2024年新高考数学名校重难点练习：参数范围问题的六种常见解题方法

这是一份2024年新高考数学名校重难点练习：参数范围问题的六种常见解题方法，共3页。试卷主要包含了确定“主元”思想，分离变量，数形结合，分类讨论，利用判别式，构造函数等内容，欢迎下载使用。

一、确定“主元”思想
常量与变量是相对的，一般地，可把已知范围的那个看作自变量，另一个看作常量．
例1.对于满足0的一切实数，不等式x2+px>4x+p-3恒成立，求x的取值范围．
分析：习惯上把x当作自变量，记函数y= x2+(p-4)x+3-p,于是问题转化为当p时y>0恒成立，求x的范围．解决这个问题需要应用二次函数以及二次方程实根分布原理，这是相当复杂的．若把x与p两个量互换一下角色，即p视为变量，x为常量，则上述问题可转化为在[0,4]内关于p的一次函数大于0恒成立的问题．
解：设f(p)=(x-1)p+x2-4x+3，当x=1时显然不满足题意．
由题设知当0时f(p)>0恒成立，∴f(0)>0,f(4)>0即x2-4x+3>0且x2-1>0，
解得x>3或x<-1．∴x的取值范围为x>3或x<-1．
二、分离变量
对于一些含参数的不等式问题，如果能够将不等式进行同解变形，将不等式中的变量和参数进行分离，即使变量和参数分别位于不等式的左、右两边，然后通过求函数的值域的方法将问题化归为解关于参数的不等式的问题。
例2．若对于任意角总有成立，求的范围．
分析与解：此式是可分离变量型，由原不等式得，
又，则原不等式等价变形为恒成立．
根据边界原理知，必须小于的最小值，这样问题化归为怎样求的最小值．因为
即时，有最小值为0，故．
评析：一般地,分离变量后有下列几种情形：
①f(x)≥g(k) [f(x)]min≥g(k)
②f(x)> g(k) g(k) < [f(x)] min
③f(x)≤g(k) [f(x)] max≤g(k)
④f(x)三、数形结合
对于含参数的不等式问题，当不等式两边的函数图象形状明显，我们可以作出它们的图象，来达到解决问题的目的．
例3．设，若不等式恒成立，求a的取值范围．
分析与解：若设函数，则，其图象为上半圆．
设函数，其图象为直线．
在同一坐标系内作出函数图象如图，
依题意要使半圆恒在直线下方，只有圆心到直线的距离且时成立，即a的取值范围为．
四、分类讨论
当不等式中左、右两边的函数具有某些不确定因素时，应用分类讨论的方法来处理，分类讨论可使原问题中的不确定因素变成确定因素，为问题的解决提供新的条件。
例4．当时，不等式恒成立，求a的取值范围．
解：（1）当时，由题设知恒成立，即，而∴ 解得
（2）当时，由题设知恒成立，即，而∴ 解得．∴a的取值范围是．
五、利用判别式
当问题可化为一元二次不等式在实数集上恒成立的问题，可用判别式来求解．
例5．不等式，对一切恒成立，求实数的取值范围.
解：∵在R上恒成立，
∴
，R
∴，解得
故实数的取值范围是.
一般地二次函数f(x)=ax2+bx+c恒正，f(x)=ax2+bx+c恒负.
六、构造函数
构造出函数，通过对函数性质的研究，来达到解决问题的目的．
例6．已知不等式对于一切大于1的自然数都成立，求实数的取值范围．
分析：注意到不等式仅仅左边是与有关的式子，从函数的观点看，左边是关于的函数，要使原不等式成立，即要求这个函数的最小值大于右式．如何求这个函数的最小值呢？这又是一个非常规问题，应该从研究此函数的单调性入手．
解：设,N

∴是关于N的递增函数，则=.
∴要使不等式成立，只须，解之得.
∴实数的取值范围是．
以上介绍了求参数的取值范围问题的处理方法，在具体解题中可能要用到两种或两种以上的方法，应灵活处理．