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2023-2024学年广东省佛山市南海区大沥高级中学高二上学期阶段检测一数学试题含答案
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这是一份2023-2024学年广东省佛山市南海区大沥高级中学高二上学期阶段检测一数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知两个向量，，且，则的值为（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】C
【分析】由，可知，使，利用向量的数乘运算及向量相等即可得解.
【详解】∵，∴，使，得，解得：，所以
故选：C
【点睛】思路点睛：在解决有关平行的问题时，通常需要引入参数，如本题中已知，引入参数，使，转化为方程组求解；本题也可以利用坐标成比例求解，即由，得，求出m，n.
2．从5人中选出2人担任正、副班长，则样本点个数为（ ）
A．10B．15C．20D．25
【答案】C
【分析】先把5人标记为A，B，C，D，E，把所有的组合例举出来，计数即可得解.
【详解】把5人分别记为A，B，C，D，E，用x表示正班长，y表示副班长，
则样本点用(x，y)表示，
∴Ω＝{(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，A)，(B，C)，(B，D)，
(B，E)，(C，A)，(C，B)，(C，D)，(C，E)，(D，A)，(D，B)，
(D，C)，(D，E)，(E，A)，(E，B)，(E，C)，(E，D)}，
故共有20个样本点．
故选：C
3．作为常态化疫情防控措施，很多公共场所要求进入的人员必须佩戴口罩，某家庭成员3人在一次外出时需要从蓝、白、红、黑、绿5种颜色的口罩中随机选3只不同颜色的口罩，则蓝、白口罩同时被选中的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先列举基本事件，再利用古典概型的概率公式求解.
【详解】从蓝、白、红、黑、绿5种颜色的口罩中选3只不同颜色的口罩，基本事件列举如下：（蓝白红），（蓝白黑），（蓝白绿），（蓝红黑），（蓝红绿），（蓝黑绿），（白红黑），（白红绿），（白黑绿），（红黑绿），共有10个基本事件，其中蓝、白口罩同时被选中的基本事件有（蓝白红），（蓝白黑），（蓝白绿），共含3个基本事件，
所以蓝、白口罩同时被选中的概率为．
故选：D
4．已知空间向量， ，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求，再求模．
【详解】∵， ，
∴，∴．
故选：D．
【点睛】本题考查空间向量模的坐标运算，掌握空间向量模的坐标运算公式是解题基础．
5．某人有4把钥匙，其中2把能打开门，如果随即地取一把钥匙试着开门，把不能开门的钥匙扔掉，那么第二次才能打开门的概率有多大？（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由古典概型概率计算公式结合乘法公式即可求解.
【详解】根据题意，第二次才能打开门，说明第一次没有打开门，故第一次没有打开门的概率为，
把没有打开门的钥匙扔掉，故剩下3把钥匙，所以此时能打开门的概率是，
故第二次才能打开门的概率是．
故选：B．
6．甲､乙两人独立地破译某个密码，如果每人译出密码得概率均为0.3，则密码被破译的概率为（ ）
A．0.09B．0.42C．0.51D．0.6
【答案】C
【分析】甲乙都不能译出密码得概率为，密码被破译的概率为，得到答案.
【详解】甲乙都不能译出密码得概率为，
故密码被破译的概率为.
故选：C
7．袋子中有大小、形状、质地完全相同的4个小球，分别写有“风”、“展”、“红”、“旗”四个字，若有放回地从袋子中任意摸出一个小球，直到写有“红”、“旗”的两个球都摸到就停止摸球.利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数，用1，2，3，4分别代表“风”、“展”、“红”、“旗”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下20组随机数：
411 231 324 412 112 443 213 144 331 123
114 142 111 344 312 334 223 122 113 133
由此可以估计，恰好在第三次就停止摸球的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用列举法求出恰好在第三次就停止摸球的随机数有3个，再利用古典概型的概率求解.
【详解】由题得恰好在第三次就停止摸球的随机数有：324，443，334，共有3个.
由古典概型的概率公式得恰好在第三次就停止摸球的概率为.
故选：B
8．已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于a，点E、F分别是、的中点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据向量的线性运算运算律可得，在根据数量积的定义求其值.
【详解】由题意，和之间夹角均为，结合平面向量线性运算有
故选：C
二、多选题
9．已知空间向量=（1，－1，2），则下列说法正确的是（ ）
A．
B．向量与向量=（2，2，－4）共线
C．向量关于x轴对称的向量为（1，1，－2）
D．向量关于yOz平面对称的向量为（－1，1，－2）
【答案】AC
【分析】根据空间向量的模、共线、对称等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.
【详解】，A选项正确.
，所以不共线，B选项错误.
向量关于x轴对称的向量，不变，和变为相反数，
即向量关于x轴对称的向量为，C选项正确.
向量关于yOz平面对称的向量，和不变，变为相反数，
即向量关于yOz平面对称的向量为，D选项错误.
故选：AC
10．若，则下列说法正确的是（ ）
A．B．事件与不互斥
C．事件与相互独立D．事件与不一定相互独立
【答案】BC
【分析】利用对立事件概率和为可判断错误；根据互斥事件不可能同时发生，可判断正确；根据相互独立事件的定义和性质，可以判断正确，错误.
【详解】故错误；
又所以事件与不互斥，故正确；
则事件与相互独立，故正确；
因为事件与相互独立，所以事件与一定相互独立，故错误.
故选：
11．甲、乙两队进行排球比赛，采取五局三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束）．根据前期比赛成绩可知在每一局比赛中，甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为．若前两局中乙队以2：0领先，则（ ）
A．甲队获胜的概率为B．乙队以3：0获胜的概率为
C．乙队以3：1获胜的概率为D．乙队以3：2获胜的概率为
【答案】AB
【分析】由概率的乘法公式对选项逐一判断，
【详解】对于A，在乙队以2：0领先的前提下，若甲队获胜则第三、四、五局均为甲队获胜，所以甲队获胜的概率为，故A正确；
对于B，乙队以3：0获胜，即第三局乙获胜，概率为，故B正确；
对于C，乙队以3：1获胜，即第三局甲获胜，第四局乙获胜，概率为，故C错误；
对于D，若乙队以3：2获胜，则第五局为乙队获胜，第三、四局乙队输，所以乙队以3：2获胜的概率为，故D错误．
故选：AB
12．如图，已知正方体的棱长为2，分别为的中点，以下说法正确的是（ ）
A．三棱锥的体积为
B．平面
C．过点作正方体的截面，所得截面的面积是
D．异面直线与所成的角的余弦值为
【答案】ABC
【分析】对于A直接计算即可；对于B,D选项以DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，结合空间向量计算即可；对于C，作中点N，的中点M，的中点T，连接GN，GM，FM，TN，ET，计算面积即可.
【详解】
对于A，，故A正确；
对于B，以DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，，，，，，，，
则，，，，，，
则平面EFG，B正确；
对于C，作中点N，的中点M，的中点T，连接GN，GM，FM，TN，ET，则正六边形EFMGNT为对应截面面积，正六边形边长为，则截面面积为：，故C正确；
对于D，，，，故D错误．
故选:ABC.
三、填空题
13．去年，相关部门对某城市“五朵金花”之一的某景区在“十一”黄金周中每天的游客人数作了统计，其频率分布如下表所示：
已知10月1日这天该景区的营业额约为8万元，假定这七天每天游客人均消费相同，则这个黄金周该景区游客人数最多的那一天的营业额约为 万元.
【答案】48
【解析】根据频率的意义,可知每天的营业额与频率成比例,即可求得最高一天的营业额.
【详解】根据表格可知,10月1日这天的频率为0.05,营业额为8万;频率最高的为10月5日,频率为0.30.
设这个黄金周10月5日的营业额约为x万元.
由
得,则游客人数最多的那一天的营业额约为48万元.
故答案为:48
【点睛】本题考查了频率的意义,属于基础题.
14．已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，且，那么
【答案】
【分析】根据向量垂直的坐标运算即可求解.
【详解】由于，所以直线的方向向量与平面法向量互相垂直，故，
故答案为：
15．已知平面的法向量为，向量在平面内的投影向量的长度为 ．
【答案】/
【分析】先求出，进而可求出直线与平面的夹角大小，进而可求得向量在平面内的投影向量的长度．
【详解】因为平面的法向量为，向量，所以，
设直线与平面所成角为，所以，
因为，所以．
所以向量在平面内的投影向量的长度为．
故答案为：．
16．如图，在三棱锥，为等边三角形，为等腰直角三角形，，平面平面，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 ．
【答案】
【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，结合为等腰直角三角形，求得向量的坐标，利用向量的夹角公式，即可求解．
【详解】取得中点，连接，，因为，所以.
因为平面平面，平面平面.
所以平面，又因为，所以，于是以为坐标原点，
建立如图所示的空间直角坐标系，结合为等腰直角三角形，,为等边三角形，则，，，，
所以，，
所以 ，
故异面直线与所成角的余弦值为.
【点睛】本题主要考查了利用空间向量求解异面直线所成的角，其中解答中根据几何体的结构特征，建立适当的空间直角坐标系，利用向量的夹角公式求解是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力．
四、解答题
17．在空间直角坐标系中，已知点，，．
(1)若A，B，C三点共线，求a和b的值；
(2)已知，，且A，B，C，D四点共面，求a的值．
【答案】(1)，；
(2).
【分析】（1）根据向量共线的坐标关系结合条件即得；
（2）根据共面向量基本定理可得存在，使，然后结合条件即得.
【详解】（1）由题可得，，
∵A，B，C三点共线，
∴，存在，，
即，
∴，解得，
∴，；
（2）因为，，，
∵A，B，C，D四点共面，
∴，，共面，
∵，由（1）知A，B，C三点不共线，
∴存在，使，
即，
∴，解得，
所以．
18．某两个班的100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是．
(1)求语文成绩在内的学生人数．
(2)如果将频率视为概率，根据频率分布直方图，估计语文成绩不低于112分的概率．
(3)若语文成绩在内的学生中有2名女生，其余为男生．现从语文成绩在内的学生中随机抽取2人背诵课文，求抽到的是1名男生和1名女生的概率．
【答案】(1)5
(2)0.21
(3)．
【分析】（1）利用频率分布直方图中，频率和为求出，即可求出语文成绩在内的学生人数；
（2）直接利用频率分布直方图求概率；
（3）利用古典概型的概率公式直接求解.
【详解】（1）由频率分布直方图，知，解得，
语文成绩在内的学生人数为．
（2）由频率分布直方图，知语文成绩不低于112分的概率．
（3）由频率分布直方图，知语文成绩在内的学生有人，其中女生2名，男生3名，分别记2名女生为A，B，3名男生为a，b，c.
样本空间为，其中抽到1名男生和1名女生的情况有，
所以抽到的是1名男生和1名女生的概率为．
19．如图，在平行六面体中，，，，，，是的中点，设，，.
(1)用，，表示；
(2)求的长.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）由向量的首尾相连原则及图形可得答案；
（2）由（1）及计算模公式可得答案.
【详解】（1）由图形及向量相加的首尾相连原则，；
（2）由题可得，.
则
，则，即的长为.
20．近期九江市各部门掀起创建文明城市高潮，为增强师生创建全国文明城市意识，某校组织了一次教师创建全国文明城市知识考核，每位教师必需参加且最多参加次考核，一旦第一次考核通过则不再参加第二次考核，次考核未通过的教师将被扣除文明积分．已知教师甲每次考核通过的概率为，教师乙每次考核通过的概率为，且甲乙每次是否通过相互独立．
(1)求甲通过考核的概率；
(2)求甲乙两人考核的次数和为的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分别求得甲第一次和第二次考核通过的概率，加和即可求得结果；
（2）分为甲考核次，乙考核次和甲考核次，乙考核次的情况，结合独立事件概率公式可求得结果.
【详解】（1）甲第一次考核通过的概率，甲第二次考核通过的概率为，
甲通过考核的概率为．
（2）甲考核次，乙考核次的概率；
甲考核次，乙考核次的概率；
甲乙两人的考核次数和为的概率.
21．如图，四棱锥的底面是正方形，平面，，为中点
(1)求；
(2)求钝二面角余弦值的大小；
(3)求点到平面的距离.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出的坐标，再根据两向量夹角余弦公式求得结果；
（2）分别求出平面与平面的法向量, 设二面角的大小，再求得；
（3）根据距离公式求得结果.
【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，.
（2）得，，
设平面的法向量为，则，即，
故平面的法向量可取为，
平面的法向量可取为，
设二面角的大小，依题意可得.
所以钝二面角余弦值的大小为.
（3）由（2）知平面的法向量，∵，∴到面的距离为.
22．如图，四面体中，，，，为的中点．
(1)证明：平面；
(2)设，，，点在上，若与平面所成的角的正弦值为，求此时点的位置．
【答案】(1)证明见解析
(2)为的四等分点且靠近点位置
【分析】（1）根据已知关系有得到，结合等腰三角形性质得到垂直关系，结合线面垂直的判定即可证明；
（2）根据已知求证、、两两垂直，从而建立空间直角坐标系，结合线面角的运算法则进行计算即可.
【详解】（1）因为，为的中点，所以，
在和中，
所以，所以，又为的中点，
所以，又平面，，
所以平面.
（2）因为，则，，
由且，所以是等边三角形，
由且，为的中点，
所以，在等腰直角中，则，
故，又且，
以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，所以，，
设面的一个法向量为，则，取，则，
又，，
设，，
所以，
设与平面所成的角的正弦值为，
因为，
所以，
所以，解得，
所以为的四等分点且靠近点位置.
时间
10月1日
10月2日
10月3日
10月4日
10月5日
10月6日
10月7日
频率
0.05
0.08
0.09
0.13
0.30
0.15
0.20
一、单选题
1．已知两个向量，，且，则的值为（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】C
【分析】由，可知，使，利用向量的数乘运算及向量相等即可得解.
【详解】∵，∴，使，得，解得：，所以
故选：C
【点睛】思路点睛：在解决有关平行的问题时，通常需要引入参数，如本题中已知，引入参数，使，转化为方程组求解；本题也可以利用坐标成比例求解，即由，得，求出m，n.
2．从5人中选出2人担任正、副班长，则样本点个数为（ ）
A．10B．15C．20D．25
【答案】C
【分析】先把5人标记为A，B，C，D，E，把所有的组合例举出来，计数即可得解.
【详解】把5人分别记为A，B，C，D，E，用x表示正班长，y表示副班长，
则样本点用(x，y)表示，
∴Ω＝{(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，A)，(B，C)，(B，D)，
(B，E)，(C，A)，(C，B)，(C，D)，(C，E)，(D，A)，(D，B)，
(D，C)，(D，E)，(E，A)，(E，B)，(E，C)，(E，D)}，
故共有20个样本点．
故选：C
3．作为常态化疫情防控措施，很多公共场所要求进入的人员必须佩戴口罩，某家庭成员3人在一次外出时需要从蓝、白、红、黑、绿5种颜色的口罩中随机选3只不同颜色的口罩，则蓝、白口罩同时被选中的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先列举基本事件，再利用古典概型的概率公式求解.
【详解】从蓝、白、红、黑、绿5种颜色的口罩中选3只不同颜色的口罩，基本事件列举如下：（蓝白红），（蓝白黑），（蓝白绿），（蓝红黑），（蓝红绿），（蓝黑绿），（白红黑），（白红绿），（白黑绿），（红黑绿），共有10个基本事件，其中蓝、白口罩同时被选中的基本事件有（蓝白红），（蓝白黑），（蓝白绿），共含3个基本事件，
所以蓝、白口罩同时被选中的概率为．
故选：D
4．已知空间向量， ，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求，再求模．
【详解】∵， ，
∴，∴．
故选：D．
【点睛】本题考查空间向量模的坐标运算，掌握空间向量模的坐标运算公式是解题基础．
5．某人有4把钥匙，其中2把能打开门，如果随即地取一把钥匙试着开门，把不能开门的钥匙扔掉，那么第二次才能打开门的概率有多大？（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由古典概型概率计算公式结合乘法公式即可求解.
【详解】根据题意，第二次才能打开门，说明第一次没有打开门，故第一次没有打开门的概率为，
把没有打开门的钥匙扔掉，故剩下3把钥匙，所以此时能打开门的概率是，
故第二次才能打开门的概率是．
故选：B．
6．甲､乙两人独立地破译某个密码，如果每人译出密码得概率均为0.3，则密码被破译的概率为（ ）
A．0.09B．0.42C．0.51D．0.6
【答案】C
【分析】甲乙都不能译出密码得概率为，密码被破译的概率为，得到答案.
【详解】甲乙都不能译出密码得概率为，
故密码被破译的概率为.
故选：C
7．袋子中有大小、形状、质地完全相同的4个小球，分别写有“风”、“展”、“红”、“旗”四个字，若有放回地从袋子中任意摸出一个小球，直到写有“红”、“旗”的两个球都摸到就停止摸球.利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数，用1，2，3，4分别代表“风”、“展”、“红”、“旗”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下20组随机数：
411 231 324 412 112 443 213 144 331 123
114 142 111 344 312 334 223 122 113 133
由此可以估计，恰好在第三次就停止摸球的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用列举法求出恰好在第三次就停止摸球的随机数有3个，再利用古典概型的概率求解.
【详解】由题得恰好在第三次就停止摸球的随机数有：324，443，334，共有3个.
由古典概型的概率公式得恰好在第三次就停止摸球的概率为.
故选：B
8．已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于a，点E、F分别是、的中点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据向量的线性运算运算律可得，在根据数量积的定义求其值.
【详解】由题意，和之间夹角均为，结合平面向量线性运算有
故选：C
二、多选题
9．已知空间向量=（1，－1，2），则下列说法正确的是（ ）
A．
B．向量与向量=（2，2，－4）共线
C．向量关于x轴对称的向量为（1，1，－2）
D．向量关于yOz平面对称的向量为（－1，1，－2）
【答案】AC
【分析】根据空间向量的模、共线、对称等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.
【详解】，A选项正确.
，所以不共线，B选项错误.
向量关于x轴对称的向量，不变，和变为相反数，
即向量关于x轴对称的向量为，C选项正确.
向量关于yOz平面对称的向量，和不变，变为相反数，
即向量关于yOz平面对称的向量为，D选项错误.
故选：AC
10．若，则下列说法正确的是（ ）
A．B．事件与不互斥
C．事件与相互独立D．事件与不一定相互独立
【答案】BC
【分析】利用对立事件概率和为可判断错误；根据互斥事件不可能同时发生，可判断正确；根据相互独立事件的定义和性质，可以判断正确，错误.
【详解】故错误；
又所以事件与不互斥，故正确；
则事件与相互独立，故正确；
因为事件与相互独立，所以事件与一定相互独立，故错误.
故选：
11．甲、乙两队进行排球比赛，采取五局三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束）．根据前期比赛成绩可知在每一局比赛中，甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为．若前两局中乙队以2：0领先，则（ ）
A．甲队获胜的概率为B．乙队以3：0获胜的概率为
C．乙队以3：1获胜的概率为D．乙队以3：2获胜的概率为
【答案】AB
【分析】由概率的乘法公式对选项逐一判断，
【详解】对于A，在乙队以2：0领先的前提下，若甲队获胜则第三、四、五局均为甲队获胜，所以甲队获胜的概率为，故A正确；
对于B，乙队以3：0获胜，即第三局乙获胜，概率为，故B正确；
对于C，乙队以3：1获胜，即第三局甲获胜，第四局乙获胜，概率为，故C错误；
对于D，若乙队以3：2获胜，则第五局为乙队获胜，第三、四局乙队输，所以乙队以3：2获胜的概率为，故D错误．
故选：AB
12．如图，已知正方体的棱长为2，分别为的中点，以下说法正确的是（ ）
A．三棱锥的体积为
B．平面
C．过点作正方体的截面，所得截面的面积是
D．异面直线与所成的角的余弦值为
【答案】ABC
【分析】对于A直接计算即可；对于B,D选项以DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，结合空间向量计算即可；对于C，作中点N，的中点M，的中点T，连接GN，GM，FM，TN，ET，计算面积即可.
【详解】
对于A，，故A正确；
对于B，以DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，，，，，，，，
则，，，，，，
则平面EFG，B正确；
对于C，作中点N，的中点M，的中点T，连接GN，GM，FM，TN，ET，则正六边形EFMGNT为对应截面面积，正六边形边长为，则截面面积为：，故C正确；
对于D，，，，故D错误．
故选:ABC.
三、填空题
13．去年，相关部门对某城市“五朵金花”之一的某景区在“十一”黄金周中每天的游客人数作了统计，其频率分布如下表所示：
已知10月1日这天该景区的营业额约为8万元，假定这七天每天游客人均消费相同，则这个黄金周该景区游客人数最多的那一天的营业额约为 万元.
【答案】48
【解析】根据频率的意义,可知每天的营业额与频率成比例,即可求得最高一天的营业额.
【详解】根据表格可知,10月1日这天的频率为0.05,营业额为8万;频率最高的为10月5日,频率为0.30.
设这个黄金周10月5日的营业额约为x万元.
由
得,则游客人数最多的那一天的营业额约为48万元.
故答案为:48
【点睛】本题考查了频率的意义,属于基础题.
14．已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，且，那么
【答案】
【分析】根据向量垂直的坐标运算即可求解.
【详解】由于，所以直线的方向向量与平面法向量互相垂直，故，
故答案为：
15．已知平面的法向量为，向量在平面内的投影向量的长度为 ．
【答案】/
【分析】先求出，进而可求出直线与平面的夹角大小，进而可求得向量在平面内的投影向量的长度．
【详解】因为平面的法向量为，向量，所以，
设直线与平面所成角为，所以，
因为，所以．
所以向量在平面内的投影向量的长度为．
故答案为：．
16．如图，在三棱锥，为等边三角形，为等腰直角三角形，，平面平面，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 ．
【答案】
【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，结合为等腰直角三角形，求得向量的坐标，利用向量的夹角公式，即可求解．
【详解】取得中点，连接，，因为，所以.
因为平面平面，平面平面.
所以平面，又因为，所以，于是以为坐标原点，
建立如图所示的空间直角坐标系，结合为等腰直角三角形，,为等边三角形，则，，，，
所以，，
所以 ，
故异面直线与所成角的余弦值为.
【点睛】本题主要考查了利用空间向量求解异面直线所成的角，其中解答中根据几何体的结构特征，建立适当的空间直角坐标系，利用向量的夹角公式求解是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力．
四、解答题
17．在空间直角坐标系中，已知点，，．
(1)若A，B，C三点共线，求a和b的值；
(2)已知，，且A，B，C，D四点共面，求a的值．
【答案】(1)，；
(2).
【分析】（1）根据向量共线的坐标关系结合条件即得；
（2）根据共面向量基本定理可得存在，使，然后结合条件即得.
【详解】（1）由题可得，，
∵A，B，C三点共线，
∴，存在，，
即，
∴，解得，
∴，；
（2）因为，，，
∵A，B，C，D四点共面，
∴，，共面，
∵，由（1）知A，B，C三点不共线，
∴存在，使，
即，
∴，解得，
所以．
18．某两个班的100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是．
(1)求语文成绩在内的学生人数．
(2)如果将频率视为概率，根据频率分布直方图，估计语文成绩不低于112分的概率．
(3)若语文成绩在内的学生中有2名女生，其余为男生．现从语文成绩在内的学生中随机抽取2人背诵课文，求抽到的是1名男生和1名女生的概率．
【答案】(1)5
(2)0.21
(3)．
【分析】（1）利用频率分布直方图中，频率和为求出，即可求出语文成绩在内的学生人数；
（2）直接利用频率分布直方图求概率；
（3）利用古典概型的概率公式直接求解.
【详解】（1）由频率分布直方图，知，解得，
语文成绩在内的学生人数为．
（2）由频率分布直方图，知语文成绩不低于112分的概率．
（3）由频率分布直方图，知语文成绩在内的学生有人，其中女生2名，男生3名，分别记2名女生为A，B，3名男生为a，b，c.
样本空间为，其中抽到1名男生和1名女生的情况有，
所以抽到的是1名男生和1名女生的概率为．
19．如图，在平行六面体中，，，，，，是的中点，设，，.
(1)用，，表示；
(2)求的长.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）由向量的首尾相连原则及图形可得答案；
（2）由（1）及计算模公式可得答案.
【详解】（1）由图形及向量相加的首尾相连原则，；
（2）由题可得，.
则
，则，即的长为.
20．近期九江市各部门掀起创建文明城市高潮，为增强师生创建全国文明城市意识，某校组织了一次教师创建全国文明城市知识考核，每位教师必需参加且最多参加次考核，一旦第一次考核通过则不再参加第二次考核，次考核未通过的教师将被扣除文明积分．已知教师甲每次考核通过的概率为，教师乙每次考核通过的概率为，且甲乙每次是否通过相互独立．
(1)求甲通过考核的概率；
(2)求甲乙两人考核的次数和为的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分别求得甲第一次和第二次考核通过的概率，加和即可求得结果；
（2）分为甲考核次，乙考核次和甲考核次，乙考核次的情况，结合独立事件概率公式可求得结果.
【详解】（1）甲第一次考核通过的概率，甲第二次考核通过的概率为，
甲通过考核的概率为．
（2）甲考核次，乙考核次的概率；
甲考核次，乙考核次的概率；
甲乙两人的考核次数和为的概率.
21．如图，四棱锥的底面是正方形，平面，，为中点
(1)求；
(2)求钝二面角余弦值的大小；
(3)求点到平面的距离.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出的坐标，再根据两向量夹角余弦公式求得结果；
（2）分别求出平面与平面的法向量, 设二面角的大小，再求得；
（3）根据距离公式求得结果.
【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，.
（2）得，，
设平面的法向量为，则，即，
故平面的法向量可取为，
平面的法向量可取为，
设二面角的大小，依题意可得.
所以钝二面角余弦值的大小为.
（3）由（2）知平面的法向量，∵，∴到面的距离为.
22．如图，四面体中，，，，为的中点．
(1)证明：平面；
(2)设，，，点在上，若与平面所成的角的正弦值为，求此时点的位置．
【答案】(1)证明见解析
(2)为的四等分点且靠近点位置
【分析】（1）根据已知关系有得到，结合等腰三角形性质得到垂直关系，结合线面垂直的判定即可证明；
（2）根据已知求证、、两两垂直，从而建立空间直角坐标系，结合线面角的运算法则进行计算即可.
【详解】（1）因为，为的中点，所以，
在和中，
所以，所以，又为的中点，
所以，又平面，，
所以平面.
（2）因为，则，，
由且，所以是等边三角形，
由且，为的中点，
所以，在等腰直角中，则，
故，又且，
以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，所以，，
设面的一个法向量为，则，取，则，
又，，
设，，
所以，
设与平面所成的角的正弦值为，
因为，
所以，
所以，解得，
所以为的四等分点且靠近点位置.
时间
10月1日
10月2日
10月3日
10月4日
10月5日
10月6日
10月7日
频率
0.05
0.08
0.09
0.13
0.30
0.15
0.20
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