北师大版九年级数学下册 专题1.6 解直角三角形（知识讲解）（附答案）

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1．了解解直角三角形的含义，会综合运用平面几何中有关直角三角形的知识和锐角三角函数的定义解直角三角形；
2．会运用有关解直角三角形的知识解决实际生活中存在的解直角三角形问题．
【要点梳理】
要点一、解直角三角形
在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.
在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.
设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：
①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).
②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.
③边角之间的关系：
，，，
，，.
④，h为斜边上的高.
要点诠释：
(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知值.
(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).
(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.
要点二、解直角三角形的常见类型及解法
要点诠释：
1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.
2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.
【典型例题】
类型一、解直角三角形
1． 在△ABC中，∠C＝90°．
（1）已知：c＝8，∠A＝60°，求∠B及a，b的值；
（2）已知：a＝3，c＝6，求∠A，∠B及b的值．
【答案】（1）∠B＝30°，a＝12，b＝4；（2）∠A＝∠B＝45°，b＝3
【分析】（1）先求出∠B的度数，再结合三角函数可以求出a、b的值；（2）先由勾股定理求出b的值，然后求出∠A、∠B的度数即可．
解：
（1）∵∠C=90°，∠A=60°，
∴∠B=30°，
∵c=8，
∴a=c·sin60°=8×=12，
b=c·cs60°=8×=4；
（2）∵a＝3，c＝6，
∴b=3，
∴b=a，
∴∠A=∠B=45°．
【点拨】熟练掌握锐角三角函数的应用．
举一反三：
【变式1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝4，a＝2，解这个直角三角形．
【答案】b＝2，∠B＝30°，∠A＝60°．
【分析】利用勾股定理可求出b＝2，结合c＝4可得出b＝c，进而可得出∠B＝30°，∠A＝60°．
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝4，a＝2，
∴b＝＝2，
∴b＝c，
∴∠B＝30°，∠A＝60°．
【点拨】本题考查了解直角三角形以及勾股定理，利用勾股定理求出b值，找出b＝c是解题的关键．
【变式2】.如图，在边长为2的正方形ABCD中，点P在AB上，点Q在DC的延长线上，连接DP，QP，且∠APD=∠QPD，PQ交BC于点G．
（1）求证：DQ=PQ；
（2）当tan∠APD=时，求：①CQ的长；②BG的长．
【答案】（1）见解析；（2）①CQ=；②BG=．
【分析】（1）根据正方形的性质得到AB∥CD，根据平行线的性质得到∠APD=∠QDP．等量代换得到∠QPD=∠QDP，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论；
（2）①过Q作QE⊥PD于E，解直角三角形得到AP=1.5，根据勾股定理得到PD= ，DQ= ，于是得到结论；②根据相似三角形的性质列方程即可得到结论．
解：（1）证明：∵四边形ABDF是正方形，
∴AB∥CD，
∴∠APD=∠QDP．
∵∠APD=∠QPD，
∴∠QPD=∠QDP，
∴DQ=PQ；
（2）解：①过Q作QE⊥PD于E，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=90°，
∵tan∠APD=，AD=2，
∴AP=1.5，
∴PD==，
∵DQ=PQ，
∴DE=PE=，
∵∠APD=∠QPD，
∴tan∠APD==tan∠QPD=，
∴QE=，
∴DQ==，
∴CQ=DQ-CD=；
②∵AB=2，AP=1.5，
∴PB=，
∵CQ∥PB，
∴△CQG∽△BPG，
∴=，
∴=，
∴BG=．
故答案为：（1）见解析；（2）①CQ=；②BG=．
【点拨】本题考查正方形的性质，勾股定理，三角函数的定义，相似三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
【变式3】图1是一辆在平地上滑行的滑板车，图2是其示意图．已知车杆长，车杆与脚踏板所成的角，前后轮子的半径均为，求把手离地面的高度（结果保留小数点后一位；参考数据：，，）
【答案】92.5
【分析】过点作于点，延长交地面于点，利用即可进行求解.
解：过点作于点，延长交地面于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴把手离地面的高度为.
【点拨】此题主要考查三角函数的应用，解题的关键是根据图形构造直角三角形进行求解.
类型二、解非直角三角形
2． 某校综合实践小组要对一幢建筑物的高度进行测量.如图，该小组在一斜坡坡脚处测得该建筑物顶端的仰角为，沿斜坡向上走到达处，（即）测得该建筑物顶端的仰角为.已知斜坡的坡度，请你计算建筑物的高度（即的长，结果保留根号）.
【答案】建筑物的高度为.
【分析】过点作，根据坡度的定义求出AB，BD,AD，再利用三角函数的定义列出方程求解.
解：过点作，垂足为.过点作，垂足为.
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，.
∵，
∴，
∴设，，
∴，
∴，
∴，.
根据题意，，，
在中，设，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，
∵，.
又∵，
∴，解得，
∴.
答：建筑物的高度为.
【点拨】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知三角函数的定义.
举一反三：
【变式1】如图，在四边形ABCD中，AB=AD=4，∠A=60°，BC=4，CD=8．
（1）求∠ADC的度数；
（2）求四边形ABCD的面积．
【答案】(1) 150°；(2)
【分析】（1）连接BD，首先证明△ABD是等边三角形，可得∠ADB=60°，DB=4，再利用勾股定理逆定理证明△BDC是直角三角形，进而可得答案；
（2）过B作BE⊥AD，利用三角形函数计算出BE长，再利用△ABD的面积加上△BDC的面积可得四边形ABCD的面积．
解：（1）连接BD，
∵AB=AD，∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ADB=60°，
DB=4，
∵42+82=（4）2，
∴DB2+CD2=BC2，
∴∠BDC=90°，
∴∠ADC=60°+90°=150°；
（2）过B作BE⊥AD，
∵∠A=60°，AB=4，
∴BE=AB•sin60°=4×=2，
∴四边形ABCD的面积为：AD•EB+DB•CD=×4×2+×4×8=4+16．
【变式2】.如图，△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=4，求AB的长.
【答案】2+2
【解析】本题注意考查的就是利用三角函数解直角三角形，过点C作CD⊥AB于D点，然后分别根据Rt△ADC中∠A的正弦、余弦值和Rt△CDB中∠B的正切值得出AD和BD的长度，从而得出AB的长度.
试题解析：过点C作CD⊥AB于D点，
在Rt△ADC中，∠A=30°，AC=4，
∴CD=AC=×4=2，
∴AD=，
在Rt△CDB中，∠B=45°，CD=2，
∴CD=DB=2，
∴AB=AD+DB=2+2．
【变式3】如图所示，A、B两地之间有一条河，原来从A地到B地需要经过桥DC，沿折线A→D→C→B到达，现在新建了桥EF（EF=DC），可直接沿直线AB从A地到达B地，已知BC=12km，∠A=45°，∠B=30°，桥DC和AB平行．
（1）求桥DC与直线AB的距离；
（2）现在从A地到达B地可比原来少走多少路程？
（以上两问中的结果均精确到0.1km，参考数据：≈1.14，≈1.73）
【答案】（1）桥DC与直线AB的距离是6.0km；（2）现在从A地到达B地可比原来少走的路程是4.1km．
【分析】(1)过C向AB作垂线构建三角形，求出垂线段的长度即可；(2)过点D向AB作垂线，然后根据解三角形求出AD， CB的长，进而求出现在从A地到达B地可比原来少走的路程.
解：（1）作CH⊥AB于点H，如图所示，
∵BC=12km，∠B=30°，
∴km，BH=km，
即桥DC与直线AB的距离是6.0km；
（2）作DM⊥AB于点M，如图所示，
∵桥DC和AB平行，CH=6km，
∴DM=CH=6km，
∵∠DMA=90°，∠B=45°，MH=EF=DC，
∴AD=km，AM=DM=6km，
∴现在从A地到达B地可比原来少走的路程是：（AD+DC+BC）﹣（AM+MH+BH）=AD+DC+BC﹣AM﹣MH﹣BH=AD+BC﹣AM﹣BH=km，
即现在从A地到达B地可比原来少走的路程是4.1km．
【点拨】做辅助线，构建直角三角形，根据边角关系解三角形，是解答本题的关键.
类型三、构造直角三角形求不规则图形的边长或面积
3． 如图，AB是长为10m，倾斜角为30°的自动扶梯，平台BD与大楼CE垂直，且与扶梯AB的长度相等，在B处测得大楼顶部C的仰角为65°，求大楼CE的高度（结果保留整数）．（参考数据：sin65°＝0.90，tan65°＝2.14）
【答案】大楼CE的高度是26m．
【分析】作BF⊥AE于点F,根据三角函数的定义及解直角三角形的方法求出BF、CD即可.
解：作BF⊥AE于点F．则BF＝DE．
在直角△ABF中，sin∠BAF＝，则BF＝AB•sin∠BAF＝10×＝5（m）．
在直角△CDB中，tan∠CBD＝，则CD＝BD•tan65°＝10×2.14=21.4（m）．
则CE＝DE+CD＝BF+CD＝5+21.4≈26（m）．
答：大楼CE的高度是26m．
【点拨】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知三角函数的定义与性质.
举一反三：
【变式1】问题背景：在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为，，，求此三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为1)，再在网格中画出格点△ABC(即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处)，如图①所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．
(1)请你将△ABC的面积直接填写在横线上：________.
思维拓展：
(2)我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．如果△ABC三边的长分别为a，a，a(a＞0)，请利用图②的正方形网格(每个小正方形的边长为a)画出相应的△ABC，并求出它的面积．
探索创新：
(3)若△ABC三边的长分别为，，(m＞0，n＞0，且m≠n)，试运用构图法画出示意图并求出这三角形的面积．
【答案】（1）；（2）3a2；（3）7mn
【分析】（1）的面积；
（2）是直角边长为，的直角三角形的斜边；是直角边长为，的直角三角形的斜边；是直角边长为，的直角三角形的斜边，把它整理为一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积；
（3）结合（1），（2）易得此三角形的三边分别是直角边长为，的直角三角形的斜边；直角边长为，的直角三角形的斜边；直角边长为，的直角三角形的斜边.同样把它整理为一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积.
解：(1)；
故答案为；
(2)如图1，在边长为a的正方形网格中，△ABC即为所求作三角形，S△ABC＝2a×4a－×2a×2a－×2a×a－×4a×a＝3a2
(3)如图2，在每个小长方形的长为m、宽为n的网格中，△ABC即为所求作三角形，其中AB＝、AC＝、BC＝，S△ABC＝4m×4n－×m×4n－×3m×2n－×4m×2n＝7mn.
【点拨】此题主要考查了勾股定理应用、利用了数形综合的思想，通过构造直角三角形，利用勾股定理求解是解题关键.关键是结合网格用矩形及容易求得面积的直角三角形表示出所求三角形的面积进行解答.
【变式2】.数学课外实践活动中，小林在校园内选择°了道路上的A、B两点处，利用测角仪对教学楼的楼顶D处进行了测量，如图，测得∠DAC=45°，∠DBC=60°,AB=10米，求楼顶D处到道路AC的距离约为多少米？(结果精确到0.1米，参考数据：，)
【答案】楼顶D处到道路AC的距离约为23.7米.
【解析】【分析】作辅助线,在Rt△BDE中利用三角函数值求出DE的长即可解题
解：如图，过点D作DE⊥AC，垂足为E，
设，则，∴EB=x-10,
在Rt△BDE中，DE=tan60°==,
解方程并检验得：DE=x=15+5,
答：楼顶处到道路的距离约为23.7米.
【点拨】本题考查了解直角三角形的实际应用,属于简单题,选用简单的角表示DE是解题关键.
【变式3】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，∠BAD＝45°，AC＝3，AB＝，求BD的长．
【答案】BD的长是5．
【分析】过D作DE⊥AB于点E，设DE＝a，用a表示出AE、BE，在Rt△ABC和Rt△BDE中分别表示出tan∠ABC，从而列出方程，解方程后即可求出BE、DE的长，然后用勾股定理即可求出BD.
解：过D作DE⊥AB于点E，如图所示，
∵∠BAD＝45°，
∴∠EAD＝∠EDA＝45°，
∴AE＝DE，
设DE＝a，则BE＝AB﹣AE＝﹣a，
∵AC＝3，AB＝，∠C＝90°，
∴BC=，
∴，
∴a=，
经检验，a=是上面方程的解.
∴DE=，BE=2
Rt△BED中，由勾股定理得：
BD2＝BE2+DE2=，
∴BD＝5.
【点拨】本题考查了三角函数的应用，通过在不同三角形中表示出同一个角的某个三角函数从而列出方程求解是解题关键，这种解法比用相似更简捷，要灵活运用.已知条件
解法步骤
Rt△ABC
两
边
两直角边(a，b)
由求∠A，
∠B=90°－∠A，
斜边，一直角边(如c，a)
由求∠A，
∠B=90°－∠A，
一
边
一
角
一直角边
和一锐角
锐角、邻边
(如∠A，b)
∠B=90°－∠A，
，
锐角、对边
(如∠A，a)
∠B=90°－∠A，
，
斜边、锐角(如c，∠A)
∠B=90°－∠A，
，