人教版九年级数学上册 24.19 切线性质和判定定理（基础篇）（专项练习）

这是一份人教版九年级数学上册 24.19 切线性质和判定定理（基础篇）（专项练习），共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．平面内，⊙的半径为，点到圆心的距离为，过点可作⊙的切线条数（ ）
A．条B．条C．条D．无数条
2．下列直线是圆的切线的是（ ）
A．与圆有公共点的直线B．到圆心的距离等于半径的直线
C．到圆心的距离大于半径的直线D．到圆心的距离小于半径的直线
3．如图，内接于，过A点作直线，当（ ）时，直线与相切．
A．B．C．D．
4．如图，PA、PB是⊙O切线，A、B为切点，点C在⊙O上,且∠ACB＝55°，则∠APB等于( )
A．55°B．70°C．110°D．125°
5．如图是切线，点A为切点，交于点C，点D在上，连接，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，AB与⊙O相切于点C，OA＝OB，⊙O的直径为8，AB＝10，则OA的长为（ ）
A．3B．6C．D．
7．如图，BM与⊙O相切于点B，若∠MBA＝140°，则∠ACB的度数为（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
8．如图，为的直径，过圆上一点作的切线，交的延长线于点，连接，若，则的度数为（ ）
A．15°B．20°C．25°D．30°
9．如图，、分别与相切于、，，为上一点，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，是的直径，点，在上，点是的中点，过点画的切线，交的延长线于点，连接．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．如图，为的直径，，当________时，直线与相切．
12．下面给出了用三角尺画一个圆的切线的步骤示意图，但顺序需要进行调整，正确的画图步骤是________．
13．如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，∠P＝70°，则∠ABO＝________．
14．如图，在平面直角坐标系xOy中，ABCO的顶点A，B的坐标分别是A（3，0），B（0，2），动点P在直线y=x上运动，以点P为圆心，PB长为半径的⊙P随点P运动，当⊙P与四边形ABCO的边所在直线相切时，P点的坐标为_____．
15．如图，在△ABC中，D是边BC上的一点，以AD为直径的⊙O交AC于点E，连接DE．若⊙O与BC相切，∠ADE=55°，则∠C的度数为_____________ ．
16．如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O恰好过BC的中点D，过点D作DE⊥AC于E，连结OD，则下列结论中：①OD∥AC；②∠B＝∠C；③2OA＝BC；④DE是⊙O的切线；⑤∠EDA＝∠B，正确的序号是_____．
17．如图，与正五边形ABCDE的边AB、DE分别相切于点B、D，则劣弧所对的圆心角的大小为_____度．
18．如图，在平面直角坐标系中，已知点，为平面内的动点，且满足，为直线上的动点，则线段长的最小值为________.
三、解答题
19．如图，在△ABC，AC＝BC，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E．求证：DE为⊙O的切线．
20．如图，在中，，平分交于点，点在上，以点为圆心，为半径的圆恰好经过点，交于点．
(1) 求证：是的切线；
(2) 若，，求的长．
21．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°．
(1) 请用尺规作出⊙O的切线AD（保留作图痕迹，不写作法）；
(2) 在（1）的条件下，若AB与切线AD所夹的锐角为75°，⊙O的半径为2，求BC的长．
22．如图，是的外接圆，圆心在上，且，是上一点，过作的垂线交于点，交的延长线于点，直线交于点，．
（1）求证：是的切线．
（2）设的半径为，且，求的长．
23．如图，在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点D作切线DE交AB的延长线于点E，交BC于点F．
(1) 求证：BC⊥DE；
(2) 若AB＝4，∠A＝30°，填空：
① 线段AD的长为______；② 线段BF的长为______．
24．如图，已知直线交于A、B两点，是的直径，点C为上一点，且平分，过C作，垂足为D．
（1）求证：为的切线；
（2）求和的数量关系；
（3）若，的直径为20，求的长度．
参考答案
1．A
【分析】
先确定点与圆的位置关系，再根据切线的定义即可得到答案．
解：⊙的半径为，点到圆心的距离为，
,
点与⊙的位置关系是：点在⊙的内部，
过点可以作⊙的条切线．
故选：A．
【点拨】本题考查了点与圆的位置关系，切线的定义，切线是圆与直线有且只有一个公共点的直线，正确的理解定义是解题的关键．
2．B
【分析】
根据切线的判定定理:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线,可判定C、D错误;由切线的定义:到圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线,可判定A错误,B正确.
解：A、与圆只有一个交点的直线是圆的切线,故本选项错误;
B、到圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线,故本选项正确;
C、经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线,故本选项错误;
D、经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线,故本选项错误.
故选B.
【点拨】本题考查了切线的判定方法，如果直线与圆只有一个公共点，这时直线与圆的位置关系叫做相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点；经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
3．C
【分析】
首先过点O作直径AF，连接BF，根据同弧所对的圆周角相等可得∠C＝∠AFB，进而可得到∠BAE＝∠F，再根据直径所对的圆周角是90°，可证出∠AFB+∠BAF＝90°，再利用等量代换可得∠BAE+∠BAF＝90°，进而得到直线DE与⊙O相切．
解：当时，直线与相切．
理由如下：
作AF交圆O于F点，连接BF．
∵∠F，∠C是同弧AB所对的角，
∴∠C＝∠F，
∵∠BAE＝∠C，
∴∠BAE＝∠F，
∵AF为直径，
∴∠ABF＝90°，
∴在三角形ABF中，∠F+∠BAF＝90°，
∵∠F＝∠BAE，
∴∠BAE+∠BAF＝90°，
∴FA⊥DE，
∴直线DE与⊙O相切．
故选：C
．
【点拨】此题主要考查了切线的判定，关键是正确作出辅助线，证明∠BAE+∠BAF＝90°．
4．B
【分析】
根据圆周角定理构造它所对的弧所对的圆心角，即连接OA，OB，求得∠AOB＝110°，再根据切线的性质以及四边形的内角和定理即可求解．
解：连接OA，OB，
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA⊥OA，PB⊥OB，
∵∠ACB＝55°，
∴∠AOB＝110°，
∴∠APB＝360°−90°−90°−110°＝70°．
故选B．
【点拨】本题考查了多边形的内角和定理，切线的性质，圆周角定理的应用，关键是求出∠AOB的度数．
5．B
【分析】
根据同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，由可求出∠AOC=．再由AB为圆O的切线，得AB⊥OA，由直角三角形的两锐角互余，即可求出∠ABO的度数，
解：∵ ，
∴，
∵AB为圆O的切线，
∴AB⊥OA，即∠OAB=90°，
∴，
故选：B．
【点拨】此题考查了切线的性质，以及圆周角定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．
6．D
【分析】
连接OC，直接利用切线的性质得出AC的长，再利用勾股定理得出答案．
解：连接OC，
∵AB与⊙O相切于点C，
∴OC⊥AB，
∵OA＝OB，
∴AC＝BC＝AB＝5，
在Rt△AOC中，
OA＝．
故选：D．
【点拨】本题主要查了圆的切线的性质，结合勾股定理计算是解题的关键．
7．A
【分析】
连接OA、OB，由切线的性质知∠OBM=90°，从而得∠ABO=∠BAO=50°，由内角和定理知∠AOB=80°，根据圆周角定理可得答案．
解：如图，连接、，
与相切，
，
又，
，
，，
，
．
故选：A．
【点拨】本题主要考查切线的性质，解题的关键是掌握切线的性质：①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
8．B
【分析】
连接OC，根据圆周角定理得到∠COD＝2∠A，根据切线的性质计算即可．
解：连接OC，
由圆周角定理得，∠COD＝2∠A＝70°，
∵CD为⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠D＝90°−∠COD＝20°，
故选：B．
【点拨】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
9．C
【分析】
由切线的性质得出∠OAP=∠OBP=90°，利用四边形内角和可求∠AOB=110°，再利用圆周角定理可求∠ADB=55°，再根据圆内接四边形对角互补可求∠ACB．
解：如图所示，连接OA，OB，在优弧AB上取点D，连接AD，BD，
∵AP、BP是切线，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴∠AOB=360°-90°-90°-70°=110°，
∴∠ADB=55°，
又∵圆内接四边形的对角互补，
∴∠ACB=180°-∠ADB=180°-55°=125°．
故选：C．
【点拨】本题考查了切线的性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质．解题的关键是连接OA、OB，求出∠AOB．
10．B
【分析】
根据切线的性质得到BA⊥AD，根据直角三角形的性质求出∠B，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，进而求出∠BAC，根据垂径定理得到BA⊥EC，进而得出答案．
解：∵AD是⊙O的切线，
∴BA⊥AD，
∵∠ADB=58.5°，
∴∠B=90°-∠ADB=31.5°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC=90°-∠B=58.5°，
∵点A是弧EC的中点，
∴BA⊥EC，
∴∠ACE=90°-∠BAC=31.5°，
故选：B．
【点拨】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、垂径定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
11．1
【分析】
直线与相切时，，根据勾股定理即可求出．
解：当时，直线与相切，
∴（cm），
故答案为：1．
【点拨】本题考查了切线的判定，掌握切线的判定和性质是解题关键．
12．②③④①
【分析】
先根据直径所对的圆周角是直角确定圆的一条直径，然后根据圆的一条切线与切点所在的直径垂直，进行求解即可．
解：第一步：先根据直径所对的圆周角是直角，确定圆的一条直径与圆的交点，即图②，
第二步：画出圆的一条直径，即画图③；
第三边：根据切线的判定可知，圆的一条切线与切点所在的直径垂直，确定切点的位置从而画出切线，即先图④再图①，
故答案为：②③④①．
【点拨】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，切线的判定，熟知相关知识是解题的关键．
13．35°
【分析】
利用切线的性质和切线长定理可得OB⊥PB，PA＝PB，进而得到∠PBO＝90°，∠ABP＝∠BAP，结合∠P＝70°求得∠ABP的度数，即可求得∠ABO
解：∵PA，PB分别切⊙O于点A，B，
∴OB⊥PB，PA＝PB，
∴∠PBO＝90°，∠ABP＝∠BAP
∵∠P＝70°，
∴∠ABP＝∠BAP55°，
∴∠ABO＝∠PBO﹣∠ABP＝90°﹣55°＝35°，
故答案为：35°．
【点拨】本题考查了切线的性质和切线长定理，熟记性质是解题的关键．
14．（0，0）或（，1）或（3﹣，）．
【分析】
设P（x， ），⊙P的半径为r，由题意BC⊥y轴，直线OP的解析式y=，直线OC的解析式为可知OP⊥OC，分分四种情形讨论即可得出答案．
解：①当⊙P与BC相切时，∵动点P在直线y=x上，
∴P与O重合，此时圆心P到BC的距离为OB， ∴P（0，0）．
②如图1中，当⊙P与OC相切时，则OP=BP，△OPB是等腰三角形，作PE⊥y轴于E，则EB=EO，易知P的纵坐标为1，可得P（，1）．

③如图2中，当⊙P与OA相切时，则点P到点B的距离与点P到x轴的距离线段，可得:，解得x=3+或3-， ∵x=3+＞OA，∴P不会与OA相切，
∴x=3+不合题意， ∴p（3-，）．
④如图3中，当⊙P与AB相切时，设线段AB与直线OP的交点为G，此时PB=PG，
∵OP⊥AB， ∴∠BGP=∠PBG=90°不成立， ∴此种情形，不存在P．
综上所述，满足条件的P的坐标为（0，0）或（，1）或（3-，）．
【点拨】本题考查切线的性质、一次函数的应用、勾股定理、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．
15．55°
【分析】
根据AD是直径可得∠AED=90°，再根据BC是⊙O的切线可得∠ADC=90°，再根据直角的定义及角度等量替换关系即可得到∠C=∠ADE=55°．
解：∵AD是直径，
∴∠AED=90°，
∴∠ADE+∠DAE=90°
∵BC是⊙O的切线，
∴∠ADC=90°，
∴∠C+∠DAE=90°
∴∠C=∠ADE=55°．
故答案为：55°．
【点拨】此题主要考查圆内的角度求解，解题的关键是熟知切线的性质．
16．①②④⑤
【分析】
连接AD，根据三角形中位线定理得到OD∥AC，①正确；根据圆周角定理得到∠ADB=90°=∠ADC，根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，②正确；根据切线的判定定理得到DE是⊙O的切线，④正确；根据余角的性质得到∠EDA=∠ODB，根据等腰三角形的性质得到∠B=∠ODB，求得∠EDA=∠B，⑤正确；根据线段垂直平分线的性质得到AC=AB，求得OA=AC，③不正确
解：连接AD，
∵D为BC中点，点O为AB的中点，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AC，①正确；
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°＝∠ADC，
即AD⊥BC，又BD＝CD，
∴AC=BC，
∴△ABC为等腰三角形，
∴∠B＝∠C，②正确；
∵DE⊥AC，且DO∥AC，
∴OD⊥DE，
∵OD是半径，
∴DE是⊙O的切线，∴④正确；
∴∠ODA+∠EDA＝90°，
∵∠ADB＝∠ADO+∠ODB＝90°，
∴∠EDA＝∠ODB，
∵OD＝OB，
∴∠B＝∠ODB，
∴∠EDA＝∠B，∴⑤正确；
∵D为BC中点，AD⊥BC，
∴AC＝AB，
∵OA＝OB＝AB，
∴OA＝AC，
∴2OA＝AC，
∴③不正确，
故答案为：①②④⑤．
【点拨】本题考查切线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形中位线定理，正确的识别图形是解题的关键．
17．144
【分析】
根据正多边形内角和公式可求出、，根据切线的性质可求出、，从而可求出，然后根据圆弧长公式即可解决问题．
解：五边形ABCDE是正五边形，
．
AB、DE与相切，
，
，
故答案为144．
【点拨】本题主要考查了切线的性质、正五边形的性质、多边形的内角和公式、熟练掌握切线的性质是解决本题的关键．
18．
【分析】
由直径所对的圆周角为直角可知，动点轨迹为以中点为圆心，长为直径的圆，求得圆心到直线的距离，即可求得答案．
解：∵，
∴动点轨迹为：以中点为圆心，长为直径的圆，
∵，，
∴点M的坐标为：，半径为1，
过点M作直线垂线，垂足为D，交⊙D于C点，如图：
此时取得最小值，
∵直线的解析式为：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴最小值为，
故答案为：．
【点拨】本题考查了点的轨迹，圆周角定理，圆心到直线的距离，正确理解点到直线的距离垂线段最短是正确解答本题的关键．
19．见分析
【分析】
连接OD，证得，可知DE⊥OD，即可证得DE为⊙O的切线．
解：连接OD，如图所示，
∵AC＝BC，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE为⊙O的切线．
【点拨】本题主要考查的是切线的判定，准确做出辅助线，证得平行是解题的关键．
20．(1)见分析(2)2
【分析】
（1）根据平分，可得∠ABD=∠OBD，再由OB=OD，可得∠OBD=∠ODB，从而得到∠ABD=∠ODB，进而得到OD∥AB，即可求证；
（2）过点O作OF⊥BE于点F，则BF=EF，可得四边形ADOF是矩形，从而得到OF=AD=4，AF=OD=OB=5，再由勾股定理可得BF=3，从而得到AB= 8，BF=6，即可求解．
(1)证明：∵平分，
∴∠ABD=∠OBD，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠ABD=∠ODB，
∴OD∥AB，
∵，
∴∠ODC=90°，即OD⊥CD，
∵OD为的半径，
∴是的切线；
(2)解：如图，过点O作OF⊥BE于点F，则BF=EF，
∵OD⊥AC，
∴∠ADO=∠A=∠AFO=90°，
∴四边形ADOF是矩形，
∴OF=AD=4，AF=OD=OB=5，
在中，由勾股定理得：
，
∴AB=BF+AF=8，BF=6，
∴AE=AB-BE=2．
【点拨】本题主要考查了切线的判定，垂径定理，矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握切线的判定定理，垂径定理，矩形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．
21．(1)见分析(2)2
【分析】
（1）连接OA,过点A作AD⊥AO即可；
（2）连接OB，OC．先证明∠ACB＝75°，再利用三角形内角和定理求出∠CAB，推出∠BOC＝120°，求出CH可得结论．
(1)解：如图，切线AD即为所求；
(2)如图：连接OB，OC．
∵AD是切线，
∴OA⊥AD，
∴∠OAD＝90°，
∵∠DAB＝75°，
∴∠OAB＝15°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝15°，
∴∠BOA＝150°，
∴∠BCA＝∠AOB＝75°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠BAC＝180°﹣45°﹣75°＝60°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝120°，
∵OB＝OC＝2，
∴∠BCO＝∠CBO＝30°，
∵OH⊥BC，
∴CH＝BH＝OC•cs30°＝，
∴BC＝2．
【点拨】本题主要考查了作圆的 、三角形的外接圆、切线的判定和性质、解直角三角形等知识点，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
22．（1）见分析；（2）
【分析】
（1）连接OC，如图，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，则利用∠B＝2∠A可计算出∠B＝60°，∠A＝30°，易得∠E＝30°，接着由EF＝FC得到∠ECF＝∠E＝30°，所以∠FCA＝60°，加上∠OCA＝∠A＝30°，所以∠FCO＝∠FCA＋∠ACO＝90°，于是可根据切线的判定得到FC是⊙O的切线；
（2）利用含30度的直角三角形三边的关系．在Rt△ABC中可计算出BC＝AB＝2，AC＝BC＝2，则CE＝2，所以BE＝BC＋CE＝2＋2，然后在Rt△BEM中计算出BM＝BE＝1＋，再计算AB−BM的值即可．
（1）证明：连接，如图，
是的外接圆，圆心在上，
是的直径，
，
又，
，，
，
，
在中，，
，
又，
，
又，
，
，
，
，
，
是的切线；
（2）解：在中，，，，
，，
，
，
，
在中，，
，
．
【点拨】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．
23．(1)见分析(2)①2，②1
【分析】
（1）证明OD是△ABD的中位线，再根据切线的性质即可证明BC⊥DE；
（2）利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理即可求解．
(1)证明：连接BD、OD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，AO=OB，
∵AB=BC，
∴AD=DC，
∴OD是△ABD的中位线，
∴OD∥BC，
∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∴BC⊥DE；
(2)解：①∵AB=4，∠A=30°，∠ADB=90°，
∴DB=AB=2，AD==2，
②∵∠A=30°，
∴∠BOD=60°，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠ODB=60°，
∵OD⊥DE，
∴∠BDF=30°，
∵BC⊥DE，
∴∠DFB=90°，
∴BF=BD=1，
故答案为：①2，②1．
【点拨】本题考查了切线的性质，三角形中位线定理，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
24．（1）见分析；（2）2∠AEC=∠BAE，理由见分析；（3）12
【分析】
（1）欲证明CD为⊙O的切线，只要证明∠OCD＝90°即可．
（2）连接EC，根据角平分线、邻补角的性质、直径的性质求出∠BAE=180°－∠EAC－∠DAC=180°－2∠EAC，∠AEC=90°－∠EAC=180°－2∠EAC，故可求解；
（3）作OF⊥AB于F，设AD＝x，则OF＝CD＝12－x，在Rt△AOF中利用勾股定理列出方程即可解决问题．
（1）证明：连接OC，
∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，
∵AC平分∠PAE，∴∠DAC＝∠CAO，∴∠DAC＝∠OCA，∴PB∥OC，
∵CD⊥PA，∴CD⊥OC，CO为⊙O半径，∴CD为⊙O的切线；
（2）2∠AEC=∠BAE．理由如下：
∵∠BAE=180°－∠EAC－∠DAC=180°－2∠EAC，∠AEC=90°－∠EAC=180°－2∠EAC
∴2∠AEC=180°－2∠EAC=∠BAE
（3）过O作OF⊥AB，垂足为F，∴∠OCD＝∠CDA＝∠OFD＝90°，
∴四边形DCOF为矩形，∴OC＝FD，OF＝CD．
∵DC+DA＝12，设AD＝x，则OF＝CD＝12－x，
∵⊙O的直径为20，∴DF＝OC＝10，∴AF＝10－x，
在Rt△AOF中，由勾股定理得AF2+OF2＝OA2．即（10－x）2+（12－x）2＝100，化简得x2－22x+72＝0，
解得x1＝4，x2＝18．
∵CD＝12－x大于0，故x＝18舍去，
∴x＝4，从而AD＝4，AF＝10－4＝6，
∵OF⊥AB，由垂径定理知，F为AB的中点，
∴AB＝2AF＝12．
【点拨】本题考查切线的判定，矩形的判定和性质、垂径定理等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．