北师大版九年级数学下册 专题1.1 锐角三角函数（知识讲解）（附答案）

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1．结合图形理解记忆锐角三角函数定义；
2．理解并能熟练运用“同角三角函数的关系”及“锐角三角函数值随角度变化的规律”.
【要点梳理】
要点一、锐角三角函数的概念
如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边．

锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即；
锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作csA，即；
锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即.
同理；；．
特别说明：
(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．
(2)sinA，csA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，
，不能理解成sin与∠A，cs与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成“tanAEF”；另外，、、常写成、、．
(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．
(4)由锐角三角函数的定义知：
当角度在0°<∠A<90°间变化时，，，tanA＞0．
要点二、特殊角的三角函数值
利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下：
特别说明：
(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．
(2)仔细研究表中数值的规律会发现：
、、的值依次为、、，而、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：
①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)；
②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．
【典型例题】
类型一、三角函数概念的辨析
1． （1）如图1．△ABC中，∠C为直角，AC=6，BC=8，D，E两点分别从B，A开始同时出发，分别沿线段BC，AC向C点匀速运动，到C点后停止，他们的速度都为每秒1个单位，请问D点出发2秒后，△CDE的面积为多少？
（2）如图2，将（1）中的条件“∠C为直角”改为∠C为钝角，其他条件不变，请问是否仍然存在某一时刻，使得△CDE的面积为△ABC面积的一半？若存在，请求出这一时刻，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）D点出发2秒后，△CDE的面积为12；（2）D点出发2秒钟时△CDE的面积为△ABC面积的一半，理由见解析.
【分析】（1）D，E出发2秒后，BD=AE=2，然后求出CD，CE的长，根据三角形的面积公式求解即可；
（2）如图，过B，D点分别作AC，CE边上的高，设D，E运动时间为x秒，根据根据三角形的面积公式列出方程式求解即可.
解：（1）∵D，E出发2秒后，BD=AE=2，
∴CD=BC－BD=8－2=6，CE=AC－AE=6－2=4，
则S△CDE=CD·CE=×6×4=12.
答：D点出发2秒后，△CDE的面积为12.
（2）如图，过B，D作AC边上的高DH，BG
设D，E运动时间为x秒，
则(8﹣x)(6﹣x)sin∠BCG=×6×8sin∠BCG
解得x=2或x=12（舍去），
所以D点出发2秒钟时△CDE的面积为△ABC面积的一半，
举一反三：
【变式1】如图，在中，AD、BE分别是BC、AC边上的高，，求的值．
【答案】
【分析】先证明△ADC∽△BEC，根据相似三角形的性质得到=，再证明CDE∽△CAB，根据相似三角形的面积比定义相似比的平方计算即可．
解：∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∵∠C=∠C，
∴△ADC∽△BEC，
∴=，
∴=，
∵∠C=∠C，
∴△CDE∽△CAB，
∵，
∴=，
∴=（）²=（）2=．
【点拨】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
【变式2】.如图，射线OA放置在4×5的正方形虚线网格中，现请你在图中找出格点（即每个小正方形的顶点）B，并连接OB、AB使△AOB为直角三角形，并且
（1）使tan∠AOB的值为1；
（2）使tan∠AOB的值为．
【答案】（1）如图1所示：见解析；（2）如图2所示；见解析
【分析】根据tan∠AOB的值分别为1、，构造直角三角形进而得出答案．
解：如图1所示：
∵OA=,且tan∠AOB=1，∴AB=OB=,∴可找到格点B.
如图2所示；
同上一问的解法，可以求得AB=,OB=.即可找到点B.
【点拨】此题主要考查了应用设计与作图，利用锐角三角函数关系得出是解题关键．
类型二、求三角函数值
2． 如图，的顶点都是正方形网格的格点，求的三角函数值．
【答案】，，．
【分析】利用网格构造直角三角形，再根据勾股定理、逆定理求出三角形的边长，最后根据三角函数的定义求解即可．
解：不妨设小正方形的边长为1，如图，过点C作于点F，，交的延长线于点E，
则，，
∵，
即，解得，
∴在中，，
∴，，，
故答案为：，，．
【点拨】此题考查的是求网格问题中锐角的三角函数值，掌握利用网格构造直角三角形、勾股定理、勾股定理的逆定理和三角函数的定义是解决此题的关键．
举一反三：
【变式1】已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D点，AB=4，BC=3．求：sin∠ACD、cs∠ACD、tan∠ACD．
【答案】sin∠ACD，cs∠ACD，tan∠ACD．
【分析】先得到∠B=∠ACD，根据勾股定理可以求得AC的长度，即可求得∠B即∠ACD的三角函数值．
解：∵CD⊥AB，∠ACB=90°，
∴∠B+∠BCD =∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠B=∠ACD，
Rt△ABC中，AB=4，BC=3，
AC=，
∴sin∠ACD=sinB=，
cs∠ACD=csB=，
tan∠ACD= tanB=．
【点拨】本题考查了直角三角形中三角函数值的计算，考查了勾股定理的运用，本题中求AC的长是解题的关键．
【变式2】.（1）如图：在中，，，根据图中的作图痕迹可知为的______；
（2）在第（1）问的条件下，请完善以下求的过程：
作于点，设为，则
列方程得：__________
解得：______，∴______．
【答案】（1）角平分线；（2）x+x=1，-1，-1
【分析】（1）根据角平分线的作法判断即可．
（2）证明BD=DE，根据BC=1，构建方程求解即可．
解：（1）由作图可知，AD平分∠CAB，
故答案为：角平分线；
（2）∵DE⊥AB，DC⊥AC，AD是角平分线，
∴DC=DE，
∴∠AED=90°，
∵CA=CB=1，∠C=90°，
∴∠B=45°，
∴BD=DE，
∴x+x=1，
∴x=-1，
∴tan∠BAD=tan∠CAD=-1，
故答案为：x+x=1，-1，-1．
【点拨】本题考查了作图-基本作图，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
类型三、由三角函数值求边长
3． 如图，在中，，点D在边上，且．
（1）求长；
（2）求的正弦值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质求得，再根据三角函数的定义求得，勾股定理求得，即可求解；
（2）过点A作交延长线于点E，根据等腰直角三角形的性质求得，根据三角函数的定义即可求解．
解：（1），
∴，
∵
∴，
∴，
∴；
（2）如图，过点A作交延长线于点E，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴．
【点拨】此题考查了三角函数的有关性质，涉及了勾股定理、等腰直角三角形的性质，熟练掌握三角函数的定义以及相关基本性质是解题的关键．
举一反三：
【变式1】已知：如图，在四边形中，，，垂足为，过点作，交的延长线于点.
（1）求证：四边形是平行四边形
（2）若，，求的长
【答案】(1)详见解析;(2)9
【分析】(1)直接利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形，进而得出答案；
(2)利用锐角三角函数关系得，设，，再利用勾股定理得出AE的长，进而求出答案．
解：(1)∵，，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形；
(2) ∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴,
∴，
设，，
∵，
∴，即，
解得：，
∴，
∴．
【点拨】本题主要考查了平行四边形的判定以及锐角三角函数关系、勾股定理，正确得出是解题关键．
【变式2】.如图，在矩形中，点是边上的点，，于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见详解；（2）
【分析】（1）由题意易得，则有，进而可得，然后可得，进而问题可求证；
（2）由（1）得：，则有，进而可得，然后可得，设，则有，最后由三角函数可得，求解即可．
解：（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：由（1）得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴在中，，
设，则有，
∴，即，
解得：，
∴．
【点拨】本题主要考查三角函数及矩形的性质，熟练掌握三角函数及矩形的性质是解题的关键．
类型四、三角函数值的增减性
4． 如图，已知和射线上一点（点与点不重合），且点到、的距离为、．
（1）若，，，试比较、的大小；
（2）若，，，都是锐角，且．试判断、的大小，并给出证明．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）利用三角函数的定义，根据两个角的正弦的大小进行比较即可得到结果；
（2）运用两个角的正弦函数，根据正弦值的变化规律进行比较．
解：在中，
在中，
又
∴；
根据得
，
又∵
∴
∴．
【点拨】考查了锐角的正弦值的变化规律：在锐角的范围内，正弦值随着角的增大而增大．
举一反三：
【变式1】我们知道，锐角的三角函数值都是随着锐角的确定而确定、变化而变化的，如图所示.
（1）试探索随着锐角度数的增大，它的三角函数值的变化规律；
（2）根据你探索到的规律，试分别比较，，，角的正弦，余弦，正切值的大小.
【答案】（1）锐角的正弦值随着角度的增大而增大，锐角的余弦值随着角度的增大而减小.锐角的正切值随着角度的增大面增大；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据概念结合图中几个锐角角，就能发现随着一个锐角的增大，它的对边在减小，邻边在增大，即可找到正余弦变化规律
（2）根据（1）中规律即可
解：（1）由题图可知，.
∵，
，
，
又∵，且，
∴，
∴
∵，，
，
又∵，
∴，
∴．
∵，
，
又∵，，
∴.
∴.
规律：锐角的正弦值随着角度的增大而增大，锐角的余弦值随着角度的增大而减小.锐角的正切值随着角度的增大面增大.
（2）；
；
.
【点拨】本题考查锐角三角函数的求法以及比较大小，熟练掌握锐角函数的定义是解题关键
【变式2】.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点坐标分别是 ，，．
（1）将向下平移 4 个单位后得到，请画出；
（2）将绕原点 逆时针旋转 90°后得到，请画出，并直接写出的值；
【答案】（1）见解析；（2）图见解析，
【分析】（1）将的向下平移 4 个单位后得到坐标，依次连接即可；
（2）将三点绕绕原点逆时针旋转 90°后得到，依次连接即可得到，作C2D⊥B2C2，求出，即可求出的值.
解：（1）将的向下平移 4 个单位后得到坐标，依次连接即可得到如图所示；
（2）将三点绕绕原点逆时针旋转 90°后得到，依次连接即可得到如图所示 ，
作C2D⊥B2C2，
在Rt△中，
，
.
【点拨】本题是对图形平移旋转的考查，熟练掌握图形平移，旋转的作法及三角函数知识是解决本题的关键.
类型五、由函数值确实锐角的取值范围
5． 如图是某公园的一台滑梯，滑梯着地点B与梯架之间的距离．
（1）现在某一时刻测得身高1.8m的小明爸爸在阳光下的影长为0.9m，滑梯最高处A在阳光下的影长为1m，求滑梯的高；
（2）若规定滑梯的倾斜角（）不超过30°属于安全范围，请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否符合安全要求？
【答案】（1）2米；（2）符合
【分析】（1）利用影长物高成比例求解即可；
（2）先求出锐角三角函数值，再利用锐角三角函数值求出角的范围即可．
解：（1），
，
答：滑梯高为2米；
（2）∵AC=2m,BC=4m，
∴，
∵正切值随着角的增大函数值增大，
，
这架滑梯的倾斜角符合安全要求．
【点拨】本题考查影长物高成比例性质，正切三角函数的定义，及正切函数的增减性，掌握影长物高成比例性质，正切三角函数的定义，及正切函数的增减性是解题关键．
举一反三：
【变式1】如图，在中，，，点是的中点，是等腰直角三角形，，线段与线段相交于点，将绕点逆时针转动，点从线段上转到与点重合的过程中，线段的长度的取值范围______．
【答案】
【分析】由旋转的性质可得DE=CD=3，由点Q在EF上运动，可得当点Q与点E重合时，DQ有最大值为3，当DQ⊥EF时，DQ有最小值，由锐角三角函数可求解．
解：∵BC=6，点D是BC的中点，
∴CD=BD=3，
∵将△DEF绕点D逆时针转动，点E从线段AB上转到与点C重合，
∴DE=CD=3，
∵线段EF与线段AB相交于点Q，
∴点Q在EF上运动，
∴当点Q与点E重合时，DQ有最大值为3，
如图，连接DQ，当DQ⊥EF时，DQ有最小值，
∵△DEF是以点D为直角顶点的等腰直角三角形，
∴∠E=45°，
∴DQ的最小值为
故答案为：
【点拨】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角函数，利用垂线段最短解决问题是本题的关键．
【变式2】.函数对任意实数都有，且是三角形的内角，则的取值范围是________
【答案】
【分析】因为csθ＞0，所以只要△＜0，函数值恒为正．由△＜0，得到三角函数不等式，再把正弦转化为余弦，解不等式，最后利用三角函数的增减性求出θ的取值范围．
解：由题意得：

即：，
（2csθ-1）（csθ+2）＞0，
解得csθ＞，
又因为0°＜θ＜180°，
所以θ的取值范围为0°＜θ＜60°．
故答案是：0°＜θ＜60°．
【点拨】考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了锐角三角函数的性质，锐角的余弦随着角度的增大而减小；同角的正余弦的平方和为1．记住特殊角的三角函数值． 锐角
30°
45°
1
60°