2023年广东省河源市源城区中考数学一模试卷

这是一份2023年广东省河源市源城区中考数学一模试卷，共17页。


A．B．C．D．
2．（3分）中国信息通信研究院测算.2020﹣2025年，中国5G商用带动的消费规模将超过8万亿元，直接带动经济总产出达10.6万亿元，其中数据10.6万亿用科学记数法表示为（ ）
A．10.6×104B．1.06×1013C．10.6×1013D．1.06×108
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（﹣3a2）3＝﹣9a6B．（﹣a）2•a3＝a5
C．（x﹣y）2＝x2﹣2xy﹣y2D．a2+2a3＝3a5
4．（3分）关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0的一个根是﹣1，则m的值是（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．3
5．（3分）在直角三角形ABC中，已知∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，则tanB的值为（ ）
A．B．C．D．
6．（3分）某校篮球队有12名队员，队员的年龄情况统计如下：
则这12名队员年龄的中位数和众数分别是（ ）
A．14，15B．14.5，14C．14，14D．14.5，15
7．（3分）如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P，则一定与∠A相等的是（ ）更多优质支援请 嘉 威鑫 MXSJ663 更多优质滋源请 家 威杏 MXSJ663
A．∠BB．∠CC．∠DD．∠APD
8．（3分）某机械长今年生产零件50万个，计划明后两年共生产零件132万个，设该厂每年的平均增长率为x，那么x满足方程（ ）
A．50（1+x）2＝132
B．（50+x）2＝132
C．50（1+x）+50（1+x）2＝132
D．50（1+x）+50（1+2x）2＝132
9．（3分）若关于x的不等式组有解，且关于y的分式方程＝2﹣有正数解，且符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．﹣5B．﹣9C．﹣10D．﹣14
10．（3分）如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE，BF交于点G，将△BCF沿BF对折，得到△BPF，延长FP交BA延长线于点Q，下列结论：①AE＝BF；②AE⊥BF；③QF＝QB；④S四边形ECFG＝S△ABG．正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）把多项式9x﹣x3分解因式的结果为 ．
12．（3分）现在从“﹣3，0，1，3”四个数中任选两个数作为一次函数y＝kx+b的系数k，b，则一次函数的图象经过一、二、四象限的概率为 ．
13．（3分）如图，直线a∥b，∠1＝30°，∠2＝40°，且AD＝AC，则∠3的度数是 ．
14．（3分）抛物线y＝2x2﹣4x﹣5的图象先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，再把抛物线绕顶点旋转180°，得到的新图象的解析式为 ．
15．（3分）如图，已知AD是等腰三角形ABC底边BC上的高，AD＝1，DC＝，将△ADC绕着点D旋转，得△DEF，点A、C分别与点E、F对应，当EF与直线AB重合时，设AC与DF相交于点O，那么由线段OC、OF和弧CF围成的阴影部分的面积为 ．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（8分）计算：4cs30°+（1﹣）0﹣+（）﹣1．
17．（8分）先化简，再求值：÷（﹣a+1），其中a＝﹣2．
18．（8分）为了加强中华优秀传统文化教育，培育和践行社会主义核心价值观，学校决定开设特色活动课，包括A（经典诵读），B（我爱戏曲），C（中华功夫），D（民族乐器）四门课程．校学生会、团委随机抽取了部分学生进行调查，以了解学生最喜欢哪一门课程，并将调查结果绘制成如下统计图．
请结合图中信息解答下列问题：
（1）本次共调查了 名学生，图中扇形“C”的圆心角度是 ；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）在这次调查中，甲、乙、丙、丁四名学生都选择“经典诵读”课程，现准备从这四人中随机抽取两人参加市级经典诵读比赛，试用列表或树状图的方法求抽取的两人刚好是甲和乙的概率．
19．（9分）综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪ABCD为正方形，AB＝30cm，顶点A处挂了一个铅锤M．如图是测量树高的示意图，测高仪上的点D，A与树顶E在一条直线上，铅垂线AM交BC于点H．经测量，点A距地面1.8m，到树EG的距离AF＝11m，BH＝20cm．求树EG的高度（结果精确到0.1m）．
​
20．（9分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，点O是AB边上一点，以OB为半径的圆恰好经过点D．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若AD＝300，，求⊙O的半径．
21．（9分）某加工厂用52500元购进A、B两种原料共40吨，其中原料A每吨1500元，原料B每吨1000元．由于原料容易变质，该加工厂需尽快将这批原料运往有保质条件的仓库储存．经市场调查获得以下信息：
①将原料运往仓库有公路运输与铁路运输两种方式可供选择，其中公路全程120千米，铁路全程150千米；
②两种运输方式的运输单价不同（单价：每吨每千米所收的运输费）；
③公路运输时，每吨每千米还需加收1元的燃油附加费；
④运输还需支付原料装卸费：公路运输时，每吨装卸费100元；铁路运输时，每吨装卸费220元．
（1）加工厂购进A、B两种原料各多少吨？
（2）由于每种运输方式的运输能力有限，都无法单独承担这批原料的运输任务．加工厂为了尽快将这批原料运往仓库，决定将A原料选一种方式运输，B原料用另一种方式运输，哪种方案运输总花费较少？请说明理由．
22．（12分）问题：任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，使它的周长和面积分别是矩形A周长和面积的一半？
（1）当已知矩形A的边长分别为6和1时，请探究是否存在另一个矩形B，使它的周长和面积分别是矩形A周长和面积的一半？
（2）如果矩形A的边长为m和n，请你研究：m，n满足什么条件时，矩形B存在？
（3）x和y分别表示矩形B的两边长，且x，y满足的一次函数和反比例函数的图象如图所示，结合刚才的研究解答下列问题：
①满足条件的矩形B的两边长是多少？
②这个图象所研究的矩形A的两边长是多少？
23．（12分）某“数学学习兴趣小组”成员在复习《图形的变化》时，对下面的图形背景产生了浓厚的兴趣，并尝试运用由“特殊到一般”的思想进行了探究：
【问题背景】如图1，正方形ABCD中，点E为AB边上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE交BC边于点F，将△ADE沿直线DE折叠后，点A落在点A'处，当∠BEF＝25°，则∠FEA'＝ °．
【特例探究】如图2，连接DF，当点A'恰好落在DF上时，求证：AE＝2A'F．
【深入探究】如图3，若把正方形ABCD改成矩形ABCD，且AD＝mAB，其他条件不变，他们发现AE与A′F之间也存在着一定的数量关系，请直接写出AE与A′F之间的数量关系式．
【拓展探究】如图4，若把正方形ABCD改成菱形ABCD，且∠B＝60°，∠DEF＝120°，其他条件不变，他们发现AE与A′F之间也存在着一定的数量关系，请直接写出AE与A′F之间的数量关系式．
2023年广东省河源市源城区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1． 解：从上边看是一个同心圆，外圆是实线，内圆是虚线，
故选：C．
2． 解：10.6万亿＝10600000000000＝1.06×1013．
故选：B．
3． 解：A、原式＝﹣27a6，故A不符合题意．
B、原式＝a2•a3＝a5，故B符合题意．
C、原式＝x2﹣2xy+y2，故C不符合题意．
D、a2与2a3不是同类项，故D不符合题意．
故选：B．
4． 解：把x＝﹣1代入得：1﹣2+m＝0
解得：m＝1，
故选：C．
5． 解：如图：
∵AC＝2，BC＝3，
∴tanB＝＝，
故选：A．
6． 解：这12名队员年龄的中位数＝14.5（岁），众数为14岁，
故选：B．
7． 解：根据圆周角定理得：∠A＝∠D，
故选：C．
8． 解：根据题意得：明年生产零件为50（1+x）（万个）；后年生产零件为50（1+x）2（万个），
则x满足的方程是50（1+x）+50（1+x）2＝146，
故选：C．
9． 解：，
解不等式①得：x≥4a+1，
解不等式②得：x≤5a+6，
∵不等式组有解，
∴4a+1≤5a+6，
∴a≥﹣5，
＝2﹣，
ay＝2（y﹣2）﹣（3y+2），
解得：y＝，
∵分式方程有正数解，
∴y＞0且y≠2，
∴a+1＜0且≠2，
∴a＜﹣1且a≠﹣4，
综上所述：﹣5≤a＜﹣1且a≠﹣4，
∴符合条件的所有整数a的值为：﹣5，﹣3，﹣2，
∴符合条件的所有整数a的和为：﹣10，
故选：C．
10． 解：∵E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，
∴CF＝BE，
在△ABE和△BCF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），
∴∠BAE＝∠CBF，AE＝BF，故①正确；
又∵∠BAE+∠BEA＝90°，
∴∠CBF+∠BEA＝90°，
∴∠BGE＝90°，
∴AE⊥BF，故②正确；
根据题意得，FP＝FC，∠PFB＝∠BFC，∠FPB＝90°，
∵CD∥AB，
∴∠CFB＝∠ABF，
∴∠ABF＝∠PFB，
∴QF＝QB，故③正确；
∵Rt△ABE≌Rt△BCF，
∴S△ABE＝S△BCF，
∴S△ABE﹣S△BEG＝S△BCF﹣S△BEG，
即S四边形ECFG＝S△ABG，故④正确．
故选：D．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11． 解：原式＝﹣x（x2﹣9）＝﹣x（x+3）（x﹣3），
故答案为：﹣x（x+3）（x﹣3）
12． 解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中一次函数的图象经过一、二、四象限（k＜0，b＞0）的结果有2种，
∴一次函数的图象经过一、二、四象限的概率为＝，
故答案为：．
13． 解：如图，
∵∠4＝∠1+∠2＝70°，
∵AD＝AC，
∴∠5＝180°﹣2∠4＝40°，
∵直线a∥b，
∴∠3＝∠5＝40°，
故答案为：40°．
14． 解：原抛物线的顶点为（1，﹣7），向左平移3个单位，再向上平移4个单位，那么新抛物线的顶点为（﹣2，﹣3）；
可设新抛物线的解析式为y＝2（x﹣h）2+k，代入得：y＝2（x+2）2﹣3，把抛物线绕顶点旋转180°，
可得新抛物线的解析式的二次项的系数为﹣2，顶点不变，
所以所求的抛物线解析式为：y＝﹣2（x+2）2﹣3，
故答案为：y＝﹣2（x+2）2﹣3．
15． 解：∵AD＝1，DC＝，AD⊥BC，
∴∠ACD＝30°，
∵等腰三角形ABC，
∴∠B＝30°，
当EF与直线AB重合时，
∴∠FDC＝60°，
∴∠COD＝90°，
∴OD＝CD＝，OC＝CDsin60°＝，
∴阴影部分的面积＝﹣＝；
故答案为；
三．解答题（共8小题，满分75分）
16． 解：4cs30°+（1﹣）0﹣+（）﹣1
＝4×+1﹣2+3
＝2﹣2+4
＝4
17． 解：÷（﹣a+1）
＝
＝
＝
＝﹣，
当a＝﹣2时，原式＝﹣＝﹣．
18． 解：（1）该校本次调查的学生数为42÷42%＝100 （名）；
图中扇形“C”的圆心角度是360°×（1﹣42%﹣12%﹣26%）＝72°；
故答案为：100，72°；
（2）C项目的人数为100﹣42﹣12﹣26＝20（名），
补全条形图为：
（3）树状图如下：
共有12种等可能的结果数，其中出现甲和乙的结果数为2，
所以恰好选到甲和乙的概率＝＝．
19． 解：由题意可知，∠BAE＝∠MAF＝∠BAD＝90°，FG＝1.8m，
则∠EAF+∠BAF＝∠BAF+∠BAH＝90°，
∴∠EAF＝∠BAH，
∵AB＝30cm，BH＝20cm，
则tan∠EAF＝＝，
∴tan∠EAF＝＝tan∠BAH＝，
∵AF＝11m，
则，
∴EF＝，
∴EG＝EF+FG＝1.8≈9.1m．
答：树EG的高度为9.1m．
20． （1）证明：连接OD，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠OBD＝∠DBC，
∴∠ODB＝∠DBC，
∴OD∥BC，
∴∠ADO＝∠C＝90°，
∵OD是圆O的半径，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：过点D作DH⊥AB，垂足为H，
在Rt△BDC中，，
∴设DC＝3x，BC＝4x，
∵BD平分∠ABC，DC⊥BC，DH⊥BA，
∴DH＝DC＝3x，
∵∠AHD＝∠C＝90°，∠A＝∠A，
∴△AHD∽△ACB，
∴＝，
∴＝，
∴AB＝400，
设⊙O的半径为r，
∵OD2+AD2＝AO2，
∴r2+3002＝（400﹣r）2，
∴r＝，
∴⊙O的半径为：．
21． 解：（1）设加工厂购进A种原料x吨，B种原料y吨，
由题意得：，
解得：，
答：加工厂购进A种原料25吨，B种原料15吨；
（2）设公路运输的单价为a元/（t•km），铁路运输的单价为b元/（t•km），
根据题意，有两种方案，
方案一：原料A公路运输，原料B铁路运输；
方案二：原料A铁路运输，原料B公路运输；
设方案一的运输总花费为m元，方案二的运输总花费为n元，
则m＝25×120×（a+1）+25×100+15×150×b+15×220＝3000a+2250b+8800，
n＝15×120×（a+1）+15×100+25×150×b+25×220＝1800a+3750b+8800，
∴m﹣n＝3000a+2250b+8800﹣（1800a+3750b+8800）＝1200a﹣1500b，
当m﹣n＜0，即a＜b时，方案一运输总花费少，即原料A公路运输，原料B铁路运输，总花费少；
当m﹣n＝0，即a＝b时，两种运输总花费相等；
当m﹣n＞0，即a＞b时，方案二运输总花费少，即原料A铁路运输，原料B公路运输，总花费少；
22． 解：（1）存在．
设所求矩形的两边分别是x，y，
由题意得方程组，
消去y化简得2x2﹣7x+6＝0，
∵Δ＝49﹣48＞0，x1＝2；x2＝；
所以满足要求的矩形B存在；
（2）存在，
理由：，
∴2x2﹣（m+n）x+mn＝0，
∴Δ＝（﹣m﹣n）2﹣8mn＝（m+n）2﹣8mn≥0
∴当（m+n）2﹣8mn≥0时，矩形B存在；
（3）设周长为k，面积为S，由x和y分别表示矩形B的两边长，
∴x+y＝，xy＝2S，
∴y＝﹣x+，y＝，
∵得（4，1）在函数y＝﹣x+和y＝的图象上，
∴1＝﹣4+，1＝，
解得k＝10，S＝2，
∵B的周长和面积分别是已知矩形A的周长和面积的一半．
①由图象可知满足条件的矩形B的两边长为1和4；
②设矩形A的长是m、宽是n，
∴，
解得，
∴矩形A的两边长为5+和5﹣．
23． 【问题背景】：解：∵EF⊥DE，∠BEF＝25°，
∴∠AED＝65°，
∵将△ADE沿直线DE折叠后，点A落在点A'处，
∴∠AED＝∠A'ED＝65°，
∴∠FEA'＝25°，
故答案为：25；
【特例探究】：证明：∵将△ADE沿直线DE折叠后，当点A'恰好落在DF上时，
∴AE＝A'E，∠A＝∠DA'E＝90°，
∴∠B＝∠EA'F＝90°，
∵∠AED+∠BEF＝90°＝∠DEA'+∠FEA'，
∴∠BEF＝∠FEA'，
又∵EF＝EF，
∴△BEF≌△A'EF（AAS），
∴BE＝A'E＝AE，A'F＝BF，
∴AE＝AD，
∵∠AED+∠BEF＝90°＝∠AED+∠ADE，
∴∠BEF＝∠ADE，
∴tan∠ADE＝tan∠BEF＝＝，
∴BE＝2BF，
∴AE＝2A'F；
【深入探究】：∵将△ADE沿直线DE折叠后，当点A'恰好落在DF上时，
∴AE＝A'E，∠A＝∠DA'E＝90°，
∴∠B＝∠EA'F＝90°，
∵∠AED+∠BEF＝90°＝∠DEA'+∠FEA'，
∴∠BEF＝∠FEA'，
又∵EF＝EF，
∴△BEF≌△A'EF（AAS），
∴BE＝A'E＝AE＝AB，A'F＝BF，
∵AD＝mAB，
∴AE＝AD，
∵∠AED+∠BEF＝90°＝∠AED+∠ADE，
∴∠BEF＝∠ADE，
∴tan∠ADE＝tan∠BEF＝＝，
∴BE＝2mBF，
∴AE＝2mA'F；
【拓展探究】：如图4，在BE上截取BF＝BN，连接NF，在A'F上截取FH＝FN，连接EH，
∵四边形ABCD是菱形，∠B＝60°，
∴AB＝AD，∠A＝120°，
∵∠B＝60°，BF＝BN，
∴△BNF是等边三角形，
∴BN＝BF＝NF，∠B＝∠BFN＝∠BNF＝60°，
∴∠ENF＝120°，
设∠BEF＝x，
∵∠DEF＝∠A＝120°，∠B＝60°，
∴∠BFE＝120°﹣x，∠AED＝60﹣x，
∴∠NFE＝60°﹣x，
∵∠DEB＝∠A+∠ADE＝∠DEF+∠BEF，
∴∠ADE＝∠BEF＝x，
∵将△ADE沿直线DE折叠后，当点A'恰好落在DF上时，
∴AE＝A'E，∠A＝∠DA'E＝120°，∠ADE＝∠A'DE＝x，∠DEA＝∠DEA'＝60﹣x，
∴∠EFA'＝60﹣x，
∴∠EFN＝∠EFH，
又∵EF＝EF，FN＝FH，
∴△EFH≌△EFN（SAS），
∴EN＝EH，∠BEF＝∠FEH＝x，
∵∠BEF+∠AED＝60°，
∴∠FEH+∠DEA'＝60°，
∴∠A'EH＝60°，
又∵∠EA'H＝180°﹣∠EA'D＝60°，
∴△A'EH是等边三角形，
∴A'E＝EH＝A'H，
∴设AE＝a＝A'E＝A'H＝EH＝EN，BN＝b，
∴AB＝2a+b＝AD＝A'D，
∵∠A'DE＝∠FEH＝x，∠EFH＝∠DEA'＝60°﹣x，
∴△DEA'∽△EFH，
∴＝，
∴，
∴a＝b+b，（负值舍去），
∴AE＝b+b，A'F＝a+b＝2b+b，
∴A'F＝AE．年龄/岁
13
14
15
16
人数
2
4
3
3