2023-2024学年江苏省如皋市石庄镇初级中学九年级上学期第一次学情监测数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省如皋市石庄镇初级中学九年级上学期第一次学情监测数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列函数中，是二次函数的是( )
A. B.
C. D.
2.对于二次函数的图象，下列说法正确的是
( )
A. 图象与轴交点的坐标是B. 对称轴是直线
C. 顶点坐标为D. 当时，随的增大而增大
3.将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位得到的抛物线是( )
A. B.
C. D.
4.若函数的图象与轴有交点，则的取值范围是
( )
A. B. C. 且D. 且
5.若，是抛物线上的两个点，则它的对称轴是
( )
A. B. C. D.
6.如图是一次函数的图象，则二次函数的图象可能为( )
A. B. C. D.
7.如图是四个二次函数的图象，则、、、的大小关系为( )
A. B. C. D.
8.已知实心球运动的高度与水平距离之间的函数关系是，则该同学此次投掷实心球的成绩是
( )
A. B. C. D.
9.二次函数的图象如图，对称轴为直线，关于的一元二次方程为实数在的范围内有解，则的取值范围是
( )
A. B. C. D.
10.下表记录了二次函数中两个变量与的组对应值，其中．
根据表中信息，当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，则的取值范围是( )
．
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共8小题，共24分）
11.抛物线的对称轴是直线____．
12.二次函数的顶点在轴上，则_________．
13.已知抛物线的对称轴为直线，点、都在该抛物线上，那么_____填“”或“”或“”．
14.是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在时，拱顶拱桥洞的最高点离水面，水面宽如图建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是_______．
15.如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是__________．
16.二次函数在范围内的最大值为__．
17.已知关于的二次函数，无论取何值，函数图象恒过定点，则点的坐标为_____．
18.实数，满足，则的最大值_______．
三、解答题（本大题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19.本小题分
已知二次函数．

完成下表，并在方格纸中画该函数的图象；
根据图象，完成下列填空：
当时，随的增大而___________
当时，的取值范围是____________
20.本小题分
已知二次函数的图象经过点、、，且与轴交于、两点．
试确定该二次函数的解析式；
判定点是否在这个图象上，并说明理由；
21.本小题分
已知抛物线．
求证：此抛物线与轴必有两个不同的交点；
若此抛物线与直线的一个交点在轴上，求的值．
22.本小题分
如图，现打算用的篱笆围成一个“日”字形菜园含隔离栏，菜园的一面靠墙，墙可利用的长度为篱笆的宽度忽略不计
菜园面积可能为吗？若可能，求边长的长，若不可能，说明理由．
因场地限制，菜园的宽度不能超过，求该菜园面积的最大值．
23.本小题分
如图，抛物线与轴正半轴、轴负半轴分别相交于点、，且，点为抛物线的顶点．
求抛物线的解析式及点的坐标；
点、为抛物线上两点点在点的左侧，且到对称轴的距离分别为个单位长度和个单位长度，点为抛物线上点，之间不含点、的一个动点，直接写出点的纵坐标的取值范围．
24.本小题分
某汽车店销售，两种型号的轿车，具体信息如下表：
注：厂家要求店每季度型轿车的销量是型轿车销量的倍．
根据以上信息解答下列问题：
用含的代数式表示；
今年第三季度该店销售，两种型号轿车的利润恰好相同利润不为，试求的值；
求该店第四季度销售这两种轿车能获得的最大利润．
25.本小题分
如图，已知抛物线与轴交于和两点，与轴交于点直线过抛物线的顶点．
求抛物线的函数解析式；
若直线与抛物线交于点，与直线交于点．
当取得最大值时，求的值和的最大值；
当是等腰三角形时，求点的坐标．
26.本小题分
规定：，为函数图象上不重合的两点，若轴，则称点，互为这个函数的对“平行点”．
函数，，，其中有“平行点”的函数为__填序号；
若点，为二次函数图象上的一对“平行点”，在函数图象上，当时，，求的值；
若点，在函数图象上，且，设该函数图象上点的“平行点”的横坐标为，求的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】根据二次函数的定义逐个判断即可．
【详解】解：函数是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
B.函数是二次函数，故本选项符合题意；
C.，函数是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
D.函数不是二次函数，故本选项不符合题意；
故选：．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，能熟记二次函数的定义是解此题的关键，形如、、为常数，的函数，叫二次函数．
2.【答案】
【解析】【分析】根据抛物线的性质由得到图象开口向下，当时，可求图像与轴的交点，根据顶点式得到顶点坐标为，对称轴为直线，从而可判断抛物线增减性．
【详解】解：对于二次函数的图象，
当时，，图像与轴交点坐标为，选项说法不正确；
抛物线对称轴为直线，选项说法不正确；
抛物线顶点坐标为，选项说法不正确；
，
图像开口向下，
当时，随的增大而增大，选项说法正确．
故选：．
【点睛】本题考查二次函数图像性质，解题的关键是掌握相关性质，利用数形结合思想．
3.【答案】
【解析】【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律．
【详解】解：将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位得到．
故得到抛物线的解析式为．
故选C．
【点睛】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．
4.【答案】
【解析】【分析】分和两种情况分类讨论，时，利用进行求解即可．
【详解】当，与轴有一个交点；
当，由题意得：，解得：，
综上：时，函数的图象与轴有交点．
故选A．
【点睛】本题考查函数图象与的交点情况．注意二次项的系数是否为零，当函数为二次函数时，利用判别式来确定图象与交点的个数问题．
5.【答案】
【解析】【分析】根据抛物线的对称性可知，对称轴即为与轴的两点交点横坐标的平均数．
【详解】解：，两点是抛物线与轴的两交点，
抛物线的对称轴为．
故选：．
【点睛】本题考查了抛物线的对称性，对称轴的求法．抛物线是关于对称轴成轴对称图形．
6.【答案】
【解析】【分析】先根据一次函数图象确定，进而确定二次函数开口向上，对称轴在轴左侧，由此即可得到答案．
【详解】解：一次函数的图象经过第一、二、三象限且与轴交于轴的正半轴，
，
二次函数的图象的开口向上，
二次函数的对称轴为直线，
二次函数的对称轴在轴左侧，
四个选项中只有选项中的函数图象符合题意，
故选C．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象与二次函数图象综合判断，正确求出是解题的关键．
7.【答案】
【解析】【分析】设，函数值分别等于二次项系数，根据图象，比较各对应点纵坐标的大小．
【详解】解：直线与四条抛物线的交点从上到下依次为，，，，
，
故选：．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，采用了取特殊点的方法，比较字母系数的大小是解题的关键．
8.【答案】
【解析】【分析】由题意知，该运动员此次掷铅球的成绩就是抛物线与轴交点的横坐标，因此令，解一元二次方程即可．
【详解】解：令，则：，
解得：舍去，，
则该运动员此次掷铅球的成绩是，
故选：．
【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的联系在实际生活中的应用，理解题意是关键．
9.【答案】
【解析】【分析】如图，关于的一元二次方程的解就是抛物线与直线的交点的横坐标，利用图象法即可解决问题．
【详解】解：如图，关于的一元二次方程的解就是抛物线与直线的交点的横坐标，由题意可知：，
，
当时，，
当时，，
由图象可知关于的一元二次方程为实数在的范围内有解，
直线在直线和直线之间包括直线，
．
故选：．
【点睛】本题考查抛物线与轴的交点、一元二次方程等知识，解题的关键是学会利用图象法解决问题，画出图象是解决问题的关键，属于中考选择题中的压轴题．
10.【答案】
【解析】【分析】根据表中数据得出对称轴，进而得到抛物线与轴的交点，利用交点式得到，从而得到二次函数表达式为，根据当时，直线与该二次函数图像有两个公共点，可得．
【详解】解：由可得抛物线对称轴，
又由以及对称轴可得，
，则设抛物线交点式为，
与对比可得，解得，
二次函数表达式为，
当时，；
当时，；
当时，，
，当时，直线与该二次函数图像有两个公共点，
，
故选：
【点睛】本题考查二次函数图像与性质，掌握二次函数表达式的求法是解决问题的关键．
11.【答案】
【解析】【分析】利用顶点坐标公式，可求顶点横坐标，即为对称轴．也可以利用配方法求对称轴．
【详解】解：方法：利用公式法
的顶点坐标公式为，代入数值求得对称轴是直线；
方法：利用配方法
，故对称轴是直线．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查求抛物线的顶点坐标、对称轴及最值，通常有两种方法：公式法；配方法，掌握以上知识的运用是解题的关键．
12.【答案】
【解析】【分析】根据二次函数的顶点坐标公式结合轴上点的横坐标为求解即可．
【详解】解：二次函数的顶点在轴上，
，解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的顶点坐标公式和轴上点的坐标特点，熟记二次函数的顶点坐标公式是解题的关键．
13.【答案】
【解析】【分析】因为抛物线的对称轴为直线，根据二次函数的性质即可判断．
【详解】解：抛物线的图象的对称轴为直线，
当时，随的增大而减小，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．
14.【答案】
【解析】【分析】设抛物线的关系式为，代入坐标求出的值，即可得到答案．
【详解】解：设抛物线的关系式为，
由题意可知，抛物线过点，
，
解得：，
抛物线的关系式为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式是解题关键．
15.【答案】或
【解析】【分析】由图象判断是对称轴，与轴一个交点是，则另一个交点，结合函数图象即可求解．
【详解】解：由图象可知二次函数的对称轴是直线，
与轴一个交点坐标，
由函数的对称性可得，与轴另一个交点是，
的解集为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查二次函数图象的应用；能够根据二次函数图象特点求出函数与轴的两个交点，数形结合解不等式是解题的关键．
16.【答案】
【解析】【分析】把函数解析式整理成顶点式解析式的形式，然后根据二次函数的最值问题解答．
【详解】解：，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
离对称轴越远函数值越大，
离对称轴的距离远，
当时，有最大值为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，把函数解析式转化为顶点式形式是解题的关键．
17.【答案】
【解析】【分析】将抛物线整理成的形式，可得当时，无论取何值，函数图象恒过定点，据此求解．
【详解】解：，
当时，无论取何值，函数图象恒过定点，
此时，，
即定点的坐标为；
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特点，掌握求解的方法是关键．
18.【答案】
【解析】【分析】根据条件变形为，确定出的取值范围，将转化为即可．
【详解】，
，，
，
，
，
，
，
，
当时，式子的值随的增大而增大，
当时，的最大值为．
故答案为．
【点睛】本题考查代数式的最值问题，将代数式变形，利用完全平方公式配方，利用非负数的性质是解题关键．
19.【答案】见解析；
增大；．

【解析】【分析】分别将的值代入函数解析式求出值，再描点，连线作出图象；
观察图象，当时，随的增大而增大，当时，函数图象在轴下方，即可得的取值范围．
【详解】解：分别将，，，，代入得，，，，，
如图，
故答案为：，，，，；
观察图象，当时，随的增大而增大，当时，函数图象在轴下方，即．
故答案为：增大；．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
20.【答案】
点在这个图象上，理由见解析

【解析】【分析】设二次函数的解析式为，将点、、代入解析式，利用待定系数法，即可解答；
代入，求出值，将其与比较即可．
【详解】解：设二次函数的解析式为，
将点、、代入，可得：
解得
二次函数的解析式为；
解：当时，
，
点在这个图象上．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的特征，熟练用待定系数法求二次函数解析式是解题的关键．
21.【答案】证明见解析；的值为或．
【解析】【分析】先求得的值，然后证明即可；
依据此抛物线与直线的一个交点在轴上可得到，然后解关于的方程即可．
【详解】解：令得：
方程有两个不等的实数根，
原抛物线与轴有两个不同的交点；
令：，根据题意有：，
整理得：
解得或．
【点睛】本题主要考查的是抛物线与轴的交点，依据此抛物线与直线的一个交点在轴上得到关于的方程是解题的关键．
22.【答案】可能；的长为；理由见解析

【解析】【分析】根据题意，设长为，则长为，利用矩形面积公式列方程求解即可得到答案；
由设长为，则长为，根据题中条件得到，从而得到菜园面积，结合二次函数图像与性质分析即可得到答案．
【详解】解：可能．理由如下：
设长为，则长为，
，解得或，
当时，，不合题意，舍去；
当时，，符合题意；
解：由知，设长为，则长为，
，解得，
令菜园面积为，则，
即是关于的二次函数，其图像开口向下，对称轴为，
当时，面积随的增大而增大，
当时，面积的最大值为．
【点睛】本题考查一元二次方程及二次函数解是解决问题的，读懂题意，找准题中描述的关系得到相应方程及函数表达式是解决问题的关键．
23.【答案】；
或

【解析】【分析】由可得，将点代入，可求得的值，即求得了抛物线解析式，再根据顶点坐标公式求得点坐标；
由、到对称轴的距离分别为个单位长度和个单位长度，可找到点、的横坐标，即可求得点、的坐标，再根据点在点的左侧分类讨论的取值范围．
【详解】解：由题可得点坐标为，，
，
，
将点代入，得，
解得或，
抛物线与轴负半轴相交于点，
，
，
；
解：到对称轴的距离为个单位，
或，
或，
点到对称轴的距离为个单位，
或，
或，
若，，
则，
若，，
则．
【点睛】本题考查了求二次函数的解析式、顶点坐标公式以及求二次函数的函数值的取值范围，解决本题的关键是熟练掌握相关知识点并能利用分类讨论的思想解决数学问题．
24.【答案】
万元

【解析】【分析】根据店每季度型轿车的销量是型轿车销量的倍列出等量关系，化简即可；
根据该店销售，两种型号轿车的利润恰好相同列出方程，解方程求出的解满足利润不为；
设该店第四季度销售这两种轿车能获得的利润为万元，根据总利润等于销售，两种车的利润之和列出函数解析式，再根据函数的性质求最值即可．
【详解】解：根据题意得：，
整理得：；
解：根据题意得：，
由知，，
，
整理得：，
解得，
时利润为，
的值为；
解：设该店第四季度销售这两种轿车能获得的利润为万元，
则
，
，
当时，有最大值，最大值为，
答：该店第四季度销售这两种轿车能获得的最大利润为万元．
【点睛】本题考查二次函数和一元二次方程的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式或一元二次方程．
25.【答案】
当时，有最大值，最大值为；或或

【解析】【分析】利用待定系数法求解即可；
先求出，进而求出直线的解析式为，则，进一步求出，由此即可利用二次函数的性质求出答案；设直线与轴交于，先证明是等腰直角三角形，得到；再分如图所示，当时，如图所示，当时，如图所示，当时，三种情况利用等腰三角形的定义进行求解即可．
【详解】解：抛物线与轴交于和两点，
抛物线对称轴为直线，
在中，当时，，
抛物线顶点的坐标为，
设抛物线解析式为，
，
，
抛物线解析式为
解：抛物线解析式为，点是抛物线与轴的交点，
，
设直线的解析式为，
直线的解析式为，
直线与抛物线交于点，与直线交于点
，
，
，
当时，有最大值，最大值为；
设直线与轴交于，
，，
，
是等腰直角三角形，
；
如图所示，当时，
过点作于，则
点为的中点，
由得，
，
，
解得或舍去，
；
如图所示，当时，则是等腰直角三角形，
，即，
点的纵坐标为，
，
解得或舍去，
如图所示，当时，过点作于，
同理可证是等腰直角三角形，
，
，
，
，
解得或舍去，
，，
，
综上所述，点的坐标为或或
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判断，一次函数与几何综合，待定系数法求函数解析式等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
26.【答案】；
或；
最大值为．

【解析】【分析】由对“平行点”的含义可得：两点的纵坐标相等，再结合一次函数与反比例函数的图象即可得到答案；
分两种情况讨论：当或时，再结合二次函数的增减性，利用待定系数法求解即可；
点，在函数图象上，且，可得抛物线的对称轴为直线，且直线在轴的右侧，再结合数形结合的方法解题即可．
【详解】解：由对“平行点”的含义可得：两点的纵坐标相等，
如图，的图象如下图，
是有“平行点”的函数；
如图，与的图象如下图，
与都不是有“平行点”的函数．
故答案为：；
当时，点，为二次函数图象上的一对“平行点”，
轴，
抛物线的对称轴为直线，
在函数图象上，，，
此时随的增大而增大，
当时，，当时，，
，解得：
当时，抛物线的对称轴为直线，
在函数图象上，，，
此时随的增大而减小，
当时，，当时，，
，解得：
因此，的值为或；
点，在函数图象上，且，
抛物线的对称轴为直线，且直线在轴的右侧，
如图，，与，都关于直线对称，
结合平移可得：的横坐标为：，
且，
，
，都关于直线对称，
线段的中点的横坐标为：，而，
，
解得：，
而，
此时，对称轴为直线，在对称轴的右边随的增大而减小，
当时，的值最大，
此时最大值为：．
【点睛】本题考查的是一次函数，反比例函数，二次函数的图象与性质，利用待定系数法求解二次函数的解析式，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．
每辆进价万元
每辆售价万元
每季度销量辆