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河南省洛阳市西工区2023-—2024学年八年级上学期期中数学试卷
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这是一份河南省洛阳市西工区2023-—2024学年八年级上学期期中数学试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列图形中，是轴对称图形的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（3分）在下列长度的各组线段中，能组成三角形的是（ ）
A．5，5，10B．1，4，9C．5，12，6D．3，4，5
3．（3分）如图，下列角中是△ACD的外角的是（ ）
A．∠EADB．∠BACC．∠ACBD．∠CAE
4．（3分）如图，已知∠C＝∠D＝90°，有四个可添加的条件：①AC＝BD；②BC＝AD；③∠CAB＝∠DBA；④∠CBA＝∠DAB．能使△ABC≌△BAD的条件有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．（3分）在平面直角坐标系中，点P与点M关于y轴对称，点N与点M关于x轴对称，若点P的坐标为（﹣2，3），则点N的坐标为（ ）
A．（﹣3，2）B．（2，3）C．（2，﹣3）D．（﹣2，﹣3）
6．（3分）已知a、b、c是△ABC的三条边长，化简|a+b﹣c|﹣|c﹣a﹣b|的结果为（ ）
A．2a+2b﹣2cB．2a+2bC．2cD．0
7．（3分）如图，已知直线m∥n，将一块含45°角的直角三角板ABC，按如图所示方式放置，其中斜边AC与直线m交于点D．若∠2＝25°，则∠1的度数为（ ）
A．25°B．45°C．70°D．75°
8．（3分）如图，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，则说明∠CAD＝∠DAB的依据是（ ）
A．SASB．ASAC．AASD．SSS
9．（3分）已知等腰三角形的一个外角为130°，则它的顶角的度数为（ ）
A．50°B．80°或50°C．70°或50°D．70°或80°
10．（3分）如图，把长方形纸片ABCD纸沿对角线折叠，设重叠部分为△EBD，那么，有下列说法：①△EBD是等腰三角形，EB＝ED；②折叠后∠ABE和∠CBD一定相等；③△EBA和△EDC一定是全等三角形．其中正确的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
二、填空题（共5小题，共15分）
11．（3分）若一个多边形的内角和是外角和的两倍，则该多边形的边数是 ．
12．（3分）如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且CE＝1，∠E＝30°，则BE＝ ．
13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AM是∠CAB的平分线，CM＝1.5cm，若AB＝6cm，则S△AMB＝ cm2．
14．（3分）如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数是 ．
15．（3分）如图，四边形ABCD中，∠C＝62°，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为 ．
三、解答题（共8小题，共75分）
16．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，以B为圆心，BC为半径作弧，交AC于点D，连接BD，求∠ABD的度数．
17．（8分）下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
18．（9分）如图所示，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，∠CAB＝90°．试求：
（1）AD的长；
（2）△ABE的面积；
（3）△ACE和△ABE的周长的差．
19．（9分）已知：在△ABC中，AB＝AC，AD是外角∠CAE的平分线．求证：AD∥BC．
20．（10分）已知△ABN和△ACM位置如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2．
（1）求证：BD＝CE；
（2）求证：∠M＝∠N．
21．（10分）作图题（不写作法）已知：如图，在平面直角坐标系中．
（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出△A1B1C1三个顶点的坐标：A1（ ），B1（ ），A1（ ）；
（2）直接写出△ABC的面积为 ；
（3）在x轴上画点P，使PA+PC最小．
22．（10分）如图，在五边形ABCDE中，∠BCD＝∠EDC＝90°，BC＝ED，AC＝AD．
（1）求证：△ABC≌△AED；
（2）当∠B＝140°时，求∠BAE的度数．
23．（11分）（1）问题背景：
如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC，CD上的点且∠EAF＝60°，探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G，使DG＝BE，连结AG，先证△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF可得出结论，他的结论应是 ；
（2）探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、CD上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
（3）实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以46海里/时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以70海里/时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到甲、乙两地分别到达E、F处，且两舰艇之间的夹角为70°，请直接写出此时两舰艇之间的距离．
2023-2024学年河南省洛阳市西工区八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，共30分）
1．（3分）下列图形中，是轴对称图形的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：左起第二、第三和第四共3个图形都能找到多条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
第一个图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
所以是轴对称图形的有3个．
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）在下列长度的各组线段中，能组成三角形的是（ ）
A．5，5，10B．1，4，9C．5，12，6D．3，4，5
【分析】根据三角形两边之和大于第三边进行分析即可．
【解答】解：A、5+5＝10，不能组成三角形，故此选项错误；
B、1+4＜9，不能组成三角形，故此选项错误；
C、5+6＜12，不能组成三角形，故此选项错误；
D、3+4＞5，能组成三角形，故此选项正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
3．（3分）如图，下列角中是△ACD的外角的是（ ）
A．∠EADB．∠BACC．∠ACBD．∠CAE
【分析】根据三角形的外角的定义即可判断．
【解答】解：三角形的一边与另一边的延长线的夹角是三角形的外角，图中∠ACB是△ACD的外角．
故选：C．
【点评】本题考查三角形的外角，解题的关键是理解三角形的外角的定义，属于基础题．
4．（3分）如图，已知∠C＝∠D＝90°，有四个可添加的条件：①AC＝BD；②BC＝AD；③∠CAB＝∠DBA；④∠CBA＝∠DAB．能使△ABC≌△BAD的条件有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】要确定添加的条件，首先要看现有的已知条件，∠C＝∠D＝90°，还有一条公共边AB＝AB，具备一角，一边分别对应相等，只要再添加任意一边或任意一角都能使得三角形全等，于是答案可得．
【解答】解：添加①AC＝BD，可根据HL判定△ABC≌△BAD；
添加②BC＝AD，可根据HL判定△ABC≌△BAD
添加③∠CAB＝∠DBA，可根据AAS判定△ABC≌△BAD；
添加④∠CBA＝∠DAB，可根据AAS判定△ABC≌△BAD．
故选：D．
【点评】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目．做题时要根据已知条件结合判定方法逐个验证．
5．（3分）在平面直角坐标系中，点P与点M关于y轴对称，点N与点M关于x轴对称，若点P的坐标为（﹣2，3），则点N的坐标为（ ）
A．（﹣3，2）B．（2，3）C．（2，﹣3）D．（﹣2，﹣3）
【分析】作出相关对称后可得点P与点N关于原点对称，那么依据点P的坐标为（﹣2，3），可得点N的坐标．
【解答】解：∵点M与点P关于y轴对称，点N与点M关于x轴对称，
∴点N与点P关于原点对称，
又∵点P的坐标为（﹣2，3），
∴点N的坐标为（2，﹣3），
故选：C．
【点评】考查关于坐标轴对称的点的规律，用到的知识点为：两点是关于一次x轴对称，又关于y轴一次对称得到的点，那么这两点关于原点对称．
6．（3分）已知a、b、c是△ABC的三条边长，化简|a+b﹣c|﹣|c﹣a﹣b|的结果为（ ）
A．2a+2b﹣2cB．2a+2bC．2cD．0
【分析】根据三角形的三边关系“两边之和＞第三边，两边之差＜第三边”，判断式子的符号，再根据绝对值的意义去掉绝对值即可．
【解答】解：根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，
得a+b﹣c＞0，c﹣a﹣b＜0，
故|a+b﹣c|﹣|c﹣a﹣b|＝a+b﹣c+c﹣a﹣b＝0．
故选：D．
【点评】此题考查三角形三边关系，注意三角形的三边关系和绝对值的性质的综合运用．
7．（3分）如图，已知直线m∥n，将一块含45°角的直角三角板ABC，按如图所示方式放置，其中斜边AC与直线m交于点D．若∠2＝25°，则∠1的度数为（ ）
A．25°B．45°C．70°D．75°
【分析】设BC与m的交点为E，根据三角形的外角性质可得∠BED＝∠2+∠C＝25°+45°＝70°，再根据平行线的性质可知∠1＝∠AED＝70°．
【解答】解：如图所示：设BC与直线m交于点E，
则∠BED＝∠2+∠C＝25°+45°＝70°，
又∵m∥n，
∴∠1＝∠BED＝70°，
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质，解题的关键是借助平行线和三角形内外角转化角．
8．（3分）如图，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，则说明∠CAD＝∠DAB的依据是（ ）
A．SASB．ASAC．AASD．SSS
【分析】利用三角形全等的判定证明．
【解答】解：从角平分线的作法得出，
△AFD与△AED的三边全部相等，
则△AFD≌△AED．
故选：D．
【点评】考查了全等三角形的判定，关键是根据三边对应相等的两个三角形全等（SSS）这一判定定理．
9．（3分）已知等腰三角形的一个外角为130°，则它的顶角的度数为（ ）
A．50°B．80°或50°C．70°或50°D．70°或80°
【分析】等腰三角形的一个外角等于130°，则等腰三角形的一个内角为50°，但已知没有明确此角是顶角还是底角，所以应分两种情况进行分类讨论．
【解答】解：∵等腰三角形一个外角等于130°，
∴等腰三角形的一个内角为：180°﹣130°＝50°，
当50°为顶角时，其他两角都为65°、65°，
当50°为底角时，其他两角为50°、80°，
所以等腰三角形的顶角为50°或80°．
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，及三角形内角和定理；在解决与等腰三角形有关的问题，由于等腰所具有的特殊性质，很多题目在已知不明确的情况下，要进行分类讨论，才能正确解题，因此，解决和等腰三角形有关的边角问题时，要仔细认真，避免出错．
10．（3分）如图，把长方形纸片ABCD纸沿对角线折叠，设重叠部分为△EBD，那么，有下列说法：①△EBD是等腰三角形，EB＝ED；②折叠后∠ABE和∠CBD一定相等；③△EBA和△EDC一定是全等三角形．其中正确的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【分析】根据矩形的性质得到∠BAE＝∠DCE，AB＝CD，再由对顶角相等可得∠AEB＝∠CED，推出△AEB≌△CED，根据等腰三角形的性质即可得到结论，依此可判断三种说法的正确性．
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAE＝∠DCE，AB＝CD，
在△AEB和△CED中，
，
∴△AEB≌△CED（AAS），
∴BE＝DE，
∴△EBD为等腰三角形，
故其中正确的是①③．
无法判断∠ABE和∠CBD是否相等．
故选：C．
【点评】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．
二、填空题（共5小题，共15分）
11．（3分）若一个多边形的内角和是外角和的两倍，则该多边形的边数是 6 ．
【分析】任何多边形的外角和是360°，内角和等于外角和的2倍则内角和是720°．n边形的内角和是（n﹣2）•180°，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．
【解答】解：设该多边形的边数为n，
根据题意，得，（n﹣2）•180°＝720°，
解得：n＝6．
故这个多边形的边数为6．
故答案为：6
【点评】本题主要考查了多边形的内角和以及外角和，已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决，难度适中．
12．（3分）如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且CE＝1，∠E＝30°，则BE＝ 3 ．
【分析】先证明BC＝2CD，证明△CDE是等腰三角形即可解决问题．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，BA＝BC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠E＝30°，BD⊥AC，
∴∠BDC＝90°，
∴BC＝2DC，
∵∠ACB＝∠E+∠CDE，
∴∠CDE＝∠E＝30°，
∴CD＝CE＝1，
∴BC＝2CD＝2，
∴BE＝BC+CE＝2+1＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．
13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AM是∠CAB的平分线，CM＝1.5cm，若AB＝6cm，则S△AMB＝ 4.5 cm2．
【分析】过M作MD⊥AB于D，根据角平分线性质得出MD＝CM＝1.5cm，再根据三角形的面积公式求出答案即可．
【解答】解：过M作MD⊥AB于D，
∵MD⊥AB，∠C＝90°，AM是∠CAB的平分线，CM＝1.5cm，
∴MD＝CM＝1.5cm，
∵AB＝6cm，
∴S△AMB＝＝（cm2），
故答案为：4.5．
【点评】本题考查了角平分线性质和三角形的面积，能熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解此题的关键．
14．（3分）如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数是 360° ．
【分析】根据三角形的外角性质以及三角形的外角和是360°进行分析求解．
【解答】解：根据三角形的外角性质得，
∠1+∠2＝∠7，∠3+∠4＝∠9，∠5+∠6＝∠8，
又∵∠7+∠8+∠9＝360°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝360°．
故答案为：360°．
【点评】此题考查了三角形的外角性质以及三角形的外角和是360°．注意：三角形的外角和是360°．
15．（3分）如图，四边形ABCD中，∠C＝62°，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为 56° ．
【分析】据要使△AEF的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′E+∠A″＝∠HAA′＝70°，进而得出∠AEF+∠AFE＝2（∠AA′E+∠A″），即可得出答案．
【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则A′A″即为△AEF的周长最小值．作DA延长线AH，
∵∠C＝62°，
∴∠DAB＝118°，
∴∠HAA′＝62°，
∴∠AA′E+∠A″＝∠HAA′＝62°，
∵∠EA′A＝∠EAA′，∠FAD＝∠A″，
∴∠EAA′+∠A″AF＝62°，
∴∠EAF＝118°﹣62°＝56°，
故答案为：56°．
【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟练掌握三角形的外角的性质和垂直平分线的性质是解题关键．
三、解答题（共8小题，共75分）
16．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，以B为圆心，BC为半径作弧，交AC于点D，连接BD，求∠ABD的度数．
【分析】在△ABC中可求得∠ACB＝∠ABC＝72°，在△BCD中可求得∠DBC＝36°，可求出∠ABD．
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠ACB＝72°，
又∵BC＝BD，
∴∠BDC＝∠BCD＝72°，
∴∠DBC＝36°，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝72°﹣36°＝36°．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理的应用．
17．（8分）下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
【分析】方法一：由平行线的性质得：∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，再由平角的定义可得∠BAD+∠BAC+∠CAE＝180°，从而可求解；
方法二：由平行线的性质得：∠A＝∠ACD，∠B+∠BCD＝180°，从而可求解．
【解答】证明：方法一：∵DE∥BC，
∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，
∵∠BAD+∠BAC+∠CAE＝180°，
∴∠B+∠BAC+∠C＝180°；
方法二：∵CD∥AB，
∴∠A＝∠ACD，∠B+∠BCD＝180°，
∴∠B+∠ACB+∠A＝180°．
【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用．
18．（9分）如图所示，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，∠CAB＝90°．试求：
（1）AD的长；
（2）△ABE的面积；
（3）△ACE和△ABE的周长的差．
【分析】（1）利用“面积法”来求线段AD的长度；
（2）△AEC与△ABE是等底同高的两个三角形，它们的面积相等；
（3）由于AE是中线，那么BE＝CE，于是△ACE的周长﹣△ABE的周长＝AC+AE+CE﹣（AB+BE+AE），化简可得△ACE的周长﹣△ABE的周长＝AC﹣AB，易求其值．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，AD是边BC上的高，
∴AB•AC＝BC•AD，
∴AD＝＝＝4.8（cm），即AD的长度为4.8cm；
（2）方法一：如图，∵△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝6cm，AC＝8cm，
∴S△ABC＝AB•AC＝×6×8＝24（cm2）．
又∵AE是边BC的中线，
∴BE＝EC，
∴BE•AD＝EC•AD，即S△ABE＝S△AEC，
∴S△ABE＝S△ABC＝12（cm2）．
∴△ABE的面积是12cm2．
方法二：因为BE＝BC＝5，由（1）知AD＝4.8，
所以S△ABE＝BE•AD＝×5×4.8＝12（cm2）．
∴△ABE的面积是12cm2．
（3）∵AE为BC边上的中线，
∴BE＝CE，
∴△ACE的周长﹣△ABE的周长＝AC+AE+CE﹣（AB+BE+AE）＝AC﹣AB＝8﹣6＝2（cm），即△ACE和△ABE的周长的差是2cm．
【点评】本题考查了中线的定义、三角形周长的计算．解题的关键是利用三角形面积的两个表达式相等，求出AD．
19．（9分）已知：在△ABC中，AB＝AC，AD是外角∠CAE的平分线．求证：AD∥BC．
【分析】由△ABC中，AB＝AC可知，∠B＝∠C，由三角形内角与外角的关系可知∠CAE＝∠B+∠C，因为AD平分△ABC的外角∠CAE．故同位角∠B＝∠1，由此得出结论．
【解答】证明：∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B＝∠CAE；
∵AD是外角∠CAE的平分线，
∴∠1＝∠2＝∠CAE；
∴∠B＝∠1，
∴AD∥BC．
【点评】本题考查的是平行线的判定，解答此类题目一般是利用角相等得出结论．
20．（10分）已知△ABN和△ACM位置如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2．
（1）求证：BD＝CE；
（2）求证：∠M＝∠N．
【分析】（1）由SAS证明△ABD≌△ACE，得出对应边相等即可；
（2）证出∠BAN＝∠CAM，由全等三角形的性质得出∠B＝∠C，由ASA证明△ACM≌△ABN，得出对应角相等即可．
【解答】（1）证明：在△ABD和△ACE中，，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠DAE＝∠2+∠DAE，
即∠BAN＝∠CAM，
由（1）得：△ABD≌△ACE，
∴∠B＝∠C，
在△ACM和△ABN中，，
∴△ACM≌△ABN（ASA），
∴∠M＝∠N．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键．
21．（10分）作图题（不写作法）已知：如图，在平面直角坐标系中．
（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出△A1B1C1三个顶点的坐标：A1（ ﹣1，2 ），B1（ ﹣3，1 ），A1（ ﹣4，3 ）；
（2）直接写出△ABC的面积为 ；
（3）在x轴上画点P，使PA+PC最小．
【分析】（1）根据关于y轴对称的点的坐标特点画出△A1B1C1，并写出各点坐标即可；
（2）利用矩形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可；
（3）作点A关于x轴的对称点A′，连接A′C，则A′C与x轴的交点即为P点．
【解答】解：（1）如图所示，
由图可知，A1（﹣1，2），B1（﹣3，1），C1（﹣4，3）；
（2）S△ABC＝2×3﹣×2×1﹣×2×1﹣×1×3
＝6﹣1﹣1﹣
＝．
故答案为：；
（3）如图，点P即为所求点．
【点评】本题考查的是作图﹣轴对称变换，熟知关于y轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键．
22．（10分）如图，在五边形ABCDE中，∠BCD＝∠EDC＝90°，BC＝ED，AC＝AD．
（1）求证：△ABC≌△AED；
（2）当∠B＝140°时，求∠BAE的度数．
【分析】（1）根据∠ACD＝∠ADC，∠BCD＝∠EDC＝90°，可得∠ACB＝∠ADE，进而运用SAS即可判定全等三角形；
（2）根据全等三角形对应角相等，运用五边形内角和，即可得到∠BAE的度数．
【解答】（1）证明：
∵AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC，
又∵∠BCD＝∠EDC＝90°，
∴∠ACB＝∠ADE，
在△ABC和△AED中，
，
∴△ABC≌△AED（SAS）；
（2）解：当∠B＝140°时，∠E＝140°，
又∵∠BCD＝∠EDC＝90°，
∴五边形ABCDE中，∠BAE＝540°﹣140°×2﹣90°×2＝80°．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质的运用，解题时注意：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等．
23．（11分）（1）问题背景：
如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC，CD上的点且∠EAF＝60°，探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G，使DG＝BE，连结AG，先证△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF可得出结论，他的结论应是 EF＝BE+FD ；
（2）探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、CD上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
（3）实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以46海里/时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以70海里/时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到甲、乙两地分别到达E、F处，且两舰艇之间的夹角为70°，请直接写出此时两舰艇之间的距离．
【分析】（1）证△ABE≌△ADG（SAS），得BE＝DG，∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，再证△AEF≌△AGF（SAS），得EF＝GF，即可得出结论；
（2）延长CD至H，使DH＝BE，证△ABE≌△ADG（SAS），得AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，再证△FAH≌△FAE，得EF＝GF，即可得出结论；
（3）连接EF，延长AE、BF相交于点C，由题意可知，OA＝OB①，再证∠AOB＝2∠EOF②，然后证∠A+∠OBC＝180°③，利用（2）的结论EF＝AE+BF求解即可．
【解答】解：（1）结论：EF＝BE+FD，理由如下：
∵∠B＝∠ADC＝90°，
∴∠B＝∠ADG＝90°，
∵AB＝AD，BE＝DG，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴BE＝DG，∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，
∵∠BAD＝120°，∠EAF＝60°，
∴∠BAE+∠DAF＝60°，
∴∠DAG+∠DAF＝60°，
即∠GAF＝60°，
∴∠EAF＝∠GAF，
又∵AF＝AF，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝GF，
∵GF＝DG+FD，
∴EF＝DG+FD＝BE+FD，
故答案为：EF＝BE+FD；
（2）结论EF＝BE+FD仍然成立，理由如下：
如图2，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG．
∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADG+∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠ADG，
∵AB＝AD，BE＝DG，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠BAD＝2∠EAF，
∴∠FAG＝∠FAD+∠DAG＝∠FAD+∠BAE＝∠BAD﹣∠EAF＝2∠EAF﹣∠EAF＝∠EAF，
又∵AF＝AF，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝GF，
∵GF＝DG+FD＝BE+FD，
∴EF＝BE+FD；
（3）如图3，连接EF，延长AE、BF相交于点C．
由题意可知，∠EOF＝70°，OA＝OB①，
∵∠AOB＝30°+90°+（90°﹣70°）＝140°，
∴∠AOB＝2∠EOF②，
又∵∠A+∠OBC＝（90°﹣30°）+（70°+50°）＝180°③，
∴由①②③可知，符合（2）中的条件，
∴结论EF＝AE+BF成立，
∴EF＝AE+BF＝（46+70）×2＝232（海里）．
答：此时两舰艇之间的距离为232海里．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、方向角以及学生建模能力等知识，本题综合性强，利用问题背景提供的方法解决新问题是解题的关键，属于中考常考题型．三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°．
已知：如图，△ABC，求证：∠A+∠B+∠C＝180°．
方法一
证明：如图，过点A作DE∥BC．
方法二
证明：如图，过点C作CD∥AB．
三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°．
已知：如图，△ABC，求证：∠A+∠B+∠C＝180°．
方法一
证明：如图，过点A作DE∥BC．
方法二
证明：如图，过点C作CD∥AB．
1．（3分）下列图形中，是轴对称图形的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（3分）在下列长度的各组线段中，能组成三角形的是（ ）
A．5，5，10B．1，4，9C．5，12，6D．3，4，5
3．（3分）如图，下列角中是△ACD的外角的是（ ）
A．∠EADB．∠BACC．∠ACBD．∠CAE
4．（3分）如图，已知∠C＝∠D＝90°，有四个可添加的条件：①AC＝BD；②BC＝AD；③∠CAB＝∠DBA；④∠CBA＝∠DAB．能使△ABC≌△BAD的条件有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．（3分）在平面直角坐标系中，点P与点M关于y轴对称，点N与点M关于x轴对称，若点P的坐标为（﹣2，3），则点N的坐标为（ ）
A．（﹣3，2）B．（2，3）C．（2，﹣3）D．（﹣2，﹣3）
6．（3分）已知a、b、c是△ABC的三条边长，化简|a+b﹣c|﹣|c﹣a﹣b|的结果为（ ）
A．2a+2b﹣2cB．2a+2bC．2cD．0
7．（3分）如图，已知直线m∥n，将一块含45°角的直角三角板ABC，按如图所示方式放置，其中斜边AC与直线m交于点D．若∠2＝25°，则∠1的度数为（ ）
A．25°B．45°C．70°D．75°
8．（3分）如图，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，则说明∠CAD＝∠DAB的依据是（ ）
A．SASB．ASAC．AASD．SSS
9．（3分）已知等腰三角形的一个外角为130°，则它的顶角的度数为（ ）
A．50°B．80°或50°C．70°或50°D．70°或80°
10．（3分）如图，把长方形纸片ABCD纸沿对角线折叠，设重叠部分为△EBD，那么，有下列说法：①△EBD是等腰三角形，EB＝ED；②折叠后∠ABE和∠CBD一定相等；③△EBA和△EDC一定是全等三角形．其中正确的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
二、填空题（共5小题，共15分）
11．（3分）若一个多边形的内角和是外角和的两倍，则该多边形的边数是 ．
12．（3分）如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且CE＝1，∠E＝30°，则BE＝ ．
13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AM是∠CAB的平分线，CM＝1.5cm，若AB＝6cm，则S△AMB＝ cm2．
14．（3分）如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数是 ．
15．（3分）如图，四边形ABCD中，∠C＝62°，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为 ．
三、解答题（共8小题，共75分）
16．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，以B为圆心，BC为半径作弧，交AC于点D，连接BD，求∠ABD的度数．
17．（8分）下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
18．（9分）如图所示，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，∠CAB＝90°．试求：
（1）AD的长；
（2）△ABE的面积；
（3）△ACE和△ABE的周长的差．
19．（9分）已知：在△ABC中，AB＝AC，AD是外角∠CAE的平分线．求证：AD∥BC．
20．（10分）已知△ABN和△ACM位置如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2．
（1）求证：BD＝CE；
（2）求证：∠M＝∠N．
21．（10分）作图题（不写作法）已知：如图，在平面直角坐标系中．
（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出△A1B1C1三个顶点的坐标：A1（ ），B1（ ），A1（ ）；
（2）直接写出△ABC的面积为 ；
（3）在x轴上画点P，使PA+PC最小．
22．（10分）如图，在五边形ABCDE中，∠BCD＝∠EDC＝90°，BC＝ED，AC＝AD．
（1）求证：△ABC≌△AED；
（2）当∠B＝140°时，求∠BAE的度数．
23．（11分）（1）问题背景：
如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC，CD上的点且∠EAF＝60°，探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G，使DG＝BE，连结AG，先证△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF可得出结论，他的结论应是 ；
（2）探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、CD上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
（3）实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以46海里/时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以70海里/时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到甲、乙两地分别到达E、F处，且两舰艇之间的夹角为70°，请直接写出此时两舰艇之间的距离．
2023-2024学年河南省洛阳市西工区八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，共30分）
1．（3分）下列图形中，是轴对称图形的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：左起第二、第三和第四共3个图形都能找到多条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
第一个图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
所以是轴对称图形的有3个．
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）在下列长度的各组线段中，能组成三角形的是（ ）
A．5，5，10B．1，4，9C．5，12，6D．3，4，5
【分析】根据三角形两边之和大于第三边进行分析即可．
【解答】解：A、5+5＝10，不能组成三角形，故此选项错误；
B、1+4＜9，不能组成三角形，故此选项错误；
C、5+6＜12，不能组成三角形，故此选项错误；
D、3+4＞5，能组成三角形，故此选项正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
3．（3分）如图，下列角中是△ACD的外角的是（ ）
A．∠EADB．∠BACC．∠ACBD．∠CAE
【分析】根据三角形的外角的定义即可判断．
【解答】解：三角形的一边与另一边的延长线的夹角是三角形的外角，图中∠ACB是△ACD的外角．
故选：C．
【点评】本题考查三角形的外角，解题的关键是理解三角形的外角的定义，属于基础题．
4．（3分）如图，已知∠C＝∠D＝90°，有四个可添加的条件：①AC＝BD；②BC＝AD；③∠CAB＝∠DBA；④∠CBA＝∠DAB．能使△ABC≌△BAD的条件有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】要确定添加的条件，首先要看现有的已知条件，∠C＝∠D＝90°，还有一条公共边AB＝AB，具备一角，一边分别对应相等，只要再添加任意一边或任意一角都能使得三角形全等，于是答案可得．
【解答】解：添加①AC＝BD，可根据HL判定△ABC≌△BAD；
添加②BC＝AD，可根据HL判定△ABC≌△BAD
添加③∠CAB＝∠DBA，可根据AAS判定△ABC≌△BAD；
添加④∠CBA＝∠DAB，可根据AAS判定△ABC≌△BAD．
故选：D．
【点评】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目．做题时要根据已知条件结合判定方法逐个验证．
5．（3分）在平面直角坐标系中，点P与点M关于y轴对称，点N与点M关于x轴对称，若点P的坐标为（﹣2，3），则点N的坐标为（ ）
A．（﹣3，2）B．（2，3）C．（2，﹣3）D．（﹣2，﹣3）
【分析】作出相关对称后可得点P与点N关于原点对称，那么依据点P的坐标为（﹣2，3），可得点N的坐标．
【解答】解：∵点M与点P关于y轴对称，点N与点M关于x轴对称，
∴点N与点P关于原点对称，
又∵点P的坐标为（﹣2，3），
∴点N的坐标为（2，﹣3），
故选：C．
【点评】考查关于坐标轴对称的点的规律，用到的知识点为：两点是关于一次x轴对称，又关于y轴一次对称得到的点，那么这两点关于原点对称．
6．（3分）已知a、b、c是△ABC的三条边长，化简|a+b﹣c|﹣|c﹣a﹣b|的结果为（ ）
A．2a+2b﹣2cB．2a+2bC．2cD．0
【分析】根据三角形的三边关系“两边之和＞第三边，两边之差＜第三边”，判断式子的符号，再根据绝对值的意义去掉绝对值即可．
【解答】解：根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，
得a+b﹣c＞0，c﹣a﹣b＜0，
故|a+b﹣c|﹣|c﹣a﹣b|＝a+b﹣c+c﹣a﹣b＝0．
故选：D．
【点评】此题考查三角形三边关系，注意三角形的三边关系和绝对值的性质的综合运用．
7．（3分）如图，已知直线m∥n，将一块含45°角的直角三角板ABC，按如图所示方式放置，其中斜边AC与直线m交于点D．若∠2＝25°，则∠1的度数为（ ）
A．25°B．45°C．70°D．75°
【分析】设BC与m的交点为E，根据三角形的外角性质可得∠BED＝∠2+∠C＝25°+45°＝70°，再根据平行线的性质可知∠1＝∠AED＝70°．
【解答】解：如图所示：设BC与直线m交于点E，
则∠BED＝∠2+∠C＝25°+45°＝70°，
又∵m∥n，
∴∠1＝∠BED＝70°，
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质，解题的关键是借助平行线和三角形内外角转化角．
8．（3分）如图，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，则说明∠CAD＝∠DAB的依据是（ ）
A．SASB．ASAC．AASD．SSS
【分析】利用三角形全等的判定证明．
【解答】解：从角平分线的作法得出，
△AFD与△AED的三边全部相等，
则△AFD≌△AED．
故选：D．
【点评】考查了全等三角形的判定，关键是根据三边对应相等的两个三角形全等（SSS）这一判定定理．
9．（3分）已知等腰三角形的一个外角为130°，则它的顶角的度数为（ ）
A．50°B．80°或50°C．70°或50°D．70°或80°
【分析】等腰三角形的一个外角等于130°，则等腰三角形的一个内角为50°，但已知没有明确此角是顶角还是底角，所以应分两种情况进行分类讨论．
【解答】解：∵等腰三角形一个外角等于130°，
∴等腰三角形的一个内角为：180°﹣130°＝50°，
当50°为顶角时，其他两角都为65°、65°，
当50°为底角时，其他两角为50°、80°，
所以等腰三角形的顶角为50°或80°．
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，及三角形内角和定理；在解决与等腰三角形有关的问题，由于等腰所具有的特殊性质，很多题目在已知不明确的情况下，要进行分类讨论，才能正确解题，因此，解决和等腰三角形有关的边角问题时，要仔细认真，避免出错．
10．（3分）如图，把长方形纸片ABCD纸沿对角线折叠，设重叠部分为△EBD，那么，有下列说法：①△EBD是等腰三角形，EB＝ED；②折叠后∠ABE和∠CBD一定相等；③△EBA和△EDC一定是全等三角形．其中正确的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【分析】根据矩形的性质得到∠BAE＝∠DCE，AB＝CD，再由对顶角相等可得∠AEB＝∠CED，推出△AEB≌△CED，根据等腰三角形的性质即可得到结论，依此可判断三种说法的正确性．
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAE＝∠DCE，AB＝CD，
在△AEB和△CED中，
，
∴△AEB≌△CED（AAS），
∴BE＝DE，
∴△EBD为等腰三角形，
故其中正确的是①③．
无法判断∠ABE和∠CBD是否相等．
故选：C．
【点评】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．
二、填空题（共5小题，共15分）
11．（3分）若一个多边形的内角和是外角和的两倍，则该多边形的边数是 6 ．
【分析】任何多边形的外角和是360°，内角和等于外角和的2倍则内角和是720°．n边形的内角和是（n﹣2）•180°，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．
【解答】解：设该多边形的边数为n，
根据题意，得，（n﹣2）•180°＝720°，
解得：n＝6．
故这个多边形的边数为6．
故答案为：6
【点评】本题主要考查了多边形的内角和以及外角和，已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决，难度适中．
12．（3分）如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且CE＝1，∠E＝30°，则BE＝ 3 ．
【分析】先证明BC＝2CD，证明△CDE是等腰三角形即可解决问题．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，BA＝BC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠E＝30°，BD⊥AC，
∴∠BDC＝90°，
∴BC＝2DC，
∵∠ACB＝∠E+∠CDE，
∴∠CDE＝∠E＝30°，
∴CD＝CE＝1，
∴BC＝2CD＝2，
∴BE＝BC+CE＝2+1＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．
13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AM是∠CAB的平分线，CM＝1.5cm，若AB＝6cm，则S△AMB＝ 4.5 cm2．
【分析】过M作MD⊥AB于D，根据角平分线性质得出MD＝CM＝1.5cm，再根据三角形的面积公式求出答案即可．
【解答】解：过M作MD⊥AB于D，
∵MD⊥AB，∠C＝90°，AM是∠CAB的平分线，CM＝1.5cm，
∴MD＝CM＝1.5cm，
∵AB＝6cm，
∴S△AMB＝＝（cm2），
故答案为：4.5．
【点评】本题考查了角平分线性质和三角形的面积，能熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解此题的关键．
14．（3分）如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数是 360° ．
【分析】根据三角形的外角性质以及三角形的外角和是360°进行分析求解．
【解答】解：根据三角形的外角性质得，
∠1+∠2＝∠7，∠3+∠4＝∠9，∠5+∠6＝∠8，
又∵∠7+∠8+∠9＝360°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝360°．
故答案为：360°．
【点评】此题考查了三角形的外角性质以及三角形的外角和是360°．注意：三角形的外角和是360°．
15．（3分）如图，四边形ABCD中，∠C＝62°，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为 56° ．
【分析】据要使△AEF的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′E+∠A″＝∠HAA′＝70°，进而得出∠AEF+∠AFE＝2（∠AA′E+∠A″），即可得出答案．
【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则A′A″即为△AEF的周长最小值．作DA延长线AH，
∵∠C＝62°，
∴∠DAB＝118°，
∴∠HAA′＝62°，
∴∠AA′E+∠A″＝∠HAA′＝62°，
∵∠EA′A＝∠EAA′，∠FAD＝∠A″，
∴∠EAA′+∠A″AF＝62°，
∴∠EAF＝118°﹣62°＝56°，
故答案为：56°．
【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟练掌握三角形的外角的性质和垂直平分线的性质是解题关键．
三、解答题（共8小题，共75分）
16．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，以B为圆心，BC为半径作弧，交AC于点D，连接BD，求∠ABD的度数．
【分析】在△ABC中可求得∠ACB＝∠ABC＝72°，在△BCD中可求得∠DBC＝36°，可求出∠ABD．
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠ACB＝72°，
又∵BC＝BD，
∴∠BDC＝∠BCD＝72°，
∴∠DBC＝36°，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝72°﹣36°＝36°．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理的应用．
17．（8分）下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
【分析】方法一：由平行线的性质得：∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，再由平角的定义可得∠BAD+∠BAC+∠CAE＝180°，从而可求解；
方法二：由平行线的性质得：∠A＝∠ACD，∠B+∠BCD＝180°，从而可求解．
【解答】证明：方法一：∵DE∥BC，
∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，
∵∠BAD+∠BAC+∠CAE＝180°，
∴∠B+∠BAC+∠C＝180°；
方法二：∵CD∥AB，
∴∠A＝∠ACD，∠B+∠BCD＝180°，
∴∠B+∠ACB+∠A＝180°．
【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用．
18．（9分）如图所示，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，∠CAB＝90°．试求：
（1）AD的长；
（2）△ABE的面积；
（3）△ACE和△ABE的周长的差．
【分析】（1）利用“面积法”来求线段AD的长度；
（2）△AEC与△ABE是等底同高的两个三角形，它们的面积相等；
（3）由于AE是中线，那么BE＝CE，于是△ACE的周长﹣△ABE的周长＝AC+AE+CE﹣（AB+BE+AE），化简可得△ACE的周长﹣△ABE的周长＝AC﹣AB，易求其值．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，AD是边BC上的高，
∴AB•AC＝BC•AD，
∴AD＝＝＝4.8（cm），即AD的长度为4.8cm；
（2）方法一：如图，∵△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝6cm，AC＝8cm，
∴S△ABC＝AB•AC＝×6×8＝24（cm2）．
又∵AE是边BC的中线，
∴BE＝EC，
∴BE•AD＝EC•AD，即S△ABE＝S△AEC，
∴S△ABE＝S△ABC＝12（cm2）．
∴△ABE的面积是12cm2．
方法二：因为BE＝BC＝5，由（1）知AD＝4.8，
所以S△ABE＝BE•AD＝×5×4.8＝12（cm2）．
∴△ABE的面积是12cm2．
（3）∵AE为BC边上的中线，
∴BE＝CE，
∴△ACE的周长﹣△ABE的周长＝AC+AE+CE﹣（AB+BE+AE）＝AC﹣AB＝8﹣6＝2（cm），即△ACE和△ABE的周长的差是2cm．
【点评】本题考查了中线的定义、三角形周长的计算．解题的关键是利用三角形面积的两个表达式相等，求出AD．
19．（9分）已知：在△ABC中，AB＝AC，AD是外角∠CAE的平分线．求证：AD∥BC．
【分析】由△ABC中，AB＝AC可知，∠B＝∠C，由三角形内角与外角的关系可知∠CAE＝∠B+∠C，因为AD平分△ABC的外角∠CAE．故同位角∠B＝∠1，由此得出结论．
【解答】证明：∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B＝∠CAE；
∵AD是外角∠CAE的平分线，
∴∠1＝∠2＝∠CAE；
∴∠B＝∠1，
∴AD∥BC．
【点评】本题考查的是平行线的判定，解答此类题目一般是利用角相等得出结论．
20．（10分）已知△ABN和△ACM位置如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2．
（1）求证：BD＝CE；
（2）求证：∠M＝∠N．
【分析】（1）由SAS证明△ABD≌△ACE，得出对应边相等即可；
（2）证出∠BAN＝∠CAM，由全等三角形的性质得出∠B＝∠C，由ASA证明△ACM≌△ABN，得出对应角相等即可．
【解答】（1）证明：在△ABD和△ACE中，，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠DAE＝∠2+∠DAE，
即∠BAN＝∠CAM，
由（1）得：△ABD≌△ACE，
∴∠B＝∠C，
在△ACM和△ABN中，，
∴△ACM≌△ABN（ASA），
∴∠M＝∠N．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键．
21．（10分）作图题（不写作法）已知：如图，在平面直角坐标系中．
（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出△A1B1C1三个顶点的坐标：A1（ ﹣1，2 ），B1（ ﹣3，1 ），A1（ ﹣4，3 ）；
（2）直接写出△ABC的面积为 ；
（3）在x轴上画点P，使PA+PC最小．
【分析】（1）根据关于y轴对称的点的坐标特点画出△A1B1C1，并写出各点坐标即可；
（2）利用矩形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可；
（3）作点A关于x轴的对称点A′，连接A′C，则A′C与x轴的交点即为P点．
【解答】解：（1）如图所示，
由图可知，A1（﹣1，2），B1（﹣3，1），C1（﹣4，3）；
（2）S△ABC＝2×3﹣×2×1﹣×2×1﹣×1×3
＝6﹣1﹣1﹣
＝．
故答案为：；
（3）如图，点P即为所求点．
【点评】本题考查的是作图﹣轴对称变换，熟知关于y轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键．
22．（10分）如图，在五边形ABCDE中，∠BCD＝∠EDC＝90°，BC＝ED，AC＝AD．
（1）求证：△ABC≌△AED；
（2）当∠B＝140°时，求∠BAE的度数．
【分析】（1）根据∠ACD＝∠ADC，∠BCD＝∠EDC＝90°，可得∠ACB＝∠ADE，进而运用SAS即可判定全等三角形；
（2）根据全等三角形对应角相等，运用五边形内角和，即可得到∠BAE的度数．
【解答】（1）证明：
∵AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC，
又∵∠BCD＝∠EDC＝90°，
∴∠ACB＝∠ADE，
在△ABC和△AED中，
，
∴△ABC≌△AED（SAS）；
（2）解：当∠B＝140°时，∠E＝140°，
又∵∠BCD＝∠EDC＝90°，
∴五边形ABCDE中，∠BAE＝540°﹣140°×2﹣90°×2＝80°．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质的运用，解题时注意：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等．
23．（11分）（1）问题背景：
如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC，CD上的点且∠EAF＝60°，探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G，使DG＝BE，连结AG，先证△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF可得出结论，他的结论应是 EF＝BE+FD ；
（2）探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、CD上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
（3）实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以46海里/时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以70海里/时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到甲、乙两地分别到达E、F处，且两舰艇之间的夹角为70°，请直接写出此时两舰艇之间的距离．
【分析】（1）证△ABE≌△ADG（SAS），得BE＝DG，∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，再证△AEF≌△AGF（SAS），得EF＝GF，即可得出结论；
（2）延长CD至H，使DH＝BE，证△ABE≌△ADG（SAS），得AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，再证△FAH≌△FAE，得EF＝GF，即可得出结论；
（3）连接EF，延长AE、BF相交于点C，由题意可知，OA＝OB①，再证∠AOB＝2∠EOF②，然后证∠A+∠OBC＝180°③，利用（2）的结论EF＝AE+BF求解即可．
【解答】解：（1）结论：EF＝BE+FD，理由如下：
∵∠B＝∠ADC＝90°，
∴∠B＝∠ADG＝90°，
∵AB＝AD，BE＝DG，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴BE＝DG，∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，
∵∠BAD＝120°，∠EAF＝60°，
∴∠BAE+∠DAF＝60°，
∴∠DAG+∠DAF＝60°，
即∠GAF＝60°，
∴∠EAF＝∠GAF，
又∵AF＝AF，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝GF，
∵GF＝DG+FD，
∴EF＝DG+FD＝BE+FD，
故答案为：EF＝BE+FD；
（2）结论EF＝BE+FD仍然成立，理由如下：
如图2，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG．
∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADG+∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠ADG，
∵AB＝AD，BE＝DG，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠BAD＝2∠EAF，
∴∠FAG＝∠FAD+∠DAG＝∠FAD+∠BAE＝∠BAD﹣∠EAF＝2∠EAF﹣∠EAF＝∠EAF，
又∵AF＝AF，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝GF，
∵GF＝DG+FD＝BE+FD，
∴EF＝BE+FD；
（3）如图3，连接EF，延长AE、BF相交于点C．
由题意可知，∠EOF＝70°，OA＝OB①，
∵∠AOB＝30°+90°+（90°﹣70°）＝140°，
∴∠AOB＝2∠EOF②，
又∵∠A+∠OBC＝（90°﹣30°）+（70°+50°）＝180°③，
∴由①②③可知，符合（2）中的条件，
∴结论EF＝AE+BF成立，
∴EF＝AE+BF＝（46+70）×2＝232（海里）．
答：此时两舰艇之间的距离为232海里．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、方向角以及学生建模能力等知识，本题综合性强，利用问题背景提供的方法解决新问题是解题的关键，属于中考常考题型．三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°．
已知：如图，△ABC，求证：∠A+∠B+∠C＝180°．
方法一
证明：如图，过点A作DE∥BC．
方法二
证明：如图，过点C作CD∥AB．
三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°．
已知：如图，△ABC，求证：∠A+∠B+∠C＝180°．
方法一
证明：如图，过点A作DE∥BC．
方法二
证明：如图，过点C作CD∥AB．
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