2021届江苏省常州市高三下学期学业水平监测期初联考数学试题（解析版）

这是一份2021届江苏省常州市高三下学期学业水平监测期初联考数学试题（解析版），共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．已知集合，，若，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先求得集合，根据方程，求得或，
分，和三种情况，结合，列出不等式组，即可求解.
【详解】由不等式，解得或，即，
又由，解得或，
当时，可得集合，此时不满足；
当时，可得集合，
若，要使得，则满足，解得；
若，要使得，则满足，解得，
综上可得，实数的取值范围是.
故选：D.
2．i是虚数单位，在复平面内复数对应的点的坐标为（ ）
A．(，)B．(，)C．(，)D．(，)
【答案】A
【分析】把复数化为代数形式，可得对应点坐标．
【详解】，对应点坐标为．
故选：A．
3．已知a，b，c是实数，则“a≥b”是“ac2≥bc2”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】根据不等式的性质及充分条件、必要条件求解.
【详解】因为a≥bac2≥bc2,
而ac2≥bc2 a≥b，例如，
所以“a≥b”是“ac2≥bc2”的充分不必要条件，
故选：B
4．设函数，若函数的图象在点(1，)处的切线方程为y=x，则函数的增区间为（ ）
A．(0，1)B．(0，)C．(，)D．(，1)
【答案】C
【分析】由的图象在点(1，)处的切线方程为y=x，，得到求出a、b，直接利用导数求出增区间.
【详解】的定义域为，
∵函数的图象在点(1，)处的切线方程为y=x，
∴解得：
∴
欲求的增区间
只需，解得：
即函数的增区间为(，)
故选：C
【点睛】函数的单调性与导数的关系：
已知函数在某个区间内可导，
（1）如果>0，那么函数在这个区间内单调递增；如果<0，那么函数在这个区间内单调递减；
（2）函数在这个区间内单调递增，则有；函数在这个区间内单调递减，则有；
5．用红，黄，蓝，绿，黑这5种颜色随机给如图所示的四块三角形区域涂色，则“在任意两个有公共边的三角形所涂颜色不同”的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求出所有涂色方法数为，再求出在任意两个有公共边的三角形所涂颜色不同的方法数，可先从中间一个三角形涂色，然后再涂其他三个三角形．
【详解】5种颜色随机给如图所示的四块三角形区域涂色方法数为，
有公共边的三角形为同色，先考虑中间一块涂色有5种方法，其他三个三角形在剩下的4色中任意涂色均可，方法为，
所以所求概率为．
故选：A．
6．如果在一次实验中，测得(x，y)的四组数值分别是(1，2.2)，(2，3.3)，(4，5.8)，(5，6.7)，则y对x的线性回归方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据题中数据，求得，再代入公式，可求得，即可求得方程.
【详解】根据四组数据，可得，
所以，，
所以，
所以，
所以回归直线方程为：.
故选：D
7．令() ，则=（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】运用二项式性质，然后两边求导即可.
【详解】由题知，，，即 其中
所以
对上式左右两边求导得
再令得
故选：C
8．函数，A>0，>0，k，bR，则函数在区间(﹣，)上的零点最多有（ ）
A．4个B．5个C．6个D．7个
【答案】B
【分析】根据函数零点可转化为两个函数图象交点，画出函数大致图象即可求解.
【详解】由，可得，
的周期，
故在区间(﹣，)上恰好2个周期，
作出与函数的大致图象如图，
由图象可知，最多有5个交点，故函数在区间(﹣，)上的零点最多有5个.
故选：B
【点睛】关键点点睛：函数的零点问题可转化为方程的根的问题，也可转化为两个函数图象交点的问题，本题转化为函数图象交点问题，作出大致图象可判断交点个数.
二、多选题
9．已知，是平面上夹角为的两个单位向量，在该平面上，且(﹣)·(﹣)=0，则下列结论中正确的有（ ）
A．B．
C．D．，的夹角是钝角
【答案】BC
【分析】在平面上作出，，，，作，则可得出点在以为直径的圆上，这样可判断各选项，特别是CD． 由向量加法和减法法则判断AB．
【详解】如图，，，，，则，即，B正确；
，由(﹣)·(﹣)=0得，点在以直径的圆上（可以与重合）．中点是，
则，A错；
的最大值为，C正确；
与同向，由图，与的夹角不可能为钝角．D错误．
故选：BC．
【点睛】思路点睛：本题考查向量的线性运算，考查向量数量积．解题关键是作出图形，作出，，，确定点轨迹，然后由向量的概念判断．本题也可以放到平面直角坐标系中用坐标解决．
10．已知在数学测验中，某校学生的成绩服从正态分布，其中分为及格线，则下列结论中正确的有（附：随机变量服从正态分布，则）（ ）
A．该校学生成绩的期望为B．该校学生成绩的标准差为
C．该校学生成绩的标准差为D．该校学生成绩及格率超过
【答案】ABD
【分析】根据正态分布的数字特征可判断ABC选项的正误，计算出，可判断D选项的正误.
【详解】因为该校学生的成绩服从正态分布，则，方差为，标准差为，
，.
所以，该校学生成绩的期望为，该校学生成绩的标准差为，该校学生成绩及格率超过.
所以，ABD选项正确，C选项错误.
故选：ABD.
11．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，记为数列的前n项和，则下列结论中正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】根据斐波那契数列的递推关系进行判断．
【详解】由题意斐波那契数列前面8项依次为，，A正确，B错误；
，C正确；
，时，得，D正确．
故选：ACD．
【点睛】关键点点睛：本题考查数列新定义，解题关键是正确理解新数列，根据新定义，斐波那契数列满足递推关系，对于数列前面有限的项或前项的和可以直接求出项，计算，对于一般的结论只能利用这个递推关系判断．
12．设函数的定义域为D，若存在常数a满足[﹣a，a]D，且对任意的[﹣a，a]，总存在[﹣a，a]，使得，称函数为P(a)函数，则下列结论中正确的有（ ）
A．函数是函数
B．函数是函数
C．若函数是函数，则t=4
D．若函数是P()函数，则b=
【答案】AD
【分析】根据题中所给定义，结合条件，逐一检验各个选项，分析整理，即可得答案.
【详解】对于A：，定义域为R，当时，有，
对任意，，
因为，存在，使，
所以函数是函数，故A正确；
对于B：，定义域为R，当时，有，
当时，，
所以不存在，使得，此时，故B错误；
对于C：当t=4时，，定义域为，，
因为，则，
所以，
又为增函数，
所以，
又因为，所以，
所以，
所以，即，故C错误；
对于D：当 时，，
所以，
因为函数是P()函数，
所以对任意，总存在使，
又，当时，，
当时，有，解得b=，故D正确.
故选：AD
【点睛】解题的关键是掌握P(a)函数的定义，并根据选项所给条件，结合各个函数的性质，进行分析和判断，综合性较强，属中档题.
三、填空题
13．圆柱上､下底面的圆周都在一个体积为的球面上，圆柱底面直径为8，则该圆柱的表面积为___________.
【答案】80π
【分析】作出圆柱的轴截面，求出圆柱的高，即可得表面积．
【详解】如图是圆柱的轴截面，其外接圆是球的大圆，
由得，，又，∴，
∴圆柱表面积为．
故答案为：．
14．函数的最小正周期T=___________.
【答案】
【分析】由题可得，可判断是以为周期的函数，再讨论在和的单调性可得出结论.
【详解】
，
是以为周期的函数，
当时，，函数单调递减，
当，，函数单调递增，
在内不存在小于的周期，是的最小正周期.
故答案为：.
【点睛】本题考查三角函数周期的求解，解题的关键是先判断出是函数的周期，再根据其性质探讨其为最小正周期.
15．已知函数，则使不等式成立的实数t的取值范围是___________.
【答案】
【分析】利用的图象关于直线对称，且在时为减函数，可解不等式．
【详解】， ，，所以的图象关于直线对称，
时，
设，则，，
，，
所以，即
即是减函数，所以时函数为增函数，
因此由得，解得且．．
故答案为：
【点睛】思路点睛：本题考查函数的对称性与单调性，利用对称性、单调性不等式，求解方法类似于二次函数：对开口向上的抛物线，离对称轴越近，函数值越小，开口向下的抛物线，离对称轴越近，函数值越大．
四、双空题
16．已知椭圆C1：的右焦点F也是抛物线C2：y2=nx的焦点，且椭圆与抛物线的交点到F的距离为，则实数n=___________，椭圆C1的离心率e=___________.
【答案】4
【分析】依题意可得椭圆与抛物线的焦点为，根据抛物线的定义即可求出，再设椭圆与抛物线在第一象限的交点为，由抛物线的定义求出的坐标，最后代入椭圆方程，求出参数，即可求出椭圆离心率；
【详解】解：椭圆C1：，所以右焦点，又也为的焦点，所以，所以，即抛物线，则抛物线的准线为，设椭圆与抛物线在第一象限的交点为，则，所以，又点在上，所以，解得，所以，所以，解得或（舍去）
所以椭圆方程为，所以，，，所以离心率
故答案为：；
五、解答题
17．设等比数列的公比为q(q≠1)，前n项和为.
（1）若，，求的值；
（2）若q>1，，且，m，求m的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由已知根据等比数列的求和公式得，可求得公比，由此可求得的值；.
（2）由已知和等比数列的通项公式得可求得公比代入可求得的值.
【详解】解：（1），
解得，所以.
（2）得因为，所以
由又所以，
即因为则所以，解得.
【点睛】关键点点睛：本题考查等比数列的通项公式和求和公式，关键在于准确地运用相应的公式，建立方程或方程组，求解得答案.
18．已知中，它的内角的对边分别为，且.
（1）求的值；
（2）若，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据题设条件，利用余弦定理，求得，进而求得的值；
（2）由，得到，进而求得的值.
【详解】（1）在中，因为，即
由余弦定理可得，
因为，所以.
（2）在中，可得，可得，
由，
可得，
又由，则，则，所以.
19．已知某射手射中固定靶的概率为，射中移动靶的概率为，每次射中固定靶､移动靶分别得1分､2分，脱靶均得0分，每次射击的结果相互独立，该射手进行3次打靶射击：向固定靶射击1次，向移动靶射击2次.
（1）求“该射手射中固定靶且恰好射中移动靶1次”的概率；
（2）求该射手的总得分X的分布列和数学期望.
【答案】（1）；（2）分布列答案见解析，数学期望：.
【分析】（1）记“该射手射中固定靶且恰好射中移动靶1次”为事件，得到，结合互斥事件和相互独立事件的概率计算公式，即可求解；
（2）随机变量的可能取值为0，1，2，3，4，5，根据互斥事件和相互独立事件的概率计算公式，求得相应的概率，得出分布列，利用期望的公式，即可求解.
【详解】（1）记“该射手射中固定靶且恰好射中移动靶1次”为事件，
则，，
，其中互斥，相互独立，
从而，
则，
所以该射手射中固定靶且恰好射中移动靶1次的概率为.
（2）随机变量的可能取值为0，1，2，3，4，5，
则，
，
，
,
,
该射手的总得分的分布列为
随机变量的数学期望
【点睛】求随机变量的期望与方差的方法及步骤：
1、理解随机变量的意义，写出可能的全部值；
2、求取每个值对应的概率，写出随机变量的分布列；
3、由期望和方差的计算公式，求得数学期望；
4、若随机变量的分布列为特殊分布列（如：两点分布、二项分布、超几何分布），可利用特殊分布列的期望和方差的公式求解.
20．如图，在四棱锥中，底面四边形是矩形，，平面 平面，二面角的大小为.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成的角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）利用面面垂直的性质定理得出平面，可得出，推导出为等腰直角三角形，可得出，利用线面垂直的判定定理可证得平面；
（2）在底面内，过点作，垂足为，连接，设，推导出为直线与平面所成角，计算出、，进而可计算得出.
【详解】（1）四棱锥中，四边形是矩形，所以，
又因为平面平面，平面平面，平面
所以平面，
又因为、、平面，所以，，，
从而是二面角的平面角，
因为二面角的大小为，所以，
在中，，所以，所以，
即，
又因为，，所以平面；
（2）在底面内，过点作，垂足为，连接，
由（1）知平面，又平面，所以，
又因为，，所以平面，
从而为直线与平面所成角，
设，则，，
所以，，，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
【点睛】方法点睛：求直线与平面所成角的方法：
（1）定义法，①作，在直线上选取恰当的点向平面引垂线，确定垂足的位置是关键；
②证，证明所作的角为直线与平面所成的角，证明的主要依据是直线与平面所成角的概念；
③求，利用解三角形的知识求角；
（2）向量法，（其中为平面的斜线，为平面的法向量，为斜线与平面所成的角）.
21．已知函数，a，bR.
（1）若a>0，b>0，且1是函数的极值点，求的最小值；
（2）若b=a+1，且存在[，1]，使成立，求实数a的取值范围.
【答案】（1）最小值；（2）.
【分析】（1）由1是函数的极值点得，对用基本不等式中“1的代换”求最值；
（2）把“存在[，1]，使成立”转化为函数在上的最小值小于0，利用导数讨论单调性，找到最小值，解出a的范围即可.
【详解】解：（1）因为是函数的极值点，所以
即此时
当当所以函数在处取极小值.
所以因为，
所以(当且仅当时等号成立)
此时有最小值.
（2）当时，，
存在使成立，即函数在上的最小值小于
①当即时，在上单调递减，
所以在上的最小值为，
所以，不符，舍去；
②当即时，在上单调递增，
所以在上的最小值为
所以，又所以；
（3）当时，即时，
在上单调递增，在上单调递减，
所以在上的最小值为
因为所以所以
所以，
所以不符，舍去，
综上可得，的取值范围是.
【点睛】（1）导数为零，并且两侧导数一正一负的点为极值点；导数为零，但是两侧导数符号相同的点不是极值点.
（2）研究含参数的函数的单调性要注意：①讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行，切记不要忽略定义域的限制；②利用导数求函数单调性，大多数情况下归结为对含参数的不等式的解集的讨论；③在能够通过因式分解求出不等式对应方程解时，依据根的大小进行分类讨论；④在不能通过因式分解求出不等式对应方程解时，根据不等式对应方程的判别式进行分类讨
22．已知等轴双曲线C：(a>0，b>0)经过点(，).
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）已知点B(0，1).
①过原点且斜率为k的直线与双曲线C交于E，F两点，求∠EBF最小时k的值；
②点A是C上一定点，过点B的动直线与双曲线C交于P，Q两点，为定值，求点A的坐标及实数的值.
【答案】（1）；（2）①；②或者.
【分析】（1）由题意，代入已知点建立方程，解之可得双曲线的标准方程.
（2）①由对称性可设，且，运用向量数量积的坐标运算表示，又由可得，由此可得最小时，的值.
②设过点的动直线为：设与双曲线的方程联立得，根据根的判别式和根与系数的关系可求得且，由直线的斜率公式得，再由恒等式的思想可求得点A的坐标及实数的值.
【详解】解：（1）由题意，且解得，
所以双曲线的标准方程为
（2）①由对称性可设，且，则，
因为点在双曲线上，所以，所以，所以，
当时，为直角，
当吋，为钝角.
因此，最小时，.
②设过点的动直线为：
设联立得，
所以，由且，解得且，
，即即，
化简得，
所以，
化简得，
由于上式对无穷多个不同的实数都成立，
所以
如果那么此时不在双曲线上，舍去.
因此从而代入解得.
此时在双曲线上.
综上，或者.
【点睛】关键点点睛：本题考查直线与双曲线位置关系之定值问题，属于较难题，关键在于将直线与双曲线的方程联立，得出根与系数的关系，继而将目标条件转化到曲线上的点的坐标上去.
X
0
1
2
3
4
5