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2023-2024学年陕西省渭南市蒲城中学高二上学期10月阶段性学习效果评估数学试题含答案
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这是一份2023-2024学年陕西省渭南市蒲城中学高二上学期10月阶段性学习效果评估数学试题含答案，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．若直线经过第一、二、四象限，则有（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】由一次函数的性质判断
【详解】直线即，经过第一、二、四象限，
则，得，
故选：B
2．直线与 (不同时为0)的位置关系是（ ）
A．平行B．垂直
C．斜交D．与的值有关
【答案】B
【分析】分与都不为零和与中有一个为零讨论即可.
【详解】与不能同时为0，
①当两者都不为0时，两条直线斜率的乘积为，
故两条直线垂直；
②当与中有一个为零时，
若时，则两直线分别为与，两直线垂直，
若时，则两直线分别为与，两直线垂直，
故两条直线垂直．
故选：B
3．已知直线在轴上的截距为，且它的倾斜角为，则（ ）
A．0B．1
C．D．2
【答案】D
【分析】根据截距求，根据倾斜角和斜率关系求即可.
【详解】因为直线在轴上的截距为，
所以，所以，
则直线方程可化为，
又因为直线倾斜角为，所以，
所以.
故选：D
4．若圆与圆外切，则实数（ ）
A．－1B．1C．1或4D．4
【答案】D
【分析】由两圆的位置关系计算即可.
【详解】由条件化简得，即两圆圆心为，
设其半径分别为，，所以有.
故选：D
5．圆上的点到直线的距离的最大值是（ ）
A．B．2C．D．
【答案】C
【分析】根据圆心到直线的距离以及圆的几何性质求得正确答案.
【详解】圆即，
圆心为，半径为，
圆心到直线的距离为，
所以圆上的点到直线的距离的最大值是.
故选：C
6．在平面直角坐标系中，已知直线：，点，则点A到直线的距离的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意可确定直线：，则直线过原点，且斜率为，由此可确定点到直线l的距离大于1，再确定当l与垂直时，点A到直线l的距离最大，即可求得答案.
【详解】由题意直线：，则直线过原点，且斜率为，
当直线l无限靠近于y轴时，点到直线l的距离无限接近于1，
故点到直线l的距离大于1，
当l与垂直时，点A到直线l的距离最大，最大值为，
故点A到直线的距离的取值范围为，
故选：B
7．以A(5，5)，B(1，4)，C(4，1)为顶点的三角形是
A．直角三角形B．等腰三角形
C．等边三角形D．等腰直角三角形
【答案】B
【详解】由两点间的距离公式求得：,
故△ABC为等腰三角形．
故选：B.
8．已知直线：恒过点，过点作直线与圆C：相交于A，B两点，则的最小值为（ ）
A．B．2C．4D．
【答案】A
【分析】写出直线的定点坐标并判断与圆的位置关系，进而确定最小时直线与直线的位置关系，即可得结果.
【详解】由恒过，
又，即在圆C内，
要使最小，只需圆心与的连线与该直线垂直，所得弦长最短，
由，圆的半径为5，
所以.
故选：A
二、多选题
9．下列四个命题中错误的有（ ）
A．直线的倾斜角越大，其斜率越大
B．直线倾斜角的取值范围是
C．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为
D．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为
【答案】ACD
【分析】根据直线的倾斜角和斜率的定义逐一判断即可.
【详解】解：对于A，当倾斜角为锐角时，斜率大于0，当倾斜角为钝角时，斜率小于0，故A错误；
直线倾斜角的取值范围是，故B正确；
若一条直线的斜率为，此时可以为负角，而直线倾斜角的取值范围是，故C错误；
当直线的倾斜角时，直线的斜率不存在，故D错误.
故选：ACD.
10．（多选）已知某圆圆心C在x轴上，半径为5，且在y轴上截得线段AB的长为8，则圆的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【分析】利用勾股定理求出的长，从而确定圆心的坐标，写出圆的方程即可.
【详解】由题意设，，所以，
在中，
如图所示，有两种情况：
故圆心C的坐标为或，
故所求圆的标准方程为
故选：AB.
11．已知圆上存在点，使得直线与圆相交，则实数的值可以是（ ）
A．B．2C．4D．8
【答案】BC
【分析】根据直线与圆的位置关系列出不等式，结合在圆上求解.
【详解】方程可化为，
所以，，
因为直线与圆相交，
所以圆心到直线的距离小于圆的半径，即，
所以，所以，解得.
综上，，
故选：BC
12．（多选）若直线与曲线C：有两个不同的交点，则实数的值可以是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】由直线与曲线的方程发现，直线有必过点，曲线为半圆，结合图形找到相交情况的临界处，即可求出实数的取值范围.
【详解】直线恒过定点，
曲线C：可以化为
则曲线C表示以点为圆心，半径的长为1，
且位于直线右侧的半圆（包括点），
当直线经过时，l与曲线C有两个不同的交点，此时，直线记为；
当与半圆相切时，由，得，切线记为.
结合图形可知当时，l与曲线C有两个不同的交点．
故选：BCD.
三、填空题
13．已知直线，则直线的斜率 ．
【答案】/
【分析】将直线的方程化为斜截式，即可得出直线的斜率.
【详解】将直线的方程化为斜截式方程可得，
因此，直线的斜率为.
故答案为：.
14．直线与直线平行，则 .
【答案】/0.75
【分析】根据给定条件，确定二直线的纵截距不等，由斜率相等列式求出a值作答.
【详解】显然直线与直线的纵截距分别为，
因此这二直线平行，当且仅当，解得，
所以.
故答案为：
15．圆关于直线对称的圆的标准方程是 ．
【答案】
【分析】求出所求圆的圆心坐标，结合圆的半径可得出所求圆的标准方程.
【详解】因为圆的圆心为，半径为，
且点关于直线对称的点的坐标为，
因此，所求圆的标准方程为.
故答案为：.
16．已知圆与圆相交于A，B两点，则 .
【答案】
【分析】由题知直线的方程为，进而根据几何法得弦，再在中，利用余弦定理并结合同角三角函数关系求解即可.
【详解】解：因为圆与圆相交于A，B两点，
所以直线的方程为：，即，
所以圆心到弦的距离为，
所以弦，
所以在中，，由余弦定理得，
所以
故答案为：
四、解答题
17．写出下列直线的斜截式方程：
(1)倾斜角为45°且在y轴上的截距为2；
(2)直线过点（3，1）且在y轴上截距是-1.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）运用斜截式直线方程求解；
（2）运用两点式直线方程求解.
【详解】（1）斜率，截距，；
（2）等价于直线过两点，直线方程为 ，即；
综上，（1），（2）.
18．已知圆和直线相切于点.
(1)求圆的标准方程及直线的一般式方程；
(2)已知直线经过点，并且被圆截得的弦长为，求直线的方程.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）将点的坐标代入圆的方程，求出实数的值，可得出圆的标准方程，求出直线的斜率，由圆的几何性质可得，可求得直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程，化为一般式即可；
（2）分析可知直线过圆心，求出直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程.
【详解】（1）把点代入圆的方程，可得，解得，
得的方程为，即，
圆心为，所以，直线的斜率为，
由圆的几何性质可知，则直线的斜率为，
直线的方程为，即.
（2）由（1）可知，圆的直径为，故直线经过圆心，
且直线的斜率为，直线的方程为，即．
19．已知某公园的一座半圆形拱桥的水面宽为6 m，在一场暴雨后水面上涨了40 cm，水面宽变为4 m（如图）．根据以上数据，能否确定暴雨后圆拱顶距水面的距离？如果能，请写出计算方案．
【答案】能确定暴雨后圆拱顶距水面的距离，方案见解析.
【分析】如图，以拱顶为原点，圆心与原点所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
设圆的标准方程，根据两点坐标求距离公式和列出关于b的方程，解方程即可得出结果.
【详解】能确定暴雨后圆拱顶距水面的距离，计算方案如下：
如图，以拱顶为原点，圆心与原点所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
设拱桥所在圆的方程为，
则，即，
解得，
代入可得暴雨后圆拱顶距水面的距离为
(m).
20．已知圆:,直线过定点.
(1)若直线与圆相切,求直线的方程;
(2)若直线与圆交于两点,求△面积的最大值,并求此时的直线方程.
【答案】(1).
(2),.
【分析】(1)由即可求解;(2)由面积知当时取得最值.此时△是等腰直接三角形.从而求出圆心到直线的距离,进而求出直线方程.
【详解】（1）由题知,直线的斜率不为0,故可设直线的的方程为:;
因为直线与圆相切,所以圆心到直线的距离:
,
所以直线的方程为:.
（2）设∠,则△的面积为:
,当且仅当时取得最大值,
此时,圆心到直线的距离为:,
解得:,故此时直线方程为: .
21．已知圆，直线．
（1）求证：直线l恒过定点；
（2）判断直线l与圆C的位置关系；
（3）当时，求直线l被圆C截得的弦长．
【答案】（1）证明见解析；（2）点A在圆C内，从而直线l与圆C相交（无论m为何实数）；（3）.
【分析】（1）将直线方程整理为关于参数m的方程，可令求解，即可证结论.
（2）由（1）所得定点，根据定点到圆心距离与半径的关系，即可判断直线l与圆C的位置关系；
（3）由圆的弦长与半径、弦心距的关系，求直线l被圆C截得的弦长．
【详解】（1）证明：直线l的方程可化为，又，
∴，解得，
∴直线l恒过定点．
（2）圆心，，
∴点A在圆C内，从而直线l与圆C相交（无论m为何实数）．
（3）当时，直线l的方程为，圆心到直线l的距离．
∴此时直线l被圆C截得的弦长为．
22．已知圆：，直线：是圆与圆的公共弦所在的直线方程，且圆的圆心在直线上.
(1)求圆的方程.
(2)若动直线过点且与圆交于点，，问：是否为定值?若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.
【答案】(1)
(2)定值，定值为7
【分析】（1）先利用直线和圆求出公共弦长，设出圆心，根据垂直关系求出圆心，利用公共弦长求出半径，可得圆的方程；
（2）分斜率是否存在两种情况，分别求解，结合韦达定理可得答案.
【详解】（1）由题可知圆的圆心坐标为，半径为.
因为圆心到直线的距离为，
所以.
由圆的圆心在直线上，可设圆心.
由题意得，
所以，得，即.
因为点到直线的距离为，
所以圆的半径为，
所以圆的方程为.
（2）不妨设在的上方.
若直线的斜率不存在，则，，.
若直线的斜率存在，设为，
则直线的方程为，
联立方程，
消去整理得.
设，，则，
因为，，
所以.
综上可得恒为定值，定值为7.
一、单选题
1．若直线经过第一、二、四象限，则有（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】由一次函数的性质判断
【详解】直线即，经过第一、二、四象限，
则，得，
故选：B
2．直线与 (不同时为0)的位置关系是（ ）
A．平行B．垂直
C．斜交D．与的值有关
【答案】B
【分析】分与都不为零和与中有一个为零讨论即可.
【详解】与不能同时为0，
①当两者都不为0时，两条直线斜率的乘积为，
故两条直线垂直；
②当与中有一个为零时，
若时，则两直线分别为与，两直线垂直，
若时，则两直线分别为与，两直线垂直，
故两条直线垂直．
故选：B
3．已知直线在轴上的截距为，且它的倾斜角为，则（ ）
A．0B．1
C．D．2
【答案】D
【分析】根据截距求，根据倾斜角和斜率关系求即可.
【详解】因为直线在轴上的截距为，
所以，所以，
则直线方程可化为，
又因为直线倾斜角为，所以，
所以.
故选：D
4．若圆与圆外切，则实数（ ）
A．－1B．1C．1或4D．4
【答案】D
【分析】由两圆的位置关系计算即可.
【详解】由条件化简得，即两圆圆心为，
设其半径分别为，，所以有.
故选：D
5．圆上的点到直线的距离的最大值是（ ）
A．B．2C．D．
【答案】C
【分析】根据圆心到直线的距离以及圆的几何性质求得正确答案.
【详解】圆即，
圆心为，半径为，
圆心到直线的距离为，
所以圆上的点到直线的距离的最大值是.
故选：C
6．在平面直角坐标系中，已知直线：，点，则点A到直线的距离的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意可确定直线：，则直线过原点，且斜率为，由此可确定点到直线l的距离大于1，再确定当l与垂直时，点A到直线l的距离最大，即可求得答案.
【详解】由题意直线：，则直线过原点，且斜率为，
当直线l无限靠近于y轴时，点到直线l的距离无限接近于1，
故点到直线l的距离大于1，
当l与垂直时，点A到直线l的距离最大，最大值为，
故点A到直线的距离的取值范围为，
故选：B
7．以A(5，5)，B(1，4)，C(4，1)为顶点的三角形是
A．直角三角形B．等腰三角形
C．等边三角形D．等腰直角三角形
【答案】B
【详解】由两点间的距离公式求得：,
故△ABC为等腰三角形．
故选：B.
8．已知直线：恒过点，过点作直线与圆C：相交于A，B两点，则的最小值为（ ）
A．B．2C．4D．
【答案】A
【分析】写出直线的定点坐标并判断与圆的位置关系，进而确定最小时直线与直线的位置关系，即可得结果.
【详解】由恒过，
又，即在圆C内，
要使最小，只需圆心与的连线与该直线垂直，所得弦长最短，
由，圆的半径为5，
所以.
故选：A
二、多选题
9．下列四个命题中错误的有（ ）
A．直线的倾斜角越大，其斜率越大
B．直线倾斜角的取值范围是
C．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为
D．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为
【答案】ACD
【分析】根据直线的倾斜角和斜率的定义逐一判断即可.
【详解】解：对于A，当倾斜角为锐角时，斜率大于0，当倾斜角为钝角时，斜率小于0，故A错误；
直线倾斜角的取值范围是，故B正确；
若一条直线的斜率为，此时可以为负角，而直线倾斜角的取值范围是，故C错误；
当直线的倾斜角时，直线的斜率不存在，故D错误.
故选：ACD.
10．（多选）已知某圆圆心C在x轴上，半径为5，且在y轴上截得线段AB的长为8，则圆的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【分析】利用勾股定理求出的长，从而确定圆心的坐标，写出圆的方程即可.
【详解】由题意设，，所以，
在中，
如图所示，有两种情况：
故圆心C的坐标为或，
故所求圆的标准方程为
故选：AB.
11．已知圆上存在点，使得直线与圆相交，则实数的值可以是（ ）
A．B．2C．4D．8
【答案】BC
【分析】根据直线与圆的位置关系列出不等式，结合在圆上求解.
【详解】方程可化为，
所以，，
因为直线与圆相交，
所以圆心到直线的距离小于圆的半径，即，
所以，所以，解得.
综上，，
故选：BC
12．（多选）若直线与曲线C：有两个不同的交点，则实数的值可以是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】由直线与曲线的方程发现，直线有必过点，曲线为半圆，结合图形找到相交情况的临界处，即可求出实数的取值范围.
【详解】直线恒过定点，
曲线C：可以化为
则曲线C表示以点为圆心，半径的长为1，
且位于直线右侧的半圆（包括点），
当直线经过时，l与曲线C有两个不同的交点，此时，直线记为；
当与半圆相切时，由，得，切线记为.
结合图形可知当时，l与曲线C有两个不同的交点．
故选：BCD.
三、填空题
13．已知直线，则直线的斜率 ．
【答案】/
【分析】将直线的方程化为斜截式，即可得出直线的斜率.
【详解】将直线的方程化为斜截式方程可得，
因此，直线的斜率为.
故答案为：.
14．直线与直线平行，则 .
【答案】/0.75
【分析】根据给定条件，确定二直线的纵截距不等，由斜率相等列式求出a值作答.
【详解】显然直线与直线的纵截距分别为，
因此这二直线平行，当且仅当，解得，
所以.
故答案为：
15．圆关于直线对称的圆的标准方程是 ．
【答案】
【分析】求出所求圆的圆心坐标，结合圆的半径可得出所求圆的标准方程.
【详解】因为圆的圆心为，半径为，
且点关于直线对称的点的坐标为，
因此，所求圆的标准方程为.
故答案为：.
16．已知圆与圆相交于A，B两点，则 .
【答案】
【分析】由题知直线的方程为，进而根据几何法得弦，再在中，利用余弦定理并结合同角三角函数关系求解即可.
【详解】解：因为圆与圆相交于A，B两点，
所以直线的方程为：，即，
所以圆心到弦的距离为，
所以弦，
所以在中，，由余弦定理得，
所以
故答案为：
四、解答题
17．写出下列直线的斜截式方程：
(1)倾斜角为45°且在y轴上的截距为2；
(2)直线过点（3，1）且在y轴上截距是-1.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）运用斜截式直线方程求解；
（2）运用两点式直线方程求解.
【详解】（1）斜率，截距，；
（2）等价于直线过两点，直线方程为 ，即；
综上，（1），（2）.
18．已知圆和直线相切于点.
(1)求圆的标准方程及直线的一般式方程；
(2)已知直线经过点，并且被圆截得的弦长为，求直线的方程.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）将点的坐标代入圆的方程，求出实数的值，可得出圆的标准方程，求出直线的斜率，由圆的几何性质可得，可求得直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程，化为一般式即可；
（2）分析可知直线过圆心，求出直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程.
【详解】（1）把点代入圆的方程，可得，解得，
得的方程为，即，
圆心为，所以，直线的斜率为，
由圆的几何性质可知，则直线的斜率为，
直线的方程为，即.
（2）由（1）可知，圆的直径为，故直线经过圆心，
且直线的斜率为，直线的方程为，即．
19．已知某公园的一座半圆形拱桥的水面宽为6 m，在一场暴雨后水面上涨了40 cm，水面宽变为4 m（如图）．根据以上数据，能否确定暴雨后圆拱顶距水面的距离？如果能，请写出计算方案．
【答案】能确定暴雨后圆拱顶距水面的距离，方案见解析.
【分析】如图，以拱顶为原点，圆心与原点所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
设圆的标准方程，根据两点坐标求距离公式和列出关于b的方程，解方程即可得出结果.
【详解】能确定暴雨后圆拱顶距水面的距离，计算方案如下：
如图，以拱顶为原点，圆心与原点所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
设拱桥所在圆的方程为，
则，即，
解得，
代入可得暴雨后圆拱顶距水面的距离为
(m).
20．已知圆:,直线过定点.
(1)若直线与圆相切,求直线的方程;
(2)若直线与圆交于两点,求△面积的最大值,并求此时的直线方程.
【答案】(1).
(2),.
【分析】(1)由即可求解;(2)由面积知当时取得最值.此时△是等腰直接三角形.从而求出圆心到直线的距离,进而求出直线方程.
【详解】（1）由题知,直线的斜率不为0,故可设直线的的方程为:;
因为直线与圆相切,所以圆心到直线的距离:
,
所以直线的方程为:.
（2）设∠,则△的面积为:
,当且仅当时取得最大值,
此时,圆心到直线的距离为:,
解得:,故此时直线方程为: .
21．已知圆，直线．
（1）求证：直线l恒过定点；
（2）判断直线l与圆C的位置关系；
（3）当时，求直线l被圆C截得的弦长．
【答案】（1）证明见解析；（2）点A在圆C内，从而直线l与圆C相交（无论m为何实数）；（3）.
【分析】（1）将直线方程整理为关于参数m的方程，可令求解，即可证结论.
（2）由（1）所得定点，根据定点到圆心距离与半径的关系，即可判断直线l与圆C的位置关系；
（3）由圆的弦长与半径、弦心距的关系，求直线l被圆C截得的弦长．
【详解】（1）证明：直线l的方程可化为，又，
∴，解得，
∴直线l恒过定点．
（2）圆心，，
∴点A在圆C内，从而直线l与圆C相交（无论m为何实数）．
（3）当时，直线l的方程为，圆心到直线l的距离．
∴此时直线l被圆C截得的弦长为．
22．已知圆：，直线：是圆与圆的公共弦所在的直线方程，且圆的圆心在直线上.
(1)求圆的方程.
(2)若动直线过点且与圆交于点，，问：是否为定值?若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.
【答案】(1)
(2)定值，定值为7
【分析】（1）先利用直线和圆求出公共弦长，设出圆心，根据垂直关系求出圆心，利用公共弦长求出半径，可得圆的方程；
（2）分斜率是否存在两种情况，分别求解，结合韦达定理可得答案.
【详解】（1）由题可知圆的圆心坐标为，半径为.
因为圆心到直线的距离为，
所以.
由圆的圆心在直线上，可设圆心.
由题意得，
所以，得，即.
因为点到直线的距离为，
所以圆的半径为，
所以圆的方程为.
（2）不妨设在的上方.
若直线的斜率不存在，则，，.
若直线的斜率存在，设为，
则直线的方程为，
联立方程，
消去整理得.
设，，则，
因为，，
所以.
综上可得恒为定值，定值为7.
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