2024讲与练高中数学1(必修第一册·A版)3.1.2 函数的表示法(1)

这是一份2024讲与练高中数学1(必修第一册·A版)3.1.2 函数的表示法(1)，共6页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题， 填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题
1．已知函数f(x)由下表给出，则f(f(1))＝( D )
A.1B.2
C.3D.4
解析：由题干中表格可知f(1)＝3，
∴f(f(1))＝f(3)＝4.故选D．
2．游泳池有一定量的水，打开进水阀进水，过了一段时间关闭进水阀，再过一段时间打开排水阀排水，直到水排完，已知进水的流量、排水时的流量各保持不变．用h表示游泳池的水深，t表示时间．下列各函数图象中能反映所述情况的是( D )

A B C D
解析：游泳池原有一定量的水，故函数图象不过原点，排除AC；再过一段时间打开排水阀排水，故函数值有一段时间不变，排除B．故选D．
3．函数y＝x2－2x的定义域为{0，1，2，3}，那么其值域为( A )
A.{－1，0，3}B.{0，1，2，3}
C.{y|－1≤y≤3}D.{y|0≤y≤3}
解析：由对应关系y＝x2－2x得，0→0，1→－1，2→0，3→3，所以值域为{－1，0，3}．
4．函数f(x)＝eq \f(1,x2＋2x＋2)(x∈R)的值域是( C )
A.[0，1]B.[0，1)
C.(0，1]D.(0，1)
解析：因为x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥1，所以00)
B.y＝2x2
C.y＝2x(x>0)
D.y＝eq \f(3,x)(x>0)
解析：y＝2x＋7(x>0)单调递增，值域为(7，＋∞)，A错误；y＝2x2的值域为[0，＋∞)，B错误；y＝2x(x>0)的值域为(0，＋∞)，C正确；y＝eq \f(3,x)(x>0)的值域为(0，＋∞)，D正确．故选CD．
7．下列说法正确的是( BC )
A.函数f(x)＝eq \f(2x＋1,x＋1)的值域为[1，＋∞)
B.函数f(x)＝eq \r(x2＋1)的值域为[1，＋∞)
C.函数f(x)＝x＋eq \f(1,x－1)(x>1)的最小值为3
D.已知f(－x)＝－f(x)，x∈R，且f(－1)＝1，则f(1)＋f(0)＝1
解析：f(x)＝eq \f(2x＋1,x＋1)＝eq \f(2(x＋1)－1,x＋1)＝2－eq \f(1,x＋1)，因为eq \f(1,x＋1)≠0，所以2－eq \f(1,x＋1)≠2，所以函数f(x)＝eq \f(2x＋1,x＋1)的值域为(－∞，2) ∪(2，＋∞)，故A错误；因为x2＋1≥1，所以eq \r(x2＋1)≥1，所以函数f(x)＝eq \r(x2＋1)的值域为[1，＋∞)，故B正确；因为x>1，所以x－1>0，所以f(x)＝x＋eq \f(1,x－1)＝x－1＋eq \f(1,x－1)＋1≥2eq \r((x－1)•\f(1,x－1))＋1＝3，当且仅当x－1＝eq \f(1,x－1)即x＝2时取等号，所以函数f(x)＝x＋eq \f(1,x－1)(x>1)的最小值为3，故C正确；因为f(－x)＝－f(x)，x∈R，且f(－1)＝1，所以f(0)＝0，f(1)＝－f(－1)＝－1，则f(1)＋f(0)＝－1＋0＝－1，故D错误．故选BC．
三、 填空题
8．已知函数f(x)，g(x)如下表所示：
则不等式f(g(x))>g(f(x))的解集为{2，3，4}．
解析：由题意得：当x＝1时，g(1)＝5，f(1)＝5，故f(g(1))＝f(5)＝1，g(f(1))＝g(5)＝4，f(g(1))g(f(x))的解集；当x＝2时，g(2)＝1，f(2)＝4，故f(g(2))＝f(1)＝5，g(f(2))＝g(4)＝3，f(g(2))>g(f(2))，满足题意，故x＝2属于不等式f(g(x))>g(f(x))的解集；当x＝3时，g(3)＝2，f(3)＝3，故f(g(3))＝f(2)＝4，g(f(3))＝g(3)＝2，f(g(3))>g(f(3))，满足题意，故x＝3属于不等式f(g(x))>g(f(x))的解集；当x＝4时，g(4)＝3，f(4)＝2，故f(g(4))＝f(3)＝3，g(f(4))＝g(2)＝1，f(g(4))>g(f(4))，满足题意，故x＝4属于不等式f(g(x))>g(f(x))的解集；当x＝5时，g(5)＝4，f(5)＝1，故f(g(5))＝f(4)＝2，g(f(5))＝g(1)＝5，f(g(5))g(f(x))的解集．故不等式f(g(x))>g(f(x))的解集为{2，3，4}．
9．函数y＝eq \f(2x－1,x＋2)，则
①x∈[5，10]时的值域是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(9,7)，\f(19,12)))；
②x∈(－3，－2)∪(－2，1)时的值域是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,3)))∪(7，＋∞)．
解析：y＝eq \f(2x－1,x＋2)＝eq \f(2(x＋2)－5,x＋2)＝2－eq \f(5,x＋2)，其图象可由反比例函数y＝eq \f(－5,x)的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，如下：
当x＝5时y＝eq \f(9,7)，当x＝10时y＝eq \f(19,12)，所以x∈[5，10]时的值域是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(9,7)，\f(19,12))).因为当x＝－3时y＝7，当x＝1时y＝eq \f(1,3)，所以x∈(－3，－2)∪(－2，1)的值域是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,3)))∪(7，＋∞)．
10．因市场战略储备的需要，某公司自1月1日起，每月1日购买相同金额的某种物资，连续购买了4次．由于市场变化，5月1日该公司不得不将此物资全部卖出．已知该物资的购入和卖出都是以份为计价单位进行交易的，且该公司在买卖的过程中没有亏本，那么下面三个折线图中反映了这种物资每份价格(单位：万元)的可能变化情况是①③.(填序号)
解析：假设每次均购买3.75万元．
题图①：利润＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3.75,1.25)＋\f(3.75,1)×2＋\f(3.75,0.75)))×1.25－3.75×4＝4.375(万元)，所以赚钱．
题图②：利润＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3.75,1)＋\f(3.75,1.25)×2＋\f(3.75,0.75)))×1－3.75×4＝－0.25(万元)，所以亏钱．
题图③：利润＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3.75,1.25)＋\f(3.75,1)＋\f(3.75,0.75)＋\f(3.75,0.5)))×1－3.75×4＝4.25(万元)，所以赚钱．
所以①③符合题意．
四、解答题
11．试求下列函数的定义域与值域．
(1)f(x)＝(x－1)2＋1；
(2)y＝eq \f(5x＋4,x－1)；
(3)y＝x－eq \r(x＋1).
解：(1)函数的定义域为R，因为(x－1)2＋1≥1，所以函数的值域为{y|y≥1}．
(2)由题意得x－1≠0，所以函数的定义域为{x|x≠1}，y＝eq \f(5x＋4,x－1)＝5＋eq \f(9,x－1)，所以函数的值域为{y|y≠5}．
(3)要使函数有意义，需x＋1≥0，即x≥－1，故函数的定义域为{x|x≥－1}．设t＝eq \r(x＋1)，则x＝t2－1(t≥0)，于是y＝t2－1－t＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(1,2)))eq \s\up12(2)－eq \f(5,4)，又t≥0，故y≥－eq \f(5,4)，所以函数的值域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(y\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(y≥－\f(5,4))))).
12．某问答游戏的规则：共5道选择题，基础分为50分，每答错一道题扣10分，答对不扣分．试分别用列表法、图象法、解析法表示一个参与者的得分y与答错题目道数x(x∈{0，1，2，3，4，5})之间的函数关系．
解：(1)列表法，列出参赛者得分y与答错题目道数x(x∈{0，1，2，3，4，5})之间的函数关系为
(2)图象法，画出参赛者得分y与答错题目道数x(x∈{0，1，2，3，4，5})之间的函数关系如图．
(3)解析法，参赛者得分y与答错题目道数x(x∈{0，1，2，3，4，5})之间的函数关系为y＝50－10x，x∈{0，1，2，3，4，5}．
13．(多选题)如果某函数的定义域与其值域的交集是[a，b]，则称该函数为“[a，b]交汇函数”．下列函数是“[0，1]交汇函数”的是( AB )
A.y＝eq \r(1－x)
B.y＝2eq \r(x)－x
C.y＝eq \f(1,x2－2x＋2)
D.y＝eq \r(1－x2)－|x|
解析：由“[a，b]交汇函数”定义可知[0，1]交汇函数定义域与值域交集为[0，1]．y＝eq \r(1－x)的定义域A＝(－∞，1]，值域B＝[0，＋∞)，则A∩B＝[0，1]，A正确；y＝2eq \r(x)－x的定义域A＝[0，＋∞)，令t＝eq \r(x)≥0，则y＝2t－t2＝－(t－1)2＋1≤1，值域B＝(－∞，1]，则A∩B＝[0，1]，B正确；y＝eq \f(1,x2－2x＋2)＝eq \f(1,(x－1)2＋1)，∵(x－1)2≥0，∴(x－1)2＋1≥1，∴0－\f(1,2)))的值域是[2eq \r(2)－1，＋∞)．
解析：因为f(x)＝eq \f(4x2＋2x＋2,2x＋1)＝eq \f((2x＋1)2－(2x＋1)＋2,2x＋1)＝(2x＋1)＋eq \f(2,2x＋1)－1，因为x>－eq \f(1,2)，故2x＋1>0，则f(x)＝eq \f(4x2＋2x＋2,2x＋1)＝(2x＋1)＋eq \f(2,2x＋1)－1≥2eq \r(2)－1，当且仅当(2x＋1)2＝2，即x＝eq \f(\r(2)－1,2)时取得最小值．故函数值域为[2eq \r(2)－1，＋∞)．
15．已知函数f(x)＝eq \f(1,2)x2－x＋eq \f(3,2)，是否存在实数m，使得函数的定义域和值域都是[1，m](m>1)？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
解：存在．理由如下：
f(x)＝eq \f(1,2)x2－x＋eq \f(3,2)＝eq \f(1,2)(x－1)2＋1图象的对称轴为直线x＝1，顶点为(1，1)且开口向上．
∵m>1，∴要使f(x)的定义域和值域都是[1，m]，则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f(1)＝1，,f(m)＝m，))
∴eq \f(1,2)m2－m＋eq \f(3,2)＝m，即m2－4m＋3＝0，∴m＝3或m＝1(舍)，
∴存在实数m＝3满足条件．
x
1
2
3
4
f(x)
3
2
4
1
x
1
2
3
4
5
f(x)
5
4
3
2
1
x
5
4
3
2
1
g(x)
4
3
2
1
5
x
0
1
2
3
4
5
y
50
40
30
20
10
0