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2023-2024学年广东省深圳市宝安区高二上学期11月调研数学试题含答案
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这是一份2023-2024学年广东省深圳市宝安区高二上学期11月调研数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，未知等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据已知求出，进而即可根据投影向量求出答案.
【详解】由已知可得，，，
所以，向量在向量上的投影向量是.
故选：B.
2．三棱锥中，D为BC的中点，E为AD的中点，若，则=（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用给定的空间向量的基底，结合空间向量的线性运算表示作答.
【详解】三棱锥中，D为BC的中点，E为AD的中点，且，如图，
.
故选：D
3．经过两点的直线的一个方向向量为，则（ ）
A．B．C．D．3
【答案】D
【分析】根据斜率公式求得，结合直线的方向向量的定义，即可求解.
【详解】由点，可得直线的斜率为，
因为经过两点的直线的一个方向向量为，所以.
故选：D.
4．已知直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，且的斜率为，则的斜率为（ ）
A．3或B．3C．或D．
【答案】B
【分析】利用倾斜角与斜率的关系求解.
【详解】设的倾斜角为，由，
即，解得或，
因为，所以，所以，
易得的倾斜角为锐角，所以的斜率为3．
故选:B.
5．设，则“直线与直线平行”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据一般式中两直线平行满足的条件，即可求解.
【详解】若直线与直线平行，则，解得或，
故“直线与直线平行”是“”的必要不充分条件，
故选：B
6．过点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为（ ）
A．或B．或
C．或D．或
【答案】B
【分析】分截距不为0和截距为0两种情况，利用待定系数法求解.
【详解】当截距不为0时，设方程为，将代入，
可得，解得，
故直线方程为，即；
当截距不为0时，设方程为，将代入，
，解得，故直线方程为，即，
故直线方程为或.
故选：B
7．直线，分别过点，它们分别绕点P和Q旋转，但保持平行，那么，它们之间的距离d的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】通过作图分析可知，当且仅当直线与直线，均垂直的时候，它们之间的距离即为，d的最大值，通过分析可以发现旋转是连续变化的，且，可以无限接近直线，因此，且d可以无限接近于0.
【详解】如图所示：
当直线与直线，均不垂直的时候，它们之间的距离即为，
当直线与直线，均垂直的时候，它们之间的距离即为，
所以当且仅当与重合时，d有最大值，
可以发现旋转到一定程度时直线与直线，均无限接近的时候，
d无限趋于0，但注意到直线，平行，且直线是连续旋转的，
因此直线，之间的距离d的取值范围是.
故选：A.
8．两定点A，B的距离为3，动点M满足，则M点的轨迹长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意建立坐标系，由题意可得点M的轨迹方程，进而可得M点的轨迹长．
【详解】以点A为坐标原点，直线AB为x轴，建立直角坐标系，如图，
则，设点，
由，得，化简并整理得：，
于是得点M的轨迹是以点为圆心，2为半径的圆，其周长为，
所以M点的轨迹长为.
故选：A.
二、多选题
9．直线过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线在轴上的截距可能是（ ）
A．3B．0C．D．1
【答案】ABD
【分析】通过讨论直线截距是否为的情况，即可得出结论
【详解】由题意，直线过点，在两坐标轴上的截距的绝对值相等，
当直线的截距为0时，显然满足题意，为：；
当直线的截距不为0时，设横、纵截距分别为，则直线方程为：，
∴，解得：或，
∴直线的纵截距可取.
故选：ABD.
10．已知，直线，与交于点，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，直线在轴上的截距为1
B．不论为何值，直线一定过点
C．点在一个定圆上运动
D．直线与直线关于直线对称
【答案】BC
【分析】A由解析式确定x轴上的截距判断；由方程确定与相互垂直及所过定点坐标判断B、C；根据对称轴为，互换其中一条直线的判断是否与另一直线方程相同判断D.
【详解】当时，直线在x轴上的截距为，故A错误；
直线，当时恒成立，所以恒过定点，故B正确；
因为不论取何值，直线与都互相垂直，且恒过定点，恒过定点，
所以点在以和为直径的端点的圆上运动，故C正确；
将方程中的互换得到，与直线的方程不一致，故 D错误.
故选：BC
11．已知直线，圆，则下列命题正确的是（ ）
A．，点在圆外
B．，使得直线与圆相切
C．当直线与圆相交于PQ时，交点弦的最小值为
D．若在圆上仅存在三个点到直线的距离为1，m的值为
【答案】ACD
【分析】根据点与圆的位置关系判断A，由直线系所过定点在圆内判断B，根据交点弦的性质求解可判断C，根据圆与直线的位置关系判断D.
【详解】将点的坐标代入圆的方程，得，所以点在圆外，故A正确；
整理直线的方程为：，由解得，可知直线过定点，将定点代入圆的方程，可得，所以定点在圆内，则直线与圆一定相交，故B错误；
当圆心与直线所过定点的连线垂直于直线时，交点弦长最小，此时圆心到直线的距离为，由勾股定理知，故C正确；
当圆心到直线的距离为1时，在圆上仅存在三个点到直线的距离为1，即，解得，故D正确.
故选：ACD.
12．下列关于空间向量的命题中，正确的有（ ）
A．直线的方向向量，平面的法向量是，则
B．若是空间的一组基底，则向量也是空间一组基底
C．若非零向量满足，则有
D．若是空间的一组基底，且，则四点共面
【答案】BD
【分析】根据空间向量基本定理，以及直线方向向量与平面法向量的关系判断即可.
【详解】对于A，直线的方向向量，平面的法向量是，此时，所以，故A错误；
对于B，因为是空间的一组基底，所以对于空间中的任意一个向量，存在唯一的实数组，使得，
由空间向量的基本定理可知，向量也是空间一组基底，故B正确；
对于C，若非零向量满足，则与关系不定，有可能平行，故C错误；
对于D，若是空间的一组基底，且，，由空间向量的基本定理可得，四点共面，故D正确.
故选：BD.
三、填空题
13．若a，b为正实数，直线与直线互相垂直，则的最大值为 .
【答案】/0.125
【分析】由直线垂直的条件求得关系，再由基本不等式得最大值．
【详解】由题意，即，
由基本不等式得，所以，当且仅当，即时等号成立．
故答案为：．
14．平行线与间的距离为 ．
【答案】/
【分析】利用平行线间的距离公式计算可得答案.
【详解】将方程两边乘以2，得，
所以两平行线间的距离为．
故答案为：．
15．若圆关于直线对称，则此圆的半径为 ．
【答案】
【分析】即圆心在直线上，代入解出即可求.
【详解】因为圆关于直线对称，
所以圆心在直线上，
得，得，
所以，半径为．
故答案为：．
16．直线被圆截得的最短弦长为 .
【答案】
【分析】求出直线过定点，当时直线被圆截得的最短弦长，从而求出最短弦长.
【详解】直线，即，
令，解得，所以直线恒过点，
又圆的圆心为，半径，
因为，
当时直线被圆截得的最短弦长，
最短弦长为.
故答案为：
四、解答题
17．已知的三个顶点分别为、、．求：
(1)边上的高所在直线的方程；
(2)边上的中线所在直线的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求解边AC所在直线的方程，再根据直线垂直斜率关系求解即可；
（2）求解中点，结合直线垂直的斜率关系求解.
【详解】（1）因为、，
故，边AC所在直线的方程为：，
即为：，由，故
所以AC边上的高所在直线的斜率为，
又，故为：，即；
（2）设AC边上的中点为D，则，即，
故AC边上的中线BD所在直线的方程的斜率为，
故为：，即.
五、未知
18．在直三棱柱中，，分别是，的中点，，，.
(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）根据题意，建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算即可证明线面平行.
（2）根据题意，利用空间向量的夹角的余弦表示，即可得到结果.
【详解】（1）由为直三棱柱，得平面，又，
以的原点，分别为轴，轴，轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由，，且，分别是，的中点，
得，
于是，，
设平面的法向量为，则，取，得，
显然，即平面，而平面，
所以平面.
（2）由（1）可知，平面的一个法向量为，显然轴垂直于平面，
不妨取其法向量为，设二面角所对应的平面角为，
则，
显然二面角为锐二面角，则，即二面角的余弦值为.
六、解答题
19．在平面直角坐标系中，圆C过点，且圆心C在上．
(1)求圆C的方程；
(2)若点D为所求圆上任意一点，定点E的坐标为，求直线DE的中点M的轨迹方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先设出方程，将点坐标代入得到关于参数的方程组，通过解方程组得到参数值，从而确定其方程；
（2）首先设出点M的坐标，利用中点得到点D坐标，代入圆的方程整理化简得到的中点M的轨迹方程.
【详解】（1）由已知可设圆心，又由已知得，
从而有，解得：．
于是圆C的圆心，半径．
所以，圆C的方程为,
（2）设，则由M为线段ED的中点得：，解得，
又点D在圆C：上，
所以有，
化简得：．
故所求的轨迹方程为．
20．如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，点是棱的中点，点是棱上一点．
(1)证明：；
(2)若是棱上靠近点的三等分点，求点到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先证明平面，则有，再证明平面，根据线面垂直的性质即可得证；
（2）以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
【详解】（1）因为底面，底面，
所以，
又平面，
所以平面，
又平面，所以，
因为，点是棱的中点，
所以，
又平面，
所以平面，
又平面，所以；
（2）如图，以点为原点建立空间直角坐标系，
则，
故，
设平面的法向量为，
则，令，则，
所以，
所以点到平面的距离为．
21．已知两圆和，求：
(1)当取何值时两圆外切？
(2)当时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.
【答案】(1)41
(2)；
【分析】（1）求出圆的标准方程，利用两圆外切的性质进行求解即可；
（2）利用两圆的方程作差求出公共弦所在直线的方程，然后利用弦长公式求解即可.
【详解】（1）和,
化简为标准方程分别为：
，
所以，
因为两圆外切，所以，
即，
所以；
（2）当时，，
两圆相减得：，
所以两圆的公共弦所在直线的方程为:，
圆心到直线的距离为，
所以公共弦长为.
22．已知四棱锥的底面是直角梯形，，，底面，且，点为的中点．
(1)求证：平面；
(2)平面内是否存在点，使平面？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证明出平面；
（2）设是平面内一点，由平面得出，可求得、的值，进而可确定点的坐标.
【详解】（1）底面，，．
以为原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
由于．
所以，，，，，，
易知，平面的一个法向量为，
又，，则.
又平面，平面；
（2）存在满足要求，理由如下：
设是平面内一点，
则，，，
若平面，则，，即.
因此，在平面内存在点，使平面．
一、单选题
1．已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据已知求出，进而即可根据投影向量求出答案.
【详解】由已知可得，，，
所以，向量在向量上的投影向量是.
故选：B.
2．三棱锥中，D为BC的中点，E为AD的中点，若，则=（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用给定的空间向量的基底，结合空间向量的线性运算表示作答.
【详解】三棱锥中，D为BC的中点，E为AD的中点，且，如图，
.
故选：D
3．经过两点的直线的一个方向向量为，则（ ）
A．B．C．D．3
【答案】D
【分析】根据斜率公式求得，结合直线的方向向量的定义，即可求解.
【详解】由点，可得直线的斜率为，
因为经过两点的直线的一个方向向量为，所以.
故选：D.
4．已知直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，且的斜率为，则的斜率为（ ）
A．3或B．3C．或D．
【答案】B
【分析】利用倾斜角与斜率的关系求解.
【详解】设的倾斜角为，由，
即，解得或，
因为，所以，所以，
易得的倾斜角为锐角，所以的斜率为3．
故选:B.
5．设，则“直线与直线平行”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据一般式中两直线平行满足的条件，即可求解.
【详解】若直线与直线平行，则，解得或，
故“直线与直线平行”是“”的必要不充分条件，
故选：B
6．过点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为（ ）
A．或B．或
C．或D．或
【答案】B
【分析】分截距不为0和截距为0两种情况，利用待定系数法求解.
【详解】当截距不为0时，设方程为，将代入，
可得，解得，
故直线方程为，即；
当截距不为0时，设方程为，将代入，
，解得，故直线方程为，即，
故直线方程为或.
故选：B
7．直线，分别过点，它们分别绕点P和Q旋转，但保持平行，那么，它们之间的距离d的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】通过作图分析可知，当且仅当直线与直线，均垂直的时候，它们之间的距离即为，d的最大值，通过分析可以发现旋转是连续变化的，且，可以无限接近直线，因此，且d可以无限接近于0.
【详解】如图所示：
当直线与直线，均不垂直的时候，它们之间的距离即为，
当直线与直线，均垂直的时候，它们之间的距离即为，
所以当且仅当与重合时，d有最大值，
可以发现旋转到一定程度时直线与直线，均无限接近的时候，
d无限趋于0，但注意到直线，平行，且直线是连续旋转的，
因此直线，之间的距离d的取值范围是.
故选：A.
8．两定点A，B的距离为3，动点M满足，则M点的轨迹长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意建立坐标系，由题意可得点M的轨迹方程，进而可得M点的轨迹长．
【详解】以点A为坐标原点，直线AB为x轴，建立直角坐标系，如图，
则，设点，
由，得，化简并整理得：，
于是得点M的轨迹是以点为圆心，2为半径的圆，其周长为，
所以M点的轨迹长为.
故选：A.
二、多选题
9．直线过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线在轴上的截距可能是（ ）
A．3B．0C．D．1
【答案】ABD
【分析】通过讨论直线截距是否为的情况，即可得出结论
【详解】由题意，直线过点，在两坐标轴上的截距的绝对值相等，
当直线的截距为0时，显然满足题意，为：；
当直线的截距不为0时，设横、纵截距分别为，则直线方程为：，
∴，解得：或，
∴直线的纵截距可取.
故选：ABD.
10．已知，直线，与交于点，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，直线在轴上的截距为1
B．不论为何值，直线一定过点
C．点在一个定圆上运动
D．直线与直线关于直线对称
【答案】BC
【分析】A由解析式确定x轴上的截距判断；由方程确定与相互垂直及所过定点坐标判断B、C；根据对称轴为，互换其中一条直线的判断是否与另一直线方程相同判断D.
【详解】当时，直线在x轴上的截距为，故A错误；
直线，当时恒成立，所以恒过定点，故B正确；
因为不论取何值，直线与都互相垂直，且恒过定点，恒过定点，
所以点在以和为直径的端点的圆上运动，故C正确；
将方程中的互换得到，与直线的方程不一致，故 D错误.
故选：BC
11．已知直线，圆，则下列命题正确的是（ ）
A．，点在圆外
B．，使得直线与圆相切
C．当直线与圆相交于PQ时，交点弦的最小值为
D．若在圆上仅存在三个点到直线的距离为1，m的值为
【答案】ACD
【分析】根据点与圆的位置关系判断A，由直线系所过定点在圆内判断B，根据交点弦的性质求解可判断C，根据圆与直线的位置关系判断D.
【详解】将点的坐标代入圆的方程，得，所以点在圆外，故A正确；
整理直线的方程为：，由解得，可知直线过定点，将定点代入圆的方程，可得，所以定点在圆内，则直线与圆一定相交，故B错误；
当圆心与直线所过定点的连线垂直于直线时，交点弦长最小，此时圆心到直线的距离为，由勾股定理知，故C正确；
当圆心到直线的距离为1时，在圆上仅存在三个点到直线的距离为1，即，解得，故D正确.
故选：ACD.
12．下列关于空间向量的命题中，正确的有（ ）
A．直线的方向向量，平面的法向量是，则
B．若是空间的一组基底，则向量也是空间一组基底
C．若非零向量满足，则有
D．若是空间的一组基底，且，则四点共面
【答案】BD
【分析】根据空间向量基本定理，以及直线方向向量与平面法向量的关系判断即可.
【详解】对于A，直线的方向向量，平面的法向量是，此时，所以，故A错误；
对于B，因为是空间的一组基底，所以对于空间中的任意一个向量，存在唯一的实数组，使得，
由空间向量的基本定理可知，向量也是空间一组基底，故B正确；
对于C，若非零向量满足，则与关系不定，有可能平行，故C错误；
对于D，若是空间的一组基底，且，，由空间向量的基本定理可得，四点共面，故D正确.
故选：BD.
三、填空题
13．若a，b为正实数，直线与直线互相垂直，则的最大值为 .
【答案】/0.125
【分析】由直线垂直的条件求得关系，再由基本不等式得最大值．
【详解】由题意，即，
由基本不等式得，所以，当且仅当，即时等号成立．
故答案为：．
14．平行线与间的距离为 ．
【答案】/
【分析】利用平行线间的距离公式计算可得答案.
【详解】将方程两边乘以2，得，
所以两平行线间的距离为．
故答案为：．
15．若圆关于直线对称，则此圆的半径为 ．
【答案】
【分析】即圆心在直线上，代入解出即可求.
【详解】因为圆关于直线对称，
所以圆心在直线上，
得，得，
所以，半径为．
故答案为：．
16．直线被圆截得的最短弦长为 .
【答案】
【分析】求出直线过定点，当时直线被圆截得的最短弦长，从而求出最短弦长.
【详解】直线，即，
令，解得，所以直线恒过点，
又圆的圆心为，半径，
因为，
当时直线被圆截得的最短弦长，
最短弦长为.
故答案为：
四、解答题
17．已知的三个顶点分别为、、．求：
(1)边上的高所在直线的方程；
(2)边上的中线所在直线的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求解边AC所在直线的方程，再根据直线垂直斜率关系求解即可；
（2）求解中点，结合直线垂直的斜率关系求解.
【详解】（1）因为、，
故，边AC所在直线的方程为：，
即为：，由，故
所以AC边上的高所在直线的斜率为，
又，故为：，即；
（2）设AC边上的中点为D，则，即，
故AC边上的中线BD所在直线的方程的斜率为，
故为：，即.
五、未知
18．在直三棱柱中，，分别是，的中点，，，.
(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）根据题意，建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算即可证明线面平行.
（2）根据题意，利用空间向量的夹角的余弦表示，即可得到结果.
【详解】（1）由为直三棱柱，得平面，又，
以的原点，分别为轴，轴，轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由，，且，分别是，的中点，
得，
于是，，
设平面的法向量为，则，取，得，
显然，即平面，而平面，
所以平面.
（2）由（1）可知，平面的一个法向量为，显然轴垂直于平面，
不妨取其法向量为，设二面角所对应的平面角为，
则，
显然二面角为锐二面角，则，即二面角的余弦值为.
六、解答题
19．在平面直角坐标系中，圆C过点，且圆心C在上．
(1)求圆C的方程；
(2)若点D为所求圆上任意一点，定点E的坐标为，求直线DE的中点M的轨迹方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先设出方程，将点坐标代入得到关于参数的方程组，通过解方程组得到参数值，从而确定其方程；
（2）首先设出点M的坐标，利用中点得到点D坐标，代入圆的方程整理化简得到的中点M的轨迹方程.
【详解】（1）由已知可设圆心，又由已知得，
从而有，解得：．
于是圆C的圆心，半径．
所以，圆C的方程为,
（2）设，则由M为线段ED的中点得：，解得，
又点D在圆C：上，
所以有，
化简得：．
故所求的轨迹方程为．
20．如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，点是棱的中点，点是棱上一点．
(1)证明：；
(2)若是棱上靠近点的三等分点，求点到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先证明平面，则有，再证明平面，根据线面垂直的性质即可得证；
（2）以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
【详解】（1）因为底面，底面，
所以，
又平面，
所以平面，
又平面，所以，
因为，点是棱的中点，
所以，
又平面，
所以平面，
又平面，所以；
（2）如图，以点为原点建立空间直角坐标系，
则，
故，
设平面的法向量为，
则，令，则，
所以，
所以点到平面的距离为．
21．已知两圆和，求：
(1)当取何值时两圆外切？
(2)当时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.
【答案】(1)41
(2)；
【分析】（1）求出圆的标准方程，利用两圆外切的性质进行求解即可；
（2）利用两圆的方程作差求出公共弦所在直线的方程，然后利用弦长公式求解即可.
【详解】（1）和,
化简为标准方程分别为：
，
所以，
因为两圆外切，所以，
即，
所以；
（2）当时，，
两圆相减得：，
所以两圆的公共弦所在直线的方程为:，
圆心到直线的距离为，
所以公共弦长为.
22．已知四棱锥的底面是直角梯形，，，底面，且，点为的中点．
(1)求证：平面；
(2)平面内是否存在点，使平面？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证明出平面；
（2）设是平面内一点，由平面得出，可求得、的值，进而可确定点的坐标.
【详解】（1）底面，，．
以为原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
由于．
所以，，，，，，
易知，平面的一个法向量为，
又，，则.
又平面，平面；
（2）存在满足要求，理由如下：
设是平面内一点，
则，，，
若平面，则，，即.
因此，在平面内存在点，使平面．
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