重庆市云阳高级中学校2023-2024学年高二上学期第二次月考数学试卷

这是一份重庆市云阳高级中学校2023-2024学年高二上学期第二次月考数学试卷，共13页。试卷主要包含了多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题．本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．
1.定义：既是中心对称，也是轴对称的曲线称为“尚美曲线”，下列方程所表示的曲线中不是“尚美曲线”的是（ ）
A.x2+y2=4B.x22+y2=1
C.x2-y2=4D.x2-y=0
2.若 l1:x-my-1=0与l2:(m-2)x-3y+1=0是两条不同的直线, 则 “l1//l2”是“m=3”的（ ）
A.充要条件B.充分不必要条件
C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
3.已知椭圆 C:x2m+1+y2m=1的离心率为12, 则m=（ ）
A.4B.3C.1D.13
4.如图, 在三棱柱 ABC-A1B1C1中,E,F分别是BC,CC1的中点,AG=2GE, 则GF=（ ）
A.13AB-23AC+12AA1 B.13AB+23AC+12AA1
C.-23AB+13AC-12AA1 D.-13AB+23AC+12AA1
5.设直线 l的方程为x-ysinθ-2=0, 则直线l的倾斜角α的范围是（ ）
A.[0,π] B.π4,π2 C.π4,3π4 D.π4,π2∪π2,3π4
6.点 P在圆x2+y2=4上运动, 点Q在直线3x-4y+m=0上运动, 若|PQ|的最小值是 2,m为（ ）
A.10B.±10C.20D.±20
7.“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点 P(x,y)是阴影部分 (包括边界) 的动点, 则yx-2的最小值为 ( )
A.-23B.-32C.-43D.-1
8.如图, 已知 F1,F2是双曲线C:x2a2-y2b2=1的左、右焦点,P,Q为双曲线C上两点, 满足F1P//F2Q, 且F2Q=2F2P=5F1P, 则双曲线C的离心率为（ ）
A.292B.293
C.192D.193
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.已知 A(-2,0)、B(2,0), 则下列命题中正确的是（ ）
A.平面内满足 |PA|+|PB|=6的动点P的轨迹为椭圆
B.平面内满足 |PA|-|PB|=4的动点P的轨迹为双曲线的一支
C.平面内满足 |PA|=|PB|的动点P的轨迹为抛物线
D.平面内满足 |PA|=2|PB|的动点P的轨迹为圆
10.已知圆 C:(x+2)2+y2=4, 直线l:(m+1)x+2y-1+m=0(m∈R). 则（ ）
A.当 m=0时，圆C上恰有四个点到直线l的距离等于 1
B.直线 l恒过定点(-1,1)
C.直线 l与圆C只有一个交点
D.若圆 C与圆x2+y2-2x+8y+a=0恰有三条公切线, 则a=8
11.正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F,G分别为BC,CC1,BB1的中点, 则正确的是（ ）
A.BB1∙AF=0
B.A1G//平面AEF
C.点 B、C到平面AEF的距离相等
D.若 P为正方形ABCD内 (含边界) 一点, 且A1C⊥C1P, 则点P的轨迹是线段
12.已知抛物线 C:y2=4x的焦点为F, 点M,N为抛物线上两个位于第一象限的动点, 且有xM2=xF∙xNxM>1. 直线MF,NF与准线分别交于A,B两点, 则下列说法正确的是（ ）
A.当 xN=9时,|MF|=|FA|
B.当 xM=2时,S△MFN:S△ABF=4:5
C.当 xM=2时,|AF|:|BF|=9:5
D.当 xM=3时, 延长NM交准线于C,S△CBM:S△ANF=5:6
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.已知椭圆 C:x225+y24=1的左、右焦点分别为F1,F2, 过F2的直线与C分别交于M,N两点, 则△F1MN的周长为___________.
14已知半径为 1 的圆 C关于直线2x-y-4=0对称, 写出一个符合要求的圆C的标准方程___________．
15已知动点 P在正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1(不含端点) 上. 设D1PD1B=λ, 若∠APC为钝角, 则实数λ的值为___________.
16圆形是古代人最早从太阳、阴历十五的月亮得到圆的概念的.一直到两千多年前我国的墨子（约公元前468-前376年）才给圆下了一个定义：圆，一中同长也．意思是说：圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等．现在以点 (3,2)为圆心, 2 为半径的圆上取任意一点P(x,y), 若|3x+4y+a|+|6-3x-4y|的取值与x、y无关, 则实数a的取值范围是___________.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（本题满分10分）已知离心率为 54的双曲线C与椭圆x245+y220=1的焦点相同.
(1) 求双曲线 C的标准方程;
(2) 求双曲线 C的焦点到渐近线的距离.
18. （本题满分12分）如图在边长是 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,A1C的中点.
(1) 求异面直线 EF与CD1所成角的大小.
(2) 证明: EF⊥平面A1CD.
19. （本题满分12分）如图, 已知一艘海监船 O上配有雷达, 其监测范围是半径为25km的圆形区域, 一艘外籍轮船从位于海监船正东40km的A处出发, 径直驶向位于海监船正北30km的B处岛屿, 速度为28km/h.
(1) 求外籍船航行路径所在的直线方程；
(2) 这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？
20. （本题满分12分）已知 O为坐标原点,Q(m,2)位于抛物线C:y2=2px(p>0)上, 且到抛物线的准线的距离为 2.
(1) 求抛物线 C的方程;
(2) 已知点 A(-2,4), 过抛物线焦点的直线l交C于M,N两点, 求AM∙AN的最小值以及此时直线l的方程.
21. （本题满分12分）如图, 在四棱锥 S-ABCD中, 四边形ABCD是矩形,△SAD是正三角形, 且平面SAD⊥平面ABCD,AB=1,P为棱AD的中点, 四棱锥S-ABCD的体积为233.
(1) 若 E为棱SB的中点, 求证:PE//平面SCD;
(2) 在棱 SA上是否存在点M, 使得平面PMB与平面SAD所成锐二面角的余弦值为235?若存在, 指出点M的位置并给以证明; 若不存在, 请说明理由.
22. （本题满分12分）
已知点 M(x,y)在运动过程中, 总满足关系式:(x-3)2+y2+(x+3)2+y2=4.
(1) 点 M的轨迹是什么曲线? 写出它的方程;
(2) 设圆 O:x2+y2=1, 直线l:y=kx+m与圆O相切且与点M的轨迹交于不同两点A,B, 当λ=OA∙OB且λ∈12,1时, 求弦长|AB|的最大值.
重庆市云阳高级中学校2023-2024学年高二上学期第二次月考(数学)
时间：120分钟 总分:150分
一、单项选择题．本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．
1.【解析】选项A，x2+y2=4表示圆心在原点, 半径为 2 的圆, 由圆的性质知,x2+y2=4，的对称中心为(0,0), 对称轴为x轴,y轴, 即x2+y2=4既是中心对称, 也是轴对称, 所以选项A错误；
选项B，由椭圆的性质知, x22+y2=1的对称中心为(0,0), 对称轴为x轴,y轴, 即x22+y2=1既是中心对称, 也是轴对称，所以选项B错误；
选项C，由双曲线的性质知, x2-y2=4的对称中心为(0,0), 对称轴为x轴,y轴, 即x2-y2=4既是中心对称，也是轴对称，所以选项C错误；
选项D，由 x2-y=0, 得到x2=y, 由抛物线性质知,x2=y关于y轴对称, 无对称中心，所以选项D正确.
故选：D.
2.【解析】由题意, 若 l1//l2, 则1×(-3)=(m-2)(-m), 解得m=-1或m=3,
经检验, m=-1或m=3时,l1//l2, 则⋯l1//l2”是 “m=3”的必要不充分条件.
3.【解析】由题意可知 e=m+1-mm+1=12⇒m=3.
4.【解析】如下图所示：
首先有 GF=GE+EF, 一方面: 由AG=2GE, 所以GE=13AE, 又E是BC的中点,
所以 AE=12(AB+AC), 所以GE=13AE=13×12(AB+AC)=16(AB+AC);
另一方面: EF=EC+CF, 且注意到E,F分别是BC,CC1的中点,
所以 EF=12BC+CC1=12BA+AC+AA1,
因此 GF=GE+EF=16(AB+AC)+12BA+AC+AA1=-13AB+23AC+12AA1.
5.【解析】当 sinθ=0时, 方程为x=2, 倾斜角为α=π2,
当 sinθ≠0时, 直线的斜率k=tanα=1sinθ,
因为 sinθ∈[-1,0)∪(0,1], 则tanα∈(-∞,-1]∪[1,+∞),所以 α∈π4,π2∪π2,3π4,
综上所述: 线 l的倾斜角α的范围是π4,3π4.
6.【解析】圆 x2+y2=4的圆心为(0,0), 半径为r=2,(0,0)到直线3x-4y+m=0的距离为|m|5,
由于 |PQ|的最小值是2=r, 所以直线3x-4y+m=0与圆相离,
所以 |PQ|的最小值为|m|5-2=2,|m|=20,m=±20.
7.【解析】记 A(2,0), 则k=yx-2为直线AP的斜率, 故当直线AP与半圆x2+(y-1)2=1(x>0)相切时, 得k最小,此时设 AP:y=k(x-2), 故|-1-2k|k2+1=1, 解得k=-43或k=0(舍去), 即kmin=-43.
8.【解析】延长 QF2与双曲线交于点P', 因为F1P//F2P', 根据对称性知F1P=F2P',
设 F1P=F2P'=2t, 则F2P=5t,F2Q=10t, 可得F2P-F1P=3t=2a, 即t=23a,
所以 P'Q=12t=243a, 则QF1=QF2+2a=263a,F1P'=F2P=103a,
即 P'Q2+F1P'2=QF12, 可知∠F1P'Q=∠F1PF2=90∘,
在 △P'F1F2中, 由勾股定理得F2P'2+F1P'2=F1F22, 即103a2+43a2=4c2, 解得e=ca=293.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.【解析】对于选项 A, 有 A(-2,0)、B(2,0), 且|PA|+|PB|=6>|AB|=4, 由椭圆定义可知选项 A 正确;
对于选项 B, 有 A(-2,0)、B(2,0), 且|PA|-|PB|=4=|AB|, 轨迹为射线, 不符合双曲线的定义可知选项 B 错误;
对于选项 B, 有 A(-2,0)、B(2,0), 且|PA|=|PB|, 轨迹为线段AB的垂直平分线, 不符合抛物线的定义可知选项 C 错误;
对于选项 D, 有 A(-2,0)、B(2,0), 且|PA|=2|PB|, 设点P(x,y), 则(x+2)2+y2=2(x-2)2+y2, 化简可得x-1032+y2=649, 可知选项 D 正确.
10.【解析】对于 A 中, 由圆 C:(x+2)2+y2=4, 可得圆心C(-2,0), 半径为r=2,
要使得圆 C上恰有四个点到直线l的距离等于 1, 则圆心到直线的距离, 则满足d=1,当m=0时, 直线l:x+2y-1=0,
可得圆心 C(-2,0)到直线l的距离为d=|-2+0-1|12+22=355≠1, 所以A错误;
对于 B 中, 因为直线 l:(m+1)x+2y-1+m=0(m∈R), 可得m(x+1)+x+2y-1=0,
令 x+1=0x+2y-1=0, 解得x=-1,y=1,
所以直线 l恒过点点(-1,1), 所以 B 正确;
对于 C 中, 因为直线 l恒过点点(-1,1), 设为点A, 可得|AC|=(-1+2)2+(1-0)2=2所以点 A在圆C内部, 所以直线l与圆C有两个交点, 所以 C 错误;
对于 D 中, 因为圆 x2+y2-2x+8y+a=0, 可得(x-1)2+(y+4)2=17-a,
要使得圆 C与圆x2+y2-2x+8y+a=0恰有三条公切线,
可得 (1+2)2+(0+4)2=2+17-a, 即17-a=3, 解得a=8, 所以 D 正确.
11.【解析】以点 D为原点建立如图所示的空间直角坐标系,
则 A(1,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),B1(1,1,1),E12,1,0,F0,1,12,G1,1,12,C(0,1,0),C1(0,1,1),
选项 A: BB1=(1,1,1)-(1,1,0)=(0,0,1),AF=0,1,12-(1,0,0)=-1,1,12,BB1∙AF=(0,0,1)∙-1,1,12=12, 所以选项 A 错误;
选项 B: 设平面 AEF的法向量为n=(x,y,z),A1G=1,1,12-(1,0,1)=0,1,-12,AE=12,1,0-(1,0,0)=-12,1,0,
故有 n∙AE=0n∙AF=0, 即-x2+y=0-x+y+z2=0, 令x=2, 则n=(2,1,2),
因为 n∙A1G=(2,1,2)∙0,1,-12=0且A1G/⊂平面AEF,
所以 A1G//平面AEF, 故选项 B 正确;
选项 C: BA=(1,0,0)-(1,1,0)=(0,-1,0),CA=(1,0,0)-(0,1,0)=(1,-1,0),
点 B到平面AEF的距离为:|BA·n||n|=|(0,-1,0)∙(2,1,2)||(2,1,2)|=13,
点 C到平面AEF的距离为:|CA∙n||n|=|(1,-1,0)∙(2,1,2)||(2,1,2)|=13,
所以点 B、C到平面AEF的距离相等, 故选项 C 正确;
选项 D: 设 Px1,y1,0,A1C=(0,1,0)-(1,0,1)=(-1,1,-1),C1P=x1,y1,0-(0,1,1)=x1,y1-1,-1,
因为 A1C⊥C1P, 所以A1C∙C1P=0, 即(-1,1,-1)∙x1,y1-1,-1=-x1+y1=0,
所以点 P坐标满足y1=x1且0≤x1≤1,0≤y1≤1, 故点P的轨迹是一条线段, 故选项 D 正确.
故选：BCD.
12.【解析】抛物线的焦点为 F(1,0), 准线为x=-1, 则xA=xB=-1,
由 xM2=xF∙xNxM>1, 得xM2=xNxM>1,
对于 A, 当 xN=9时,xM=3, 则|MF||AF|=3-11-(-1)=1,∴|MF|=|AF|, 故 A 正确;
对于 B, 当 xM=2时, 可得M(2,22),N(4,4), 则|FM|=1+8=3,|FN|=9+16=5,
设直线 MF:x=my+1, 把M(2,22)代入, 可得m=24,∴x=24y+1
令 x=-1, 则y=-42,∴A(-1,-42),
同理 B-1,-83, 则 |FA|=4+32=6,|FB|=4+649=103，
因为 ∠AFB=∠MFN, 所以sin∠AFB=sin∠MFN,
所以 S△MFNS△ABF=12|FM|FN|sin∠MFN12|FA||FB|sin∠AFB=3×56×103=34, 故 B 错误;
对于 C, 由 B 选项知, |AF|:|BF|=6:103=9:5, 故 C 正确;
对于 D, 当 xM=3时,xN=9, 则N(9,6), ∴|MC|:|NC|=(3+1):(9+1)=2:5,
∴S△CBM=25SCBN,∴S△CBM=23S△NBM,
由选项 A 知 |MF|=|AF|,∴S△MFN=S△NFA，|NF|:|FB|=(9-1):[1-(-1)]=4:1,
∴S△MFN=45S△NBM,
∴S△CBM:S△NFA=23S△NBM:45S△NBM=5:6, 故 D 正确. 故选：ACD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13【解析】由椭圆定义可知, △F1MN的周长为4a.【详解】由 a2=25, 得a=5, 由椭圆定义可知,△F1MN的周长为4a=20.故答案为: 20.
14【解析】根据题意, 可知圆心 C在直线2x-y-4=0上, 半径为 1, 取满足题意的圆心坐标, 即可得出圆C的一个标准方程.【详解】解: 由题可知, 圆 C关于直线2x-y-4=0对称, 半径为 1,则圆心 C在直线2x-y-4=0上, 则当x=2时,y=0,所以当圆心 C为(2,0), 圆C的标准方程为(x-2)2+y2=1.
故答案为: (x-2)2+y2=1.
(答案不唯一, 只要圆心C在直线2x-y-4=0上, 半径为 1, 均可)
15【解析】以 D为坐标原点, 以DA,DC,DD1所在的直线分别为x,y和z轴, 建立空间直角坐标系, 如图所示,
设正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 1, 点P(x,y,z),则 A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D1(0,0,1), 所以D1B=(1,1,-1),D1P=(x,y,z-1),因为 D1PD1B=λ, 可得D1P=λD1B, 可得(x,y,z-1)=λ(1,1,-1),所以 x=λ,y=λ,z=1-λ, 即P(λ,λ,1-λ),因为点 P与点B不重合, 所以∠APC≠180∘, 所以∠APC为钝角, 等价于cs∠APC<0,所以 PA∙PC=(1-λ,-λ,λ-1)∙(-λ,1-λ,λ-1)=3λ2-4λ+1<0,
解得13<λ<1,即实数 λ的取值范围为13,1.故答案为: 13,1.
16. 【解析】由已知可得 P(x,y)所在的圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=4,
设 z=|3x+4y+a|+|6-3x-4y|=5|3x+4y+a|32+42+|3x+4y-6|32+42,故 z可看作点P到直线m:3x+4y+a=0与直线l:3x+4y-6=0距离之和的 5 倍,因为 |3x+4y+a|+|6-3x-4y|的取值与x、y无关, 所以这个距离之和与P点在圆上的位置无关,圆心 (3,2)到直线l的距离为|3×3+4×2-6|32+42=115>2,
所以圆与直线l相离,如图所示, 可知直线 m平移时,P点与直线m、l的距离之和均为直线m、l之间的距离, 此时可得圆在两直线之间，当直线 m与圆(x-3)2+(y-2)2=4相切时,|3×3+4×2+a|32+42=2,
解得a=-7(舍去), 或a=-27,所以 a≤-27.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（本题满分10分）【解析】(1) 椭圆 x245+y220=1的焦点坐标为(±5,0),
设双曲线的方程为 x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),c2=a2+b2,所以双曲线的半焦距 c=5.
又由 ca=54, 得a=4,所以 b=3,
所以双曲线 C的标准方程为x216-y29=1;
(2) 由 (1) 知, 双曲线 C的焦点坐标为(±5,0), 渐近线方程为3x±4y=0,
所以双曲线 C的焦点到渐近线的距离为|3×5±4×0|32+(±4)2=3.
18. （本题满分12分）【解析】据题意，建立如图坐标系．于是：
D(0,0,0),A1(2,0,2),C(0,2,0),E(2,1,0),F(1,1,1),D1(0,0,2),
∴EF=(-1,0,1),CD1=(0,-2,2),DA1=(2,0,2),DC=(0,2,0),
(1) csEF,CD1=EF∙CD1|EF|CD1=-1×0+0×(-2)+1×22×22=12, ∴EF,CD1=60∘,
∴异面直线EF和CD1所成的角为60∘;
(2) EF∙DA1=-1×2+0×0+1×2=0
∴EF⊥DA1, 即EF⊥DA1,
EF∙DC=-1×0+0×2+1×0=0,
∴EF⊥DC即EF⊥DC,
又 ∵DA1,DC⊂平面DCA1且DA1∩DC=D,
∴EF⊥平面A1CD.
19.（本题满分12分）【解析】(1) 以 O为原点, 东西方向为x轴, 南北方程为y轴, 建立直角坐标系, 如图所示:
则 A(40,0),B(0,30), 圆O:x2+y2=252, 则直线 AB:x40+y30=1, 即3x+4y-120=0,
外籍船航行路径所在的直线方程为: 3x+4y-120=0;
(2) 设 O到直线AB的距离为d, 则d=|120|32+42=24<25,
所以外籍轮船能被海监船监测到;
设监测时间为 t, 则t=2252-24228=12,
所以外籍轮船被监测到的持续时间时 12小时.
20. （本题满分12分）【解析】(1) 根据题意可得 m+p2=2,
又 22=2pm, 解方程组得m=1,p=2,
故所求抛物线 C方程y2=4x;
(2) 设点 Mx1,y1,Nx2,y2, 抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0),
当直线 l的斜率等于 0 时, 不存在两个交点, 不符合题意;
当直线 l的斜率不等于 0 时，不妨设过抛物线焦点的直线l的方程为:x=ty+1;
联立抛物线方程可得 y2=4xx=ty+1, 消去x得:y2-4ty-4=0,
Δ=16t2+16>0, 得t∈R,
由韦达定理得 y1+y2=4t,y1y2=-4,
易知 AM=x1+2,y1-4,AN=x2+2,y2-4,
故AM∙AN=x1+2x2+2+y1-4y2-4=x1x2+2x1+x2+4+y1y2-4y1+y2+16
=y124∙y224+2y124+y224+4+y1y2-4y1+y2+16
=y1y2216+12y1+y22-2y1y2+4+y1y2-4y1+y2+16
=1+12(4t)2+8+4-4-16t+16=8t2-16t+21=8(t-1)2+13,
所以当 t=1时,AM∙AN取得最小值为 13,
此时直线 l的方程为x-y-1=0.
21. （本题满分12分）【解析】(1) 取 SC中点F, 连接EF,FD,
∵E,F分别为SB,SC的中点,∴EF//BC,EF=12BC
∵底面四边形ABCD是矩形,P为棱AD的中点,
∴PD//BC,PD=12BC,
∴EF//PD,EF=PD,
故四边形 PEFD是平行四边形,∴PE//FD,
又 ∵FD⊂平面SCD,PE/⊂平面SCD,∴PE//平面SCD;
(2) 假设在棱 SA上存在点M满足题意,
在等边 △SAD中,P为AD的中点, 所以SP⊥AD,
又平面 SAD⊥平面ABCD, 平面SAD∩平面ABCD=AD,SP⊂平面SAD,
∴SP⊥平面ABCD, 则SP是四棱锥S-ABCD的高,
设 AD=m(m>0), 则SP=32m,S矩形 ABCD=m,
∴V四棱锥 S-ABCD=13S矩形 ABCD∙SP=13m×32m=233, 所以m=2,
以点 P为原点,PA,PS的方向分别为x,z轴的正方向, 建立如图所示的空间直角坐标系,
则 P(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),S(0,0,3), 故PA=(1,0,0),PB=(1,1,0),AS=(-1,0,3),
设 AM=λAS=(-λ,0,3λ)(0≤λ≤1),
∴PM=PA+AM=(1-λ,0,3λ),
设平面 PMB的一个法向量为n1=(x,y,z),
则 n1∙PM=(1-λ)x+3λz=0n1∙PB=x+y=0 取n1=(3λ,-3λ,λ-1),
易知平面 SAD的一个法向量为n2=(0,1,0),
∴csn1,n2=n1∙n2n1||n2∣=|-3λ|7λ2-2λ+1=235,
∵0≤λ≤1,∴λ=23,
故存在点 M, 位于AS靠近点S的三等分点处满足题意.
22. （本题满分12分）【解析】(1) 由关系式 (x-3)2+y2+(x+3)2+y2=4, 结合椭圆的定义,
点 M的轨迹是以F1(-3,0),F2(3,0)为焦点, 长轴长为 4 的椭圆,
∴c=3,a=2,b2=a2-c2=4-3=1,
∴点M的方程为x24+y2=1;
(2) 联立方程 y=kx+mx2+4y2-4=0, 则1+4k2x2+8kmx+4m2-4=0,
设 Ax1,y1,Bx2,y2,则 x1+x2=-8km1+4k2x1∙x2=4m2-41+4k2,Δ=(8km)2-41+4k24m2-4>0,4k2-m2+1>0,
直线 l:y=kx+m与圆O相切, 则d=|m|1+k2=1⇒m2=1+k2,
λ=OA∙OB=x1x2+y1y2=1+k2x1x2+kmx1+x2+m2
=1+k24m2-41+4k2+km-8km1+4k2+m2=5m2-4k2-41+4k2
=51+k2-4k2-41+4k2=1+k21+4k2,
∵λ∈12,1,∴12≤1+k21+4k2<1, 解得0|AB|=1+k2x1-x2=1+k2∙x1+x22-4x1x2
=1+k2∙-8km1+4k22-44m2-41+4k2=41+k2∙3k21+4k2
=41+k2∙3k21+4k2≤4×1+k2+3k221+4k2=2,
当且仅当 k2=12取等号, 所以弦长|AB|的最大值为 2.