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    2022年新高考天津数学高考真题(解析版)

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    这是一份2022年新高考天津数学高考真题(解析版),共21页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    1. 设全集,集合,则( )
    A. B. C. D.
    【答案】A
    【解析】
    【分析】先求出,再根据交集的定义可求.
    【详解】,故,
    故选:A.
    2. “为整数”是“为整数”的( )
    A. 充分不必要B. 必要不充分
    C. 充分必要D. 既不允分也不必要
    【答案】A
    【解析】
    【分析】依据充分不必要条件的定义去判定“为整数”与“为整数”的逻辑关系即可.
    【详解】由题意,若为整数,则为整数,故充分性成立;
    当时,为整数,但不为整数,故必要性不成立;
    所以“为整数”是“为整数”的充分不必要条件.
    故选:A.
    3. 函数的图像为( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】D
    【解析】
    【分析】分析函数的定义域、奇偶性、单调性及其在上的函数值符号,结合排除法可得出合适的选项.
    【详解】函数的定义域为,
    且,
    函数为奇函数,A选项错误;
    又当时,,C选项错误;
    当时,函数单调递增,故B选项错误;
    故选:D
    4. 为研究某药品的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验,所有志愿者的舒张压数据(单位:)的分组区间为,将其按从左到右的顺序分别编号为第一组,第二组,…,第五组,右图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人,第三组中没有疗效的有6人,则第三组中有疗效的人数为( )
    A. 8B. 12C. 16D. 18
    【答案】B
    【解析】
    【分析】结合已知条件和频率分布直方图求出志愿者的总人数,进而求出第三组的总人数,从而可以求得结果.
    【详解】志愿者的总人数为=50,
    所以第三组人数为50×0.36=18,
    有疗效的人数为18-6=12.
    故选:B.
    5. 已知,,,则( )
    A. B. C. D.
    【答案】C
    【解析】
    【分析】利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系.
    【详解】因为,故.
    故答案为:C.
    6. 化简的值为( )
    A. 1B. 2C. 4D. 6
    【答案】B
    【解析】
    【分析】根据对数的性质可求代数式的值.
    【详解】原式

    故选:B
    7. 已知抛物线分别是双曲线的左、右焦点,抛物线的准线过双曲线的左焦点,与双曲线的渐近线交于点A,若,则双曲线的标准方程为( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】C
    【解析】
    【分析】由已知可得出的值,求出点的坐标,分析可得,由此可得出关于、、的方程组,解出这三个量的值,即可得出双曲线的标准方程.
    【详解】抛物线的准线方程为,则,则、,
    不妨设点为第二象限内的点,联立,可得,即点,
    因为且,则为等腰直角三角形,
    且,即,可得,
    所以,,解得,因此,双曲线的标准方程为.
    故选:C.
    8. 如图,“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象,重叠后的底面为正方形,直三棱柱的底面是顶角为,腰为3的等腰三角形,则该几何体的体积为( )
    A. 23B. 24C. 26D. 27
    【答案】D
    【解析】
    【分析】作出几何体直观图,由题意结合几何体体积公式即可得组合体的体积.
    【详解】该几何体由直三棱柱及直三棱柱组成,作于M,如图,
    因为,所以,
    因为重叠后的底面为正方形,所以,
    在直棱柱中,平面BHC,则,
    由可得平面,
    设重叠后的EG与交点为

    则该几何体的体积为.
    故选:D.
    9. 已知,关于该函数有下列四个说法:
    ①的最小正周期为;
    ②在上单调递增;
    ③当时,的取值范围为;
    ④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到.
    以上四个说法中,正确的个数为( )
    A. B. C. D.
    【答案】A
    【解析】
    【分析】根据三角函数的图象与性质,以及变换法则即可判断各说法的真假.
    【详解】因为,所以最小正周期为,①不正确;
    令,而在上递增,所以在上单调递增,②正确;因为,,所以,③不正确;
    由于,所以的图象可由的图象向右平移个单位长度得到,④不正确.
    故选:A.
    第II卷
    二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.试题中包含两个空的,答对1个的给3分,全部答对的给5分.
    10. 已知是虚数单位,化简的结果为_______.
    【答案】##
    【解析】
    【分析】根据复数代数形式的运算法则即可解出.
    【详解】.
    故答案为:.
    11. 的展开式中的常数项为______.
    【答案】
    【解析】
    【分析】由题意结合二项式定理可得的展开式的通项为,令,代入即可得解.
    【详解】由题意的展开式的通项为,
    令即,则,
    所以展开式中的常数项为.
    故答案为:.
    【点睛】本题考查了二项式定理的应用,考查了运算求解能力,属于基础题.
    12. 若直线与圆相交所得的弦长为,则_____.
    【答案】
    【解析】
    【分析】计算出圆心到直线的距离,利用勾股定理可得出关于的等式,即可解得的值.
    【详解】圆的圆心坐标为,半径为,
    圆心到直线距离为,
    由勾股定理可得,因为,解得.
    故答案为:.
    13. 52张扑克牌,没有大小王,无放回地抽取两次,则两次都抽到A的概率为____________;已知第一次抽到的是A,则第二次抽取A的概率为____________
    【答案】 ①. ②.
    【解析】
    【分析】由题意结合概率的乘法公式可得两次都抽到A的概率,再由条件概率的公式即可求得在第一次抽到A的条件下,第二次抽到A的概率.
    【详解】由题意,设第一次抽到A的事件为B,第二次抽到A的事件为C,
    则.
    故答案为:;.
    14. 在中,,D是AC中点,,试用表示为___________,若,则的最大值为____________
    【答案】 ①. ②.
    【解析】
    【分析】法一:根据向量的减法以及向量的数乘即可表示出,以为基底,表示出,由可得,再根据向量夹角公式以及基本不等式即可求出.
    法二:以点为原点建立平面直角坐标系,设,由可得点的轨迹为以为圆心,以为半径的圆,方程为,即可根据几何性质可知,当且仅当与相切时,最大,即求出.
    【详解】方法一:
    ,,
    ,当且仅当时取等号,而,所以.
    故答案为:;.
    方法二:如图所示,建立坐标系:
    ,,
    ,所以点的轨迹是以为圆心,以为半径的圆,当且仅当与相切时,最大,此时.
    故答案为:;.
    15. 设,对任意实数x,记.若至少有3个零点,则实数的取值范围为______.
    【答案】
    【解析】
    【分析】设,,分析可知函数至少有一个零点,可得出,求出的取值范围,然后对实数的取值范围进行分类讨论,根据题意可得出关于实数的不等式,综合可求得实数的取值范围.
    【详解】设,,由可得.
    要使得函数至少有个零点,则函数至少有一个零点,则,
    解得或.
    ①当时,,作出函数、的图象如下图所示:
    此时函数只有两个零点,不合乎题意;
    ②当时,设函数的两个零点分别为、,
    要使得函数至少有个零点,则,
    所以,,解得;
    ③当时,,作出函数、的图象如下图所示:
    由图可知,函数的零点个数为,合乎题意;
    ④当时,设函数的两个零点分别为、,
    要使得函数至少有个零点,则,
    可得,解得,此时.
    综上所述,实数的取值范围是.
    故答案为:.
    【点睛】方法点睛:已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法:
    (1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数范围;
    (2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数的值域问题加以解决;
    (3)数形结合法:先对解析式变形,进而构造两个函数,然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,利用数形结合的方法求解.
    三、解答题:本大题共5小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
    16. 在中,角A、B、C的对边分别为a,b,c.已知.
    (1)求的值;
    (2)求的值;
    (3)求的值.
    【答案】(1)
    (2)
    (3)
    【解析】
    【分析】(1)根据余弦定理以及解方程组即可求出;
    (2)由(1)可求出,再根据正弦定理即可解出;
    (3)先根据二倍角公式求出,再根据两角差的正弦公式即可求出.
    【小问1详解】
    因为,即,而,代入得,解得:.
    【小问2详解】
    由(1)可求出,而,所以,又,所以.
    【小问3详解】
    因为,所以,故,又, 所以,,而,所以,
    故.
    17. 直三棱柱中,,D为的中点,E为的中点,F为的中点.
    (1)求证:平面;
    (2)求直线与平面所成角的正弦值;
    (3)求平面与平面所成二面角的余弦值.
    【答案】(1)证明见解析
    (2)
    (3)
    【解析】
    【分析】(1)以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系,利用空间向量法可证得结论成立;
    (2)利用空间向量法可求得直线与平面夹角的正弦值;
    (3)利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值.
    【小问1详解】
    证明:在直三棱柱中,平面,且,则
    以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系,
    则、、、、、、、、,则,
    易知平面的一个法向量为,则,故,
    平面,故平面.
    【小问2详解】
    解:,,,
    设平面的法向量为,则,
    取,可得,.
    因此,直线与平面夹角的正弦值为.
    【小问3详解】
    解:,,
    设平面的法向量为,则,
    取,可得,则,
    因此,平面与平面夹角的余弦值为.
    18. 设是等差数列,是等比数列,且.
    (1)求与的通项公式;
    (2)设的前n项和为,求证:;
    (3)求.
    【答案】(1)
    (2)证明见解析 (3)
    【解析】
    【分析】(1)利用等差等比数列的通项公式进行基本量运算即可得解;
    (2)由等比数列的性质及通项与前n项和的关系结合分析法即可得证;
    (3)先求得,进而由并项求和可得,再结合错位相减法可得解.
    【小问1详解】
    设公差为d,公比为,则,
    由可得(舍去),
    所以;
    【小问2详解】
    证明:因为所以要证,
    即证,即证,
    即证,
    而显然成立,所以;
    【小问3详解】
    因为

    所以


    所以,
    则,
    作差得

    所以,
    所以.
    19. 椭圆的右焦点为F、右顶点为A,上顶点为B,且满足.
    (1)求椭圆的离心率;
    (2)直线l与椭圆有唯一公共点M,与y轴相交于N(N异于M).记O为坐标原点,若,且的面积为,求椭圆的标准方程.
    【答案】(1)
    (2)
    【解析】
    【分析】(1)根据已知条件可得出关于、的等量关系,由此可求得该椭圆的离心率的值;
    (2)由(1)可知椭圆的方程为,设直线的方程为,将直线的方程与椭圆方程联立,由可得出,求出点的坐标,利用三角形的面积公式以及已知条件可求得的值,即可得出椭圆的方程.
    【小问1详解】
    解:,
    离心率为.
    【小问2详解】
    解:由(1)可知椭圆的方程为,
    易知直线的斜率存在,设直线的方程为,
    联立得,
    由,①
    ,,
    由可得,②
    由可得,③
    联立①②③可得,,,故椭圆的标准方程为.
    20. 已知,函数
    (1)求函数在处的切线方程;
    (2)若和有公共点,
    (i)当时,求的取值范围;
    (ii)求证:.
    【答案】(1)
    (2)(i);(ii)证明见解析
    【解析】
    【分析】(1)求出可求切线方程;
    (2)(i)当时,曲线和有公共点即为在上有零点,求导后分类讨论结合零点存在定理可求.
    (ii)曲线和有公共点即,利用点到直线的距离得到,利用导数可证,从而可得不等式成立.
    【小问1详解】
    ,故,而,
    曲线在点处的切线方程为即.
    【小问2详解】
    (i)当时,
    因为曲线和有公共点,故有解,
    设,故,故在上有解,
    设,故在上有零点,
    而,
    若,则恒成立,此时在上无零点,
    若,则在上恒成立,故在上为增函数,
    而,,故在上无零点,
    故,
    设,则,
    故在上为增函数,
    而,,
    故上存在唯一零点,
    且时,;时,;
    故时,;时,;
    所以在上为减函数,在上为增函数,
    故,
    因为在上有零点,故,故,
    而,故即,
    设,则,
    故在上为增函数,
    而,故.
    (ii)因为曲线和有公共点,
    所以有解,其中,
    若,则,该式不成立,故.
    故,考虑直线,
    表示原点与直线上的动点之间的距离,
    故,所以,
    下证:对任意,总有,
    证明:当时,有,故成立.
    当时,即证,
    设,则(不恒为零),
    故在上为减函数,故即成立.
    综上,成立.
    下证:当时,恒成立,
    ,则,
    故在上为增函数,故即恒成立.
    下证:在上恒成立,即证:,
    即证:,即证:,
    而,故成立.
    故,即成立.
    【点睛】思路点睛:导数背景下零点问题,注意利用函数的单调性结合零点存在定理来处理,而多变量的不等式的成立问题,注意从几何意义取构建不等式关系,再利用分析法来证明目标不等式.
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