八年级上学期期中考试数学试题 (58)

这是一份八年级上学期期中考试数学试题 (58)，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下面四个图形分别是不可回收垃圾、可回收垃圾、有害垃圾、其它垃圾的标志，这四个标志中是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．4cm，5cm，9cmB．8cm，8cm，15cm
C．5cm，5cm，10cmD．6cm，7cm，14cm
3．（3分）如图，已知AE＝CF，∠AFD＝∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（ ）
A．∠A＝∠CB．AD＝CBC．BE＝DFD．AD∥BC
4．（3分）如图所示，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带（ ）去．
A．①B．②C．③D．①和②
5．（3分）如图，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD＝BC，再定出BF的垂线DE，使A、C、E在一条直线上，可以证明△EDC≌△ABC，得到ED＝AB，因此测得ED的长就是AB的长（如图），判定△EDC≌△ABC的理由是（ ）
A．SASB．ASAC．SSSD．HL
6．（3分）如图，是作△ABC的作图痕迹，则此作图的已知条件是（ ）
A．两角及夹边B．两边及夹角
C．两角及一角的对边D．两边及一边的对角
7．（3分）工人师傅常用角尺平分一个任意角．作法如下：如图所示，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，过角尺顶点C的射线OC即是∠AOB的平分线．这种作法的道理是（ ）
A．HLB．SSSC．SASD．ASA
8．（3分）如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且B，E，C在同一直线上时，电线杆DE就垂直于BC．工程人员这种操作方法的依据是（ ）
A．等边对等角
B．等腰三角形“三线合一”
C．垂线段最短
D．线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等
9．（3分）如图，A、B、C三点在同一条直线上，∠A＝52°，BD是AE的垂直平分线，垂足为D，则∠EBC的度数为（ ）
A．52°B．76°C．104°D．128°
10．（3分）已知点A，B是两个居民区的位置，现在准备在墙l边上建立一个垃圾站点P，如图是4位设计师给出的规划图，其中PA+PB距离最短的是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（每题3分，共24分）
11．（3分）如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的根据是 ．
12．（3分）如图，CA＝CD，∠ACD＝∠BCE，请添加一个条件 ，使△ABC≌△DEC．
13．（3分）如果一个多边形的内角和等于它外角和的3倍，则这个多边形的边数是 ．
14．（3分）如图，在由6个相同的小正方形拼成的网格中，∠2﹣∠1＝ °．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE＝，则BC＝ ．
16．（3分）如图，已知AD、DE、EF分别是△ABC、△ABD、△AED的中线，若S△ABC＝24cm2，则阴影部分△DEF的面积为 ．
17．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，
则下列结论
①AD平分∠CDE；
②∠BAC＝∠BDE；
③DE平分∠ADB；
④BE+AC＝AB．
一定成立的结论有 ．（填序号）
18．（3分）如图，竖直放置一等腰直角三角板，直角顶点C紧靠在桌面，AD⊥DE，BE⊥DE．垂足分别为D，E．则线段DE、AD、BE之间的关系是 ．
三、解答题（共66分）
19．（10分）如图，点A，B，C，D在同一直线上，AB＝CD，AE∥DF，EC∥BF．
求证：AE＝DF．
20．（10分）已知如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，DE垂直平分AB于D，交BC于E点，求证：CE＝2BE．
21．（10分）已知：如图，在△ABC中，D为BC的中点，AD平分∠BAC．
求证：AD⊥BC．
证明：∵AD为BC边上的中线，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC
问：上面的证明过程是否正确？若正确，请说明理由；若不正确，请写出你认为正确的证明过程．
22．（12分）如图，在△ABC中，CD⊥BD，垂足为D，且CD＝BD．BE平分∠ABC，且BE⊥AC，垂足为E，交CD于点F．
（1）求证：AE＝CE；
（2）求证：BF＝2CE．
23．（12分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．
（1）在AB边上求作点D，使得DA＝DC；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）所作的图形中，连接DC，试说明∠ADC＝2∠B．
24．（12分）【问题情境】
利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，OP平分∠MON．点A为OM上一点，过点A作AC⊥OP，垂足为C，延长AC交ON于点B，可根据ASA证明△AOC≌△BOC，则AO＝BO，AC＝BC（即点C为AB的中点）．
【问题探究】
如图2，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上，试探究BE和CD的数量关系，并证明你的结论；
【拓展延伸】
如图3，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在线段BC上，且∠BDE＝∠ACB，BE⊥DE于E，DE交AB于F，试探究BE和DF之间的数量关系，并证明你的结论．
2022-2023学年河南省漯河市临颍县八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下面四个图形分别是不可回收垃圾、可回收垃圾、有害垃圾、其它垃圾的标志，这四个标志中是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．4cm，5cm，9cmB．8cm，8cm，15cm
C．5cm，5cm，10cmD．6cm，7cm，14cm
【分析】结合“三角形中较短的两边之和大于第三边”，分别套入四个选项中的三边长，即可得出结论．
【解答】解：A、∵5+4＝9，9＝9，
∴该三边不能组成三角形，故此选项错误；
B、8+8＝16，16＞15，
∴该三边能组成三角形，故此选项正确；
C、5+5＝10，10＝10，
∴该三边不能组成三角形，故此选项错误；
D、6+7＝13，13＜14，
∴该三边不能组成三角形，故此选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是：用较短的两边长相加与第三边作比较．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合三角形三边关系，代入数据来验证即可．
3．（3分）如图，已知AE＝CF，∠AFD＝∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（ ）
A．∠A＝∠CB．AD＝CBC．BE＝DFD．AD∥BC
【分析】根据等式的性质由AE＝CF可得AF＝CE，然后利用全等三角形的判定方法逐一判断即可解答．
【解答】解：∵AE＝CF，
∴AE+EF＝CF+EF，
∴AF＝CE，
A、在△ADF和△CBE中，∠A＝∠C，AF＝CE，∠AFD＝∠CEB，
∴△ADF≌△CBE（ASA），
故A不符合题意；
B、在△ADF和△CBE中，AD＝BC，AF＝CE，∠AFD＝∠CEB，
∴△ADF与△CBE不一定全等，
故B符合题意；
C、在△ADF和△CBE中，AF＝CE，∠AFD＝∠CEB，DF＝BE，
∴△ADF≌△CBE（SAS），
故C不符合题意；
D、∵AD∥BC，
∴∠A＝∠C，
在△ADF和△CBE中，∠A＝∠C，AF＝CE，∠AFD＝∠CEB，
∴△ADF≌△CBE（ASA），
故D不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查全等三角形的判定，熟记判定三角形全等的方法是解题的关键．
4．（3分）如图所示，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带（ ）去．
A．①B．②C．③D．①和②
【分析】此题可以采用排除法进行分析从而确定最后的答案．
【解答】解：第一块，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法；
第二块，仅保留了原三角形的一部分边，所以该块不行；
第三块，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，所以符合ASA判定，所以应该拿这块去．
故选：C．
【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的灵活运用，要求对常用的几种方法熟练掌握．
5．（3分）如图，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD＝BC，再定出BF的垂线DE，使A、C、E在一条直线上，可以证明△EDC≌△ABC，得到ED＝AB，因此测得ED的长就是AB的长（如图），判定△EDC≌△ABC的理由是（ ）
A．SASB．ASAC．SSSD．HL
【分析】根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，要根据已知选择判断方法．
【解答】解：因为证明在△ABC≌△EDC用到的条件是：CD＝BC，∠ABC＝∠EDC，∠ACB＝∠ECD，
所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法．
故选：B．
【点评】此题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，做题时注意选择．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
6．（3分）如图，是作△ABC的作图痕迹，则此作图的已知条件是（ ）
A．两角及夹边B．两边及夹角
C．两角及一角的对边D．两边及一边的对角
【分析】根据作图痕迹判断即可．
【解答】解：由作图可知，这个作图的条件是两边夹角．
故选：B．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，解题的关键是读懂作图痕迹，灵活运用所学知识解决问题．
7．（3分）工人师傅常用角尺平分一个任意角．作法如下：如图所示，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，过角尺顶点C的射线OC即是∠AOB的平分线．这种作法的道理是（ ）
A．HLB．SSSC．SASD．ASA
【分析】由三边相等得△COM≌△CON，即由SSS判定三角全等．做题时要根据已知条件结合判定方法逐个验证．
【解答】解：由图可知，CM＝CN，又OM＝ON，OC为公共边，
∴△COM≌△CON，
∴∠AOC＝∠BOC，
即OC即是∠AOB的平分线．
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质．要熟练掌握确定三角形的判定方法，利用数学知识解决实际问题是一种重要的能力，要注意培养．
8．（3分）如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且B，E，C在同一直线上时，电线杆DE就垂直于BC．工程人员这种操作方法的依据是（ ）
A．等边对等角
B．等腰三角形“三线合一”
C．垂线段最短
D．线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等
【分析】根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵AB＝AC，BE＝CE，
∴AE⊥BC，
故工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
9．（3分）如图，A、B、C三点在同一条直线上，∠A＝52°，BD是AE的垂直平分线，垂足为D，则∠EBC的度数为（ ）
A．52°B．76°C．104°D．128°
【分析】根据线段垂直平分线的性质，得AB＝BE，根据等腰三角形的性质，得∠E＝∠A，再根据三角形外角的性质即可求解．
【解答】解：∵BD是AE的垂直平分线，
∴AB＝BE，
∴∠E＝∠A＝52°，
∴∠EBC＝∠E+∠A＝104°．
故选：C．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和三角形的外角的性质；要熟练掌握并综合运用这些性质．
10．（3分）已知点A，B是两个居民区的位置，现在准备在墙l边上建立一个垃圾站点P，如图是4位设计师给出的规划图，其中PA+PB距离最短的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】先作B关于直线l的对称点，连接点A和对称点与l交于点P，此时PA+PB距离最短．
【解答】解：先作B关于直线l的对称点，连接点A和对称点与l交于点P，此时PA+PB距离最短．
故选：A．
【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路径问题，利用轴对称的性质对线段进行转化是解题的关键．
二、填空题（每题3分，共24分）
11．（3分）如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的根据是 三角形的稳定性 ．
【分析】根据三角形的稳定性，可直接填空．
【解答】解：加上EF后，原图形中具有△AEF了，故这种做法根据的是三角形的稳定性．
故答案为：三角形的稳定性．
【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用，三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．
12．（3分）如图，CA＝CD，∠ACD＝∠BCE，请添加一个条件 CB＝CE（答案不唯一） ，使△ABC≌△DEC．
【分析】根据等式的性质可得∠DCE＝∠ACB，然后再利用全等三角形的判定方法SAS，ASA或AAS即可解答．
【解答】解：∵∠ACD＝∠BCE，
∴∠ACD+∠ACE＝∠BCE+∠ACE，
∴∠DCE＝∠ACB，
∵CA＝CD，CB＝CE，
∴△ABC≌△DEC（SAS），
故答案为：CB＝CE（答案不唯一）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
13．（3分）如果一个多边形的内角和等于它外角和的3倍，则这个多边形的边数是 8 ．
【分析】根据多边形的内角和公式及外角的特征计算．
【解答】解：多边形的外角和是360°，根据题意得：
180°•（n﹣2）＝3×360°
解得n＝8．
故答案为：8．
【点评】本题主要考查了多边形内角和公式及外角的特征．求多边形的边数，可以转化为方程的问题来解决．
14．（3分）如图，在由6个相同的小正方形拼成的网格中，∠2﹣∠1＝ 90 °．
【分析】连接AC，利用全等三角形的性质解答即可．
【解答】解：如图所示：
由图可知△ABF与△CED全等，
∴∠BAF＝∠ECD，
∴∠2﹣∠1＝90°，
故答案为：90．
【点评】本题考查了全等图形，主要利用了网格结构以及全等三角形的判定与性质，准确识图并确定出全等三角形是解题的关键．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE＝，则BC＝ 3 ．
【分析】根据角平分线的性质即可求得CD的长，然后在直角△BDE中，根据30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得BD长，则BC即可求得．
【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴CD＝DE＝，
又∵直角△BDE中，∠B＝30°，
∴BD＝2DE＝2，
∴BC＝CD+BD＝+2＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了角的平分线的性质以及直角三角形的性质，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半，理解性质定理是关键．
16．（3分）如图，已知AD、DE、EF分别是△ABC、△ABD、△AED的中线，若S△ABC＝24cm2，则阴影部分△DEF的面积为 3cm2 ．
【分析】根据三角形面积公式由点D为BC的中点得到S△ABD＝S△ABC＝12cm2，同理得到结论．
【解答】解：∵点D为BC的中点，
∴S△ABD＝S△ADC＝S△ABC＝12（cm2），
∵点E为AB的中点，
∴S△EAD＝S△ABD＝6（cm2），
∵点F为AD的中点，
∴S△DEF＝S△ADE＝3（cm2），
即阴影部分的面积为3cm2．
故答案为：3cm2．
【点评】本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△＝×底×高．
17．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，
则下列结论
①AD平分∠CDE；
②∠BAC＝∠BDE；
③DE平分∠ADB；
④BE+AC＝AB．
一定成立的结论有 ①②④ ．（填序号）
【分析】根据题中条件，结合图形及角平分线的性质得到结论，与各选项进行比对，排除错误答案，选出正确的结果．
【解答】解：∵AD平分∠BAC
∴∠DAC＝∠DAE
∵∠C＝90°，DE⊥AB
∴∠C＝∠E＝90°
∵AD＝AD
∴△DAC≌△DAE
∴∠CDA＝∠EDA
∴①AD平分∠CDE正确；
无法证明∠BDE＝60°，
∴③DE平分∠ADB错误；
∵BE+AE＝AB，AE＝AC
∴BE+AC＝AB
∴④BE+AC＝AB正确；
∵∠BDE＝90°﹣∠B，∠BAC＝90°﹣∠B
∴∠BDE＝∠BAC
∴②∠BAC＝∠BDE正确．
故答案为①②④．
【点评】本题考查了角平分线的性质；题目是一道结论开放性题目，考查了同学们利用角平分线的性质解决问题的能力，有利于培养同学们的发散思维能力．
18．（3分）如图，竖直放置一等腰直角三角板，直角顶点C紧靠在桌面，AD⊥DE，BE⊥DE．垂足分别为D，E．则线段DE、AD、BE之间的关系是 DE＝BE+AD ．
【分析】根据△ABC是等腰直角三角形，可得∠ACB＝90°，AC＝BC，然后证明△ADC≌△CEB，进而可得结论．
【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，
∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠BCE＝∠DAC，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴DC＝EB，
∴DE＝DC+CE＝BE+AD．
故答案为：DE＝BE+AD．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．
三、解答题（共66分）
19．（10分）如图，点A，B，C，D在同一直线上，AB＝CD，AE∥DF，EC∥BF．
求证：AE＝DF．
【分析】根据等式的性质得出AC＝BD，利用ASA证明△ACE与△DBF全等，进而解答即可．
【解答】证明：∵AB＝CD，
∴AB+BC＝CD+BC，
∴AC＝BD，
∵AE∥DF，
∴∠A＝∠D，
∵EC∥BF，
∴∠ECA＝∠FBD，
在△ACE与△DBF中，
，
∴△ACE≌△DBF（ASA），
∴AE＝DF．
【点评】此题主要考查了平行线的性质和判定，全等三角形的判定和性质，做题的关键是找出证三角形全等的条件．
20．（10分）已知如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，DE垂直平分AB于D，交BC于E点，求证：CE＝2BE．
【分析】连接AE，根据等腰三角形性质和三角形的内角和定理求出∠C＝∠B＝30°，根据线段垂直平分线求出BE＝AE，求出∠EAC＝90°，根据含30度角的直角三角形性质求出CE＝2AE即可．
【解答】证明：连接AE，
∵AB＝AC，∠A＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵DE垂直平分AB，
∴BE＝AE，
∴∠BAE＝∠B＝30°，
∴∠EAC＝120°﹣30°＝90°，
∵∠C＝30°，
∴CE＝2AE，
∵BE＝AE，
∴CE＝2BE．
【点评】本题考查了线段垂直平分线性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形性质等知识点，主要考查运用性质进行推理的能力．
21．（10分）已知：如图，在△ABC中，D为BC的中点，AD平分∠BAC．
求证：AD⊥BC．
证明：∵AD为BC边上的中线，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC
问：上面的证明过程是否正确？若正确，请说明理由；若不正确，请写出你认为正确的证明过程．
【分析】过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于N．由AD为角平分线，利用角平分线性质得到DM＝DN，再由BD＝CD，利用HL得到直角三角形BDM与直角三角形CDN全等，得到三角形ABC为等腰三角形，再利用等腰三角形三线合一的性质得到结论．
【解答】解：不正确．
证明：过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于N．
∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM＝DN，
∵D为BC的中点，
∴BD＝CD，
在Rt△BDM和Rt△CDN中，
∴Rt△BDM≌Rt△CDN（HL），
∴∠B＝∠C．
∴AB＝AC，
∵AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及角平分线性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
22．（12分）如图，在△ABC中，CD⊥BD，垂足为D，且CD＝BD．BE平分∠ABC，且BE⊥AC，垂足为E，交CD于点F．
（1）求证：AE＝CE；
（2）求证：BF＝2CE．
【分析】（1）证明△CBE≌△ABE（ASA）即可．
（2）证明△BDF≌△CDA，可得BF＝AC，由（1）知：CE＝AE，即可解决问题．
【解答】证明：（1）∵BE⊥AC，
∴∠BEC＝∠BEA＝90°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBC＝∠EBA，
在△CBE和△ABE中，
，
∴△CBE≌△ABE（ASA），
∴AE＝CE；
（2）∵BE⊥AC，CD⊥AB，
∴∠CDA＝∠CDB＝∠BEA＝90°，
∴∠EBA+∠A＝90°，∠ACD+∠A＝90°，
∴∠EBA＝∠ACD，
在△BDF和△CDA中，
，
∴△BDF≌△CDA（ASA ），
∴BF＝AC，
∵AE＝CE，
∴BF＝AC＝2CE．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
23．（12分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．
（1）在AB边上求作点D，使得DA＝DC；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）所作的图形中，连接DC，试说明∠ADC＝2∠B．
【分析】（1）作线段AC的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，点D即为所求；
（2）利用等腰三角形的三线合一的性质证明即可．
【解答】（1）解：如图，点D为所求作的点；
（2）证明：如图，由（1）得DE⊥AC，
∴∠AED＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠AED＝∠ACB，
∴DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠EDC＝∠DCB
∵DA＝DC，DE⊥AC，
∴∠ADE＝∠EDC，
∴∠B＝∠DCB，
∴∠ADC＝∠B+∠DCB＝2∠B．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
24．（12分）【问题情境】
利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，OP平分∠MON．点A为OM上一点，过点A作AC⊥OP，垂足为C，延长AC交ON于点B，可根据ASA证明△AOC≌△BOC，则AO＝BO，AC＝BC（即点C为AB的中点）．
【问题探究】
如图2，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上，试探究BE和CD的数量关系，并证明你的结论；
【拓展延伸】
如图3，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在线段BC上，且∠BDE＝∠ACB，BE⊥DE于E，DE交AB于F，试探究BE和DF之间的数量关系，并证明你的结论．
【分析】【问题探究】结论：CD＝2BE．延长BE交CA延长线于F，证明△CEF≌△CEB（ASA），推出FE＝BE，再证明△ACD≌△ABF（ASA），可得结论；
【拓展延伸】结论：．过点D作DG∥AC，交BE的延长线于点G，与AF相交于H，过点D作DG∥AC，交BE的延长线于点G，与AE相交于H，证明方法类似．
【解答】解：【问题探究】结论：CD＝2BE，理由如下：
延长BE交CA延长线于F，
∵CD平分∠ACB，
∴∠FCE＝∠BCE，
在△CEF和△CEB中，
，
∴△CEF≌△CEB（ASA），
∴FE＝BE，
∵∠DAC＝∠CEF＝90°，
∴∠ACD+∠F＝∠ABF+∠F＝90°，∴∠ACD＝∠ABF，
在△ACD和△ABF中，
，
∴△ACD≌△ABF（ASA），
∴CD＝BF，
∴CD＝2BE．
【拓展延伸】结论：．理由如下：
过点D作DG∥AC，交BE的延长线于点G，与AF相交于H，
∵DG∥AC，
∴∠GDB＝∠C，∠BHD＝∠A＝90°，
∵，
∴，
∵BE⊥ED，
∴∠BED＝90°，
∴∠BED＝∠BHD，
∵∠EFB＝∠HFD，
∴∠EBF＝∠HDF，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠C＝∠ABC＝45°，
∵DG∥AC，
∴∠GDB＝∠C＝45°，
∴∠GDB＝∠ABC＝45°，
∴BH＝DH，
在△BGH和△DFH中，
，
∴△BGH≌△DFH（ASA），
∴BG＝DF，
在△BDE和△GDE中，
，
∴△BDE≌△GDE（ASA）
∴BE＝EG，
∴．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．