2023-2024学年江苏省南京市重点中学九年级（上）10月月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省南京市重点中学九年级（上）10月月考数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列方程是一元二次方程的是
( )
A. x2−2x+1=(x+1)(x−1)B. ax2+bx+c=0
C. x2=0D. 1x2+1x=1
2.用配方法解方程x2−4x+2=0，下列配方正确的是
( )
A. (x−2)2=6B. (x+2)2=2C. (x−2)2=−2D. (x−2)2=2
3.平面内，若⊙O的半径为2，OP= 3，则点P在⊙O( )
A. 内B. 上C. 外D. 内或外
4.用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形，根据图所表示的情形，四个工件哪一个肯定是半圆环形
( )
A. B.
C. D.
5.若α，β是方程x2+2x−2023=0的两个实数根，则α2+3α+β的值为
( )
A. 2021B. 2023C. 2025D. 4046
6.如图，AB为⊙O直径，C为圆上一点，I为ΔABC 内心，AI交⊙O于D，OI⊥AD 于I，若CD=4，则AC为
( )
?
A. 12 55B. 16 55C. 2 5D. 5
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
7.一元二次方程x2−3x=0的根是__．
8.如图，AB是⊙O的直径，C、D在⊙O上，若∠ABC=70∘，则∠D的度数为 _ ∘．
9.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=10，EB=2，则CD的长为_ _..
10.关于x的一元二次方程(a+1)x2−ax+a2−1=0的一个根为0，则a=
11.如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点C在AB上，若PA长为2，则ΔPEF的周长是_
12.劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种农作物的产量两年内从300千克增加到363千克，则平均每年增产的百分率为
13.如图，⊙O的两条弦AB和CD相交于点P，若弧AC、弧BD的度数分别为60∘、40∘，则∠APC的度数为_
14.如图，圆O是四边形ABCD的内切圆，若∠BOC=118∘，则∠AOD=
15.在半径为5的圆内有长为5 3的弦，则此弦所对圆周角的度数为
16.如图，在RtΔABC中，∠C=90∘，BC=3，AC=4，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE=3，若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为_
三、解答题（本大题共10小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题8.0分)
解下列一元二次方程：
(1)(x−1)2=4；
(2)x2−4x+3=0；
(3)x(x+2)=5(x+2)；
(4)(2x−1)(x+3)=4．
18.(本小题8.0分)
已知关于x的一元二次方程kx2−4x+2=0有实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)若ΔABC中，AB=AC=2，AB，BC的长是方程kx2−4x+2=0的两根，求BC的长．
19.(本小题8.0分)
如图，AB是⊙O的弦，点C、D在弦AB上，且OC=OD.求证：AC=BD．
20.(本小题8.0分)
如图，利用长20米的一段围墙，用篱笆围一个长方形的场地，中间用篱笆分割出2个小长方形，总共用去篱笆36米，为了使这个长方形的ABCD的面积为96平方米，求AB、BC边各为多少米．
21.(本小题8.0分)
某药店在口罩销售中发现：一款进价为10元/盒的口罩，销售单价为16元/盒时，每天可售出60盒．药店在销售中发现：若销售单价每降价1元，则每天可多售出30盒，设每盒降价x元(0(1)为了尽快减少库存，当每盒降价多少元时，每天可盈利450元？
(2)在满足药店正常销售的情况下，每盒降价多少元时，可取得最大利润，并求此时最大利润．
22.(本小题8.0分)
用一个直角边长分别为3和4的直角ΔABC纸片剪半圆，要求剪出的半圆的直径在ΔABC的边AB上，且半圆的弧与另两边都相切，请用尺规作出示意图，并求出相应半圆的半径．
23.(本小题8.0分)
若关于x的方程x2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，那么称这样的方程为“隔根方程”.例如，方程x2+2x=0的两个根是x1=0，x2=−2，则方程x2+2x=0是“隔根方程”．
(1)方程x2−x−20=0是“隔根方程”吗？判断并说明理由；
(2)若关于x的方程x2+mx+m−1=0是“隔根方程”，求m的值．
24.(本小题8.0分)
如图，在ΔABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，交AC于点E，连接DE．
(1)求证：DE=DC；
(2)连接OD，OE，当∠BAC=_60∘_时，四边形ODCE为菱形；
(3)若AB=10，CE=4，则DE=__．
25.(本小题8.0分)
如图，AB为⊙O的直径，过圆上一点D作⊙O的切线CD交BA的延长线于点C，过点O作OE//AD交CD于点E，连接BE．
(1)求证：直线BE与⊙O相切．
(2)若CA=4，CD=6，求BE的长．
26.(本小题8.0分)
【问题提出】
我们知道：同弧或等弧所对的圆周角都相等，且等于这条弧所对的圆心角的一半，那么，在一个圆内同一条弦所对的圆周角与圆心角之间又有什么关系呢？
【初步思考】
(1)如图1，AB是⊙O的弦，∠AOB=100∘，点P1、P2分别是优弧AB和劣弧AB上的点，则∠AP1B=_50_ ∘，∠AP2B=__ ∘；
(2)如图2，AB是⊙O的弦，圆心角∠AOB=m∘(m<180∘)，点P是⊙O上不与A、B重合的一点，求弦AB所对的圆周角∠APB的度数为__；(用m的代数式表示)
【问题解决】
(3)如图3，已知线段AB，点C在AB所在直线的上方，且∠ACB=135∘，用尺规作图的方法作出满足条件的点C所组成的图形(①直尺为无刻度直尺；②不写作法，保留作图痕迹)；
【实际应用】
(4)如图4，在边长为12的等边三角形ABC中，点E、D分别是边AC、BC上的动点，连接AD、BE，交于点P，若始终保持AE=CD，当点E从点A运动到点C时，PC的最小值是__．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【考点】A1：一元二次方程的定义
【分析】根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、原方程可化为−2x+2=0，是一元一次方程，故本选项错误；
B、若a=0，则此方程是一元一次方程，故本选项错误；
C、符合一元二次方程的定义，故本选项正确；
D、是分式方程，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查的是一元二次方程的定义，即只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
2.【答案】D
【解析】【考点】解一元二次方程−配方法
【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程左右两边同时加上4，然后把方程左边写成完全平方式的形式即可．
【解答】解：x2−4x+2=0，
x2−4x=−2，
x2−4x+4=−2+4，
(x−2)2=2．
故选：D．
【点评】本题考查了解一元二次方程−配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键．
3.【答案】A
【解析】【考点】M8：点与圆的位置关系
【分析】根据半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d>r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d【解答】解：由题意得，d= 3，r=2．
∵d∴点P在⊙O内，
故选：A．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d>r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d4.【答案】B
【解析】【考点】圆周角定理
【分析】由半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90∘的圆周角所对的弦是直径．即可求得答案．
【解答】解：∵90∘的圆周角所对的弦是直径，
∴B选项是半圆环形．
故选：B．
【点评】此题考查了圆周角定理，熟记90∘的圆周角所对的弦为直径是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】【考点】根与系数的关系
【分析】由α是方程的根可得α2+2α=2023，由α，β是方程的两个实数根可得α+β=−2，进而求解．
【解答】解：∵α，β是方程x2+2x−2023=0的两个实数根，
∴α2+2α−2023=0，即α2+2α=2023，且α+β=−2，
∴α2+3α+β=α2+2α+α+β=2023−2=2021．
故选：A．
【点评】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，解题关键是掌握x1+x2=−ba，通过整体思想求解．
6.【答案】A
【解析】【考点】三角形的内切圆与内心；圆周角定理
【分析】连接BD、CD、BI，由已知可得BD=CD=4，进而可证ID=BD=4，勾股定理计算AB，连接OD交BC于点E，则OD⊥BC，设DE=x，利用OB2−OE2=BD2−DE2求x，再利用勾股定理求AC即可．
【解答】解：连接BD、CD、BI，
∵I为ΔABC 内心，
∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI，
∴BD=CD，
∴BD=CD=4，
∵∠DBI=∠DBC+∠CBI=∠DAC+∠CBI=∠DAB+∠ABI=∠BID，
∴ID=BD=4，
∵OI⊥AD，
∴AD=2ID=8，
∴AB= AD2+BD2= 82+42=4 5，
连接OD交BC于点E，则OD⊥BC，
设DE=x，则OE=12AB−x=2 5−x，
∵OB2−OE2=BD2−DE2，
∴(2 5)2−(2 5−x)2=42−x2，
解得：x=4 55，
∴BE= BD2−DE2= 42−(4 55)2=8 55，
∴BC=2BE=16 55，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB=90∘，
∴AC= AB2−BC2= (4 5)2−(16 55)2=12 55，
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的内切圆和内心，三垂径定理，圆周角定理，三角形外角性质，等知识点的应用，正确作出辅助线后求出AD=2BD是解此题的关键，有一定的难度．
7.【答案】x1=0，x2=3
【解析】【考点】解一元二次方程−因式分解法
【分析】用配方法求解即可．
【解答】解：x2−3x=0，
x(x−3)=0，
x1=0，x2=3，
故答案为：x1=0，x2=3，.
【点评】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握用配方法解一元二次方程的方法和步骤．
8.【答案】20
【解析】【考点】圆周角定理
【分析】由AB为⊙O直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得∠ACB=90∘，根据题意即可求得∠A的度数，然后由同弧所对的圆周角相等，即可求得∠D的度数．
【解答】解：∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB=90∘，
∵∠ABC=70∘，
∴∠A=90∘−70∘=20∘，
∴∠D=∠A=20∘．
故答案为：20．
【点评】此题考查了圆周角的性质．注意直径所对的圆周角是直角与同弧所对的圆周角相等．
9.【答案】8
【解析】【考点】M2：垂径定理
【分析】连接OC，根据题意得出OC=5，再由垂径定理知，点E是CD的中点，CE=12CD，在直角ΔOCE中，由勾股定理得出CE，从而得出CD的长．
【解答】解：连接OC，
∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，
∴CE=DE=12CD，
在RtΔOCE中，OC2=OE2+CE2，
∵BE=2，AB=10，
∴OC=5，OE=3，
∴CE=4，
∴CD=8，
故答案为8．
【点评】本题考查了垂径定理，掌握垂径定理的内容是解题的关键．
10.【答案】1
【解析】【考点】一元二次方程的解；一元二次方程的定义
【分析】把x=0代入方程(a+1)x2−ax+a2−1=0中得：a2−1=0，从而可得：a=±1，然后再根据一元二次方程的定义可得a+1≠0，从而可得a≠−1，即可解答．
【解答】解：把x=0代入方程(a+1)x2−ax+a2−1=0中得：
a2−1=0，
解得：a=±1，
∵a+1≠0，
∴a≠−1，
∴a=1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的解，以及的一元二次方程的定义是解题的关键．
11.【答案】4
【解析】【考点】MC：切线的性质
【分析】由切线长定理知，AE=CE，FB=CF，PA=PB=2，然后根据ΔPEF的周长公式即可求出其结果．
【解答】解：∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，
⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点C在AB上，
∴AE=CE，FB=CF，PA=PB=2，
∴ΔPEF的周长=PE+EF+PF=PA+PB=4．
故填空答案：4．
【点评】本题主要利用了切线长定理求解，比较简单．
12.【答案】10%
【解析】【考点】一元二次方程的应用
【分析】可先表示出第一年的产量，那么第二年的产量×(1+增长率)=363，把相应数值代入即可求解．
【解答】解：第一年的产量为300×(1+x)，第二年的产量在第一年产量的基础上增加x，为300×(1+x)×(1+x)，
则列出的方程是300(1+x)2=363．
解得：x1=0.1，x2=−2.1(舍去)
故答案为：10%．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，熟练掌握题目中的等量关系是解答本题的关键．
13.【答案】50∘
【解析】【考点】M4：圆心角、弧、弦的关系；M5：圆周角定理
【分析】连接AD，根据三角形的外角的性质、圆周角定理计算即可
【解答】解：连接AD，
∵∠APC=∠BAD+∠ADC=12×(BD+AC)的度数，
∴∠APC=12(40∘+60∘)=50∘．
故答案为50∘．
【点评】本题考查的是圆周角定理、三角形的外角的性质，掌握圆周角定理和三角形的外角的性质定理是解题的关键．
14.【答案】62∘
【解析】【考点】三角形的内切圆与内心；多边形内角与外角
【分析】先根据切线长定理得到∠1=12∠ABC，∠2=12∠BCD，∠3=12∠ADC，∠4=12∠BAD，再利用三角形内角和计算出∠1+∠2=62∘，则∠ABC+∠BCD=124∘，接着利用四边形内角和计算出∠BAD+∠ADC=236∘，所以∠3+∠4=118∘，然后根据三角形内角和计算∠AOD的度数．
【解答】解：∵圆O是四边形ABCD的内切圆，
∴OA平分ABC，OC平分∠BCD，OD平分∠ADC，OA平分∠BAD，
∴∠1=12∠ABC，∠2=12∠BCD，∠3=12∠ADC，∠4=12∠BAD，
∵∠1+∠2=180∘−∠BOC=180∘−118∘=62∘，
∴∠ABC+∠BCD=2(∠1+∠2)=2×62∘=124∘，
∵∠BAD+∠ADC=360∘−(∠ABC+∠BCD)=360∘−124∘=236∘，
∴∠3+∠4=12(∠BAD+∠ADC)=12×236∘=118∘，
∴∠AOD=180∘−(∠3+∠4)=180∘−118∘=62∘．
故答案为：62∘．
【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点；三角形的内心到三角形三边的距离相等．也考查了切线的性质和切线长定理．
15.【答案】60∘或120∘
【解析】【考点】圆心角、弧、弦的关系
【分析】根据题意画出相应的图形，由OD⊥AB，利用垂径定理得到D为AB的中点，由AB的长求出AD与BD的长，且得出OD为角平分线，在RtΔAOD中，利用锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值求出∠AOD的度数，进而确定出∠AOB的度数，利用同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，即可求出弦AB所对圆周角的度数．
【解答】解：如图所示，
∵OD⊥AB，
∴D为AB的中点，即AD=BD=52 3，
在RtΔAOD中，OA=5，AD=52 3，
∴sin∠AOD=52 35= 32，
又∵∠AOD为锐角，
∴∠AOD=60∘，
∴∠AOB=120∘，
∴∠ACB=12∠AOB=60∘，
又∵圆内接四边形AEBC对角互补，
∴∠AEB=120∘，
则此弦所对的圆周角为60∘或120∘．
故答案为60∘或120∘
【点评】此题考查了垂径定理，圆周角定理，特殊角的三角函数值，以及锐角三角函数定义，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．
16.【答案】125
【解析】【考点】直线与圆的位置关系
【分析】如图，连接OM，作OH⊥AB于H，CK⊥AB于K.由题意MN=2MH=2 OM2−OH2，OM=32，推出欲求MN的最大值，只要求出OH的最小值即可．
【解答】解：如图，连接OM，作OH⊥AB于H，CK⊥AB于K．
∵OH⊥MN，
∴MH=HN，
∴MN=2MH=2 OM2−OH2，
∵∠DCE=90∘，OD=OE，
∴OC=OD=OE=OM=32，
∴欲求MN的最大值，只要求出OH的最小值即可，
∵OC=32，
∴点O的运动轨迹是以C为圆心32为半径的圆，
在RtΔACB中，∵BC=3，AC=4，
∴AB=5，
∵12⋅AB⋅CK=12⋅AC⋅BC，
∴CK=125，
当C，O，H共线，且与CK重合时，OH的值最小，
∴OH的最小值为125−32=910，
∴MN的最大值=2 (32)2−(910)2=125，
故答案为125．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，勾股定理，轨迹等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
17.【答案】解：(1)(x−1)2=4，
x−1=±2，
所以x1=3，x2=−1；
(2)x2−4x+3=0，
(x−3)(x−1)=0，
所以x1=3，x2=1；
(3)x(x+2)=5(x+2)，
(x+2)(x−5)=0，
x+2=0或x−5=0，
所以x1=−2，x2=5；
(4)(2x−1)(x+3)=4，
2x2+5x−7=0，
(x−1)(2x+7)=0，
所以x1=1，x2=−72．

【解析】【考点】解一元二次方程−配方法；解一元二次方程−直接开平方法；解一元二次方程−因式分解法
【点评】本题考查了解一元二次方程−因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法解一元二次方程．
18.【答案】解：(1)∵方程有实数根，
∴△=b2−4ac=(−4)2−4×k×2=16−8k≥0，
解得：k≤2，
又因为k是二次项系数，所以k≠0，
所以k的取值范围是k≤2且k≠0．
(2)由于AB=2是方程kx2−4x+2=0，
所以把x=2代入方程，可得k=32，
所以原方程是：3x2−8x+4=0，
解得：x1=2，x2=23，
所以BC的值是23．

【解析】【考点】解一元二次方程−因式分解法；根的判别式；三角形三边关系
【分析】(1)若一元二次方程有实数根，则根的判别式△=b2−4ac≥0，建立关于k的不等式，即可求出k的取值范围．
(2)由于AB=2是方程kx2−4x+2=0，所以可以确定k的值，进而再解方程求出BC的值．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式的应用，容易出现的错误是忽视根的判别式应用的前提条件：二次项系数k≠0．
19.【答案】证明：过点O作OH⊥AB，垂足为H，(1分)
∴AH=BH，(2分)
∵OC=OD，且OH⊥CD，
∴CH=DH，(4分)
∴AH−CH=BH−DH，
∴AC=BD.(6分)

【解析】【考点】M2：垂径定理
【分析】过点O作OH⊥AB，垂足为H，由垂径定理可知AH=BH，再由OC=OD可判断出ΔOAD是等腰三角形，由等腰三角形的性质可知CH=DH，进而可求出答案．
【点评】本题考查的是垂径定理及等腰三角形的判定及性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．
20.【答案】解：设AB为x米，则BC为(36−3x)米，
x(36−3x)=96
解得：x1=4，x2=8
当x=4时
36−3x=24>20(不合题意，舍去)
当x=8时
36−3x=12．
答：AB=8米，BC=12米．

【解析】【考点】一元二次方程的应用
【分析】设AB为x米，然后表示出BC的长为(36−3x)米，利用矩形的面积计算方法列出方程求解即可．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是设出一边的长，并用未知数表示出另一边的长．
21.【答案】解：(1)设每盒降价x元(0解得：x1=1，x2=3，
∵尽快减少库存，
∴x=3，
答：为了尽快减少库存，当每盒降价3元时，每天可盈利450元；
(2)设每盒降价x元(0根据题意得，y=(16−10−x)(60+30x)=−30x2+120x+360=−30(x−2)2+480，
∵−30<0
∴当x=2时，y取得最大值，最大值为480，
答：每盒降价2时，可取得最大利润，此时最大利润为480元．

【解析】【考点】一元二次方程的应用；二次函数的应用
【分析】设每盒降价x元(0【点评】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，根据题意列出一元二次方程，函数关系式是解题的关键．
22.【答案】解：如图，作∠ACB的平分线交AB于O，则点O为所要剪出的半圆的圆心，
设半圆与AC、AB切于E、F，连接OE、OF，
则OE⊥AC，OF⊥BC，
设半圆的半径为r，
则12×3×4=12×3×r+12×r×4，
解得：r=127，
答：半圆的半径为127．

【解析】【考点】切线的性质
【分析】根据切线的性质得到OE⊥AC，OF⊥BC，根据三角形的面积公式求出半圆的半径．
【点评】本题考查的是切线的性质、勾股定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
23.【答案】解：(1)不是，理由如下：
∵x2−x−20=0，即(x−5)(x+4)=0，
∴x1=5，x2=−4．
∵5−(−4)=9≠2，
∴方程x2−x−20=0不是“隔根方程”．
(2)∵x2+mx+m−1=0，即(x+1)[x+(m−1)]=0，
∴x1=−1，x2=1−m．
又∵关于x的方程x2+mx+m−1=0是“隔根方程”，
∴|1−m−(−1)|=2，
解得：m=0或m=4．

【解析】【考点】解一元二次方程−因式分解法
【分析】(1)不是，利用因式分解法解一元二次方程可得出方程的两个根分别为x1=5，x2=−4，二者做差后可得出5−(−4)=9≠2，进而可得出方程x2−x−20=0不是“隔根方程”；
(2)利用因式分解法解一元二次方程可得出方程的两个根分别为x1=−1，x2=1−m，结合关于x的方程x2+mx+m−1=0是“隔根方程”，可得出关于m的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出m的值．
【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程，利用因式分解法求出一元二次方程的两个根是解题的关键．
24.【答案】(1)证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，设∠B=∠C=α，
在圆内接四边形ABDE中，∠AED=180∘−∠B=180∘−α，
∴∠DEC=180∘−∠AED=180∘−(180∘−α)=α，
∴∠DEC=∠C，
∴DE=DC，
(2)解：若四边形ODCE为菱形，则OE//BC．
∴∠AOE=∠B=α.同理∠AEO=∠C=α，
∴∠AOE=∠AEO．
∴AO=AE．
∴AO=AE=OE．
∴ΔAOE 为等边三角形．
∴∠BAC=60∘．
故答案为：60∘．
(3)解：如图，连接BE，
∵AB=AG=10，
∴AE=10−4=6.在RtΔABE 中，BE= 102−62=8，
在RtΔBEC 中，BC= 82+42=4 5．
连接AD，则AD⊥BC．
∴BD=CD．
在RtΔBEC 中，DE=BC2=2 5．
故答案为：2 5．

【解析】【考点】圆的综合题
【分析】(1)先根据等腰三角形的性质得出底角相等，设∠B=∠C=α，由题意求出∠DEC=a即可证明；
(2)若四边形ODCE为菱形，求证ΔAOE 为等边三角形即可．
(3)连接BE，AD，根据勾股定理BE，BC即可求出DE．
【点评】本题考查与圆有关的性质，等腰三角形的性质，菱形的性质，勾股定理，掌握以上知识是解题关键．
25.【答案】(1)证明：如图，连接OD，
∵CD是⊙O的切线，D是切点，
∴OD⊥CD，
即∠ODE=∠ODC=90∘，
∵AD//OE，
∴∠ODA=∠DOE，∠DAO=∠EOB，
又∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD，
∴∠DOE=∠BOE，
又∵OD=OB，OE=OE，
∴ΔDOE≅ΔBOE(SAS)，
∴∠OBE=∠ODE=90∘，
即OB⊥BE，
∵OB是半径，
∴BE是⊙O的切线；
(2)解：设半径为r，则OC=r+4，在RtΔCOD中由勾股定理得，
OD2+CD2=OC2，
即r2+62=(r+4)2，
解得r=52，
∵∠ODC=∠EBC=90∘，∠C=∠C，
∴ΔODC∽ΔEBC，
∴ODBE=CDBC，
即52BE=65+4，
解得BE=154．

【解析】【考点】直线与圆的位置关系；切线的判定与性质
【分析】(1)根据平行线的性质，等腰三角形的性质以及全等三角形的判定方法可得ΔDOE≅ΔBOE，进而得到OB⊥BE即可；
(2)根据勾股定理和相似三角形的性质可得答案．
【点评】本题考查切线的判定，直角三角形的边角关系以及相似三角形的判定和性质，掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系以及相似三角形的性质是正确解答的前提．
26.【答案】解：(1)∠AP1B=12∠AOB=12×100∘=50∘，
∠AP2B=180∘−∠APB=180∘−50∘=130∘．
故答案为：50，130；
(2)当P在优弧AB上时，∠A?PB=12∠AOB=(m2)∘；
当P在劣弧AB上时，∠A?PB=180∘−(m2)∘；
(3)如图劣弧AB(实线部分且不包含A、B两个端点)就是所满足条件的点C所组成的图形；
(4)【解答】解：∵CD=AE，∴BD=CE，
在△ABD和△BCE中，AB=BC∠ABD=∠BCEBD=CE，∴△ABD≌△BCE(SAS)，故∠BAD=∠CBE，
∵∠APE=∠ABE+∠BAD，∠APE=∠BPD，∠ABE+∠CBE=60°，∴∠BPD=∠APE=∠ABC=60°，
∴∠APB=120°，∴点P的运动轨迹是AB，∠AOB=120°，连接CO，
∵OA=OB，CA=CB，OC=OC，∴△AOC≌△BOC(SSS)，∴∠OAC=∠OBC，∠ACO=∠BCO=30°，
∵∠AOB+∠ACB=180°，∴∠OAC+∠OBC=180°，
∴∠OAC=∠OBC=90°，
∴OB= 33AB=4 3
∴OC=2OB=8 3，∴OP=4 3
∵PC≥OC−OP，∴PC≥4 3，∴PC的最小值为4 3．

【解析】【考点】圆的综合题
【分析】(1)根据圆周角定理计算∠AP1B的度数，然后根据圆内接四边形的性质求∠AP2B的度数；
(2)与(1)的求法一样(注意分类讨论)；
(3)先作AB的垂直平分线得到AB的中点P，再以AB为直径作圆交AB的垂直平分线于O，然后以O点为圆心，OA为半径作⊙O，则⊙O在⊙P内的弧为满足条件的点C所组成的图形；
(4)由等边三角形的性质证明ΔAEB≅ΔCFA可以得出AE=CF，点P的路径是一段弧，由题目不难看出当E为AC的中点的时候，点P经过弧AB的中点，此时ΔABP为等腰三角形，且∠ABP=∠BAP=30∘，由弧线长公式就可以得出结论．
【点评】本题主要考查圆周角定理、圆内角四边形性质、等边三角形的性质的运用、全等三角形的判定及性质的运用、弧线长公式的运用，解题关键是证明三角形全等，本题还考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．