2023-2024学年湖北省武汉市汉阳区武汉情智学校高二上学期11月期中考试数学试题(含解析 )

这是一份2023-2024学年湖北省武汉市汉阳区武汉情智学校高二上学期11月期中考试数学试题(含解析 )，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在空间直角坐标系中，已知点A(1,3,-4)关于原点中心对称的点为B，而点B关于x轴对称的点为C，则AC=( )
A. (-2,0,0)B. (-2,3,0)C. (-2,0,-4)D. (1,0,-4)
2.已知a=-3,2,5，b=1,5,-1，则a⋅a+3b等于
( )
A. (0,34,10)B. (-3,19,7)C. 44D. 23
3.已知圆C:(x-2)2+(y-3)2=4，该圆被直线x+y-3=0所截得弦长为
( )
A. 2B. 2 2C. 4D. 4 2
4.已知直线l1：ax+y+a=0与l2：a-6x+a-4y-4=0，则“a=2”是“l1//l2”的
( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5.在梯形ABCD中，CD=2AB=6，且AB和CD所在直线的方程分别是x+2y-3=0与x+2y+7=0，则梯形ABCD的面积为
( )
A. 9B. 18C. 9 5D. 18 5
6.已知向量OA=0,1,2,OB=-1,0,1,OC=2,1,λ，若O,A,B,C共面，则OC在OB上的投影向量的模为
( )
A. 22B. 2C. 2 55D. 55
7.若圆x2+y2-4x-4y-10=0上至少有三个不同的点到直线l：ax+by=0的距离为2 2，则直线l的斜率的取值范围是
( )
A. [2- 3,2+ 3]B. [-2- 3, 3-2]C. [-2- 3,2+ 3]D. [-2- 3,2- 3]
8.如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB⊥AD，AB=AD=1，AA1>AB，E，F分别是侧棱BB1，DD1上的动点，且平面AEF与平面ABC所成角的大小为30∘，则线段BE的长的最大值为
( )
A. 13B. 33C. 12D. 22
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.已知空间中三点A0,1,0，B2,2,0，C-1,3,1，则下列说法正确的是
( )
A. AB与AC是共线向量
B. 与AB同向的单位向量是2 55, 55,0
C. AB和BC夹角的余弦值是 5511
D. 平面ABC的一个法向量是1,-2,5
10.已知圆C:(x+2)2+y2=4，直线l:(m+1)x+2y-1+m=0(m∈R)，则
( )
A. 直线l恒过定点(1,-1)
B. 当m=1时，直线l在圆C中的弦最短
C. 直线l与圆C有一个交点
D. 若圆C与圆x2+y2-2x+8y+a=0恰有三条公切线，则a=-8
11.圆O1:x2+y2-2x=0和圆O2:x2+y2+2x-4y=0的交点为A，B，则有
．( )
A. 公共弦AB所在直线方程为x-y=0
B. 线段AB中垂线方程为x+y-1=0
C. 公共弦AB的长为 22
D. P为圆O1上一动点，则P到直线AB距离的最大值为 22+1
12.在长方体ABCD-A'B'C'D'中，AB=2，AD=3，AA'=1，以D为原点，以DA，DC，DD'分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是
( )
A. BD'=(-3,-2,1)
B. 异面直线A'D与BD'所成角的余弦值为2 3535
C. 平面A'C'D的一个法向量为(-2,-3,6)
D. 二面角C'-A'D-D'的余弦值为37
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1=60∘，则C的离心率为 ．
14.已知向量a=2,-1,2，b=2,2,1，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为 ．
15.点P(-3,0)在动直线(a+2b)x-(a+b)y-3a-4b=0上的投影点为Q，则点Q的轨迹方程是_________．
16.已知点P是椭圆x216+y24=1上一点，其左、右焦点分别为F1，F2，若锐角△F1PF2外接圆的半径为4，则△F1PF2的面积是_________．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10.0分)
已知▵ABC的三个顶点是A(4,0)，B(6,7)，C(0,3)，求下列直线的方程(用一般式表示)．
(1)边AB上的中线所在直线的方程；
(2)边BC上的高所在直线的方程；
(3)边AC上的垂直平分线所在直线的方程．
18.(本小题12.0分)
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BC，AD的中点．

(1)证明：AE⊥B1G．
(2)求直线A1C1与平面B1FG所成角的正弦值．
19.(本小题12.0分)
在平面直角坐标系中，圆C过点A4,0,B2,2，且圆心C在x+y-2=0上．
(1)求圆C的方程；
(2)若点D为所求圆上任意一点，定点E的坐标为5,0，求直线DE的中点M的轨迹方程．
20.(本小题12.0分)
经过椭圆x24+y23=1的左焦点F1作倾斜角为45°的直线l，直线l与椭圆相交于A,B两点，F2是椭圆的右焦点．
(1)求△ABF2的周长．
(2)求AB的长．
21.(本小题12.0分)
已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，AB//DC，∠DAB=90∘，PD⊥底面ABCD，且PD=DA=CD=2AB=2，M点为PC的中点．
(1)求证：BM//平面PAD；
(2)平面PAD内是否存在点N，使MN⊥平面PBD？若存在，求出点N坐标；若不存在，说明理由．
22.(本小题12.0分)
已知离心率为 32的椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)与x轴，y轴正半轴交于A，B两点，作直线AB的平行线交椭圆于C，D两点．
(1)若△AOB的面积为1，求椭圆的标准方程；
(2)在(1)的条件下．
(ⅰ)记直线AC，BD的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值；
(ⅱ)求|CD|的最大值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】由对称性得出点 C 坐标，进而得出 AC ．
解：点 A(1,3,-4) 关于原点中心对称的点为 B-1,-3,4 ，
则点 B 关于 x 轴对称的点为 C-1,3,-4 ， AC= (-2,0,0) ．
故选：A
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查空间向量的坐标运算，考查向量的线性运算和数量积运算，属于基础题．
先计算a+3b，再计算a⋅(a+3b)．
【解答】
解：a+3b=(-3,2,5)+3(1,5,-1)=(-3,2,5)+(3,15,-3)=(0,17,2)，
所以a⋅(a+3b)=(-3)×0+2×17+5×2=44．
故选：C．
3.【答案】B
【解析】【分析】由圆的方程可得圆心和半径，利用点到直线距离公式可求得圆心到直线距离，利用垂径定理可求得弦长．
解：由圆的方程可知：圆心 (2,3) ，半径 r=2 ，
圆心到直线的距离 d=|2+3+3| 2= 2 ，
直线被圆截得的弦长为 2 r2-d2=2 2 ．
故选：B
4.【答案】D
【解析】【分析】由两直线平行的判定，列方程求参数 a ，注意验证是否存在重合情况，再结合充分、必要性定义判断即可．
解：若 l1//l2 ，则 a(a-4)=1×a-6 ，即 a=2 或 3 ，
当 a=2 时，则直线 l1 ： 2x+y+2=0 与 l2 ： -4x-2y-4=0 ，显然两直线重合；
当 a=3 时，则直线 l1 ： 3x+y+3=0 与 l2 ： -3x-y-4=0 ，显然两直线平行；
综上所述，若 l1//l2 ，则 a=3 ．
所以，“ a=2 ”是“ l1//l2 ”的既不充分也不必要条件．
故选：D．
5.【答案】C
【解析】【分析】根据直线方程可得 AB//CD ，从而由两平行直线间的距离得出梯形的高，根据梯形面积公式可得出答案．
解：由直线 AB 的方程为： x+2y-3=0 ，直线 CD 的方程为 x+2y+7=0
可知 AB//CD ，所以梯形 ABCD 的高即为直线 AB 和 CD 间的距离 d=-3-7 12+22=2 5 ，所以梯形 ABCD 的面积为 12AB+CDd=12×3+6×2 5=9 5 ．
故选：C．
6.【答案】B
【解析】【分析】利用共面的条件求出 λ ，再利用投影向量及模的定义计算即得．
解：因为 O,A,B,C 共面，则存在实数 x,y ，使得 OC=xOA+yOB ，即 2,1,λ=-y,x,2x+y ，
于是 x=1,y=-2,λ=2x+y=0,OC=(2,1,0) ，
所以 OC 在 OB 上的投影向量的模为 OB⋅OCOB=2 2= 2 ．
故选：B
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查直线的斜率的取值范围的求法，考查运算求解能力，是中档题．
根据题意，可得|2a+2b| a2+b2≤ 2，进行求解即可．
【解答】
解：圆x2+y2-4x-4y-10=0整理为(x-2)2+(y-2)2=(3 2)2，
∴圆心坐标为(2,2)，半径为3 2，
要求圆上至少有三个不同的点到直线l：ax+by=0的距离为2 2，
则圆心到直线的距离应小于等于 2，
∴|2a+2b| a2+b2≤ 2，
∴(ab)2+4(ab)+1≤0，
∴-2- 3≤(ab)≤-2+ 3，
设直线l的斜率为k，则k=-ab，
∴2- 3≤k≤2+ 3，
∴直线l的斜率的取值范围是[2- 3,2+ 3].
故选A．
8.【答案】B
【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设出 BE=m ， DF=n ，求出两平面的法向量，从而根据两平面的所成角得到方程，求出 m= 13-n2 ，求出BE的长的最大值．
解：依题意， AB ， AD ， AA1 两两互相垂直，
以A为原点， AB ， AD ， AA1 的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．

设 BE=m ， DF=n ( m≥0 ， n≥0 ，且m，n不同时为0)，
则 A(0,0,0) ， E(1,0,m) ， F(0,1,n) ，所以 AE=1,0,m ， AF=0,1,n
设平面AEF的一个法向量为 u=(x,y,z) ，
则 u⋅AE=x,y,z⋅1,0,m=x+mz=0u⋅AF=x,y,z⋅0,1,n=y+nz=0 ，
令 z=1 ，得 x=-m,y=-n ，则 u=(-m,-n,1) ，
显然 v=(0,0,1) 为平面ABC的一个法向量．
因为平面 AEF 与平面 ABC 所成角的大小为 30∘ ，
所以 cs30∘=csu,v=u⋅vu⋅v=-m,-n,1⋅0,0,1 m2+n2+1=1 m2+n2+1 ，
即 32=1 m2+n2+1 ，
得 m2+n2=13 ，
所以 m= 13-n2 ，所以当 n=0 时，m取得最大值，最大值为 33 ．
故选：B
9.【答案】BD
【解析】【分析】
利用空面向量坐标运算法则、共线向量、向量夹角公式、法向量直接求解．
本题考查命题真假的判断，考查空面向量坐标运算法则、共线向量、向量夹角公式、法向量等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．
【解答】
解：空间中三点A(0,1,0)，B(2,2,0)，C(-1,3,1)，
对于A，AB=(2,1,0)，AC=(-1,2,1)，
∴AB与AC不是共线向量，故A错误；
对于B，AB=(2,1,0)，AB|AB|=(2 55, 55,0)，故B正确；
对于C，AB=(2,1,0)，BC=(-3,1,1)，
∴AB和BC夹角的余弦值是：
cs=AB⋅BC|AB|⋅|BC|=-5 5⋅ 11=- 5511，故C错误；
对于D，AB=(2,1,0)，AC=(-1,2,1)，
设平面ABC的法向量n=(x,y,z)，
则n⋅AB=2x+y=0n⋅AC=-x+2y+z=0，取x=1，得n=(1,-2,5)，故D正确．
故选：BD．
10.【答案】BC
【解析】【分析】化简直线l的 方程为m(x+1)+x+2y-1=0，可判定A；由AC⊥l时，直线l在圆C中的弦最短，借助垂直关系判断B；由点与圆的位置关系判断C；由两圆外切结合位置关系判断D．
解：对于A，因为直线l:m+1x+2y-1+m=0m∈R，
可得m(x+1)+x+2y-1=0，令x+1=0x+2y-1=0，解得x=-1,y=1，
所以直线l恒过点A(-1,1)，所以 A错误；
对于C：AC= (-1+2)2+(1-0)2= 2对于B，当AC⊥l时，直线l在圆C中的弦最短，此时kAC=1-0-1+2=1,-m+12=-1,m=1，所以 B正确；
对于D，圆x2+y2-2x+8y+a=0，可得(x-1)2+(y+4)2=17-a，
要使得圆C与圆x2+y2-2x+8y+a=0恰有三条公切线，
可得 (1+2)2+(0+4)2=2+ 17-a，即 17-a=3，解得a=8，所以 D错误．
故选：BC
11.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查两圆相交弦有关的综合问题，属于中档题．
两圆的方程作差即可得出公共弦的直线方程判断A；由选项A得出直线AB的中垂线的斜率，再由中垂线过圆O1的圆心即可得到中垂线方程判断B；求出圆心O1到直线AB的距离d，利用垂径定理得出公共弦长，d+r即为圆O1上的点到直线AB的最大值，判断C，D．
【解答】
解：由圆O1:x2+y2-2x=0和圆O2:x2+y2+2x-4y=0，
两圆方程相减得：公共弦AB所在直线方程为x - y = 0，故A正确；
由选项A可得：直线AB的中垂线的斜率k=-1，
又中垂线过圆O1:x2+y2-2x=0的圆心O1(1,0)，
所以线段AB中垂线方程为x + y -1 = 0，故B正确；
可得圆心O1(1,0)到直线x - y = 0的距离d=1-0 12+12= 22，
所以AB=2 12-d2= 2，故C错误；
由选项C得：圆心O1到直线AB的距离d= 22，
又P为圆O1上一动点，圆O1的半径r=1，
则P到直线AB距离的最大值为 22+1，故D正确．
故选ABD．
12.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查空间向量，异面直线所成角的余弦值，法向量，以及二面角的余弦值，属于中档题．
对于A，由B(3,2,0)，D'(0,0,1)，即可求出；
对于B，求出DA'，BD'，由此能求出异面直线A'D与BD'所成角的余弦值；
对于C，求出DA'=(3,0,1)，DC'=(0,2,1)，由此能求出平面A'C'D的一个法向量；
对于D，求出平面A'C'D的一个法向量和平面A'D'D的一个法向量，由此能求出二面角C'-A'D-D'的余弦值．
【解答】
解：由题意可得A(3,0,0)，B(3,2,0)，C(0,2,0)，D'(0,0,1)，A'(3,0,1)，C'(0,2,1)，B'(3,2,1)，
选项A:BD'=(-3,-2,1)，则A 正确；
选项B:DA'=(3,0,1)，BD'=(-3,-2,1)，所以cs⟨DA'，BD'⟩=DA'·BD'|DA'|⋅BD'=-8 10⋅ 14=-4 3535，
所以异面直线A'D与BD'所成角的余弦值为4 3535，则B不正确；
选项C：设平面A'C'D的一个法向量为n=(x,y,z)，
由DA'=(3,0,1)，DC'=(0,2,1)，则n⋅DA'=0n⋅DC'=0，
所以3x+z=02y+z=0 ，取z=6，得n=(-2,-3,6)，则C正确；
选项D：由上可得平面A'C'D的一个法向量为n=(-2,-3,6)，
又平面A'DD'的法向量为m=(0,1,0)，
则cs=n⋅mn⋅|m|=-31×7，
所以二面角C'-A'D-D'的余弦值为37，则D正确．
故选ACD．
13.【答案】 3-1
【解析】【分析】
本题主要考查椭圆的简单性质及定义，由定义求解即可，属于基础题．
先判断出|PF1|=|F1F2|sin60°= 3c，|PF2|=|F1F2|cs60°=c，依据椭圆的定义推出|PF1|+|PF2|=2a= 3c+c，求解即可推出结论．
【解答】
解：如下图，
F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，
若PF1⊥PF2，且∠PF2F1=60°，
所以|PF1|=|F1F2|sin60°= 3c，|PF2|=|F1F2|cs60°=c，
所以由椭圆定义有|PF1|+|PF2|=2a= 3c+c，
所以e=ca= 3-1．
故答案为 3-1．
14.【答案】 65
【解析】【分析】
本题考查空间向量运算的坐标表示，属于基础题．
根据向量的夹角公式计算 csa,b=49 ，再计算面积 a⋅b⋅sina,b 得到答案．
【解答】
解： a=2,-1,2 ， b=2,2,1 ，则 csa,b=a⋅ba⋅b=4-2+23×3=49 ，
a,b∈0,π ， sina,b= 1-492= 659 ，
面积为 a⋅b⋅sina,b= 65 ．
故答案为： 65 ．
15.【答案】x+12+y+12=5
【解析】【分析】求出动直线过定点M1,-2，再由QP⋅QM=0得出点Q在以P,M为直径的圆上运动，进而得出点Q的轨迹方程．
解：将动直线a+2bx-a+by-3a-4b=0整理为ax-y-3+b2x-y-4=0，
联立x-y-3=02x-y-4=0，可得x=1y=-2，所以动直线过定点M1,-2．
又QP⋅QM=0，所以点Q在以P,M为直径的圆上运动，
设Qx,y，则QP=-3-x,-y,QM=1-x,-2-y，
QP⋅QM=-3-x1-x+y2+y=x2+y2+2x+2y-3=0，
即x+12+y+12=5．
故答案为：x+12+y+12=5
16.【答案】4 33
【解析】【分析】由正弦定理得出∠F1PF2=π3，再由余弦定理结合椭圆定义得出PF2PF1，进而求出面积．
解：由题得，F1F2=2c=2 a2-b2=4 3，由正弦定理得F1F2sin∠F1PF2=2R，
又F1F2=4 3,R=4，代入得sin∠F1PF2= 32，故∠F1PF2=π3，
由余弦定理可得PF12+PF22-PF2PF1=F1F22=48，因为PF2+PF1=8，
所以82-3PF2PF1=48,PF2PF1=163，
S△F1PF2=12PF2PF1sin∠F1PF2= 34×163=4 33．
故答案为：4 33
17.【答案】解：(1)由已知，得AB的中点E的坐标为5,72，又因为AB上的中线过C0,3，
所以直线CE的方程为y-723-72=x-50-5，即x-10y+30=0．
(2)BC边所在直线的斜率k=7-36-0=23，
因为BC边上的高与BC垂直，所以BC边上的高所在直线的斜率为-32，
又BC边上的高经过点A4,0，所以BC边上的高所在的直线方程为y=-32x-4，
即3x+2y-12=0．
(3)由已知，得直线AC的斜率为k=3-00-4=-34，AC的中点F的坐标为2,32，
所以边AC上的垂直平分线所在直线斜率为43，
所以边AC上的垂直平分线所在直线方程为y-32=43x-2，即8x-6y-7=0．

【解析】【分析】(1)先求出AB的中点坐标，再结合直线的两点式方程，即可求解．
(2)根据已知条件，结合直线垂直的性质，以及直线的点斜式方程，即可求解．
(3)根据已知条件，结合垂直的性质，先求出垂直平分线的斜率，结合AC的中点，列点斜式方程，即可求解．
18.【答案】解：(1)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(2,0,0)，E(0,0,1)，B1(2,2,2)，G(1,0,0)，F(1,2,0)，A1(2,0,2)，C1(0,2,2)．

AE=(-2,0,1)，B1G=(-1,-2,-2)，GF=(0,2,0)，A1C1=(-2,2,0)．
因为AE⋅B1G=(-2,0,1)⋅(-1,-2,-2)=0，所以AE⊥B1G，即AE⊥B1G．
方法二：连接A1G．

在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB⊥平面ADDA1，所以AB⊥AE．
因为AB//GF，所以GF⊥AE．
因为A1B1//GF，所以A1,G,F,B1四点共面，
在正方形ADD1A1中，E，G分别是边DD1，AD的中点，可得▵A1AG≌▵ADE，
所以∠AA1G=∠DAE，∠AA1G+∠A1GA=∠DAE+∠A1GA=90∘，所以AE⊥A1G．
因为GF∩A1G=G，GF,A1G⊂平面A1GFB1，所以AE⊥平面A1GFB1．
因为B1G⊂平面A1GFB1，所以AE⊥B1G．
(2)因为AE⋅GF=(-2,0,1)⋅(0,2,0)=0，所以AE⊥GF，即AE⊥GF．
因为B1G∩GF=G，B1G,GF⊂平面B1FG，
所以AE⊥平面B1FG，即AE为平面B1FG的一个法向量．
设直线A1C1与平面B1FG所成的角为θ，
则sinθ=csA1C1,AE=-2,2,0⋅-2,0,12 2⋅ 5=42 2⋅ 5= 105．
故直线A1C1与平面B1FG所成角的 正弦值为 105．

【解析】【分析】(1)方法一：建立空间直角坐标系，证明AE⋅B1G=0得AE⊥B1G；
方法二：连接A1G，证明AE⊥平面A1GFB1得AE⊥B1G；
(2)证明AE为平面B1FG的一个法向量，用空间向量运算求线面角．
19.【答案】解：(1)由已知可设圆心C(a,2-a)，又由已知得CA=CB，
从而有 a-42+2-a-02= a-22+2-a-22，解得：a=2．
于是圆C的圆心C(2,0)，半径r= a-42+2-a-02=2．
所以，圆C的方程为(x-2)2+y2=4，
(2)设M(x,y),Dx1,y1，则由M为线段ED的中点得：x=x1+52y=y1+02，解得x1=2x-5y1=2y,
又点D在圆C：(x-2)2+y2=4上，
所以有(2x-5-2)2+(2y)2=4，
化简得：x2-7x+y2+454=0．
故所求的轨迹方程为x2-7x+y2+454=0．

【解析】【分析】(1)首先设出方程，将点坐标代入得到关于参数的方程组，通过解方程组得到参数值，从而确定其方程；
(2)首先设出点M的坐标，利用中点得到点D坐标，代入圆的方程整理化简得到的中点M的轨迹方程．
20.【答案】解：(1)由椭圆方程可知：a=2,b= 3，则c= a2-b2=1，
所以△ABF2的周长为AB+AF2+BF2=AF1+BF1+AF2+BF2=AF1+AF2+BF1+BF2=4a=8．
(2)由(1)可知：F1-1,0，且直线l的斜率k=tan45∘=1，
可得：直线l:y=x+1，设Ax1,y1,Bx2,y2，
联立方程y=x+1x24+y23=1，消去y得7x2+8x-8=0，
则Δ=82-4×7×-8=288>0，且x1+x2=-87,x1x2=-87，
所以AB= 1+12 -872-4×-87=247．

【解析】【分析】(1)根据题意结合椭圆的定义运算求解；
(2)根据弦长公式结合韦达定理运算求解．
21.【答案】解：(1)∵PD⊥底面ABCD，CD//AB，CD⊥AD．
以D为原点，DA、DC、DP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D-xyz，
由于PD=CD=DA=2AB=2．
所以D0,0,0，A2,0,0，B2,1,0，C0,2,0，P0,0,2，M0,1,1，
易知，平面PAD的一个法向量为DC=0,2,0，
又∵BM=-2,0,1，DC⋅BM=0，则DC⊥BM．
又∵BM⊄平面PAD，∴BM//平面PAD；
(2)存在N12,0,1满足要求，理由如下：
设Nx,0,z是平面PAD内一点，
则MN=x,-1,z-1，DP=0,0,2，DB=2,1,0，
若MN⊥平面PBD，则MN⋅DP=0MN⋅DB=0,∴2z-1=02x-1=0，即x=12z=1．
因此，在平面PAD内存在点N12,0,1，使MN⊥平面PBD．

【解析】【分析】(1)以点D为坐标原点，DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D-xyz，利用空间向量法可证明出BM//平面PAD；
(2)设Nx,0,z是平面PAD内一点，由MN⊥平面PBD得出MN⋅DP=0MN⋅DB=0，可求得x、z的值，进而可确定点N的坐标．
22.【答案】(1)解：∵椭圆的离心率为 32，∴c2a2=34，即b2a2=14①.
又S△AOB=12ab=1②，
由①②解得a=2，b=1，故椭圆的标准方程是x24+y2=1．
(2)(i)解：设直线CD：y=-12x+t，代入x24+y2=1得x2-2tx+2t2-2=0，
设C(x1,y1)，D(x2,y2)，
x1+x2=2t,x1x2=2t2-2，
k1k2=y1x1-2⋅y2-1x2=(-12x1+t)(-12x2+t-1)x2(x1-2)，
分子=(-12x1+x1+x22)(-12x2+x1+x22-1)=x22⋅x1-22，
∴k1k2=14为定值．
(ii)证明：令直线AC：y=k(x-2)，
∵x2+4y2=4，
∴x2+4k2(x-2)2=4，
∴(4k2+1)x2-16k2x+16k2-4=0，
由韦达定理得xAx1=2x1=16k2-44k2+1，
故x1=8k2-24k2+1，
由(i)知，直线BD：y=14kx+1,代入椭圆方程x2+4y2=4，化简得：
(4k2+1)x2+8kx=0，故x2=-8k4k2+1．
从而，|CD|= 1+(-12)2|x1-x2|= 52|8k2+8k-24k2+1|，
记f(k)=8k2+8k-24k2+1=8k2+2+8k-44k2+1=2+4⋅2k-14k2+1.当k=12时，f(k)=2，
当k≠12时，记2k-1=t，则2+4⋅2k-14k2+1=2+4⋅tt2+2t+2=2+4⋅1t+2t+2(t≠0)，
令g(t)=2+4t+2t+2，
当t>0时t+2t+2≥2 2+2，当且仅当t=2t时等号成立，
于是g(t)≤2+42 2+2=2 2．
此时，|CD|= 52|g(t)|≤ 52⋅2 2= 10，
当且仅当t= 2，即k= 2+12时，等号成立．
同理，当t<0时，-2 2⩽g(t)<2．
此时|CD|= 52|g(t)|≤ 52⋅2 2= 10，
当且仅当t=- 2，即k=1- 22时，等号成立．
综上所述，当且仅当k=1± 22时|CD|取得最大值 10．
【解析】本题主要考查椭圆方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用，圆锥曲线中的定点、定值问题等知识，属于中等题．
(1)根据条件列出关于a，b，c的方程，可求椭圆方程；
(2)(ⅰ)首先设直线CD的方程，与椭圆方程联立，得韦达定理，并且利用坐标表示k1k2，化简后得证；
(ⅱ)首先设直线AC，BD的方程，与椭圆方程联立，求得点C，D的横坐标，再利用弦长公式表示|CD|= 1+(-12)2|x1-x2|= 52|8k2+8k-24k2+1|，再利用换元法，求得函数的最大值．