2024届江西省先知高考高三上学期第二次联考数学试题含解析

这是一份2024届江西省先知高考高三上学期第二次联考数学试题含解析，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已经集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先计算一元二次不等式求出，再根据补集定义求出，最后应用交集定义运算求解即可.
【详解】∵，，
∴或，，
故选：D．
2．设，其中i为虚数单位），若为纯虚数，则实数m=（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据复数乘法的运算法则，结合纯虚数的定义进行求解即可.
【详解】，
因为为纯虚数，所以有，解得，
故选：A．
3．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据三角函数的诱导公式，即可求解.
【详解】因为，
所以，
故选：B.
4．已知为单位向量，向量与向量的夹角为，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据投影向量的公式可求投影向量.
【详解】由题意知，所以向量在向量上的投影向量为:
.
故选:B.
5．若函数的导函数为，且满足，则（ ）
A．0B．-1C．D．-2
【答案】C
【分析】由导数计算公式先求，再代入求.
【详解】由，得，
令，则，解得，
所以.
故选：C
6．已知正实数a，b满足，则的最小值是（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【分析】由已知可推得，然后根据“1”的代换，利用基本不等式，即可得出最小值.
【详解】由已知可得，，所以.
又，
所以.
当且仅当，即，时，等号成立.
所以，的最小值是.
故选：C.
7．已知，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】对数函数的单调性可比较a、b，再根据基本不等式及换底公式比较b与c的大小关系，由此可得出结论.
【详解】因为，
所以.
因为，所以，所以，所以，所以.
故选：A.
【点睛】方法点睛：对于比较实数大小方法：（1）利用基本函数的单调性，根据函数的单调性判断，（2）利用中间值“1”或“0”进行比较，（3）构造函数利用函数导数及函数单调性进行判断.
8．《孔雀东南飞》中曾叙“十三能织素，十四学裁衣，十五弹箜篌，十六诵诗书.”箜篌历史悠久､源远流长，音域宽广､音色柔美清澈，表现力强.如图是箜篌的一种常见的形制，对其进行绘制，发现近似一扇形，在圆弧的两个端点A，B处分别作切线相交于点C，测得切线，根据测量数据可估算出该圆弧所对圆心角的余弦值为（ ）
A．0.62B．0.56C．-0.56D．-0.62
【答案】A
【分析】首先结合余弦定理求得，再根据角的互补关系，求圆心角的余弦值.
【详解】如图，设弧对应圆心是，根据题意，，，
则，
因为，
则在中，，
所以.
故选：A.
二、多选题
9．已知函数，则下列判断正确的是（ ）
A．为偶函数B．在上单调递增
C．的图象关于直线对称D．的图象关于点对称
【答案】ACD
【分析】化简得到，计算为偶函数，关于直线对称，关于点对称，在上单调递减，得到答案.
【详解】
.
对选项A：，，正确；
对选项B：，，在上单调递减，错误；
对选项C：当，则，是的对称轴，正确；
对选项D：当时，，故的图象关于点对称，正确.
故选：ACD
10．对于函数，下列结论中正确的是（ ）
A．是奇函数
B．在区间和上单调递增
C．在处取得极大值2
D．函数的值域是
【答案】ABC
【分析】用奇偶性的定义来判断A选项；利用导数研究函数的单调性即可判断B选项；根据极大值概念求出极大值即可判断C选项；结合单调性求最大值和最小值，即可判断D选项.
【详解】因为对，故A正确；
对于B，，令可得或，令可得，
所以函数的单调递增区间为和，函数的单调递减区间为，故B正确；
对于，由得，结合选项B可知，是函数的极大值点，此时函数的极大值为，故正确；
对于，由可知，函数在和上单调递增，函数在上单调递减，
所以无最大值，无最小值，如图，故D错误.
故选：ABC.
11．南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幕，减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积可用公式（其中a、b、c、S为三角形的三边和面积）表示.在中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，若，且，则下列命题正确的是（ ）
A．面积的最大值是
B．
C．
D．面积的最大值是
【答案】AB
【分析】根据，即可推得.根据正弦定理角化边，即可得出B项；代入面积公式，结合二次函数的性质，即可得出面积的最大值，进而判断A、D项.
【详解】因为，
整理可得，，
即有.
因为，所以.
对于B项，根据正弦定理角化边可得，，故B项正确；
对于A、D项，由已知可得.
当，即时，该式有最大值，故A项正确，D项错误；
对于C项，因为不是确定的数值，故C项错误.
故选：AB.
12．已知函数的定义域都为为奇函数，且2，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】令，由奇函数的性质判断A选项；根据题意可得，结合题意判断B选项；结合题意求，验证当时，成不成立，可判断C选项；根据的周期和结合A、B选项可判断D选项.
【详解】对于，由，令可得，又为奇函数，故，故A正确；
对于B，由及可得，
又为奇函数，则，令则，故，故B错误；
对于C，由及可得，当时，不成立，故C错误；
对于，由可得且周期为2，故，故，故D正确.
故选AD.
三、填空题
13．已知向量，则 .
【答案】
【分析】根据向量线性运算的坐标表示，求出的坐标，再根据向量数量积的坐标表示直接进行计算即可.
【详解】因为，则，
因此.
故答案为：
14．已知函数在上存在极值点，则正整数的值是 .
【答案】5
【分析】问题化为在内有解且其两侧异号，即可求参数值.
【详解】由题设在内有解，且此解左右两侧异号，
即，整理得在有解，得，故.
故答案为：5
15．已知，若在上恰有两个不相等的实数满足4，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】由，可得，分析可知函数在上恰有两个最大值点，可得到关于的不等式，解出即可.
【详解】因为，所以，
因为在上恰有两个不相等的实数满足，
且，
所以函数在上恰有两个最大值点，
所以，解得，
因此实数的取值范围是.
故答案为：.
16．已知函数，，若有2个不同的零点，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】设，根据的范围，讨论求得的解析式.根据解析式得出函数的性质，作出的图象，根据函数图象，即可得出答案.
【详解】设，
当时，，；
当时，，；
当时，，.
综上可得，.
函数的定义域为，
由复合函数单调性可知函数单调递增.
又，
作出的图象如图所示

由图象可知，当时，曲线与恒有两个交点，
即有两个零点，
所以的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】思路点睛：根据函数的解析式（或导函数）得出函数的性质，然后作出函数的图象，结合函数的图象，即可得出参数的取值范围.
四、解答题
17．已知为平面向量，且.
(1)若，且与垂直，求实数的值；
(2)若，且，求向量的坐标.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）利用向量运算的坐标表示，利用向量垂直的坐标表示，列出方程，求解作答.
（2）利用向量共线设出的坐标，利用坐标求模，列式计算作答.
【详解】（1）因为，
所以，
又因为与垂直，所以，
即，得，
所以.
（2）因为得，
又因为，所以，
即，所以，
故或.
18．在中，内角，，的对边分別为，，，且满足.
(1)求；
(2)若内角的角平分线交于点，且，求的面积的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将角化边，化简后求解即可；
（2）根据角平分线性质，求得和，再将转化为与的关系，利用基本不等式求解即可.
【详解】（1）∵，∴由正弦定理得，
∴，
∴，
∴，
∵，，∴，∴，∴，
∴.
（2）
如图，由题意及第（1）问知，，且，
∴，
∴，化简得，
∵，，∴由基本不等式得，∴，
当且仅当时，等号成立，
∴
∴，
故的面积的最小值为.
19．已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）计算出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程；
（2），其中，利用导数分析函数的单调性，证明出，即可证得结论成立.
【详解】（1）解：因为，则，
所以，，，
所以，曲线在点处的切线方程为，
即.
（2）解：令，其中，
，
令，其中，
则，
当时，且不恒为零，所以，函数在上单调递增，
所以，当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，，即.
20．已知函数的部分图象如图所示.
(1)求的解析式；
(2)先将的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象.当时，求的值域.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据最值求出，再根据周期求出，最后根据对称中心求出，可得解析式；
（2）先根据平移伸缩求出，再根据求出值域即可.
【详解】（1）根据图像可得，
，则，
因为，所以
将代入的解析式，得，
则，得
因为，所以，
所以.
（2）由（1）知，
将的图像向左平移个单位长度
得的图象，
再将所得图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标伸长到原来的2倍，
得的图像，
因为，所以，
则
所以,
故在上的值域为
21．如图，在平面直角坐标系中，角和的终边与单位圆分别交于，两点.
(1)若，求的值；
(2)若，，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先表示出向量的坐标，利用和差角公式可求答案；
（2）根据求出，根据倍角公式可得答案.
【详解】（1）因为，，
所以，
所以，
两式平方相加，得，
解得.
（2）因为，
所以.
因为，所以.
所以
.
22．已知函数 ．
(1)当时，求函数的单调递增区间
(2)若函数在的最小值为，求的最大值．
【答案】(1)单调递增区间为
(2) ．
【分析】（1）求导并判断导数符号，进一步可得单调区间；
（2）求导，对进行分类讨论，根据函数在的最小值为，求得的取值范围，从而得到的最大值．
【详解】（1）当时，，
则，
令，在R上单调递增，
当时，，当时，，
即在上递减，在上递增，
故，
所以恒成立，仅当时取等号，
即的单调递增区间为
（2）
当时，时，，时，，
则在取得最小值，符合题意；
当时，时，，时，，
时，，
因为最小值为，所以得，即；
当时，由（1）可知单调递增，则当时无最小值，不合题意；
当时，时，，时，，
时，，
则有，不合题意；
综上可得，的最大值 ．
【点睛】难点点睛：本题考查了利用导数求函数的单调区间、利用导数根据函数最值求参数的最值，难点在于根据最小值求参数时，要注意讨论a的取值，结合函数的单调性，得到相应的不等式，确定参数范围.