人教版九年级数学上册 24.43 《圆》-圆的基本性质（基础篇）（专项练习）

这是一份人教版九年级数学上册 24.43 《圆》-圆的基本性质（基础篇）（专项练习），共37页。

单选题
【考点一】圆➽➼概念✭✭点和圆的位置关系
【考点①】圆➼➸概念
1．（2021·江苏常州·中考真题）如图，是的直径，是的弦．若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·湖北鄂州·中考真题）已知锐角，如图，按下列步骤作图：①在边取一点，以为圆心，长为半径画，交于点，连接．②以为圆心，长为半径画，交于点，连接．则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【考点②】圆➼➸点和圆的关系
3．（2022·吉林·中考真题）如图，在中，，，．以点为圆心，为半径作圆，当点在内且点在外时，的值可能是（ ）
A．2B．3C．4D．5
4．（2015·湖南湘西·中考真题）⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA＝3cm，则点A与⊙O的位置关系为( )
A．点A在⊙O上B．点A在⊙O内C．点A在⊙O外D．无法确定
【考点二】圆的对称性➽➼垂径定理
【考点①】垂径定理✭✭推论➼➸概念的理解
5．（2021·广西玉林·中考真题）学习圆的性质后，小铭与小熹就讨论起来，小铭说：“被直径平分的弦也与直径垂直”，小熹说：“用反例就能说明这是假命题” ．下列判断正确的是（ ）
A．两人说的都对
B．小铭说的对，小熹说的反例不存在
C．两人说的都不对
D．小铭说的不对，小熹说的反例存在
6．（2022·上海嘉定·二模）下列命题中假命题是（ ）
A．平分弦的半径垂直于弦B．垂直平分弦的直线必经过圆心
C．垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧D．平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦
【考点②】垂径定理➼➸求角度✭✭求线段
7．（2022·湖北荆门·中考真题）如图，CD是圆O的弦，直径AB⊥CD，垂足为E，若AB＝12，BE＝3，则四边形ACBD的面积为( )
A．36B．24C．18D．72
8．（2015·广东珠海·中考真题）如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，若∠C＝25°，则∠ABO的度数是（ ）
A．25°B．30°C．40°D．50°
【考点③】垂径定理推论➼➸求角度✭✭求线段
9．（2022·江苏南通·一模）如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，点C是AB的中点，连接OC，则OC的长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
10．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在⊙O中，弦AB的长是半径OA的倍，C为中点，AB、OC交于点P，则四边形OACB是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形D．正方形
【考点④】垂径定理✭✭推论➼➸应用
11．（2021·广西柳州·中考真题）往水平放置的半径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图如图所示，若水面宽度，则水的最大深度为（ ）
A．B．C．D．
12．（2017·四川阿坝·中考真题）如图，将半径为的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（ ）

A．B．
C．D．
【考点三】圆的对称性➽➼弧、弦、圆心角关系
13．（2018·河南·模拟预测）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是（ ）
A．AB=ADB．BC=CDC．D．∠BCA=∠DCA
14．（2022·江苏扬州·二模）将一张正方形的透明纸片ABCD和按如图位置叠放，顶点A、D在上，边AB、BC、CD分别与相交于点E、F、G、H，则下列弧长关系中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【考点四】确定圆的条件
15．（2022·山西运城·二模）如图，点O是△ABC的外心（三角形三边垂直平分线的交点），若∠BOC=96°，则∠A的度数为（ ）
A．49°B．47.5°C．48°D．不能确定
16．（2010·河北·中考真题）如图，在的正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（ ）
A．点PB．点QC．点RD．点M
【考点五】圆周角定理
【考点①】圆周角➼➸概念理解
17．（2012·黑龙江大庆·中考真题）如图所示，已知△ACD和△ABE都内接于同一个圆，则∠ADC+∠AEB+∠BAC=【 】

A．90°B．180°C．270°D．360°
18．（2022·云南昆明·二模）已知锐角，如图，按下列步骤作图：①在OA边取一点D，以O为圆心，OD长为半径画，交OB于点C．②以D为圆心，DO长为半径画，与OB交于点E，连接DC并延长，使DC的延长线交于点P，连接DE，则的度数为（ ）．
A．15°B．20°C．30°D．40°
【考点②】圆周角定理➼➸求角度✭✭求线段
19．（2022·山东枣庄·中考真题）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B的读数分别为86°，30°，则∠ACB的度数是（ ）
A．28°B．30°C．36°D．56°
20．（2022·甘肃兰州·中考真题）如图，内接于，CD是的直径，，则（ ）

A．70°B．60°C．50°D．40°
【考点③】圆周角推论1➼➸求角度✭✭求线段
21．（2022·辽宁朝阳·中考真题）如图，在⊙O中，点A是的中点，∠ADC＝24°，则∠AOB的度数是（ ）

A．24°B．26°C．48°D．66°
22．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，是的两条半径，点C在上，若，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
【考点④】圆周角推论2➼➸求角度✭✭求线段
23．（2022·辽宁锦州·中考真题）如图，线段是半圆O的直径。分别以点A和点O为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线，交半圆O于点C，交于点E，连接，，若，则的长是（ ）

A．B．4C．6D．
24．（2021·湖北荆州·一模）如图，直径为10的经过点和点，点是轴右侧优弧上一点，，则点的坐标为（ ）

A．B．C．D．
【考点⑤】圆内接四边形➼➸求角度✭✭求半径（直径）
25．（2022·湖北十堰·中考真题）如图，是等边的外接圆，点是弧上一动点（不与，重合），下列结论：①；②；③当最长时，；④，其中一定正确的结论有（ ）

A．1个B．2个C．3个D．4个
26．（2022·湖南株洲·中考真题）如图所示，等边的顶点在⊙上，边、与⊙分别交于点、，点是劣弧上一点，且与、不重合，连接、，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
二、填空题
【考点一】圆➽➼概念✭✭点和圆的位置关系
【考点①】圆➼➸概念
27．（2021·湖南娄底·中考真题）弧度是表示角度大小的一种单位，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作．已知，则与的大小关系是________．
28．（2022·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴正半轴上，以点为圆心，长为半径作弧，交轴正半轴于点，则点的坐标为__________．
【考点②】圆➼➸点和圆的关系
29．（2022·江苏·江阴市敔山湾实验学校一模）若⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b（a＞b），则此圆的半径为______．
30．（2022·上海静安·二模）如图，已知矩形的边，，现以点A为圆心作圆，如果B、C、D至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，那么半径r的取值范围是_________．
【考点二】圆的对称性➽➼垂径定理
【考点①】垂径定理➼➸求角度✭✭求线段
31．（2021·湖南长沙·中考真题）如图，在⊙O中，弦的长为4，圆心到弦的距离为2，则的度数为______．

32．（2022·湖南长沙·中考真题）如图，A、B、C是上的点，，垂足为点D，且D为OC的中点，若，则BC的长为___________．
【考点②】垂径定理推论➼➸求角度✭✭求线段
33．（2013·湖南株洲·中考真题）如图AB是⊙O的直径，∠BAC=42°，点D是弦AC的中点，则∠DOC的度数是______度．
34．（2022·青海·中考真题）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果C是中弦AB的中点，CD经过圆心O交于点D，并且，，则的半径长为______m．
【考点③】垂径定理✭✭推论➼➸应用
35．（2022·四川自贡·中考真题）一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦长20厘米，弓形高为2厘米，则镜面半径为____________厘米．
36．（2019·湖南湘潭·中考真题）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积（弦×矢+矢2）．弧田是由圆弧和其所对的弦围成（如图中的阴影部分），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，运用垂径定理（当半径⊥弦时，平分）可以求解．现已知弦米，半径等于5米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为_____平方米．
【考点三】圆的对称性➽➼弧、弦、圆心角关系
37．（2021·湖南张家界·中考真题）如图，内接于，，点是的中点，连接，，，则_________．

38．（2022·福建·将乐县水南中学一模）已知⊙O的半径为6cm，弦AB＝6cm，则弦AB所对的圆心角是________度．
【考点四】确定圆的条件
39．（2021·河南·中考真题）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，点，，均在小正方形的顶点上，且点，在上，，则的长为__________．
40．（2021·广东广州·一模）如图，在直角坐标系中，点A（0，6）、B（0，﹣2）、C（﹣4，6），则△ABC外接圆的圆心坐标为___．
【考点五】圆周角
【考点①】圆周角定理➼➸求角度
41．（2022·湖南永州·中考真题）如图，是的直径，点、在上，，则______度．
42．（2022·浙江湖州·中考真题）如图，已知AB是⊙O的弦，∠AOB＝120°，OC⊥AB，垂足为C，OC的延长线交⊙O于点D．若∠APD是所对的圆周角，则∠APD的度数是______．
【考点②】圆周角推论1➼➸求角度✭✭求线段
43．（2022·江苏苏州·中考真题）如图，AB是的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若，则______°
44．（2018·北京·中考真题）如图，点，，，在上，，，，则________．

【考点③】圆周角推论2➼➸求角度✭✭求线段
45．（2022·山东日照·中考真题）一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB=12cm，BC=5cm，则圆形镜面的半径为__________．

46．（2021·江苏淮安·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠CAB＝55°，则∠D的度数是___．
【考点④】圆内接四边形➼➸求角度
47．（2022·四川雅安·中考真题）如图，∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，若∠DCE＝72°，那么∠BOD的度数为 _____．
48．（2022·辽宁锦州·中考真题）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠ADC=130°，连接AC，则∠BAC的度数为___________．
三、解答题
49．（2022·广东中山·一模）已知：如图，在中，为互相垂直的两条弦，，D、E为垂足．
(1) 若，求证：四边形为正方形．
(2) 若，判断与的大小关系，并证明你的结论．
50．（2022·山东青岛·二模）请用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°．
求作：一个⊙O，使⊙O与AB、BC所在直线都相切，且圆心O在边AC上．
51．（2020·北京·中考真题）已知：如图，ABC为锐角三角形，AB=AC，CD∥AB．
求作：线段BP，使得点P在直线CD上，且∠ABP=．
作法：①以点A为圆心，AC长为半径画圆，交直线CD于C，P两点；②连接BP．线段BP就是所求作线段．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵CD∥AB，
∴∠ABP= ．
∵AB=AC，
∴点B在⊙A上．
又∵∠BPC=∠BAC（ ）（填推理依据）
∴∠ABP=∠BAC
参考答案
C
【分析】先根据平角的定义求出∠AOB，再根据等腰三角形的性质求解，即可．
解：∵，
∴∠AOB=180°-60°=120°，
∵OA=OB，
∴=∠OBA=（180°-120°）÷2=30°，
故选C．
【点拨】本题主要考查圆的基本性质以及等腰三角形的性质，掌握圆的半径相等，是解题的关键．
B
【分析】根据画图过程，得到OD=OC，由等边对等角与三角形内角和定理得到∠ODC=∠OCD=，同理得到∠DOE=∠DEO=40︒，由∠OCD为△DCE的外角，得到结果．
解：∵以为圆心，长为半径画，交于点，
∴OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD，
∵∠AOB=40︒，
∴∠ODC=∠OCD=，
∵以为圆心，长为半径画，交于点，
∴DO=DE，
∴∠DOE=∠DEO=40︒，
∵∠OCD为△DCE的外角，
∴∠OCD=∠DEC+∠CDE，
∴70︒=40︒+∠CDE，
∴∠CDE=30︒，
故选：B．
【点拨】本题考查了等腰三角形的判定与性质、以及三角形外角的性质，关键在于等边对等角与三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和两个知识点的熟练运用．
C
【分析】先利用勾股定理可得，再根据“点在内且点在外”可得，由此即可得出答案．
解：在中，，，，
，
点在内且点在外，
，即，
观察四个选项可知，只有选项C符合，
故选：C．
【点拨】本题考查了勾股定理、点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题关键．
B
解：将点到圆心的距离记为d，圆的半径记为r,
∵d=OA=3,∴d∴点A在圆内，
故选：B．
5．D【分析】根据垂径定理可直接进行排除选项．
解：由垂径定理的推论“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧”可知：
小铭忽略了垂径定理中的“弦不能是直径”这一条件，因为一个圆中的任意两条直径都互相平分，但不垂直，所以小铭说法错误，小熹所说的反例即为两条直径的情况下；
故选D．
【点拨】本题主要考查垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
A
【分析】根据垂径定理及其推论分别进行判断．
解：A、平分弦（非直径）的半径垂直于弦，所以A为假命题；
B、垂直平分弦的直线必经过圆心，所以B选项为真命题；
C、垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧，所以C选项为真命题；
D、平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦，所以D选项为真命题．
故选：A．
【点拨】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理，也考查了垂径定理的性质．
A
【分析】连接OC，首先根据题意可求得OC=6，OE=3，根据勾股定理即可求得CE的长，再根据垂径定理即可求得CD的长，据此即可求得四边形ACBD的面积．
解：如图，连接OC，
∵AB＝12，BE＝3，
∴OB＝OC＝6，OE＝3，
∵AB⊥CD，
∴在Rt△COE中，，
∴CD＝2CE＝6，
∴四边形ACBD的面积＝．
故选：A．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，垂径定理，熟练掌握和运用垂径定理是解决本题的关键．
C
解：根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．根据直径CD⊥AB，可得弧AD=弧BD，则∠DOB=2∠C=50°．则∠B=90°-50°=40°
故选C
考点：圆周角定理；垂径定理
C
【分析】根据垂径定理的推论，勾股定理即可求得的长
解：点C是AB的中点，
⊙O的半径为5，弦AB＝8，
在中
故选C
【点拨】本题考查了垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．
C
【分析】根据弦AB的长是半径OA的倍，C为的中点，判定出四边形OACB是平行四边形，再由，即可判定四边形OACB是菱形.
解：∵弦AB的长是半径OA的倍，C为的中点，OC为半径，
∴，
∴，
∴，即，
∴四边形OACB是平行四边形，
又∵，
∴四边形OACB是菱形.
【点拨】本题主要考查了勾股定理，菱形的判定，以及垂径定理的推论，读懂题意是解题的关键．
B
【分析】连接OA，过点O作OD⊥AB交AB于点C交⊙O于D，再根据勾股定理求出AC的长，进而可得出CD的长．
解：连接OA，过点O作OD⊥AB交AB于点C交⊙O于D，
∵OC⊥AB，由垂径定理可知，
∴AC=CB=AB=12，
在Rt△AOC中，由勾股定理可知：
∴，
∴，
故选：B．
【点拨】本题考查了垂径定理及勾股定理的应用，属于基础题，关键是过O点作AB的垂线，由此即可求解．
C
解：过点作，
由垂径定理，可得，
连接，
由勾股定理可得
，
所以，
故选C．
13．B【分析】根据圆心角，弧，弦的关系对各选项进行逐一判断即可．
解：A、∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，
∴AB与AD不一定相等，故此选项不符合题意；
B、∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC，
∴BC=CD，，故此选项符合题意；
C、∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，
∴与不一定相等，不符合题意；
D、∠BCA与∠DCA的大小关系不确定，不符合题意．
故答案为：B．
【点拨】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
C
【分析】连接，根据弦与弧的关系，只要比较弦长即可比较弧长的大小即可求解．
解：如图，连接，过点作，交于，交于，则，
四边形是正方形，
，，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
A. ，，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，，故该选项正确，符合题意；
D.，，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C.
【点拨】本题考查了弦与弧的关系，掌握同圆或等圆中，等弦对等弧是解题的关键．
C
【分析】根据三角形垂直平分线的性质以及三角形内角和定理计算即可．
解：如图，连接AO，
∵点O是△ABC三边垂直平分线的交点，
∴AO=BO=CO，
∴∠OAB=∠OBA，∠OAC=∠OCA，∠OBC=∠OCB，
∴∠AOB=180°-2∠OAB，∠AOC=180°-2∠OAC，
∴∠BOC=360°-（∠AOB+∠AOC）
=360°-（180°-2∠OAB+180°-2∠OAC）
=2∠OAB+2∠OAC
=2∠BAC；
∵∠BOC=96°，
∴∠BAC=48°，
故选：C．
【点拨】本题考查了三角形的垂直平分线与外心，熟练掌握三角形的垂直平分线的性质是解题的关键．
B
【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，分别作AB，BC的垂直平分线即可得到答案．
解：作AB的垂直平分线，作BC的垂直平分线，如图，
它们都经过Q，所以点Q为这条圆弧所在圆的圆心．
故选：B．
【点拨】本题考查了垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心．这也常用来确定圆心的方法．
B
解：∵∠ADC，∠AEB，∠BAC所对圆弧正好是一个圆周，
∴∠ADC+∠AEB+∠BAC=180°．故选B．
A
【分析】根据题意得：OD=OC=PD，根据等腰三角形的性质，即可求解．
解：根据题意得：OD=OC=PD，
∴∠ODC=∠OCD，∠DOP=∠OPD，
∵，
∴∠ODC=∠OCD=，
∴∠DOP=∠OPD=，
∴∠POC=∠DOP-∠AOB=15°．
故选：A
【点拨】本题主要考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质，熟练掌握圆的基本性质，等腰三角形的性质是解题的关键．
A
【分析】设半圆圆心为O，连OA，OB，则∠AOB＝86°−30°＝56°，根据圆周角定理得∠ACB＝∠AOB，即可得到∠ACB的大小．
解：设半圆圆心为O，连OA，OB，如图，
∵∠AOB＝86°−30°＝56°，
∴∠ACB＝∠AOB＝×56°＝28°．
故选A．
【点拨】本题主要考查了圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
C
【分析】由CD是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，得出∠CAD＝90°，根据直角三角形两锐角互余得到∠ACD与∠D互余，即可求得∠D的度数，继而求得∠B的度数．
解：∵CD是⊙O的直径，
∴∠CAD＝90°，
∴∠ACD+∠D＝90°，
∵∠ACD＝40°，
∴∠ADC＝∠B＝50°．
故选：C．
【点拨】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，注意掌握数形结合思想是解题的关键．
C
【分析】直接利用圆周角求解．
解：∵点A是的中点，
∴，
∴∠AOB=2∠ADC=2×24°=48°．
故选：C．
【点拨】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
B
【分析】根据圆周角定理即可求解．
解：∵是的两条半径，点C在上，
∴∠C= =40°
故选：B
【点拨】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或者在等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答本题关键．
A
【分析】根据作图知CE垂直平分AC，即可得，，根据圆的半径得，，根据圆周角的推论得，根据勾股定理即可得．
解：根据作图知CE垂直平分AC，
∴，，
∴，
∴，
即，
∵线段AB是半圆O的直径，
∴，
在中，根据勾股定理得，
，
故选A．
【点拨】本题考查了圆，勾股定理，圆周角推论，解题的关键是掌握这些知识点．
B
【分析】首先设⊙A与x轴另一个的交点为点D，连接CD，由∠COD＝90°，根据90°的圆周角所对的弦是直径，即可得CD是⊙A的直径，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠ODC的度数，继而求得点C的坐标．
解：设⊙A与x轴另一个的交点为点D，连接CD，
∵∠COD＝90°，
∴CD是⊙A的直径，
即CD＝10，
∵∠OBC＝30°，
∴∠ODC＝30°，
∴OC＝CD＝5，
∴点C的坐标为：（0，5）．
故选：B．
【点拨】此题考查了圆周角定理与含30°角的直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．
C
【分析】根据等边三角形的性质可得，从而得到∠ADB=∠BDC，故①正确；根据点是上一动点，可得不一定等于，故②错误；当最长时，DB为圆O的直径，可得∠BCD=90°，再由是等边的外接圆，可得∠ABD=∠CBD=30°，可得，故③正确；延长DA至点E，使AE=AD，证明△ABE≌△CBD，可得BD=AE，∠ABE=∠DBC，从而得到△BDE是等边三角形，可得到DE=BD，故④正确；即可求解．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=60°，
∴，
∴∠ADB=∠BDC，故①正确；
∵点是上一动点，
∴不一定等于，
∴DA=DC不一定成立，故②错误；
当最长时，DB为圆O的直径，
∴∠BCD=90°，
∵是等边的外接圆，∠ABC=60°，
∴BD⊥AC，
∴∠ABD=∠CBD=30°，
∴，故③正确；
如图，延长DA至点E，使AE=DC，
∵四边形ABCD为圆O的内接四边形，
∴∠BCD+∠BAD=180°，
∵∠BAE+∠BAD=180°，
∴∠BAE=∠BCD，
∵AB=BC，AE=CD，
∴△ABE≌△CBD，
∴BD=AE，∠ABE=∠DBC，
∴∠ABE+∠ABD=∠DBC+∠ABD=∠ABC=60°，
∴△BDE是等边三角形，
∴DE=BD，
∵DE=AD+AE=AD+CD，
∴，故④正确；
∴正确的有3个．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了圆周角定理，三角形的外接圆，圆内接四边形的性质，垂径定理，等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握圆周角定理，三角形的外接圆，圆内接四边形的性质，垂径定理，等边三角形的判定和性质等知识是解题的关键．
C
【分析】根据等边三角形的性质可得，再根据圆内接四边形的对角互补即可求得答案．
解：是等边三角形，
，
，
故选C．
【点拨】本题考查了等边三角形的性质及圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
【分析】根据弧度的定义，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作，当时，三角形为等边三角形，所以圆心角所对的弧长比半径大，即可判断大小．
解：根据弧度的定义，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作，
当时，易知三角形为等边三角形，弦长等于半径，
圆心角所对的弧长比半径大，
，
故答案是：．
【点拨】本题考查了弧度的定义，解题的关键是：理解弧度的定义，从而利用定义来判断．
【分析】连接，先根据点的坐标可得，再根据等腰三角形的判定可得是等腰三角形，然后根据等腰三角形的三线合一可得，由此即可得出答案．
解：如图，连接，
点的坐标为，
，
由同圆半径相等得：，
是等腰三角形，
，
（等腰三角形的三线合一），
又点位于轴正半轴，
点的坐标为，
故答案为：．
【点拨】本题考查了同圆半径相等、等腰三角形的三线合一、点坐标等知识点，熟练掌握等腰三角形的三线合一是解题关键．
或
【分析】点P可能在圆内，也可能在圆外；当点P在圆内时，直径为最大距离与最小距离的和；当点P在圆外时，直径为最大距离与最小距离的差；再分别计算半径．
解：若⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b，
若这个点在圆的内部或在圆上时，圆的直径为a+b，因而半径为；
当此点在圆外时，圆的直径是a﹣b，因而半径是；
故答案为或．
【点拨】本题考查了点与圆的位置关系，培养学生分类的思想及对点P到圆上最大距离、最小距离的认识．
30．6【分析】先求出矩形对角线的长，然后由B、C、D至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，即可确定半径r的取值范围．
解：连接AC，如图，
∵，，
由勾股定理可得：，
∵，，AC=10，
又∵B、C、D至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，
∴点B在内，点C在外，
∴6故答案为：6【点拨】本题主要考查的是勾股定理、点与圆的位置关系．
【分析】先根据垂径定理可得，再根据等腰直角三角形的判定与性质即可得．
解：由题意得：，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
故答案为：．
【点拨】本题考查了垂径定理、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握垂径定理是解题关键．
32．7
【分析】根据垂径定理可得垂直平分，根据题意可得平方，可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质即可求解．
解：如图，连接，
A、B、C是上的点，，
，
D为OC的中点，
，
四边形是菱形，，
．
故答案为：7．
【点拨】本题考查了垂径定理，菱形的性质与判定，掌握垂径定理是解题的关键．
33．48
【分析】根据点D是弦AC的中点，得到OD⊥AC，然后根据∠DOC=∠DOA即可求得答案：
解：∵AB是⊙O的直径，
∴OA=OC．
∵∠A=42°，
∴∠ACO=∠A=42°．
∵D为AC的中点，
∴OD⊥AC．
∴∠DOC=90°﹣∠DCO=90°﹣42°=48°．
故答案为：48．
##
【分析】连接，先根据垂径定理、线段中点的定义可得，设的半径长为，则，，再在中，利用勾股定理即可得．
解：如图，连接，
是中的弦的中点，且，
，，
设的半径长为，则，
，
，
在中，，即，
解得，
即的半径长为，
故答案为：．
【点拨】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题关键．
35．26
【分析】令圆O的半径为OB=r，则OC=r-2，根据勾股定理求出OC2+BC2=OB2，进而求出半径．
解：如图，由题意，得OD垂直平分AB，
∴BC=10厘米，
令圆O的半径为OB=r，则OC=r-2，
在Rt△BOC中
OC2+BC2=OB2，
∴（r-2）2+102=r2，
解得r=26．
故答案为：26．
【点拨】本题考查垂径定理和勾股定理求线段长，熟练地掌握圆的基本性质是解决问题的关键．
36．10
【分析】根据垂径定理得到，由勾股定理得到，求得，根据弧田面积（弦×矢+矢2）即可得到结论．
解：∵弦米，半径弦，
∴，
∴，
∴，
∴弧田面积（弦×矢+矢2），
故答案为10
【点拨】此题考查垂径定理的应用，关键是根据垂径定理和扇形面积解答．
【分析】圆上弧长对应的圆周角等于圆心角的一半，再利用等腰三角形三线合一的性质，即可得出答案．
解：根据圆上弦长对应的圆周角等于圆心角的一半，
，
，
，
为等腰三角形，
又点是的中点，根据等腰三角形三线合一，
为的角平分线，
，
故答案是：．
【点拨】本题考查了弦长所对应的圆周角等于圆心角的一半和等腰三角形三线合一的性质，解题的关键是：根据性质求出，再利用角平分线或三角形全等都能求出解．
38．60
【分析】连接OA、OB，可证得△OAB是等边三角形，由此得解．
解：如图，连接OA、OB，
∵OA=OB=AB=6，
∴△OAB是等边三角形
∴∠AOB=60°
故弦AB所对的圆心角的度数为60°．
故答案为：60．
【点拨】本题主要考查了等边三角的判定与性质以及圆心角、弦、半径的关系，掌握圆心角的定义和学会做辅助线是解题的关键．
【分析】先找到的圆心O，得到∠BOC=45°，利用弧长公式即可求解．
解：连接AD，作线段AB、AD的垂直平分线，交点即为的圆心O，
从图中可得：的半径为OB=5，
连接OC，
∵∠BAC=22.5°，
∴∠BOC=222.5°=45°，
的长为．
．
故答案为：
【点拨】本题考查了弧长公式，找到的圆心是解题的关键．
【分析】先根据点的坐标可得是直角三角形，再根据直角三角形的外接圆的圆心为斜边的中点即可得．
解：，
，
是直角三角形，
则外接圆的圆心坐标为，即，
故答案为：．
【点拨】本题考查了直角三角形的外接圆的圆心，熟练掌握直角三角形的外接圆的圆心为斜边的中点是解题关键．
41．120
【分析】利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出，则．
解：∵ ，是弧AC所对的圆周角，是弧AC所对的圆心角，
∴，
∴，
故答案为：120．
【点拨】本题考查圆周角定理，熟练掌握“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”是解题的关键．
42．30°##30度
【分析】根据垂径定理得出∠AOB=∠BOD，进而求出∠AOD=60°，再根据圆周角定理可得∠APD=∠AOD=30°．
解：∵OC⊥AB，OD为直径，
∴，
∴∠AOB=∠BOD，
∵∠AOB=120°，
∴∠AOD=60°，
∴∠APD=∠AOD=30°，
故答案为：30°．
【点拨】本题考查了圆周角定理、垂径定理等知识，掌握垂径定理是解答本题的关键．
43．62
【分析】连接，根据直径所对的圆周角是90°，可得，由，可得，进而可得．
解：连接，
∵AB是的直径，
∴，
，
，
故答案为：62
【点拨】本题考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，掌握圆周角定理是解题的关键．
44．70°
【分析】根据=，得到，根据同弧所对的圆周角相等即可得到，根据三角形的内角和即可求出.
解：∵=，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为
【点拨】考查圆周角定理和三角形的内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键.
【分析】连接AC，根据∠ABC=90°得出AC是圆形镜面的直径，再根据勾股定理求出AC即可．
解：连接AC，
∵∠ABC=90°，且∠ABC是圆周角，
∴AC是圆形镜面的直径，
由勾股定理得：，
所以圆形镜面的半径为，
故答案为：．
【点拨】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系和勾股定理等知识点，能根据圆周角定理得出AC是圆形镜面的直径是解此题的关键．
46．35°
【分析】根据直径所对的圆周角是直角推出∠ACB＝90°，再结合图形由直角三角形的性质得到∠B＝90°﹣∠CAB＝35°，进而根据同圆中同弧所对的圆周角相等推出∠D＝∠B＝35°．
解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠CAB＝55°，
∴∠B＝90°﹣∠CAB＝35°，
∴∠D＝∠B＝35°．
故答案为：35°．
【点拨】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
##144度
【分析】先求解 再利用圆的内接四边形的性质求解 再利用圆周角定理可得的大小.
解：∠DCE＝72°，

四边形ABCD是⊙O内接四边形，


故答案为：
【点拨】本题考查的是邻补角的含义，圆的内接四边形的性质，圆周角定理的应用，熟练掌握圆中的圆周角定理与圆的内接四边形的性质是解本题的关键.
48．40°##40度
【分析】首先利用圆内接四边形的性质和∠ADC的度数求得∠B的度数，然后利用直径所对的圆周角是直角确定∠ACB=90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余求得答案即可．
解：∵四边形ABCD内接与⊙O，∠ADC=130°，
∴∠B=180°-∠ADC=180°-130°=50°，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB=90°-∠B=90°-50°=40°，
故答案为：40°．
【点拨】本题考查了圆内接四边形的性质及圆周角定理的知识，解题的关键是了解圆内接四边形的对角互补．
49．(1)见分析(2)OD＜OE
【分析】（1）先根据垂径定理，由OD⊥AB，OE⊥AC得到AD＝AB，AE＝AC，且∠ADO＝∠AEO＝90°，加上∠DAE＝90°，则可判断四边形ADOE是矩形，由于AB＝AC，所以AD＝AE，于是可判断四边形ADOE是正方形；
（2）由（1）得四边形ADOE是矩形，可得OE＝AD＝AB，OD＝AE＝AC，又AB＞AC，即可得出OE和OD的大小关系．
（1）证明：∵OD⊥AB，OE⊥AC，AB⊥AC，
∴四边形ADOE为矩形，
且OD平分AB，OE平分AC，
∴BD＝AD＝AB，AE＝EC＝AC，
∵AB＝AC，
∴AD＝AE，
∴四边形ADOE为正方形．
（2）解：OD＜OE，
理由如下：由（1）得四边形ADOE是矩形，
∴OE＝AD，OD＝AE，
∵AD＝AB，AE＝AC，
∴OE ＝AB，OD＝AC，
又∵AB＞AC，
∴OD＜OE．
【点拨】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧、也考查了正方形的判定．
见分析
【分析】先作∠ABC的平分线交AC于O点，然后以O点为圆心，OC为半径作圆即可．
解：作∠ABC的平分线交AC于O点，以O点为圆心，OC为半径作圆，则为所求作的圆．
【点拨】本题主要考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
（1）见分析；（2）∠BPC，在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半
【分析】（1）按照作法的提示，逐步作图即可；
（2）利用平行线的性质证明： 再利用圆的性质得到：∠BPC=∠BAC，从而可得答案．
解：（1）依据作图提示作图如下：
（2）证明：∵CD∥AB，
∴∠ABP= ．
∵AB=AC，
∴点B在⊙A上．
又∵∠BPC=∠BAC（在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半． ）（填推理依据）
∴∠ABP=∠BAC
故答案为：∠BPC；在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．
【点拨】本题考查的是作图中复杂作图，同时考查了平行线的性质，圆的基本性质：在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．掌握以上知识是解题的关键．