ∠CED=30°
B. ∠BDE=120°
C. DE=BD
D. DE=AB
9. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，BE是△ABC的角平分线，CD是△ABC的高，BE，CD相交于点F，则∠CFE的度数是( )
A. 40°B. 45°C. 55°D. 60°
10. 如图，AD、CE是△ABC的角平分线，AD、CE相交于点F，已知∠B=60°，则下列说法中正确的个数是( )
①AF=FC；②△AEF≌△CDF；③AE+CD=AC；④∠AFC=120°．
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 如图，将透明直尺叠放在正五边形之上，若正五边形有两个顶点在直尺的边上，且
有一边与直尺的边垂直．则∠α=______．
12. 如图，△ABC与△A′B′C′关于直线对称，则∠B的度数为______．
13. 如图，△ABC中，∠B=∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，∠AFD=152°，∠EDF=______．
14. 如图，在△ABC中，∠A=40°，∠C=30°，P是AC边上的动点，当△BCP为直角三角形时，∠ABP的度数是______．
15. 如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.如果AB=5，AC=3，则AE=______．
16. 如图，P是∠AOB内一定点，点M，N分别在边OA，OB上运动，若∠AOB=30°，OP=6，则△PMN的周长的最小值为______．
三、解答题（本大题共9小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
尺规作图(保留作图痕迹，不写作法)
求作点M，使M到a，b的距离相等，且MP=MQ．
18. (本小题10.0分)
如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一条直线上，AB/​/DE，AB=DE，∠A=∠D．
(1)求证：△ABC≌△DEF；
(2)若BF=11，EC=5，求BE的长．
19. (本小题8.0分)
如图，已知AC、DB的交点为E，AE=DE，∠A=∠D；过点E作EF⊥BC，垂足为F．
(1)求证：△ABE≌△DCE；
(2)求证：F为BC边的中点．
20. (本小题10.0分)
如图，已知BD平分∠ABC，AB=AD，DE⊥AB，垂足为E．
(1)求证：AD//BC；
(2)①若DE=6cm，求点D到BC的距离；
②当∠ABD=35°，∠DAC=2∠ABD时，求∠BAC的度数．
21. (本小题8.0分)
如图，点E在△ABC的边AC上，且∠ABE=∠C，AF平分∠BAE交BE于F，FD/​/BC交AC于点D．
(1)求证：△ABF≌△ADF；
(2)若BE=7，AB=8，AE=5，求△EFD的周长．
22. (本小题8.0分)
如图，△BOC≌△ADC，∠ACB=60°，∠AOB=100，∠BOC=α，连接OD．
(1)求证：△OCD是等边三角形；
(2)直接写出当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．
23. (本小题10.0分)
如图，△ABC是等边三角形，点D为BC上一点(与点B不重合)，过点C作∠ACE=60°，且CE=BD(点E与点A在射线BC同侧)，连接AD，ED.求证：AD=DE．
24. (本小题10.0分)
如图，△ABC是一个锐角三角形，分别以AB，AC向外作等边三角形△ABD，△ACE，连接BE、CD交于点F，连接AF．
(1)求证：CD=BE；
(2)求证：FA平分∠DFE．
25. (本小题10.0分)
如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D是线段BC上一个动点，点F在线段AB上，且∠FDB=12∠ACB，BE⊥DF.垂足E在DF的延长线上．
(1)如图1，当点D与点C重合时，线段BE和DF的数量关系是______；
(2)如图2，当点D不与点B，C重合，(1)的结论是否成立？若成立，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A.不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B.是轴对称图形，故本选项符合题意；
C.不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D.不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】C
【解析】解：∵点P(−2,2b+1)与Q(2,3)关于y轴对称，
∴2b+1=3，
解得：b=1．
故选：C．
关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，进而得出答案．
本题考查了关于y轴对称的点的坐标，掌握好对称点的坐标规律是关键．
3.【答案】B
【解析】解：∠C=180°−∠A−∠B=70°．
故选：B．
根据三角形的内角和是180°，进行计算．
本题考查了三角形的内角和定理，正确记忆三角形的内角和等于180度是解题关键．
4.【答案】A
【解析】解：∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=12(180°−∠BAC)=30°，
∵AD⊥AB，
∴∠DAB=90°，
∵AD=2，
∴BD=2AD=4，
∵∠DAC=∠BAC−∠DAB=30°，
∴∠DAC=∠C=30°，
∴DA=DC=2，
∴BC=BD+DC=4+2=6，
故选：A．
先利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得∠B=∠C=30°，再根据垂直定义可得∠DAB=90°，从而在Rt△ABD中，利用含30度角的直角三角形的性质可得BD=4，然后利用角的和差关系求出∠DAC=30°，从而可得∠DAC=∠C=30°，进而可得DA=DC=2，最后进行计算即可解答．
本题考查了等腰三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，以及含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：①当50°的角为顶角时，底角=(180°−50°)÷2=65°；
②当50°的角为底角时，另只一个底角也为50°，顶角=180°−2×50×=80°．
∴另两个角分别为：50°，80°或65°，65°，
故选D．
已知给出了一个内角是50°，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，分类后还有用内角和定理去验证每种情况是不是都成立．
本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：∵AB=BC=CD=DE=EF，∠A=15°，
∴∠BCA=∠A=15°，
∴∠CBD=∠BDC=∠BCA+∠A=15°+15°=30°，
∴∠ECD=∠CED=∠A+∠CDB=45°，
∴∠EDF=∠EFD=∠A+∠CED=60°，
∴∠DEF=180°−60°−60°=60°．
故选：A．
根据等腰三角形的定义、三角形外角的性质求出∠EDF=∠EFD=∠A+∠CED=60°，再根据三角形内角和定理进行解答即可．
本题考查了等腰三角形的定义，三角形外角的性质和三角形内角和定理，解题的关键是掌握等腰三角形的定义．
7.【答案】B
【解析】解：∵DE是BC的垂直平分线，
∴DB=DC，BC=2BE=8，
∵△ABC的周长为16，
∴AB+BC+AC=16，
∴AB+AC=8，
∴△ABD的周长=AB+AD+BD=AB+AD+DC=AB+AC=8，
故选：B．
根据线段垂直平分线的性质得到DB=DC，BC=2BE=8，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】证明：∵△ABC是等边三角形，BD是中线，
∴∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=30°，
又∵CE=CD，
∴∠CDE=∠CED．
又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，
∴∠CDE=∠CED=12∠BCD=30°，
∴∠DBC=∠DEC=30°，故选项A不符合题意，
∴DB=DE，∠BDE=120°，故选项B，C都不符合题意，
故选：D．
由等边三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=30°，再根据角之间的关系求得∠DBC=∠CED=30°，可得DB=DE，∠BDE=120°．
本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：∵AB=AC，∠A=40°，
∴∠ABC=∠ACB=12(180°−∠A)=70°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=12∠ABC=35°，
∵CD⊥AB，
∴∠CDA=90°，
∴∠ACD=90°−∠A=50°，
∴∠BCD=∠ACB−∠ACD=20°，
∴∠CFE=∠BCD+∠CBE=55°，
故选：C．
先利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得∠ABC=∠ACB=70°，从而利用角平分线的定义可得∠CBE=35°，再根据垂直定义可得∠CDA=90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得∠ACD=50°，从而求出∠BCD=20°，最后利用三角形的外角性质进行计算即可解答．
本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：①假设AF=FC.则∠1=∠4．
∵AD、CE是△ABC的角平分线，
∴∠BAC=2∠1，∠BCA=2∠4，
∴∠BAC=∠BCA．
∴当∠BAC≠∠BCA时，该结论不成立；
故①不一定正确；
②假设△AEF≌△CDF，则∠2=∠3．
同①，当∠BAC=∠BCA时，该结论成立，
∴当∠BAC≠∠BCA时，该结论不成立；
故②不一定正确；
③在AC上取AG=AE，连接FG，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2，
在△AEF与△AGF中，
AE=AG∠2=∠1AF=AF，
∴△AEF≌△AGF(SAS)，
∴∠AFE=∠AFG；
∵AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，
∴∠4+∠1=12∠ACB+12∠BAC=12(∠ACB+∠BAC)=12(180°−∠B)=60°
则∠AFC=180°−∠ECA−∠DAC=120°；
∴∠AFC=∠DFE=120°，∠AFE=∠CFD=∠AFG=60°，
则∠CGF=60°，
∴∠CFD=∠CFG，
在△GFC与△DFC中，
∠CFD=∠CFGCF=CF∠GCF=∠DCF，
∴△GFC≌△DFC(ASA)，
∴DC=GC，
∵AC=AG+GC，
∴AC=AE+CD．
故③正确；
④由③知，∠AFC=180°−∠ECA−∠DAC=120°，即∠AFC=120°；
故④正确；
综上所述，正确的结论有2个．
故选：B．
①、②当AF=FC、△AEF≌△CDF时，需要∠BAC=∠BCA；
③、④在AC上取AG=AE，连接FG，即可证得△AEG≌△AGF，得∠AFE=∠AFG；再证得∠CFG=∠CFD，则根据全等三角形的判定方法AAS即可证△GFC≌△DFC，可得DC=GC，即可得结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
11.【答案】54°
【解析】解：如图，
∵正五边形内角和=(5−2)×180°=540°，
∴∠A=∠AED=540°÷5=108°，
∵BE/​/CD，∠EDC=90°，
∴∠BED=180°−90°=90°，
∴∠AEB=∠AED−∠BED=108°−90°=18°，
在△ABE中∠ABE=180°−∠A−∠AEB=180°−108°−18°=54°，
∵BE/​/CD，
∴∠α=∠ABE=54°．
故答案为：54°．
先求出正五边形每一个内角的度数等于108°，根据平行线的性质求出∠BED=90°，从而得到∠AEB=108°−90°=18°.根据三角形内角和等于180°求出∠ABE的度数，最后“根据两直线平行，同位角相等“即可求出答案．
本题考查多边形内角和，三角形的内角和定理，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于常考题型．
12.【答案】105°
【解析】
【分析】
根据轴对称的性质先求出∠C等于∠C′，再利用三角形内角和定理即可求出∠B．
此题考查关于某直线对称的两图形全等，全等三角形的对应角相等以及三角形的内角和定理．
【解答】
解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，
∴∠C=∠C′=40°，
∴∠B=180°−∠A−∠C
=180°−40°−35°
=105°．
故答案为：105°
13.【答案】62°
【解析】解：∵∠AFD=152°，
∴∠DFC=28°，
∴∠B=∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，
∴∠EDB=∠DFC=28°，
∴∠EDF=180°−∠EDB−∠FDC=180°−90°−28°=62°．
故答案为：62°．
根据平角的定义，求得∠DFC=28°，由于，∠B=∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，根据直角三角形的性质求得∠EDB=∠DFC=28°，即可求得∠EDF．
本题考查了直角三角形的性质，直角三角形两锐角互余是本题的关键．
14.【答案】50°或20°
【解析】解：①当∠BPC为直角时，
∵∠BPC为△ABP的外角，∠A=40°，
∴∠ABP=∠BPC−∠A=50°；
②当∠PBC为直角时，
∵∠A=40°，∠C=30°，
∴∠ABC=180°−∠A−∠C=110°，
∴∠ABP=∠ABC−∠PBC=20°．
故答案为：50°或20°．
分两种情况讨论：①当∠BPC为直角时；②当∠PBC为直角时，结合三角形的内角和定理及三角形的外角性质进行求解即可．
本题主要考查三角形的外角性质，三角形的内角和定理，解答的关键是对直角的位置进行讨论．
15.【答案】4
【解析】解：连接BD，CD，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，
∵DG⊥BC且平分BC，
∴BD=CD，
在Rt△BED与Rt△CFD中，
BD=CDDE=DF，
∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL)，
∴BE=CF，
在△AED和△AFD中，
∠AED=∠AFD=90°∠EAD=∠FADAD=AD，
∴△AED≌△AFD(AAS)，
∴AE=AF，
设BE=x，则CF=x，
∵AB=5，AC=3，AE=AB−BE，AF=AC+CF，
∴5−x=3+x，
解得：x=1，
∴BE=1，
∴AE=AB−BE=5−1=4，
故答案为：4．
连接BD，根据角平分线的性质可得DE=DF，根据线段垂直平分线的性质，可得BD=CD，继而可证得Rt△BED≌Rt△CFD，可得BE=CF，再证得△AED≌△AFD，得到AE=AF，设BE=x，由AB−BE=AC+CF，即可得方程5−x=3+x，解方程求出x，进而可求得AE．
此题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．准确作出辅助线，利用方程思想与数形结合思想求解是解决问题的关键．
16.【答案】6
【解析】解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OP、OC、OD、PM、PN．
∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，
∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；
∵点P关于OB的对称点为D，
∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，
∴OC=OD=OP=6，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°，
∴△COD是等边三角形，
∴CD=OC=OD=62．
∴△PMN的周长的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DN≥CD=6．
故答案为：6．
设点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，当点M、N在CD上时，△PMN的周长最小．
此题主要考查轴对称--最短路线问题，综合运用了等边三角形的知识．
17.【答案】解：如图，点M即为所求．

【解析】利用基本作图作OC平分∠AOB；作线段PQ的垂直平分线交OC于M点．
本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了角平分线的性质和线段垂直平分线的性质．
18.【答案】(1)证明：∵AB//DE，
∴∠B=∠DEF，
在△ABC与△DEF中，
∠A=∠DAB=DE∠B=∠DEF，
∴△ABC≌△DEF(ASA)；
(2)解：∵△ABC≌△DEF，
∴BC=EF，
∴BC−EC=EF−EC，
即BE=CF．
∵BF=11，EC=5，
∴BE+CF=BF−CE=11−5=6，
∴BE=3．
【解析】(1)由平行线的性质得出∠B=∠DEF，根据AAS可证明△ABC≌△DEF；
(2)由全等三角形的性质得出BE=CF，则可求出答案．
本题考查了平行线的性质，全等三角形的性质和判定，关键是根据平行线性质推出∠B=∠DEF解答．
19.【答案】证明：(1)在△ABE和△DCE中，
∠A=∠DAE=DE∠AEB=∠DEC，
∴△ABE≌△DCE(ASA)；
(2)∵△ABE≌△DCE，
∴EB=EC，
又∵EF⊥BC，
∴F为BC边的中点 (三线合一)．
【解析】(1)根据ASA证明△ABE≌△DCE即可；
(2)根据等腰三角形的性质解答即可．
本题考查全等三角形的判定与性质的运用，等腰三角形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
20.【答案】(1)证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC
又∵AB=AD
∴∠ADB=∠ABD
∴∠ADB=∠DBC，
∴AD/​/BC；
(2)解：①作DF⊥BC于F．
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DF=DE=6(cm)，
②∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠ABD=70°，
∵AD/​/BC，
∴∠ACB=∠DAC=70°，
∴∠BAC=180°−∠ABC−∠ACB=180°−70°−70°=40°．
【解析】(1)由BD平分∠ABC，得到∠ABD=∠DBC 根据等腰三角形的性质得到∠D=∠ABD等量代换得到∠D=∠DBC，于是得到结论；
(2)解①作DF⊥BC于F.根据角平分线的性质即可得到结论；②根据角平分线的定义得到∠ABC=2∠ABD=70°，由平行线的性质得到∠ACB=∠DAC=70°，于是得到结论．
本题考查了等腰三角形的性质，平行线的判定，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
21.【答案】解：(1)∵FD//BC，
∴∠ADF=∠C，
∵∠ABF=∠C，
∴∠ABF=∠ADF，
∵AF平分∠BAE，
∴∠BAF=∠CAF，
在△ABF和△ADF中，
∠BAF=∠DAF∠ABF=∠ADFAF=AF，
∴△ABF≌△ADF(AAS)；
(2)∵△ABF≌△ADF，
∴AD=AB=8，BF=DF，
∵AE=5，
∴DE=AD−AE=8−5=3，
∴△EFD的周长=EF+DF+DE=EF+BF+DE=BE+DE=7+3=10．
【解析】(1)根据平行线的性质得到∠ADF=∠C，等量代换得到∠ABF=∠ADF，由角平分线的定义得到∠BAF=∠CAF，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
(2)根据全等三角形的性质得到AD=AB=8，BF=DF，由线段的和差得到DE=AD=AE=8−5=3，根据三角形的周长公式即可得到结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，根据全等三角形的判定定理证得△ABF≌△ADF是解题的关键．
22.【答案】(1)证明：∵△BOC≌△ADC，
∴∠OCD=60°，CO=CD，
∴△OCD是等边三角形；
(2)解：α=100°或130°或160°时，△AOD是等腰三角形．
理由：∵△COD是等边三角形．
∴∠COD=∠ODC=60°，
∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，
∴∠ADC=∠BOC=α，
∴∠ADO=∠ADC−∠CDO=α−60°，
∠AOB+∠α+∠COD+∠AOD=360°，
∴∠α+∠AOD=360°−100°−60°=200°，
∠ADO+∠AOD=140°，
∴∠OAD=180°−140°=40°，
①若∠ADO=∠AOD=70°，△AOD是等腰三角形，
∴α=200°−∠AOD=130°，
②若∠OAD=∠ADO=40°，△AOD是等腰三角形，
则∠AOD=100°，
α=200°−∠AOD=100°，
③若∠OAD=∠AOD=40°，△AOD是等腰三角形，
则∠ADO=100°，
α=200°−∠AOD=160°，
∴α=100°或130°或160°时，△AOD是等腰三角形．
【解析】(1)由全等三角形的性质可知CO=CD，∠OCD=60°，可判断：△COD是等边三角形；
(2)由(1)可知∠COD=60°，当α=130°时，∠ADO=∠ADC−∠CDO，可判断△AOD为等腰三角形．
本题考查了全等三角形的性质，等边三角形的判定，等腰三角形的性质，关键是熟练掌握全等三角形的性质．
23.【答案】证明：如图，在AB上截取AF=DC，连接FD，

∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠B=∠ACB=60°，
又∵AF=DC，
∴BF=BD，
∴△BDF是等边三角形，
∴∠BFD=60°，BD=DF，
∴∠AFD=120°，
∵∠ACE=60°，
∴∠DCE=∠ACB+∠ACE=120°，
∴∠DCE=∠AFD，
∵CE=BD，
∴CE=DF，
在△ADF和△DEC中，
CE=DF∠DCE=AFDDC=AF，
∴△ADF≌△DEC(SAS)，
∴AD=DE．
【解析】在AB上截取AF=DC，连接FD，根据等边△ABC的性质，可得△BDF是等边三角形，从而得到BD=DF，∠AFD=120°，再由∠ACE=60°，可得到∠DCE=∠ACB+∠ACE=120°，从而证得△ADF≌△DEC，即可求证．
本题主要考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，得到△ADF≌△DEC是解题的关键．
24.【答案】证明：(1)∵△DAB、△EAC均为等边三角形，
∴DA=AB，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAB+∠CAB=∠EAC+∠CAB，
即：∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中，
DA=BA∠DAC=∠BAEAC=AE，
∴△DAC≌△BAE(SAS)；
(2)如图，作AH⊥DC于H，AN⊥BE于N，

∵△DAC≌△BAE，
∴∠ADC=∠ABE，DC=BE，
又∵∠AMD=∠BMF，
∴∠DFB=∠DAB=60°，
∴∠DFE=180°−∠DFB=120°，
又∵S△DAC=S△ABE，
∴12×DC×AH=12BE×AN，
∴AH=AN，
又AH⊥DC，AN⊥BE，
∴AF平分∠DFE．
【解析】(1)由等边三角形的性质得出DA=AB，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，得出∠DAB+∠CAB=∠EAC+∠CAB，可证明△DAC≌△BAE(SAS)；
(2)作AH⊥DC于H，AN⊥BE于N，证出∠DFE=180°−∠DFB=120°，由三角形面积可得出AH=AN，由角平分线的判定可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质．角平分线的判定和性质、直角三角形30度角性质等知识，证明△DAC≌△BAE是解题的关键．
25.【答案】BE=12FD
【解析】解：(1)如图2，延长CA与BE交于点G，

∵∠FDB=12∠ACB，
∴∠EDG=12∠ACB，
∴∠BDE=∠EDG，
即CE是∠BCG的平分线，
又∵BE⊥DE，
∴BE=EG=12BG，
∵∠BED=∠BAD=90°，∠BFE=∠CFA，
∴∠EBF=∠ACF，
即∠ABG=∠ACF，
在△ABG和△ACF中，
∠ABG=∠ACFAB=AC∠BAG=∠CAF=90°，
∴△ABG≌△ACF(ASA)，
∴BG=CF=FD，
又∵BE=12BG，
∴BE=12FD．
故答案为：BE=12FD．
(2)BE=12FD，
理由如下：如图2，过点D作DG/​/AC，与AB交于H，与BE的延长线交于G，
，
∵DG/​/AC，∠BAC=90°，
∴∠BDG=∠C，∠BHD=∠BHG=∠BAC=90°，
又∵∠BDE=12∠ACB，
∴∠EDG=∠BDG−∠BDE=∠C−12∠C=12∠C，
∴∠BDE=∠EDG，
在△DEB和△DEG中，
∠BDE=∠EDGDE=DE∠DEB=∠DEG=90°，
∴△DEB≌△DEG(ASA)，
∴BE=EG=12BG，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=∠GDB，
∴HB=HD，
∵∠BED=∠BHD=90°，∠BFE=∠DFH，
∴∠EBF=∠HDF，
即∠HBG=∠HDF，
在△BGH和△DFH中，
∠HBG=∠HDFHB=HD∠BHG=∠DHF，
∴△BGH≌△DFH(ASA)，
∴BG=FD，
又∵BE=12BG，
∴BE=12FD．
(1)首先延长CA与BE交于点G，根据∠FDB=12∠ACB，BE⊥DE，判断出BE=EG=12BG；然后根据全等三角形的判定方法，判断出△ABG≌△ACF，即可判断出BG=CF=FD，再根据BE=12BG，可得BE=12FD，据此判断即可．
(2)首先过点D作DG/​/AC，与AB交于H，与BE的延长线交于G，根据DG/​/AC，∠BAC=90°，判断出∠BDE=∠EDG；然后根据全等三角形的判定方法，判断出△DEB≌△DEG，即可判断出BE=EG=12BG；最后根据全等三角形的判定方法，判断出△BGH≌△DFH，即可判断出BG=FD，所以BE=12FD，据此判断即可．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．