2022-2023学年浙江省精诚联盟高二上学期开学联考数学试题含解析

2022-2023学年浙江省精诚联盟高二上学期开学联考数学试题

一、单选题

1．设全集，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据补集、交集的运算求解即可.

【详解】，，，

，

故选：A

2．若复数满足，则（       ）

A．1 B．5 C．7 D．25

【答案】B

【分析】根据复数模的计算公式，可直接求得答案.

【详解】因为复数满足，故，

故选：B

3．下列说法中正确的是（       ）

A．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台

B．上下底面全等，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱

C．棱台的底面是两个相似的正方形

D．棱台的侧棱延长后必交于一点

【答案】D

【分析】根据棱台的定义判断ACD，举反例图形判断B.

【详解】A中, 要用“平行于底面”的平面去截棱锥，棱锥底面与截面间部分才叫棱台, 如果截棱锥的平面不与底面平行，棱锥底面与截面间部分只能叫多面体, 故A错误；

B中, 如图所示几何体，

有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，但不是棱柱，故B错误；

C中，棱台的底面不一定是两个相似的正方形，只需是相似多边形即可，故C错误；

D中, 由棱台的定义知棱台的侧棱延长后必交于一点, 故D正确.

故选：D.

4．设，则“”是“”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】B

【分析】取特殊值来说明“”推不出，由不等式性质知能推出，据此可由充分条件、必要条件求解.

【详解】取，，则；

当时，不等式两边同乘以正数，可得.

因此，“”是“”的必要不充分条件，

故选：B

5．魔方又叫鲁比克方块（Rubk'sCube），是由匈牙利建筑学教授暨雕塑家鲁比克･艾尔内于1974年发明的机械益智玩具，与华容道､独立钻石棋一起被国外智力专家并称为智力游戏界的三大不可思议.三阶魔方可以看作是将一个各面上均涂有颜色的正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开所得，现将三阶魔方中1面有色的小正方体称为中心方块，2面有色的小正方体称为边缘方块，3面有色的小正方体称为边角方块，若从所有的小正方体中任取一个，恰好抽到中心方块的概率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】沿等分线把正方体切开，共有27个同样大小的小正方体，然后数出1面有色、2面有色和3面有色的小正方体的个数，可通过古典概型运算公式求得答案.

【详解】沿等分线把正方体切开，得到27个同样大小的小正方体，1面有色的小正方体有6个，2面有色的小正方体有12个，3面有色的小正方体有8个，

所以恰好抽到的是中心方块的概率是．

故选：A.

6．设是空间中不同的直线，是不同的平面，则下列说法正确的是（       ）

A．若，则

B．则

C．若，则

D．若，则

【答案】C

【分析】A缺线在面外的条件不成立，B中两条直线可以为异面、相交、平行，由面面平行性质定理知C正确，D中两条直线可平行，不一定垂直.

【详解】对于A，若，则或，故A错误；

对于B，若，则m∥n或m与n异面或m与n相交，故B错误；

对于C，若，则，由面面平行性质定理知正确，故C正确；

对于D，若，则可以平行，相交，异面，不能得到，故D错误．

故选：C．

7．已知，则属于（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据结合换底公式，代入计算即可.

【详解】∵，

∴，

∴，

∴，

∴.

故选:B.

8．平面直角坐标系中，，下列说法不正确的是（       ）

A．若，则的最小值为

B．若，则的最大值为

C．若，则点表示的平面区域的面积为

D．若，则点表示平面区域的面积为

【答案】D

【分析】根据向量的线性运算，分别确定点的位置或轨迹，求出最值或面积即可得解.

【详解】对A，若，则点在直线上，由于是边长为2的等边三角形，故点到直线的距离为，故A正确；

对B，若，则，点是线段上任意一点；

若，则，点是线段上任意一点；

若，则，则点是线段上任意一点.

若，则.

记，则点是线段上任意一点，

，点是线段上任意一点.

综上，点是内部及边界上任意一点，的最大值为，故B正确；

对C，记，则点在以和为对角线的平行四边形内部及边界，其面积为，故C正确；

对于D，若，由选项和知点是五边形内部及边界上一点，其面积为，故D错误.

故选：

二、多选题

9．关于一组样本数据的平均数､中位数､频率分布直方图和方差，下列说法正确的是（       ）

A．改变其中一个数据，平均数和中位数都会发生改变

B．频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等

C．若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则平均数大于中位数

D．样本数据的方差越小，说明样本数据的离散程度越小

【答案】BCD

【分析】根据平均数、中位数、频率分布直方图和方差的性质，逐一分析选项，即可得答案.

【详解】对于A：例如数据1，3，5，将数据改成2，3，5，数据的中位数未改变，仍为3，故A错误；

对于B：根据频率分布直方图中中位数的求法，可得B正确；

对于C：根据频率直方图可得，单峰不对称且在右边“拖尾”，则平均数变大，中位数变小，所以平均数大于中位数，故C正确；

对于D：样本数据方差越小，数据越稳定，离散程度越小，故D正确.

故选：BCD

10．下列选项正确的是（       ）

A．对的最小值为1

B．若，则的最大值为

C．若，则

D．若正实数满足，则的最小值为8

【答案】BD

【分析】根据特殊值A，由均值不等式判断BC，根据“1”的技巧及均值不等式判断D.

【详解】对A，取，，故A错误；

对B，，则，当且仅当时等号成立，故B正确；

对C，因为，所以，而，故C错误；

对于D，，当且仅当，即时等号成立，故D正确.

故选：BD

11．要得到的图象，可以将函数的图象上所有的点（       ）

A．向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍

B．向左平行移动个单位长度，再把所得各点横坐标扩大到原来的2倍

C．横坐标缩短到原来的倍，再把所得各点向右平行移动个单位长度

D．横坐标扩大到原来的2倍，再把所得各点向左平行移动个单位长度

【答案】BD

【分析】先由横坐标的变换排除AC选项，再验证BD选项的正确性.

【详解】要想得到的图象，图象上所有的点横坐标扩大到原来的2倍，故排除AC；

图象上所有点先向左平移个单位长度，得到，

再把所得各点横坐标扩大到原来的2倍，得到，B正确；

的图象上所有点横坐标扩大到原来的2倍，变为，

再把所得各点向左平行移动个单位长度，得到，D正确.

故选：BD

12．如图，在棱长为2的正方体中，点在线段上运动，则下列说法正确的是（       ）

A．平面

B．几何体的外接球半径

C．异面直线与所成角的正弦值的取值范围为

D．面与底面所成角正弦值的取值范围为

【答案】ACD

【分析】对于A，利用面面平行的性质定理可判断；对于B，几何体的外接球与正方体的外接球相同，可求得其半径；对于C，找到异面直线与所成角的正弦值取到最大以及最小值的位置，即可求解；对于D，建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式，结合三角函数的知识可进行求解.

【详解】在正方体中， ,故为平行四边形，

所以,而平面平面，平面，故平面，

同理可证平面,而平面,

所以平面平面平面，则平面，A正确.

几何体关于正方体的中心对称，

其外接球与正方体的外接球相同，半径为，故B错误.

由于，则直线与所成最大角为（或），

其正弦值为.直线与所成最小角为与平面所成角，

当为中点时，所成角即为，

而平面平面,故 ,

，

故 ，故C正确.

以D为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，

则 ,则,

设 ,则 ,

设平面的法向量为，则，

令，则 ，故 ，

由题意知平面ABCD的法向量可取为 ，则 ，

则面与底面所成角正弦值为，

由于，故当时，取到最小值8，

则取到最小值为 ，

当或时，取最大值12，取最大值为，

所以面与底面所成角正弦值的取值范围为，D正确，

故选：ACD.

【点睛】本题考查了几何体中线面平行的判断，以及外接球的半径的求解和空间相关角的求解，涉及知识点多，综合性强，计算量大，解答时要充分发挥空间想象，明确空间的点线面的位置关系，解答的关键是能掌握并熟练应用空间线线角以及面面角的定义，并能应用空间向量的方法求解.

三、填空题

13．抛掷一枚质地均匀的硬币次，则恰好有一次正面朝上的概率为___________.

【答案】

【分析】列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.

【详解】抛掷一枚质地均匀的硬币次，所有可能的基本事件有：正正、正反、反正、反反，共种，

其中“恰好有一次正面朝上”所包含的基本事件有：正反、反正，共种，

故所求概率为.

故答案为：.

14．已知圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则圆锥的体积为________.

【答案】

【分析】由侧面展开图求出圆锥的底面半径和高，再由体积公式计算．

【详解】由题意圆锥的母线长为，设圆锥底面半径为，则，，

所以高为，

体积为．

故答案为：．

15．我国古代数学专著《九章算术》中有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役二百五十人，则北乡遣___________人.

【答案】90

【分析】根据分层抽样原理计算抽样比例，从而求出北乡应遣人数．

【详解】根据分层抽样原理，抽样比例为，

北乡应遣（人．

故答案为：．

16．已知非零向量满足，，则的最大值为___________.

【答案】

【分析】设，根据题意 是三角形的重心，且可得，推出，设，根据勾股定理可得，可得，利用二次函数求最值即可.

【详解】设，如图，

则，是的重心.

由于，延长交于点，则，.

设，则，，

，

，当时，等号成立，

即的最大值为.

故答案为：

四、解答题

17．为了普及垃圾分类知识，某校举行了垃圾分类知识考试.试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为，乙同学答对每题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响.已知每题甲､乙同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为.

(1)求和的值；

(2)试求两人共答对3道题的概率.

【答案】(1)

(2).

【分析】（1）利用独立、互斥事件概率公式得到方程组求解；

（2）先求出甲、乙答对题目数为0、1、2的概率，再由甲乙总共答对3道题，等价于甲答对2道题乙答对1道题或甲答对1道题乙答对2道题，利用独立、互斥事件概率公式计算求得.

【详解】(1)由题意可得 即，

解得或   由于，所以

(2)设甲同学答对了道题乙同学答对了道题.

由题意得，，

，

设甲乙二人共答对3道题，

则，

由于和相互独立，与相互互斥，

所以

，

所以甲乙二人共答对3道题的概率为.

18．已知函数的部分图象如图所示.

(1)求的解析式；

(2)求的单调递增区间，若当时，求的值域.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据图象列出方程求出A，B，利用周期求出，代入点求出即可；

（2）由正弦型函数的性质求单调递增区间，值域即可.

【详解】(1)由图象可知：，解得，

又由于，可得，所以，

由图象知，

又因为，所以，

所以.

(2)依题可得，解得，

所以的单调递增区间，

因为，令，则，，

即的值域为.

19．已知的角所对的边分别是， ， ，设向量.

(1)若，求的面积；

(2)若，求的面积.

【答案】(1);

(2).

【分析】（1）由向量平行，得到，利用正弦定理化简即可得出，由面积公式求解即可；

（2）根据向量垂直满足的条件可得，利用余弦定理结合三角形的面积公式即可求出答案.

【详解】(1)（1），则，

即，其中是三角形外接圆半径，故，

因为，即为等边三角形，

因为，故；

(2)由题意可知，即，

即，

由余弦定理可知，

即，

故（舍去），

故.

20．图1是由矩形､Rt和菱形组成的一个平面图形，其中，将其沿折起使得与重合，连接，如图2.

(1)证明：图2中的平面；

(2)图2中连接，求与平面所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）由折前图可知，折后，由线面平行判定定理得证；

（2 ）作，垂足为，连接，，先证平面，再由面面垂直的性质定理得出EH平面，可知即为线面角，即可求解.

【详解】(1)由已知得平面，平面，

故平面；

(2)作，垂足为，连接，，

由已知得，，故平面，

又因为平面，所以平面平面，

因为平面BCGE，，平面平面，是交线，

所以EH平面，连接，则即为所求线面角，

由已知，菱形的边长为2，，

可求得，，

故所求角的正弦值为.

21．浙江某校为了了解学生的体育锻炼时间，采用简单随机抽样法抽取了100名学生，对其平均每日参加体育锻炼的时间（单位：分钟）进行调查，按平均每日体育锻炼时间分组统计如下表：

若将平均每日参加体育锻炼的时间不低于120分钟的学生称为“锻炼达人”.

(1)若将频率视为概率，估计该校3500名学生中“锻炼达人”有多少？

(2)从这100名学生的“锻炼达人”中按性别分层抽取8人参加某项体育活动.

①求男生和女生各抽取了多少人；

②若从这8人中随机抽取2人作为组长候选人，求抽取的2人中男生和女生各1人的概率.

【答案】(1)（人）

(2)①男生抽取6人，女生抽取2人；②

【分析】（1）求出100名学生中的“锻炼达人”人数，可得3500名学生中“锻炼达人”的人数；

（2）①因为100名学生的“锻炼达人”按性别中的男女之比为，可得男生和女生各抽取的人数；②求出从8人中随机抽取2人的基本事件，根据古典概型求解即可.

【详解】(1)由表可知，100名学生中“锻炼达人”的人数为12人，

若将频率视为概率，该校3500名学生中“锻炼达人”的人数为

（人）；

(2)① 由（1）知100名学生中的“锻炼达人”有12人，其中男生9人，女生3人.

从12人中按性别分层抽取8人参加体育活动，则男生抽取6人，女生抽取2人.

② 抽取的8人中有6名男生和2名女生，6名男生依次编号为，

2名女生依次编号为，则8人中随机抽取2人的所有结果为,,，，，

，，，,,有28种结果，且每种结果发生的可能性相等.

记“抽取的2人中男生和女生各1人”为事件，则事件包含的结果有12个，

故.

22．设函数，其中为任意常数.

(1)若，且函数在区间上不单调，求实数的取值范围；

(2)如果不等式在上恒成立，求的最大值.

【答案】(1)

(2)2

【分析】（1）根据二次函数的对称轴在区间上列不等式，由此求得的取值范围.

（2）令，将不等式转化为，对进行分类讨论，结合绝对值不等式的解法、转换主参变量、一元一次不等式恒成立等知识求得的最大值.

【详解】(1)若，

此时二次函数的对称轴方程为，

由题意知，解得.

(2).

令，依题意，

则.

①当时，上式.

（i），

记在时恒成立，

则.

（ii）.

记在时恒成立，

则，解得.

②当时，

（i）.

记在时恒成立，则

（ii）.

记在时恒成立，

则

综上，恒成立的充要条件是，

即的最大值是2.