专题22圆锥曲线性质-原卷版

这是一份专题22圆锥曲线性质-原卷版，共13页。试卷主要包含了平面几何助力定值与定圆，搭建参数函数寻找参数范围，建立几何量函数探求最值，细儿数字运算与解方程组，建立动圆方程寻找定点坐标，强化运算技甫与挖掘意识，新几何量先求右证苒判断，强化练习等内容，欢迎下载使用。
动点轨迹问题是圆锥曲线中最常见的问题,简单的可利用待定系数法解决,只给出几何条件的可用“建设限代化法”(即“建”立坐标系,“设”点坐标,列动点“限”制条件,“代”人基本公式化为方程,“化”简并验证)解决,另外还有交轨法、参数法等.把几何条件代数化的过程中思维受阻,就会产生痛点.
圆锥曲线性质研究的特征是“算”,一般而言,对于解答题易采取“繁算”,而对于选择题或填空题易采取“简算”或“估算”.简算的途径有:设而不求,合理引参;回归定义,借助平几;逆向思考,逐次更替;涉及中点,点差为宜;面积最值,巧设变元;整体化简,瞄准主元.面对圆锥曲线问题,既要有繁算的运算能力,又要有探究简算途径的能力.圆锥曲线的性质有很多,对于轨迹问题、参数范围问题、最值问题、存在性问题、面积问题等,解决的基本方法也很多,只有掌握诸如待定系数法、定义法、相关点法、点差法等才能解决问题,而上述问题求解中学生普遍暴露出对这些方法的运用缺少自觉性.
一、平面几何助力定值与定圆
圆锥曲线问题中形成的定值定点问题比较多,偶尔也会有定圆之类的题,既然是“定”,就是不变量,在变动的条件下形成不变的东西,找到即可,如果找不到,痛点就会产生.
问题如图1,已知椭圆上一点,是椭圆的两个焦点,过作椭圆在点处切线的垂线,垂足分别为.
(I)求证:点在定圆上;
(II)求证:为定值.
图1
二、搭建参数函数寻找参数范围
在圆锥曲线中常常以求参数范围为目标,参数可以是方程中的某一个要素,也可以是直线的斜率、截距、动点的坐标等,一般解决方法是构建参数函数,自变量可能很容易选择,也可能隐藏在题意之中;如果无法建立参数函数,或者找不到参数函数的定义域或值域,必然导致思维受阻,产生痛点.
问题2:已知抛物线上一点到焦点的距离为2.
(I)求的值与抛物线的方程;
(II)抛物线上第一象限内的动点在点右侧,抛物线上第四象限内的动点满足,求直线斜率的范围.
三、建立几何量函数探求最值
圆锥曲线中的最值问题可能是某一参数的最值,也可能是某一图形面积的最值,寻找相关量的函数才能找到问题的解,但是在建立函数的过程中,由于代数结构复杂容易产生痛点.
问题3:设点,直线相交于点,且它们的斜率之积为.
(I)求动点的轨迹的方程;
(II)直线过点且绕点旋转,与圆相交于两点,与轨迹相交于两点,若,求面积的最大值和最小值(点为轨迹的左焦点).
四、细儿数字运算与解方程组
问题4:已知椭圆及圆,过椭圆的左顶点且与圆相切于点的直线交椭圆于点,点与椭圆的右焦点的连线交椭圆于点.
(I)当为椭圆的通径(过焦点且与轴垂直的弦)时,求圆的面积;
(II)当三点共线时,求实数的值.
五、建立动圆方程寻找定点坐标
数学解题过程实际就是一个不断选择“思维道路”的过程,“思维道路”的基础是学生拥有的知识与能力,以及选择意识.事实上,大多数人拥有解题所需的数学知识与能力,缺少的是“选择意识”.解题时要运用下列策略.
(1)审题时,要充分挖掘题设条件,搞清楚要解决什么问题.
(2)运算时,每一步都要准确,否则影响后续计算.要做到数字运算时,计算不出错;字母运算时,推理无障碍.
(3)推理时,等价转化有理有据,面对代数式等,处处判断结构、步步判断结构、等价转化结构,把结构中的信息挖掘出来并运用好.
问题5:已知抛物线经过点.
(I)求抛物线的方程及其准线方程;
（II)设为原点,过抛物线的焦点作斜率不为0的直线,交抛物线于两点,直线分别交直线于点,求证:以为直径的圆经过轴上的两个定点.
六、强化运算技甫与挖掘意识
圆锥曲线问题求解离不开运算技术与挖掘意识,两者缺一不可,否则出错是不可避免的.
问题6:已知椭圆的左焦点为,点在椭圆上且在轴的上方,若线段的中点在以原点为圆心,为半径的圆上,则直线的斜率是
七、新几何量先求右证苒判断
解圆锥曲线题没有逻辑推理是不可想象的,可把逻辑推理比喻成圆锥曲线的“命根子”.复杂圆锥曲线问题的逻辑推理与运算推理过程是“漫长”的,很多学生两三步就想获得成功的意识很强,这是不可能的.只有逻辑推理能力,无运算能力也是不可想象的,运算能力是基本功,而且是“童子功”,缺少这方面的功底也无法解决问题.为突破圆锥曲线性质问题,重在方程与不等式的求解能力,它是一种综合能力,与记忆力、理解力、数学思维能力紧密相连,相互渗透,相互支撑.在数学教学中,教师应在设计问题、组织内容上下功夫,让学生亲身经历知识的形成过程,把死的知识讲活,遵循学生的认知规律,深化学生对方程与不等式知识的认识和理解,培养学生解决方程与不等式问题的能力.
问题7:已知抛物线方程为焦点,为抛物线准线上一点,为线段与抛物线的交点,定义:.
(I)当时,求;
(II)证明:存在常数,使得;
(III)为抛物线准线上的三点,且,判断与的大小关系.
八、强化练习
若椭圆或双曲线上存在点,使得点到两个焦点的距离之比为,则称此椭圆或双曲线存在“”点,下列曲线中存在“”点的是
A.B.C.D.
已知点和抛物线,过抛物线的焦点且斜率为的直线与抛物线交于两点.若,则的面积为
已知椭圆的左顶点为,过点作两条弦,分别交椭圆于两点,直线,的斜率分别记为,满足,则直线经过的定点为
已知抛物线,定点为抛物线上任意一点,点在线段上,且有,当点在抛物线上变动时,点的轨迹方程是,这个轨迹为曲线.
已知椭圆过点,且椭圆的左焦点为.
(I)求椭圆的方程;
(II)若过点的动直线与椭圆相交于两个不同点,在线段上取点,满足,证明:点总在某定直线上.
6.设椭圆中心在坐标原点,是它的两个顶点,直线与相交于点,与椭圆相交于两点,则四边形面积的最大值是
7.已知直角坐标平面上的点和圆,动点到圆的切线长与的比等于常数,则动点的轨迹方程是,它表示曲线.
8.圆锥曲线上任意两点连成的线段称为弦,若圆锥曲线上的一条弦垂直于其对称轴,我们将该弦称为曲线的垂轴弦.已知点是圆锥曲线上不与顶点重合的任意两点,是垂直于轴的一条垂轴弦,直线分别交轴于点.
(I)试用含的代数式分别表示和.
(II)若的方程为(如图),求证:是与和点位置无关的定值.
(III)请选定一条除椭圆外的圆锥曲线,试探究和经过某种四则运算(加、减、乘、除),其结果是否是与和点位置无关的定值?写出你的研
第8题图究结论并证明.